Unidad Nº 5 – Física I - 2013 1/12

Dpto. de Física y Química – Escuela de Formación Básica FÍSICA I

UNIDAD Nº 5: PRIMERA ECUACIÓN CARDINAL

Nota: en esta unidad se comienza a estudiar el movimiento de un sistema de partículas que interactúan entre sí. Recordar que siempre es conveniente realizar un esquema claro de la situación a resolver indicando las fuerzas que actúan sobre cada partícula y sus reacciones (DCL). Debe establecerse además un sistema de referencia, que será utilizado para indicar los movimientos de cada partícula y/o del sistema de partículas y para efectuar los cálculos correspondientes. Una vez obtenido el resultado, realizar el análisis dimensional del mismo, observando su lógica y sentido físico.

1) Se construye un modelo físico para el estudio de un problema. Consiste en tres masas “puntuales”

ubicadas en un plano xy del modo siguiente: una masa m1 de 1 kg está en el origen, una segunda masa m2 de 1 kg está en x = 4 m, y la última m3 de 2 kg está en x = 2 m e Y = 1 m. Hallar el centro de masa de este sistema.

2) Se necesita determinar el centro de masa de cada una

de las placas homogéneas y de espesor constante, mostradas en la figura, para ser colgadas de una grúa para su montaje. Las medidas están expresadas en metros.

3) Las masas del problema nº 1) comienzan a moverse en el mismo plano considerado, de tal manera que en un

instante sus posiciones y su cantidad de movimiento son las indicadas en la tabla. a) Determinar para ese instante, la posición y la velocidad del

centro de masa del sistema. b) Con la información suministrada ¿puede predecirse el

movimiento futuro del centro de masa? Justificar.

4) Un muchacho salta un escalón con su skateboard. Antes del impacto que duró 0,05 s, el módulo de su velocidad fue de 5 m/s. Determine la velocidad final a lo largo de la superficie horizontal y la fuerza normal total ejercida por la superficie sobre el skateboard durante el impacto. mmuchacho=36,3 kg , mskate=4,5 kg.

5) Una tabla de madera de 100 kg de masa y 10 m de

largo, está apoyado sobre un lago congelado junto a la orilla. Una niña de 35 kg de masa que pasea por la orilla del lago, camina sobre la tabla hasta su extremo en forma perpendicular a la orilla, quedando en ese momento la tabla y la niña como indica la figura. ¿Qué sucede cuando esta última quiere regresar a la orilla del lago? Indicar en un esquema la posición de la niña, de la tabla y del centro de masa del sistema formado por la niña y la tabla, con respecto a la orilla del lago, para cada una de las siguientes situaciones:

masa posición (m)

cantidad de movimiento

(kg m/s) m1 (3;-2) (-1;2) m2 (5;1) (3;2) m3 (-3;3) (2;-3)

1

1 1 0,5

1,5

2

4

0,8

1 1,5 0,5 1

1

1

30°

v

Unidad Nº 5 – Física I - 2013 2/12

a) la niña está en el extremo de la tabla contrario a la orilla (posición inicial), b) la niña caminó hasta la mitad de la tabla, c) la niña está en el otro extremo de la tabla.

6) Un equilibrista de 60 kg de masa estaba realizando su número artístico,

cuando cae repentinamente desde una altura de 10 m, llevando consigo una barra de 3 kg de masa. Cuando faltan 5 m para llegar al piso, suelta la barra con una velocidad de módulo 5 m/s en dirección horizontal. Calcular dónde cae el equilibrista (no le pasa nada porque hay una red) y dónde la barra.

7) Una masa de 2 kg se mueve en un plano horizontal sin rozamiento en la dirección positiva del eje x, con velocidad de módulo 7 m/s, cuando una explosión interna la separa en dos trozos. Luego se observa que uno de los trozos de 600 g, se mueve en la dirección positiva del eje y, a 12 m/s. a) Hacer un esquema de la situación. b) Calcular el momento lineal antes de la explosión. c) Determinar la ecuación de movimiento después de la explosión, del trozo de 1400 g. d) Expresar la velocidad de dicho trozo para un sistema de referencia solidario al más pequeño.

