1. Serie Desarrollo del pensamiento matemtico N 8 Divisibilidad Martn Andonegui Zabala1

2. 372.7 And. Divisibilidad Federacin Internacional Fe y Alegra, 2006. 30 p.; 21,5 x 19 cm. ISBN: 980-6418-78-6 Matemticas, Divisibilidad. 2 3. ...nuestra tarea no es ensear a los estu- diantes a pensar... ellos ya lo hacen; sino intercambiar nuestras formas de pensamien- to con cada uno de los otros y mirar juntos para encontrar mejores formas de enfocar la decodicacin de un objeto. Paulo Freire 3 4. Equipo editorial Beatriz Borjas Dimensin: Desarrollo del pensamiento matemtico Serie: Divisibilidad, nmero 8 Autor: Martn Andonegui Zabala Este libro se ha elaborado con el propsito de apoyar la prctica educativa de los cientos de educadores de Fe y Alegra. Su publicacin se realiz en el marco del ProgramaA modo de Internacional de Formacin de Educadores Popula- res desarrollado por la Federacin Internacional Fe y Alegra desde el ao 2001. Diseo y diagramacin: Juan Bravo Portada e ilustraciones: Juan Bravo Correccin de textos: Beatriz Borjas, Carlos Gudez, Margarita Arribas Edita y distribuye: Federacin Internacional Fe y Alegra. Esquina de Luneta, Edif. Centro Valores, piso 7, Altagracia, Caracas 1010-A,Venezuela. Telfonos: (58) (212) 5631776 / 5632048 / 5647423 Fax (58) (212) 5645096 web: www.feyalegria.org Federacin Internacional Fe y Alegra Depsito Legal: lf 603 2006 510 336 Caracas, marzo 2006 Publicacin realizada con el apoyo de: Centro Magis Instituto Internacional para la Educacin Superior en Amrica Latina y el Caribe (IESALC) - Corporacin Andina de Fomento (CAF) 4 5. introduccin...... y para desperezarnos un2. En un estante de la biblioteca esco-Halle todas las parejas de nmerospoco, ah van unas cues- lar hay menos de 1.000 libros, todos primos cuya suma sea 999.tiones sencillas para entrar del mismo tamao. La bibliotecaria nosen materia y en calor. Tra-dice que se pueden empaquetar, sin Descomponga 40 en suma de trestemos de resolverlas antes que sobre ningn libro, por docenas, nmeros primos, de todas las manerasde seguir adelante.de 28 en 28, o de 49 en 49. Cuntos posibles. libros hay exactamente?Halle el nmero menor que 30 que essimultneamente divisor de 100, mltiplode 10 y no mltiplo de 4. 3. En cierto planeta, el nmero de dasde la semana, de semanas del mes yEn qu cifras terminan los nmeros de meses del ao es el mismo. Si elprimos mayores que 5? ao consta de 512 das, cuntos dastiene una semana?1. Se tienen tres piezas de tela delmismo ancho, cuyas longitudes son: 180m, 225 m y 324 m. Se desea dividir las4. La edad de la maestra tiene la parti-tres piezas en lotes del mismo tamao. El producto de dos nmeros es 504. cularidad de que, al dividirse entre 2, 3,Cul debe ser la longitud de estos lotesCada uno de ellos es divisible por 6, pero 4, 6 y 8, siempre da como resto 1. Peropara que el nmero de cortes en las tres ninguno de ellos es 6. Cul es el mayor al dividirse entre 5, da como resto 0.piezas sea el menor posible? de estos dos nmeros?Cuntos aos tiene la maestra? (*) Aviso a los navegantes: Las respuestas a los ejercicios precedidos por un nmero en negrita aparecen al final del Cuaderno. Lasrespuestas a los ejercicios que no se encuentran precedidos por un nmero no las encontrars en este Cuaderno. Dichas respuestas son paraque las construyas y las valides con tu grupo de trabajo. 5 6. Los nmeros 6, 14 y 15 son divisores matemtica, pero no lo vamos a hacerdicho proceso. Porque a partir de esta de N. Cul puede ser el menor valor como si furamos simplemente unos experiencia reflexiva como estudiantes, de N?alumnos que posteriormente van a serpodremos entender y evaluar mejor elevaluados, y ya. No. Nosotros somos do- desempeo de nuestros alumnos a su Cul es el menor entero positivo por el centes docentes de matemtica en sunivel ante los mismos temas. que se debe multiplicar 504 para obtener momento y este rasgo debe caracterizar como producto un cuadrado perfecto?la forma de construir nuestro pensamien- En definitiva, entender que lato matemtico. Qu significa esto? matemtica es la base de su didctica: Las letras a y b esconden dos cifras.la forma en que se construye el cono- Halle su valor para que el nmero La presencia constante de la meta cimiento matemtico es una fuente 18a7b sea mltiplo de 15. Obtengaltima de nuestro estudio: alcanzar unosimprescindible a la hora de planificar y todas las respuestas posibles. niveles de conocimiento tecnolgico y desarrollar su enseanza.reflexivo, lo cual debe abrir ese estudio Si el precio de un objeto se puede pagar hacia la bsqueda de aplicaciones de Y ahora, vamos al tema de este Cua- exactamente con slo monedas de 20 lo aprendido, hacia el anlisis de losderno, la divisibilidad. pesos, y tambin con slo monedas de sistemas que dan forma a nuestra vida 25 pesos, se podr pagar exactamentey utilizan ese conocimiento matemtico, 1. De qu hablamos cuando con slo monedas de 50 pesos? Y con y hacia criterios sociales y ticos para hablamos de divisibilidad slo billetes de 200 pesos?juzgarlos.Muchos docentes responderan alplanteamiento anterior en trminos muy 5. En la maana pagu 360 pesos Construir el conocer de cada tpicosimples: de criterios de divisibilidad (por por un lote de fotocopias. En la tarde matemtico pensando en cmo lo ense-2, por 3, etc.), de descomposicin de un estuve sacando otras ms y pagu 126 amos en el aula, adems de reflexionar nmero en factores primos para calcular pesos. Cunto cuesta cada fotocopia,acerca de cmo nuestro conocer limita el mximo comn divisor o el mnimo si su precio es mayor que 10 pesos?y condiciona nuestro trabajo docente. comn mltiplo de dos nmeros, y ya. YDe esta forma, integrar nuestra prcticatodo ello tratado de una forma prctica,Bien, ya tenemos nuestras respues-docente en nuestro estudio. reducida a cmo se hacen las cosas, a las tas, que iremos contrastando con las reglas correspondientes a cada caso. indicaciones y ejercicios que planteare- Como complemento de lo anterior, mos a lo largo de las lneas que siguen. construir el conocer de cada tpico ma- Sin embargo y como lo iremos vien-temtico pensando en cmo lo podemosdo a lo largo de este Cuaderno, el temaY un segundo recordatorio:llevar al aula. Para ello, tomar conciencia de la divisibilidad se refiere al estudiodel proceso que seguimos para su cons-de los nmeros