ECA-MC-P20-G01 Calculo de la incertidumbre V01

Código N:ECA-MC-P20-G01

Páginas:1 de 41GUÍA PARA EL CÁLCULO DE LA

INCERTIDUMBRE Fecha emisión:21.10.2004

Versión:01

Elaborado por: Revisado por: Aprobado por: Fecha de entrada en vigencia:

Comité Ad hocPoltícia de Trazabilidad e

Incertidumbre

Maritza MadrizGerente

Acuerdo No. 8, Acta 008, Sesión008, octubre 21 2004, Junta

Directiva

04.11.2005

TABLA DE CONTENIDO

1. INTRODUCCIÓN ...........................................................................................................................12. PROPÓSITO Y ALCANCE...........................................................................................................23. DEFINICIONES Y CONCEPTOS GENERALES ......................................................................34. ETAPAS PARA LA EVALUACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE ...............................................45. EL MODELO FÍSICO Y MODELO MATEMÁTICO ...................................................................56. IDENTIFICACIÓN DE LAS FUENTES DE INCERTIDUMBRE ...............................................77. CUANTIFICACIÓN DE LAS FUENTES DE INCERTIDUMBRE...........................................87.1 Evaluación Tipo A de la incertidumbre estándar ..................................................................107.2 Evaluación tipo B de la incertidumbre estándar .................................................................148. REDUCCIÓN (NORMALIZACIÓN) ...........................................................................................159. INCERTIDUMBRE ESTÁNDAR COMBINADA (COMBINACIÓN) .......................................1810. INCERTIDUMBRE EXPANDIDA ...........................................................................................2211. EXPRESIÓN DEL RESULTADO DE LA INCERTIDUMBRE .............................................2312. REFERENCIAS ........................................................................................................................2413. ANEXOS ......................................................................................................................................2513.1 Anexo N° 1.................................................................................................................................2513.2 Anexo 2 ......................................................................................................................................26

1. INTRODUCCIÓN

Durante los últimos años la labor realizada en Costa Rica en el campo de la acreditación,inicialmente aplicada por el Ente Nacional de Acreditación (ENA) y actualmente por el EnteCostarricense de Acreditación (ECA) ha puesto en evidencia una serie de inconsistencias yde errores muy comunes al realizar la estimación de la incertidumbre de la medición.Adicionalmente, aún muchos laboratorios utilizan otros métodos (diferentes a la GUM) parala estimación de la incertidumbre, los cuales pese a ser técnicamente correctos se apartande la tendencias mundiales y su incorrecta interpretación puede ser el origen dediscrepancias a nivel de evaluación de la conformidad, presentándose gravesconsecuencias en campos comerciales, legales, etc.

Consiente de su responsabilidad en la evaluación de la competencia técnica deLaboratorios de Calibración, Laboratorios de Ensayo y Entes de Inspección, la Comisión deAcreditación conformó en junio del 2003 un comité técnico ad hoc para la elaboración de lapresente guía. En el comité estaban representados los diferentes sectores involucradosen el tema de la estimación de la incertidumbre, esto es: El Laboratorio Costarricense deMetrología (LACOMET), laboratorios de ensayo, laboratorios de calibración, evaluadoresdel ECA, empresas consultoras en el campo de la metrología y representantes del ECA,por lo que el fruto de este documento incluye aportes e inquietudes de todos los sectoresinvolucrados en el proceso de acreditación en Costa Rica.




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El Comité Técnico Ad hoc, fue conformado de la siguiente manera:

- Licenciado Edgar Sánchez Molina, Representante de Laboratorios con alcancesacreditados, Miembro de la Junta Directiva ECA, representante sector privado.

- Licenciada Sandra Rodríguez Zúñiga, Jefe del Departamento de Metrología Física,Laboratorio Costarricense de Metrología, LACOMET.

- Ingeniera Beatriz Paniagua Valverde, Secretaría de Acreditación de Laboratorios,ECA.

- Licenciado Eric Romero Blanco, miembro Comité Asesor de Laboratorios,Representante del sector académico.

- Ingeniero Alberto Juan Díaz Tey, Experto.- Licenciado Oscar Miguel Martínez Murillo, Miembro del Comité Asesor de

Laboratorios, Laboratorio Costarricense de Metrología, LACOMET.

Esta Guía tiene por objetivo mostrar el proceso de estimación de la incertidumbre en unlenguaje sencillo, pero matemática, metrológica y técnicamente apegado a lo establecidoen la Guía ISO/BIPM para la expresión de la incertidumbre en las mediciones (conocidamundialmente como GUM). Esta Guía es principalmente una recopilación de diferentesdocumentos que han sido establecidos con base en la Guía ISO/BIPM para la expresión dela incertidumbre en las mediciones y de la experiencia de los miembros del comité le handado origen. Todos documentos utilizados para su elaboración son declarados en lasreferencias de esta guía, respetándose la propiedad intelectual y derechos de autor.

Para situaciones muy complejas, el ECA establecerá políticas específicas para suinterpretación y aplicación en las evaluaciones realizadas a los Laboratorios del SistemaNacional de la Calidad. El caso particular de la estimación de la incertidumbre de lamedición en el campo microbiológico y de química clínica es desarrollado por otro comitédel ECA.

Esta guía es aplicable a laboratorio de Ensayo, Laboratorios de Calibración y Entes deInspección los cuales necesariamente realizan en diferentes procesos mediciones, adiferentes niveles de exactitud e incertidumbre y cuyos resultados no pueden seconsiderados completos hasta tanto no haya sido estimado y declarado un valor deincertidumbre.

2. PROPÓSITO Y ALCANCE

Esta guía establece los lineamientos para a aplicación de la estimación de la incertidumbrede la medición de acuerdo con la GUM [1], aclarando algunos puntos de difícilinterpretación en dicha referencia. Esta guía puede ser utilizada por todas aquellasorganizaciones en las que la estimación de la incertidumbre debe ser incluida para lacorrecta interpretación de los resultados, incluyendo laboratorios de calibración,laboratorios de ensayo, entes de inspección y usuarios de equipos de medición en general.




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3. DEFINICIONES Y CONCEPTOS GENERALES

Incertidumbre de la medición: La incertidumbre de medición es un parámetro, asociadoal resultado de una medición, que caracteriza la dispersión de los valores que puedenatribuirse razonablemente al mensurando [Ref. 1].

