Economía Dinámica y Computacional - Temario Completo 2016

8/16/2019 Economía Dinámica y Computacional - Temario Completo 2016

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CAPÍTULO 2

2.1 MÉTODOS NUMÉRICOS Y COMPUTACIONALES EN ECONOMÍA

¿POR QUÉ SE EMPLEAN MÉTODOS NUMÉRICOS Y COMPUTACIONALES EN

ECONOMÍA?

ALGORITMO DE NEWTON RAPHSON

CALCULO DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN CON MATLAB

EL PROBLEMA DEL MERCADO CON AYUDAS GUBERNAMENTALES

MÉTODOS ITERATIVOS DE PUNTO FIJO

INTEGRACIÓN NUMÉRICA

INTEGRACIÓN MONTE CARLO

SOLUCIÓN AL PROBLEMA DEL MERCADO CON AYUDAS GUBERNAMENTALES

Versión: 22-1-2016


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¿POR QUÉ SE EMPLEAN MÉTODOS NUMÉRICOS Y COMPUTACIONALES ENECONOMÍA?Consideremos una función de demanda de elasticidad constante 0.2

0.2q p

La función de demanda inversa es5

p q

Supongamos ahora que la función de demanda contiene la suma de una demanda domésticamás una demanda de exportación

0.2 0.5

0.2 0.5

0.5 0.50.5 0.5q p p

p p

Ejercicio: Demostrar que la demanda es una función decreciente del precio viendo que su

derivada es siempre negativa.

Gráfica con MATLAB de la demanda>>q=@(p) 0.5*p.^(-0.2)+0.5*p.^(-0.5)

>>p=0:0.1:5;

>>plot(p,q(p)) ; title('Función de demanda'),xlabel('precio'),ylabel('demanda')

Alternativamente también es posible dibujar con

>>fplot(q,[0,5]) ; title('Función de demanda'),xlabel('precio'),ylabel('demanda')

Ahora no es inmediato encontrar el precio cuando la demanda sea, por ejemplo, de 2 unidades. No obstante, al ser la demanda una función decreciente, para cada valor de la

demanda existe un único precio que vacía el mercado. Pero ¿cuál es la función de demanda

inversa?

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4Función de demanda

precio

d e m a n

d a


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ALGORITMO DE NEWTON RAPHSON Recta tangente en un punto )(, 00 x f x

)()(')( 000 x x x f x f y

La primera aproximación de la raíz de la ecuación 0)( x f y será el valor 1 x donde la recta

tangente corta al eje OX, es decir,)()(')(0 0100 x x x f x f

De donde

)('

)(

0

001

x f

x f x x

Ejercicio: Hallar el valor del precio cuando la demanda vale 2Resolvamos la ecuación

0.2 0.5

0.2 0.5

0.5 0.50.5 0.5 2q p p

p p

mediante el algoritmo de Newton-Raphson

1

( ) 2

'( )

ii i

i

q p p p

q p

q=@(p) 0.5*p.^(-0.2)+0.5*p.^(-0.5)-2

p=[]; p(1)=0.1; h=0.000001; for i=1:10

deriv_q=(q(p(i)+h)-q(p(i)))/h; p(i+1)=p(i)-q(p(i))/deriv_q;

end


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Otra versión del mismo programa que incorpora una tolerancia en el algoritmo es

p=0.25;

for i=1:100

deltap=(.5*p^-.2+.5*p^-.5-2)/(-.1*p^-1.2-.25*p^-1.5);

p=p-deltap;tolerancia=1.e-8; % la tolerancia del algoritmo es 1.e-8if abs(deltap)>x=-2:0.1:2;>>plot(x,pol(x))

Vemos que hay una única raíz cercana a 1.

% Calcula la raíz de una ecuación mediante el algoritmo de NewtonRaphson.

pol=@(x) x.^5+3*x.^2-10; x=[ ]; x(1)=1; h=0.0001;

for i=1:20 x(i+1)=x(i)-pol(x(i))*inv( (pol(x(i)+h)-pol(x(i)))/h); end sprintf('la raíz del polinomio es %g',x(20)) >> La raíz del polinomio es 1.35196

Ejemplo

Hallar alguna de las raíces de la ecuación 4 3 23 10 0 x x x x mediante el algoritmo de Newton Raphson.Gráficamente vemos que el polinomio tiene dos raíces cercanas a -1 y 2.

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-30

-20

-10

0

10

20

30

40


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Aplicando el algoritmo de Newton Raphson el valor de dichas raíces es:-1.233991.67941

ConvergenciaPara que el método de Newton-Raphson converja deben cumplirse ciertas condiciones deconvergencia. En la siguiente figura podemos apreciar, como aun partiendo de un punto cercanoa la raíz buscada, en un caso el método converge y en otro caso no.

Una condición necesaria de convergencia es que la gráfica de la función f(x) dentro delintervalo de trabajo [a,b], debe ser cóncava o convexa:

f ''(x) = 0 para todo x que pertenezca a [a,b]

Ejercicio

Empleando el método de Newton-Raphson hallar la raíz real del polinomio 3 22 5 15 x x x

con valores iniciales de0 0 0

2 , 3 , 5 x x x . Dibujar los sucesivos valores de x i y

estudiar la convergencia del algoritmo.

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

0 20 40 60 80 100 1200

1

2

3

4

5

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9Sucesivos valores de x(i) en el algoritmo de Newton-Raphson para x0=2


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Ejercicios de autocomprobaciónCalcular por el método de Newton Raphson las raíces de las siguientes ecuaciones partiendo del

valor inicial 0 x que se señala a continuación:

0

10 1.0 : 0.5671 xe x solución

x

0

1ln( ) 0 1.5 :1.7632 x x solución

x

0ln( ) cos 0 0.6 :1.3030 x x x solución

0ln( ) 0 1 :1.3098 x

x e x solución

3

0x x 16 2 : 2.3879 x solución 1 3

05 0 1.0 : 0.4940 x

e x x solución

3 2

02 x x 1 1.2 : 1.2238 x x solución

02

0

1.0 : 0.45903 0

2.0 : 0.9100

x x solución

x e x solución

/2 010 cos 2 4 1 : 0.8944 xe x x solución

Dada la función 6.6 55.91.21 11.4 11.7 0.28 18 26.1 x xe sen x e sen x , dibujarla y,aplicando Newton-Raphson, comprobar que tiene 4 raíces positivas en el intervalo [0,1]:

0

0

0

0

0.1 : 0.1710

0.5 : 0.4466

0.7 : 0.7222

0.9 : 0.9977

x solución

x solución

x solución

x solución


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ALGORITMOS DE MATLAB PARA EL CÁLCULO DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN

roots :Permite calcular las raíces de un polinomio.roots(X) es un vector fila formado por las raíces de un polinomio cuyos coeficientes son loselementos del vector X.

Por ejemplo, para calcular las raíces del polinomio 523 23 x x x , formaremos previamente el vector

>> X=[1 3 – 2 5];

las raíces se obtendrán de la forma:

>> roots(X) = -3.8552 0.4276 + 1.0555i 0.4276 - 1.0555i

EjercicioLa tasa interna de una inversión o proyecto es la tasa efectiva anual que hace que el valor

actual neto de todos los flujos de efectivo (tanto positivos como negativos) de una determinadainversión igual a cero.En términos más específicos, la TIR de la inversión es la tasa de interés a la que el valor actualneto de los costos (los flujos de caja negativos) de la inversión es igual al valor presente neto delos beneficios (flujos positivos de efectivo) de la inversión.

Hallar la (TIR) un bono cuyo precio es de 110€ y cuyo valor facial es de A=100€ y tiene tres periodos hasta la amortización, produciendo unos pagos de cupón de c=10€ durante sus tresaños de vida.El precio de dicho bono viene dado por

2 31 (1 ) (1 )

c c c A

p r r r

La tasa interna de rendimiento se obtendrá resolviendo la ecuación

3 2(1 ) (1 ) (1 ) 0 p r c r c r c A

es decir, 3 2110(1 ) 10(1 ) 10(1 ) 110 0r r r

>> roots ( [ 110 -10 -10 -110 ] )

obtiene las raíces 1.0624 , -0.4858+ 0.8392i , -0.4858+ 0.8392i,luego 1 1.0624 , 0.0624r r .

Comparación de dos inversiones A y B.La A es a cuatro años y se realiza una inversión a comienzos del primer año de 100€obteniéndose pagos de 5€ a comienzos de los años segundo y tercero; finalmente se obtienen130€ al final del cuarto año.Flujos negativos: 100 al comienzo del primer año

Flujos positivos2 4

5 5 130

1 (1 ) (1 )r r r

2 4

5 5 130

100 0.12381 (1 ) (1 ) r r r r

http://www.enciclopediafinanciera.com/finanzas-corporativas/valor-presente-neto.htmhttp://www.enciclopediafinanciera.com/finanzas-corporativas/valor-presente-neto.htmhttp://www.enciclopediafinanciera.com/analisisfundamental/valoraciondeactivos/flujos-de-efectivo.htmhttp://www.enciclopediafinanciera.com/finanzas-corporativas/valor-presente-neto.htmhttp://www.enciclopediafinanciera.com/finanzas-corporativas/valor-presente-neto.htmhttp://www.enciclopediafinanciera.com/analisisfundamental/valoraciondeactivos/flujos-de-efectivo.htmhttp://www.enciclopediafinanciera.com/finanzas-corporativas/valor-presente-neto.htmhttp://www.enciclopediafinanciera.com/finanzas-corporativas/valor-presente-neto.htmhttp://www.enciclopediafinanciera.com/analisisfundamental/valoraciondeactivos/flujos-de-efectivo.htmhttp://www.enciclopediafinanciera.com/finanzas-corporativas/valor-presente-neto.htmhttp://www.enciclopediafinanciera.com/finanzas-corporativas/valor-presente-neto.htmhttp://www.enciclopediafinanciera.com/analisisfundamental/valoraciondeactivos/flujos-de-efectivo.htmhttp://www.enciclopediafinanciera.com/finanzas-corporativas/valor-presente-neto.htmhttp://www.enciclopediafinanciera.com/finanzas-corporativas/valor-presente-neto.htm


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La inversión B es a tres años y se pagan 75€ al comienzo de los dos primeros años para obtener

200€ al final del tercer año. Comparar ambas inversiones desde el punto de vista de su TIR.