naturales [en realidad, La sugerencia que proponamos en eltruccin, paso a paso, as como de losal de los nmeros enteros, aunque se Cuaderno N 1 y que siempre presidirelementos cognitivos, actitudinales, puede reducir, como en este caso, al los dems Cuadernos: vamos a estudiaremocionales... que se presenten en de los naturales] desde la perspectiva 6 7. de su composicin multiplicativa, escontexto, divisor es el nmero por el que decir, pensando en que todo nmerose divide el dividendo, para producir un 0 es mltiplo de todos los nmeros na- natural siempre puede describirse comocociente y un resto. Si la divisin no esturales (cualquier nmero multiplicado producto de varios factores. De esta con- exacta, ese divisor no puede ser consi-por 0 da 0 como producto). sideracin tan sencilla y de la curiosidadderado como un divisor del dividendo 0 no es divisor de ningn nmero natural e intuicin de algunas personas arranc en trminos de lo planteado en el campopositivo (por qu?). en la historia de la matemtica un estu-de la divisibilidad. Por ejemplo, el divisor 1 es divisor de todos los nmeros natu- dio muy amplio que abarca conceptos,7 en la divisin 40 : 7, no es un divisor rales (al multiplicar cualquier nmero por relaciones, propiedades, regularidadesde 40 en trminos de divisibilidad. En1 se obtiene ese mismo nmero como y tambin aplicaciones. Los ejercicioslo que sigue nos referiremos a divisor enproducto). planteados al comienzo dan una breveestos ltimos trminos. 1 slo es mltiplo de s mismo (por idea de por dnde pueden ir las cosas. qu?).As, 7 es divisor de (divide a) 0, 7, Todo nmero es mltiplo y divisor de s Y para entendernos mejor en lo que21, 49, 105, etc. Es decir, de todos los mismo (por qu?). sigue, vamos a establecer el vocabula-productos de su tabla de multiplicar, Todo nmero es mltiplo de s mismo y rio bsico del tema. Si planteamos, por que es ilimitada. Anlogamente, 36 esde la unidad (por qu?). ejemplo, la multiplicacin 5 x 8 = 40,mltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36, decimos que:es decir, de todos y slo de los nmeros que lo tienen como producto en sus res- pectivas tablas de multiplicar. Ahora ya 2. En el mercado de los 40 es mltiplo de 5 y de 8el pro- podemos precisar un poco ms: nmeros, nmeros hay... ducto es mltiplo de cada uno de sus facto-...y muy variados. Salgamos al en- rescuentro de algunos de ellos. Empecemos 40 es divisible por 5 y por 8 el pro- Hablar de divisibilidad en el conjunto de lospor jugar a escribir nmeros como pro- ducto es divisible por cada uno de sus facto- nmeros naturales es hablar de los divisores ducto de parejas de factores, de todas res y mltiplos de esos nmeros, as como de las las maneras posibles. Por ejemplo, tome- 5 (y tambin 8) es divisor de 40 cada uno relaciones que pueden establecerse entre tales mos los nmeros 13, 15, 24 y 41: de los factores es divisor del producto nmeros al considerarlos como mltiplos y 5 (y tambin 8) divide a 40 cada unodivisores unos de otros. 13 = 1 x 13 de los factores divide al producto 15 = 1 x 15; 15 = 3 x 524 = 1 x 24; 24 = 2 x 12; 24 = 3 x 8; 24 = 4 x 6A partir de los casos anteriores y41 = 1 x 41 Es preciso hacer una pequea acla-de otros similares, empezamos ya a ratoria con respecto al trmino divisor,descubrir ciertas regularidades (des-En seguida nos damos cuenta de utilizado tambin en las divisiones entre pus iremos precisando otras). Por que hay dos nmeros, 13 y 41, que slo nmeros naturales (Cuaderno 7). En eseejemplo: tienen un par de divisores: la unidad y 7 8. el propio nmero. Los nmeros que slol. As, iremos tachando los de 2 (4, 6, [Ver Cuaderno 6, Potenciacin]. Eviden- poseen estos dos divisores se llaman8, etc.), luego los de 3 que no hayan sido temente, 412 no es un nmero primo. nmeros primos. En cambio, 15 y 24tachados antes (9, 15, etc.); y, sucesiva- Pero el intento fue bueno... y funcion poseen ms divisores: 4 para 15 (1, 3, 5, mente, los mltiplos de los nmeros que40 veces seguidas! 15) y 8 para 24 (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24). van quedando sin tachar (los de 5, 7, 11, Los nmeros que poseen ms de dos etc.). De esta forma van quedando, ltra-Tambin Euclides, en la demostra- divisores se denominan compuestos.dos y ordenados, los nmeros primos: 2,cin antes mencionada, nos indica una 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, etc. Si obser-manera de obtener nmeros primos, Observados con curiosidad, los nme-vamos con cuidado esta lista notamos aunque no en forma ordenada como Era- ros primos son unos nmeros rebeldesque hay un solo nmero primo par, el 2.tstenes. Para ello observ que si p es un que no se dejan dividir por otros nme- Y que a partir de 5, los posibles nmerosnmero primo, al formar el producto de p ros; estn, pues, vacos de divisores entre primos terminan en 1, 3, 7 9.por todos los nmeros primos anteriores, la unidad y ellos mismos. Estos nmerosy agregarle una unidad a ese producto,llamaron la atencin El mtodo de Eratstenes qued ah,el nuevo nmero as obtenido tambinde los estudiosos hace para quien tenga tiempo y paciencia. es primo. Por ejemplo, si partimos de 7,ms de 2.000 aos. YaPero en seguida, la gente curiosa se el nmero primo a que se llega es: 7 xEuclides (300 a.C.) de-pregunt si haba algn procedimiento5 x 3 x 2 + 1 = 210 + 1 = 211. Con elmostr que el nmero (algoritmo) que pudiera ir generando deprocedimiento de Euclides se llega ende nmeros primos es otra forma la lista completa de los nme-seguida a nmeros primos muy grandes.innito... ros primos. Y empezaron los intentos.Y de paso, se ve que siempre podemos Uno de los ms curiosos es el que propo- llegar a otros ms grandes...Eratstenes (matemtico y gegrafo ne que en la expresin: n2 + n + 41, se griego que vivi en elsustituya n por 0, 1, 2, 3, etc. y se evale s. III a. C.) se inventel nmero que se obtiene cada vez. Por cierto, la carrera por encontrar un una criba para ir ob-nmero primo ms grande que los ya cono- tenindolos. El m- Por ejemplo, para n = 0, se obtienecidos sigue (y seguir) abierta. A comienzos todo es muy sencillo, 0 + 0 + 41 = 41; para n = 1, se obtienedel ao 2005 se haba conseguido uno aunque muy lento: 1 + 1 + 41 = 43; para n = 2, se obtienesiempre con la ayuda de computadores en la lista de todos47; para n = 3, se llega a 53. Todos estos de 7.816.230 cifras... Se trata del nmero los nmeros positivos (exceptuando el nmeros (41, 43, 47, 53) son primos. 