Mensurando: Los mensurandos son las magnitudes particulares objeto de una medición.Un mensurando puede ser medido directamente (por ejemplo la medición de latemperatura de un cuerpo con un termómetro) o bien en forma indirecta a partir de otrasmagnitudes de entrada que se relacionan con él a través de un modelo matemático orelación funcional (por ejemplo la medición de la densidad a partir de mediciones de masay volumen utilizando el modelo matemático densidad = masa / volumen).

La relación entre el mensurando Y (o magnitud de salida) que depende de una serie demagnitudes de entrada Xi (i =1, 2, ..., N), se puede expresar en forma general como:

Y f X X Xn 1 2, , .. . , (1)

La función modelo f representa el procedimiento de medición y el método de evaluación,describe cómo se obtienen los valores de la magnitud de salida Y a partir de los valores delas magnitudes de entrada Xi . En la mayoría de los casos, la función modelo correspondea una sola expresión analítica, pero en otros casos se necesitan varias expresiones deeste tipo que incluyan correcciones y factores de corrección de los efectos sistemáticos, encuyo caso existe una relación más complicada que no se expresa explícitamente como unafunción. Es más, f puede determinarse experimentalmente, existir sólo como un algoritmode cálculo que deba ser numéricamente evaluado, o ser una combinación de todo ello.

Incertidumbre tipo A: método para evaluar la incertidumbre mediante el análisisestadístico de una serie de observaciones.

La mejor estimación del valor esperado µq de una magnitud q que varia aleatoriamente, yde la cual se han obtenido n mediciones independientes qk bajo condiciones de

repetibilidad es el promedio__

q .

n

kkq

nq

1

1(2)

Los valores obtenidos en una serie de mediciones difieren entre sí debido a efectosaleatorios en todas aquellas magnitudes que le afectan. A partir de esa serie deobservaciones es posible calcular la varianza experimental como:




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n

kkk qq

nqs

1

2___2

11 (3)

La mejor estimación de σσ2 (__

q ) = σσ2/n, la variancia de la media está dada por:

nqs

qs k2___

2

(4)

4. ETAPAS PARA LA EVALUACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE

Para realizar la estimación de la incertidumbre en forma sistemática, es posible utilizar elsiguiente esquema:




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Dependiendo de cada medición puede ocurrir que alguna etapa de estas sea simplificado eincluso eliminada. No obstante, el presente esquema muestra todas las posibilidades alas que se puede enfrentar un usuario al realizar la estimación de la incertidumbre.

5. EL MODELO FÍSICO Y MODELO MATEMÁTICO




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Un modelo físico de la medición consiste en el conjunto de suposiciones sobre el propiomensurando y las variables físicas o químicas relevantes para la medición.

Estas suposiciones usualmente incluyen:

a) relaciones fenomenológicas entre variables,

b) Consideraciones sobre el fenómeno como conservación de las cantidades,comportamiento temporal, comportamiento espacial, simetrías,

c) Consideraciones sobre propiedades de la sustancia como homogeneidad eisotropía.

Una medición física, por simple que sea, tiene asociado un modelo que solo se aproxima alproceso real.

El modelo matemático es una descripción del modelo físico utilizando lenguajematemático. Tal como se ha señalado, el modelo matemático es una aproximación almodelo físico, es decir una descripción imperfecta del fenómeno que se está midiendo,pero que adecuada a propósitos particulares y específicos.

El modelo matemático es normalmente representado como la relación funcional f entre lasvariables medidas Xi (conocidas también como valores de entrada) y el mensurando Y (ovalor de salida), esto es:

Y f X X X n 1 2, , . .. , (5)

Dado que no es posible determinar exactamente el valor de cada variable de entrada Xi, enla realizada únicamente se puede hacer la mejor estimación, por ello, en lenguajematemático es mejor representar el modelo matemático como:

nxxxfy ,....., 21 (6)

Son ejemplos de modelos matemáticos los siguientes:

Ecuación de los gases ideales: PV=nRT

Ecuación para la estimación de la densidad (ρ) de un cuerpo a partir de su masa (m) y de su volumen (V): ρ=m/V




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Ecuación para el cálculo de la presión (P) en función de la Fuerza (F) y la el área(A): P=F/A

Ecuación C2=C1 * V1 / V2

6. IDENTIFICACIÓN DE LAS FUENTES DE INCERTIDUMBRE

El siguiente paso en el proceso de estimación de la incertidumbre es determinar lasfuentes de incertidumbre que afectan al modelo físico, al modelo matemático, a lasvariables influyentes o a los parámetros de entrada.

Entre las fuentes de incertidumbre presentes con mayor frecuencia se encuentran:

La incertidumbre del patrón utilizado en la calibración de un instrumento

La incertidumbre propia de la calibración de los instrumentos utilizado en losensayos

la repetibilidad de las lecturas

la reproducibilidad de las mediciones por cambio de observadores, instrumentos,condiciones de las pruebas, etc.

características del propio instrumento, como resolución, histéresis, deriva, etc.

variaciones de las condiciones ambientales

la definición del propio mensurando

el modelo particular de la medición

variaciones en las magnitudes de influencia.




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7. CUANTIFICACIÓN DE LAS FUENTES DE INCERTIDUMBRE.

Una vez establecido el modelo matemático de la medición, comienza el proceso de

estimación de las magnitudes de salida ( y Y ) y de entrada ( ll Xx ),

transformándose el modelo matemático de las magnitudes físicas invariantes,

representado por la ecuación 7, en el siguiente modelo estadístico:

Ll xxxxfy ,,,,, 21 (7)

donde:

l : contador de las diferentes fuentes de incertidumbres, representadas en términos de sus

correspondientes variables aleatorias lx ( Ll ;;;2;1 )

Cada una de las variables de entrada son medidas o tomadas de alguna referencia, por lo

que deben estar acompañadas por una estimación razonable de su incertidumbre.

Según el método de evaluación utilizado para estimar su valor numérico, la

incertidumbre estándar del resultado de una medición puede agruparse en una de las

siguientes categorías:

a) Tipo A: la incertidumbre estándar se obtiene de una función de densidad de

probabilidad derivada de una distribución de frecuencias observadas, lo que

implica la elaboración estadística de series de mediciones.

b) Tipo B: la incertidumbre estándar se obtiene de una función de densidad de

probabilidad asumida, basada en un grado de confianza de que el evento ocurrirá

(frecuentemente llamado probabilidad subjetiva). La evaluación Tipo B de una

componente de la incertidumbre generalmente se basa en un conjunto de

información confiable.

