Docima d Hipotesis

PRÁCTICA N°12

1

PRUEBA DE HIPOTESIS

1. La vida media de una muestra de 100 tubos fluorescentes producidos por una empresa

es de 1570 horas con una desviación estándar de 120 horas. Si u es la vida media de

todos los tubos producidos por esta empresa, contrastar la hipótesis de que u=1600

horas contra la hipótesis alternativa u 1600 horas, usando un nivel de significación del

5%.

Sea 𝑋: horas de vida

𝑋~𝑁(𝜇 , 𝑆2)

Caso II : 𝛿2 es desconocido y 𝑛 = 100 > 30

1º Planteando la hipótesis:

Docima bilateral

𝐻0: 𝜇0 = 1600

𝐻1: 𝜇0 ≠ 1600

2º Prueba de hipótesis:

𝑋 − 𝜇

𝑆

√𝑛

~ 𝑁(0 , 1)

3º

𝑅. 𝐶. = 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) / 𝑋 − 𝜇

𝑆

√𝑛

> 𝑧1 ó 𝑋 − 𝜇

𝑆

√𝑛

< 𝑧2

4º Con 𝛼 = 0.05 en la tabla de distribución normal ,determinamos los puntos

críticos:

𝑧0.975 = ±1.96

5º Con los datos observados, se halla el valor de:

𝑍0 =𝑋 − 𝜇0𝑆

√𝑛

=1570 − 1600

120

√100

= −2.5

PRÁCTICA N°12

2

DECISIÓN: 𝑍0 = −2.5 ∈ 𝑅. 𝐶. , se rechaza 𝐻0: 𝜇0 = 1600 .

2. Las tensiones de ruptura de los cables fabricados por una empresa tienen una media

de 1800 libras y una desviación estándar de 100 libras. Se desea comprobar si un

nuevo proceso de fabricación aumenta dicha tensión media. Para ello se toma una

muestra de 49 cables y se encuentra que su tensión de ruptura es 1850 libras. ¿Se

puede afirmar la mejoría del nuevo proceso al nivel de significación del 5%?.

Sea 𝑋: tensión de ruptura

𝑋~𝑁(𝜇 , 𝛿2)

Caso I : 𝛿2 es conocido


Docima unilateral derecha

𝐻0: 𝜇0 = 1800

𝐻1: 𝜇0 > 1600


𝑋 − 𝜇

𝛿

√𝑛

~ 𝑁(0 , 1)

3º

𝑅. 𝐶. = 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) / 𝑋 − 𝜇

𝛿

√𝑛

> 𝑧1


críticos:

𝑧0.95 = 1.645


PRÁCTICA N°12

3

𝑍0 =𝑋 − 𝜇0𝛿

√𝑛

=1850 − 1800

100

√49

= 3.5

DECISIÓN: 𝑍0 = 3.5 ∈ 𝑅. 𝐶. , se rechaza 𝐻0: 𝜇0 = 1800 .

CONCLUSION: Se puede afirmar la mejora del nuevo proceso (𝐻1: 𝜇0 > 1600) .

3. El fabricante de una marca de pilas de nueve voltios afirma que la vida útil media de su

producto es de 50 horas con una desviación estándar de 12 horas. Una muestra

aleatoria simple de 100 pilas da una vida media de 48 horas. A un nivel de significación

del 2%, que se concluye sobre la afirmación del fabricante?

Sea 𝑋: vida útil

𝑋~𝑁(𝜇 , 𝛿2)



Docima unilateral izquierda

𝐻0: 𝜇0 = 50

𝐻1: 𝜇0 < 50


𝑋 − 𝜇

𝛿

√𝑛

~ 𝑁(0 , 1)

3º

𝑅. 𝐶. = 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) / 𝑋 − 𝜇

𝛿

√𝑛

< 𝑧1

PRÁCTICA N°12

4


críticos:

𝑧0.02 = −2.05


𝑍0 =𝑋 − 𝜇0𝛿

√𝑛

=48 − 50

12

√100

= −1.67

DECISIÓN: 𝑍0 = −1.67 ∋ 𝑅. 𝐶. , no se rechaza 𝐻0: 𝜇0 = 1800 .

CONCLUSION: El fabricante no miente.

4. Un proveedor de internet afirma que sus usuarios promediaban 13 horas por semana.

Para determinar si esta era una exageración, un competidor efectuó un estudio de 250

clientes y encontró que el tiempo promedio que pasaban en línea era de 10.5 horas por

semana con una desviación estándar de 5.2 horas. ¿Los datos proporcionan suficiente

evidencia para indicar que el promedio de horas que pasaban en línea es menor que lo

que afirmaba el primer proveedor de internet? Pruebe en un nivel de significación del

1%.