225.964.951 1.Y parece que hay ofrecido un 1, que no es primo pues slo tiene un Y, asombrosamente, la cosa funciona... premio de 100.000 dlares al primero que divisor: el propio 1), respetamos cadahasta llegar a n = 40, cuando se obtiene consiga un nmero primo de al menos 10 nmero que vamos encontrando sin402 + 40 + 41 = 1.681, que es 412. Enmillones de cifras..., logro que los matemti- tachar (por ejemplo, el 2 al empezar la efecto, 402 + 40 + 41 = 402 + 81 = 402 cos estiman que se alcanzar en el ao 2007. tarea) pero vamos tachando todos los+ 80 + 1 = 402 + 2 x 40 + 1, expresin Quin se anima a esta bsqueda? mltiplos de ese nmero, mayores queque podemos reconocer como (40 + 1)2 8 9. Los griegos tambin destacaron otros mente, la suma de los divisores propios (as, para p = 5, 25 2 = 32 2 = 30 y, tipos de nmeros, a base de observar de cada nmero da como resultado el efectivamente, 5 divide a 30; verifquelo propiedades y relaciones. Por ejemplo, otro nmero. A los pares de nmeros para otros casos). Y hasta pensaban que si nos jamos en el nmero 6, fcilmente que presentan esta propiedad, se lesla cosa funcionaba tambin al revs, es podemos obtener la lista de sus diviso-denomin nmeros amigos.decir, que si un nmero p es divisor de res: 1, 2, 3 y 6. Si en esa lista prescin- 2p 2, entonces p deba ser un nmero dimos del 6, tendremos el conjunto deVamos a hacer un punto de reexin. primo (Gentile, 1985). los divisores propios de 6: 1, 2 y 3. Qu Qu inters puede tener para nosotros ocurre si sumamos estos tres divisores?andar revisando estos avatares histricos La primera parte Que obtenemos justamente 6.acerca de los nmeros? Pues uno muy de esta conjetura esimportante. Nos interesa resaltar esa curio-cierta y fue demos- Los nmeros cuya suma de divisores sidad por descubrir regularidades, propie-trada, entre otros, propios es igual al mismo nmero fuerondades, relaciones entre los nmeros. Este por nuestro amigo bautizados como nmeros perfectos. es el espritu con el que debemos transitar Fermat (de quien ya Algunos de los conocidos son 6, 28,no slo por el tema de la divisibilidad, sino hablamos en el Cua- 496, 8.128 (puede vericarlo; y plan-por todos los campos de la matemtica.derno 6, a propsito tearse si habr algn nmero perfectode otras conjeturas...) que sea impar..., porque hasta ahora no3. Matemtica: de las conjeturasen el siglo XVII, en se ha descubierto ninguno). Como nota y los problemas abiertos,los ratos libres que adicional (Kline, 1992), a los nmerosa las demostraciones le dejaba su profesin de abogado. Pero mayores que la suma de Siguiendo con el punto de reexinla segunda parte de la conjetura es falsa, sus divisores propios se anterior, no hay que pensar que lo de la cu-ya que algn ocioso veric que 341 les llam deficientes. Y a riosidad es simplemente un buen consejo.divide a 2341 2 y, sin embargo, 341 no los nmeros menores queNo. La actitud indagatoria es la esencia de es primo: 341 = 11 x 31 (no intente hacer dicha suma, abun-cualquier descubrimiento cientco. As esa vericacin con papel y lpiz, ya que dantes (trate de hallarlo demuestra hasta la saciedad la historia2341 es un nmero de 103 cifras...). algunos ejemplos dede la matemtica, considerada como una cada especie). Muy aventura humana. En ella, en el principio expresivos los grie- fue la curiosidad. Y la observacin aten- gos, no?ta. De ah nacieron las conjeturas. Haymuchas en la historia del desarrollo de laOtra curiosidad cercana es la que divisibilidad. Veamos algunas. nos presenta este par de nmeros, 284 y 220: obtenga los divisores propios de Por ejemplo, ya los chinos, antes de 220 y smelos; haga lo mismo con los deCristo, armaban que si p es un nmero 284. Qu hemos hallado? Sorpresiva- primo, entonces p es divisor de 2p 2 9 10. Otra conjetura interesante fue pro- Curioso, no? Lo cierto es que Fer- ms de 300 aospuesta por Girard, a comienzos del siglomat dej toda una coleccin de conje- despus de haberXVII (Sierra et al., 1989): si un nmeroturas que no demostr y algunas otras sido formulada, yprimo es de la forma 4 x n + 1 (un ml- cuyas demostraciones no convencieronel hecho se convirtitiplo de 4, ms 1; por ejemplo, 5, 13,a los matemticos que vinieron detrs en una noticia de29...), entonces puede expresarse dede l. Pero en denitiva, lo bueno es cobertura mundial.una y slo una manera como suma deque dej una gran tarea para la casa. Pero si la demos-dos cuadrados. Por ejemplo, 5 = 4 + 1;Uno de los que ms se aplicaron en esta tracin fue todo un Andrew Wiles13 = 4 + 9; 29 = 25 + 4; etc. (busque tarea fue Euler, un matemtico alemn suceso, no lo fue menos (aunque msotros casos). Fermat, quien tambin del siglo XVIII. Y tambin Gauss, otrocallado) el trabajo desarrollado durantedemostr la conjetura anterior, adelantmatemtico alemn de la primera mitad esos tres siglos en la bsqueda de laa su vez unas cuantas (Kline, 1992). He del siglo XIX.demostracin: la matemtica producidaaqu algunas: en ese esfuerzo fue realmente notable yEn ge-hasta se abrieron nuevos campos en la El cuadrado de todo nmero primo neral, se disciplina. de la forma anterior: 4 x n + 1espera (por ejemplo, 52, 132, ...), tambin que tardeEn todas las pocas y hoy tam- puede expresarse de una y slo o tempra- bin existen conjeturas y problemas una manera como suma de dosno las con- abiertos, a la espera de una demostra- cuadrados. As, 52 = 25 = 16 + 9;jeturas se Gauss Eulercin (o de una refutacin). Por ejemplo, 132 = 169 = 144 + 25 = 122 + 52; demuestren rigurosamente. A veces de tanto en tanto aparece la noticia de etc. (verique otros casos). se tarda un poco, como en el caso alguien que encontr el mayor nmero Ningn nmero primo de la for- que mencionamos en el Cuaderno 6, primo (por el momento...). Tambin ma 4 x n + 3 (un mltiplo de 4,conocido como el ltimo teorema de est abierta la bsqueda de nuevos ms 3; por ejemplo, 7, 11, 19...), Fermat, cuyo enunciado dice: No exis- nmeros perfectos, o de nuevas parejas puede expresarse como suma deten valores x, y, z tales que veriquen lade nmeros amigos... Y conjeturas y dos cuadrados (verifquelo con relacin xn + yn = zn (en la que x, y, z, n problemas abiertos como stos (Alsina algunos casos).son nmeros enteros positivos) si n > 2. y De Guzmn, 