8) Un juego entre dos niños consiste en que uno arroje un disco

(m1) a lo largo de una mesa horizontal lisa, mientras el otro trata de impactar sobre el con otro disco (m2). Determinar la ecuación de movimiento del disco de masa m1 luego del impacto. Datos: A = 0,8m L = 1,4m α = 15º β = 60º

v1 = v2 =1,5m/s v’2 = 1,3m/s m1 = m2 = 200g

9) El problema 4) de integración de la práctica de la unidad nº 3

decía “Como puede observarse en la figura, un juego en la playa consiste en deslizarse por el inflable que está apayado en el agua. Si se desprecian los rozamientos y se considera que la chica comienza a deslizar desde una altura h con respecto al agua, determinar la distancia que se desplazó el inflable en el momento en que ella llega al agua. Datos: m = M/2 θ = 45º” ¿Qué consideraciones haría a partir de lo aprendido en esta unidad? Realizar el modelo físico y resolver nuevamente el problema. Compare esta resolución con la que realizara en la práctica anterior y extraiga sus conclusiones.

PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 1) Una rueda de 3 kg de masa desciende rodando por un plano inclinado de 30º con respecto a la horizontal.

El plano ejerce una fuerza de rozamiento sobre la rueda y dirigida hacia arriba, cuyo valor es de 4,9 N, impidiendo que la rueda deslice. Hallar la aceleración del centro de masa de la rueda. Rta: aCM=3,27 m/s2

M

m

θ

v’1

v’2 v2

v1 A/2

A/2

L/2 L/2

m2

m1

α

β

Unidad Nº 5 – Física I - 2013 3/12

2) Un patinador de 60 kg de masa está parado sobre un estanque congelado cercano a un muro, sosteniendo una bola de 0,8 kg en su mano. Si lanza la misma contra el muro con una velocidad de módulo 10 m/s y un ángulo de inclinación de 30º respecto al piso, ¿con qué velocidad se moverá el patinador? Rta: vp=0,115m/s dirección horizontal alejándose del muro.

3) Un hombre está en una escalera de cuerdas suspendida de un globo aerostático. En un

comienzo ambos se encuentran estacionarios respecto al piso. Determinar el estado de movimiento del hombre y del globo con respecto al piso, en los siguientes casos: a) el hombre comienza a ascender por la escalera con una velocidad de módulo v

(respecto a la escalera), b) el hombre deja de ascender.

Rta: b) mM

vmv

'h

g+

−=

4) Un hombre se encuentra lavando su auto con una

manguera que tiene un caudal de agua de 1,5 kg/s, con una velocidad de 20m/s. Suponiendo que el auto detiene totalmente este caudal de agua e ignoramos la parte de él que retrocede al salpicar, determine la fuerza promedio que ejerce el agua sobre el auto por segundo. Si consideramos el agua que salpica, no sólo hacia atrás, ¿La fuerza promedio es mayor o menor?

5) Dos masas se mueven sobre una mesa horizontal lisa, con velocidad de módulo constante v1 y v2, estando en un determinado instante en las posiciones indicadas. Sabiendo que chocan en el punto A, determinar: a) las coordenadas del punto A, b) la velocidad de m2 antes de chocar con m1, c) la velocidad de m2 después del choque, d) establecer la ecuación de movimiento del centro de masa en función del

tiempo. Datos: m1 = 1 kg m2 = 1,5 kg v1 = 1 m/s v’1 = 0,75 m/s

Rta: ts/m)5,0;35,0(m)0;4,2(r)d;s/m)48,0;93,0(v)c;js/m5,0v)b;m)31,2;4(r)a CM'22A +====

6) Una rana está parada en el extremo de un tronco de 1 metro de

longitud, que está flotando en un estanque. Desde esa posición, decide saltar hasta el otro extremo del tronco, formando un ángulo θ con la horizontal. ¿Cuál debe ser su velocidad para lograrlo?

