ECUACION DE LA RECTALa recta se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una nica direccin. Vista en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal (inclinada a la izquierda o a la derecha).El nombre que recibe la expresin algebraica (funcin) que determine a una recta dada se denomina Ecuacin de la Recta.Para comprender este proceder es como si la misma lnea solo se cambia de ropa para que sepan de su existencia pero expresada en trminos matemtiicos (como una ecuacin).

Es en este contexto que la Geometra analtica nos ensea que una recta es la representacin grfica de una expresin algebraica (funcin) o ecuacin lineal de primer grado.Esta ecuacin de la recta vara su formulacin de acuerdo con los datos que se conozcan de la lnea recta que se quiere representar algebraicamente. Dicho en otras palabras, hay varias formas de representar la ecuacin de la recta.1. Ecuacin general de la rectaEsta es una de las formas de representar la ecuacin de la recta.De acuerdo a uno de los postulados de la Geometra Euclidiana, para determinar una lnea recta slo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano (en un plano cartesiano), con abscisas (x) y ordenadas (y).Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepcin, quedan incluidas en la ecuacinAx + By + C = 0Que tambin puede escribirse comoax + by + c = 0y que se conoce como: laecuacin generalde la lnea recta, como lo afirma el siguiente:

TeoremaLa ecuacin general de primer gradoAx + By + C = 0, donde A, B, C pertenecen a losnmeros reales(); y en que A y B no son simultneamente nulos, representa una lnea recta.

2. Ecuacin principal de la rectaEsta es otra de las formas de representar la ecuacin de la recta.Pero antes de entrar en la ecuacin principal de la recta conviene recordar lo siguiente:Cada punto(x, y)que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de coordenadas, siendoxel valor de la abscisa (horizontal) eyel valor de la ordenada (vertical).(x, y) = (Abscisa , Ordenada)Ejemplo: El punto(3, 5)tiene por abscisa 3 y por ordenada 5.Si un par de valores(x, y)pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuacin.Ejemplo: El punto (7, 2) (el 7 en laabscisa xy el 2 en laordenada y) satisface la ecuaciny = x 5, ya que al reemplazar queda2 = 7 5lo que resulta verdadero.Recordado lo anterior, veamos ahora laecuacin de la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente (de la recta) tambin se conoce, que se obtiene con la frmulay = mx + nque considera las siguientes variables: un punto (x, y), la pendiente (m) y el punto de intercepcin en la ordenada (n), y es conocida comoecuacin principal de la recta(conocida tambin como forma simplificada, como veremos luego).Al representar la ecuacin de la recta en su forma principal vemos que aparecieron dos nuevas variables: lamy lan, esto agrega a nuestra ecuacin de la recta dos nuevos elementos que deben considerase al analizar o representar una recta: lapendientey elpunto de intercepcin(tambin llamadointercepto) en eleje de las ordenadas (y).

Respecto a esto, en el grfico de la izquierda, mrepresenta lapendiente de la rectay permite obtener su grado de inclinacin(en relacin a la horizontal o abscisa), ynes elcoeficiente de posicin,el nmero que seala el punto donde la rectainterceptar al eje de lasordenadas (y).