Flujos negativos: 75 al comienzo del primer y segundo año:75

751 r

Flujos positivos3

200

(1 )r

3

75 20075 0.2078

1 (1 )r

r r

fzero :

Busca las raíces de cualquier función de una variable en torno a un determinado punto x 01. Susintaxis es

fzero( 'función' , x0 ) .

[x,fval] = fzero(‘funcion’,x0,...) proporciona el valor de la función descrita en x

EjemploHallar el cero de la función )sen( x y más cercano al punto x=2.

fzero( ' sin ', 2 )=3.1416 [x,fval]=fzero( ' sin ', 2 )

x = 3.1416fval = 1.2246e-016

En la sintaxis anterior la función no se coloca entre comillas cuando se aplica a una función

anónima.

Ejemplo

Hallar las raíces de la ecuación 0.2 0.50.5 0.5 2 p p >>q_2=@(p) 0.5*p.^(-0.2)+0.5*p.^(-0.5)-2 >>fzero(q_2,0.5)>>ans = 0.1542

Ejemplo

Hallar las raíces de la función 604.0)9.0(

1

01.0)3.0(

122

x x

y

Construcción de una función anónima:>>fun=@(x) 1./((x-0.3).^2+0.01) + 1./((x-0.9).^2+0.04)-6

Gráfica>>fplot (fun, [-3 , 3] )

1 The algorithm, which was originated by T. Dekker, uses a combination of bisection, secant, and inverse quadratic interpolation

methods.


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Cero más cercano a 1.4>>x_cero=fzero ( fun , 1.4 );>>x_cero= 1.2995

Cero más cercano a 0 >>x_cero=fzero ( fun , 0 )>>x_cero =-0.1316

Observar que el valor obtenido cuando evaluemos el valor de la función en la raíz es igual acero:>>y_cero=fun (1.2995) =0.0011>>y_cero=fun (-0.1316) =4.3418e-004

Se puede mejorar la precisión del algoritmo mediante una estructura >> opciones=optimset('Tolfun',1e-10,'MaxIter',400,'TolX',1e-10);

>> [x,fval]= fzero ( fun , 1.4 , opciones)x = 1.2995fval = -1.0098e-009

>> [x,fval]= fzero ( fun , 0 , opciones) x = -0.1316fval = 6.1871e-012

Tambien se puede obtener información adicional sobre las condiciones en que se hadesarrollado el algoritmo:>> [x,fval,info]= fzero ( fun , 1.4 , opciones)

-3 -2 -1 0 1 2 3-20

0

20

40

60

80

100


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Ejercicios de autocomprobaciónMediante fzero calcular las raíces de las siguientes ecuaciones partiendo del valor inicial 0 x que

se señala a continuación. Igualmente, representar gráficamente las correspondientes funciones

02 2

1 17 0 : -0.0948

( 0.3) 0.01 ( 0.9) 0.04 x solución

x x

0/20

0 : 0.513710 cos 2 4

3 : 2.4161

x x solución

e x x solución

0

10 1.0 : 0.5671 xe x solución

x

0

1ln( ) 0 1.5 :1.7632 x x solución

x


0ln( ) 0 1 :1.3098 x

x e x solución

3

0x x 16 2 : 2.3879 x solución 1 3

05 0 1.0 : 0.4940 xe x x solución

3 2

02 x x 1 1.2 : 1.2238 x x solución

02

0

1.0 : 0.45903 0

2.0 : 0.9100

x x solución

x e x solución



0

0

0

0

0.1 : 0.17100.5 : 0.4466

0.7 : 0.7222

0.9 : 0.9977

x solución x solución

x solución

x solución


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ALGORITMO DE NEWTON-RAPHSON MULTIVARIANTESupongamos que queremos resolver el sistema de ecuaciones

1 1 2

1 2

, ,..., 0

..............................

, ,..., 0

n

n n

f x x x

f x x x

Llamemos 1 ,..., : n nn f f x f x R R .

Aplicando el desarrollo de Taylor entorno a0

x , 0 f se convierte en:

0 0 0( ) ( ) '( )( ) 0 f x f x f x x x

Donde 0'( ) f x es la matriz Jacobiana de f en 0 x :

1 10 0

1

0

0 0

1

.....

'( ) ..... ..... .....

.....

n

n n

n

f f x x

x x

f x

f f x x

x x

Así,1

1 0 0 0'( ) ( ) x x f x f x

La raíz puede entonces aproximarse por la interacción

1

1 '( ) ( )k k k k x x f x f x

Para conseguir la convergencia es preciso que0

x esté lo suficientemente próximo a la raíz y que

la matriz Jacobiana sea invertible.

Para un sistema 2x2

1 1 2

2 1 2

, 0

, 0

f x x

f x x

el algoritmo tiene la forma

1

1 1 2 1 1 2

1 1 21 21 1

2 2 2 1 22 1 2 2 1 2

1 2

, ,

,1

1 ,, ,

f x i x i f x i x i

f x i x i x x x i x i

x i x i f x i x i f x i x i f x i x i

x x

fsolveTambién disponible en OCTAVE.Resuelve sistemas de ecuaciones no lineales de varias variables de la forma F(X)=0, donde F

puede ser una función vectorial o matricial y X un vector o una matriz.

1

2

1 2

1 2

2 0

2 0

x

x

x x e

x x e

x = fsolve(‘funcion’,x0,...)

[x,fval] = fsolve(‘funcion’,x0,...) proporciona el valor de la función descrita en x


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O bien, sin comillas para una función anónima.

F=@(x) [ 2*x(1) - x(2) - exp(-x(1));x(1) + 2*x(2) - exp(-x(2))]

[x,fval]=fsolve(F,[0.1,0.1])x = 0.4255 0.1976

fval = 1.0e-009 *-0.1450-0.0144

Se puede mejorar la precisión del algoritmo mediante una estructura >> opciones=optimset('Tolfun',1e-10,'MaxIter',400,'TolX',1e-10);>> [x,fval]=fsolve(F,[-5,-2], opciones)

x = 0.4255 0.1976

fval = 1.0e-012 *-0.2638-0.0295

Ejercicios de autocomprobaciónUsando la función fsolve de OCTAVE resolver los siguientes sistemas de ecuaciones

2 2

2 2

22 2

180290

(13,11) , (11,13) (4,5) , (5, 4)1 1 924

20

1 113

5 2 1(4,1) , (9 / 4,1/ 4)

1 1 51 1

x y xy x y

x y x y

x y y y y x x y

x y x y

x y


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MERCADO AGRÍCOLA CON AYUDAS GUBERNAMENTALES Consideremos un mercado agrícola formado por un conjunto de agricultores (por ejemplo el

cultivo del olivo en Andalucía). Las decisiones de plantar se realizan con anterioridad a saber el

precio que tendrá la cosecha en el futuro; dicho precio es una variable aleatoria y suponiendo

que los agricultores forman expectativas racionales2 basarán sus decisiones en el precio

esperado de la cosecha E(p). Supongamos que la superficie total cultivada por el conjunto delos agricultores es

0.5 0.5S E p

Después de plantar la cantidad de cosecha efectivamente obtenida depende de la cantidad

plantada a través de un rendimiento aleatorio 1,0.1 y N .

La cantidad ofertada es otra variable aleatoriaq S y

La función de demanda inversa del mercado3 2 p q

El precio de equilibrio que iguala oferta y demanda puede obtenerse sustituyendo

3 2 3 2 3 2 0.5 0.5 p q S y E p y

Como suponemos que existen expectativas racionales y las que resultan del modelo coinciden

con las de los agentes, tomamos expectativas y obtenemos es siguiente valor de equilibrio para

los precios esperados

3 2 0.5 0.5 1 E p E p E p

Donde hemos hecho uso de que 0.5 0.5 p E es una constante y de qué 1 E y . Esta

ecuación puede interpretarse diciendo que el precio esperado que resulta del modelo coincidecon el precio esperado que forman los agentes con sus expectativas racionales.Por tanto el equilibrio con expectativas conduce a

0.5 0.5 1

1,0.1

3 2 1,0.4

S E p

q y N

p q N

2 La teoría de las expectativas racionales establece que las predicciones sobre el valor futuro de variables

económicamente relevantes hechas por los agentes no son sistemáticamente erróneas y que los errores son aleatorios

(ruido blanco). Las expectativas de los agentes sobre las condiciones económicas futuras deben formar parte esencial

de los modelos macroeconómicos y se supone que los agentes se comportan como si conocieran el modelo verdadero

generador de datos. Asumir expectativas racionales es asumir que las expectativas de los agentes económicos pueden

ser individualmente erróneas, pero correctas en promedio. En otras palabras, aunque el futuro no es totalmente

predecible, se supone que las expectativas de los agentes no están sistemáticamente sesgadas y que éstos usan toda lainformación relevante para formar sus expectativas sobre variables económicas.


