EC-DIF-imprime-12-09-2011

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMONFACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGADEPARTAMENTO DE MATEMTICAS

Ecuaciones Diferenciales

Ing: Ral Romero Encinas

Cochabamba - Bolivia

1

2011

2

ndice general

1. Ecuacin Diferencial 51.1. Variables Separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1. Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. Funcin Homognea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1. Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3. Ecuaciones Diferenciales Homogneas . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4. Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1. Ecuaciones Diferenciales No Homogneas dondeM(x, y)y N(x, y) son Funciones No Homogneas . . . . . . . 15

1.5. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6. Ecuaciones Diferenciales Exactas (E.D.E.) . . . . . . . . . . 20

1.6.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.7. Ecuaciones Diferenciales no Exactas que pueden transfor-

marse en Exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.7.1. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.7.2. Problemas de Ecuaciones Diferenciales no Exactas . . 30

1.8. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.9. Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden . . . . . 35

2. Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden 392.1. Aplicaciones Geomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden . . 412.3. Mecnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.3.1. Movimiento vertical incluyendo la resistencia del aire 502.3.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.4. Circuitos en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.5. Problemas de Ecuaciones Diferenciales de 1o Orden . . . . . 702.6. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3

NDICE GENERAL NDICE GENERAL

3. Ecuaciones Diferenciales Homogneas de 2o Orden y OrdenSuperior a Coeficientes Constantes 73

3.0.1. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.0.2. Ecuacin de Mac Laurin . . . . . . . . . . . . . . . . 773.0.3. Aplicaciones de las funciones sen x, cosx, ex . . . . . . 783.0.4. Ecuacin Diferencial Homognea de Segundo Orden 81

3.1. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.2. Ecuaciones Diferenciales Lineales no Homognea . . . . . . . 90

3.2.1. Mtodo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.4. Ecuacin Diferencial Lineal Homognea a Coeficientes Con-

stantes de Orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.5. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.5.1. Resolucin de una Ecuacin Diferencial Lineal Com-pleta de Ordenn- obtencin de la solucin particular(Ecuacin Diferencial no Homognea) . . . . . . . . . 101

3.5.2. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.5.3. Mtodo de Coeficiente Indeterminado . . . . . . . . . 106

3.6. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.7. Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden . 111

3.7.1. Sistema Masa- Resorte sin amortiguacin . . . . . . . 1113.7.2. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

3.8. Aplicacin a Circuitos Elctricos en Serie LRC . . . . . . . . 1393.9. Circuitos Elctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1413.10. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

3.10.1. Estudio del Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . 1463.11. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1493.12. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

3.12.1. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4

Captulo 1

Ecuacin Diferencial

Definicin 1.1 Llamaremos ecuacin diferencial aquella igualdad en el cualcontienen derivadas totales o parciales con dos o mas variables

Ejemplo 1.1

y = ex

y = y(x)y + 2y y = sen x+ 2 cos x

y = y(x)

z

x+z

y= x+ y

z = z(x, y)

4z

x4+ 2

2z

x2

2z

y2+4z

y4= x+ y

z = z(x, y)

Clasificacin.- Clasificamos las ecuaciones diferenciales en dos grandes ca-tegoras:

Ecuacin Diferencial Ordinaria.- Son aquellas en las que la funcindesconocida depende de una sola variable independiente

y 3y + 2y = ex cosxy = y(x)

Ecuaciones Diferenciales a Derivadas Parciales.- Son aquellas en lasque la funcin funcin desconocida depende de dos o mas variables inde-pendientes.

z

x2+ 2

2z

xy+2z

y2= sen x+ cos y

z = z(x, y)4z

x4+ 2

4z

x2y2+4z

y4= x2 + 2xy

5

UMSS - FCyT - Departamento de Matemticas

CAPTULO 1. ECUACIN DIFERENCIAL

Orden de una Ecuacin Diferencial : El orden de una ecuacin dife-rencial es el orden de la derivada de mayor orden que interviene en ella.

Ejemplo 1.2 y + 2y = 3x Ec. Dif. de 1o Orden

Ejemplo 1.3d2y

dx2 cosxdy

dx+ y = 0 Ec. Dif. de 2o Orden

Ejemplo 1.43z

x2y+cos(x+y)

z

x= ex+y Ec. Dif. de 3o Orden a derivadas

parciales.

Grado de una Ecuacin Diferencial: El grado de una ecuacin dife-rencial que puede escribirse como un polinomio respecto a las derivadas esel grado de la derivada de mayor orden que interviene en ella.

Ejemplo 1.5(d2y

dx2

)3+ 3x+ y

dy

dx= 0 Ec. Dif. de 2o Orden de 3o grado.

Ejemplo 1.6(d2y

dx2

)1(dy

dx

)3+ 2x = Ec. Dif. de 2o Orden de 1o grado.

Solucin de una Ecuacin Diferencial: Se da el nombre de solucinde una ecuacin diferencial a aquellas ecuaciones que sustituyendo a la fun-cin desconocida en la ecuacin diferencial la transforman en una igualdadnumrica o funcional.

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: Tienen la forma siguiente:

F (x, y, y, y, . . . , yn) = 0 Ecuacin Ordinaria de Orden n

F : funcin desconocida x : Variable independiente

Ing. Ral Romero E. 6


1.1. VARIABLES SEPARABLES

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden: Tiene lasiguiente forma:

F (x, y, y) = 0

despejando y tenemos y = f(x, y)

supongamnos f(x, y) = M(x, y)N(x, y)

f(x, y) = M(x, y)N(x, y)

dy

dx= M(x, y)

N(x, y)

M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 Ec.Dif. de primer orden

1.1. Variables Separables1. y = (x+ y + 1)2

Solucin:dy

dx= (x+ y + 1)2 dt = (t2 + 1)dx

dy = (x+ y + 1)2dxdt

t2 + 1= dx

t = x+ y + 1

dt

t2 + 1=

dx

dt = dx+ dy arctan(x+ y + 1) = x+ c

dy = dt dx arctan(x+ y + 1) = x+ cdt dx = t2dx x+ y + 1 = tan(x+ c)

2. (x 1)dx (xey + ey)dy = 0Solucin:

ey(x+ 1)dy (x 1)dx = 0 ey = x 2 ln(x+ 1) + c

eydy =x 1x+ 1

dx ey = x ln(x+ 1)2 + ceydy =

x 1x+ 1

dx Aplicando logaritmos

ey =

(1 2

x+ 1

)dx y = ln[x ln(x+ 1)2 + c]




3. xyexdx dy = 0Solucin:

xyexdx dy = 0

xexdx dyy

= 0 Separando variables

u = x dv = exdxdu = dx v = ex

Integrandoxexdx

dy

y=

0 xex

exdx ln y = c

xex ex ln y = c ln y = xex ex + ec

eln y = e[xexex+ec]

y = c1exexex

4. (xy2 + y2)dx+ xdy = 0

Solucin:

y2(x+ 1)dx+ xdy = 0 x+ ln x 1y= c

x+ 1

xdx+

dy

y2= 0;

Separandovariables x+ ln x+ c =

1

y (1 +

1

x

)dx+

y2dy =

0 y = 1

x+ ln x+ c

5. ydx xdy = 0Solucin:

dx

x dy

y= 0 ln

x

y= ln c

dx

x

dy

y=

0

x

y= c y = cx

lnx ln y = ln c



1.2. FUNCIN HOMOGNEA

1.1.1. Problemas Propuestos

1. (ln x+y3)dx = 3xy2dy Respuesta: z =y3

x; y3 = Cxln x1

2. x7 ln xdx dy = 0 Respuesta: y = x8

8ln x x

8

64+

3. xexdx 3y2dy = 0 Respuesta: y = 3xex ex + C4. y = (x+ 1)2

5.dy

dx=

(2y + 3

4x+ 5

)26.

dy

dx= e3x+2y

7. y lnxdx

dy=

(y + 1

x

)28. sec2 xdy + csc ydx = 0

9.dx

dt= 4(x2 + 1) x

(pi4

)= 1

10. x2dy

dx= y xy y(-1)=-1

1.2. Funcin HomogneaDefinicin 1.2 (Funcin Homognea) Se llama funcin homognea degrado "n" si

f(x, y) = nf(x, y)

Ejemplo 1.7 f(x, y) = xy x2Solucin:

f(x, y) = (x)(y) (x)2= 2(xy) 2x2= 2(xy x2)

fx, y) = 2f(x, y)

f(x, y) es una Funcin Homognea de grado 2




Ejemplo 1.8 f(x, y) =x y

Solucin:

f(x, y) =x y

f(x, y) =(x y) =

x y = 12x y

f(x, y) es Funcin Homognea de grado 12

Ejemplo 1.9 h(x, y) = seny

x 5

Solucin:

h(x, y) = seny

x 5

= seny

x 5

= 0(sen

y

x 5)

h(x, y) es Funcin Homognea de grado cero

Ejemplo 1.10 f(x, y) = ex2+y2

xyy2

Solucin:

f(x, y) = e(x)2+(y)2

(x)(y)(y)2 = e2x2+2y2

2xy2y2

= e2(x2+y2)

2(xyy2) = 0ex2+y2

xyy2

f(x, y) es funcin homognea de grado cero

Ejemplo 1.11 f(x, y) = x2 +x4

x2 + y2

f(x, y) = 2x2 +4x4

2(x2 + y2)= 2

(x2 +

x4

x2 + y2

)f(x, y) es funcin Homognea de grado 2

Ejemplo 1.12 f(x, y) = arctany

x+

x

x+ y

f(x, y) = arctany

x+

x

x+ y

f(x, y) = arctany

x+

x

x+ y

= 0(arctan

y

x+

x

x+ y

)f(x, y) es funcin homognea de grado cero



1.3. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGNEAS

1.2.1. Problemas Propuestos

1. Analizar si las funciones son Homogneas

a) f(x, y) =

x

x+ y

b) f(x, y) = exy + 2

c) f(x, y) = x3y2 + y5

d) f(x, y) =1

x3 yx2

1.3. Ecuaciones Diferenciales HomogneasLa Ecuacin Diferencial de Primer Orden

M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0

es una ecuacin diferencial homognea si solamente si la funcin M(x, y) yN(x, y) son funciones Homogneas de igual grado.M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 Ecuacin diferencial HomogneaM(x, y) =? N(x, y) =?M(x, y) = nM(x, y) Condicin EulerN(x, y) = nN(x, y)

Si =1

x =

1

y

M(1,y

x

)=

1

xnM(x, y)

Despejando M(x, y)

M(x, y) = xnM(1,y

x

)M(x, y) = xnM

(yx

)N(1,y

x

)=

1

xnN(x, y)

Despejando N(x, y)

N(x, y) = xnN(1,y

x

)N(x, y) = xnN

(yx

)Reemplazando en la Ecuacin Diferencial Homognea

xnN(yx

)dx+ xnN

(yx

)dy = 0




Sea hace v =y

x y = vx dy = vdx+ xdv

xn [M(v)dx+N(v) (vdx+ xdv)] = 0 xn

M(v)dx+ vN(v)dx+ xN(v)dv = 0

[M(v) + vN(v)]dx+ xN(v)dv = 0

Separando variables dxx

+N(v)

M(v) + vN(v)dv = 0

Ec. Dif cuyas variablesestan separadas

Integrando: dx

x+

N(v)

M(v) + vN(v)dv = c

Teorema 1.1 En toda ecuacin diferencial homognea se pueden separarsus variables

Demostracin:

M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 Ec. Dif. Homognea

M(x, y) = nM(x, y)

considerando =1

y

M

(x

y, 1

)=

1

ynM(x, y)

M(x, y) = ynM

(x

y, 1

)M(x, y) = ynM

(x

y

)(1)

N(x, y) = nN (x, y) Condicin de Euler

con =1

yse tiene:

N

(x

y, 1

)=

1

ynN (x, y)

N(x, y) = ynN

(x

y, 1

)N(x, y) = ynN

(x

y

)(2)

Reemplazando (1) y (2) en la Ec. Dif. Homognea

ynM

(x

y

)dx+ ynN

(x

y

)dy = 0 (3)



1.3. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGNEAS

Hacemos un cambio de variable

v =x

yx = vy dx = vdy + ydv

Reemplazando en la Ec. Dif. Homognea (3)

yn [M(v) (vdy + ydv) +N(v)dy] = 0 yn

vM(v)dy + yM(v)dv +N(v)dy = 0

[N(v) + vM(v)]dy + yM(v)dv = 0

dy

y+

M(v)