Sea 𝑋: horas que pasan en línea.

𝑋~𝑁(𝜇 , 𝑆2)

Caso II : 𝛿2 es desconocido y 𝑛 = 250 ≥ 30


Docima unilateral izquierdo

𝐻0: 𝜇0 ≥ 13

𝐻1: 𝜇0 < 13


𝑋 − 𝜇

𝑆

√𝑛

~ 𝑁(0 , 1)

3º

𝑅. 𝐶. = 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) / 𝑋 − 𝜇

𝑆

√𝑛

< 𝑧1

PRÁCTICA N°12

5


críticos:

𝑧0.01 = −2.326


𝑍0 =𝑋 − 𝜇0𝑆

√𝑛

=10.5 − 13

5.2

√250

= −7.6

DECISIÓN: 𝑍0 = −7.6 ∈ 𝑅. 𝐶. , se rechaza 𝐻0: 𝜇0 ≥ 13 .

CONCLUSIÓN: Los datos no proporcionan suficiente evidencia para indicar que el promedio

de horas que pasaban en línea es menor que lo que afirmaba el primer proveedor.

5. El gerente de producción cree que las latas de 16 onzas de piña se están llenando en

exceso. El departamento de control de calidad tomo una muestra aleatoria de 50

encases y encontró que el peso medio es de 16.05 onzas con una desviación estándar

de 0.03 onzas. Al nivel de significación del 5% ¿puede rechazarse la hipótesis de que

el peso medio es igual a 16 onzas?.

(Corrección: S=0.03 por 0.3)

Sea 𝑋: peso

𝑋~𝑁(𝜇 , 𝑆2)

Caso II : 𝛿2 es desconocido y 𝑛 = 50 ≥ 30


Docima bilateral

𝐻0: 𝜇0 = 16

𝐻1: 𝜇0 ≠ 16


PRÁCTICA N°12

6

𝑋 − 𝜇

𝑆

√𝑛

~ 𝑁(0 , 1)

3º

𝑅. 𝐶. = 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) / 𝑋 − 𝜇

𝑆

√𝑛

> 𝑧1 ó 𝑋 − 𝜇

𝑆

√𝑛

< 𝑧2


críticos:

𝑧0.975 = ±1.96


𝑍0 =𝑋 − 𝜇0𝑆

√𝑛

=16.05 − 16

0.3

√50

= 1.178

DECISIÓN: 𝑍0 = 1.178 ∋ 𝑅. 𝐶. , no se rechaza 𝐻0: 𝜇0 = 16 .

CONCLUSIÓN: No puede rechazarse la hipótesis de que el peso medio es igual a 16 onzas.

6. El contenido de calorías de cierta bebida refrescante se dice que es de 50 calorías por

botella. Se toma una muestra aleatoria de 36 botellas y se encuentra que el promedio

de calorías por botellas es de 49.3 unidades. ¿Estos datos apoyan lo que se afirma?

Supóngase que las calorías están normalmente distribuidas con una desviación

estándar de 3 unidades. Nivel de significación del 3%.

Sea 𝑋: contenido de calorías.

𝑋~𝑁(𝜇 , 𝛿2)




𝐻0: 𝜇0 = 50

PRÁCTICA N°12

7

𝐻1: 𝜇0 > 50


𝑋 − 𝜇

𝛿

√𝑛

~ 𝑁(0 , 1)

3º

𝑅. 𝐶. = 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) / 𝑋 − 𝜇

𝛿

√𝑛

> 𝑧1


críticos:

𝑧0.97 = 1.88


𝑍0 =𝑋 − 𝜇0𝛿

√𝑛

=49.3 − 50

3

√36

= −1.4

DECISIÓN: 𝑍0 = −1.4 ∋ 𝑅. 𝐶. , no se rechaza 𝐻0: 𝜇0 = 50 .

CONCLUSIÓN: Estos datos apoyan lo que se afirma.

7. Un nuevo aditivo de gasolina ha sido desarrollado por la empresa “Texaco”. Se afirma

que dicho aditivo resulta en por lo menos un 15% de ahorro de gasolina. En un

experimento de uso aditivo, realizado en ocho automóviles se registraron los siguientes

porcentajes de ahorro en el consumo de gasolina:

14.1 13.7 15.2 18.6 15.0 14.5 13.8 15.1

Contradicen estos datos la afirmación del fabricante? .Usar α=0.10

(Corrección: 𝝁𝟎=15 por 16)

Sea 𝑋: porcentaje de ahorro en gasolina.