Propósito de la clasificación del método de evaluación de la incertidumbre de lamedición.

El propósito de la clasificación en Tipo A o Tipo B es facilitar la discusión con respecto a la

evaluación de la incertidumbre de los componentes de la medición: no pretende mostrar si

existe alguna diferencia en la naturaleza de los componentes resultantes de la clasificación




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en Tipo A o Tipo B.

Ambos tipos de clasificaciones de las componentes de la incertidumbre de la medición se

basan:

a) En distribuciones de probabilidades,

b) En el uso de las varianzas y las desviaciones estándares para su cuantificación.

Estas categorías aplicadas a la evaluación de la incertidumbre de los componentes de la

medición no sustituyen a los términos “aleatorio” y “sistemático”.

Consideraciones prácticas.

1. Como el tiempo y los recursos necesarios para la evaluación de la incertidumbre de

la medición mediante métodos estadísticos son escasos en la práctica, la

incertidumbre del resultado de la medición se evalúa generalmente mediante el

desarrollo de un modelo matemático de la medición y la Ley de propagación de la

incertidumbre.

2. El alcance de la modelación matemática de la medición lo definirá la exactitud

requerida por la propia medición.

3. Como el modelo matemático de la medición puede estar incompleto, todas las

magnitudes influyentes deben variarse tanto como la práctica lo permita, de manera

que la evaluación de la incertidumbre esté basada en lo posible, en datos

observados.

4. Siempre que sea posible, el uso de los modelos matemáticos empíricos de la

medición deben basarse en:

Datos obtenidos a largo plazo,

El uso de los patrones de comprobación y las Cartas de Control que indiquen si

una medición está bajo control estadístico,

en experimentos bien diseñados.

5. La incertidumbre estándar asociada a una corrección se desprecia si su contribución

a la incertidumbre del resultado de la medición es insignificante.




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6. Si el valor de la corrección es insignificante con respecto a la incertidumbre del

resultado de la medición, también se desprecia.

7. Los errores groseros en el registro o análisis de datos pueden introducir un error

desconocido significativo en el resultado de una medición. Los errores grandes se

pueden identificar generalmente durante la revisión de los datos, sin embargo, los

pequeños pueden no ser detectados o confundirse con variaciones aleatorias. La

medición de la incertidumbre no considera tales errores.

7.1 Evaluación Tipo A de la incertidumbre estándar

Una incertidumbre estándar de tipo A puede obtenerse por cualquier método estadístico

que ofrezca un estimado válido de la dispersión de los datos.

7.1.1 Primer caso: la magnitud de entrada X se estima a partir de n mediciones

independientes ix bajo condiciones de repetibilidad.

En la mayoría de las mediciones, el mejor estimado disponible de la esperanza X de una

magnitud X que varía aleatoriamente en n observaciones independientes ix

( ni ;;2;1 ) bajo condiciones de repetibilidad, es la media aritmética o promedio x :

n

i

ixn

x

1

1 (8)

La varianza del promedio xs2 es un estimador isesgado de la varianza de la media de las

muestras 2X

, y se determina según la siguiente ecuación:

n

xsxs

22 (9)

donde:

xs2 : varianza experimental de las observaciones. Se determina según la siguiente




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ecuación:

n

i

ixxn

xs

1

221

1 (10)

La desviación estándar del promedio es la raíz cuadrada positiva de la varianza del

promedio:

nxsxs (11)

La desviación estándar experimental del promedio xs es la estadística utilizada para la

cuantificación de la incertidumbre estándar de la medición:

xsXu (12)

donde:

Xu : es llamada incertidumbre estándar de tipo A.

En este simple caso, los grados de libertad de la variable aleatoria continua X , se

determinan a partir de n observaciones independientes según la siguiente ecuación:

1n (13)

Los grados de libertad siempre deben estar disponibles cuando se documentan las

evaluaciones de las componentes de incertidumbre de tipo A.

Si las variaciones aleatorias en las observaciones de una magnitud de entrada están

correlacionadas, por ejemplo, con el tiempo, entonces el promedio (

) y la desviación estándar experimental del promedio) pueden ser estimadores

inapropiados de los estadísticos deseados.

En estos casos, las observaciones no se distribuyen según la distribución normal y deben

analizarse mediante métodos estadísticos especialmente diseñados para el tratamiento de

series de mediciones correlacionadas que varían aleatoriamente.




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Ejemplo: Cálculo de la incertidumbre Tipo A. se realiza la determinación de calcio en

una muestra de agua, mediante 10 mediciones realizadas a una misma muestra bajo

condiciones de repetibilidad. Los resultados encontrados son:

Contenido de calcio en agua (mg/L)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10,25 10,34 10,18 10,29 10,26 10,28 10,22 10,24 10,30 10,20

El valor promedio está dado por:

Lmgx /26,1010

20,1030,1024,1022,1028,1026,1029,1018,1034,1025,10

Para este conjunto de datos la desviación estándar es:

Lmgxxn

xsn

ii /49,0

11

2/1

1

2

y la desviación estándar de la media es:

Lmg

n

xsxs /11,0

10

49,0 ; con 10-1 = 9 grados de libertad.

Si para fines prácticos, a solicitud del cliente o interesado, o bien para fines legales es

necesario expresar la incertidumbre tipo A a un nivel de confianza dado (por ejemplo 95%)

se multiplica la desviación de la media por el correspondiente valor de la t-student (Anexo

1) para n-1 grados de libertad y para el nivel de confianza deseado.

En el presente ejemplo la incertidumbre tipo A, expresada a un nivel de confianza del 95,45

% de confianza y nueve grados de libertad es:

Lmgt

n

xsu nA /26,032,211,0%45,95;1

En este caso el resultado del ensayo es el siguiente:

Contenido de calcio en agua: 10,26 mg/L




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Incertidumbre Tipo A 0,26 mg/L (para 9 grados de libertad y un nivel de confianza de

95,45%).

7.1.2 Segundo caso: Evaluación de la incertidumbre de la medición mediante el

análisis estadístico de los datos obtenidos de un diseño experimental.

Este es el caso, más complejo que el primero, del llamado Análisis de Varianza (ANOVA),

que si bien persigue otros objetivos también permite las evaluaciones Tipo A de las

componentes de la incertidumbre mediante el diseño de secuencias anidadas de

mediciones del mensurando variando los valores de las magnitudes de entrada de las que

depende.