N(v) + vM(v)dv = 0

Ec.Dif. cuya variablesestan separadas

1.3.1. Ejercicios Resueltos

1. Analiza si las siguientes ecuaciones diferenciales son ecuaciones Ho-mogneas

a) xy + x2dx+ (y2 + x2)dy = 0Ecuacin diferencial Homognea de segundo grado todos los tr-minos tienen igual grado

b)(cos

x

y+ 2

)dx+ e

xy dy = 0 Ecuacin diferencial de grado cero

c)x+ ydx+ x

12dy = 0 Ecuacin diferencial de grado

1

2

2. Resolver la ecuacin diferencial Homognea

(x2 + y2)dx xydy = 0Solucin:

v =y

xy = vx dy = vdx+ xdv

(x2 + v2x2)dx xvx(vdx+ xdv) = 0x2dx+ v2x2dx v2x2dx x3vdv = 0

dx xvdv = 0 dxx vdv = 0

dx

x

vdv =

0 lnx v

2

2= c v

2

2= ln x+ c 2c = c1

v2 = 2 ln x+ c1 v =2 lnx+ c1 y

x=2 ln x+ c1

y = x2 ln x+ c1




3. xdy ydx = x tan yxdx

Solucin:

v =y

xy = vx dy = vdx+ xdv

x(vdx+ xdv) vxdx = x tan vxxdx

x2dv = x tan vdx

dv

tan v=dx

xcot vdv =

dx

xln | sen v| = ln x+ ln c ln sen v = ln[xc]sen v = xc v = arcsin(xc)y

x= arcsin(xc) y = x arcsin(xc)

4. xdy ydx =x2 + y2dxSolucin:

v=y

x y = vx dy = vdx+ xdv ln[v +1 + v2] = ln x+ln c

x(vdx+xdv) vxdx=x2 + v2x2dx ln(v +1 + v2) = ln(xc)x2dv = x

1 + v2dx v +

1 + v2 = xc

dv1 + v2

=dx

x y

x+

1 +

(x

y

)2= xc

dv1 + v2

=

dx

x

1.4. Problemas Propuestos1. Resolver las ecuaciones diferenciales homogneas

a) (x3 + y3)dx xy2dy = 0 Respuesta: k1x3 = ey3

x3

b) (y x)dx+ (y+ x)dy = 0 Respuesta: y2 + 2xy x2 = c1c) (x+ y)dx+ xdy = 0 Respuesta:

x2 + 2xy = c

d) (2xy y)dx+ xdy = 0 Respuesta: e2

yx=

c

x2



1.4. PROBLEMAS PROPUESTOS

1.4.1. Ecuaciones Diferenciales No Homogneas dondeM(x, y) y N(x, y) son Funciones No Homogneas

(a1x+ b1y + c1) M(x,y)

dx+ (a2x+ b2y + c2) N(x,y)

dy = 0

Donde M(x, y) y N(x, y) son Funciones no Homogneas de grado 1.Ecuacin Diferencial No Homognea (a1x+b1y+c1)dx+(a2x+b2y+c2)dy =0.Para la resolucin de estas ecuaciones diferenciales se consideran los siguien-tes casos

1o Caso: Determinante igual a cero.- a1 b1a2 b2 = a1b2 a2b1 = 0

En este caso es suficiente realizar un cambio de variable t = a1x+ b1y

2o Caso: Determinante diferente de cero.- a1 b1a2 b2 = a1b2 a2b1 6= 0

Entonces resolvemos{

a1x+ b1y + c1 = 0a2x+ b2y + c2 = 0

x = h; y = k x = r + h dx = dry = s+ k. dy = ds

1. Resolver (2x+ y 1)dx+ (x 2y + 3)dy = 0 2 11 2 = 4 1 = 5 6= 0

Entonces

2x+ y 1 = 0x 2y + 3 = 0

}

x = 15

y =7

5

x = r 15 dx = dr

y = s+7

5dy = ds




[2

(r 1

5

)+ s+

7

5 1]dr +

[r 1

5 2

(s+

7

5

)+ 3

]ds = 0

(2r + s)dr + (r 2s)ds = 0 Ec. Dif. HomogneaEntonces v =

s

r s = vr ds = vdr + rdv

(2r + vr)dr + (r 2vr)(vdr + rdv) = 0(2 + v)dr + (1 2v)(vdr + rdv) = 02dr + vdr + vdr 2v2dr + rdv 2rvdv = 0(2 + 2v 2v2)dr + r(1 2v)dv = 0dr

r+

1 2v2(1 + v v2)dv = 0

ln r +1

2ln(1 + v v2) = ln c

ln[r (1 + v v2) 12

]= ln c

r1 + v v2 = c

r

1 +

s

r s

2

r2= c

r

r2 + sr s2

r2= c

(x+

1

5

)2+

(y 7

5

)(x+

1

5

)(y 7

5

)2= c

(x+

1

5

)2+

(y 7

5

)(x+

1

5

)(y 7

5

)2= k

2. Resolver (3x+ y 15)dx+ (6x+ 2y 5)dy =solucin: 3 16 2

= 6 6 = 0 t = 3x+ ydt = 3dx+ dy(t 15)dx+ (2t 5)(dt 3dx) = 0tdx 15dx+ 2tdt 5dt 6tdx+ 15dx = 0(2t 5)dt 5tdx = 0




(2t 5)t

dt 5dx=0 (2 5

t

)dt

5dx = c

2t 5 ln t 5x = c2t ln t5 5x = c2(3x+ y) ln(3x+ y)5 5x = c5x 2(3x+ y) + ln(3x+ y)5 = c1

3. Resolver (x+ 3y 5)dx+ (3x+ y 7)dy = 0solucin: 1 33 1

= 1 9 = 8 6= 0x+ 3y 5 = 03x+ y 7 = 0

} x = 2

y = 1

x = r + 2 dx = dry = s+ 1 dy = ds

[r + 2 + 3(s+ 1) 5] dr + [3(r + 2) + s+ 1 7]ds = 0(r + 3s)dr + (3r + s)ds = 0

v =s


(r + 3vr)dr + (3r + vr)(vdr + rdv) = 0 r(1 + 3v)dr + (3 + v)(vdr + rdv) = 0

dr + 3vdr + 3vdr + v2dr + 3rdv + vrdv = 0

(1 + 6v + v2)dr + r(3 + v)dv = 0

dr

r+

3 + v

1 + 6v + v2dv = 0

ln r +1

2ln(v2 + 6v + 1) = ln c

ln[r v2 + 6v + 1] = ln c

r s2

r2+ 6

s

r+ 1 = c




r s2 + 6sr + r2

r2= c

s2 + 6sr + r2 = k

(y 1)2 + 6(y 1)(x 2) + (x 2)2 = k

4. Resolver (2x+ y + 1)dx+ (x+ 2y 1)dy = 0solucin: 2 11 2

= 4 1 = 3 6= 0 2x+ y + 1 = 0x+ 2y 1 = 0} x = 1

y = 1

x = r 1 dx = dry = s+ 1 dy = ds

[2(r 1) + s+ 1 1]dr + [r 1 + 2(s+ 1) 1]ds = 0[2r + s]dr + (r + 2s)ds = 0

u =s

r s = ur ds = udr + rdu

(2r + ur)dr + (r + 2ur)(udr + rdu) = 0 r(2 + u)dr + (1 + 2u)(udr + rdu) = 0

2dr + udr + udr + 2u2dr + rdu+ 2rudu = 0

2(1 + u+ u2)dr + r(1 + 2u)du = 0

2dr

r+

2u+ 1

u2 + u+ 1du = 0

2 ln r +

2u+ 1

u2 + u+ 1du = ln c

2 ln r + ln(u2 + u+ 1) = ln c

ln r2 + ln(u2 + u+ 1) = ln c

ln[r2 (u2 + u+ 1)] = ln c

r2 (s2

r2+s

r+ 1

)= c

r2 s2 + sr + r2

r2= c

(y 1)2 + (y 1)(x+ 1) + (x+ 1)2 = c




5. (2x 5y + 3)dx (2x+ 4y 6)dy = 0solucin: 2 52 4

= 8 + 10 = 18 6= 02x 5y + 3 = 02x+ 4y 6 = 0

} x = 1

y = 1

x = r + 1y = s+ 1

(2r + 2 5s 5 + 3)dr (2r + 2 + 4s+ 4 6)ds = 0(2r 5s)dr (2r + 4s)ds = 0 Ec. Dif Homogneav =

s


(2r 5vr)dr (2r + 4vr)(vdr + rdv) = 02dr 5vdr 2vdr 4v2dr 2rdv 4vrdv = 0(2 7v 4v2)dr r(2 + 4v)dv = 0dr

r+

2 + 4v

4v2 + 7v 2dv = 0dr

r+

2 + 4v

4v2 + 7v 2dv =

0

2 + 4v

4v2 + 7v 2 =A

v + 2+

B

4v 1(4v)2 + 7(4v) 8 = (4v + 8)(4v 1) = (v + 2)(4v 1)

2 + 4v

(v + 2)(4v 1) =A(4v 1) +B(v + 2)

(v + 2)(4v 1)2 + 4v = 4Av A+Bv + 2B

2 = A+ 2B4 = 4A+B

}

A =2

3

B =4

3

ln r +2

3ln(v + 2) +

1

3ln(4v 1) = ln c

ln[r(v + 2)

23 (4v 1) 13

]= ln c

r(v + 2)23 (4v 1) 13 = 0

r3 (v + 2)2 (4v 1) = c1




r3(sr+ 2)(

4s

r 1)= c1

r3(s+ 2r

r

)2(4s rr

)= c1

(y 1 + 2(x 1))2[4(y 1) (x 1)] = c1(y 1 + 2x 2)2(4y 4 x+ 1) = c1(y + 2x 3)2(4y x 3) = c1

1.5. Ejercicios Propuestos

1. Resolver (2x+ y 1)dx+ (x 2y + 3)dy = 0

2. Resolver (x+ 3y 5)dx+ (3x+ y 7)dy = 0

1.6. Ecuaciones Diferenciales Exactas (E.D.E.)

1.6.1. Introduccin

Sea una funcin F = F (x, y).Se llama diferencial de F = F (x, y) a la siguiente expresin:

dF =F

xdx+

F

ydy

DemostrarM(x, y)

y=N(x, y)

xM(x, y)dx+N(x, y)dy = 0

Demostracin:



1.6. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS (E.D.E.)


f(x, y)/f(x, y)

xdx+

f(x, y)

ydy = 0

M(x, y) = f(x, y)x

N(x, y) =f(x, y)

yDerivando M(x, y) respecto de y y N(x, y) respecto de x

M(x, y)

y=

y

[f(x, y)

x

]N(x, y)

x=

x

[f(x, y)

y

]M(x, y)

y=2f(x, y)

yx(1)

N(x, y)

y=2f(x, y)

xy(2)

Por el axioma de la igualdad de (1) y (2) se tieneM(x, y)

y=N(x, y)

x

Ejemplo 1.13

dF =F

xdx+

F

ydy

dF = (6x+ 6y) dx+ (6x+ 8y)dy

Problema inverso: Dado la diferencial de una funcin F se puede de-terminar F dado dF entonces determinar F =?

Definicin 1.3 Diferencial exacta


Es ecuacin diferencial exacta si y si existe F = F (x, y) tal quedF =M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0

Teorema 1.2M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0

es ecuacin diferencial exacta, si las derivadas Parciales Cruzadas son si y

solamente siM

y=N

x




Ejemplo 1.14 (x3 + xy2) M(x,y)

dx+ (x2y + y3) N(x,y)

dy = 0

M

y= 2xy

N

x= 2xy

(x3 + xy2)dx+ (x2y + y3)dy = 0 es E.D.E. F (x, y)/dF = (x3 + xy2)

F

x

dx+ (x2y + y3) F

y

dy = 0

F

x= x3 + xy2 F

y= x2y + y3

F

x= x3 + xy2

Integrando con respecto a x

F =x4

4+x2

2y2 + (y)

Derivando con respecto a yF

y= 2 x

2

2y + (y)

= x2y + (y) = x2y + y3

(y) = y3

Integrando con respecto a y (y) =y4

4

C = x4

4+x2

2y2 +

y4

4

Ejemplo 1.15 (x+ sen y) M(x,y)

dx+ (x cos y 2y) N(x,y)

dy = 0

M

y= cos y

N

x= cos y

(x+ sen y)dx+ (x cos y 2y)dy = 0 es E.D.E. F (x, y)/dF = (x+ sen y)

F

x

dx+ (x cos y 2y) F

y

dy = 0

F

x= x+ sen y

F

y= x cos y 2y

F

y= x cos2y



1.6. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS (E.D.E.)