𝑋~𝑁(𝜇 , 𝛿2)

Caso III : 𝛿2 es desconocido y 𝑛 = 8 < 30



𝐻0: 𝜇0 ≥ 16

𝐻1: 𝜇0 < 16

PRÁCTICA N°12

8


𝑋 − 𝜇

𝑆

√𝑛

~ 𝑡(𝑛 − 1) = 𝑡(7)

3º

𝑅. 𝐶. = 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) / 𝑋 − 𝜇

𝑆

√𝑛

< 𝑡1

4º Con 𝛼 = 0.1 en la tabla "𝑡" ,determinamos los puntos críticos:

𝑡0.1(7) = −1.4149

5º Con la información:

𝑡0 =𝑋 − 𝜇0𝑆

√𝑛

=15 − 16

1.5675

√8

= −1.8

DECISIÓN: 𝑡0 = −1.8 ∈ 𝑅. 𝐶. , se rechaza 𝐻0: 𝜇0 ≥ 6 .

CONCLUSIÓN: Los datos contradicen la afirmación del fabricante.

8. Hace tiempo una maquina producía arandelas de 0.05 pulgadas de espesor. Para

determinar si sigue en buen estado, se toma una muestra aleatoria de 10 arandelas,

que dan un espeso medio de 0.053 pulgadas con desviación estándar de 0.003

pulgadas. Contrastar la hipótesis de que la maquina sigue funcionando bien, con un

nivel de significación del 10%..

Sea 𝑋: producción de aranceles.

𝑋~𝑁(𝜇 , 𝛿2)



Docima bilateral

𝐻0: 𝜇0 = 0.05

𝐻1: 𝜇0 ≠ 0.05


𝑋 − 𝜇

𝑆

√𝑛

~ 𝑡(𝑛 − 1) = 𝑡(9)

3º

PRÁCTICA N°12

9

𝑅. 𝐶. = 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) / 𝑋 − 𝜇

𝑆

√𝑛

> 𝑡1 ó 𝑋 − 𝜇

𝑆

√𝑛

< 𝑡2


𝑡0.95(9) = 1.8331


𝑡0 =𝑋 − 𝜇0𝑆

√𝑛

=0.053 − 0.05

0.003

√10

= 3.162

DECISIÓN: 𝑡0 = 3.162 ∈ 𝑅. 𝐶. , se rechaza 𝐻0: 𝜇0 = 0.05 .

CONCLUSIÓN: Se rechaza la afirmación de que la maquina funcione correctamente.

9. Una prueba con una muestra aleatoria de seis sogas de un cierto fabricante dio una

tensión media de ruptura de 7750 libras y una desviación estándar de 145 libras,

mientras que el fabricante anunciaba que era de 800 libras. ¿Puede sostenerse la

afirmación del fabricante al nivel significativo del 5%?

(Corrección : 𝑿=7750 por 750)

Sea 𝑋: tensión de ruptura.

𝑋~𝑁(𝜇 , 𝛿2)

Caso III: 𝛿2 es desconocido y 𝑛 = 6 < 30


𝐻0: 𝜇0 = 800

𝐻1: 𝜇0 < 800


𝑋 − 𝜇

𝑆

√𝑛

~ 𝑡(𝑛 − 1) = 𝑡(5)

3º

𝑅. 𝐶. = 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) / 𝑋 − 𝜇

𝑆

√𝑛

< 𝑡1


PRÁCTICA N°12

10

𝑡0.05(5) = −2.0150


𝑡0 =𝑋 − 𝜇0𝑆

√𝑛

=750 − 800

145

√6

= −0.845

DECISIÓN: 𝑡0 = −0.845 ∋ 𝑅. 𝐶. , no se rechaza 𝐻0: 𝜇0 = 800 .

CONCLUSIÓN: Se puede sostener la afirmación del fabricante.

10. El fabricante de un cierto modelo de automóvil afirma que el kilometraje medio de este

modelo es de 12 kilometro por litro de gasolina corriente. Un organismo de defensa del

consumidor piensa que ese kilometraje promedio ha sido exagerado por el fabricante.

Nueve automóviles de este modelo son conducidos del mismo modo con un litro de

gasolina corriente. Los kilometrajes recorridos por os diversos automóviles son:

12 11 10 10.5 11.5 11 12.5 10 10.5

Si el organismo desea rechazar una afirmación verdadera no más de una vez en 100,

¿rechazara la afirmación del fabricante?

Sea 𝑋: kilometraje.