Forma simplificada de la ecuacin de la rectaSi se conoce la pendientem, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b) (corresponde anen la frmula principal ya vista), podemos deducir, partiendo de la ecuacin de la recta de la formay y1= m(x x1)y b = m(x 0)y b = mxy = mx + bEsta es una segunda forma de laecuacin principal de la recta(se la llama tambinforma explcita de la ecuacin) y se utiliza cuando se conocen la pendiente y la ordenada al origen (o intercepto), que llamaremosb( no olvidemos que corresponde a lanen la primera forma de la ecuacin principal). Tambin se puede utilizar esta ecuacin para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuacin dada.Ejemplo: La ecuaciny = 4x + 7tiene pendiente 4 y coeficiente de posicin 7, lo cual indica que interceptar al ejeyen el punto(0, 7).Conocida la frmula de la ecuacin principal (simplificada o explcita, como quieran llamarla) de la recta es posible obtener la ecuacin de cualquier recta siempre que se nos den al menos dos variables de ella: puede ser la pendiente, puede ser un punto o puede ser el intercepto.Esto significa que si te dan esa informacin se puede conseguir una ecuacin de la formay = mx + bque cumple con esas condiciones dadas. Ntese que la ecuaciny = mx + bes la forma generalizada de la forma principaly = mx + n;por lo tanto, labcorresponde al valor den(el intercepto en laordenada y).Ejemplo 1:Hallar la ecuacin de la recta que tienependientem = 3eintercepto b = 10.Tenemos que hallar la ecuacin de la recta, esto es,y = mx + b.Usamos la informacin que tenemos:m = 3y b = 10y sustituimos en la ecuaciny = 3x + 10.La ecuacin que se pide esy = 3x + 10.Ntese que esta forma principal (simplificada o explcita) tambin podemos expresarla como una ecuacin general:y 3x 10 = 0, la cual amplificamos por 1, quedando como y + 3x + 10 = 0, que luego ordenamos, para quedar3x y + 10 = 0 Ejemplo 2Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto(1, 2)y tiene pendientem = 5.Tenemos que hallar la ecuacin de la recta, esto es,y = mx + b.Usamos a informacin: m= 5y sustituimos en la ecuacin:y = 5x + bAhora tenemos que buscar lab; usamos el otro dato; la recta pasa por el punto(1, 2), por lo tanto, ese punto es una solucin de la ecuacin que buscamos. Se sustituyen esos valores dex = 1, y = 2en la ecuacin que estamos buscando:2 = 5 (1) + bDespejamos la variableben:2 = 5 (1) + b2 = 5 + b2 + 5 = bb = 7Sustituimos el valor deben la ecuacin que buscamos:y = 5x + 7La ecuacin en su forma principal (simplificada o explcita) esy = 5x + 7.La cual tambin podemos expresar en su forma general:y = 5x + 7y+ 5x 7 = 0la cual ordenamos y queda5x + y 7 = 0Pendiente de una RectaCon respecto a la pendiente es necesario conocer los siguientes enunciados:Las rectas paralelas tienen la misma pendiente.Si una recta tiene pendiente m = 3 y es paralela a otra, entonces esa otra tambin tiene pendiente m = 3.Las rectas perpendiculares tienen pendientes recprocas y opuestas.Si una recta tiene pendiente m = 5 y es perpendicular a otra, entonces esa otra tiene pendiente 5.Adems:Sim = 0la recta es horizontal (paralela al eje x). Siy = 0, la recta es perpendicular. Sin = 0la recta pasa por el origen.Determinar la pendienteAprendido lo anterior es muy fcil hallar la ecuacin de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada, o para hallar la ecuacin de la recta que pasa por dos puntos.Si nos dicen, por ejemplo, que una recta tiene una pendiente de2y que pasa por el punto (1, 3), slo tenemos que sustituir estos valores en la ecuacin principal y nos quedara:3 = 2 1 + n,y despejandon, quedan = 1.Por lo tanto, la ecuacin de esa recta ser:y = 2x + 1.

Si nos dicen que la recta pasa por el punto (1, 3) y (2, 5), slo tenemos que sustituir estos valores en la ecuacin principal y obtendremos dos ecuaciones con dos incgnitas:3 = m 1 + n,5 = m 2 + n.Ahora, observemos el grfico de la derecha: Cuando se tienen dos puntos de una rectaP1(x1, y1)yP2(x2, y2), la pendiente,que es siempre constante, queda determinada por el cuociente entre la diferencia de las ordenadas de esos dos puntos y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea, con la frmula

Entonces, a partir de estafrmula de la pendientese puede tambin obtener la ecuacin de la recta, con la frmula:y y1= m(x x1)Esta forma de obtener la ecuacin de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno solo de sus puntos.Entonces, la ecuacin de la recta que pasa por el puntoP1= (x1, y1)y tiene la pendiente dadam,se establece de la siguiente manera:y y1= m(x x1)

EjemploHallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto A (2, 4) y que tiene una pendiente de 1/3Al sustituir los datos en la ecuacin, resulta lo siguiente:y y1= m(x x1)y (4) = 1/3(x 2)3(y + 4) = 1(x 2)3y + 12 = x + 23y +12 + x 2 = 03y + x + 10 = 0x+ 3y + 10 = 0Volviendo a la ecuacin general de la recta(Ax + By + C = 0), en ella la pendiente (m) y el coeficiente de posicin (n) quedan determinados por:

Ejemplo: Cul es la pendiente y el coeficiente de posicin de la recta4x 6y + 3 = 0?