Integrando con respecto a yF = x sen y y2 + (x)Derivando con respecto a xF

x= sen y + (x)

sen y + (x) = x+ sen y (x) = xIntegrando (x) =

x2

2

C = x sen y y2 + x2

2

F

x= x+ sen y


F =x2

2+ x sen y + (y)

Derivando con respecto a yF

y= x cos y + (y)

Igualando x cos y + (y) = x cos y 2y (y) = 2yIntegrando con respecto a y

(y) = y2 F =x2

2+ x sen y y2 = c

Ejemplo 1.16 (2xy + x)dx+ (x2 + y)dy = 0

M

y= 2x

N

x= 2x

F (x, y)/dF = Fx

dx+F

ydy = 0

dF = (2xy + x)dx+ (x2 + y)dy = 0

F

x= 2xy + x F

x= x2 + y

F

x= 2xy + x


F = 2 x2

2y +

x2

2+ (y)




Derivando con respecto a y

F

y= x2 + (y)

Igualando x2 + (y) = x2 + y (y) = yIntegrando con respecto a y (y) =

y2

2

F = x2y +x2

2+y2

2c = x2y +

x2

2+y2

2

Ejemplo 1.17 (2xy + x)dx+ (x2 + y)dy = 0

M

y= 2x =

N

xE.D.E.

F

x= 2xy + x

F

y= x2 + y

Integrando F = x2y +x2

2+ (y)

F

y= x2 + (y)

x2 + (y) = x2 + y (y) = yIntegrando (y) =

y2

2

F = x2y + x2

2+y2

2F = c

c = x2y +x2

2+y2

2

Ejemplo 1.18 (y + 2xy3)dx+ (1 + 3x2y2 + x)dy = 0

M

y= 1 + 6xy2 =

N

x

F

x= y + 2xy3 F

y= 1 + 3x2y2 + x


F = yx+ x2y3 + (y)


UMSS - FCyT - Departamento de Matemticas1.7. ECUACIONES DIFERENCIALES NO EXACTAS QUE PUEDEN

TRANSFORMARSE EN EXACTAS

F

y= x+ 3x2y2 + (y)

x+ 3x2y2 + (y) = 1 + 3x2y2 + x(y) = 1

Integrando (y) = y

F = yx+ x2y3 + y

Ejemplo 1.19 yexydx+ xexydy = 0

M

y= yxexy + exy =

N

x

F

x= yexy F

y= xexy


F =

yexydx+ (y)

u = xydu = ydx

F =

eudu+ (y)

F = exy + (y)

F

y= xexy + (y)

xexy + (y) = xexy (y) = 0Integrando con respecto a y (y) = cF = exy + c

1.7. Ecuaciones Diferenciales no Exactas quepueden transformarse en Exactas

Mtodo del Factor Integrante.- Sea la ecuacin diferencial


Donde se verifica queM

y6= N

xM(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 No es E.D.E.

= (x, y)/M(x, y)dx+ N(x, y)dy = 0 E.D.E.Luego

M(x, y)

y=N(x, y)

x




M

y+M

y=

N

x+N

y

(M

y N

x

)= N

xM

yM

y N

x=

1

(N

xM

y

)M

y N

x= N

1

xM 1

y

ln

x=

1

x M

y N

x= N

ln

xM ln

y

1. Suponemos que depende de la variable solo de x = (x) factorintegrante.

My

Nx

= Nd ln

dx+ 0

d ln

dx=

M

y N

x

N= f(x) d ln =

M

y N

x

Ndx = f(x)dx

Integrando

d ln =

My

Nx

Ndx+ ln c

d ln =

f(x)dx+ ln c

ln

c=

f(x)dx

elnc = e

f(x)dx

c= e

f(x)dx

= ce

f(x)dx

c = 1

= e

My

Nx

Ndx

2. Suponemos que = f(y) = (y)

M

y N

x= Md ln

dy(-1)




N

x M

y=M

d ln

dy

d ln

dy=

N

x M

y

M

d ln =

N

x M

y

Mdy

d ln = f(y)dyIntegrando

ln =

f(y)dy + ln c

ln

c=

f(y)dy

c= e

f(y)dy

= e

f(y)dy

, c = 1 = e

Nx

My

Mdy

Factor integrante

Resumen:M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 Ecuacin Diferencial no Exacta (E.D.NoE.)

M

y6= N

x

M

y N

x

N= f(x) = e

My N

xdx

N

Si no se prueba con la otra.

N

x M

y

M= f(y) = e

Nx M

y

Mdy

1.7.1. Ejercicios Resueltos

1. (4xy + 3y2 x)dx+ x(x+ 2y)dy = 0Solucin:M

y= 4x+ 6y;

N

x= 2x+ 2y;

M

y6= N

x




M

y N

x

N=

4x+ 6y 2x 2yx2 + 2xy

=2x+ 4y

x(x+ 2y)=

2(x+ 2y)

x(x+ 2y)=

2

x

f(x) =2

x = e

f(x)dx

= e

2

xdx

= e2 lnx

= elnx2= x2 = x2

Multiplicamos la ecuacin diferencial por el factor integrante = x2x2(4xy + 3y2 x)dx+ x2x(x+ 2y)dy = 0 E.D.E.(4x3y + 3x2y2 x3)dy + (x4 + 2x3y)dy = 0M

y= 4x3 + 6x2y =

N

x

F

x= 4x3y + 3x2y2 x3 F

y= x4 + 2x3y


F = x4y + x3y2 +x4

4+ (y)

F

y= x4 + 2x3y + (y)

x4 + x2x3y + (y) = x4 + 2x3y (y) = 0Integrando (y) = c

K = x4y + x3y2 +x4

4+ c x4 + x3y2 + x

4

4= c1

2. y(x+ y + 1)dx+ x(x+ 3y + 2)dy = 0Solucin:M

y= x+ y + 1 + y = x+ 2y + 1

N

x= x+ 3y + 2 + x = 2x+ 3y + 2

My 6= NxM

y N

x

N=x+ 2y + 1 2x 3y 2

x(x+ 3y + 2)=

x y 1x(x+ 3y + 2)

=?

Probamos con el otroN

x M

y

M=

2x+ 3y + 2 x 2y 1y(x+ y + 1)

=(x+ y + 1)

y(x+ y + 1)=

1

y




g(y) =1

y = e

g(y)dy

= e

1ydy

= eln y = y = y

y2(x+ y + 1)dx+ yx(x+ 3y + 2)dy = 0

F

x= y2(x+ y + 1) F

y= xy(x+ 3y + 2)


F =x2

2y2 + xy3 + xy2 + (y)

F

y= 2 x

3

2y + 3xy2 + 2xy + (y)

2

2x2y + 3xy2 + 2xy + (y) = x2y + 3xy2 + 2xy (y) = 0

Integrando

(y) = c K =x2

2y2 + xy3 + xy2 + c x

2

2y2 + xy3 + xy2 = c1

3. (1 x2y)dx+ x2(y x)dy = 0Solucin:

M

y= x2; N

x= 2x(y x) x2

M

y N

x

N=

x2 2xy + 3x2x2(y x) =

2x2 2xyx2(y x) =

x(2x 2y)x2(y x)

=2x(x y)x2(y x) =

2

x

f(x) = 2x; = e

2x

dx

= e2 ln x = eln x2 = x2 = x2

x2(1 x2y)dx+ x2x2(y x)dy = 0(x2 y)dx+ (y x)dy = 0M

y= 1; N

x= 1

F

x= x2 y F

y= y x; F = x

1

1 yx+ (y)




F

y= x+ (y); x+ (y) = y x (y) = y

Integrando

(y) =y2

2C = 1

x yx+ y

2

2 c = y

2

2 1x yx

4. (x2 + y)dx xdy = 0Solucin:

M

y= 1;

N

x= 1 M

y6= N

x

M

y N

x

N=

1 + 1

x =2

x ; = e

2xdx

=e2 lnx=eln x2 = x2

= x2

x2(x2 + y)dx x2xdy = 0(1 + x2y)dx x1dy = 0M

y= x2 ;

N

x= x2 ;

F

x= 1 + x2y ;

F

y= x1

F = x+x1

1 y + (y)F

y= x1 + (y)

x1 + (y) = x1 (y) = 0Integrando (y) = 0(y) = c

F = x x1y + c K = x yx+ c c1 = x y

x

1.7.2. Problemas de Ecuaciones Diferenciales no Exac-tas

1. (2xy4ey + 2xy3 + y)dx+ (x2y4ey x2y2 3x)dy = 0Solucin:




M

y= 8xy3ey + 2xy4ey + 6xy2 + 1

N

x= 2xy4ey 2xy2 3

M

y N

x

N=

8xy3ey + 2xy4ey + 6xy2 + 1 2xy4ey + 2xy2 + 3x2y4ey x2y2 3x =?

Probamos con

N

x M

y

M=

2xy4ey 2xy2 3 8xy3ey 2xy4ey 6xy2 12xy4ey + 2xy3 + y

=4(2xy2 + 2xy3ey + 1)y(2xy2 + 2xy3ey + 1)

= 4y

= (y) = e4dy

y = 1y4

1

y4(2xy4ey + 2xy3 + y)dx+

1

y4(x2y4ey x2y2 3x)dy = 0

(2xey + 2xy1 + y3)dx+ (x2ey x2y2 3xy4)dy = 0 E.D.E.M

y= 2xey 2xy2 3y4 = N

x

F

x= 2xey + 2xy1 + y3;

F

y= x2ey x2y2 3xy4

Integrando respecto a x

F = x2ey + x2y1 + xy3 + (y)Derivando con respecto a y

F

y= x2ey x2y2 3xy4 + (y)

x2ey x2y2 3xy4 + (y) = x2ey x2y2 3xy4 (y) = 0(y) = k

c = x2ey +x2

y+

x

y3

2. (y2exy2 + 4x3)dx+ (2xyexy2 3y2)dy = 0 E.D.E.Solucin:




M

y= 2yexy

2+ 2xy2exy

2= 2yexy

2+ 2xy3exy

2=N

x

Fx

= y2exy2+ 4x3 F

y= 2xyexy

2 3y2Integrando con respecto a x

F = y2

exy2

dx+ x4 + (y)

F = exy2+ x4 + (y)

Derivando F con respecto a yF

y= 2xyexy

2+ (y)

2xyexy2+ (y) = 2xyexy

2 3y2 (y) = 3y2

(y) = y3 c = exy2 + x4 y3

3. (cos y + y cosx)dx+ (sen x x sen y)dy = 0Solucin:(cos y + y cosx)

M

dx+ (sen x x sen y) N

dy = 0

M

y= sen y + cos x = N

xF

x= cos x+ y cosx F

y= sen x x sen y

Integrando con trespecto a x

F = x cos y + y senx+ (y)Derivando F con respecto a yF

y= x sen y + sen x+ (y)

x sen y + sen x+ (y) = sen x x sen x (y) = 0(y) = k c = x cosx+ y sen x

4. (6x5y3 + 4x3y5)dx+ (3x6y2 + 5x4y4)dy = 0




Solucin:

M

y= 18x5y2 + 20x3y4 =

N

xF

x= 6x5y3 + 4x3y5 F

y= 3x6y2 + 5x4y4

Integrando

F = x6y3 + x4y5 + (y)

Derivando F

F

y= 3x6y2 + 5x4y4 + (y)3x6y2 + 5x4y4 + (y)

= 3x6y2 + 5x4y4 (y) = 0(y) = k c = x6y3 + x4y5

5. 2x(yex2 1)dx+ ex2dy = 0Solucin:M

y= 2xex

2;N

x= 2xex

2

F x = 2x(yex2 1); F y = ex2

Integrando con respecto a y

F = ex2y + (x)

F

x= 2yxex

2+ (x)