Existen diferentes modelos incluidos bajo el nombre general de ANOVA y son utilizados

exitosamente en muchas situaciones de mediciones encontradas en la práctica, sin

embargo, es poco probable lograr la variación de todas las magnitudes de entrada debido

a las limitaciones en tiempo y recursos por lo que normalmente se evalúan solo algunas

componentes de incertidumbre utilizando estos métodos.

7.1.3 Tercer caso: el ajuste por el método de los mínimos cuadrados de una curva

jXfY a partir de datos experimentales.

La varianza y la incertidumbre estándar de los parámetros que caracterizan la curva y de

cualquier punto predicho, se calculan también mediante los procedimientos estadísticos

asociados a las técnicas ANOVA, perfectamente establecidos en la literatura estadística.

7.1.4 Cuarto caso: la incertidumbre estándar mancomunada o histórica.

En el caso de mediciones que se realicen bajo control estadístico en el cual está

determinada una desviación estándar del comportamiento de las mediciones

mancomunadas o históricas ( ps ), como incertidumbre de la medición realizada podría

utilizarse:

n

sxu p (14)




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donde:

n : es el número de réplicas de mediciones en el caso particular.

La incertidumbre estándar mancomunada tiene una especial importancia en los niveles

más bajos de la cadena de calibración, donde los patrones de referencia constituyen

prácticamente “valores verdaderos” al ser calibrados en Laboratorios Nacionales o

Primarios, de manera que la incertidumbre del resultado de la calibración comprende una

sola componente y es la incertidumbre estándar de tipo A calculada a partir de la

desviación estándar mancomunada del procedimiento de medición ps .

7.2 Evaluación tipo B de la incertidumbre estándar

Para un estimado x de una magnitud X que no se obtuvo a partir del procesamiento de

series de mediciones repetidas, la estimación de la incertidumbre estándar xu se evalúa

a partir del juicio científico basado en la posible variabilidad de X . Este conjunto de

información incluye:

c) Los datos de mediciones previas.

d) La experiencia o conocimiento general del comportamiento y propiedades de los

equipos de medición, incluyendo los materiales de referencia.

e) Las especificaciones del fabricante.

f) Los datos provenientes de la calibración u otras certificaciones.

g) Las incertidumbres asignadas a los datos de referencia en Manuales u otras

fuentes.

Por conveniencia, Xu 2 y Xu evaluadas de esta manera son conocidas como varianza

de tipo B e incertidumbre estándar de tipo B.

El uso adecuado del conjunto de información disponible para una evaluación tipo B de la

incertidumbre de la medición depende de la experiencia y el conocimiento del evaluador,

que se afianzan con la práctica.

Debe reconocerse que una evaluación tipo B de la incertidumbre estándar puede ser tan




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confiable como una de tipo A, sobre todo cuando el número de observaciones es pequeño

(vea la Tabla E.1 GUM).

8. REDUCCIÓN (NORMALIZACIÓN)

La transformación de la incertidumbre de la medición en una incertidumbre estándar, sin

que se asocie necesariamente al concepto probabilístico de intervalo de confianza, es una

etapa fundamental para el posterior proceso de combinación de las diferentes

componentes de incertidumbre mediante la Ley de Propagación de las Incertidumbres.

A continuación se analizan diferentes formas posibles para obtener un estimado de una

incertidumbre estándar de tipo B a partir de la información disponible:

8.1 Primer caso: cuando la incertidumbre del estimado x se da como un múltiplo k de la

desviación estándar:

k

UxuxukU p

p (15)

donde:

pU : incertidumbre expandida para una probabilidad de cobertura igual a P .

k : factor de cobertura. Su valor generalmente se encuentra entre 2 y 3.

8.2 Segundo caso: la incertidumbre del estimado x puede darse para los intervalos de

confianza correspondientes a p = 90, 95 ó 99 % , en vez de un múltiplo k de la desviación

estándar. Aunque no se indique, se asume que se utilizó la Distribución Normal para

calcular el intervalo de confianza, de manera que:

z

Uxu p (16)

donde:




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z : estadística correspondiente a una Distribución Normal ( zk ). Sus valores pueden

obtenerse en la Tabla G.2 GUM

8.3 Tercer caso: si la única información que se posee es que la probabilidad de que la

magnitud de entrada X esté en el rango desde a (límite inferior) hasta a (límite

superior) es del P100 , entonces se asume que:

el mejor estimador x de X es el punto medio del rango:

2

aa

x (17)

la distribución de los posibles valores de X es normal, de manera que su

incertidumbre estándar se calcula según la siguiente ecuación:

za

z

Uxu p (18)

donde:

a : semiancho del rango donde, con un nivel de confianza P100 , se espera que se

encuentre el valor verdadero de X . Se determina según la siguiente ecuación:

2

aa

a (19)

8.4 Cuarto caso: En otros casos solamente es posible estimar las fronteras (los límites

inferior y superior) de X para plantear que “la probabilidad de que el valor de X esté

dentro del rango desde a hasta a para todos los propósitos prácticos es igual a uno y

de que esté afuera de este rango es esencialmente cero”.

Si no hay un conocimiento específico acerca de los posibles valores de X dentro del

rango, se asume que es igualmente probable para X estar en cualquier punto del rango:

estamos en presencia de una distribución rectangular o uniforme de los posibles

valores de X , con las siguientes características:




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Esperanza o valor esperado de X :

2

aa

x (20)

Varianza de X :

12

22 aaxu (21)

Si los límites superior e inferior son simétricos con respecto a x , es decir:

aaa 2

entonces:

3

22 a

xu (22)

La incertidumbre estándar de X es:

3

axu (23)

8.5 Quinto caso: si los límites superior e inferior de la magnitud de entrada no son

simétricos con respecto a su mejor estimador nx , de manera que:

bxa n

bxa n

Como el valor nx no está en el centro del rango, la distribución de probabilidades de X no

tiene que ser uniforme, sin embargo, si no hay suficiente información disponible que

permita seleccionar una distribución adecuada, una simple aproximación es considerar que




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nx sigue una distribución rectangular con ancho ( bb ) e incertidumbre estándar:

1212

bbaaxu (24)

8.6 Sexto caso: Cuando no hay un conocimiento específico acerca de los posibles

valores de X dentro de sus límites estimados a y a , se asume que los valores de X

siguen una distribución uniforme, tal como se planteó en el cuarto y quinto caso.

