Es aquella igualdad que relaciona expresiones algebraicas, las cuales presentan letras (por lo general x, y) denominadas incógnitas

Ejemplos: 1. 24 – 4(x+3) = 2(10x-6)

2. 16

4x

3

2x

3. x2 + 5x – 24 = 0

4. 8x - 5 = 7y - 9

COMPONENTES En toda ecuación se considera:

a) Primer miembro. Todo lo escrito a la izquierda de la igualdad.

b) Segundo miembro. Todo lo escrito a la derecha de la igualdad.

c) Variable o incógnita. Símbolo que representa a un “número desconocido”

Las raíces o soluciones de una ecuación son el conjunto de valores que al ser reemplazados en la igualdad, la verifican. A este conjunto de valores se le denomina conjunto solución de la ecuación: CS

Ejemplos:

1. Resolver la ecuación:

5(x + 1) = 4x + 2(x - 13)

Solución:

31x

x31

5x-6x265

26-6x55x

26-2x4x 55x

13) -2(x +4x = 1) +5(x

CS= {31}

2. Resolver la ecuación:

x2 + 5x – 24 = 0 Solución:

x2 + 5x – 24 = 0 x +8

x -3

(x + 8) (x – 3) = 0 x + 8 = 0

x = -8 x - 3 = 0 x = 3

C.S. = {-8; 3}

Ecuaciones Racionales: Si las variables o incógnitas no están afectadas por radicales. Ejemplo:

Ecuaciones Irracionales: Si las variables o incógnitas si están afectadas por radicales. Ejemplo:

Ecuaciones Compatibles:

Son aquellas ecuaciones que tiene solución. Ejemplo:

c. s.= {12}

Ecuaciones Compatibles

Determinadas: Son aquellas ecuaciones que poseen un número limitado de soluciones. Ejemplo:

c. s.= {-1; 0; 1}

Ecuaciones Compatibles

Indeterminadas: Son aquellas ecuaciones que poseen un número ilimitado de soluciones. Ejemplo:

c. s.= R - {-1; 1}

Ecuaciones Incompatibles o

absurdas: Es aquella ecuación que no tiene solución. Ejemplo:

c. s.=

Ecuaciones Numéricas Son aquellas ecuaciones cuyos coeficientes son constantes: Ejemplo:

1. x2 + 5x – 24 = 0 2. 8x - 5 = 7y - 9

Ecuaciones Literales Son aquellas ecuaciones donde al menos uno de los coeficientes es una variable. Ejemplo:

1. 3ax -5 = 2x +3

2. ax2 – bx = ax +bx2

De acuerdo a ciertas características que presentan las ecuaciones se pueden clasificar en:

1. Según que sus incógnitas estén afectadas o no de radicales

2. Según la cantidad de raíces o soluciones

3. Según el tipo de coeficiente

- Primer grado: si tiene una solución. 24 – 4(x+3) = 2(10x-6) ; x= 31 - Segundo grado: si tiene dos soluciones.

x2 + 5x – 24 = 0 ; x = -8 x = 3 - Tercer grado: si tiene tres soluciones.

x3 +6x2 +11x + 6= 0; x=-1 ; x=-2 x = -3

4. Según el grado

Si dos o más ecuaciones respecto a una misma variable presentan las mismas raíces o soluciones, tales ecuaciones se denominan equivalentes.

Ejemplos:

1. 2x − 3 = 3x + 2 x = −5 2. x + 3 = −2 x = −5

Las dos ecuaciones presentan la misma raíz o solución, estas son ecuaciones equivalentes.

Criterios de Equivalencia de Ecuaciones

1. Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada. x + 3 = −2

x + 3 − 3 = −2 − 3 x = −5

2. Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o se les divide una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada. 5x + 10 = 15

(5x + 10) : 5 = 15 : 5 x + 2 = 3

x + 2 −2 = 3 −2 x = 1

Toda ecuación de Primer Grado con una incógnita, puede reducirse a la forma: a x + b = 0 Dónde: x : incógnita a y b : coeficientes (a y b R)

Despejando a incógnita "x" se tendrá:

a. x = -b

Discusión de la raíz El valor de "x" es decir, la solución o raíz de la ecuación, depende de los valores de a y b, veamos:

1) Si: a 0 y b 0

Tendremos: (la ecuación es Compatible determinada)

2) Si: a 0 y b = 0

Tendremos: (la ecuación es Determinada y la raíz es nula)

3) Si: a = 0 y b 0

No hay solución (la ecuación es Incompatible o absurda)

4) Si: a = 0 y b = 0

Tendremos: (la ecuación es Compatible indeterminada)

Es toda ecuación la cual una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita es 2.

En general: a, b, c R a 0

ECUACIONES INCOMPLETAS

Si : b = 0

Si : c = 0

RAÍCES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Son los valores de la incógnita que satisface la ecuación. Toda ecuación de segundo grado tiene

dos raíces o soluciones.

2) 7x2 – 14 = 0 Solución:

7(x2 – 2) = 0 x2 – 2 = 0 x2 = 2

x =

MÉTODO DE SOLUCIÓN POR FACTORIZACIÓN. PROBLEMAS RESUELTOS

1) Resuelve : 6x2 + 11 x – 10 = 0 Solución:

6x2 + 11 x – 10 = 0 2x +5

3x -2 (2x + 5) (3x – 2) = 0 2x + 5 = 0

x = -5/2 3x – 2 = 0

x = 2/3

C.S. =