DIVISIÓN Y FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

División de polinomios (con caja)

Resolver la división de polinomios:

P(x) = x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = x2 − 2x + 1

P(x) : Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo . Si el polinomio no es

completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer

monomio del divisor.

x5 : x2 = x3

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el

resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el

primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el

divisor y lo restamos al dividendo.

2x4 : x2 = 2 x2

Procedemos igual que antes.

5x3 : x2 = 5 x

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x2 : x2 = 8

10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del

divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x3+2x2 +5x+8 es el cociente.

MÉTODO DE RUFFINI

La regla de Ruffini sirve para dividir un polinomio por . Las operaciones, sumas

y multiplicaciones por a, se realizan por turno. Finalmente, se obtienen los coeficientes

del cociente y, en último lugar, el resto de la división.

Vamos a ver primero como se realiza el método de Ruffini y después veremos cómo

se puede utilizar para factorizar polinomios y resolver ecuaciones polinómicas.

Lo veremos con un ejemplo:

Si queremos dividir entre procedemos de la siguiente

manera:

Colocamos los coeficientes del polinomio ordenados en horizontal y con su respectivo

signo, y antes de la raya vertical colocamos la a, en este caso es 2.

Ejercicio TIPO:

Halla m para que el polinomio: sea divisible por x-3

Para que un polinomio sea divisible por otro polinomio el resto de la división tiene que

ser 0, como en este caso el polinomio por el que tenemos que dividir es de la forma

podemos hacer la división por Ruffini:

1 m -9 9

3 3 9+3m 9m

1 3+m 3m 9+9m=0 9m=-9 m=-1

El primer término se baja tal cual.

Multiplicamos el 2 por los términos

de debajo de la línea y el resultado

lo colocamos en la siguiente

posición arriba de la línea.

Sumamos los términos de arriba de

la línea y colocamos el resultado

debajo.

Volvemos a hacer el mismo proceso

hasta llegar al último término.

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

FACTOR COMÚN: Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y

hay coeficientes con factores comunes, se saca el factor más pequeño que se repita

en todos los términos. Por ejemplo si nos piden factorizar: en cada

término aparece como factor común por tanto la expresión queda:

RUFFINI: Un número a se llama raíz de un polinomio P(x) si P(a)=0, es decir, las

raíces de un polinomio son los valores de x que lo anulan.

Las raíces de un polinomio siempre son divisores del término independiente.

Ejemplo: Sea , tenemos que 1 es raíz porque

Si es raíz de entonces el polinomio es divisible por (el resto da 0) y

se puede escribir

Ejemplo: Sea sabemos que las posibles raíces son

1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,6,-6,12,-12 porque son los divisores del término independiente 12.

Probamos con x=1, realizamos la división de entre por el método de Ruffini:

1 2 -7 -8 12

1 1 3 -4 -12

1 3 -4 -12 0

Como el resto es 0 sabemos que 1 es raíz de P(x) y podemos escribir: