ECUACIN FUNDAMENTAL DE LA ESTTICA DE FLUIDOS

Variacin de la presin con la profundidad Consideremos una porcin de fluido en equilibrio de altura dy y de seccin S, situada a una distancia y del fondo del recipiente que se toma como origen.

Figura 3. Las fuerzas que mantienen en equilibrio a dicha porcin de fluido son las siguientes: y El peso, que es igual al producto de la densidad del fluido, por su volumen y por la intensidad de la gravedad, ( Sdy)g La fuerza que ejerce el fluido sobre su cara inferior, pS La fuerza que ejerce el fluido sobre su cara superior, (p+dp)S

y y

La condicin de equilibrio establece que

( Sdy)g+pS=(p+dp)S dp=- gdy Ecuacin 3. Integrando esta ecuacin entre los lmites que se indican en la figura

Ecuacin 4.

Figura 4. Si el punto B est en la superficie y el punto A est a una profundidad h. La ecuacin anterior se escribe de forma ms cmoda. Ahora, p0 es la presin en la superficie del fluido (la presin atmosfrica) y p la presin a la profundidad h. p=p0+ gh Ecuacin 5. Medida de la presin. Manmetro

Figura 5. Para medir la presin empleamos un dispositivo denominado manmetro. Como A y B estn a la misma altura la presin en A y en B debe ser la misma. Por una rama la presin en B es debida al gas encerrado en el recipiente. Por la otra rama la presin en A es debida a la presin atmosfrica ms la presin debida a la diferencia de alturas del lquido manomtrico. p=p0+ gh

Experiencia de Torricelli

Figura 6 . Para medir la presin atmosfrica, Torricelli emple un tubo largo, cerrado por uno de sus extremos, lo llen de mercurio y le dio la vuelta sobre una vasija de mercurio. El mercurio descendi hasta una altura h=0.76 m al nivel del mar. Dado que el extremo cerrado del tubo se encuentra casi al vaco p=0, y sabiendo la densidad del mercurio es 13.55 g/cm3 13550 kg/m3 el valor de la presin atmosfrica es

Figura 7. Actividades Con este applet se puede comprobar la ecuacin fundamental de la esttica de fluidos, es decir, que la presin vara linealmente con la altura. Al mismo tiempo, podemos ver cmo funciona un manmetro. Se conecta un tubo por un extremo a un manmetro y por el otro a un elemento o cpsula de presin consistente en un cilindro de metal con un diafragma de goma, dispuesto para medir

la presin hidrosttica. El elemento de presin se introduce en el fluido a una profundidad h. En la prctica real, el elemento de presin se puede girar a fin de demostrar que la presin solamente depende de la posicin, pero es independiente de la direccin en la que se mide. En el applet podemos seleccionar uno de los fluidos cuyas densidades se recogen en la tabla y a continuacin se pulsa en el botn tituladoNuevo. Sustancia Agua Aceite Alcohol Glicerina Mercurio Densidad (kg/m3) 1000 900 790 1260 13550

Tabla 3. La ltima sustancia es el lquido manomtrico, el mercurio. Arrastramos con el puntero del ratn el elemento de presin, sealado por una flecha de color rojo hasta la profundidad deseada. Podemos leer en el manmetro la presin, o tambin en la grfica de la derecha, donde se representa la profundidad en el eje vertical y la presin en el eje horizontal. Ejemplo modelo: Supongamos que el fluido es agua. Bajemos la cpsula de presin arrastrando con el puntero del ratn la flecha roja hasta una profundidad de 60 cm. La presin debida a la altura de fluido es

El manmetro marca 2.2 cm por ambas ramas, que corresponde a una presin de

Como el manmetro est abierto por el otro extremo, no nos mide la presin total (atmosfrica ms la altura de fluido) sino solamente la presin debida al fluido. Como vemos en la grfica de la derecha a la profundidad de 60 cm le corresponden algo menos de 106000 Pa, que corresponden a la presin atmosfrica (aproximadamente 100000 Pa) ms la presin debida a la altura de la columna de fluido (6000 Pa). La grfica de la derecha est trazada de forman no usual, ya que la presin (variable dependiente) debera estar en el eje vertical y la altura (variable independiente) en el eje horizontal. La grfica por tanto nos muestra la dependencia lineal de la presin p con la profundidad h. p=p0+ gh

EJECUCIN DELA ACTIVIDAD Supongamos que el fluido es aceite. Bajamos la cpsula de presin arrastrando con el puntero del ratn la flecha roja hasta una profundidad de 70 cm. La presin debida a la altura de fluido es:

P=920x9.81x0.7=6311.2 Pa El manmetro marca 2.31cm por ambas ramas, que corresponde a una presin de. p=13550x9.85x2x0.0231=6134.89 pa Como el manmetro est abierto por el otro extremo, no nos mide la presin total (atmosfrica ms la altura de fluido) sino solamente la presin debida al fluido. Como vemos en la grfica de la derecha a la profundidad de 70 cm le corresponden algo menos de 106200 Pa, que corresponden a la presin atmosfrica (aproximadamente 100000 Pa) ms la presin debida a la altura de la columna de fluido (6000 Pa). PRINCIPIO DE PASCAL Una caracterstica fundamental de cualquier fluido en reposo es que la fuerza ejercida sobre cualquier partcula del fluido es la misma en todas direcciones. Si las fuerzas fueran desiguales, la partcula se desplazara en la direccin de la fuerza resultante. De ello se deduce que la fuerza por unidad de superficie la presin que el fluido ejerce contra las paredes del recipiente que lo contiene, sea cual sea su forma, es perpendicular a la pared en cada punto. Si la presin no fuera perpendicular, la fuerza tendra una componente tangencial no equilibrada y el fluido se movera a lo largo de la pared. Este concepto fue formulado por primera vez en una forma un poco ms amplia por el matemtico y filsofo francs Blaise Pascal en 1647, y se conoce como principio de Pascal.

Dicho principio, que tiene aplicaciones muy importantes en hidrulica, afirma que la presin aplicada sobre un fluido contenido en un recipiente se transmite por igual en todas direcciones y a todas las partes del recipiente, siempre que se puedan despreciar las diferencias de presin debidas al peso del fluido y a la profundidad. Cuando la gravedad es la nica fuerza que acta sobre un lquido contenido en un recipiente abierto, la presin en cualquier punto del lquido es directamente proporcional al peso de la columna vertical de dicho lquido situada sobre ese punto. La presin es a su vez proporcional a la profundidad del punto con respecto a la superficie, y es independiente del tamao o forma del recipiente. As, la presin en el fondo de una tubera vertical llena de agua de 1 cm de dimetro y 15 m de altura es la misma que en el fondo de un lago de 15 m de profundidad (centro). De igual forma, si una tubera de 30 m de longitud se llena de agua y se inclina de modo que la parte superior est slo a 15 m en vertical por encima del fondo (izquierda), el agua ejercer la misma presin sobre el fondo que en los casos anteriores, aunque la distancia a lo largo de la tubera sea mucho mayor que la altura de la tubera vertical. Veamos otro ejemplo: la masa de una columna de agua dulce de 30 cm de altura y una seccin 2 transversal de 6,5 cm es de 195 g, y la fuerza ejercida en el fondo ser el peso correspondiente a esa masa. Una columna de la misma altura pero con un dimetro 12 veces superior tendr un volumen 144 veces mayor, y pesar 144 veces ms, pero la presin, que es la fuerza por unidad de superficie, seguir siendo la misma, puesto que la superficie tambin ser 144 veces mayor. La presin en el fondo de una columna de mercurio de la misma altura ser 13,6 veces superior, ya que el mercurio tiene una densidad 13,6 veces superior a la del agua. En un sifn (derecha), la fuerza hidrosttica hace que el agua fluya hacia arriba por encima del borde hasta que se vace el cubo o se interrumpa la succin.

LA PRENSA HIDRULICA

Fundamentos fsicos Tenemos dos mbolos de seccin circular de radio r1 a la izquierda y de radio r2 a la derecha. Con el puntero del ratn ponemos pesas (pequeos cuadrados de color rojo) de 250 g sobre cada uno de los mbolos. Si ponemos pesas en uno de los mbolos este bajar y subir el otro mbolo. mbolos a la misma altura Se aplica una fuerza F 1 a un pequeo mbolo de rea S1. El resultado es una fuerza F2 mucho ms grande en el mbolo de rea S2. Debido a que la presin es la misma a la misma altura por ambos lados, se verifica que

Para mantener a la misma altura los dos mbolos, tenemos que poner un nmero de pesas sobre cada mbolo de modo que se cumpla la relacin dada en el apartado anterior.