Sin embargo, la discontinuidad de la función paso en una distribución de probabilidad es

irreal, no representa fenómeno físico alguno: es más realista esperar que los valores

cercanos a las fronteras sean menores que aquellos cercanos al punto medio, por lo tanto,

en ocasiones es razonable remplazar la distribución uniforme por la triangular

simétrica, con las siguientes características:

Valor esperado o esperanza:

2

aa

x (25)

Desviación estándar:

6

axu (26)

9. INCERTIDUMBRE ESTÁNDAR COMBINADA (COMBINACIÓN)

La incertidumbre estándar del mensurando Y , estimada mediante el estimador y (vea la

) y, por lo tanto, del resultado de la medición, se obtiene combinando apropiadamente las

incertidumbres estándares de los estimados de las magnitudes de entrada [ jxu ], que

pueden ser de tipo A, B e incluso, combinada.




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9.1 Magnitudes de entrada no correlacionadas.La varianza mancomunada se determina según la siguiente ecuación:

L

l

llc xucyu

1

222 (27)

donde:

lxll X

fc

: derivadas parciales evaluadas en ll xX . Frecuentemente llamadas

coeficientes de sensibilidad, describen como el estimado de la magnitud de salida y varía

con los cambios en los valores de los estimados de las magnitudes de entrada lX .

La incertidumbre estándar combinada del resultado de la medición, designada por

yuc , es la raíz cuadrada positiva de la varianza mancomunada:

yuyu cc2 (28)

Se sugiere expresar la de la siguiente forma:

L

llc yuyu

1

22 (29)

donde:

lll xucyu

La incertidumbre estándar combinada del resultado de la medición es una desviación

estándar estimada que caracteriza la dispersión de los valores que pudieran ser

razonablemente atribuidos al mensurando Y .




Versión:01

Casos particulares:9.1.1 Primer caso: si el mensurando puede describirse a través del siguiente modelo

matemático lineal:

L

l

ll XcY

1

(30)

donde:

1lc : constantes de la función matemática.

Entonces:

L

l

lc xuyu

1

22 (31)

9.1.2 Segundo caso: si el mensurando puede describirse a través del siguiente modelo

matemático no lineal:

L

l

pl lXcY

1

(32)

entonces:

2

1

2

L

ll

ll

cxxu

pyyu

(33)

donde:

y

yuc : incertidumbre estándar combinada relativa del resultado de la medición.

Nota:




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Cuando la no linealidad del modelo matemático representado por la

es significativa, los términos de orden superior del correspondiente desarrollo

por Series de Taylor deben adicionarse a la . Cuando la distribución de

cada lX es simétrica con respecto a su media, los términos más importantes de los

próximos órdenes superiores en el desarrollo por Series de Taylor son:

L

l

zl

L

z zLlzlxuxu

XX

fXf

XXf

1

22

12

3225,0 (34)

9.2 Magnitudes de entrada correlacionadas

La varianza mancomunada se determina según la siguiente ecuación:

L

l

L

z

zlzlc xxuccyu

1 1

2 , (35)

Desarrollando la ecuación anterior:

1

1 1

2

1

22 ,2

L

l

zlz

L

lz

ll

L

llc xxuccxucyu (36)

donde:

zl xxu , : la covarianza estimada asociada a los estimadores lx y zx . Se determina

según la siguiente ecuación:

n

i

zizlilizil xxxxn

xxu

1

,,,, 11, (37)

En términos del coeficiente de correlación, más fácilmente comprensible que la covarianza,

el segundo término de la se puede rescribir como:




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ziz

L

l

l

L

lz

zl xxrxuxucc ,2

1

1 1

22

(38)

donde:

zl

zlzl xuxu

xxuxxr

,, (39)

Casos particulares:9.2.1 Primer caso: cuando todos los estimadores de entrada están perfectamente

correlacionados con coeficientes de correlación 1, zi xxr , entonces la se reduce

a la siguiente.

2

1

2

L

l

llc xucyu (40)

10. INCERTIDUMBRE EXPANDIDA

Partiendo de la suposición que la incertidumbre estándar sigue una distribución normal, su

puede afirmar que esta representa un intervalo centrado en el estimado del mensurando

que contiene el valor verdadero con una probabilidad p de 68 % aproximadamente.

Cuando por razones prácticas, legales o técnicas se requiere expresar el resultado a una

probabilidad mayor, es necesario expandir la incertidumbre estándar en un factor k,

denominado factor de cobertura, obteniéndose de esta manera una incertidumbre

expandida U.

ckuU (41)

Para una distribución normal, un factor de cobertura k=2 define un intervalo cuyo nivel de

confianza es de aproximadamente 95% y k=3 define un intervalo cuyo nivel de confianza

es de aproximadamente 99%.

Condiciones que favorecen que la incertidumbre estándar se aproxime a un distribución




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normal son:

Que el mensurando Y sea estimado a partir de un número significativo de

argumentos Xi que pueden ser descritos mediante distribuciones de probabilidad

bien definidas, por ejemplo distribuciones normales, rectangulares, etc.

Las contribuciones de las estimaciones de los argumentos contribuyen en

cantidades comparables, ya sean estimadas como una incertidumbre Tipo A o Tipo

B.

La función sujeta estudio tiene un comportamiento lineal.

La incertidumbre asignada a cada argumento posee un número no pequeño de

grados de libertad.

Cuando estas condiciones no se dan y es necesario realizar una estimación de la

incertidumbre a partir de los grados efectivos de libertad. Según la ecuación de Welch–

Satterhwaite los grados efectivos están dados por la ecuación:

N

i i

i

cefec yu

yu

1

4

4

(42)

Cuando la incertidumbre de un argumento es estimada como una incertidumbre Tipo A, se

pueden asignar n-1 grados de libertad; si se estima como una incertidumbre Tipo B

siguiendo una distribución rectangular se le asignan infinito número de grados de libertad.

Conociendo los grados efectivos de libertad veff, se determina el factor de cobertura kp

haciendo uso de una tabla de t-student para el nivel de confianza deseado. Finalmente se

calcula la incertidumbre expandida como:

cpp ukU (43)

donde p representa el nivel de confianza seleccionado.

11. EXPRESIÓN DEL RESULTADO DE LA INCERTIDUMBRE

La expresión del resultado de la medición y de su incertidumbre deben incluir los siguiente:




Versión:01

El resultado de la medición (por ejemplo un valor promedio)

La incertidumbre estándar o la incertidumbre expandida

En ambos casos declarar como se ha calculado la incertidumbre estándar (indicar

sus componentes).

Si se expresa como una incertidumbre expandida indicar el nivel de confianza y el

valor del factor de cobertura utilizado.

