ECUACIONES EN LA FORMA INTEGRAL PARA EL VOLUMEN DE CONTROL Métodos de análisis: Método diferencial – Ecuaciones diferenciales, comportamiento microscópico (punto a punto). Método integral – Comportamiento macroscópico, ecuaciones globales, sistemas infinitos. Sistema, Frontera, Volumen de Control y Superficie de control Sistema – Cantidad fija de masa separada del medio a través de las fronteras. Frontera – Separan el medio del sistema que pueden ser fijas o móviles. Volumen de Control (VC) – Volumen arbitrario en el espacio utilizado para el estudio. Superficie de Control (SC) – Superficie que envuelve o delimita el volumen de control. RELACIÓN ENTRE LAS DERIVADAS DEL SISTEMA Y LA FORMULACIÓN DEL VOLUMEN DE CONTROL En la deducción de la formula del volumen de control de cada ley básica haremos uso de los símbolos: N = Propiedad extensiva (propiedad que depende de la masa total del sistema, ej. masa, energía cinética, momento de inercia, etc.). η = Propiedad intensiva (son aquellas que varían de punto a punto del sistema o bien no dependen de la masa total, ej. temperatura, voltaje, etc.).

Siendo así: Propiedad Intensiva = Propiedad Extensiva / unidad de masa

O sea :

Así: Masa del sistema Volumen del sistema De esa forma podemos escribir entonces que:

En la formulación del volumen de control deseamos: “Expresar la taza de variación de la propiedad extensiva N para un sistema, en términos de las variaciones en relación al tiempo de esta propiedad, asociada con el volumen de control” O sea:

DEMOSTRACIÓN: Tomándose un volumen de control fijo en el espacio en relación a las coordenadas x, y, z.

Líneas de flujo

-------------- Volumen de Control _________ Sistema Después de un determinado tiempo, ∆t, tendremos que el sistema se desplaza con relación al VC.

Líneas de flujo

------------- Volumen de Control _________ Sistema De esto tendremos 3 regiones distintas, I, II, y III. Región I – Representa la masa que entra en el VC en ∆t. Región II – Representa la masa que deja el VC en ∆t. Región III – Representa la masa que permanece en el VC en ∆t. Luego en el instante t = t0 los limites del sistema y del VC coinciden. En el instante t = t0 + ∆t el sistema ocupa las regiones II y III. Como el objetivo es: “Relacionar la taza de variación de una propiedad extensiva cualquiera (N), arbitraria del sistema, con las variaciones relativas al tiempo, asociada con el volumen de control” O sea:

Ya que en el instante t = t0 + ∆t el sistema ocupa las regiones II y III podemos sustituir

de la siguiente forma:

Sustituyendo en la ecuación de la derivada del sistema se tiene:

En limite de la suma o la suma de los limites será:

1ª termino 2º termino 3ª termino 1ª término:

2ª término:

de la figura

Vista ampliada de la sub-región (2).

donde:

- esta en el sentido de las líneas de flujo - elemento de área de la superficie de control, sentido normal (para fuera) de la SC.

- ángulo formado entre y

Entonces para toda la región III:

Como la integral es de área y no de tiempo, entonces podemos afirmar:

Y como ∆t es constante puede salir de la integral. El 2ª término quedará de la siguiente manera:

3ª término:

Igual que en el 2ª termino

Vista ampliada de la sub-región (1).

Para toda la región I:

Evaluando el 3ª término de la ecuación general se tiene:

La última igualdad viene de:

Asi sustituyendo los 3 términos en la ecuación general:

Siendo : Y ahora sustituyendo tenemos:

Como la superficie de control consta de dos superficies, o sea:

SC = SCI + SCIII Entonces en forma general queda asi:

QUE ES LA ECUACIÓN BÁSICA PARA EL VOLUMEN DE CONTROL