Con:

𝑋 = 11 𝑦 𝑆 = 0.866 𝑋~𝑁(𝜇 , 𝛿2)




𝐻0: 𝜇0 = 12

𝐻1: 𝜇0 < 12


𝑋 − 𝜇

𝑆

√𝑛

~ 𝑡(𝑛 − 1) = 𝑡(8)

3º

𝑅. 𝐶. = 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) / 𝑋 − 𝜇

𝑆

√𝑛

< 𝑡1

4º Con 𝛼 = 0.01 en la tabla "𝑡":

PRÁCTICA N°12

11

𝑡0.01(8) = −2.8965


𝑡0 =𝑋 − 𝜇0𝑆

√𝑛

=11 − 12

0.866

√9

= −3.46

DECISIÓN: 𝑡0 = −3.46 ∈ 𝑅. 𝐶. , se rechaza 𝐻0: 𝜇0 = 12 .

CONCLUSIÓN: Se rechaza la afirmación del fabricante.

11. En una encuesta nacional se encuentra que la quinta parte de los automóviles que

circulan por las carreteras exceden la velocidad limite de 80Km/h. Una muestra

aleatoria de 36 automóviles en la panamericana norte revela que 12 habían excedido el

límite indicado. ¿Podrá llegarse a la conclusión de que el número de automóviles que

violan la disposición sobre la velocidad supera en dicha vía el porcentaje nacional?

Nivel de significación 2%.

Sea 𝑋: kilometraje.

𝑋~𝑁(𝜇 , 𝛿2)



𝐻0: 𝑝0 ≤ 1/5

𝐻1: 𝑝 > 1/5


− 𝑝

√𝑝(1 − 𝑝)𝑛

~𝑁(0 , 1)

3º

𝑅. 𝐶. =

𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) / − 𝑝

√𝑝(1 − 𝑝)𝑛

> 𝑧1

4º Con 𝛼 = 0.02 ,en la tabla de distribución normal:

𝑧0.98 = 2.05


𝑧0 = − 𝑝0

√𝑝0(1 − 𝑝0)𝑛

=1/3 − 1/5

√(1/5)(4/5)36

= 2

PRÁCTICA N°12

12

DECISIÓN: 𝑧0 = 2 ∋ 𝑅. 𝐶. , no se rechaza 𝐻0: 𝑝0 ≤ 1/5 .

CONCLUSIÓN: Se llega a la conclusión de que el número de automóviles que violan la

disposición sobre la velocidad supera en dicha vía el porcentaje nacional.

12. Se estudia la fracción de circuitos integrados defectuosos producidos en un proceso de

fotolitografía. Para ello se someten a prueba una muestra de 300 circuitos, en la que 13

son defectuosos. Utilice los datos para probar Ho=0.05 contra H1≠0.05. Nivel de

significación del 5%.

Sea 𝑋: proporción de circuitos defectuosos.

𝑋~𝑁(𝜇 , 𝛿2)


Docima bilateral

𝐻0: 𝑝0 = 0.05

𝐻1: 𝑝 ≠ 0.05


− 𝑝

√𝑝(1 − 𝑝)𝑛

~𝑁(0 , 1)

3º

𝑅. 𝐶. =

𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) / − 𝑝

√𝑝(1 − 𝑝)𝑛

> 𝑧1 ó − 𝑝

√𝑝(1 − 𝑝)𝑛

< 𝑧2

4º Con 𝛼 = 0.05 ,en la tabla de distribución normal:

𝑧0.975 = ±1.96


𝑧0 = − 𝑝0

√𝑝0(1 − 𝑝0)𝑛

=13/300 − 0.05

√(0.05)(0.95)300

= −0.5298

DECISIÓN: 𝑧0 = −0.5298 ∋ 𝑅. 𝐶. , no se rechaza 𝐻0: 𝑝0 = 0.05 .

13. Un laboratorio de farmacia sostiene que uno de sus productos es 90% efectivo para

reducir una alergia en 8 horas. En una muestra de 200 personas con esta alergia, el

medicamento dio buen resultado en 160. Determinar si la afirmación del laboratorio es

legítima a un nivel de significación del 5%.

Sea 𝑋: porcentaje efectivo para reducir una alergia en 8 horas.

PRÁCTICA N°12

13

𝑋~𝑁(𝜇 , 𝛿2)



𝐻0: 𝑝0 = 9/10

𝐻1: 𝑝0 < 9/10

2º 𝛼 = 0.05

𝑅. 𝐶. =

𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) / − 𝑝

√𝑝(1 − 𝑝)𝑛

< 𝑧1

En la tabla de distribución normal:

𝑧0.05 = −1.645

3º 𝑝−𝑝

√𝑝(1−𝑝)𝑛

~𝑁(0 , 1)

4º Con los datos:

𝑧0 = − 𝑝0

√𝑝0(1 − 𝑝0)𝑛

=4/5 − 9/10

√(9/10)(1/10)200

= −4.71

DECISIÓN: 𝑧0 = −4.71 ∈ 𝑅. 𝐶. , se rechaza 𝐻0: 𝑝0 = 9/10 .