Rta:θ+

=2sen)Mm(

gLMvr

PROBLEMAS DE INTEGRACIÓN 1) En el problema 5) de los complementarios de la práctica de la

unidad nº 3 decía: “Una actividad de laboratorio consiste en disparar un proyectil con diversos ángulos de inclinación, y

M

m

M

x m1

A

m2

v1 v2

m1

v’1

45º

30º 4m

y

vo m

θ

Unidad Nº 5 – Física I - 2013 4/12

medir su alcance, para luego compararlo con el calculado. El tubo lanzador posee un sensor para medir la velocidad de salida del proyectil. La superficie desde la que se dispara tiene un ángulo de inclinación de 5º con la horizontal, elevándose a partir del punto de disparo. Si se dispara desde una altura de 15 cm, con una velocidad de módulo 5 m/s y un ángulo de elevación de 60º con respecto a la horizontal, calcular las coordenadas del punto en el que debería caer el proyectil.” Considerar, para las mismas condiciones iniciales, que el proyectil explota en el punto más alto de su recorrido, dividiéndose en dos fragmentos de masas iguales. Un fragmento, cuya velocidad inicial es cero, cae verticalmente. Calcular a qué distancia del tubo lanzador caerá el otro fragmento.

2) El auto A de 1000 kg de masa, circula por una calle recta con una

velocidad de módulo vA, cuando colisiona con otro auto B (mB = 1200 kg) que está estacionado. Inmediatamente después del impacto, el auto A bloquea los frenos, deteniéndose luego de recorrer 3 m, y B sale despedido (ambas direcciones se indican en la figura). El coeficiente de roce dinámico entre el auto A y la superficie del pavimento cuando están aplicados los frenos es 0,8. En base a esta información, se desea determinar la velocidad de A antes del impacto. Discutir el modelo físico adoptado. Rta: vA=15,36 m/s

3) Un perro sentado en la popa de un bote en reposo ve a

su dueño en el muelle y comienza a correr con el propósito de saltar hacia él. Considerando que el bote tiene longitud L y que en un comienzo está tocando al muelle con su eje perpendicular al mismo, determinar: a) la velocidad del bote si el perro corre a una

velocidad de módulo 3 m/s con respecto al mismo, b) la distancia que debe saltar el perro desde la proa,

para poder llegar al muelle, c) la velocidad del bote cuando el perro lo abandona, si salta con una velocidad de módulo 4 m/s respecto

al muelle y forma un ángulo de 15º con la horizontal.

Rta: a) s/m3mm

mv

pB

pB += ; b) L

mmm

dpB

p

+= ; c) °= 15coss/m4

mm

vB

pfB (la dirección y sentido de todos

estos vectores es perpendicular al muelle, alejándose del mismo) 4) Tres niños están patinando sobre una superficie

horizontal. Inicialmente dos se encuentran tomados de sus manos moviéndose con velocidad de módulo v, y el tercero se dirige hacia ellos con velocidad de módulo v3. Considerando que cuando se encuentran se toman los tres de la mano quedando alineados, determinar la ecuación de movimiento del centro de masa del sistema formado por los tres patinadores. Discutir el modelo físico adoptado. Datos: m1=35 kg; m2=32 kg; m3=38 kg; v=3,5 m/s; v3=2m/s. Rta: ts/m)51,1;0(m)54,0;03,1()t(rCM +=

mp

mb

20º

30º

v’B

v’A

vA

A

B

v

x

z

y

m3 m1

m2

v3

1 m

1 m 1,5 m

Unidad Nº 5 – Física I - 2013 5/12

5) Resolver el problema anterior, considerando que el niño de masa m3 avanza formando un ángulo de 20º con la dirección de los otros dos niños (ver esquema)

Rta: ts/m)55,1;25,0(m)54,0;03,1()t(rCM −+=

6) Un muchacho de 45,4 kg corre con una velocidad de v =4,6 m/s y salta en su trineo de 9,1 kg. El trineo y el muchacho deslizan 24,4 m sobre la nieve antes de pararse. Determine el coeficiente del roce cinético entre la nieve y trineo.