Ecuacin de la recta que pasa por dos puntosSeanP(x1, y1)yQ(x2, y2)dos puntos de una recta. Sobre la base de estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuacin.Para ello tomemos un tercer puntoR(x, y), tambin perteneciente a la recta.Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente. O sea yLuego, la ecuacin de la recta que pasa por dos puntos es:

que tambin se puede expresar como

Ejemplo 1:Determina la ecuacin general de la recta que pasa por los puntosP(1, 2)yQ(3, 4)

y 2 = x 1y x + 1 = 0

Ejemplo 2:Determina la ecuacin general de la recta que pasa por los puntosP1(4, 3)yP2(3, 2)Sabemos que la ecuacin de la recta que pasa por dos puntos es:

Reemplazamos los valores:2 3= y 33 4 x 45=y 37 x 4y 3 = x 4 (5 /7)y 3 =5 x + 20 77 (y 3) = 5 x + 207y +21 + 5x 20 = 05x 7y + 1 = 0Que se corresponde con una ecuacin de la forma generalAx+ By + C = 0DondeA = 5B = 7C = 1Ver:http://www.youtube.com/watch?v=_qzSrMBiUyE&NR=1Ecuacin de la recta dados puntopendiente (se conoce un punto y se conoce la pendiente)Por lo ya visto, y por los ejemplos anteriores, sabemos que la ecuacin de la recta que pasa por dos puntos est determinada por

pero

Luego, si reemplazamos en la ecuacin anterior obtenemos

despejando, llegamos a:y y1= m(x x1)Ejemplo:Determina la ecuacin general de la recta de pendiente 4 y que pasa por el punto (5, 3)y y1= m(x x1)y (3) = 4(x 5)y + 4 = 4x + 20Luego la ecuacin pedida es4x + y 16 = 0.Ejercicios para obtener la ecuacin general de la recta dados un punto y la pendienteRecuerde que la frmula inicial esy y1= m(x x1)1. m = 1; punto (2, 3)y 3 = 1(x + 2)y 3 = x 2x + y 1 = 02. m = 2; punto (3/2, 1)y + 1 = 2(x + 3/2)y + 1 = 2x + 3 2x + y 2 = 02x y + 2 = 03. m = 0; punto (3, 0)y 0 = 0(x + 3)y = 04. m= 4; punto (2/3, 2)y + 2 = 4(x 2/3)y + 2 = 4x + 8/3y +2 4x 8/3 = 0y 2/3 4x = 04x y + 2/3 = 05. m = 2/5; punto (1,4)y 4 = 1(x 1)y 4 = x 1y 4 x + 1 = 0y 3 x = 0x y + 3 = 06. m = 3/4; punto (2,5, 3)y + 3 = (x 2,5)y + 3 = 3/4x 15/8y + 3 3/4x +15/8 = 0y + 39/8 3/4x = 03/4x y 39/8 = 07. m = ind; punto (0,5)y 5 = (x 5)y 5 x + 5 = 0y x = 0x y = 08. m = 0; punto (4, 1/2)y = (x + 4)y x 4 = 0y 9/2 x = 0x y + 9/2 = 0

IntroduccinLasecuaciones linealespueden tomar varias formas, como lafrmula punto-pendiente, lafrmula pendiente-interseccin, y laforma estndar de una ecuacin lineal. stas formas permiten a los matemticos describir la misma recta de distintas maneras..Esto puede ser confuso, pero en realidad es bastante til. Considera de cuntas maneras diferentes es posible escribir un pedido de leche en una lista de compras. Puedes pedir leche blanca, leche de vaca, un cuarto de leche, leche descremada, y cada una de stas frases describira exactamente el mismo producto. La descripcin que uses depender de las caractersticas que ms te importan.Las ecuaciones que describen rectas pueden ser escogidas de la misma manera pueden ser escritas y manipuladas con base en las caractersticas de la recta que son de inters. Incluso, si una caracterstica es ms importante, las ecuaciones lineales pueden convertirse de una forma a otra.Forma Punto-PendienteUn tipo de ecuacin lineal es la forma punto-pendiente, la cual nos proporciona lapendientede una recta y las coordenadas de un punto en ella. La forma punto-pendiente de una ecuacin lineal se escribe como. En sta ecuacin,mes la pendiente y (x1,y1) son las coordenadas del punto.Veamos de dnde es que viene sta frmula de punto-pendiente. Aqu est la grfica de una recta genrica con dos puntos trazados en ella.

Sustituyendo stos valores en la frmula punto-pendiente, obtenemos. Que es la ecuacin de la recta.