Normalmente, la incertidumbre expandida se expresa con una o dos cifras

significativas. Expresarla con más cifras no tiene sentido práctico. Si se desea

expresar con una sola cifra debe analizarse previamente la perdida de información y

el peligro de sobreestimar o subestimar la magnitud de la incertidumbre producto del

proceso de redondeo. En general, expresarla con dos cifras es quizás la práctica

más común.

12. REFERENCIAS

1. Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, primera edición, 1993,revisada y reeditada en 1995, International Standardization Organization (Ginebra,Suiza).

2. International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology, segunda edición,1993, International Standardization Organization (Ginebra, Suiza).

3. Quantifying Uncertainty in Analytical Measurement, Segunda edición, 2000,EURACHEM/ CITAC

4. Guía para estimar la Incertidumbre de la medición. Primera edición, 2000. CentroNacional de Metrología de México (Cenam).

5. EAL-R2. Expresión de la Incertidumbre de medidas en calibraciones. Primeraedición, 1997, Cooperación Europea para la Acreditación de Laboratorios

6. Guidelines for Evaluating and Expressing the Uncertainty of NIST MeasurementResults. 1994. NIST, USA.

7. The Expression of Uncertainty in Testing. Primera edición, UKAS.




Versión:01

13. ANEXOS

13.1 Anexo N° 1

Tabla de t-student para diferentes niveles de confianza y grados de libertad

Nivel de confianza

Número deobservaciones

Grados delibertad ( n-1 )

99% 98% 95,45% 0,90 0,80 68,00

2 1 63,66 31,82 13,97 6,31 3,08 1,82

3 2 9,92 6,96 4,53 2,92 1,89 1,31

4 3 5,84 4,54 3,31 2,35 1,64 1,19

5 4 4,60 3,75 2,87 2,13 1,53 1,13

6 5 4,03 3,36 2,65 2,02 1,48 1,10

7 6 3,71 3,14 2,52 1,94 1,44 1,088 7 3,50 3,00 2,43 1,89 1,41 1,07

9 8 3,36 2,90 2,37 1,86 1,40 1,06

10 9 3,25 2,82 2,32 1,83 1,38 1,05

11 10 3,17 2,76 2,28 1,81 1,37 1,05

12 11 3,11 2,72 2,25 1,80 1,36 1,04

13 12 3,05 2,68 2,23 1,78 1,36 1,04

14 13 3,01 2,65 2,21 1,77 1,35 1,03

15 14 2,98 2,62 2,20 1,76 1,35 1,03

16 15 2,95 2,60 2,18 1,75 1,34 1,03

17 16 2,92 2,58 2,17 1,75 1,34 1,0318 17 2,90 2,57 2,16 1,74 1,33 1,02

19 18 2,88 2,55 2,15 1,73 1,33 1,02

20 19 2,86 2,54 2,14 1,73 1,33 1,02Infinito Infinito 2,58 2,33 2,00 1,64 1,28 1,00




Versión:01

13.2 Anexo 2

Ejemplos prácticos

Ejemplo 1: Determinación del valor de la actividad del ión hidronio en una muestraincógnita:

Se desea determinar el valor de la actividad del ion hidronio, en una muestra incógnita,realizando la curva de pH con dos disoluciones amortiguadoras de 4,00 ± 0,02 y 7,00 ±0,02, a 25 °C, considerando solamente los aportes a la incertidumbre, producto del modelomatemático.

Modelo matemático

(1)

Donde:pH(s1) = valor de pH de la disolución amortiguadora 1pH(s2) = valor de pH de la disolución amortiguadora 2E(X) = potencial en mV, de la muestraE(s1) = potencial en mV, de la disolución amortiguadora 1E(s2) = potencial en mV, de la disolución amortiguadora 2

Resultados experimentales

pH(s1)= 4,00 E(s1)=167,9 mVpH(s2)= 7,00 E(s2)=- 4,0 mV

E(X)= 158,2 mV

A partir de los datos anteriores determinó que el valor de la actividad de ion hidronio en lamuestra es de: pH(X) = 4,169

Las variables de entrada pueden ser observadas en la figura 1.

11 2 1

2 1

1 1

2 1 2 1

( , )( ) ( ) ( ) ( )

( , )

: ( , ) ( ) ( )

( , ) ( ) ( )

E X spH x pH s pH s pH s

E s s

donde E X s E X E s

E s s E s E s

pH (x)

pH (s1) pH(s2)

DE (X,s1) DE (s2,s1)




Versión:01

Figura 1. Gráfico de causa- efecto, para el modelo matemático (1)

Para determinar la incertidumbre estándar de la determinación, utilizamos la siguientefórmula:

2 2

21 2

1 2

2 2

1 2 11 2 1

( ) ( )( ( )) ( ( )) ( ( ))

( ) ( )

( ) ( )( ( , )) ( ( , ))

( , ) ( , )

pH x pH xu pH x u pH s u pH s

pH s pH s

pH x pH xu E X s u E s s

E X s E s s

(2)

Donde son los coeficientes de sensibilidad

A partir de la ecuación (1) obtenemos que:

1

1 2 1

1

2 2 1

2 1

1 2 1

12 1 2

2 1 2 1

( , )( )1

( ) ( , )( , )( )

( ) ( , )( ( ) ( ))( )

( , ) ( , )

( , )( ) ( ( ) ( ))( , ) ( ( , ))

E X spH xpH s E s s

E X spH xpH s E s s

pH s pH spH xE X s E s s

E X spH x pH s pH sE s s E s s

(3)

1

2

1

2 1

( )?

( )( )

?( )

( ) ?( , )

( ) ?( , )

pH xpH spH xpH s

pH xE X spH xE s s




Versión:01

Por lo tanto, al sustituir los resultados experimentales en (3), tenemos que los coeficientesde sensibilidad corresponden a:

1

2

1

2 1

( ) 0,943571844( )

( ) 0,056428156( )

( )-0,017452007

( , )( )

0,000984785( , )

pH xpH s

pH xpH s

pH xE X spH xE s s

Para determinar la incertidumbre estándar de cada variable, debo considerar la informaciónsuministrada por el fabricante o determinada experimentalmente, en nuestro casoespecífico solamente consideramos al fabricante, no existe información suficiente, que meindique que las tolerancias indicadas por el fabricante de las soluciones amortiguadoras yel potenciómetro, tiene alguna distribución específica, por lo tanto considero que lasmismas tienen distribución rectangular.