2xyex2+ (x) = 2xyex

2 2x (y) = 2x

(x) = x2 c = ex2y x2

6. (x2 y)dx xdy = 0




Solucin:M

y= 1 = N

x

F

x= x2 y F

y= x

F = x3 yx+ (y)F

y= x+ (y)

x+ (y) = x (y) = 0(y) = k c = x3 yx

1.8. Ejercicios PropuestosResolver la ecuacin Diferencial Exactas y no Exactas

1. (x+ y cosx)dx+ sen x dy = 0 Respuesta:x2

2+ y senx = c

2. (2x+ 3y + 4)dx+ (3x+ 4y + 5)dy = 0Respuesta x2 + 3xy + 4x+ 2y2 + 5y = c

3. (x2 + y2 5)dx (y + xy)dy = 0Respuesta:

x3

3+ xy2 x

2

2y2 5

2x2 x

4

4 y

2

2= c

4. (2x 1)dx+ (3y + 7)dy = 0 Respuesta: x2 x+ 32y2 + 7y = c

5. (2x+ y)dx+ (x+ 6y)dy = 0 Respuesta: x2 + 3y2 + xy = c

6. (5x+ 4y)dx+ (4x 8y3)dy = 0 Respuesta: 4xy 2y4 + 52x2 = c

7. (sen y y sen x)dx+ (cos x+ x cos y y)dy = 0Respuesta: x sen x+ y cosx y

2

2= c

8. (2xy2 3)dx+ (2x2y + 4)dy = 0 Respuesta: x2y2 + 4y 3x = c9. (tanx sen x sen y)dx+ cos x cos y dy = 0 Respuesta:

10. exdx+ (ex cot y + 2y csc y)dy = 0) Respuesta: ex sen y + y2 = c1

11. ex(cos ydx sen ydy) = 0 Respuesta: k1 = ex cos y


UMSS - FCyT - Departamento de Matemticas1.9. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER

ORDEN

1.9. Ecuaciones Diferenciales Lineales de PrimerOrden

Las ecuaciones tienen la siguiente forma

dy

dx+ P (x)y = Q(x)

dx

dy+ P (y)x = Q(y)

Resolucin de la ecuacin lineal

dy

dx+ P (x)y = Q(x)

Ordenando e igualando a cero

[P (x)y Q(x)]dx+ dy = 0 (1.1)Entonces

M y = P (x); Nx = 0

M y N xN

=P (x) 0

1= P (x)

u = e

P (x)dx

Factor integranteMultiplicando la ecuacin diferencial (1.1) por el factor integrante

e

P (x)dx

[P (x)y Q(x)]dx+ e

P (x)dx

dy = 0

df = e

P (x)dx

[P (x)y Q(x)]dx+ e

P (x)dx

dy = 0

f(x, y)

x= P (x)ye

P (x)dx

Q(x)e

P (x)dx

f(x, y)y

= e

P (x)dx

Integrando respecto a y

f(x, y) =

e

P (x)dx

dy f(x, y) = e

P (x)dx

y + h(x)

Derivando respecto a x

f(x, y)

x= P (x)ye

P (x)dx

+ h(x)

Igualando las derivadas

P (x)ye

P (x)dx

+ h(x) = P (x)ye

P (x)dx

Q(x)e

P (x)dx




h(x) = Q(x)e

P (x)dx

Integrando respecto a x

h(x) =

Q(x)e

P (x)dx

dx f(x, y) = ye

P (x)dx

Q(x)e

P (x)dx

dx

c = ye

P (x)dx

Q(x)e

P (x)dx

dx

ye

P (x)dx

=

Q(x)e

P (x)dx

dx+ c Ecuacin de Leibniz

Ejemplo 1.20 Resolver la ecuacin diferencialdy

dx=

1

x sen y + 2 sen(2y)en y(0) = 0

Solucin:

dx

dy= x sen y + 2 sen(2y) dx

dy sen y x = 2 sen(2y); dx

dy+ P (y)x = Q(y)

Utilizando Leibniz xe

P (y)dy

=

Q(y)e

P (y)dy

dy + c

P (y) = sen y Q(y) = 2 sen(2y)

xe

sen ydy= 2

sen(2y) e

sen ydydy + c

xecos y = 2

2 sen y cos y ecos ydy + c xecos y = 4

sen y cos y ecos ydy + c

t = cos ydt = sen ydy xe

cos y = 4

tetdt+ c

u = tdu = dt

dv = etdtv = et

xecos y = 4[tet

etdt

]+ c

xecos y = 4 [cos yecos y ecosy] + c x = 4(cos y 1) + ce cos y


dx+ 2xy = 8x


UMSS - FCyT - Departamento de Matemticas1.9. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER

ORDEN

Solucin: sean P (x) = 2x y Q(x) = 8x

ye

P (x)dx

=

Q(x)e

P (x)dx

dx+ c

ye

2xdx

= 8

xe

2xdx

dx+ c yex2=

8

2

etdt+ c

yex2= 8

xex

2

dx+ c yex2= 4 [et] + c

yex2= 8

xex

2

dx+ c yex2= 4ex

2+ c

t = x2

dt = 2xdx dt2= xdx

y = 4 + cex2


dx+ y = x

Solucin:

sean P (x) = 1 y Q(x) = xu = xdu = dx

dv = exdxv = ex

yeP (x)dx=

Q(x)e

P (x)dxdx+ c yex = xex

exdx+ c

ye

dx

=

xe

dxdx+ c yex = xex ex + c

yex =

xexdx+ c y = x 1 + cex


Captulo 2

Aplicaciones de EcuacionesDiferenciales de Primer Orden

2.1. Aplicaciones Geomtricas

En geometra es posible emplear a las ecuaciones diferenciales las que per-miten definiciones precisas.

Y

XA Q

B

P0(x0, y0)

y = f(x)

Recta Tangente Recta Normal

Figura 2.1:

Pendiente: mt =dy

dx= y

= tan()

AP0 : Tg. BP0 : Normal AQ : subtangente BQ : Sub Normal

mN mt = 1

39

UMSS - FCyT - Departamento de MatemticasCAPTULO 2. APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES

DE PRIMER ORDEN

mN : Pendiente de la recta normal mt : Pendiente de la recta tangente

mN = 1mt

mN = 1y

Ecuaciones de la recta tangente y recta normal

y y0 = m(x x0)

mt =dy

dxmN = 1dy

dx

Ecuacin de la recta tangente

y y0 = dydx

(x x0) (2.1)

Ecuacin de la recta normal

y y0 = 1dydx

(x x0) (2.2)

Longitud de normal entre el punto P0(x0, y0) y el punto B

LN = y1 + (y)2

longitud de la recta tangente entre el punto P0(x0, y0) y el punto A

Lt = y

1 +

(dx

dy

)2Longitud de la subtangente Lst

Lst = ydx

dy

Longitud de la sub normal. LSN

LSN = ydy

dx


UMSS - FCyT - Departamento de Matemticas2.2. APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE

PRIMER ORDEN

Y

XO

R P (x, y)

Q

Figura 2.2:

Longitud de la tangente entre el punto P (x, y) y los ejes coordenados X,Y(ver figura 2.2 pgina 41)

PQ = y

1 +

(dx

dy

)2; PR = x

1 +

(dy

dx

)2Longitud de la recta normal entre el punto P (x, y) y los ejes coordenadosXY

PQ = LN = y1 + (y)2 con el eje X

PR = LN = x

1 +

(1

y

)2con el eje Y

Segmentos intersectados por la recta tangente en los ejes X, Y respectiva-mente

OR = y xy OQ = x y 1y

Segmentos intersectados por la recta normal con los ejes X, Y respectiva-mente

x+ yy y + x1

y

2.2. Aplicaciones de ecuaciones diferen-ciales de primer orden

1. Hallar la ecuacin de la curva que pasa por el punto (0, 4) cuya pen-diente de la recta tangente es igual a la suma de sus coordenadas

Solucin:



DE PRIMER ORDEN

mt = x+ ydy

dx= x+ y h(x) =

exxdx

(x+ y)dx dy = 0 u = x dv = exdx

du = dx v = ex

M y = 1 Nx = 0 h(x) = xex +

exdx

u = e101 dx = ex h(x) = xex xx

(ex + exy)dx exdy = 0 exy xex ex = cM y = e

x N x = ex exy = xex + ex + c

F

x= exx+ exy;

F

y= ex y = x 1 + cex

F = exy + h(x), Reemplazando x = 0, y = 4F

x= exy + h(x) 4 = 0 1 + c c = 5

exy + h(x) = exx+ exy y = 5ex x 1

2. Determinar la ecuacin de la curva que pasa por el punto (1, 0), cuyarecta tangente intersecta al eje de ordenadas en el doble de su abscisa.Recta tangente que intersecta al eje de ordenada

OB = y xdydx

Recta tangente que intersecta al eje de la abscisa

OA = x ydxdy

Y

XO

BA

Figura 2.3:

Solucin:



PRIMER ORDEN

y xdydx

= 2x dx Integrando respecto de yydx xdy = 2xdx F = y

x+ h(x)

(2x y)dx+ xdy = 0 Fx

= yx2

+ h(x)

M y = 1 N x = 1 y

x2+ h(x) =

2

x yx2

u = e 11

xdx;u = e2 lnx = elnx

2h(x) = 2 ln x

u = x2 u =1

x2c =

y

x+ 2 ln x (1,0)

(2

x yx2

)dx+

1

xdy = 0 E.D.E. c =

0

1+ 2 ln 1 c = 0

M y = 1

x2N x =

1

x2y

x+ 2 ln x = 0

F (x, y)

x=

2

x yx2;

F (x, y)

y=

1

x y = 2x lnx

3. Hallar la ecuacin de la velocidad de un mvil que se desplaza conuna aceleracin de 20 sen 2t. sabiendo que en v(0) = 0 mupslopesSolucin:

Integrandoa = 20 sen(2t) v = 10 cos(2t) + c v(0) = 0a =

dv

dt dv

dt= 20 sen(2t) 0 = 10 cos(0) + c c = 10

dv = 20 sen(2t)dt v = 10 10 cos(2t)

4. Un mvil se desplaza en lnea recta de manera que su velocidad excedeen 6 a su distancia respecto de un punto fijo a la recta si v = 5 mupslopescuando t=0 s. Hallar la ecuacin de movimiento del mvilSolucin:

v(0) = 5 mupslopes v = x+ 6 x = ket 6dx

dt= x+ 6 dx

x+ 6= dt; Separandovariable

dx

dt=v=ket; v(0)=5m/s

ln(x+ 6) = t+ c 5 = ke0 k = 5x+ 6 = ket x = 5et 6



DE PRIMER ORDEN

5. Hallar la ecuacin de la curva que pasa por el punto (1, 0) cuya lon-gitud de la recta tangente entre el punto de tangencia y el eje Y esigual al cuadrado de su abscisa

Lt = x2

Solucin:

Longitud de la Tg y el eje Y

Lt = x1 + (y)2

dy

dx=x2 1

x1 + (y)2 = x2

x2 1dx dy = 0

1 + (y)2 = x Por tablas ( Integral)(1 + (y)2

)2= x2

x

2

x2 1 1

2ln(xx2 1 ) y = c

1 + (y)2 = x2 (1, 0) c = 0

y =x2 1 y = x

2

x2 1 1

2ln(x+

x2 1

)6. El rea de un rectngulo ubicada entre el origen y el punto (x, y)

vertices opuestos. Hallar la ecuacin de la curva que divide al rearectangular en dos reas, donde una de ellas es el tripleSolucin: (Ver Figura 2.4)

A2A1

(x, y)

Figura 2.4:

A1 = xy ba

ydx; A2 =

x0

ydx Derivando respecto de x

A1 = 3A2 y + xdy

dx= 4y xdy

dx= 3y

xy x0

ydx = 3

x0

ydx ln y = 3 ln x+ ln c

xy = 4

x0

ydx y = cx3



PRIMER ORDEN

7. Hallar la ecuacin de la curva, pasa por el punto (1, 3) si su pendientede la recta tangente es el triple de su abscisa, en el punto de contactoSolucin:

mt = 3x y = 3x2

2+ c

dy

dx= 3x (1, 3) 3 = 31

2+ c

dy = 3xdx c = 3 32=

6 32

=3

2dy =

3xdx y = 3

2x2 +

3

2

8. Determinar la ecuacin de la curva, pasa por el punto (2, 7) si supendiente de la recta tangente es el cociente de su ordenada entre suabscisa del punto de tangencia.Solucin:

mt =y

xln y = ln(xc)

dy

dx=

y

x dy

y=dx

xy = xc

Integrando (2, 7) 7 = 2c c = 72

ln y = ln x+ ln c y = 72x

9. Hallar la ecuacin de la curva cuyas rectas normales pasan por elorigen de coordenadas.Solucin:

mt =dy

dx; mN = 1dy

dx

y = dxdyx ydy = xdx

Ecuacin de la recta:y2

2= x

2

2+ c

y y0 = mN (x x0) y2 + x2 = k

y y0 = 1dydx

(x x0) en (0, 0) x2 + y2 = k



DE PRIMER ORDEN

10. Si una barra metlica pequea, cuya Temperatura inicial es de 20oC sedeja caer en un recipiente de agua hirviente. Cuanto tiempo tardaraen alcanzar 90oC, si sabe que su temperatura aumento 2oC en unsegundo? Cuanto tiempo tardara en llegar a 98oC?