7) Un auto de juguete de 500 g de masa tiene una pequeña bolita en su interior, de 100 g. El juguete se

desplaza sobre un patio a velocidad constante de módulo 1 m/s. En determinado instante, mediante un mecanismo interno, la bolita es expulsada horizontalmente en sentido contrario al movimiento del auto, con una velocidad relativa al auto de módulo 1.3 m/s. a) ¿Qué velocidad adquiere el auto después de la expulsión? b) Identificar la posición y velocidad del centro de masa al cabo de 1 s del disparo. c) ¿Qué sucede con el centro de masa en instantes posteriores, suponiendo que nada intercepta el

camino de los cuerpos? Nota: considerar despreciable el rozamiento entre el auto y la mesa.

Rta: vfa=1,217 m/s (dirección y sentido igual a los iniciales) PROBLEMAS RESUELTOS 1) Dos trineos de 22 kg son colocados sobre un lago congelado, uno cerca del otro. Un mono de 3,6 kg, que

está en reposo sobre uno de ellos, salta al otro e inmediatamente vuelve a hacerlo al primero de ellos. Ambos saltos son hechos con una velocidad de 3 m/s con relación al hielo. Encuentre las velocidades finales de los dos trineos. Observación: considere ausencia de roce entre los trineos y el lago; y que el mono salta con una velocidad con dirección horizontal.

El inicio de nuestro estudio sobre el movimiento de un sistema de partículas comienza con la debida selección de nuestro sistema bajo estudio. En el problema que se nos presenta, seleccionamos como sistema bajo estudio el mono y los dos trineos. Esta selección se basa en que las fuerzas de interacción entre el mono y los trineos son de módulo desconocido y sólo podríamos estimarlas si conociéramos los efectos sobre cada una de las partes donde actúan. Por lo tanto, y de acuerdo a esta elección del sistema bajo estudio, las fuerzas de

1.5 m

m2 m1

m3

v3

v

20º

1 m 1 m

x

y

24, 4m

v v

Unidad Nº 5 – Física I - 2013 6/12

0tIv =

0tDv =?tIv =

0tDv =

mv

?tIv =?tDv

x

y

o

0mv =

m en reposo relativorespecto al trineo

en todo el proceso

a inicial−

b

c

interacción entre el mono y los dos trineos se constituyen en fuerzas internas al sistema y no se consideran al aplicar la 1era. Ecuación cardinal al sistema:

extcm

dPF Madt

= =∑ ; (sistema bajo estudio: mono-dos trineos de igual masa)

Esta ecuación es vectorial y de característica traslacional (el conocimiento de las fuerzas exteriores a mi sistema sólo me da información de cómo se mueve un punto representativo del sistema en la traslación, que es el centro de masa) y, por lo tanto, necesito un sistema de coordenadas para su descripción matemática de su estudio. Se selecciona como sistema o marco de referencia a la Tierra (recordar que cualquier cuerpo en reposo relativo a ella, también forma parte de este sistema o marco de referencia) y fijamos en él un sistema de coordenadas cartesiano ortogonal plano como lo muestra la figura:

donde tIv es la velocidad del trineo de la izquierda, tDv es la velocidad del trineo de la derecha y mv es la velocidad del mono, todas respecto al lago en el instante considerado. Si analizamos la 1era. ecuación cardinal aplicada al estudio del movimiento de nuestro sistema (mono-2 trineos) en esta primera etapa (a-b-c): mono en reposo sobre el trineo de la izquierda, salta y nuevamente mono (en reposo relativo) sobre el trineo de la derecha, ¿Qué conclusiones podemos obtener? La aplicación de esta ecuación al estudio de un sistema en movimiento, se realiza considerando todo el proceso, es decir, toda su evolución mecánica. El sistema pasa a través del tiempo por una serie de estados mecánicos (definidos por la posición y velocidad en un instante de tiempo), algunos de equilibrio y otros no. El análisis de las fuerzas exteriores debe hacerse con cautela. En nuestro caso, inicialmente (situación (a) en la figura anterior) las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema son: el peso del mono, los pesos de los trineos, y las normales sobre los trineos ejercidas por el lago, ya que se encuentran apoyados sobre él. Estas últimas equilibran la acción de los pesos descriptos y, en consecuencia, la fuerza neta o resultante sobre el sistema es nula. El sistema se halla en equilibrio traslacional. Al saltar el mono, se rompe este balance y queda sin compensar la fuerza peso que actúa sobre el mono, hasta que al final cuando cae sobre el trineo de la derecha, se restituye el equilibrio. Por lo tanto, el sistema evoluciona pasando por una serie de estados que incluyen equilibrio-no equilibrio-equilibrio:

0

( 0)

extcm

cm

dPF Ma P cttedt

a

= = ≠ ⇒ ≠

≠∑

Unidad Nº 5 – Física I - 2013 7/12

0 ( 0)

yexty cmy y

cmy

dPF Ma P ctte

dta

= = ≠ ⇒ ≠

≠∑

0 ( 0)

ext xx cmx x

cmx

dPF Ma P cttedt

a= = = ⇒ =

=∑

en todo el proceso

0 ( 0)

ext xx cmx x

cmx

dPF Ma P cttedt

a= = = ⇒ =

=∑

en todo el proceso

¿Cómo continuamos nuestro análisis? La 1era. ecuación cardinal es una ecuación vectorial, por lo tanto podemos hacer uso de esta característica al considerar el sistema de coordenadas elegido. Según éste, la única fuerza no equilibrada (peso del mono en su salto) que aparece en la evolución mecánica del sistema bajo estudio, tiene dirección paralela al eje y. Entonces

ˆ ˆext ext extx yF F i F j= +∑ ∑ ∑

Si observamos nuestro sistema y tenemos en cuenta las observaciones del problema, su evolución mecánica dará un posible cambio de velocidad de cada una de sus partes sólo en dirección horizontal. Por lo tanto, haremos uso de la última ecuación con la conclusión correspondiente: Que una magnitud se mantenga constante en la evolución temporal (en este caso mecánica) de un sistema, permite contar con dos consideraciones muy importantes en Física:

a- Se puede obtener su valor en cualquier estado mecánico durante la evolución del sistema bajo estudio, es decir, se puede elegir libremente dónde calcular su valor ya que ”¡vale lo mismo!” (recordar que la elección en principio deberá realizarse de acuerdo a aquella situación que facilite la obtención).

b- Se pueden comparar dos estados mecánicos de todo el proceso sin tener en cuenta los estados mecánicos intermedios por los cuales el sistema evoluciona. Por ejemplo: dos situaciones diferentes a priori, la inicial del gato y los trineos, todos en reposo respecto al lago, y la final (de esta primera etapa) en la cual el mono se encuentra en reposo relativo sobre el trineo de la derecha luego de haber efectuado el primer salto. Esta comparación nos permite obtener información útil. (¡Total la magnitud en cuestión tiene el mismo valor!). Evidentemente en los estados que se comparan, hay un estado en el que se disponen de datos para calcular la magnitud que se conserva, y en el otro, se encuentran las incógnitas.

Ahora bien, resolvamos considerando la conservación de la componente en x del momento lineal. Seleccionaremos el estado mecánico inicial (en la figura, situación (a): todas las partes de nuestro sistema se encuentran en reposo respecto al lago) para calcular su valor:

, , , , , 0inicial inicial inicial inicial inicial inicialx q x q q x m m x tI tI x tD tD x

q qP p m v m v m v m v= = = + + =∑ ∑

En esta ecuación, el subíndice q representa las partes de mi sistema. ¿Por qué esta elección y no otra?; ¿Es fácil calcular el valor de Px?; ¿tenemos todos los datos necesarios? De acuerdo a lo obtenido, este sistema evoluciona mecánicamente manteniendo la componente x de su momento lineal = 0. En todos los estados mecánicos por los cuales este sistema pase, esta magnitud tendrá siempre el mismo valor, se reconfigurarán las velocidades de sus partes (las masas de ellas permanecen constantes) de tal manera que la componente en x del momento lineal sea nula.

El sistema bajo estudio evoluciona mecánicamente manteniendo constante la

componente en x de su momento lineal (Px=ctte).

