MATEMÁTICA I

SEGUNDA EVALUACIÓN A DISTANCIA

PRUEBA OBJETIVAESTUDIANTE : ALINDOR NERI CASTAÑEDA CHINGAY

Encierre en un círculo la letra V si es verdadero o F si es falso, en cada una de las siguientes afirmaciones. (Cada respuesta correcta vale 0,2 de punto)

1. V F Si , entonces .

2. V F Si , entonces .

3. V F Si f es derivable, entonces .

4. V F .

5. V F , si .

6. V F El valor máximo de la función en el intervalo

[ ] es .

7. V F La función f(x) = x3 – 27x es decreciente en el intervalo (-3, 3).8. V F tiene un mínimo relativo en x = 0 y un máximo

relativo en x = 1.

9. V F es creciente en el intervalo (-∞, -1) y tiene un extremo

relativo en x = -1.10. V F Si f es continua en el intervalo [a, b], f tiene máximo y mínimo absoluto.11. V F El valor máximo absoluto de f(x) = x4ln x en (0, e] es e4 y el valor

mínimo absoluto es .

12. V F La gráfica de es cóncava hacia abajo en (4, +∞).

13. V F es un punto de inflexión de la gráfica de .

14. V F Si f(x) = sen2 (2x), entonces f´(x) = 2(sen2x)(cos2x).15. V F Si y es una función derivable de u, u es una función derivable de v, y v es

una función derivable de x, entonces

16. V F La función y = 2 sen x + 3 cos x satisface la ecuación y´´ + y = 0.17. V F Para la función y = 2x2 + sen 2x, se tiene que y´´ = 4 – 4 sen 2x.18. V F El máximo absoluto de una función que es continua en un intervalo cerrado puede ocurrir en desvalores diferentes en el intervalo.19. V F Si f es una función continua en un intervalo cerrado, entonces tiene un mínimo absoluto en el intervalo.20. V F Si x = c es un punto crítico de la función f, entonces también es un

número crítico de la función g(x) = f (x – k),donde k es una constante.

21. V F El teorema del valor medio puede aplicarse a en el intervalo

[-1, 1].22. V F Si f´(x) = 0 para todo x en el dominio de f, entonces f es una función constante.23. V F Si la gráfica de una función polinómica tiene tres intersecciones con el ejes, entonces debe tener al menos dos puntos en los cuales su recta tangente es horizontal.24. V F La suma de dos funciones crecientes es creciente.25. V F Existe un máximo o un mínimo relativo en cada punto crítico.26. V F Todo polinomio de grado n tiene (n – 1) puntos críticos.27. V F Si f´´ (2) = 0, entonces la gráfica de f debe tener un punto de inflexión en x = 2.28. V F La gráfica de todo polinomio cúbico tiene precisamente un punto de

inflexión.29. V F Sean f y g son funciones derivables, con f´´ 0 y g´´ 0. si f y g son cóncavas hacia arriba en el intervalo (a, b), entonces f + g es también cóncava hacia arriba en (a, b).30. V F Si (c, f(c )) es un punto de inflexión de la gráfica de f, entonces f´´ (c ) = 0 o f´´ no existe en c.

PRUEBA DE ENSAYO

1. Usar sus propias palabras para describir el procedimiento que se sigue para determinar los intervalos donde una función es creciente o decreciente. (1 punto)

SOLUCIÓN:

Estrategias para determinar los intervalos en los que una función es creciente o decreciente.

Una función f(x) es continúa en el intervalo (a, b), para encontrar los intervalos abiertos para los cuales la función es creciente o decreciente, tenemos que seguir los siguientes pasos:

a.- Localizar los puntos críticos de la función f en (a, b), mediante la aplicación de la primera derivada, la cuál se iguala a cero.

b.- Determinar el signo de la función f´(x) en cada uno de los intervalos de prueba, seleccionando un valor de cada intervalo para su verificación.

c.- Si f´(x) > 0, para todo x (a, b), entonces f(x) es creciente. Si f´(x) < 0, para todo x (a, b), entonces f(x) es decreciente.

2. Explicar el criterio de la primera derivada. (1 punto)

SOLUCIÓN:

Criterio de la Primera Derivada de una función continúa.

La explicación de los criterios de la primera derivada, se basa en el siguiente Teorema:

Sea c un punto crítico de una función f que es continúa en un intervalo abierto I que contiene a c. Si f es derivable, excepto posiblemente en el punto c, entonces f(c) puede clasificar como:

1.- Si f´(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (c, f(c)).2.- Si f´(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c, f(c)).3.- Si f´(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c), no es ni un mínimo relativo ni un máximo relativo.

3. Explicar el criterio de la segunda derivada. (1 punto)

SOLUCIÓN:

Criterio de la Segunda Derivada de una función continúa.

La explicación de los criterios de la primera derivada, se basa en el siguiente Teorema:

Sea f una función tal que f´(c) =0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c:1.- Si f´´(c) >0, entonces f tiene un mínimo relativo en (c, f(c)).2.- Si f´´(c) <0, entonces f tiene un máximo relativo en (c, f(c)). Si f´´(c) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizá tenga un máximo relativo o un mínimo relativo o ninguno de los dos. En tales casos se puede utilizar los criterios de la primera derivada.