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Vamos a valorar las implicaciones de un programa de ayudas de los precios por parte delgobierno donde se garantiza a cada productor un precio mínimo de 1$. Si el precio delmercado cae por debajo, el gobierno pagará la diferencia:

el productor recibe un precio efectivo de max(p,1), donde p es el precio del mercado.

Vamos a intentar resolver nuevamente el equilibrio de expectativas del modelo.Superficie cultivada:

0.5 0.5 max ,1S E p

Cantidad ofertada aleatoria

, 1,0.1q S y y N

Función de demanda inversa del mercado3 2 p q

Equilibrio del mercado con las expectativas

3 2 3 2 0.5 0.5 max ,1S

p S y E p y

Tomando expectativas

3 2 3 2 0.5 0.5 max ,1 3 2 0.5 0.5 max ,1 E p E a y E p E y E p Es decir

3 2 0.5 0.5 max ,1 E p E p Ahora problema no se resuelve fácilmente porque

max ,1 max ,1 E p E p

En este caso el precio de equilibrio se obtiene combinando métodos iterativos de punto fijo,integración Monte Carlo y técnicas de cuadratura Gaussiana.


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MÉTODOS ITERATIVOS DE PUNTO FIJO Basados en las propiedades de las soluciones de equilibrio de las ecuaciones en diferencias es

posible desarrollar un sencillo algoritmo que nos permitirá aproximar las raíces de unadeterminada ecuación.

La idea es la siguiente: para resolver una ecuación 0F x la transformamos en una ecuación

del tipo x f x . Si la ecuación en diferencias t t x f x 1 tiene una solución e x de

equilibrio estable (verifica

1edf x

dx ), dicha solución de equilibrio también es una solución

de la ecuación x f x .

La ventaja que obtenemos es que solución de equilibrio e x se obtiene sin más que iterar laecuación en diferencias 1t t x f x . Así, partiendo de un valor inicial 0 x obtendremos unasucesión de valores

0 1 2 1, , ,..., , ,...

i i x x x x x

Se considera que esta sucesión ha convergido cuando la diferencia entre dos términos

consecutivos es muy pequeña, es decir, 1i i x x .


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Ejemplo

Consideremos la ecuación 055 23 x x x Tal como muestra la gráfica de dicho polinomio, la ecuación anterior tiene tres raíces reales.

El polinomio tiene tres raíces cuyos valores aproximados son 1.3, 4.5 y -0.84.Con el fin de aplicar una ecuación en diferencias para hallar las raíces del polinomio la ecuación

podrían escribirse en la forma x f x , por ejemplo, mediante la expresión3 5

5

x x x

Esta expresión dará lugar a una ecuación en diferencias de la forma

35

15

x i x i x i

Como vemos en la siguiente gráfica esta ecuación en diferencias tiene dos puntos de equilibrio

cercanos a 1.3 y 4.5. Pero solo el cercano a 1.3068 es estable.

De esta forma iterando la ecuación en diferencias podemos obtener la raíz 1.3068 del polinomio.

x=[]; x(1)=0.5; for i=1:40

%x(i+1)=-x(i)^3+5*x(i)^2-5; %x(i+1)=(x(i)^2-x(i)-5)^(1/3); x(i+1)=sqrt((x(i)^3+x(i)+5)/5);%converge a 1.3068

end plot(x)

-1 0 1 2 3 4 5-15

-10

-5

0

5

10

-1 0 1 2 3 4 5 6 7-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9x(i+1)=sqrt((x(i).3+x(i)+5)/5)


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EjercicioAproximar las otras dos raíces del polinomio que son 4.5365 y -0.8434. Para ello considerar lasecuaciones en diferencias que provienen de escribir el polinomio en las formas siguientes:

55 23 x x x 3 2 55 x x x

31 1 20( 5)

10

x x

Esta última expresión ha sido obtenida despejando la incógnita x a partir de la ecuación de

segundo grado 055 32 x x x , donde se supone que el término independiente es35 x . A partir de aquí es posible obtener la raíz -0.8434. ¿Por qué resulta más complicado

encontrar esta tercera raíz de la ecuación? , porque mediante este método iterativo solo es posible encontrar las raíces que se correspondan con puntos de equilibrio estables de una

ecuación del tipo t t x f x 1 ).

Ejemplo: Algoritmo para calcular la raíz cuadrada de un númeroVeamos otro ejemplo que nos permite obtener un algoritmo destinado calcular la raíz cuadradade un número positivo “a”. Partiendo de la ecuación a x 2 , la transformamos en

112 a x y por tanto en 1)1)(1( a x x . A partir de aquí es posible expresar la

ecuación a x 2 de la forma x f x de dos formas distintas:

a)1

11

x

a x , es decir

x

a x

1

11 donde 1' a f y 1' a f por lo que la

ecuaciónt

t x

a x

1

111 converge hacia su solución de equilibrio estable a .

b)1

11

x

a x , es decir

1

11

x

a x donde

1' a f y

1' a f por lo que

la ecuación1

111

t

t x

a x converge hacia su solución de equilibrio estable a .

El siguiente programa de MATLA permite aproximar 2 .% Calcula la raíz cuadrada de un número aa=2;x=[ ]; x(1)=1n=10;for i=1:n

x(i+1)=1+(a-1)/(1+x(i));end

sprintf(‘la raíz cuadrada del número a es %g’,x(n))

Raíz cuadrada de una matriz definida positivaPara una matriz A real definida positiva existe un algoritmo para calcular la raíz cuadrada deeste importante tipo de matrices. El algoritmo es el siguienteSea X 0 = I , donde I es la matriz identidad. La iteración está definida por

111

2k k k

X X AX

Comprobar que la solución de equilibrio es A1/2.

La convergencia no está asegurada, pero si el proceso converge, la matriz k X converge

cuadráticamente a la raíz cuadrada A1/2. Este método es una extensión del algoritmo babilónico

para el cálculo de raíces cuadradas de números positivos ordinarios.

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_identidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_de_la_ra%C3%ADz_cuadrada#Algoritmo_babil.C3.B3nicohttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_de_la_ra%C3%ADz_cuadrada#Algoritmo_babil.C3.B3nicohttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_de_la_ra%C3%ADz_cuadrada#Algoritmo_babil.C3.B3nicohttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_de_la_ra%C3%ADz_cuadrada#Algoritmo_babil.C3.B3nicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_identidad


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18

EjercicioSea la matriz A=[2 3 2;3 5 4;1 3 5]. Usando la función eig.m demostrar que es definida positiva.Hallar su raíz cuadrada por medio del algoritmo babilónico. Comparar con A^(1/2).

Ejercicios de autocomprobación

Transformar cada una de las siguientes ecuaciones en una ecuación de a forma x f x

yresolverla mediante un método iterativo del tipo 1i i x f x . Usar el valor inicial 0 x que seseñala a continuación:


0

10 1.0 : 0.5671 xe x solución

x

0

1ln( ) 0 1.5 :1.7632 x x solución

x


0ln( ) 0 1 :1.3098 x x e x solución 3

0x x 16 2 : 2.3879 x solución 1 3

05 0 1.0 : 0.4940 x

e x x solución

3 2

02 x x 1 1.2 : 1.2238 x x solución

02

0

1.0 : 0.45903 0

2.0 : 0.9100

x x solución

x e x solución


0

0

0

0

0.1 : 0.1710

0.5 : 0.4466

0.7 : 0.7222

0.9 : 0.9977

x solución

x solución

x solución

x solución


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19

a bxi xi+1 a bxi xi+1 xi xi+1

INTEGRACIÓN NUMÉRICA Consideremos una integral definida de una función f(x), en un intervalo [a,b], cuyo valorrepresentaremos por la expresión

dx x f b

a

Cuando la función f(x) es positiva dentro del intervalo [a,b], esta integral representa él áreaencerrada por la función sobre el eje OX entre los puntos a y b, tal como se muestra en la Figura6.1.

a b

b

adx x f

x

Figura 6.1

La resolución analítica de dx x f b

a puede ser complicada, e incluso imposible de obtener

mediante cuadraturas, por lo que es preciso emplear algún tipo de técnica de aproximaciónnumérica. Dichas técnicas tienen en común sustituir la función f(x) por alguna otra funciónmás sencilla que se la aproxime y que facilite el cálculo del área encerrada. Las aproximacionesnuméricas pueden ser por rectángulos, por trapecios o por arcos de parábola. La idea serecoge en las diferentes partes de la Figura 6.2.

Figura 6.2

La aproximación más sencilla que podemos obtener de una integral definida es aproximar lafunción mediante otra función escalonada, tal como hacen las sumas inferiores de Riemann asociada a una partición del intervalo [a,b] en n unidades, que se define, tal como muestra la

Figura 6.3, como


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20

in

i

x f h

1

, donden

abh

.

Este tipo de sumas se implementan fácilmente en MATLAB.

Figura 6.3

Ejemplo: Para aproximar mediante sumas inferiores de Riemman el área encerrada por 2 x y

sobre el eje OX y entre 1 y 2, escribiremos en la ventana de comandos

» x=1:0.1:2; y=x.^2;

» area= 0.1*sum(y)

MATLAB posee dos funciones propias muy útiles en la integración numérica.

quad:

Permite realizar integración numérica (el término quad viene de cuadratura, sinónimo con quese designa a la integral).