Solucin:T (0) = 20oC; T (1) = 22oC; T (?) = 90oC; T (?) = 98oC

dT

dt= k(T Tm) Ec.Dif.1o O. 78 = 80e

k

ln(T Tm) = kt+ c; ek = 7880 k = ln 78

80

T = Tm + c1ekt; c1 = ec k = 0,02531

T = 100 + c1ekt T = 100 80e0,02531t

Tm = 100oC agua hirviente 90 = 100 80e0,02531t

Condiciones de borde 80e0,02531t = 10

20 = 100 + c1e(k)(0) e0,02531t = 1

8

c1 = 80 ln e0,02531t = ln 18

T = 100 80ekt 0,02531t = 2,079422o = 100 80ek t = 82,16 s.

b) 98 = 100 80e0,02531t 2 = 80e0,02531t t = 145,74

11. Un cuerpo de temperatura desconocida se coloca en un frigorfico quese mantiene a temperatura constante a 0oF . Despus de 15 minutosel cuerpo esta 30o F y despus de 30 minutos est a 15oF Cual sersu temperatura inicial ?

Solucin:

Tm = 0oF ; T (15) = 30oF ; T (30) = 15oF ; T (0) =?

dT

dt= k(T Tm)



PRIMER ORDEN

dT

T Tm = k

dt

ln(T Tm) = kt+ c T (15) = 30oF 30 = c1e15 ln 215OBS: c1 = ec 15 = c1e30k (2) c1 = 60

T Tm = c1ekt de (1) y (2) se tiene T = 60eln 2

15t

T = Tm + c1ekt 30

15=e15k

e30kT (0) =?

T =c1ekt;T (15)=30oF 2 = e15k T = 60e0

30 = c1e15k (1) k = ln 215

T = 60oF

12. Una olla de sopa inicialmente hirviendo, se enfra en aire a 0oC y alos 30 minutos esta a una temperatura 20oC Cuanto se enfra en lossiguientes 30 minutos ?Solucin:

Tm = 0oC T = c1e

kt k =1

30ln

2

10

T (0) = 100oC 100 = c1e0 T = 100e

130

ln 210t

T (30) = 20oC c1 = 100 T (60) =?

dT

T Tm = kdt T = 100ekt T = 100e

130

ln( 210)60

ln(T Tm) = kt+ c 20 = 100e30k T = 4oF ; T = 20 4

T = Tm + c1ekt 30k = ln

2

10 T = 16oC

13. Un termmetro se lleva del interior de una habitacin al exterior,donde la temperatura del aire es de 5oF. Despus de un minuto, eltermmetro indica 55oF cinco minutos despus marca 30oF. Cual esla temperatura del interior?

Solucin:Tm = 5

oF

T (1) = 55oF

T (5) = 30oF



DE PRIMER ORDEN

dT

dt= k(T Tm) 50 = ce

k

25 = ce5k

dT

T 5 = kdt50

25=

cek

ce5k 2 = e4k

Integrando ln 2 = 4k ln ek = ln 24dT

T 5 =

kdt k = 0,173286

ln(T 5) = kt+ c1 50 = ce0,173286

T 5 = cekt c = 500,84089

= 59,46

T = 5 + cekt ,T (1) = 55oF T = 5 + 59,46e0,173280t

55 = 5 + cek (I) T (0) =?;T = 5 + 59,46

30 = 5 + ce5k (II) T = 64,46oF

14. Un termmetro se saca de un recinto donde la temperatura del airees 70oF y se lleva al exterior, donde la Temperatura es 10oF , Despusde

1

2minuto es de 50oF Cual es la temperatura cuando t = 1min

Cuanto tiempo se necesita para que el termmetro llegue a 15oF?Solucin: T (0) = 70oF , T (1

2) = 50oF ,Tm = 10oF , T (1) =?

T (?) = 15oF T (0) = 70oF T = 10 + 60e0,81093t

dT

dt= k(T Tm) 70 = 10 + ce0 T (1) =?

dT

dt= k(T 10) c=60; T (1

2) = 50oF T = 10 + 60e0,81093

Integrando 50 = 10 + 60e12k T =36,66oF, T (?)=15oF

ln(T 10) = kt+ c1 23= e

12k, ln

2

3=

1

2k 15 = 10 + 60 e0,81093t

T 10 = cekt k = 2 ln 23

5 = 60e0,81093t

T = 10 + cekt k = 0,8109302 t = 3,06min



PRIMER ORDEN

15. La temperatura de un motor en el momento en que se apaga es 200oC.La temperatura del aire que la rodea es de 30oC. Despus de 10 mi-nutos. La temperatura de la superficie del motor es de 180oC

a) Cuanto tiempo tomara que la temperatura de la superficie delmotor baje a 40oC?

b) Para una temperatura dado T entre 200oC y 30oC sea t(T ) eltiempo que se necesita para que el motor se enfri de 200oC aT [Por ejemplo, t(200) = 0 y t(40) es es la respuesta del incisoa)] encuentre la frmula para t(T ) en trminos de T y grafiquela funcin (la temperatura ambiente sigue siendo 30oC)Solucin: T (0) = 200oC , Tm = 300oC , T (10) = 180oC

a) T (?) = 40oC 200 = 30 + c1e(k0) c1 = 170

dT

dt= k(T Tm) T (10) = 180oC

ln(T Tm) = c1ekt 180 = 30 + 170e10k 1517

= e10k

T = Tm + c1ekt k = 0,0125; T = 30 + 170e0,0125t

T = 30 + c1ekt 40 = 30 + 170e0,0125t

T (0) = 200oC t = 226,6min

b) t = f(T )T = 30 + 170ekt

K =1

10ln15

17

K = ln

(15

17

) 110

T = 30 + 170e110

ln 1517

T 30170

= eln(1517)

t10

T 30170

= 1517

t10

ln

(T 30170

)=

t

10ln15

17

t =10

ln 15 ln 17 ln(T 30170

)



DE PRIMER ORDEN

16. Debe colocarse un objeto a 100oC en un cuarto a 40oC Cual debe serla constante de proporcionalidad para el objeto este a 60oC despusde 10 minutos?.Solucin:

T (0) = 100oC, T (10) = 60oC Tm = 40oC;

dT

dt= k(T Tm)

dT

(T Tm) = kdt Para T (0) = 100oC 20 = 60e10k

ln(TTm)=kt+c1 100 = 40 + cek0 13= e10k

T Tm = ekt+c1 c1 = 60 ln 13= 10k ln e

T = Tm + cekt Para T (10) = 60oC k =

1

10ln1

3

T = 40 + cekt 60 = 40 + 60e10k k = 0,1099

2.3. Mecnica

2.3.1. Movimiento vertical incluyendo la resistencia delaire

ma = F

mdv

dt=

F

?

~mg

kv6

La resistencia del aire es proporcional a la magnitud de la velocidad y actaen direccin opuesta a la de la velocidad

Fuerza resistiva = kv

mdvdt

= mg kv



2.3. MECNICA

2.3.2. Ejemplos

Ejemplo 2.1 Una masa de 20g se deja caer desde un avion que vuela hori-zontalmente. La resistencia del aire acta con una constante de proporciona-lidad de 10 g/s considerando solo movimiento verticala) Determinar la velocidad en funcin del tiempob) Calcular la velocidad despus de 10 s, antes de chocar conel suelo

Solucin:

m = 20gk = 10 g/s

?

ymg

kv6

a) mdv

dt=

F

mdv

dt= mg kv m

dv

dt= g kv

m dv

dt+

k

mv = g Ecuacin Diferencial Lineal

dv

dt+10

20v=980 ;

dv

dt+1

2v=980 ; P (t) =

1

2; Q(t) = 980

ve

P (t)dt

=

Q(t)e

P (t)dt

dt+ c ve

1

2dt

=

980e

1

2dtdt+ c

ve12t = 980

e12tdt+ c

ve12t = 980 2e 12 t + c v = 1960 + ce 12 t; v(0) = 0 valores iniciales

0 = 1960 + ce(12)(0) c = 1960

v = 1960 1960e 12 t v = 1960(1 e 12 t

)b) v = 1960

(1 e( 12 )(10)

) v = 1960 (1 e5) ; v = 1947 cm/s

Ejemplo 2.2 Una masa de 1g se mueve en linea recta debido a la F =ma donde la fuerza es directamente proporcional al tiempo desde t = 0 einversamente proporcional a la velocidad en t = 10 s su velocidad es igual50 cm/s y la fuerza igual a 4 dinas Que velocidad tendr la masa al cabode un minuto del comienzo del movimiento?



DE PRIMER ORDEN

Solucin:

m = 1g v(10) = 50 cm/s Ft

v

F = 1 dina F = ma F = kt

v

4 gcm

s2= k 10s

50 cm/s

502

2= (20) (10

2)

2+ c

k = 20 gcm2

s4c = 250

mdv

dt= k t

vv2 = 20t2 + 250

mdv

dt= 20 t

vt = 1min = 60s v =?

vdv = 20tdt v2 = (20)(602) + 250

Integrando v2 = 72250

v2

2= 20

t2

2+ c v =

72250 cm/s

Para v(10) = 50 cm/s v = 268,79 cm/s

Ejemplo 2.3 Hallar y = f(x) (solucin) que pasa por el punto (1,2) demodo que el coeficiente angular de la tangente en cualquiera de sus puntossea igual a la ordenada del mismo punto aumentado en cinco veces

Solucin:

m =dy

dxdy

dx= y + 5;

Separamos variablesdy

y + 5= dx

Integrandody

y + 5=

dx

ln(y + 5) = x+ c

y + 5 = ex+c

y = 5 + c1ex Si P (1, 2)2 = 5 + c1e1

7 = c1e c1 = 7e

y = 5 + 7eex

1. Se lanza hacia arriba una pelota de masa 1kg con una velocidad inicialde 50m/s. si la resistencia del aire es cinco veces su velocidad. Asumirg = 10m/s2



2.3. MECNICA

a) Hallar la ecuacin de la trayectoriab) En que instante su velocidad es ceroc) Cual es su altura mxima

Solucin:

g = 10m/s2

mdv

dt= mg kv ?? kv

~mg

~a6

F = ma

mg kv = mdvdt

mdv

dt+

k

mv = g

dv

dt+ 5v = 10

ve5t = 10

e5tdt+ c v5t = 10e5t

5+ c

v = 2 + ce5t v(0) = 50 valor inicial50 = 2 + ce0 c = 52 v = 2 + 52e5tb) v(t =?) = 0

0 = 2 + 52e5t 5t = ln(2

52

) t = 0,65 [s]

c) yMax =?dy

dt= 2 + 52e5t

dy = (2 + 52e5t)dt y = 2t+ 52e5t

5+ c1

Reemplazando y(0) = 0 valores iniciales

0 = 2 (0) 525e0 + c1 c1 = 52

5

y = 2t 525e5t +

52

5

y = 2(0,65) 525e5(0,65) +

52

5y = 8,69m

2. Se deja caer un cuerpo de masa m sujeto a la resistencia del aire esproporcional a la velocidad. Asumir g = 10m/s2



DE PRIMER ORDEN

a) Determinar la velocidad en funcin del tiempo con la condicinv(0) = v0

b) Calcule v =? si tc) Hallar y = f(t)

Solucin: g = 10 mupslopes

?

kv~v0

y

mg = w

~6

a)

F = ma t =m

kln

(mg kv0mg kv

)mdv

dt= mg kv k

mt = ln

(mg kv0mg kv

)m

dv

mg kv = dt ekmt =

(mg kv0mg kv

)m

dv

mg kv =

dt mg kv = (mg kv0)e km t

mkln(mg kv) = t+ c; v(0) = v0 kv=mge km t+kv0ekm t+mg

mkln(mg kv0) = c v=mg

k+(v0mg

k

)e

kmt

mkln(mgkv)= tm

kln(mgkv0)

b) v =? t

v =mg

k+(v0 mg

k

)e ; notese e = 0 v = mg

k

c) v=mg

k+(v0 mg

k

)e

kmt; v =

dy

dtdy

dt=mg

k+(v0 mg

k

)e

kmt

Integrando: y =mg

k t+ m

k

(v0 mg

k

)e

kmt + c1

Si y(0) = 00 = m

k

(v0 mg

k

)e0 + c1 c1 = m

k

(v0 mg

k

) y = mg

kt m

k

(v0 mg

k

)e

kmt +

m

k

(v0 mg

k

)Ing. Ral Romero E. 54


2.3. MECNICA

3. Una bola de caon pesa 16 libras se dispara verticalmente hacia arribacon una velocidad inicial de 300 pie/s

a) Suponga que no se toma en cuenta la resistencia del aire. Deter-minar la ecuacin de la velocidad en funcin del tiempo tomarg = 32 pie/s2

b) Determinar la posicin en funcin del tiempo; y = f(t)

c) Determinar la altura mxima

Solucin:

?