Donde n1 y n2 es el nmero de pesas que se ponen en el mbolo izquierdo o derecho respectivamente, r1 y r2 son sus radios respectivos, m es la masa de cada pesa que se ha fijado en 250 g. Ejemplo: Si r2 es el doble de r1, el rea S2 del mbolo de la derecha es cuatro veces mayor que el rea S1 del mbolo de la izquierda. Para que los mbolos estn a la misma altura, a la derecha tenemos que poner cuatro veces ms de pesas que a la izquierda. r2=2r1 entonces S2=4S1 luego, n2=4n1

mbolos a distinta altura Un ejercicio interesante, es el de determinar la altura de ambas columnas de fluido cuando se ponen n1 pesas en el mbolo de la izquierda y n2 pesas en el mbolo de la derecha. Sean A y B dos puntos del fluido que estn a la misma altura. El punto A una profundidad h1 por debajo del mbolo de rea S1 y el B situado h2 por debajo del mbolo de rea S2.

La presin en cada uno de dichos puntos es la suma de tres trminos y y y La presin atmosfrica La presin debida a la columna de fluido La presin debida a las pesas situadas sobre el mbolo

Para determinar h1 y h2 en funcin de los datos n1 y n2, precisamos de dos ecuaciones La primera ecuacin es pA=pB La segunda ecuacin, nos indica que el fluido incomprensible pasa de un recipiente al otro, pero el volumen V de fluido permanece invariable. Por ejemplo, si h1 disminuye, h2 aumenta. Como consecuencia, el fluido pasa del recipiente izquierdo al derecho, hasta que se establece de nuevo el equilibrio.

Donde h0 es la altura inicial de equilibrio. Ejemplo: Ponemos tres pesas en el mbolo de la izquierda, y ninguna pesa en el mbolo de la derecha, n1=3, n2=0. El mbolo izquierdo baja y sube el mbolo derecho. y y y y y y Sea el radio del mbolo de la izquierda r1=5 cm=0.05 m El radio del mbolo de la derecha r2=10 cm=0.1 m La altura inicial de equilibrio es h0=20 cm=0.2 m 3 La densidad del agua es =1000 kg/m La masa m de cada una de las pesas es 250 g=0.25 kg. La presin atmosfrica p0 se simplifica en la primera ecuacin

Para hallar las alturas de equilibrio h1 y h2 tenemos que plantear el sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas y Igualdad de presiones a la misma altura pA=pB

y

El agua pasa del recipiente izquierdo al recipiente derecho, pero el volumen total de fluido permanece invariable

La solucin es h1=0.124 m=12.4 cm y h2=0.219 m=21.9 cm

Actividades Se introduce y y el radio del mbolo de la izquierda, en el control de edicin titulado Radio del recipiente izquierdo. el radio del mbolo de la derecha, en el control de edicin titulado Radio del recipiente derecho.

Se pulsa el botn titulado Nuevo Con el ratn se arrastran los pequeos cuadrados de color rojo y se colocan sobre el mbolo izquierdo y/o derecho. Cada cuadrado representa una pesa de 250 g. Resolver las dos situaciones descritas en esta pgina y MBOLOS A LA MISMA ALTURA

Ponemos una pesas en el mbolo de la izquierda, y nueve pesas en el mbolo de la derecha, n1=3, n2=9. El mbolo izquierdo esta alamisma altura del mbolo derecho. y y y y y y Sea el radio del mbolo de la izquierda r1=5 cm=0.05 m El radio del mbolo de la derecha r2=15 cm=0.15 m La altura inicial de equilibrio es h0=20 cm=0.2 m 3 La densidad del agua es =1000 kg/m La masa m de cada una de las pesas es 250 g=0.25 kg. La presin atmosfrica p0 se simplifica en la primera ecuacin

Para hallar las alturas de equilibrio h1 y h2 tenemos que plantear el sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas y Igualdad de presiones a la misma altura pA=pB 1000(g)h1+(3(0.250)9.8/ (0.05) =01000(g)h2

y

El agua pasa del recipiente izquierdo al recipiente derecho, pero el volumen total de fluido permanece invariable (0.05) h1+ (0.15) h2=( (0.05) + (0.15) )0.2 (0.05) h1+ (0.15) h2=0.1570 h1+ 0.9h2=20.00

y

MBOLOS A DISTINTA ALTURA

Ponemos una pesas en el mbolo de la izquierda, y nueve pesas en el mbolo de la derecha, n1=6, n2=5. El mbolo izquierdo baja y sube el mbolo derecho. y y y y y y Sea el radio del mbolo de la izquierda r1=6 cm=0.06 m El radio del mbolo de la derecha r2=15 cm=0.15 m La altura inicial de equilibrio es h0=20 cm=0.2 m La densidad del agua es =1000 kg/m3 La masa m de cada una de las pesas es 250 g=0.25 kg. La presin atmosfrica p0 se simplifica en la primera ecuacin