1998): Si un nmero primo es de la formaEs decir, un cubo no puede expresarse 6 x n + 1 (un mltiplo de 6, ms 1;como la suma de dos cubos, ni una cuar- Todo nmero par mayor que 4 es por ejemplo, 13, 19...), entoncesta potencia como la suma de dos cuartassuma de dos nmeros primos puede expresarse de una y slo potencias, y as sucesivamente.impares (conjetura formulada por una manera como suma de unGoldbach, un matemtico alemn cuadrado ms el triple de otro cua- Esta conjetura, de enunciado tanque vivi en el siglo XVIII). drado. As, 13 = 1 + 3 x 4; 19 = 16sencillo, fue demostrada por el mate- Todo nmero impar, o es primo, + 3 x 1 (verique otros casos).mtico ingls Andrew Wiles en 1994...o es la suma de tres primos (for- 10 11. mulada por Waring en la segundaQuizs algn(a) lector(a) todava se Por consiguiente, y sin temor de mitad del siglo XVIII).estar preguntando para qu todos es-repetirnos, la curiosidad, la bsque- Existe un nmero innito de pa-tos cuentos... Pero seguramente muchos da, el planteamiento de conjeturas, res de primos gemelos, es decir, ya saben la respuesta: la curiosidad, la el intento por vericarlas y validarlas de primos que se diferencian enbsqueda, el planteamiento de conjetu- (o por refutarlas), el hacerse nuevas dos unidades (como 3 y 5, 5 y 7, ras, el intento por vericarlas (o por refu- preguntas..., todo esto forma parte del 11 y 13, 17 y 19, etc.)? tarlas), el hacerse nuevas preguntas..., clima en que debemos trabajar la ma- Hay siempre al menos un nmero todo esto forma parte de la historia y del temtica, parcela por parcela, nosotros primo entre n2 y (n + 1)2, siendoser de la matemtica, la manera como y con nuestros alumnos. Y el campo n cualquier nmero natural po- se construye por dentro. La presenta-de la divisibilidad es, como estamos sitivo?cin formal de sus resultados es slo la viendo, uno de los ms frtiles para Existe un nmero innito de n-apariencia nal (muy importante). Pero este propsito. meros primos por dentro, hay conjeturas; aceptables de la forma n2 unas, rechazables otras. Tambin hayTome un nmero de dos cifras (p. ej., + 1 (como 2, 5,problemas abiertos. Y todo un trabajo 37); forme otro nmero con las cifras 17, etc.), sien- de bsqueda en el que la intuicin, eldel anterior en orden invertido (73); do n cualquier razonamiento y la perseverancia van obtenga la diferencia positiva entre nmero natural de la mano. ambos nmeros (73 37 = 36). Haga positivo?lo mismo con otros nmeros y observeLo importante es percibir que estebien las diferencias en cada caso. QuEl hecho de que haya problemasser de la matemtica puede estarconjetura se le ocurre? Cmo puede abiertos en matemtica no revela una presente en cada rincn de la misma,estar segura(o) de su enunciado? Y si lo debilidad de esta disciplina, sino, por el en cada esfuerzo por trabajar un tema,hace con nmeros de tres cifras? Y con contrario, su gran vitalidad. Lo que im- por pequeo que pueda parecer. Es nmeros de ms cifras? porta es lo que se hace para resolverlos.lo que Edgar Morin llama el principio Y muchas veces se desea que el hecho hologrmico del pensamiento com-Tome un nmero de dos cifras, invir- de cerrar un problema sirva para abrir plejo: cada parte talo como antes, pero ahora sume los otros (Alsina y De Guzmn, 1998).est contenidados nmeros. Divida esa suma entreen el todo, pero11. Haga lo mismo con otros nmerostambin el todo y observe los resultados. Nuevamente,debe estar pre- qu conjetura se le ocurre? Cmosente en cada puede estar segura(o) de su enun-parte, puedeciado? Y si lo hace con nmeros dedescubrirse entres cifras?cada parte (Mo-rin, 1999).11 12. 4. Divisores y mltiplos4.1. Descomposicin de un nmero naturalde un nmeroPara empezar, vamos a realizar unen factores primosejercicio muy importante con el n de irAhora vamos a entrar en la descom-observando y aanzando algunas regu-posicin de un nmero en factores.laridades con divisores y mltiplos:Anteriormente vimos cmo cualquiernmero puede ser representado como6. Evale cada una de las siguientes armaciones como verdadera o falsa. Para ello, aydese producto de varios factores. As, porcon ejemplos, contraejemplos (para refutar), argumentos...: ejemplo (sin contar con el factor 1), 36= 2 x 18 = 3 x 12 = 4 x 9 = 6 x 6. Pero1- Si un nmero es divisor de varios otros, entonces divide a la suma de todos ellos. tambin, 36 = 2 x 2 x 9 = 2 x 6 x 3 =2- Si un nmero divide a otro, entonces divide a cualesquiera dos sumandos en que se3 x 3 x 4. Y, nalmente, 36 = 2 x 2 xpuede descomponer el segundo nmero.3 x 3. Prescindiendo del orden en que3- Si un nmero es divisor de otros dos nmeros, entonces divide a la diferencia entre el se coloquen los factores, no hay otrosmodos de descomponer en factoresmayor y el menor.el nmero compuesto 36.4- Todo nmero distinto de 0 tiene innitos mltiplos.5- La suma de varios mltiplos de un nmero no es mltiplo de ese nmero.Todas esas posibles formas de6- Todo nmero distinto de 0 tiene un nmero innito de divisores.descomponer 36 en factores tienen su7- Si dos nmeros son mltiplos de otro, tambin lo es la diferencia entre el mayor y elinters. Pero una de esas formas es pe-menor.culiar. Ya el lector la habr descubierto:8- Si un nmero a es divisor de uno b, y ste a su vez es divisor de c, entonces a no tiene la ltima. Porque en ella todos los fac-por qu ser divisor de c. tores son nmeros primos, cosa que no9- Si a y b son divisores de un nmero N, entonces a + b tambin es divisor de N. ocurre en las dems (verifquelo). Es lo10- Si a y b son divisores de un nmero N, entonces a x b tambin es divisor de N.que denominamos la descomposicin11- Si a y b son divisores primos de N, entonces a x b tambin es divisor de N. de un nmero en factores primos.12- Si un nmero es divisor de otro, entonces tambin es divisor de los mltiplos de ste.13- Si a es divisor de b, entonces es divisor de b + c (c: cualquier nmero natural).Y tiene algn inters esta propuestade descomposicin? Pues s, porque slo14- Si a es divisor de b, entonces es divisor de a + b.cuando un nmero se descompone en15- Si a es divisor de b, entonces es divisor de b x c (c: cualquier nmero natural).factores primos se logra una descom-16- Si un nmero es mltiplo de otro, entonces tambin es mltiplo de todos los mltiplos posicin nica (vase en el ejemplode ste ltimo. anterior cmo cuando los factores no son17- Si un nmero es mltiplo de otro, entonces tambin es mltiplo de todos los divisores primos, hay ms de una descomposicinde ste ltimo. posible). Dicho de otra manera, si unnmero N es producto de varios factores 12 13. primos, esa descom- y marquemosPara saber ahora si un nmero es divi-OTRA VEZ posicin de N en fac- los nmeros pri- sible por 3 acudimos de nuevo a la tablaYO... tores primos es nica.mos presentes. de los 100 primeros nmeros, sealamos Este resultado lo de- Y tratemos deen ella todos los mltiplos de 3, y observa- mostr Euclides 300 hacerles un es-mos dnde se ubican (en negrita): aos antes de Cristo... pacio en nues- y ms tarde se vino a tra memoria... 