Unidad Nº 5 – Física I - 2013 8/12

Observación: estrictamente hablando las velocidades de las partes constituyentes del sistema, se refieren en sí mismas al centro de masa de cada subsistema, ya que tanto el mono como los trineos se pueden modelizar como partículas ya que solo nos interesa sus movimientos de traslación horizontal. Constituyen, por lo tanto, un sistema de patículas. Nuestra meta es obtener las velocidades de los trineos al transcurrir el o los saltos del mono. Por lo tanto para obtener la velocidad del trineo de la izquierda una vez que el mono salta, compararemos esta situación (en la figura situación b) con la inicial. La componente del momento lineal en x al saltar el mono en dirección al trineo de la derecha, es:

, , , , , , ,

, , ,

; ( 0)

(3,6kg).(3m / s)+(22kg).

b b b b b b b inicialx q x q q x m m x tI tI x tD tD x tD x tD x

q q

b b bm m x tI tI x tI x

P p m v m v m v m v v v

m v m v v

= = = + + ≡ =

= + =

∑ ∑

La ecuación resultante tiene una incógnita que es la velocidad que adquiere el trineo de la izquierda inmediatamente después de saltar el mono, ,

btI xv . ¿Cómo obtenemos este valor?.

La conservación de Px, me permite comparar las dos situaciones descriptas, (en la figura, las situaciones a y b), y obtener una ecuación con una incógnita: xP ctte= inicial b

x xP P=

,0 (3,6kg)(3m / s)+(22kg). btI xv=

,(3,6kg).(3m)( ) 0,49 / 0,5 /

22kgbtI xv m s m s= − = − −

¿Se mantiene constante esta velocidad? El trineo de la derecha permanece en reposo sobre el lago, hasta que el mono interacciona con él. Inmediatamente después que el mono consigue llegar a este trineo, queda en reposo relativo respecto de él (en la figura situación b). ¿Cuál es la velocidad que adquiere el trineo de la derecha? O mejor dicho ¿cuál es la velocidad que adquiere el subsistema mono-trineo de la derecha? Para resolver esta cuestión, consideramos:

, , , , , , ,

, ,

; ( )

(

c c c c c c c cx q x q q x m m x tI tI x tD tD x tD x m x

q q

b ctI x tI x

P p m v m v m v m v v v ¿Por qué?

v v ¿Por qué?

= = = + + ≡

≡

∑ ∑

, , ,

)

( ) (3,6kg+22kg). +(22kg).( 0,5 / )c b cm tD tD x tI tI x tD xm m v m v v m s= + + = −

La conservación de Px, me permite comparar las dos situaciones descriptas, (en la figura, situación inicial y c), y obtener una ecuación con una incógnita: xP ctte= inicial c

x xP P=

,0 (3,6kg+22kg). +(22kg).( 0,5 / )ctD xv m s= −

,(22kg).(0,5 / ) 0,429 / 0,43 /

(3,6kg+22kg)ctD x

m sv m s m s= =

¿Se mantiene constante esta velocidad?

Unidad Nº 5 – Física I - 2013 9/12

tm

Tm

ctI tIv v≡

?tDv =?tIv =

ctD tDv v=

mv

?tIv = ?tDv

x

y

o

m en reposo relativorespecto al trineo de la izquierda

c

d

e final−

m en reposo relativorespecto al trineo de la derecha

¿Se podría haber comparado las situaciones b y c del proceso? Faltaría considerar el proceso inverso (c-d-e), el que se muestra a continuación:

En este último proceso, ¿Es válido el razonamiento anterior que nos condujo a la conservación de Px? Completa la resolución del problema, obteniendo las velocidades finales que adquieren los trineos al volver el mono sobre el trineo de la izquierda. ( ,

etI xv ; ,

etD xv )

2) En el instante de tiempo que se muestra en la figura, un turista observa cómo el témpano donde se

encuentra parado, se desprende de la orilla del lago. Comienza a correr con velocidad rel

tv (relativa al témpano), que mantiene constante y en dirección perpendicular a la orilla, a fin de saltar y no quedar atrapado en el témpano flotante. Determine: a‐ ¿cuál es la velocidad que adquiere el témpano?; b‐ cuando llega al extremo del témpano, ¿cuál es la distancia que deberá saltar para lograr alcanzar la orilla?