>> quad( 'nombre_de_función' , a , b )

calcula el valor aproximado de la integral de la función f(x) entre a y b. Para realizar el cálculoaproximado MATLAB realiza una partición adecuada del intervalo de integración [a,b] yutiliza la regla de Simpson. Dentro de las comillas ' ' debemos colocar una función

previamente definida por el MATLAB o que nosotros creemos en un fichero .m, como veremosmás adelante. La función quad también puede aplicarse a funciones anónimas. En este caso debe

prescindirse de las comillas:

>> quad( nombre_de_función_anónima , a , b )

Si deseamos emplear como procedimiento de integración aproximada el método de Newton-Cotes, MATLAB dispone del comando

>> q uadl( 'nombre_de_función ', a , b ) .

Ejemplo.

Calcular 3

0

)sen( dx x .

Como el MATLAB dispone de una función sin que representa la función seno, la integral secalculará como :

>> quad( ' sin ' , 1 , 3 ) = 1.5303

a bxi xi+1xi+2


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21

Ejemplo

Calcular 3

0

3 )32( dx x x

>> f_pol=@(x) x. ^ 3 – 2 *x - 3>> quad(f_pol, 0 , 3) = 2.2500

Ejemplo

Calcular ahora el área encerrada por la curva 323 x x y con el eje X entre los puntos 0 y3. Dibujemos previamente su gráfica y calculemos las raíces de dicha función en el intervalo deintegración.>> fplot(f_pol , [0,3])

La única raíz se obtiene mediante>> fzero(f_pol,2)= 1.8933

El área viene dada entonces por 3

8933.1

3

8933.1

0

3 )32()32( dx x xdx x x , es decir

>> - quad(f_pol, 0, 1.8933) + quad(f_pol, 1.8933 , 3) = - (-6.0522) + 8.3022 = 14.3544

Observar que>> quad(f_pol , 0 , 3) = 2.2500 = -6.0522 + 8.3022

Ejercicio.

Obténgase el valor de la integral

0

)sen( dx x por tres procedimientos de integración numérica:

Regla de Simpson empleando quad( ' sin ', 0 , pi ) . Método de Newton-Cotes empleando quadl( ' sin ' , 0 , pi ) . Un burdo procedimiento de integración aproximada consistente en dividir el intervalo de

integración [ 0 , pi ] en segmentos de longitud 0.1, formar sobre cada uno de ellos un

rectángulo y finalmente sumar el área de todos los rectángulos, es decir : x = 0 : 0.1: pi ;

9995.11.0*))(sin()(0

xsumdx xsen .

Comparar cada uno de los resultados anteriores con el valor exacto de dicha integral:

2)cos()sen(00

xdx x .

Emplear formato numérico de dieciséis cifras ( format long ) para realizar las comparacionesentre las diferentes técnicas.

EjercicioHallar el área encerrada por la función )2( xsene y x entre o y 3.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5

0

5

10

15

20


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23

El área del rectángulo es 1.5*17La proporción del rectángulo bajo la curva es>> sum(y fun=@(x) x.^3+2*x.^2+1

>> quad(fun, 0.5,2) = 10.7344

Ejercicio

Aproximar el número / 4 a partir de una circunferencia de radio 1 tal como sugiere la figura.

Ejercicio de comprobación y de examen

Simular el valor 3

3 2

11 x x dx

Simular el valor 1

sen x dx

Simular el valor 2

2 2

0.5

x x e dx

Comparar el resultado con el obtenido mediante la función quad.

Precisión en el CálculoEl procedimiento de Montecarlo tiene N puntos aleatorios de los que N′ resultan corresponder alárea que deseamos calcular. Luego S es proporcional a la probabilidad de que un punto aleatoriocaiga en la superficie.

Estimaremos esa probabilidad' 337

ˆ 0.3371000

N p

N como la probabilidad de N′ éxitos en

N intentos y que viene dada por la distribución binomial:

' '( )'

N N N N

p q N

P N éxitos en N

La distribución binomial se puede aproximar mediante una normal cuando: N p > 5 y N q > 5.

0.5 1 1.5 20

2

4

6

8

10

12

14

16

18y=x 3+2*x2+1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


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24

La distribución normal por la que aproximamos tendrá media μ = N p y varianza2 N p q

Además para una distribución normal 2, N el 95% de las observaciones se encuentran enel intervalo:

2 , 2

Con lo que suponiendo N p > 5 y N q > 5 tendremos que el intervalo de confianza al 95% delnúmero de aciertos N’ en S estará en:

2 , 307.10,366.892 N p N p q N p N p q Observar también que el intervalo de confianza para la proporción de aciertos N’/N es

2 2,

N p N p q N p N p q

N N

Así, las estimaciones aleatorias de la integral1

2

0 x dx estarán dentro del intervalo

(0.30710,0.36689) con una probabilidad del 95%.

Tamaño de la SimulaciónEn nuestro ejemplo sabemos que:

12

0

10.333...

3 x dx

y calculamos el área bajo la curva mediante el método de Montecalo:

' N S

N

¿Cuántas simulaciones son necesarias para estimar S con una precisión de 0.01 por encima y por debajo de su media?, es decir para que

1/ 3 0.001,1/3 0.001 0.3233 , 0.3433S

Esto equivale a que el número de aciertos N’ esté en el siguiente intervalo con un 95% deconfianza:

' S N , 0.3233 , 0.3433i d N x x N N Este intervalo de confianza habrá de coincidir con

2 , 2 N p N p q N p N p q Por tanto habrán de tener las mismas longitudes:

Luego 4 0.02 4 1/ 3 2 / 3 0.02 8889 N p q N N N N

EjercicioComprobar la precisión de la estimación realizando diversas simulaciones del tipo>> x=rand(1,8889);y=rand(1, 8889); sum(y


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25

0.01 0.01 0.011.95 / 2 1.96 8537F F N

Npq Npq

N N


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26

ESPERANZA DE UNA FUNCIÓN POR MONTE CARLO: TEOREMA ERGÓDICODada una variable aleatoria Z, con distribución de probabilidad p(z), es posible hallar mediante

simulación la esperanza de alguna función f(Z) (la variable Z puede ser discreta, continua ouna combinación de ambas).

Supongamos que queremos evaluar

E f Z f z p z dz (1)

La idea es obtener un conjunto de muestras independientes , 1, ...,l

z l L de la distribución

p(z). Esto permite aproximar la integral por una suma finita

1

1ˆ L

l

l

f f z L

(2)

Notar, que en esta última suma ha desaparecido p(z) porque su efecto queda recogido dentro de

la muestra , 1, ...,l

z l L ; así, si p(z) toma valores muy bajos en un subconjunto de la región

de integración la contribución de f(x) a la integral (1) en dicha región será muy pequeña; la baja

probabilidad en dicha región también queda reflejado en la suma porque la probabilidadde que un elemento de la muestra pertenezca a dicha región será muy bajo.Como muestra la figura, que si f(z) es pequeño en regiones donde p(z) es grande, y viceversa,

entonces las expectativas pueden estar dominadas por regiones de pequeña probabilidad, siendo

necesarias muestras muy grandes para alcanzar suficiente precisión.

No obstante, el teorema Ergódico asegura la convergencia

1

1ˆ L

l

l

f f z E f f z p z dz L

El problema de calcular el valor esperado se reduce a saber simular muestras aleatorias de una

determinada distribución; veamos cómo hacerlo.

Ejemplo

Calcular

21 3

2 23 3 1

2 2

x

E X x e dx

sabiendo que 3,2 X N

>> fun=@(x) (abs(x)).^(1/3)

>> x=3+sqrt(2)*randn(1,1000);

>> mean(fun(x))

>>ans = 1.3984

Ejercicio: Calcular los tres primeros momentos de la variable aleatoria 2 2 1 X X sabiendo

que 1,5 X N


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27

GENERACIÓN DE MUESTRAS A PARTIR DE NÚMEROS ALEATORIOSUNIFORMES: TEOREMA DE LA TRANSFORMACIÓN INVERSASea X una v.a. con una distribución continua F. Entonces Y=F(X) tiene una distribución

uniforme en [0,1].

Dem:

Sea X un v.a. con función de distribución F x P X x . Hallemos la distribución de

Y=F(X). Para 0 1 y

1 1P Y y P F X y P X F y F F y y Esto indica que la distribución de Y en [0,1] coincide con la de una variable uniforme.

Este resultado posibilita la simulación Monte Carlo de cualquier distribución a partir de una

distribución uniforme por medio de la transformada inversa que se define como

1 , 0,1 X F U U Unif

Ejemplo: muestreo en la distribución exponencialSea x p x e , donde 0 x .

En este caso 0

0

1

x x x

x x x xF x e dx e dx e e

Como 1

1 ln 1 x y e x y

Entonces la función inversa es 1 1

ln 1F x x

.

Así, transformando la variable uniforme U mediante la función1 1

( ) ln(1 ) y F U U

,se tendrá una distribución exponencial.

Ejercicio de MATLAB: Hallar el histograma correspondiente a 10.000 muestras de una

distribución exponencial.

Ejercicio: Simulación Monte Carlo de una variable aleatoria con densidad de Cauchy

21 1

1 p x

x

Comparar las funciones de densidad de Cauchy y normal:


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29

Resulta instructivo comparar con lo que ocurre con muestras normalesnn=randn(1,100)mean(nn), std(nn), cov(nn), var(nn)

Como hemos visto la simulación Monte Carlo se basa en obtener muestras aleatorias de ladistribución a partir de muestras aleatorias de una distribución uniforme en (0,1) por medio de

la función inversa 1( )F x . No obstante puede resultar muy complicado encontrar estafunción inversa de una distribución, tal como ocurre en la distribución normal

2 /21

2

x

zF x e dz

. Por esa razón se han ideado otros procedimientos de simulación

como el método de aceptación-rechazo que se muestra en uno de los apéndices.

SIMULACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

Sea una variable discreta que toma valores 0, 1, 2, 3, 4 con función de densidadP(X = x1=0) = 0.2P(X = x2=1) = 0.22P(X = x3=2) = 0.4P(X = x4=3) = 0.12P(X = x5=4) = 0.06En tal caso su función de distribución será a función escalonada

0 0

0.2 0 1

0.2 0.22 0.42 1 2

0.42 0.4 0.82 2 3

0.82 0.12 0.94 3 4

0.94 0.06 1 4

x

x

xF x

x

x

x

Para generar muestras de esta variable aleatoria sorteamos números en una uniforme U(0,1):Si u=0.12 X=0Si u=0.55 X=2Si u=0.96 X=4………..

En general, supongamos que deseamos simular una V.A.D., X, con una distribución de probabilidad dada por:

http://www.google.es/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwiwmpOsrabKAhWKhhoKHX8MARAQjRwIBw&url=http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0278-01/est_des4.html&psig=AFQjCNGWTjU7UhzHpMRk6U09cjKlnhxPbw&ust=1452759553078506


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30

1 1

2 2

....

n n

P X x p

P X x p f x

P X x p

Por ser probabilidades tendremos que1

1n

i

i

p

, y consideremos entonces el intervalo (0,1) que

lo dividiremos en n subintervalos de amplitudes p1, p2, . . . , pn.Las coordenadas de los puntos de división del intervalo (0,1) serán:

1 1

2 1 2

1 2

....

... 1n n

y p

y p p

y p p p

Cada vez que tengamos que simular el valor de la V.A. X, tomaremos un número aleatorio deuna distribución U(0,1) y consideraremos y .

Si y pertenece al subintervalo i-ésimo, [yi−1, yi), entonces diremos que dicha variabletomará el valor X = xi.

En efecto como 0,1U , entonces:

1 1 1 1... ...i i i i iP y y P p p p p p

EjemploEn un servicio de reparaciones, la demanda diaria de una pieza de recambio sigue este patrón:Durante los últimos 200 días se han demandado 0 unidades 10 días, etc..:

Demanda Frecuencia Prob y

i x in f x F x 0 10 0.05 0.05

1 40 0.20 0.25

2 60 0.30 0.55

3 40 0.20 0.75

4 50 0.25 1.00

200 1

Mediante la bifurcación condicional IF y el generador uniforme de números aleatorios es posible simular, mediante MATLAB, 10.000 muestras del número de productos que se

demandarán durante los próximos días. Para ello simularemos un número aleatorio 0,1 x U


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31

y, tras comprobar a que intervalo1

[ , )i i y y pertenece, asignaremos una determinada demanda

i x de productos tal como muestra el siguiente programa llamado

Monte_Carlo_servicio_reparaciones.m:

x=rand;%simula la frecuencia acumulada

if x=0.05 & x=0.05+0.2 & x=0.05+0.2+0.3 & x


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MUESTREO EN UNA DISTRIBUCIÓN DE POISSON: SIMULACIÓN DE CRISISFINANCIERASCon la distribución de Poisson se pretende modelizar el número de hechos de naturalezaaleatoria que se pueden producir en un intervalo de tiempo, por ejemplo el número dellamadas telefónicas que recibe una centralita, el número de goles marcados en un partido el

primer tiempo o el número de crisis financieras durante los próximos diez años. El proceso hade verificar tres condiciones:1. El número de ocurrencias en dos intervalos de tiempo disjuntos deben ser

independientes entre sí . Por ejemplo, aunque no se hayan recibido llamadas en unacentral durante las últimas tres horas, la probabilidad de que se reciba una llamadadurante la próxima hora resultará inalterada.

2. La probabilidad de una ocurrencia en un pequeño intervalo de tiempo t es

aproximadamente proporcional a la amplitud del intervalo:

1 , 0 1P X t P X t 3.

La probabilidad de que se produzcan 2 o más ocurrencias en un pequeño intervaloes un infinitésimo de orden superior a que haya solo una ocurrencia.

En este caso se puede demostrar que el número de ocurrencias en cualquier intervalo de tiempofijo de longitud t tendrá una distribución de Poisson de media t .Suponiendo que la longitud del intervalo de tiempo es la unidad la distribución será

0,1,2,...!

i

i p P X i e ii

Observar que

0

0

1

1

22

2

00!

11!

2 / 2!1!

p P X e e

p P X e e

p P X e e

Como

1

0 1! 1 !

i i

i i

E X ie ei i

El parámetro de intensidad de la distribución es el número medio ocurrencias que cabeesperar que se produzcan en un intervalo unitario (media de la distribución); y que tambiéncoincide con la varianza de la distribución.

En MATLAB

>>landa=0.1; % en promedio se produce un hecho cada diez días>> i=0:5;

>> p(i)=exp(-landa).*landa.^i./gamma(i+1)

>> p(i) = 0.9048 0.0905 0.0045 0.0002 0.0000

Para generar una muestra Poisson, primero generamos una uniforme U entre cero y 1.

Si 0 0.9048U p e entonces 0 X porque no se ha producido el suceso.

Si 0 0 1 0.9950. 190 8 34 p U p p X

Si 0 1 0 1 20.9953 0.9998 2 p p U p p p X

Si 0 1 2 0 1 2 30.9998 1 3 p p p U p p p p X


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33

Y así sucesivamente.

La obtención de las probabilidades de la distribución de Poisson puede hacerse recursivamente

por medio de la formula 1 , 01

i i p p ii

El proceso de simulación se resume en el siguiente algoritmo:

landa=0.99; p=exp(-landa); %P(X=0) F=p; %Primera frecuencia acumulada U=rand;

for i=1:10 if U> X6=rand(2,10)

Matriz 3x4 de números aleatorios gaussianos:

>> X5=randn(3,4) Basándonos en el generador randn de números aleatorios Gaussianos N(0,1), es posiblemuestras aleatorias de cualquier distribución normal. Por ejemplo, para generar números

aleatorios muestreados de una normal 2( , ) N bastará con realizar sucesivamente la

operación * randn , es decir,

>> mu+sigma*randn


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34

donde mu y sigma .

Ejercicio.

Escribir una sucesión de 1000 números en los intervalos que se citan a continuación.

Empleando la función hist(x) , que veremos posteriormente, hallar sus correspondienteshistogramas.

a) Numeros aleatorios uniformemente distribuidos entre – 2 y 2. b) Números aleatorios uniformemente distribuidos entre 0 y 5.c) Números aleatorios gaussianos con media 2 y varianza 3.d) Números aleatorios gaussianos con media 1 y varianza 0.1.

Ejercicio: Ilustración del teorema central del límite: Si tipificamos una suma de distribucionesidénticas obtenemos, asintóticamente, una distribución normal. Para ello procedamos a sumar

distribuciones uniformes en el intervalo [0,1], tipifiquemos, y hallemos su histograma.


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35

SOLUCIÓN AL PROBLEMA DEL MERCADO CON AYUDAS GUBERNAMENTALES Veamos cómo resolver la ecuación de equilibrio de expectativas que se presentó en el modelo

con ayudas gubernamentales:

Superficie cultivada:

0.5 0.5 max ,1S E p

Cantidad ofertada aleatoria

, 1,0.1q S y y N

Función de demanda inversa del mercado3 2 p q

Equilibrio del mercado con las expectativas

3 2 3 2 0.5 0.5 max ,1S

p S y E p y

Tomando expectativas

3 2 3 2 0.5 0.5 max ,1 3 2 0.5 0.5 max ,1 E p E a y E p E y E p Es decir, tenemos que resolver la ecuación

3 2 0.5 0.5 max ,1 E p E p Otra forma de hacerlo sería resolver la ecuación

0.5 0.5 max 3 2 ,1

p

S E Sy

La solución requiere utilizar Monte Carlo y métodos iterativos de punto fijo

% generamos 1000 valores de y N(1,0.1)y=1+sqrt(0.1)*randn(1,1000);

S=[];S(1)=1;

for i=1:100

S(i+1)=0.5+0.5*mean(max(3-2*S(i)*y , 1));

if abs(S(i+1)-S(i))


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36

Alternativamente, partiendo de la ecuación 3 2 0.5 0.5 max ,1 E p E p , lasolución también podría obtenerse de la forma

% generamos 1000 valores de y N(1,0.1)

y=1+sqrt(0.1)*randn(1,1000);

S=1;for i=1:100

S_old=S;

p=3-2*S*y;

S=0.5+0.5*mean(max(p,1));

if abs(S-S_old)0.0001S(i+1)=0.5+0.5*mean(max(3-2*S(i)*y,1)); dif=abs(S(i+1)-S(i)); i=i+1; end disp(S);


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37

TRABAJO EN GRUPO: MÉTODO DE LA BISECCIÓN PARA ENCONTRAR LASRAÍCES DE UNA ECUACIÓN.

Sea una ecuación no lineal de la forma f(x) = 0 y supongamos que se conocen dos puntos a y bdel dominio en el que está definida f(x) tales que: a < b y que en ellos f(a) tiene signo contrarioa f(b), es decir que f(a) f(b) < 0.Supongamos que f(a) y f(b) son no nulos pues si alguno de ellos fuese nulo ya se tendría unasolución de la ecuación. En estas condiciones si f(x) es una función continua en [a, b], poraplicación del teorema de los valores intermedios, existirá al menos un punto x∗ de esteintervalo en el que f(x) se anule3.