123456789 conocer nada menos 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 que como el Teore- Para cubrir la condicin 2, hay dos20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 ma fundamental de laformas de proceder. Una, utilizando la 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 Aritmtica...calculadora; as, si deseo saber si 36840 41 42 43 44 45 46 47 48 49 es mltiplo de 7, divido 368 entre 7 y 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 Como puede apreciarse, desde el si el resultado es exacto, lo considero60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 punto de vista de la estructura interna como mltiplo de 7. La otra forma de 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 multiplicativa de los nmeros naturales,proceder es sirvindonos de los criterios80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 los nmeros primos nuestros nmerosde divisibilidad, es decir, de ciertos 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 rebeldes cobran una gran importan- criterios que nos permiten, mediante cia: son los nicos ladrillos con los que la observacin del nmero y de algn Tales mltiplos se ubican en lneas se hacen todos los nmeros... Ahora clculo rpido, decidir si el nmero esdiagonales que proceden de arriba abajo, bien, para proceder a descomponer uno no mltiplo del factor primo.de derecha a izquierda. Tomemos una nmero en sus factores primos necesi-de ellas: 6, 15, 24, 33, 42, 51, 60. Qu tamos tres cosas:Veamos este punto con cierto deta-caracterstica comn presentan estos lle. Para saber si un nmero es divisiblenmeros? Que la suma de sus dgitos1. Conocer los nmeros primos. por 2 acudimos a la tabla de los 100 es 6, el mismo nmero de cabecera de2. Conocer alguna forma de saber primeros nmeros y sealamos en ella la diagonal. Estos nmeros de cabecera cundo un nmero es mltiplo de todos los mltiplos de 2. Fcilmente van cambiando (3, 6, 9, 39, 69,...), pero un nmero primo.observamos que se ubican slo en las siempre se conserva la caracterstica de3. Utilizar algn artefacto o formatocolumnas cuya cifra de las unidadesque la suma de sus dgitos es, a su vez, para ir escribiendo la descompo-es 2, 4, 6, 8 y 0. Este es el criterio un mltiplo de 3. Y esta propiedad se sicin factorial. de divisibilidad por 2: un nmero es mantiene al trascender ms all de 99, mltiplo de 2 si acaba en cifra par. con nuevos nmeros de cabecera. De una Para satisfacer la condicin 1, tene- Un proceso anlogo de sealizacin forma anloga se visualiza la propiedad mos que familiarizarnos con los nmeros y observacin para los mltiplos de 5caracterstica de los mltiplos de 9. primos, al menos con los primeros, quenos lleva al criterio de divisibilidad por son los ms usuales. As que vayamos5: un nmero es mltiplo de 5 si acabaEste es el criterio de divisibilidad a la tabla de los 100 primeros nmerosen 5 en 0. por 3 (por 9): un nmero es mltiplo13 14. de 3 (de 9) si la suma de sus dgitos es de que un nmero es mltiplo de 8 (demltiplo de 3 (de 9). Tambin existen125) si lo es el nmero formado por sus Si 18a7b ha de ser mltiplo de 15, debe ser di-los respectivos criterios de divisibili- tres ltimas cifras.visible por 5 y por 3. Por la primera condicin,dad para otros nmeros primos (7, 11,debe terminar en 5 en 0; y por la segunda,etc.), pero son ms complejos y, en todoLos casos que acabamos de verla suma de sus cifras debe ser mltiplo de 3.caso, tenemos el recurso de la corresponden a potencias de 2 (4 y 8) y Si termina en 5, los dgitos a sumar son 1, 8, 7,calculadora para decidir cadade 5 (25 y 125). Pero hay otros casos en5 y a; es decir, 21 + a debe ser mltiplo de 3,vez que se requiera. que se trata de productos de nmeroslo que hace que a pueda ser 0, 3, 6 9. Los primos. As, por ejemplo: nmeros conseguidos son: 18.075, 18.375,Existen tambin algunos criterios de 18.675 y 18.975. Anlogamente, si el nmerodivisibilidad para nmeros compuestos. Un nmero es mltiplo de 6 (2 xtermina en 0 hay que pedir que 1 + 8 + 7Por ejemplo, para saber si un nmero es 3) si lo es, simultneamente, de + 0 + a = 16 + a sea mltiplo de 3, lo quemltiplo de 4 de 25, observamos si sus2 y de 3.ocurre si a es 2, 5 u 8. Los nmeros en estedos ltimas cifras (el resto no interesa) lo Un nmero es mltiplo de 15 (5 x caso son: 18.270, 18.570 y 18.870.son por 4 por 25, respectivamente. Es-3) si lo es, simultneamente, detos dos criterios se derivan del siguiente5 y de 3.hecho: Sea el nmero 15.728; este n- Un nmero es mltiplo de 12 (4 x 7. Determinar si 13.046 es mltiplo:mero se puede descomponer en 15.700 3) si lo es, simultneamente, de a) de 3; b) de 4; c) de 6+ 28. El primer sumando siempre ser4 y de 3.mltiplo de 100 y, por lo tanto, de 4 y de Un nmero es mltiplo de 18 (2 x 8. Determinar si 148.500 es mltiplo:25 (100 = 4 x 25). Por esta razn, slo 9) si lo es, simultneamente, de a) de 4; b) de 6; c) de 8; d) de 9; e)hay que observar las dos ltimas cifras 2 y de 9.de 18; f) de 36del nmero: 28 es mltiplo de 4 y, por lo Un nmero es mltiplo de 36 (4 xtanto, 15.728 tambin lo ser (la suma9) si lo es, simultneamente, de 9. Hallar todos los posibles valoresde dos mltiplos de un nmero es mlti- 4 y de 9.de las letras en cada caso para que seplo de ese nmero). En cambio, 28 no es Un nmero es mltiplo de 10 (2 x cumpla que:mltiplo de 25 (con dos cifras, slo lo son 5) si acaba en 0.a) 4m68 sea mltiplo de 900, 25, 50 y 75); por lo tanto, tampoco lo b) 98n sea mltiplo de 6ser 15.728. En denitiva, un nmero esAhora podemos resolver uno de los c) 58b7a sea mltiplo de 18mltiplo de 4 (de 25) si lo es el nmero ejercicios del comienzo del Cuaderno yd) 8m56n sea mltiplo de 36formado