1

2

2 1

1

0,02( ) 0,011547005

30,02

( ) 0,0115470053

0,1 0,1( ( , )) 0,339808849

3 3

0,1 0,1( ( , )) 0,3398088493 3

u pHs

u pHs

u E s s

u E X s

Finalmente, sustituyo en (2) y obtengo la incertidumbre estándar

2 2 2

2 2

( ( )) (0,943571844 0,011547005) (0,056428156 0,011547005)

(0,017452007 0,339808849) (0,000984785 0,339808849)

u pH x

( ( )) 0,012u pH x

Resultado




Versión:01

4,169 ( ( )) 0,012pH u pH x

Ejemplo 2. Cálculo de incertidumbre asociado a las contribuciones sobre una magnitudobtenida por medición directa.

Determinación de la incertidumbre combinada asociada a una determinación de masa enuna balanza analítica digital con resolución de 0,5 mg.

Indicación del instrumento

m = 2,3050 g

Contribuciones a la incertidumbre:

a. incertidumbre estándar por calibración:Tolerancia por calibración (linealidad) = 0,00015 g

Distribución = rectangular

gu cal 0001,0000087,03

00015,0

b. incertidumbre estándar por lectura en escala digital:Tolerancia por lectura (resolución digital) =0,00005 gDistribución = rectangular

gu lec 00003,0000029,03

00005,0

Cálculo de incertidumbre:

Reporte de resultado:

22ixuicmcu

22leccalc uumu

1ic

g,,,mcu 0001,00001002000030200010




Versión:01

m = 2,3050 g, uc = 0,0001 g




Versión:01

Ejemplo 3: Cálculo de incertidumbre asociado a las contribuciones sobre una magnitudobtenida por medición directa.

Ejemplo:Determinación de la incertidumbre combinada asociada a la operación de medición yvertido de un volumen de 10,0 mL utilizando una pipeta graduada con capacidad máximade 20,0 mL.

Vpipeta = 10,00 mL


a. Incertidumbre estándar por calibración del fabricante a 20 °C:Tolerancia por calibración = 0,03 mLDistribución = triangular

mLu cal 012,0603,0

b. incertidumbre estándar por lectura de la escala graduada:

La incertidumbre asociada al proceso de lectura de la escala de una pipeta graduadase puede determinar de dos formas: a partir del desvío estándar (s) de una serie deréplicas de volumen bajo iguales condiciones (repetibilidad), esto es mediante mediciónde la masa del líquido vertido y posterior uso de la densidad; o a partir de la toleranciade la escala graduada. Se debe de escoger solo una de las dos formas de cálculo. Encaso de existir ambos cálculos se escogerá el valor más grande.

b1. Repetibilidad:

s=0,025 (desviación estándar a partir de 7 réplicas)

mLu lec 011,06

09,1025,0 1

1 estadístico t para 6 (= 7-1) grados de libertad y 68% de confianza.

b2. Tolerancia de la escala:

Mínima división = 0,02 mLFactor de ojo = 2Distribución = rectangular




Versión:01

mLu lec 0058,032

02,0

Incertidumbre estándar por diferencia entre la temperatura de calibración (20 °C) y latemperatura de trabajo:Variación máxima de temperatura alrededor de 20 °C = 3 °CCoeficiente de expansión térmica del agua = 2,110-4 °C-1


mLu temp 0036,03

3101,20,10 4


mLuuuVu templeccalpipetac 02,0017,00036,0011,0012,0)( 222222


Vpipeta = 10,00 mL, uc = 0,02 mL

Ejemplo 4: Cálculo de la incertidumbre asociada a una cantidad obtenida medianteuna operación fundamental tipo suma y/o resta.

Ejemplo:Determinación da la incertidumbre asociada al volumen vertido por una bureta de 50,00mL (lectura por diferencia).

Vfinal = 30,10 mL

Vinicial = 0,00 mL

Vvertido = V final - Vinicial

Vvertido = 30,10 – 0,00 = 30,10 mL

32121 ),...,,( xxxxxxP i

232

22

121 ,...,, xuxuxuxxxPu ic




Versión:01


a. Incertidumbre estándar por calibración del fabricante a 20 °C.

Tolerancia por calibración = 0,02 mLDistribución = triangular

0082,0602,0

calu

b. Incertidumbre estándar por lectura de la escala graduada.

Mínima división = 0,1 mLFactor de ojo = 2Distribución = rectangular

029,032

1,0

lecu

c. Incertidumbre estándar por la diferencia entre la temperatura de calibración (20 °C)y la temperatura de trabajo.

Variación máxima de temperatura alrededor de 20 °C = 3 °CCoeficiente de expansión térmica del agua = 2,110-4 °C-1


011,03

3101,210,30 4

tempu



Vvertido = 30,10 mL, uc = 0,04 mL

mLVuVu finalcinicialc 032,0011,0029,00082,0 222

mLVu vertidoc 04,0045,0032,0032,0 22 22finalcinicialcvertidoc VuVuVu




Versión:01

Ejemplo 5: Cálculo de la incertidumbre asociada a una cantidad obtenida mediante unaoperación fundamental tipo multiplicación y/o división.

Ejemplo:Determinación de la incertidumbre asociada a la concentración de una disolución de KClobtenida al disolver 0,2350 g de KCl en balón aforado de 100,0 mL.

mKCl = 0,2350 g

PMKCl = 74,5983 g mol-1

Pureza = 98,0 %

Vbalón = 100,0 mL

151009,30,1005983,74

980,02350,0

molLVPM

purezamCn

balónKCl

KCl


a. Incertidumbre estándar asociada a la balanza analítica.

incertidumbre estándar por calibración:Tolerancia por calibración (linealidad) = 0,00015 gDistribución = rectangular

gu cal 000087,03

00015,0

3

2121 ),...,,(

xxx

xxxP i

2

3

3

2

2

2

2

1

1

21

21

,...,,,...,,

xxu

xxu

xxu

xxxPxxxPu

i

ic

2

3

3

2

2

2

2

1

12121 ,...,,,...,,

xxu

xxu

xxuxxxPxxxPu iic




Versión:01

incertidumbre estándar por lectura en escala digital:Tolerancia por lectura (resolución digital) =0,00005 gDistribución = rectangular

gu cal 000029,03

00005,0

guumu leccalKClc 0001,0000092,0000029,0000087,0)( 2222

b. Incertidumbre estándar asociada al peso molecular.