CONCLUSIÓN: La afirmación del laboratorio es refutada.

14. Un fabricante afirma que al menos el 955 del equipamiento que ha suministrado a un

cliente es acorde a las especificaciones. El examen de una muestra de 200 piezas

revela que 18 eran defectuosos. ¿Contrastar su afirmación al nivel de significación del

2%?

Sea 𝑋: proporción de equipamiento acorde a las especificaciones.

𝑋~𝑁(𝜇 , 𝛿2)



𝐻0: 𝑝0 ≥ 95/100

𝐻1: 𝑝0 < 95/100

2º 𝛼 = 0.02

PRÁCTICA N°12

14

𝑅. 𝐶. =

𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) / − 𝑝

√𝑝(1 − 𝑝)𝑛

< 𝑧1


𝑧0.02 = −2.05

3º 𝑝−𝑝

√𝑝(1−𝑝)𝑛

~𝑁(0 , 1)

4º Con los datos:

𝑧0 = − 𝑝0

√𝑝0(1 − 𝑝0)𝑛

=182/200 − 95/100

√(95/100)(5/100)200

= −2.595

DECISIÓN: 𝑧0 = −2.595 ∈ 𝑅. 𝐶. , se rechaza 𝐻0: 𝑝0 ≥ 95/100 .

15. Un fabricante de televisores afirma que en promedio el 90% de sus televisores no

necesita de ninguna reparación durante sus dos primeros años de funcionamiento. El

Instituto de Protección al Consumidor (IPC) selecciona una muestra aleatoria de 100

televisores y encuentra que 15 de ellos necesita alguna reparación durante sus

primeros dos años de operación. Si el IPC desea rechazar una afirmación verdadera no

más de 5 en 100 veces, ¿Qué decidirá en relación con la afirmación del fabricante?

Sea 𝑋: proporción de televisores que no necesitan de ninguna reparación.

𝑋~𝑁(𝜇 , 𝛿2)



𝐻0: 𝑝0 = 9/10

𝐻1: 𝑝0 < 9/10

2º 𝛼 = 0.05

3º 𝑝−𝑝

√𝑝(1−𝑝)𝑛

~𝑁(0 , 1)

𝑅. 𝐶. =

(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ∈ Ω / − 𝑝

√𝑝(1 − 𝑝)𝑛

< 𝑧1


𝑧0.05 = −1.645

4º Con los datos:

PRÁCTICA N°12

15

𝑧0 = − 𝑝0

√𝑝0(1 − 𝑝0)𝑛

=85/100 − 9/10

√(9/10)(1/10)100

= −1.67

DECISIÓN: 𝑧0 = −1.67 ∈ 𝑅. 𝐶. , se rechaza 𝐻0: 𝑝0 = 9/10 .

CONCLUSIÓN: Decide rechazar la afirmación del fabricante.

16. Aproximadamente 1 de cada 10 consumidores favorecen el refresco de marca X.

Después de una campaña de promoción en una región de ventas, se selecciono

aleatoriamente 200 bebedores de ese producto de los consumidores en el área del

mercado, y se les entrevisto para determinar la efectividad de la campaña. El resultado

de la encuesta mostro que un total de 26 personas expreso su preferencia por la

bebida de marca X. ¿son los datos suficientes para indicar un aumento en la

aceptación de la marca X en la región?

Sea 𝑋: la proporción de la preferencia para bebida 𝑋.

𝑋~𝑁(𝜇 , 𝛿2)


𝐻0: 𝑝0 ≤ 1/10

𝐻1: 𝑝0 > 1/10

2º Para 𝛼 = 0.05

3º 𝑝−𝑝

√𝑝(1−𝑝)𝑛

~𝑁(0 , 1)

𝑅. 𝐶. =

(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ∈ Ω / − 𝑝

√𝑝(1 − 𝑝)𝑛

> 𝑧1


𝑧0.95 = 1.645

4º Con los datos:

𝑧0 = − 𝑝0

√𝑝0(1 − 𝑝0)𝑛

=26/200 − 1/10

√(1/10)(9/10)200

= 1.4142

DECISIÓN: 𝑧0 = 1.4142 ∋ 𝑅. 𝐶. , no se rechaza 𝐻0: 𝑝0 ≤ 1/10.

CONCLUSIÓN: Se puede indicar un aumento en la aceptación de la marca 𝑋 en la región.

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