por sus dos ltimas cifras.proponer otros similares: e) 3r33t sea mltiplo de 12Mediante un razonamiento anlogoLas letras a y b esconden dos cifras. Ha-Volvamos ahora a la condicin 3(partiendo de que 15.728 = 15.000 +lle su valor para que el nmero 18a7b para descomponer un nmero en sus728, que 15.000 es mltiplo de 1.000, ysea mltiplo de 15. Obtenga todas las factores primos: Utilizar algn arte-que 1.000 = 8 x 125), se llega al criterio respuestas posibles.facto o formato para ir escribiendo 14 15. la descomposicin factorial. Primero de divisibilidad en cada paso (o la cal-Esta segunda modalidad parece necesitamos ir obtenindolos. Para culadora...). As: ms desordenada que la primera, pero ello, si el nmero no es muy grande,nos permite responder rpidamente puede hacerse mentalmente y por 72 = 1 x 72 (obviamente) a una pregunta curiosa: cuntos di- pasos, y escribir el resultado. Por 72 es mltiplo de 2 (acaba en cifra par) y visores tiene un nmero? Obsrvese ejemplo, 24 = 4 x 6 = 2 x 2 x 2 x 3, 72 : 2 = 36. Luego, 72 = 2 x 36que los divisores se presentan aqu es decir: 24 = 23 x 3. O bien, 42 = 6 72 es mltiplo de 3 (ya que 7 + 2 = 9) y en un formato rectangular: el nmero x 7 = 2 x 3 x 7. 72 : 3 = 24. Luego, 72 = 3 x 24total de divisores ser igual al nmero 72 es mltiplo de 4, y 72 : 4 = 18. Luego, de filas por el nmero de columnasTambin puede ayudarnos la dis- 72 = 4 x 18presentes. En este caso, 3 x 4 = 12 posicin habitual de la lnea vertical a 72 es mltiplo de 6 (lo es de 2 y de 3) ydivisores. cuyo lado derecho se van colocando los 72 : 6 = 12. Luego, 72 = 6 x 12 sucesivos divisores primos del nmero 72 es mltiplo de 8, y 72 : 8 = 9. Luego,Obsrvese que, por la forma en que en cuestin. Por ejemplo:72 = 8 x 9 hemos construido el rectngulo ante- rior, el nmero de columnas es igual 56 2 220 2108 2Ahora es cuestin de ordenar los re- al nmero de elementos en la primera 28 2 110 2 54 2sultados: D(72) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12,la, y este nmero siempre es igual al 14 255 5 27 318, 24, 36, 72}[D(72) indica el conjunto exponente del factor primo inicial (23),7 711 11 9 3de los divisores de 72]. ms una unidad: 3 + 1. Y el nmero de1 13 3 las es igual al exponente del otro factor 1Otra forma de obtener los divisoresprimo (32), ms una unidad: 2 + 1. Estade 72 es a partir de su descompo-regla puede generalizarse al caso en que 56 = 23 x 7 220 = 22 x 5 x 11sicin en factores primos: 72 = 23 x la descomposicin presente ms de dos 108 = 22 x 3332. Colocamos en la 1 la la unidad factores primos.y las sucesivas potencias de uno de 4.2. Los divisores de un nmero: los factores primos (1, 2, 4, 8). LuegoAs, por ejemplo, si tomamos elcules y cuntosmultiplicamos esa la por cada una denmero 60, cuya descomposicin enUna vez obtenida la descomposicinlas potencias del otro factor primo (3 y factores primos (obtngala) es 22 x 3 x de un nmero en sus factores primos, 32). As, los divisores de 72 aparecen 5, obtenemos los divisores: podemos abordar el punto de cmo de esta manera: conseguir de una manera prctica todos los divisores de un nmero dado.La unidad y las potencias de 2 hasta 23: 1 2 4 8 Tomemos, por ejemplo, el nmero 1 la multiplicada por 3: 3 6 12 24 72. Una forma de hacerlo es sacar los 1 la multiplicada por 32:9 18 36 72 divisores por parejas de factores cuyo producto es 72, utilizando los criterios15 16. 4.4. Cmo averiguar La unidad y las potencias de 2:124Cul es el menor enterosi un nmero dado 1 la multiplicada por 3: 36 12positivo por el que se debe es primo o compuesto 1 la multiplicada por 5: 5 10 20multiplicar 504 para obtener A todo eso, nos queda por resolver una 2 la multiplicada por 5:15 30 60como producto un cuadradocuestin importante: cmo averiguar si perfecto?un nmero dado es primo? La norma esEl nmero de divisores poda haber- intentar ver si es mltiplo de los nmerosse obtenido directamente multiplicando La descomposicin de 504 en factores pri-primos iniciales: 2, 3, 5, 7, etc. La pregun-los exponentes de los factores primosmos es: 504 = 23 x 32 x 7. Para obtener eseta ahora es: hasta dnde se extiende estade 60, aumentados todos previamentecuadrado perfecto, todos los exponentes de-averiguacin? Recordemos cuando obte-en una unidad: (2+1) x (1+1) x (1+1) ben ser pares.Y para que sea el ms pequeo, namos los divisores de 72 por parejas de= 3 x 2 x 2 = 12 divisores. Del mismobasta con multiplicar a 504 por 2 y por 7 para factores cuyo producto era 72: 1 x 72, ...,modo, el nmero 450 = 2 x 32 x 52 tienellegar a 7.056 que es 24 x 32 x 72.6 x 12, 8 x 9. Los primeros factores de(1+1) x (2+1) x (2+1) = 2 x 3 x 3 = 18cada pareja iban en aumento (1, 2, 3,...)divisores (verifquelo). El producto de dos nmeros es 504. hasta llegar a 8; si hubiramos seguido, Cada uno de ellos es divisible por 6, pero el siguiente primer factor hubiera sido 9,10. De todos los nmeros naturales deninguno de ellos es 6. Cul es el mayor que ya haba aparecido en la pareja 8 xdos cifras, cul(es) es (son) el (los) quede estos dos nmeros?9. Ah se detena la bsqueda.posee(n) ms divisores? Empezamos a probar con 12; vemos queTomemos, por ejemplo, el nmero 997: 504 : 12 = 42, que tambin es divisible pores un nmero primo? Podemos utilizar los4.3. Las potencias 6. Si probamos con 18, el otro factor es 28; criterios de divisibilidad y la calculadora desde el punto de vista y con 24, el otro factor es 21. Pero ni 28 nipara ayudarnos a responder la pregunta: de sus divisores21 son divisibles por 6. Por consiguiente, elno es divisible por 2, 3 y 5 (segn los cri- Esa es, pues, una de las ventajas demayor nmero es 42.terios), ni por 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31trabajar con la descomposicin de un(calculadora). En estas ltimas divisionesnmero en factores primos. Pero no es lavamos observando los cocientes; as, paranica. Tambin nos sirve para averiguar11. Y este otro ejercicio para curiosos997 : 31 vemos que el cociente es 32,1... Alsi un nmero es un cuadrado perfecto (y perseverantes): Halle los divisores depasar a ensayar la divisin con el siguiente(los exponentes de todos los factorestodos los nmeros naturales del 2 al 15. nmero primo, 37, la divisin 997 : 37 nosprimos deben ser pares), o un cubo Obtenga ahora los cuadrados de tales da como resultado 26,9... Ya no hay queperfecto (los exponentes de todos losnmeros y halle tambin sus divisores. seguir la bsqueda, porque nunca podrfactores primos deben ser mltiplos de Cuente el nmero de divisores obtenidosaparecer como cociente entero alguno de3), etc. Ahora podemos resolver algunosen todos los casos. Qu observa? Qu los factores primos menores ya utilizados:de los ejercicios propuestos al comienzo clase de nmeros son los que tienen tres si fuera as, la divisin del nmero entredel Cuaderno:divisores? ese factor primo hubiera sido exacta. 16 17. En resumen, la bsqueda se detiene,nmeros, as como de cul es el mayor procedimientos. El primero de ellos se o bien porque alguna de las divisiones esdivisor comn de dos nmeros. A laajusta literalmente al concepto expre- exacta y el nmero se revela como com- primera parte respondemos que el 1, y sado: el m.d.c. de dos nmeros es el puesto, o bien en el momento en que, no hay ms que decir. La segunda partemayor de los divisores comunes. Por en la sucesin de divisiones inexactas,s se presta a ms consideraciones. consiguiente, el procedimiento seguir la parte entera del cociente es menortres pasos: buscar los divisores de cada que el divisor. De modo que, en nuestroEl mayor de los divisores comunes nmero, detectar los que son comunes y, ejemplo, 997 es primo. de dos nmeros se denomina mxi-nalmente, el mayor de estos ltimos.mo divisor comn de esos nmeros.Seguramente algn(a) lector(a) estarAs, por ejemplo, para hallar el m.d.c. Halle todas las parejas de nmeros corrigiendo la expresin para traer lade 42 y 18: D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, primos cuya suma es 999. de mximo comn divisor, usual- 42}; D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}. Divisoresmente utilizada. Pero esta expresin no comunes: {1, 2, 3, 6}. El mayor de estos Los posibles sumandos deben ser unonos parece bien formulada; de hecho,divisores: 6. As, pues, m.d.c.(42, 18) par y otro impar. Evidentemente, slo haycul(es) de esas tres palabras es (son)= 6. Y para hallar el m.d.c. de 32 y 35: un primo par, el 2, por lo que si existe tal sustantivo(s) y cul(es) adjetivo(s)? D(32) = {1, 2, 4, 8, 16, 32}; D(35) = {1, pareja debe ser la compuesta por 2 y 997.(pinselo antes de seguir...).5, 7, 35}. Divisores comunes: {1}. Por Y acabamos de ver que 997 es primo. No consiguiente, m.d.c.(32, 35) = 1. puede haber otra pareja. Ya debemos tener la respuesta: slohay un sustantivo (divisor) y dos adjeti- Este sencillo procedimiento muyvos (mximo y comn). En estos casos, til cuando se trata de cantidades 5. El mximo divisor comn lo habitual es colocar el sustantivo en elpequeas puede operarse mental-de varios nmeros medio de la expresin, y los dos adjetivos, mente por la va del ensayo y ajuste Una de las situaciones curiosas es uno en cada extremo. La expresin ms de la siguiente manera: tomamos los observar que hay nmeros que compar- apropiada en castellano sera mximo di- divisores del nmero menor de los dos ten uno o varios divisores. Por ejemplo, visor comn; en cambio mximo comn dados: 18; ordenamos esos divisores de dos nmeros seguidos slo compartendivisor parece responder mejor a la formamayor a menor: 18, 9, 6, 3, 2, 1, y los un divisor: el 1 (comprubelo...); todos los de construccin de la lengua inglesa... Devamos tomando de uno en uno en ese productos de la tabla de multiplicar del todos modos, no vamos a hacer de esto unorden para probar si tambin resultan 5 comparten el 1 y el 5 como divisores;punto de honor, aunque s utilizaremos la ser divisores del otro nmero. As, 18, 12 y 18 comparten los divisores 1, 2, 3expresin que proponemos. no es divisor de 42; 9, no es divisor de y 6 (verifquelo). As, podemos hablar de42; 6, s es divisor de 42. El primero divisores comunes a varios nmeros. Un aspecto importante en este tema que resulta divisor del otro nmero, es En este punto, una de las preguntases la obtencin del mximo divisorel m.d.c. de ambos, ya que es el mayor que podemos formularnos es acerca de comn [en adelante lo designaremosde los divisores comunes. En nuestro cul es el menor divisor comn de dosm.d.c.] de dos nmeros. Hay varioscaso, m.d.c.(42, 18) = 6.17 18. Dos observaciones muy pertinentes,tnea de varios nmeros en divisores,antes de continuar con otros procedi- sin que stos tengan que ser necesa-mientos: la operacin de hallar el m.d.c. riamente primos. As, por ejemplo, parade dos nmeros puede extenderse a treshallar el m.d.c. de 630, 180 y 1.170,o ms nmeros, del mismo modo comooperamos as:la suma se dene al comienzo como unaoperacin binaria (para dos sumandos)630 180 1.17010 (es divisor comn de los tres)y luego se extiende a cualquier nmero6318 1179(es divisor comn de los tres)de sumandos. Y en segundo lugar, en el 7 2137(slo divide a 7)caso en que el m.d.c. de dos nmeros 12(slo divide a 2)sea 1, se dice que ambos nmeros son1 13 (slo divide a 13)primos relativos, o coprimos. Por ejem-11plo, 32 y 35 son primos relativos.Como se ve, no hay que seguir un reiteradamente puede hallarse el m.d.c.Una tercera forma de obtener el orden jo en los divisores, sino el quede dos nmeros. Vemoslo con el mismom.d.c. de varios nmeros es por la va de ms convenga en cada caso. Aqu, por par de nmeros, 270 y 195:su descomposicin en factores primos. ejemplo, la primera observacin es queAs, si 168 = 23 x 3 x 7 y 180 = 22 x todos los nmeros acaban en 0, por lo 1 2 1 1 232 x 5 (hgalo), vemos que los factores que admiten a 10 como divisor comn.270 195 75 4530 15primos comunes son 2 y 3, y que sus Despus notamos que la suma de los 75 45 30 150menores potencias de base comn son dgitos de los tres nmeros es 9, de22 (no se llega a 23 en 180) y 3 (no se donde deducimos que son mltiplos de El formato anterior arranca en la 2llega a 32 en 168). Sabemos que su pro- 9. Y no hay ms divisores comunes. As,la, colocando los nmeros en cuestin,ducto 22 x 3 tambin es divisor de 168m.d.c.(630, 180, 1170) = 10 x 9 = 90.270 y 195. Se procede a su divisin: ely de 180 por consiguiente, es divisor cociente 1 se coloca encima de 195 ycomn; y fcilmente podemos inferirFinalmente (por ahora...), hay una el resto, 75, debajo de 270. El m.d.c. deque es, adems, el mayor posible. As,quinta forma de calcular el m.d.c. de dos270 y 195 todava sin calcular debeconcluimos que m.d.c.