Una primera aproximación de este punto x∗ puede ser el punto medio:x1 =(a + b)/2

Si f(x1) = 0 ya se tendría calculada una raíz. Supongamos 1 0 f x Si f(a) f(x1) < 0 se podrá afirmar que en el intervalo [a, x1] habrá una raíz.Si f(a) f(x1) > 0 se verificará que f(x1) f(b) < 0 por lo que habrá, al menos una raíz, en elintervalo [x1, b].Se habrá definido así un nuevo intervalo [a1, b1] en que encerrará la raíz y en el que puedeaplicarse nuevamente el proceso anterior.En general, partiendo de un intervalo [aj , bj ] en el que f(aj) ·f(bj) < 0 se procede

de la siguiente forma:

1. Se obtiene el punto medio del intervalo: xj+1 = aj+bj2. Si f(xj+1) = 0 se habrá obtenido una solución de la ecuación: el punto xj+1 y se detiene el

proceso. En caso contrario:a) Si f(aj) f(xj+1) < 0 se denotará por: aj+1 = aj y por bj+1 = xj+1.

b) Si f(aj) · f(xj+1) > 0 se denotará por: aj+1 = xj+1 y por bj+1 = bj .3. Una vez obtenido el nuevo intervalo [aj+1, bj+1], se repite el proceso anterior.

3 El que exista”al menos” un punto en el que se anule f(x) no quiere decir que solo haya uno. Contando cada raíz de f(x) tantas

veces como sea su multiplicidad, si f(a) f(b) < 0, habrá en general un número impar de raíces de f(x) en el intervalo [a, b]. Y si f(a)f(b) fuese positivo o no hay ninguna raíz o habrá un número par de ellas.

http://www.google.es/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwiqxO3o5rDKAhWCOxQKHZrsCHoQjRwIBw&url=http://portales.puj.edu.co/objetosdeaprendizaje/Online/OA10/capitulo5/5.htm&psig=AFQjCNG6ypO1hO8Blax_GhCYqUouG6Q5pw&ust=1453118498737556http://www.google.es/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwjx-4as57DKAhUFUBQKHZ6OAPkQjRwIBw&url=http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/medellin/3007742/unidad_6/html/contenido_02.html&psig=AFQjCNFzKk6k8kShplx0geXql9di8iAX7g&ust=1453118755051522


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38

function raiz= biseccion ( fun , a , b , tol )% Resolución de la ecuación fun(x)=0 mediante el algoritmo de bisección.% Argumentos:% fun: es la función cuya raíz se desea calcular (debería definirse% previamente como anónima.% a: Extremo inferior del intervalo inicial% b: Extremo superior del intervalo inicial% tol: tolerancia; si |b-a| b % Se comprueba que aa se permutan sus valores.a= b ;

b=aa ;end %ifxm=(a+ b ) / 2 ;if fun ( a ) *fun ( b )>0 % Comprueba que el signo difiere% en los extremos del intervalodisp ( 'ERROR:Debe introducir otro intervalo' )

elseif abs ( ba )tol )if fun ( xm ) *fun ( b )


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39

TRABAJO EN GRUPO EN GRUPO: DUOPOLIO DE COURNOT (1838) CONDEMANDA LINEAL

Supongamos dos empresas que producen un bien idéntico, o bienes que son sustitutivos

perfectos, en cantidades 1q y 2q . Cada una de ellas utilizará como estrategia la cantidad iq que

produce. La oferta del mercado será 21 qqq , mientras que la función de demanda inversa

es 21 qq M p . Hemos supuesto que no hay costes fijos y que los costes marginales son

constantes e iguales M c .

Los beneficios de cada empresa serán

121111211 )()(),( qqqc M qc pcq pqqq B

221222212 )()(),( qqqc M qc pcq pqqq B

Curva de reacción de I ( respuesta óptima de la empresa I ante la elección de 2q de II):

11 1 2( , )

q Max B q q : 1

1 2

1

2 0 B

M c q qq

,

2)( 2211

qc M q Rq

Curva de reacción de II ( respuesta óptima de la empresa II ante la elección de 1q de I):

22 1 2( , )

q Max B q q : 2

2 1

2

2 0 B

M c q qq

,

2)( 1122

qc M q Rq

.

El equilibrio de Nash se da donde se cortan las curvas de reacción )( 211 q Rq y )( 122 q Rq .

21

1 2 * *

1 2

1 1 22

22

2 3

2

M c qq

q q M c M cq q

M c q q q M cq

El equilibrio de Nash será3

*

2

*

1

c M qq

.

El precio de equilibrio del mercado será* 2 2( )

3 3

Cournot

M c p M M c

.

El beneficio de cada empresa es

2

*

2

*

12

*

2

*

113

),(),(

c M qq Bqq B .

EjemploConsideremos un duopolio de Cournot donde la función de demanda inversa es

1/1/

1 2 p q q q

Y donde las dos empresas se enfrentan a unas funciones de costes

21

, 1, 22

i i i iC q c q i

Los beneficios de las empresas serán entonces


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40

1/ 2

1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1

1/ 2

2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2

, 1/ 2

, 1/ 2

B q q p q C q q q q c q

B q q p q C q q q q c q

El equilibrio de Nash se obtendrá entonces resolviendo el sistema de ecuaciones

11 2 1 1 1

1 1

21 2 2 2 2

2 2

, ' 0

, ' 0

B dp

q q p q C qq dq

B dpq q p q C q

q dq

Así, los outputs 1q y 2q de ambas empresas que producen equilibrio en el mercado son las

raíces del sistema de dos ecuaciones no lineales

1/ 1/ 1

1 1 2 1 2 1 2 1 1 1

1/ 1/ 1

2 1 2 1 2 1 2 2 2 2

, 1/ 0

, 1/ 0

f q q q q q q q c q

f q q q q q q q c q

Un atajo: el juego es simétrico y1 2

c c . En ese caso1 2

q q y el equilibrio de Nash puede

hallarse con un Newton-Raphson univariante resolviendo la ecuación

1/ 1/ 1

2 1 / 2 0q q q cq

Supongamos que1 2

1.6 , 0.6 , 0.8c c . Para hallar el EN debemos aplicar un Newton-

Raphson multivariante.

Previamente, a partir de la función cournot.m obtenemos la función

1 1 2 2 1 2, , , f f q q f q q y su Jacobiano:1 1 1 2

2 1 2 2

/ /'

/ /

f x f x f

f x f x

.

function [fval,fjac]=cournot(q)

% q es un vector columna

c=[0.6;0.8]; eta=1.6; e=-1/eta;

fval=sum(q)^e+e*sum(q)^(e-1)*q-diag(c)*q;

fjac=e*sum(q)^(e-1)*ones(2,2)+e*sum(q)^(e- 1)*eye(2)…

+(e-1)*e*sum(q)^(e-2)*q*[1 1]-diag(c); % matriz Jacobiana

Tomando como valor inicial 1 2 0.2q q , podemos ejecutar el programa

Newton_Raphson_cournot.m:

%Algoritmo de Newton-Raphson bivariante q=[]; q=[0.2,0.2]'; %valor inicial for i=1:10

[fval,fjac]=cournot(q); q=q-inv(fjac)*fval; if norm(inv(fjac)*fval)


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41

Repetir el problema con fsolve.

TRABAJO EN GRUPO EN GRUPO: MÉTODOS QUASI-NEWTONSse remplaza la matriz Jacobiana por una aproximación que es más fácil de computar. En el

caso univariante se trata de sustituir la tangente por la secante de modo que la derivada seaproxima por la pendiente de la secante en las dos iteraciones previas:

1

1

( ) ( )'( ) i ii

i i

f x f x f x

x x

De esta forma, el algoritmo de Newton-Raphson

)('

)(1

i

i

ii

x f

x f x x se transforma en

11

1

( )( ) ( )

i ii i i

i i

x x x x f x

f x f x

% Demanda inversa por Quasi-Newtonq=@(p) 0.5*p.^(-0.2)+0.5*p.^(-0.5)-2


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42

p=[]; p(1)=0.9;p(2)=0.1; %h=0.000001; %for i=1:10for i=2:10

%deriv_q=(q(p(i)+h)-q(p(i)))/h;

%p(i+1)=p(i)-q(p(i))/deriv_q;

secante=(q(p(i))-q(p(i-1)))/(p(i)-p(i-1));p(i+1)=p(i)-q(p(i))/secante;

endp

En el caso multivariante es muy popular el algoritmo de Broyden en el que1

1 '( ) ( )k k k k x x f x f x

se convierte en

1

1 ( )k k k k x x A f x

Donde k A es una aproximación de la matriz Jacobiana.

La Toolbox CompEcon incluye una rutina llamada broyden.m que permite esta aproximación.

Tomando como valor inicial 1 2 0.2q q , podemos aplicar la función broyden.m:

>> q=broyden(‘cournot’,[0.2;0.2]);

Obtendríamos unas cantidades de equilibrio 1 0.8396q y2 0.6888q con una tolerancia por

defecto de 81.5 10 x . Observar que la función cournot.m que ahora necesitamos no requiere la

matriz Jacobiana.

Repetir el problema con fsolve.