Para su resolución, consideramos como sistema bajo estudio el turista y el témpano. Al aplicar la 1era. Ecuación cardinal a todo el proceso, o evolución mecánica, que tiene el sistema (desde que el turista se encuentra en reposo y observa el desprendimiento hasta que, con velocidad constante, llega al extremo del témpano y se dispone a saltar a la orilla) observamos que las fuerzas exteriores que actúan sobre él son: el peso de cada una de las partes que lo constituyen, ejercidos por la atracción gravitatoria de la Tierra (así que tenemos el peso del turista y el del témpano), y la normal sobre el témpano ejercida por el lago en el cual flota. Esta última equilibra la acción de los pesos descriptos y la fuerza neta sobre el sistema es nula y se halla en equilibrio mecánico de traslación. Todas las otras fuerzas que se ejercen entre las partes del sistema,

.reltv ctte=

l

5 /reltv m s=

10l m=80tm kg=1000Tm kg=

Unidad Nº 5 – Física I - 2013 10/12

en todo el proceso

por ejemplo: la fuerza normal que ejerce el témpano sobre el hombre ya que se encuentra sobre él; la fuerza de roce entre este turista y el témpano, etc., son internas al sistema y no se incluyen en la ecuación de referencia. Por lo tanto:

0

( 0)

extcm

cm

dPF Ma P cttedt

a

= = = ⇒ =

=∑

¿Cómo continuamos nuestro análisis? Primero seleccionamos como sistema o marco de referencia a la Tierra y adoptamos un sistema de coordenadas fija a ella (en la orilla del lago): Para resolver el ítem a- nos alcanza considerar la conservación de P , calcular su valor en un estado donde tengamos todos los datos (estado de referencia) y compararlo con otro donde tengamos alguna incógnita, como lo hicimos en el problema anterior. Seleccionamos como estado de referencia al estado inicial, el turista parado en reposo sobre el témpano, también en reposo respecto al lago. Entonces

0inicial inicial inicial inicial inicialq q q t t T T

q qP p m v m v m v= = = + =∑ ∑

Donde los subíndices t y T, se refieren al turista y témpano, respectivamente. (recordemos que q son las partes que conforman el sistema bajo estudio). Observación: estrictamente hablando las velocidades de las partes constituyentes del sistema, se refieren en sí mismas al centro de masa de cada subsistema, ya que tanto el turista como el témpano son en sí mismo sistemas de partículas. Como debemos obtener la velocidad que adquiere el témpano al moverse el turista con velocidad rel

tv (relativa al témpano, constante y en dirección perpendicular a la orilla), consideramos el instante de tiempo en que llega al extremo del témpano y el salto es inminente (que denominamos final). ¿Podríamos haber seleccionado otro instante de tiempo?

final final final final finalq q q t t T T

q qP p m v m v m v= = = +∑ ∑

El enunciado del problema da como dato la velocidad relativa al témpano y, por lo tanto, se debe calcular la velocidad relativa al lago:

relt t Tv v v= +      válida en cualquier instante de tiempo

Entonces: ( )

( )

final final final rel final finalq q q t t T T T

q q

rel finalt t t T T

P p m v m v v m v

m v m m v

= = = + + =

= + +

∑ ∑

La conservación de P , permite comparar las dos situaciones descriptas, y obtener una ecuación con una incógnita: .P ctte= inicial finalP P=

0 ( )rel finalt t t T Tm v m m v= + +

( )

final reltT t

t T

mv vm m

= −+

y

ox

Unidad Nº 5 – Física I - 2013 11/12

en todo el proceso

en todo el proceso

Claramente se muestra una restructuración en velocidades de las partes del sistema en dirección horizontal (eje x). ¿Qué significa el signo negativo en final

Tv ? 