4. Una fábrica de chocolates le ha hecho un pedido a la empresa Envases metálicos S.A. El pedido requiere cajas metálicas abiertas para envasar chocolates. Los diseñadores de Envases metálicos especifican que cada caja debe hacerse a partir de una hoja cuadrada de metal de 60 centímetros de lado; en el proceso de manufactura se pide que se corten cuadrados idénticos en cada esquina y luego se doblan las salientes resultantes. Explique como usar funciones para matematizar este problema y determine las dimensiones de la caja más grande que puede fabricarse con estas condiciones. (2,5 puntos).

SOLUCIÓN:

Como la caja se empieza a diseñar mediante una hoja cuadrada de 60 cm de lado, en las puntas se hacen cortes de cuadrados de longitud x, tal como se muestra en la figura:

Luego la caja quedará de la siguiente forma:

60 cm

60 cm – 2xx x

x

x

El volumen de la caja será: V(x) = (60-2x)2x

Ahora determinamos la primera derivada de la función:V´(x) = (60 – 2x).(60-6x)

Igualando a cero la derivada tendremos como puntos críticos. x = 30cm y x = 10cm.

Luego los máximos relativos será para x = 10 cm.

V (10) = (60 – 20)2,10 = 16000 cm3.

5. Las aristas de un cubo se expanden a un ritmo de 5 centímetros por segundo. ¿A qué ritmo cambia el área de su superficie cuando sus aristas tienen 4,5 centímetros?

(2 puntos)SOLUCIÓN:

Como la caja cúbica tiene una razón de cambio: .

Luego el área de una caja cúbica es de: 6x2

De modo que la razón de cambio de la superficie estará dada:

.

Ahora remplazando, x = 4,5cm.

x

60 cm – 2x

60 cm – 2x

6. Determina los extremos absolutos de la función f(x) = x3 – 12x en el intervalo [-1, 1].

(1,5 puntos)

SOLUCIÓN:

Empezamos derivando la función f(x) = x3 – 12x.

La cual queda dada por: f´(x) = 3x2-12.Igualando a cero la derivada, podremos determinar los puntos críticos:

f´(x) = 3x2-12= 0. De manera que los puntos críticos de la función será: x = +2 y -2.

Ahora completemos la siguiente tabla:Punto terminal

izquierdoPunto Crítico Punto critico Punto terminal derecho

f(-1) = (-1)3-12(-1) = 11 f(-2) = (-2)3-12(-2) =16

f(2) = (2)3-12(2) = -16 F(1) = (1)3-12(1) = -11

Máximo Absoluto Máximo relativo Mínimo relativo. Mínimo Absoluto.

7. Determina los intervalos de concavidad de la gráfica de .(1,5 puntos)

SOLUCIÓN:

Empezamos determinando la segunda derivada la función f(x) = x4 – 8x3.

La cual queda dada por: f´´(x) = 12x2-48x.Igualando la segunda derivada a cero, para determinar los puntos críticos, obtendremos:

f´´(x) = 12x2-48x=0, los puntos críticos serán: x = 0 y 4.Luego organizamos la siguiente tabla para determinar los intervalos de concavidad y las formas de concavidad.

Intervalos - < x < 0 0 < x < 4 4 < x < +Valor de prueba x = -2 x = 2 x = 5Signo de f´´(x) f´´(-2) > 0. f´´(2) < 0. f´´( 5 ) > 0.Criterios de concavidad Hacia arriba Hacia abajo Hacia arriba.

8. Obtenga los intervalos donde la función es creciente o

decreciente y los extremos relativos (si existen) de la misma. (2 puntos)

SOLUCIÓN:

Empezamos determinando la primera derivada la función .

La cual queda dada por: .

Igualando la derivada a cero, para determinar los puntos críticos, obtendremos: f´(x) = 0, el único punto crítico serán: x = 0. Pero adicional la función no es continua en x = +1 y -1.Ahora estableceremos los intervalos:

Intervalo - < x < -1 -1 < x < 0 0 < x < +1 +1 < x < +Valor de prueba -3 -1/2 1/2 +3Signo de la f´(x) f´(-3) < 0. f´(x) < 0 f´(x) > 0 f´(x) > 0Conclusión Decreciente Decreciente Creciente Creciente Extremos relativos

f(-1) = no f(0) = 1 f(+1)= no

9. Determina (si existen) los extremos relativos de .(1,5 puntos)

SOLUCIÓN:

Empezamos determinando la primera derivada la función: .

La cual queda dada por: .

Igualando la derivada a cero, para determinar los puntos críticos, obtendremos: f´(x) = 0, el único punto crítico serán: x = 1. Ahora estableceremos los intervalos:Punto crítico x = 1Extremos relativos f(1) = 5(1)2/3 – 2(1)5/3= 5-2 = 3