Para hallar las alturas de equilibrio h1 y h2 tenemos que plantear el sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas y Igualdad de presiones a distinta altura pA=pB

0.20+1000(9.8)h1+(6(0.250)9.8/ (0.06) = 0.2+1000(9.8)0.20+(9(0.250)9.8/ (0.15) h2+h1=0.1149

y

El agua pasa del recipiente izquierdo al recipiente derecho, pero el volumen total de fluido permanece invariable (0.06) h1+ (0.15) h2=(

(0.06) + (0.15) )0.2

(0.06) h1+ (0.15) h2=0.016

La solucin es h1=0.015 m=1.5 cm y h2=0.099 m=9.9 cm

y y

PRINCIPIO DE ARQUMEDES

Figura 17. El segundo principio importante de la esttica de fluidos fue descubierto en el siglo III antes de nuestra era por el matemtico y filsofo griego Arqumedes. El principio de Arqumedes afirma que todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un fluido experimenta una fuerza hacia arriba, o empuje, igual al peso del volumen de fluido desplazado por dicho cuerpo. Esto explica por qu flota un barco muy cargado; el peso del agua desplazada por el barco equivale a la fuerza hacia arriba que mantiene el barco a flote. El punto sobre el que puede considerarse que actan todas las fuerzas que producen el efecto de flotacin se llama centro de flotacin, y corresponde al centro de gravedad del fluido desplazado. El centro de flotacin de un cuerpo que flota est situado exactamente encima de su centro de gravedad. Cuanto mayor sea la distancia entre ambos, mayor es la estabilidad del cuerpo. El principio de Arqumedes permite determinar la densidad de un objeto cuya forma es tan irregular que su volumen no puede medirse directamente. Si el objeto se pesa primero en el aire y luego en el agua, la diferencia de peso ser igual al peso del volumen de agua desplazado, y este volumen es igual al volumen del objeto, si ste est totalmente sumergido. As puede determinarse fcilmente la densidad del objeto (masa dividida por volumen). Si se requiere una precisin muy elevada, tambin hay que tener en cuenta el peso del aire desplazado para obtener el volumen y la densidad correctos. Estudiemos el principio en el caso de un bloque de aluminio y uno de madera.El peso aparente de un bloque de aluminio sumergido en agua se ve reducido en una cantidad igual al peso del agua desplazada.Si un bloque de madera est completamente sumergido en agua, el empuje es mayor que el peso de la madera (esto se debe a que la madera es menos densa que el agua, por lo que el peso de la madera es menor que el peso del mismo volumen de agua). Por tanto, el bloque asciende y emerge del agua parcialmente desplazando as menos agua hasta que el empuje iguala exactamente el peso del bloque. Principio de Arqumedes

El principio de Arqumedes afirma que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado. La explicacin del principio de Arqumedes consta de dos partes como se indica en las figuras: 1. El estudio de las fuerzas sobre una porcin de fluido en equilibrio con el resto del fluido. 2. La sustitucin de dicha porcin de fluido por un cuerpo slido de la misma forma y dimensiones.

Figura 18. Porcin de fluido en equilibrio con el resto del fluido. Consideremos, en primer lugar, las fuerzas sobre una porcin de fluido en equilibrio con el resto de fluido. La fuerza que ejerce la presin del fluido sobre la superficie de separacin es igual a pdS, donde p solamente depende de la profundidad y dS es un elemento de superficie. Puesto que la porcin de fluido se encuentra en equilibrio, la resultante de las fuerzas debidas a la presin se debe anular con el peso de dicha porcin de fluido. A esta resultante la denominamos empuje y su punto de aplicacin es el centro de masa de la porcin de fluido, denominado centro de empuje. De este modo, para una porcin de fluido en equilibrio con el resto se cumple Empuje=peso= fgV Ecuacin 28. El peso de la porcin de fluido es igual al producto de la densidad del fluido aceleracin de la gravedad g y por el volumen de dicha porcin V.f por

la

Se sustituye la porcin de fluido por un cuerpo slido de la misma forma y dimensiones. Si sustituimos la porcin de fluido por un cuerpo slido de la misma forma y dimensiones. Las fuerzas debidas a la presin no cambian, por tanto, su resultante que hemos denominado empuje es el mismo, y acta sobre el mismo punto, es decir, sobre el centro de empuje.