TRABAJO EN GRUPO EN GRUPO: CUADRATURA GAUSSIANA

Dada una función de pesos w x definida en un intervalo de la recta real I R y un

determinado orden de aproximación n, los nodos de cuadratura 1 2, ,..., n x x x y los pesos de

cuadratura 1 2, , ..., nw w w son elegidos de modo que se satisfagan la coincidencia de los 2nmomentos:

1

, 0,1, ...., 2 1n

k k

i i I

i

x w x dx w x k n

Como una función puede ser aproximada por un polinomio, la aproximación de una integral se

realiza entonces formando una suma ponderada con los pesos prescritos en los nodos descritos

anteriormente:

1

n

i i I

i

f x w x dx w f x

Por construcción una cuadratura Gaussiana es exacta de orden 2n-1, lo que significa que salvoerror de redondeo, calculará exactamente la integral de un polinomio de orden 2n-1 o menor,


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43

con respecto a las funciones de peso. De este modo, si la función f(x) puede ser aproximada por

un polinomio, la cuadratura Gaussiana proporcionará una aproximación adecuada a la integral.

Cuando 1w x dicha cuadratura se llama de Gauss-Legendre y aproxima el área bajo la

curva.

Cuando w x es la función de densidad de probabilidad de alguna variable aleatoria continuaX, la curvatura Gaussiana tiene una interpretación directa pues discretiza la variable continua

X reemplazándola por una variable discreta con masa en los puntos i x y probabilidades

iw que aproximan X en el sentido que ambas variables tienen los mismos momentos hasta

el orden menor que 2n:

1

, 0,1, ...., 2 1n

k k

i i

i

w x E X k n

Dado los puntos de masa y las probabilidades de la aproximación discreta, la esperanza de

cualquier función de la variable continua X puede ser aproximada usando la esperanza de la

función aproximante discreta, lo que requiere tan solo la aproximación de una suma ponderada:

1

n

i i I

i

E f X f x w x dx w f x

Por ejemplo, la aproximación de tres puntos a la distribución normal standard univariante Z está

caracterizada por la condición de que los momentos del 0 al 5 coinciden con los de la normal

standard:0 1 2 3 4 51, 0 , 1 , 0 , 3 , 0 E Z E Z E Z E Z E Z E Z

Es fácil verificar que estas condiciones se satisfacen por la variable aleatoria

1 2 33 , 0 , 3 x x x y con probabilidades asociadas 1 2 31/ 6 , 2 / 3 , 1/ 6 x x x

Solución al problema de ayudas gubernamentales mediante cuadratura Gausiana

Lo primero que debe hacerse es aproximar la distribución normal original 1,0.1 y N por

una distribución discreta 1,..., n y y con pesos 1,..., nw w , que tenga iguales los momentos de

orden bajo. Esto se consigue con la rutina qnwnorm.m de la librería CompEcon de MATLAB.

[y,w]=qnwnorm(10,1,0.1);

De aquí se obtienen tanto la distribución discreta de 10 puntos 1 10,..., y y como los 10 pesos

1 10,...,w w para aproximar 1,0.1 y N .

Después ejecutaremos el siguiente programa

S=1;

for i=1:100

S_old=S;

p=3-2*S*y; % y=y1,…,y10

f=w’*max(p,1); % w= w1,…,w10 permite la aproximación de E[max(p,1)]

S=0.5+0.5*f;

if abs(S-S_old)


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44

disp(S); disp(w’*p); disp(f);

El equilibrio de expectativas racionales computado por el programa será:

S=1.1; E[p]=0.81; E[max(p,1)]=1.19


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45

TRABAJO EN GRUPO: MÉTODO ACEPTACIÓN-RECHAZOFue introducido por Von Neumann en 1951 y puede aplicarse al caso multivariante.

Se basa en generar muestras de una distribución objetivo a base de generar primero candidatos a

partir de otra distribución más conveniente y rechazar aleatoriamente un subconjunto de los

candidatos generados.

Supongamos que queremos generar muestras de una función de densidad f definida en unconjunto d Z R . Sea g otra función de densidad en Z de la que es fácil generar muestras y que

tiene la propiedad , f x cg x x Z , para alguna constante c.

En el método de aceptación- rechazo se genera una muestra X a partir de g y se acepta con probabilidad f(X)/cg(X); esto puede implementarse muestreando una variable uniforme U sobre

(0,1) y aceptando X si /U f X cg X . Si X se rechaza se vuelve a muestrear otro

candidato a partir de g y se le vuelve a aplicar el test de aceptación:

1. Generar X a partir de la distribución g

2. Generar U a partir de una Unif[0,1]

3.

Si /U f X cg X añadir X a la muestra de f

4. En otro caso volver al paso 1

De forma más intuitiva, si X resulta poco verosímil como muestra de f , / f X cg X será

pequeño luego será poco probable que /U f X cg X ; así aceptaremos con una

probabilidad baja (de / f X cg X ) que X sea una muestra de f .

Ejercicio: empleando el método de aceptación rechazo generar una normal a partir de unadoble exponencial (Glasserman, página 60).

La función de densidad exponencial x p x e , donde 0 x , tiene como distribución

0

0

1

x x x

x x x xF x e dx e dx e e

Así, será posible obtener muestras de una distribución exponencial transformando la variable

uniforme U mediante la función 1 1( ) ln(1 ) y F U U .

Es posible generar muestras de una normal 2 /21

2

x f x e

a partir de una doble

exponencial 1

2

xg x e

. Teniendo en cuenta que21 1

2 2

x x , resulta fácil encontrar una

cota superior al cociente / f x g x :

21 1

2 22 2 2

1.3155 x x f x e

e e cg x

Así, la densidad normal está dominada por un múltiplo de la doble exponencial como muestra la

figura


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46

Las muestras positivas de g(x) pueden ser generadas a partir de una uniforme de la forma1( ) ln(1 ) y F U U

El algoritmo para generar una normal es el siguiente:

1. Generar tres variables uniformes 1 2 3, ,U U U

2. Generar una variable exponencial positiva 1ln(1 ) X U

3. Si21

1/22

2

x x

U e

volver al paso 1

4. Si 3 0.5U hacer X X (para darle a veces signo negativo)

% Genera muestras de una normal por el método de Aceptacion-Rechazo % a partir de una doble exponencial XX=[]; while size(XX)


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47

MATLAB tiene la función gamma:

gamma(4)=3!=6

gamma(4.5)= 11.6317

Ejercicio: obtener estos valores aproximando numéricamente el valor de al integral

1

0

xe x dx

Haciendo variar los valores de los parámetros1 2

0 , R obtenemos una distribución de

soporte acotado con muy diversas formas.

Ejercicio: dibujar las funciones de densidad beta para los siguientes conjuntos de parámetros:

1 0.5 0.5 1 1 1 2 2 2 2 3 3

2 0.5 1 0.5 1 3 5 1 2 3 2 3

Generación de muestras de la distribución beta por el método de aceptación-rechazo

Si1 2, 1 la densidad beta es unimodal y alcanza su máximo en 1 1 21 / 2 . Si

c es el valor de la densidad en este punto, , f x c x ; entonces podemos elegir una

densidad uniforme 1, 0 1g x x (que es la beta para 1 2 1 ). El método de

aceptación-rechazo se convierte en:

1. Generar 1U y 2U Unif[0,1]

2. Si 2 1cU f U almacenar 1U

3. En caso contrario volver al paso 1

La figura ilustra el procedimiento para1 2

3, 2 .

TRABAJO EN GRUPO EN GRUPO: MOMENTOS DE LA DISTRIBUCIÓN BETAPOR EL MÉTODO DE IMPORTANCE SAMPLING

A la hora de evaluar E f f z p z dz es posible utilizar una distribución alternativaq(z) de la cual sea fácil extraer muestras tal como ilustra la siguiente figura:


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48

En tal caso podemos expresar la esperanza en forma de una suma finita sobre muestras l z extraídas a partir de q(z):

1

1l

Ll

ll

p z p z E f f z p z dz f z q z dz f z

q z L q z

Las cantidades

l

l l

p zr

q z son conocidas como pesos de importancia y corrigen el sesgo

introducido por efectuar un muestre a partir de una distribución equivocada.

Ejercicio: calcular 2 E X cuando la variable X tiene una distribución beta con

1 22 ; 1 . Para ello aplicar un método de muestreo por importancia extrayendo 10.000

muestras por medio de una distribución uniforme. Repetir el ejercicio extrayendo muestras a

partir de una distribución normal.

TRABAJO EN GRUPO: TÉCNICAS DE REDUCCIÓN DE LA VARIANZAVariables antitéticasEsta técnica se utiliza para reducir la varianza del estimador de la media.En la mayoría de las simulaciones, los experimentos tienen por objetivo obtener valores mediosde los resultados que se muestrean (de sus distribuciones).El método utilizado es el de realizar varias replicaciones independientes.Cuanto mayor sea la varianza obtenida, mayor debe ser la cantidad de replicaciones a realizar.

Si tenemos N replicaciones1 2, , ...,

N X X X de una variable X su media E[X] se estima mediante

el estimador insesgado

1

1 N

i

i

X X

N

. La precisión de esta estimación se obtiene mediante

21 , 1,

12 ,

N N

i i j

i i j i j

Var X Var X Cov X X N

Si las variables son independientes se tiene 21

1 N

i

i

Var X Var X N

Una forma sencilla para reducir la varianza en la estimación de E[X] consiste en hacer quecada variable con índice par esté negativamente correlada con la variable de índicesiguiente (siendo independientes de las demás). La forma más sencilla de conseguir esto cuando

se utiliza el método de inversión para simular las i X consiste en tomar un valor 0,1U U


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49

para simular 2 1i X y el valor 1 0,1U U para simular 2i X , su variable antitética, para

1,2,..., / 2i N , si N es par.

En el caso particular de simulación de una trayectoria de una variable independiente condistribución normal estándar, la variable antitética puede ser implementada haciendo pares entreZ1;Z2; : : : iid N(0,1) y -Z1;-Z2; : : : de variables iid N(0,1).

