ECUACION LINEAL DE LA ONDA

ECUACION LINEAL DE LA ONDA

Supongamos que una onda viajera se propaga a lo largo de una cuerda que esta bajo una tensin T. Considere un pequeo elemento de cuerda de longitud x.

Los extremos del elemento forman pequeos ngulos A y B con el eje x.La fuerza neta que acta sobre el elemento en la direccin vertical es:

Ya que los ngulos son pequeos, se puede usar la aproximacin de ngulo pequeo sen tan para expresar la fuerza neta como:Imaginemos experimentar un desplazamiento infinitesimal hacia afuera desde el extremo del elemento de soga a lo largo de la lnea azul que representa la fuerza T.Este desplazamiento tiene componentes x y y infinitesimales y se puede representar mediante el vector dx + dy. La tangente del ngulo respecto al eje x para este desplazamiento es dy/dx. Ya que esta tangente se evala en un instante particular de tiempo, se le debe expresar en forma parcial como dy/dx. Al sustituir para las tangentes se obtiene:

Ahora aplicamos la segunda ley de Newton al elemento, con la masa del elemento conocido por m = x:

Al combinar la ecuaciones obtenemos:

El lado derecho de la ecuacin se expresa en una forma diferente si notamos que la derivada parcial de cualquier funcin se define como:

Al asociar f(x + x) con (dy/dx)B y f(x) con (dy/dx)A, se ve que, en el limite x0, la ecuacin se convierte en:

Ecuacin de onda linealpara una cuerda

Esta expresin es la ecuacin de onda lineal como se aplica a ondas en una cuerda.La ecuacin de onda lineal con frecuencia se escribe en la forma:

Ecuacin de onda linealen generalEn general la ecuacin de onda lineal general se aplica a diferentes tipos de ondas progresivas. Para ondas en cuerdas y representa la posicin vertical de los elementos de la cuerda. Para ondas sonoras y corresponde a la posicin longitudinal de los elementos de aire desde el equilibrio o variaciones o en presin o en densidad del gas a travs del que se propaga la onda sonora. En el caso de ondas electromagnticas y corresponde a los componentes del campo elctrico o magntico. Se demostr que la funcin de onda sinusoidal es una solucin de la ecuacin de onda lineal. La ecuacin de onda lineal es satisfecha por cualquier funcin de onda que tenga la forma y = f (x vt). Adems, se vio que la ecuacin de onda lineal es una consecuencia directa de la segunda ley de Newton aplicada a cualquier elemento de una cuerda que transporta una onda progresiva.EJEMPLO