6

a

~w = mg

v0 = 300 pie/s

~ 6

a)

F = ma v = 300 gt c) v = 300 32tmg = ma v = 300 32t v(t =?) = 0

mdv

dt= mg b) v= dy

dt= 300 32t 0 = 300 32t

v = gt+ c1 dy = (300 32t)dt t = 758s = 9,375 s

v(0) = 300 pie/s y = 300t 16t2 + c y = 300t 16t2

300 = g 0 + c1 y(0)=0 0=0 0+c con t = 9,375c1 = 300 y = 300t 16t2 yMax = 1406,25 pie

4. Una masa de 20g se deja caer desde un avion que vuela horizontal-mente. La resistencia del aire acta con una constante de propor-cionalidad de 10 g/s. considere solo movimiento vertical.

a) Determinar la ecuacin del movimiento en funcin del tiempo

b) Calcular la velocidad despus de 10s.

c) Calcular la velocidad terminal cuando t

Solucin: (Ver Figura 2.5)



DE PRIMER ORDEN

w = mg

kva

Figura 2.5:

a)

F = ma 2 ln(980 1

2v

)= t 2 ln(980)

mg kv = mdvdt

t = 2 ln

980980 1

2v

dv

dt= 980 1

2v

t

2= ln

980

980 12v

dv

980 12v= dt e

t2 =

980

980 12v

2 ln(980 1

2v

)= t+ c1 Despejamos v =?

v0 = 0 t = 0 v = 1960(1 e t2 )c1 = 2 ln(980)b) v = 1960(1 e 102 ) v = 1947 cm/s.c) v(t) =? v = 1960 cm/s.

5. Un peso de 32 lb esta cayendo a travs de un gas cerca de la superficiede la tierra. La resistencia es proporcional al cuadrado de la velocidad,con una constante de proporcionalidad de 1 en t = 0 su velocidad es1000 pie/s

a) Determinar la ecuacin del movimiento en funcin del tiempo

b) Calcular velocidad cuando tSolucin:



2.3. MECNICA

a)

F = ma w = 32

mdv

dt= mg kv2 mg = 32

dv

dt= 32 v2 m = 32

32= 1

Por tablasdv

32 v2 = dt a =32

dv

a2 v2 =1

2aln

(a+ v

a v)

Integrando

1

232

ln

(32 + v32 v

)= t+ c v(0) = 1000 pie/s.

1

232

ln

(32 + 100032 1000

)= c

1

232

ln

(32 + v32 v

)= t+

1

232

ln

(32 + 100032 1000

)

t =132

ln

32 + v32 v

32 + 100032 1000

, sea k =32 + 100032 1000

232t = ln

32 + v32 vk

ke232t =

32 + v32 v

Despejando v v =32(ke2

32t 1)

(ke232t + 1)

b) v(t) =? v = 32(ke 1ke + 1

) v =

32

6. Un peso de 64 lb se lanza verticalmente al aire desde la superficie dela tierra. En el instante que deja el disparador tiene una velocidad de192 pie/s

a) Ignorando la resistencia del aire determine cuanto tiempo es nece-sario para que el objeto alcance su mxima altura



DE PRIMER ORDEN

b) Si la resistencia del aire acta de de acuerdo con la ecuacinkv con una constante de proporcionalidad de 4 Cuanto tiempotoma el objeto alcance su mxima altura.?Solucin:

6

?a

~w = mg

v0 = 192 pie/s

~6

g = 32 pie/s

F = ma v(0) = 192 pie/s. v(t =?) = 0

mdv

dt= mg 192 = (32)(0) + c 0 = 192 32t

dv = gdt c = 192 t = 6 sv = gt+ c v = 192 32tb)

?6

?

a

~w = mg

v = 192 pie/s.

~

6

kv

F = ma

1

2ln(32 + 2v) = t+ 1

2ln (32 + 2 192)

mdv

dt= mg kv t = 1

2ln

(416

32 + 2v

)2dv

dt= 64 4v e2t = 416

32 + 2v

dv

32 + 2v= dt v = 208e2t 16 ; v(t =?) = 0

1

2ln(32 + 2v) = t+ c 0 = 208e2t 16208e2t = 16

v(0) = 192 pie/s. t =1

2 ln16

208

1

2ln(32 + 2 192) = c t = 1,28 s.

2.4. Circuitos en seriea) Circuito en serie: Tiene un resistor y un inductor2. Ley de kirchoff : Las cadas de voltaje del inductor mas el resistor esigual a la fuente de tensin



2.4. CIRCUITOS EN SERIE

iE(t)

R

i

L

L: Inductor HenryR: Resistencia OhmioE(t): Voltaje. Voltio

Ldi

dt+Ri = E(t) i =

dq

dti corriente amper

b) Circuito en serie: Tiene una resistencia y capacitor

iE(t)

C

RR: Resistencia OhmioC: Capacitor FaradE(t): Voltaje Voltios

Ri+1

Cq = E(t) R

dq

dt+

1

Cq = E(t) E.D.L. 1er Orden

1. Un acumulador de 24 voltios se conecta a un circuito en serie con unainductancia de 2H y una resistencia de 20 ohmios.a) Determinar la ecuacin diferencial del circuitob) Hallar i = f(t) c) i(0) =? d) i(5) =?


E(t) = 24

R = 20

L = 2H

Figura 2.6:

a) Ldi

dt+Ri = E(t) 2di

dt+ 20i = 24

di

dt+ 10i = 12 Ecuacin Diferencial Lineal

b) ie

P (t)dt

=

Q(t)e

P (t)dt

dt+c ie10t=16

5e10t+c



DE PRIMER ORDEN

ie10

dt

= 12

e

10dt

dt+ c i= 65+ce10t

ie10t = 12

e

10dt

dt+ c

c) i(0) =?, c = 65

d) i(5) =6

5 65e50 = 2,4A

i =6

5 65e10t i(0) = 0 i(5) = 2,4A

2. Se tiene un circuito en serie LR con 30V ; 1 Henry de inductancia y50 ohmios de resistencia

a) Determinar i = f(t)

b) si i(0) =?

c) i() =? Hallar i =? en t

Solucin:

E = 30V

R = 50

L = 1HLdi

dt+Ri = E(t)

di

dt+ 50i = 30

a) ie50t = 30

e50tdt+ c 0 =

3

5+ ce(50)(0)

ie50t = 30 e50t

50+ c b) i(0) = 0; c = 3

5

i =3

5+ ce50t i = 3

5 35 e50t

c) i =3

5 35e(50)() i = 3

5A

3. Considere un circuito en serie donde E = 0 con un resistor de 3 yun inductor de 1 Henry




a) Determine la ecuacin de la corriente en funcin del tiempo sien-do que su valor inicial es i(0) = 6A

b) Hallar i(2) =?

Solucin: (ver Figura 2.7)

E = 0

R = 3

L = 1H

Figura 2.7:

a) Ldi

dt+Ri = E(t) ie3t = c i = ce3t

di

dt+ 3i = 0 6 = ce(3)(0) c = 6 i = 6e3t

ie3t = 0

e3t + c b) i(2) = 6e(3)(2) i(2) = e6

4. La fuente voltaje es constante igual a 1V en un circuito en serie LRdonde L = 1 Henry una resistencia de 2 ohmios

a) Determinar la corriente como funcin del tiempo para cualquiercorriente inicial i(0) = 0

b) Hallar la corriente en t i =?c) Hallar la corriente en t = 5 i =?


1V L=1H

R = 2

Figura 2.8:

a) Ldi

dt+Ri = E(t) b) i =?; t

di

dt+ 2i = 1 i = 1

2[A]



DE PRIMER ORDEN

ie2t =

e2tdt+ c c) i =

1

2 12e(2)(5)

ie2t =1

2et + c i =

1

2(1 e10)

i=1

2+ce2t; i(0) = 0 i = 0,49A

c=12; i=

1

2+1

2e2t

5. En un circuito en serie LR la fuente de Voltaje es 4 voltios, la resisten-cia es de 6 ohmios y un inductor de 2 Henry. Establezca la ecuacindiferencial para la corriente.

a) Determine la corriente como la funcin del tiempo para cualquiercorriente inicial i(0) = 0

b) Encuentre la corriente en tc) Calcule la corriente en t = 2 i(2) =?


4V L=2H

R = 6

Figura 2.9:

Ldi

dt+Ri = E(t) ie3t = 2

(e3t

3

)+c b) t i= 2

3[A]

2di

dt+ 6i = 4 i(0) = 0 c) i =

2

3(1 e(2)(3))

a)di

dt+ 3i = 2 c = 2

3 i = 0,66A

ie3t = 2

e3tdt+ c i =

2

3 23e3t

6. Se aplica una fuerza de 80 voltio a un circuito en serie R.C. de dondela resistencia es de 50 ohmio y la capacitancia es de 104F determinar




R = 50

C = 104F80 v

Figura 2.10:

q(t) del capacitor si q(0) = 0. Hallar la corriente en t = 10 segundosSolucin:

Rdq

dt+

1

Cq = (t) qe(5)(10

+3)t=8

5

e(5)(10

3)tdt+ c

50dq

dt+

1

104q = 80 v q =

8

55 103 + ce(5)(10+3)t

dq

dt+

1

(50)(104)q =

8

5q = 8 103 + ce(5)(103)t

qe

150104

dt

=8

5

e

150104

dt

dt+ c i = dqdt

= 5 103ce5103t

7. En un circuito en serie LR la fuente de voltaje es sen t, la resistenciaes 1 ohmio y la inductancia es de 1 Henry.a)Establecer la ecuacin diferencial del circuitob)Hallar la ecuacin de la corriente en funcin del tiempo para i(0) = 0c) Hallar i(pi) =?