Veamos que el procedimiento de simulación con variables antitéticas es insesgado y devarianza mínima.Sean

iY y iY variables antitéticas, muestradas a partir de Y que tienen la misma distribución

pero que no son independientes. El estimador antitético ˆ AN Y de E[Y] se define como

1 1

1ˆ

2

N N

AN i i

i i

Y Y Y N

Resulta inmediato comprobar que el estimador antitético ˆ AN Y es insesgado: ˆ AN E Y E Y .

También es inmediato ver que ˆ AN Y es eficiente (tiene varianza mínima):

21 1 , 1,

2 2 21 1 1 1

1ˆ ,

4

1 1

4 4 4 4

N N N

AN i i i i

i i i j i j

N N N N i i

i i i i

i i i i

Var Y Var Y Var Y Cov Y Y N

NVar Y Var Y Var Y Var Y Var Y Var Y

N N N N

Por tanto, dicha varianza es inferior a la del estimador de Monte Carlo para una muestra de 2Nobservaciones independientes

2

1

2 2

N

iii

Var Y Var Y Var

N N

TRABAJO EN GRUPO: MERCADO CON AYUDAS GUBERNAMENTALES YDISTRIBUCIÓN BERNOUILLI Y LOGNORMAL

(Miranda Fackler página 5)

En el mercado de productos agrícolas con expectativas racionales considerado la superficiecultivada venía dada por la expresión

0.5 0.5a E p

En el modelo que se había considerado, después de haber plantado, la cantidad de cosecha

efectivamente obtenida depende de la cantidad plantada a través de un rendimiento aleatorio

1,0.1 y N , de modo que la cantidad ofertada es otra variable aleatoria

q a y

Supongamos ahora que el rendimiento y tiene una distribución de dos puntos en los cuales los

rendimientos de 0.7 y 1.3 son igualmente probables.

a)

Calcular la esperanza y la varianza del precio sin pagos de soporte gubernamental.


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50

b) Calcular la esperanza y la varianza del precio efectivo del productor suponiendo un

soporte gubernamental de precio 1.

c) ¿Cuál es el subsidio esperado del gobierno por acre plantado?

Ejercicio (Miranda Fackler página 111)

Un gobierno estabiliza la oferta y la demanda de una mercancía a S=2 pero permite que el precio esté determinado por el mercado. La demanda doméstica y de exportación está dada por

1 0.5

1 2, D P X P

Donde 1 2log , log están normalmente distribuidas con media 0 y varianzas 0.02 y 0.01

respectivamente y covarianza 0.01.

a) Calcular el precio esperado E(p) y la varianza ex ante del precio Var(p) usando una

discretización Gaussiana de 100 nodos para los shocks de demanda.

b) Calcular el precio esperado E(p) y la varianza ex ante del precio Var(p) usando un

esquema de integración de Monte Carlo con 1000 replicaciones.

Ejercicio (Miranda Fackler página 111)

Consideremos un mercado agrícola con granjeros que reciben un pago gubernamental p p

por unidad de output siempre que el precio del mercado caiga por debajo de un precio objetivo

anunciado p . En este mercado los productores basan sus decisiones de plantación en sus

expectativas sobre el precio de producción efectivo max , f p p ; de manera específica, el

terreno plantado está dado por

0.5

1a Ef

La producción q es igual al terreno plantado a multiplicado por un rendimiento aleatorio y ,

desconocido en el momento en que se planta

q ay

Y la cantidad demandada al recoger la cosecha está dada por0.2 0.5

q p p

Supongamos que en el momento de plantar, log y está normalmente distribuido con media 0

y varianza 0.03. Para 0 , 1 , 2 p p p , calcular

a) El subsidio esperado E q f p

b) El precio de producción esperado ex ante E f

c) La varianza ex ante del precio de producción Var f

d) La ganancia ex ante esperada de los productores E fq

e)

La varianza ex ante de la ganancia esperada Var fq

TRABAJO EN GRUPO: CÓMPUTO DE UNA ESTIMACIÓN MÁXIMO VEROSÍMIL

Ejemplo 1: Muestreo en una distribución gamma (DeGroot página 332)

Consideremos que las variables 1,..., n X X constituyen una muestra aleatoria de una

distribución gamma cuya función de densidad es


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51

11/ 0 x f x x e x

donde 1

0

x x e dx

Estimar por máxima verosimilitud el valor de para una muestra dada.

Ejemplo 2: Muestreo en una distribución de Cauchy (DeGroot página 332)Consideremos que las variables

1,...,

n X X constituyen una muestra aleatoria de una

distribución de Cauchy cuya función de densidad es

2

1/

1 f x x

x


Ejemplo 3: Muestreo en una distribución de logística (McCabe y Tremayne página 121)


distribución logística cuya función de distribución es

2

exp/

1 exp

xF x x

x


Ejemplo 4: (McCabe y Tremayne página 138)


distribución normal con media y varianza 4

22

2

11

22

2

1 1/ ,

2 2

x x

f x e e x



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52

TRABAJO EN GRUPO: BOOTSTRAPPINGEl bootstrapping (o bootstrap) es un método de remuestreo propuesto por Bradley Efron en1979. Se utiliza para aproximar la distribución en el muestreo de un estadístico. Se usafrecuentemente para aproximar el sesgo o la varianza de un análisis estadístico, así como paraconstruir intervalos de confianza o realizar contrastes de hipótesis sobre parámetros de interés.En la mayor parte de los casos no pueden obtenerse expresiones cerradas para lasaproximaciones bootstrap y por lo tanto es necesario obtener remuestras en un ordenador para

poner a prueba el método. La enorme potencia de cálculo de los ordenadores actuales facilitaconsiderablemente la aplicabilidad de este método tan costoso computacionalmente.Bootstrapping es un método estadístico para la estimación de la distribución de muestreo de unestimador mediante el muestreo con reemplazamiento de la muestra original, lo más a menudocon el propósito de derivar estimaciones robustas de errores estándar y los intervalos deconfianza de un parámetro de la población como una media, mediana, proporción,

probabilidades relación, coeficiente de correlación o coeficiente de regresión. También puedeser utilizado para la construcción de las pruebas de hipótesis. A menudo se utiliza como unaalternativa sólida a la inferencia basada en supuestos paramétricos cuando esos supuestos estánen duda, o cuando la inferencia paramétrica es imposible o requiere fórmulas muy complicadas

para el cálculo de errores estándar.La verdadera estimación Monte Carlo requiere un conocimiento total de la población, pero porsupuesto esta no está generalmente disponible. Típicamente, tenemos solo una muestra extraídade esa población. La idea básica del bootstrap es tratar la muestra como si fuera lapoblación, y aplicar el muestreo Monte Carlo para generar una estimación empírica de ladistribución muestral del estadístico. Esto se hace extrayendo un gran número de"remuestras" de tamaño n de la muestra original aleatoriamente y con reposición.

El bootstrap permite resolver problemas relacionados con Valorar el sesgo y el error muestral de un estadístico calculado a partir de una

muestra. Establecer un intervalo de confianza para un parámetro estimado.

Realizar una prueba de hipótesis respecto a uno o más parámetros poblacionales.

Consideremos una muestra aleatoria n x x x X ,....,, 21 generada por una distribución de probabilidad desconocida F. Supongamos que deseamos estimar un parámetro zeta deinterés )(F t de la población sobre la base de la muestra X.

Los valores correspondientes a la muestra nos permiten obtener la distribución

empírica ˆnF de F

1

1ˆ

n

n i

i

F x x x

n

, donde 1 0

0 0

x x

x

Así, nnF x es el número elementos de la muestra menor o iguales que x.

Si 1 2

, ,..., Xn

X X son los estadísticos de orden para la muestra la función de distribución

empírica también puede escribirse como

1

1

1

0

ˆ /

1

n k k

si x X

F x k n si X x X

si x X

ˆnF constituye la estimación no paramétrica de máxima verosimilitud de la función de

distribución F. En apoyo de esta estimación, podemos referirnos al Teorema de Glivenko-

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Cantelli, que establece una convergencia casi segura, cuando n entre las distribuciones F

y nF .

Ejercicio

Construir, en código MATLAB, la función de distribución empírica ˆnF ; para ello construir

previamente la función x .

Sea una estimación )(ˆ X s del parámetro poblacional estimada a partir de X. ¿Cuál

es la precisión de ̂ ? El bootstrap es un método computacional para estimar el error

standard de ̂.

Sea F ˆ la distribución empírica que da probabilidad 1/n a cada una de las observaciones

ni xi ,...,1, . Una muestra bootstrap se define como una muestra aleatoria de tamaño n

obtenida a partir de F ˆ :

* * * *1 2ˆ , ,...., nF X x x x

Se dice que * X es una versión remuestreada o randomizada de 1 2, ,...., n X x x x y las

observaciones **2*

1 ,....,, n x x x son una muestra aleatoria de tamaño n extraída con

reemplazamiento a partir de la muestra de n elementos 1 2, ,...., n x x x .

Ejercicio

Construir, mediante MATLAB, un generador de aleatorio de número enteros entre 1 y n que

sirva de base para hacer extracciones con reemplazamiento de la muestra inicial

n x x x X ,....,, 21 .

Correspondiendo a una muestra bootstrap * X hay replicación bootstrap de ̂,

)(ˆ ** X s .

La cantidad )( * X s es el resultado de aplicar la misma función )(s a * X que fue aplicada a X.

Por ejemplo, si )( X s es la media mue

Economía Dinámica y Computacional - Temario Completo 2016

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