DEPARTAMENTO DE ELCTRICA Y ELECTRNICA

CARRERA DE ING. EN ELECTRNICA E INSTRUMENTACIN

ASIGNATURA: ELECTROMAGNETISMO II

Unidad I

DEBER 1

TEMA: ECUACIN DE LA ONDA

Hrs. de la asignatura 4 Hrs (4 Teora)

Responsable de la Prctica: Ing. David Rivas

Nombre Estudiante:

Jefferson de la Cruz

Ecuacin de la onda.

Las ecuaciones de Maxwell se publicaron en 1864, su principal funcin es predecir

la propagacin de la energa en formas de Onda.

Las ecuaciones que nos dicen la forma de propagacin de los campos

electromagnticos consideran que los medios son lineales, isotrpicos y

homogneos. Cuando consideramos un medio lineal nos referimos a que la

permitividad no depende de la magnitud o el nivel del campo elctrico y la

permeabilidad no depende de la magnitud ni el nivel del campo magntico.

Isotrpico se refiere a que la densidad del flujo elctrico es paralela al campo

elctrico y a la densidad del flujo magntico.

Nuestro principal inters se centrara desde el punto de vista sinusoidal, el estudio de

la distancia y el tiempo y la relacin que esto tiene con las ondas.

Para empezar es la constante propagacin, sta se divide en dos partes, parte real

y parte imaginaria como se muestra en la ecuacin 1.1a:

A la parte real se le conoce como que es la constante de atenuacin y a la parte

imaginaria se le conoce como que es la constante de fase. Estas se calculan como

se muestra en la ecuacin 1.1b:

Las ecuaciones en el dominio del tiempo, se dan en forma sinusoidal como se

muestran en las ecuaciones 1.2a para el campo elctrico y 1.2b para el campo

magntico:

Aqu se muestra como se ven las ondas en t = 0 para el campo elctrico y el

magntico.

En esta grfica se muestran los dos campos del mismo tamao ya que es slo un

grfica demostrativa.

Figura 1.1. Campo elctrico y magntico propagndose.

En la figura 1.1 se muestra el campo elctrico que tiene su amplitud en el eje x y el

campo magntico que tiene su amplitud en el eje y, y todo esto se propaga en

direccin z, que en este caso es la distancia.

Propagacin en medios sin prdidas.

Tener un medio sin prdidas significa que no existe la conductividad en ese medio,

o sea que la conductividad es cero.

Las condiciones que se dan en este medio son las que se muestran en las

ecuaciones 1.4a y1.4b:

La impedancia intrnseca se vuelve un nmero real.

Ya que la conductividad se vuelve cero. Por lo tanto slo tiene una parte real y no

parte imaginaria.

La velocidad de fase de la onda se vuelve:

En la ecuacin 1.7 se puede observar la ecuacin, que nos dice como se propaga el

campo elctrico:

En la ecuacin 1.8 podemos observar la ecuacin que nos dice como se comporta

el campo magntico:

Consideraciones para la propagacin en el espacio libre [4]:

Para cualquier otro tipo de material

Propagacin en medios con prdidas.

Un medio con prdidas existe, cuando hay conductividad aunque sea mnima, y

como existe conductividad dentro de este medio, la onda va a cambiar a

consecuencia de esto. Debemos dejar bien claro que existen dos diferencias muy

notables entre las ondas planas uniformes en medios sin prdidas y en las que se

propagan en medios con prdidas. La primera diferencia es que la parte real de la

constante de propagacin se vuelve distinta de cero.

Y por lo tanto se divide en 2 como se muestra en las ecuaciones 1.13a y 1.13b:

Podemos ver que la se dividi en 2 partes su parte real se le conoce como

constante de atenuacin esta dada en Np/m y su parte imaginaria que se le

conoce como constante de fase y esta dada en rad/m.

La otra diferencia es la impedancia intrnseca, esta para medios con prdidas

tambin se vuelve compleja y no tiene los mismos valores que para un medio sin

prdidas. La impedancia intrnseca se calcula de la siguiente manera:

Ahora la ecuacin de onda, se muestra en la ecuacin 1.15a y en la ecuacin 1.15b

para el caso de medios con prdidas:

INCIDENCIA NORMAL DE LAS ONDAS PLANAS

UNIFORMES

Como se muestra en la figura 2.1, la incidencia normal, es cuando las ondas

electromagnticas, pasan de un medio, con ciertas caractersticas de permeabilidad,

permitividad y conductividad, y stas se dirigen hacia otro medio el cual, tiene

caractersticas distintas a las del medio 1. Aqu veremos las ecuaciones que se

utilizan para calcular todos los datos necesarios para caracterizar las ondas

electromagnticas en este caso.

Aqu tambin se utilizan las consideraciones del espacio libre :

Las ecuacin 2.1a nos muestra como se tiene que hacer el clculo para la constante

de propagacin que existirn en el medio 1, y sta se puede dividir en 2

dependiendo si existe conductividad o no y esto es lo que nos indica la ecuacin

2.1 b.

La ecuacin 2.2a es para hacer el clculo de la impedancia intrnseca en el medio

1, y nos dar el resultado de la manera en que se muestra en la ecuacin 2.2b, este

resultado se divide en magnitud y fase.

Recordemos que aqu

Ahora veamos como son las ecuaciones de propagacin para el medio 2.

Para calcular la constante de propagacin se utilizan la ecuacin 2.3a y el resultado

se da en la forma 2.3b.

Entonces la constante de fase ser calculada como se muestra en la ecuacin 2.4a,

el resultado ser en la forma 2.4b.

En este caso tenemos que

Ahora tenemos que introducir nuevos conceptos que son los Coeficientes de

Transmisin y Coeficientes de Reflexin,

Ahora en la ecuacin 2.5a se muestra como se calcula el coeficiente de Reflexin y

el resultado se expresa en la forma 2.5b.

En la ecuacin 2.6a se muestra el coeficiente de Transmisin y el resultado se

expresa de la manera 2.6b.

El coeficiente de transmisin se puede calcular tambin de la siguiente manera:

En la ecuacin 2.7 se muestra que el coeficiente de transmisin excede la unidad.

INCIDENCIA OBLICUA DE LAS ONDAS PLANAS

UNIFORMES

Este tipo de incidencia se da gracias a que al momento de que la onda incide, tiene

un ngulo con respecto a su plano de incidencia, en la incidencia normal no se

daba esto, ya que la onda incida en forma normal al plano.

Existen dos tipos de polarizacin para este tipo de incidencia, la polarizacin

paralela que nos dice que el campo elctrico es paralelo al plano de incidencia, y la

polarizacin perpendicular que nos dice, que el campo elctrico es perpendicular al

plano de incidencia .