Lo que cambia es el peso del cuerpo y su punto de accin que es su propio centro de masa que puede o no coincidir con el centro de empuje.

Figura 19. Por tanto, sobre el cuerpo actan dos fuerzas: el empuje y el peso del cuerpo, que no tienen en principio el mismo valor ni estn aplicadas en el mismo punto.

En los casos ms simples, supondremos que el slido y el fluido son homogneos y por tanto, coinciden el centro de masa del cuerpo con el centro de empuje.

Energa potencial de un cuerpo en el seno de un fluido

Figura 20.

Cuando un globo de helio asciende en el aire actan sobre el globo las siguientes fuerzas: y y y El peso del globo F g=mgj . El empuje F e= fVgj, siendo f la densidad del fluido (aire). La fuerza de rozamiento Fr debida a la resistencia del aire

Dada la fuerza conservativa podemos determinar la frmula de la energa potencial asociada

Ecuacin 29. y y La fuerza conservativa peso F g=mgj est asociada con la energa potencial Eg=mgy. Por la misma razn, la fuerza conservativa empuje Fe= Vgj est asociada a la energa potencial Ee=- fVgy.

Dada la energa potencial podemos obtener la fuerza conservativa

Ecuacin 30. La energa potencial asociada con las dos fuerzas conservativas es Ep=(mgfVg)y

Ecuacin 31. A medida que el globo asciende en el aire con velocidad constante experimenta una fuerza de rozamiento F r debida a la resistencia del aire. La resultante de las fuerzas que actan sobre el globo debe ser cero.f

Vg- mg-Fr=0

Ecuacin 32. ComofVg>

mg a medida que el globo asciende su energa potencial Ep disminuye.

Empleando el balance de energa obtenemos la misma conclusin

Ecuacin 33. El trabajo de las fuerzas no conservativas Fnc modifica la energa total (cintica ms potencial) de la partcula. Como el trabajo de la fuerza de rozamiento es negativo y la energa cintica Ek no cambia (velocidad constante), concluimos que la energa potencial final EpB es menor que la energa potencia inicial EpA. En la pgina titulada "movimiento de un cuerpo en el seno de un fluido ideal", estudiaremos la dinmica del cuerpo y aplicaremos el principio de conservacin de la energa. Energa potencial de un cuerpo parcialmente sumergido En el apartado anterior, estudiamos la energa potencial de un cuerpo totalmente sumergido en un fluido (un globo de helio en la atmsfera). Ahora vamos a suponer un bloque cilndrico que se sita sobre la superficie de un fluido (por ejemplo agua).

Pueden ocurrir dos casos: y y Que el bloque se sumerja parcialmente si la densidad del cuerpo slido es menor que la densidad del fluido, s< f. . Que el cuerpo se sumerja totalmente si s f.

Cuando el cuerpo est parcialmente sumergido, sobre el cuerpo actan dos fuerzas el peso mg= sShg que es constante y el empuje fSxg que no es constante. Su resultante es F=(- sShg+ fSxg)j. Ecuacin 34. Donde S el rea de la base del bloque, h la altura del bloque y x la parte del bloque que est sumergida en el fluido. Tenemos una situacin anloga a la de un cuerpo que se coloca sobre un muelle elstico en posicin vertical. La energa potencial gravitatoriamgy del cuerpo disminuye, la energa 2 potencial elstica del muelle kx /2 aumenta, la suma de ambas alcanza un mnimo en la posicin de equilibrio, cuando se cumple mg+kx=0, cuando el peso se iguala a la fuerza que ejerce el muelle.

Ecuacin 35. El mnimo de Ep se obtiene cuando la derivada de Ep respecto de y es cero, es decir en la posicin de equilibrio.

Figura 21. La energa potencial del cuerpo parcialmente sumergido ser, de forma anloga

Ecuacin 36. El mnimo de Ep se obtiene cuando la derivada de Ep respecto de y es cero, es decir, en la posicin de equilibrio, cuando el peso se iguale al empuje. - sShg+ fSxg=0.

Ecuacin 37. El bloque permanece sumergido una longitud x. En esta frmula, se ha designado p como la densidad relativa del slido (respecto del fluido) es decir, la densidad del slido tomando la densidad del fluido como la unidad. Fuerzas sobre el bloque 1.Cuando < 1 o bien s < equilibrio. 2. Cuando >1 o bien s> acta sobre el bloque es F y=- sShg+ fShg