Considerando que , (5 / )rel relt t xv v i m s i= = − , obtenemos

80 .( 5 / ) 0,37 /( ) (1000 80 )

final reltT t

t T

m kgv v m s i m sm m kg kg

= − = − − =+ +

Para resolver el ítem b-, necesitamos continuar un poco más con nuestro análisis anterior al aplicar la 1era. ecuación cardinal a nuestro sistema. Observamos que:

.( 0)

cmcm

P cttev ctte

a

⎫= ⎪⇒ =⎬= ⎪⎭

, que se mantenga constante la velocidad del cm del sistema total, me da libertad de

elegir en qué estado de la evolución mecánica o proceso calcular su valor (total es constante). Selecciono el inicial:

.0

inicialq q q inicial

q qinicialcm cm

q q t Tq q

m v pPv v

m m m m≡ = = = =

+

∑ ∑∑ ∑

,

Conclusión: la velocidad del cm del sistema total en todo el proceso es constantemente nula. Esta última conclusión implica que:

0 = . cmcm cm

drv r cttedt

= = ⇒

O sea, el sistema bajo estudio evoluciona mecánicamente manteniendo constante la posición de su centro de masa respecto a un sistema de referencia inercial que se adopte. Hay una restructuración en la posición que tienen las partes del sistema al evolucionar mecánicamente, de forma tal que se mantenga constante la posición de su centro de masa. Por lo tanto, compararemos dos situaciones (dos estados mecánicos) del proceso y trataremos de obtener la distancia que deberá saltar el turista cuando llegue al extremo del témpano.

A diferencia de lo anterior, consideramos la conservación de la posición del centro de masa, no de P . El por qué de esta elección es que hay restructuración en la posición de las partes de mi sistema respecto a un sistema de referencia inercial, de tal manera que la posición del centro de masa permanezca constante, y el momento lineal está directamente relacionado con las velocidades. Entonces

TrΔ

y

ox

l

y

ox

Unidad Nº 5 – Física I - 2013 12/12

, , ,

.( )

inicialq q inicial inicial inicial

q t cm t T cm T t T cm TinicialCM CM

q t T t Tq

m rm r m r m l i m r

r rm m m m m

+ +≡ = = =

+ +

∑∑

Observación: estrictamente hablando las posiciones de las partes constituyentes del sistema qr , se refieren

en sí mismas al centro de masa de cada subsistema ( ; )cmt cmTr r , ya que tanto el turista como el témpano son en sí mismo sistemas de partículas. Es por eso que diferenciamos los subíndices correspondientes a los diferentes centros de masa, cm de las partes de mi sistema y CM del sistema total. Además no conocemos la posición del centro de masa del témpano. Si su masa estuviera uniformemente distribuida, su centro de masa coincidiría con su centro de simetría ( cmT csTr r= ), pero no lo sabemos. En la ecuación anterior es una incógnita. ¿Por qué consideramos que , ( )inicial

cm tr l i≡ ? 

 La otra situación a comparar es cuando el turista llega al extremo del témpano y se dispone a saltar:

, , ,

.( ) ( )

finalq q final final inicial

q t cm t T cm T t T T cm T TfinalCM CM

q t T t Tq

m rm r m r m r m r r

r rm m m m m

+ Δ + + Δ≡ = = =

+ +

∑∑

Observación: como dijimos, no conocemos la posición del centro de masa del témpano. Pero si este subsistema se encuentra representado en su traslación por su propio cm, y consideramos que se movió desde su posición un TrΔ (cambio de posición del témpano) también se moverá su punto representativo ,( )inicial

cm T Tr r+Δ (tenga en

cuenta que las partículas constituyentes del témpano no modifican sus posiciones relativas entre sí). ¿Por qué ,

finalcm t Tr r≡ Δ ?

Comparando obtenemos: .CMr ctte= inicial final

CM CMr r=

, ,( ) ( ) ( )inicial inicialt T cm T t T T cm T T

t T t T

m l i m r m r m r rm m m m+ Δ + + Δ

=+ +

80( ) (10 ) 0,74

(80 1000 )t

Tt T

m kgr l i m i m im m kg kg

Δ = = =+ +