E(t) = sen t

L=1H

R = 1

Figura 2.11:

a) Ldi

dt+Ri = E(t) iet =

et sen t et cos t2

+ c

di

dt+ i = sen t iet =

1

2et sen t 1

2et cos t+ c



DE PRIMER ORDEN

b) iet =

sen tet dt+ c i =

1

2sen t 1

2cos t+ cet

u = sen t dv = et dt 0 =1

2sen 0 1

2cos 0 + c

du = cos t dt v = et c = 12

iet = et sen t

et cos t dt+ c i =1

2sen t 1

2cos t+

1

2et

u = cos t dv = etdt c) i(pi) =?

du = sen t dt v = et i= 12sen 180o 1

2cos 180o+ 1

2epi

iet=et sen t[et cos t+sen tetdt]+c i = 1

2

(1 + epi

)iet = et sen t et cos t

sen tetdt

8. Se aplica una fuerza electromotriz

E(t) =

{120 0 t 200 t > 20

En un circuito en serie LR donde la inductancia es de 20 Henry yresistencia 2 ohmio determinar la corriente i(t) si i(0) = 0Solucin: (Ver Figura 2.12 )

E L=20

R = 2di

dt+R

Li =

E

Ldi

dt+

2

20i =

120

20di

dt+

1

10i = 6

Figura 2.12:




ie

110dt=6

e

110dtdt+ c ie

110t = 60e

110t 0 = 60 + c

1100

ie110t=6

e

110tdt+ c i = 60 + ce

110t c = 60

ie110t=6 e

110t

110

+ c i(0) = 0 i = 60 60e 110 t

con t = 20di

dt+

2

20i = 0 60(1 e2) = ce 11020

i = 60 60e2 ie 110 t =

0e110t + c 60(1 e2) = ce2

i = 60(1 e2) ie 110 t = c c = 60(e2 1)di

dt+R

Li = 0 i = ce 110 t i = 60(e2 1)e 110 t

9. Resolver la ecuacindi

dt+R

Li = E(t). Siendo E(t) = E0 senwt y que

i(0) = i0di

dt+R

Li = E0 senwt

Solucin:ie

RLt

= E0

senwt e

RLt

dt+ c

u = senwt dv = eRLt

dt

du = w cos(wt) dt v =L

ReRLt

ieRLt

= E0

LReRL t sen(wt) LwR

eRLt cos(wt)dt

Int. por partes

+ cie

RLt

= E0

[R2e

RLt

R2 + L2w2

(L

Rsen(wt) L

2w

R2cos(wt)

)]+ c

i =E0R

R2 + L2w2

(L sen(wt) L

2w

Rcos(wt)

)+ ce

RLt

; i(0) = i0

i0 =E0R

R2 + L2w2

(L sen(w0) L

2w

Rcos(w0)

)+ce0 c = i0+ E0L

2w

R2 + L2w2



DE PRIMER ORDEN

i =E0R

R2 + L2w2

(L sen(wt) L

2w

Rcos(wt)

)+

(i0 +

E0L2w

R2 + L2w2

)eRLt

10. En un circuito R L conectado en serie una resistencia de 2 y unabatera de 2H y una FEM E(t) = 100 sen(2pit). Hallar i = f(t) sii(0) = 0

Solucin:di

dt+ i = E(t)

di

dt+ i = 100 sen(2pit)

iet = 100

et sen(2pit)dt

Int. por partes

+cu = sen(2pit) dv = etdtdu = 2pi cos(2pit) dt v = et

et sen(2pit)dt = et sen(2pit) 2pi

et cos(2pit)dt

Int. por parteset sen(2pit) dt = et sen(2pit) 2piet cos(2pit) 4pi

et sen(2pit)dt

et sen(2pit)dt (1 + 4pi) = et sen(2pit) 2piet cos(2pit)

I =

et sen(2pi)dt =

1

1 + 4pi

(et sen(2pit) 2piet cos(2pit))

iet = 100

[et

1 + 4pi(sen(2pit) 2pi cos(2pit))

]+ c

0 =100

1 + 4pi(sen 0 2pi cos 0) + c

c =200pi

1 + 4pi i = 100

1 + 4pi(sen(2pit) 2pi cos(2pit)) + 200pi

1 + 4piet

11. Se tiene en un circuito RC tiene resistencia variable, si la resistenciaen cualquier momento es R = k1 + k2t donde k1 y k2 son constantesen E(t) = E0, q(0) = q0Solucin: (Vase Figura 2.13 )

vE(t) = E0 C

R = k1 + k2t

Figura 2.13:




D/ q = E0C + q0 E0C(

k1k1 + k2t

) 1k2c

dq

dt+

1

c(k1 + k2t)q =

E0k1 + k2t

Ecuacin Diferencial Lineal

qe

1

c

dt

k1 + k2t= E0

dt

k1 + k2t e1

c

1

k1 + k2tdt+ c

u = k1 + k2t

du = k2dt dt =du

k2

qe

1

ck2

du

u= E0

1

k1 + k2t e

1

k2c

du

udt+ c1

qe

1

k2cln u

= E0

1

k1 + k2t e

1

k2cln u

dt+ c1

qelnu

1

k2c= E0

1

k1 + k2t eln u

1

k2cdt+ c1

qe

1

k2c = E0

1

k1 + k2t u

1

k2c dt+ c1

q(k1 + k2t)

1

k2c = E0

1

k1 + k2t (k1 + k2t)

1

k2c dt+ c1

q(k1 + k2t)

1

k2c = E0

(k1 + k2t)

1

k2c1

dt+ c1

u = k1 + k2t du = k2dt dt =du

k2

q(k1 + k2t)

1

k2c =E0k2

u

1

k2c1du+ c1

q(k1 + k2t)

1

k2c =E0k2 u

1

k2c

1

k2c

+ c1

q(k1 + k2t)

1

k2c = E0C(k1 + k2t)

1

k2c + c1



DE PRIMER ORDEN

q = E0C + c1(k1 + k2t)1

k2c ; q(0) = q0

q0 = E0C + c1(k1)1

k2c ; c1 = (q0 E0C)k1

k2c1

q = E0C + (q0 E0C)k1

k2c1 (k1 + k2)

1

k2c

q = E0C + (q0 E0C)(

k1k1 + k2t

) 1k2c

12. Se aplica una fuerza electromotriz de 100 voltios a un circuito en serieRC donde la resistencia es de 200 y la capacitancia es de 104 farada) determine la carga q(t) del capacitor si q(0) = 0b) Halle la corriente i(t)Solucin: (ver Figura 2.14)

E(t)

C

R

Figura 2.14:

E = 100V ; R = 200 q =1

100+ ce50t

C = 104F q(0) = 0; 0 =1

100+ ce(50)(0)

Rdq

dt+

1

Cq = E(t) c = 1

100

200dq

dt+

1

102q = 100 q =

1

100 1100

e50t

dq

dt+ 50q =

1

2q =

1

100(1 e50t)

qe50t =1

2

e50tdt+ c

dq

dt= i =

50

100e50t

qe50t =1

2 e

50t

50+ c i =

50

100e50t i = 1

2e50t




13. En un circuito en serie RC con resistencia en serie 1 capacitor de0,5 Farad y una batera de 2V . Encuentre la corriente que circula y lacarga q(t) en el capacitor para q(0) = 0

Solucin: R = 1 C = 0,5F E(t) = 2V

Rdq

dt+

1

Cq = E(t) q = 1 + ce2t ; q(0) = 0

dq

dt+

1

0,5q = 2 0 = 1 + ce(2)(0) c = 1

qe2dt = 2

e2dtdt+ c q = 1 1e2t

qe2t = 2 e2t

2+ c i =

dq

dt= 2e2t i = 2e2t

14. Se aplica una batera de 200V a un circuito en serie RC la resistenciaen 1000 y la capacitancia es de 5 104 Farada) Determine la carga q(t) del capacitor si i(0) = 0,4A; b) Encuentrela carga y la corriente en t = 0,005 s; c) Hallar la carga cuando tSolucin: ( Ver Figura 2.15)

200V

C = 5 104F

R = 1000

Figura 2.15:

a) Rdq

dt+

1

Cq = E(t) q = 4 103 + ce50t

1000dq

dt+

1

5 102 q = 200dq

dt= i = 50ce50t

dq

dt+ 50q = 0,2 0,4 = 50ce(50)(0)

qe50dt = 0,2

e50dtdt+ c c = 0,008

qe50t = 0,2e50t

50+ c q = 4 103 8 103e50t



DE PRIMER ORDEN

b) q(0,005) =?; i(0,005) =? i = 50ce50t

q = 4 103 8 103 e50t i = 50 8 103 e50t

q = 4 103 8 103 e(50)(0,005) i = 0,4 e(50)(0,005)

q = 4 103 8 103 e0,25 i = 0,4 e0,25

q = 0,0022 [C] i = 0,3A

c) q = 4 103 8 103e(50)() q = 4 103 [C]

2.5. Problemas de Ecuaciones Diferenciales de1o Orden

Crecimiento.-

1. Una estimacin de la taza de crecimiento de Estados unidos es 1.5%por ao cuantos aos tomar para que la poblacin se duplique ?

Solucin.k = 1,5% = 0,015 P (0) = P0 P (t =?) = 2P0dP

dt= kP dP

P= kdt P = cekt

Reemplazando valores iniciales P0 = ce0 C = P0P = P0e

kt

2P0 = P0ekt 2 = e0,015t t = ln 2

0,015t = 46,2 aos

2. Un cristal crece 5%en un da cuando se puede esperar que el cristaltenga el doble de su tamao.?

Solucin.k = 5% = 0,05 P (0) = P0 P (t =?) = 2P0dP

P= kdt P = cekt P0 = ce

k0 C = P0P = P0e

kt 2P0 = P0e0,05t t = ln 20,05

t = 13,86 das



2.6. EJERCICIOS PROPUESTOS

3. Se desconoce la taza de crecimiento de cierta especie de bacteria perose supone que es constante. Al comenzar el experimento, se estimaque haba al rededor de 1500 bacterias y una hora despus hay 2000 Cual sera su produccin sobre el nmero de bacterias que habr en4 horas despus de iniciado el experimento.?

Solucin.P (0) = 1500 = P0 bact. P = cektP (1h) = 2000 bact. P0 = Ce0

P (4h) =? C = 1500

P = 1500ekt con t = 1h P (1h) = 2000 = 1500ek 2015= ek k = ln 4

3

P = 1500e(ln43)t P = 1500

(4

3

)tcon t = 4 P = 1500

(4

3

)4 P = 4740,7 bacterias

2.6. Ejercicios Propuestos1. Si la poblacin de un pas se duplica en 50 aos , en cuntos aos

ser el triple suponiendo que la velocidad de aumento sea proporcionalal nmero de habitantes?Respuesta: 79 aos

2. Hallar el tiempo necesario para que una cantidad de dinero aumente

el doble al 5% por ao, inters compuesto continuo. Sugerencia:dx

dt=

0,05x, donde x es la suma al cabo de t aos.

Respuesta: 13.9 aos

3. El radio se descompone a una velocidad proporcional a la cantidadpresente. Si la mitad de la cantidad original desaparece en 1600 aos, hallar el porcentaje de perdida en 100 aos.

Respuesta: 4,2%

4. Si cuando la temperatura del aire es 20%C, se enfria una sustanciadesde 100oC hasta 60%C en 10 minutos, hallar la temperatura de-spus de 40 minutos

Respuesta: 25%C



DE PRIMER ORDEN


Captulo 3

Ecuaciones DiferencialesHomogneas de 2o Orden yOrden Superior a CoeficientesConstantes

Mtodo de Euler.- Tiene la siguiente forma

y + Py +Qy = 0 P,Q R, P y Q son constantesSi tenemos una solucin y1 = ekx. Donde k se debe determinar con lacondicin que y y = ekx satisface la ecuacin diferencial de Segundo OrdenHomogneo y + Py +Qy = 0

y1 = kekx y1 = k

2ekx

k2ekx + Pkekx +Qekx = 0

ekx(k2 + Pk +Q) = 0 ekx 6= 0 k Rk2 + Pk +Q = 0 Ecuacin Caracterstica de la Ecuacin Diferencial

Para resolver se presentan 3 casos.Primer Caso: P 2 4Q > 0 entonces el trinomio presenta raices reales ydistintas k1 6= k2; k1, k2 R.Luego las soluciones de la ecuacin diferencial y + Py +Q = 0y1 = e

k1x y2 = ek2x

Siy1y26= ctte e

k1x

ek2x= e(k1k2)x 6= ctte y1 y2 son L.I.