PMK = 39,0983 g mol-1 , tolerancia (IUPAC) = 0,0001 g

guKPM 000058,0

30001,0

PMCl = 35,5000 g mol-1 , tolerancia (IUPAC) = 0,0003 g

guClPM 00017,0

30003,0

guuPMuClK PMPMKClc 0002,000018,000017,0000058,0)( 2222

c. Incertidumbre estándar asociada a la pureza.

Tolerancia del fabricante = 0,005 (98,0 0,5 %)Distribución = rectangular

003,00029,03

005,0 purezau

d. Incertidumbre estándar asociada al balón aforado.

Incertidumbre estándar por calibración del fabricante a 20 °C:Tolerancia por calibración = 0,1 mLDistribución = triangular

mLu cal 041,061,0




Versión:01

incertidumbre estándar por lectura de la marca de aforo:Reproducibilidad = 0,035 (desviación estándar a partir de 5 réplicas)

mLu lec 017,05

14,1035,0 1

1 estadístico t para 4 grados de libertad y 68% de confianza.

Incertidumbre estándar por diferencia entre la temperatura de calibración (20 °C) y latemperatura de trabajo:Variación máxima de temperatura alrededor de 20 °C = 3 °CCoeficiente de expansión térmica del agua = 2,110-4 °C-1


036,03

3101,20,100 4

tempu mL

mLuuuVu templeccalbalónc 06,0057,0036,0017,0041,0)( 222222


Reporte del resultado:

Cn = 3,09·10-5 mol L-1, uc= 0,01·10 -5 mol L-1

balón

balónc

KCl

KClc

KCl

KClcc V

VuPM

PMupurezapurezau

mmu

CnCnu)()()()(

)(222

518

222

5 1001,0107,900,100

06,05983,740002,0

980,0003,0

2350,00001,0

1009,3)(

molLCnu c




Versión:01

Ejemplo 6: Cálculo de la incertidumbre asociada una cantidad obtenida mediante unaoperación no fundamental.

Ejemplo:Determinación de la incertidumbre combinada de la concentración (actividad) del iónhidrógeno a partir de una determinación del pH.

pH = 6,78 upH = 0,02 (incertidumbre estándar de calibración)

uc([H3O+]) = 0,08 ·10-7 mol L-1


[H3O+] = 1,66·10-7 mol L-1, uc = 0,08 ·10 -7 mol L-1

22

3 )(10

pHupH

OHupH

c

22

3 1030.2 pHuOHu pHc

pHOH 103

2

2

2121 i

i

iic xu

xx,...,x,xP

x,...,x,xPu

172278,63 1008,002,01030.2 molLOHu c

1778,63 1066,11010 molLOH pH




Versión:01

Ejemplo 7: Determinación de la concentración promedio de cierto componente x en un alimentomediante la técnica de espectrofotometría ultravioleta. Luego de seguir el procedimiento indicado,el cálculo de la concentración del componente x se obtiene según la fórmula:

en términos de la absorbancia, masa y volumen final de la muestra.

Los resultados obtenidos para tres muestras del alimento se indican en la siguiente tabla:

# muestra mm/g Am

1 25,2356 0,3852 27,4578 0,4213 26,1167 0,393

1. Cálculo de concentración y análisis de incertidumbre para la muestra #1:

Am = absorbancia de la muestra.

Am = 0,385.

Contribuciones a la incertidumbre calculadas como de costumbre:

ucal = 0,001 (calibración)

ulec = 0,0005 (lectura en escala digital)

001,00011,00005,0001,0)( 2222 leccalmc uuAu

Astd = absorbancia del estándar.

Astd = 0,456.

001,00011,00005,0001,0)( 2222 leccalstdc uuAu

Cstd = concentración del estándar del componente x, preparado a partir de un estándarsólido certificado según se indica:

)100

(100. gmg

mA

CVAC

mstd

stdfmx

gmgC x 100

10,2091002356,25456,0

25,10,50385,0.




Versión:01

std

stdstd V

purezamC

donde mstd es la masa del estándar sólido de cierta pureza reportada, la cual ha sido disuelta hastaun volumen final Vstd:

mLmgmL

mgC std /25,1

0,100985,00,634

contribuciones de incertidumbre calculadas como de costumbre:

u(mstd) = 0,1 mg

u(pureza) = 0,003

u(Vstd) = 0,03 mL

222

std

std

std

stdstdstd V

Vupurezapurezau

mmu

CCu

mLmgCu std /04,0039,00,100

06,0985,0003,0

0,6341,025,1

222

u(Cstd) = 1,25 mg/mL, uc = 0,04 mg/mL

Vf = volumen final de la muestra (balón aforado).

Vf = 50,00 mL.

u(Vf) = 0,04 mL

mm = masa de la muestra.

mm = 25,2356 g.

u(mm) = 0,0001 gCálculo de incertidumbre:




Versión:01

2. Cálculo e incertidumbre de la concentración promedio del componente x:

Un procedimiento de cálculo similar aplicado a las otras dos muestras permite obtener losresultados resumidos en la siguiente tabla:

# muestra Cx /g

mg100

uc(Cx)

1 209,1 6,72 210,2 6,73 206,2 6,6

De donde se obtiene el valor de la concentración promedio con su respectiva incertidumbreestándar:

gmgC x 100

5,208

g

mgnCu

Cu xcx 100

9,337,6)(

Para completar el cálculo de incertidumbre del valor promedio se debe de tomar en cuentala contribución por repetibilidad. Esta se calcula en términos del desvío estándar de lasréplicas respecto del valor promedio:

1,21

1

2

n

CCCs

n

ixix

x

g

mgnts

Cu xrep 1006,1

332,11,2 1

22222)()()()()(

)(

m

mc

f

fc

std

stdc

std

stdc

m

mcvitxc m

muV

Vu

CCu

AAu

AAu

CCu

7,62356,250001,0

00,5004,0

25,104,0

456,0001,0

385.0001,0

10,209)(22222

xc Cu




Versión:01

1 estadístico t para 2 (= 3-1) grados de libertad y 68% de confianza.Ahora el cálculo de la incertidumbre estándar combinada total del valor promedio seráahora:

g

mgCuCuCu xrepxxc 100

42,46,19,3 2222


xC = 208,5g

mg100

, uc= 4,2g

mg100

incertidumbre expandida a un 95% de confianza = 2 4,2g

mg100

= 8,4g

mg100

xC = 208,58,4g

mg100

(95%)

ECA-MC-P20-G01 Calculo de la incertidumbre V01

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