La solucin general yG= c1y1 + cy2

yG= c1e

k1x + c2ek2x

73

UMSS - FCyT - Departamento de MatemticasCAPTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGNEAS DE2O ORDEN Y ORDEN SUPERIOR A COEFICIENTES CONSTANTES

1. Hallar la solucin general de

y 5y + 6 = 0Solucin: La ecuacin cartesiana es k2 5k + 6 = 0:

(k 3)(k 2) = 0 yG= c1y1 + c2y2

k1 = 3 k2 = 2 yG = c1e3x + c2e2xy1 = e

3x y2 = e2x


y + 3y 10y = 0Solucin: La ecuacin cartesiana es k2 + 3k 10 = 0:

(k + 5)(k 2) = 0 y1 = e5x y2 = e2x

k1 = 5; k2 = 2 yG = c1y1 + c2y2 yG = c1e5x + c2e2x


3y + 5y 2y = 0Solucin: La ecuacin cartesiana es 3k2 + 5k 2 = 0:

(3k)2 + 5(3k) 6 = 0 y1 = e2x y2 = e 13x

(3k + 6)(3k 1) = 0 yG= c1y1 + c2y2

(k + 2)(3k 1) yG= c1e

2x + c2e13x

k1 = 2 k2 = 13


y + y 12y = 0Solucin: La ecuacin cartesiana es k2 + k 12 = 0:

(k + 4)(k 3) = 0 y1 = e4x y2 = e3x

k1 = 4 k2 = 3 yG = c1e4x + c2e3x




12y 5y 2y = 0

Solucin: La ecuacin cartesiana es 12k2 5k 2 = 0:

(12k)2 5(12k) 24=0 (3k2)(4k+1)= 0 y1= e 23x; y2 = e14 x

(12k 8)(12k + 3) = 0 k1 = 23

k2 =14

yG= c1e

23x + c2e

14x

3.0.1. Ejercicios Propuestos

a) 6y + 5y + y = 0

b) y 5y 2y = 0c) 3y 8y + 4yd) y 2y = 0

6. Dada la solucin general y = c1ex + c2e2x. Hallar la ecuacin difer-encial

Solucin:

k1 = 1; k2 = 2 (k 1)(k + 2) = 0 y + y 2y = 0k 1 = 0; k + 2 = 0 k2 + k 2 = 0

7. Dada la solucin general y = c1e12x + c2e

x. Hallar la ecuacin difer-encial

Solucin:

k1 =1

2; k2 = 1 k2 1

2k + k 1

2= 0 2y + y y = 0

(k 12)(k + 1) = 0 2k2 + k 1 = 0

8. Dada la solucin general y = c1e13x + c2e

12x. Hallar la ecuacin difer-

encial

Solucin:



k =1

3k =

1

2k2 1

3k 1

2k +

1

6=0 6k2 5k + 1 = 0

(k 13)(k 1

2)=0 k2 5

6k +

1

6= 0 6y 5y + y = 0

Segundo Caso: k2 + Pk +Q = 0Si P 2 4Q = 0 k1 = k2 ; k1, k2 R

y1 = ek1x; y2 = e

k2x

y1y2

=ek1x

ek2x= 1 y1 y2 L.D. y2 = eP2 x

ePx

ePxdx

y2 = y1

eP (x)dx

y21dx y2 = e

P2xx

k2 + Pk +Q = 0y1y2

=e

P2x

xeP2x=

1

x

k12 =P

P 2 4Q2

y1 y2 L.I.

k1,2 = P2

yG= c1y1 + cy2

y1 = eP2 x y2 =? yG = c1eP2x + c2xe

P2x

y2 = eP

2x

e

Pdx

(eP2x)2

dx

Ejemplo 3.1 Hallar la solucin general de y 2y + y = 0Solucin:

k2 2k + 1 = 0 Ec. caracterstica y1 = ek1x = ex; y2 = xex

(k 1)2 = 0 k1 = k2 = 1 yG = c1ex + c2xex

Ejemplo 3.2 Hallar la solucin general de 25y 10y + y = 0Solucin:

25k2 10k + 1 = 0 y1 = ek1x = e 15x; y2 = xe 15x

(5k 1)2 = 0 yG= c1y1 + c2y2

k2 = k1 =1

5 y

G= c1e

15x + c2xe

15x



Ejemplo 3.3 Hallar la solucin general de y + 4y + 4y = 0

Solucin:k2 + 4k + 4 = 0 k = 2 y

G= c1e

2x + c2xe2x

(k + 2)2 = 0 y1 = e2x ; y2 = xe2x

Ejemplo 3.4 Hallar la solucin general de 16y + 24y + 9y = 0

Solucin:16k2 + 24k + 9 = 0 y1 = e

34x + c2xe

34x

(4k + 3)2 = 0 k1 = k2 = 34

yG= c1e

34 + c2xe

34x

Ejemplo 3.5 Hallar la solucin general de 81y 36y + 4y = 0Solucin:

81k2 36k + 4 = 0 y1 = c1xe 29x y2 = c2xe 29x

(9k 2)2 = 0 k1 = k2 = 29

yG= c1e

29x + c2xe

29x

3.0.2. Ecuacin de Mac Laurin

f(x) = f(0) + xf (0) +x2

2!f (0) +

x3

3!f (0) + . . .

f(0)y = f(x)

Figura 3.1:



3.0.3. Aplicaciones de las funciones senx, cosx, ex

f(x) = senx f(0) = sen 0 = 0 f(x) = ex f(0) = e0 = 1f (x) = cos x f (0) = cos 0 = 1 f (x) = ex f (0) = e0 = 1f (x)= sen x f (0) = sen 0 = 0 f (x) = ex f (0) = e0 = 1f(x)= cosx f (0)= cos 0=1 f (x) = ex f (0) = e0 = 1

f IV(x) = senx f IV(0) = sen 0 = 0 f IV(x) = ex f IV(0) = e0 = 1fV(x) = cos x fV(0) = cos 0 = 1 fV(x) = ex fV(0) = e0 = 1fV I(x)= sen x fV I(0)= sen 0=0 fV I(x) = ex fV I(0) = e0 = 1fV II(x) = cosx fV II(0)= cos 0=1 fV II(x) = ex fV II(0) = e0 = 1fV III(x)= sen x fV III(0)=sen 0 = 0 fV III(x) = ex fV III(0) = e0 = 1

f(x) = cos x f(0) = cos 0 = 1f (x) = senx f (0) = sen 0 = 0f (x) = cosx f (0)= cos 0=1f(x) = sen x f (0) = sen 0 = 0

f IV(x) = cos x f IV(0) = cos 0 = 1fV(x) = sen x fV(0) = sen 0 = 0fV I(x) = cosx fV I(0) = cos 0 = 1fV II(x) = senx fV II(0) = sen 0 = 0fV III(x) = cos x fV III(0) = cos 0 = 1

sen x = 0+x 1+ x2

2 0+ x

3

3 (1)+ x

4

4! 0+ x

5

5 1+ x

6

6! 0+ x

7

7 (1)+ . . .

senx = x x3

3+x5

5 x

7

7+x9

9 . . .

cosx = 1+ x 0+ x2

2 (1)+ x

3

3 0+ x

4

4! 1+ x

5

5 0+ x

6

6! (1)+ x

7

7 0+ . . .

cosx = 1 x2

2!+x4

4! x

6

6!+x8

8!+ . . .

ex = 1 + x+x2

2!+x3

3!+x4

4!+x5

5!+x6

6!+ . . .

Si sustituimos x por ix

eix = 1 + ix+(ix)2

2!+(ix)3

3!+(ix)4

4!+(ix)5

5!+(ix)6

6!+(ix)7

7!+ . . .



i = i i6 = i5 i = 1i2 = 1 i7 = i6 i = ii3 = i2 i = i i8 = i7 i = i i = 1i4 = i3 i = i i = 1 i9 = i8 i = ii5 = i4 i = i

eix = 1 + ix x2

2! ix

3

3!+x4

4!+ i

x5

5! x

6

6! ix

7

7!+ . . .

eix = 1 x2

2!+x4

4! x

6

6!+ . . .

cosx

+i

(x x

3

3!+x5

5! x

7

7!+ . . .

)

sen x

eix = cos x+ i senx Ecuacin de Euler

Sustituimos x por x

ei(x) = cos(x) + i sen(x) OBS: cos(x) = cos xeix = cos x i senx sen(x) = sen x

+eix = cos x+ i sen xeix = cos x i sen x

eix + eix = 2 cos x cosx = eix + eix

2

Tercer Caso: y + Py +Qy = 0k2 + Pk +Q = 0

P 2 4Q < 0 as se tiene races complejas

*

HHHjk1,2 = i

k1 = + i

k2 = i

Luego las soluciones particulares de la ecuacin diferencial y + Py +Qy = 0 son:

y1 = ek1x = e(+i)x = ex+ix = ex eix

y1 = ex(cos(x) + i sen(x))

y2 = ek2x = e(i)x = exix = ex eix



y2 = ex(cos(x) i sen(x))

sabemos que la combinacin lineal de dos soluciones de la ecuacin ho-mognea, es tambin solucin de la misma

+y1 = e

x cos(x) + iex sen(x)y2 = e

x cos(x) iex sen(x)

y1 + y2 = 2ex cos(x) ex cos(x) = y1 + y2

2Solucin

y1 = ex cos(x) + iex sen(x)

y2 = ex cos(x) iex sen(x)

y1 y2 = 2iex sen(x) ex sen(x) = y1 y22i

{ex cos(x), ex sen(x} son L.I.ex cos(x)

ex sen(x= cot(x) 6= ctte son L.I.

La solucin general es :

yG= c1e

x cos(x) + c2ex sen(x)

yG= ex(c1 cos(x) + c2 sen(x))

Ejemplo 3.6 Hallar la solucin general de y 2y + 2y = 0Solucin: k2 2k + 2 = 0 Ecuacin caracterstica

k1,2 =24 4 2

2=

242

=2 2i2

= 1 i

*

HHHjk1,2 = 1 i

= 1

= 1

yG= ex(c1 cos(x) + c2 sen(x))

yG= ex(c1 cosx+ c2 sen x)

Ejemplo 3.7 k1,2 =1

2 23i Hallar la ecuacin diferencial

Solucin: k2 (k1 + k2)k + k1 k2 = 0 k1,2 = 12 23i

k1 + k2 =1

2+2

3i+

1

2 23i = 1



k1 k2 =(1

2+2

3i

)(1

2 23i

)=

1

4+2

6i 2

6i 4

9i2 =

1

4+4

9=

25

36

k2 k + 2536 36k2 36k + 25 = 0 36y 36y + 25y = 0

3.0.4. Ecuacin Diferencial Homognea de Segundo Or-den

La ecuacin tiene la siguiente forma:

d2y

dx2+ P (x)

dy

dx+Q(x)y = 0

y + P (x)y +Q(x)y = 0

Siendo y1 y y2 funcin linealmente independiente (L.I.), son soluciones de laEcuacin Diferencial de Segundo Orden y+P (x)y+Q(x)y = 0. Entoncesla solucin general y

G= c1y1+c2y2 sabiendo que c1 y c2 constantes arbitrar-

ios que se determinan con valores iniciales para determinar las solucionesparticulares y(x) = y0 y(x0) = y0.Para determinar la dependencia lineal entre y1 y2

1.y1y2

= ctte y1 y2 son linealmente dependientes (L.D.)y1y26= ctte y1 y2 son linealmente independiente (L.I.)

2. Wronskiano W [y1, y2] = 0 en [a, b]

Si W = y1 y2y1 y2

= 0 y1 y2 son L.D.Si W =

y1 y2y1 y2 6= 0 y1 y2 son L.I.

Ejemplo 3.8 Sea la ecuacin diferencial y + y = 0

(a) Si y1 = sen x, y2 = cos x son soluciones de la E.D.

(b) Determinar la dependencia lineal de (sen x, cosx)

(c) Determinar la solucin general de la ecuacin diferencial

(d) Determinar la solucin particular que satisfaga

y(0) = 1 y(0) = 2



(e) Determinar la solucin particular que satisfaga

y(pi2

)= 1 y

(pi2

)= 1

(f) Determinar la solucin particular que satisfaga

y(pi4

)= 2 y

(pi4

)= 0

Solucin: (a)

y1 = sen x y2 = cos x

y1 = cos x y2 = sen x

y1 = sen x y2 = cosx

y + y = 0 senx+ sen x = 0 cosx+ cos x = 00 = 0 0 = 0

y1 = sen x es solucion y2 = cos x es solucin

(b)y1y2

=sen xcosx

= tan x 6= ctte y1 = sen xy2 = cos x

}son L.I.

(c) yG= c1 sen x+ c2 cosx

(d)

y(0) = 1 y(0) = 2 2 = c1 cos 0 c2 sen 01 = c1 sen 0 + c2 cos 0 c1 = 2

c2 = 1 yG = 2 sen x+ cos xyG= c1 cosx c2 sen x

(e)

1 = c1 sen(pi2

)+ c2 cos

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