(168, 180) = 22 xnmeros, conocida como el algoritmodividir a ambos nmeros y, por con-3 = 12. De ah se deduce la regla habi- de Euclides. Se basa en una propiedadsiguiente, a su diferencia 75. Ahora,tual: Descompuestos varios nmeros en ya observada: si un nmero es divisoreste resto 75 pasa a la derecha de 195sus factores primos, su m.d.c. es el pro- de otros dos nmeros, entonces dividey se establece una nueva divisin: 195ducto de los factores primos comunes, a la diferencia entre el mayor y el me-como dividendo y 75 como divisor. Entomados con su menor exponente. nor [ejercicio propuesto 6. 3]. As, si 15 esta divisin, el cociente 2 se escribedivide a 270 y a 195, tambin divide a sobre 75 y el resto 45 (de 195 150), Existe una cuarta forma en que se270 195 = 75, y a cualquier mltiplo debajo de 195. Si el m.d.c. que se buscaprocede a una descomposicin simul- de 75. Al aplicar estas propiedadesdivide a 75, divide tambin a 150 y, por 18 19. ende, a la diferencia de 195 menos 150,Calcule, por la va que desee, el m.d.c. que es 45. de los siguientes nmeros:a) 32 y 72 b) 105 y 63 c) 24 y 25 Ahora se prosigue anlogamente d) 1.001 y 143e) 36, 84 y 204 con 75 y 45 (nuevos dividendo y divi-f) 72 y 175 sor), luego con 45 y 30 y, nalmente, cong) proponga otros casos y resulvalos. 30 y 15. El proceso se detiene al llegar a un resto nulo: el m.d.c. buscado es el12. Evale cada una de las siguientes armaciones como verdadera o falsa. Para ello, ltimo de los divisores de la cadena (2 aydese con ejemplos, contraejemplos (para refutar), argumentos...: la); en este caso, m.d.c.(270, 195) = 15. Este algoritmo es muy til cuando1- Si dos nmeros son primos, entonces son primos relativos. se trata de obtener el m.d.c. de nmeros 2- Cualquier par de nmeros naturales consecutivos son primos relativos. grandes. 3- Si dos nmeros son primos relativos, entonces cada uno de ellos es primo. Tenemos, pues, hasta cinco alterna-4- Cualquier par de nmeros impares consecutivos son primos relativos. tivas diferentes para obtener el m.d.c. de 5- Si m.d.c.(a, b) = m, entonces los divisores de m dividen a a y a b. varios nmeros, cada una con sus pe- 6- Si m.d.c.(a, b) = m, entonces m divide a todos los divisores de a y de b. queas ventajas. Es conveniente saber7- Si m.d.c.(a, b) = m, entonces m divide a todos los mltiplos de a y de b. manejarlas todas, y que sea la naturaleza8- Si m.d.c.(a, b) = m, entonces m es mltiplo de todos los divisores comunes de a de los nmeros (pequeos o grandes;y de b. slo dos o ms de dos) y el estilo de cada 9- Si dos nmeros se multiplican (o dividen) por un mismo nmero, el m.d.c. de ambos quien, lo que determine la seleccin del queda multiplicado (o dividido) por ese mismo nmero. procedimiento en cada caso.10- Si un nmero divide al producto de dos factores y es primo relativo con uno de ellos,necesariamente debe dividir al otro factor. De todas formas, resulta pertinente saber validar si el resultado a que se 6. El mnimo mltiplo comn En esta misma lnea podemos obser- llegue en cada situacin es el correcto.de varios nmerosvar que todo par de nmeros enteros po- Una de las maneras de hacerlo es utilizarAunque no lo hayamos mencionado sitivos posee siempre un nmero innito una va distinta a la seguida previamen- hasta ahora, el procedimiento para obte-de mltiplos comunes. En efecto, uno de te. Otro de los posibles criterios es calcu- ner los mltiplos de un nmero es muy stos es el producto de ambos nmeros, lar los cocientes de cada nmero entre sencillo: basta formar su tabla de multi- producto que, a su vez, tiene innitos el m.d.c. obtenido. Como es fcil de ad- plicar. Una forma prctica de hacerlo esmltiplos. No tiene sentido, pues, pre- vertir, esos cocientes deben ser primossumando reiteradamente el nmero en guntarse por el mayor de estos mltiplos relativos (por qu?). Por ejemplo, en ella calculadora. En seguida apreciamos comunes. Pero s lo tiene preguntarse caso de 270 y 195, los cocientes entre que, a diferencia del nmero de diviso- por el menor que no sea nulo (porque el 15 son, respectivamente, 18 y 13, queres de un entero positivo, el nmero de 0 es mltiplo de todos los nmeros), ml- son primos relativos.sus mltiplos es innito. tiplo que tiene su nombre: el menor de19 20. los mltiplos comunes de dos nmeros mltiplo de 18; 126, s es mltiplo dese denomina mnimo mltiplo comn de 18. El primero que resulta mltiplo delesos nmeros (esta forma de llamarlo yaotro nmero, es el m.m.c. de ambos. Enha quedado justicada...). nuestro caso, m.m.c.(42, 18) = 126. Aqu tambin, un aspecto importanteUna tercera forma de obtener eldel tema es la obtencin del mnimo ml- m.m.c. de varios nmeros es por la va detiplo comn [en adelante lo designaremos su descomposicin en factores primos.m.m.c.] de dos nmeros. [Como en el caso As, si 168 = 23 x 3 x 7 y 180 = 22 x 32 xdel m.d.c., la operacin de hallar el m.m.c. 5, vemos que un nmero que sea mltiplode dos nmeros puede extenderse a tres o de ambos debe poseer como factores, alms nmeros]. Hay varios procedimientos. menos, a 23 (y no solamente 22), 32 (y noEl primero de ellos se ajusta literalmente slo 3), 5 y 7. El producto de tales factoresPero ahora multiplicamos todosal concepto expresado: el m.m.c. de doses el menor nmero que puede ser dividi-los divisores, los comunes y los nonmeros es el menor de los mltiplos co- do exactamente por cada uno de los n-comunes, para llegar al primer mlti-munes. Por consiguiente, el procedimientomeros dados. De ah concluimos que 23 plo comn de los tres nmeros dados:seguir dos pasos: buscar los mltiplos (los x 32 x 5 x 7 es mltiplo de 168 y de 180m.m.c.(630, 180, 1.170) = 10 x 9 x 7 x 2primeros...) de cada nmero y, en seguida, por consiguiente, mltiplo comn y, x 13 = 16.380.el primero que sea comn.adems, el menor posible: m.m.c.(168, 180) = 23 x 32 x 5 x 7 = 2.520. As seFinalmente, vamos a descubrir una As, por ejemplo, para hallar el m.m.c. llega a la regla habitual: descompuestosregularidad que relaciona al m.d.c. y alde 42 y 18: M(42) = {42, 84, 126, 168, varios nmeros en sus factores primos,m.m.c. de dos nmeros. Para ello damos210, ...}; M(18) = {18, 36, 54, 72, 90, 108, su m.m.c. es el producto de los factoreslas siguientes parejas: 42 y 18; 32 y 72;126, 144, ...}. El primer mltiplo comn:primos comunes y no comunes, tomados32 y 35; 15 y 60. Y vamos a calcular (ha-126. As, pues, m.m.c.(42, 18) = 126.con su mayor exponente. gmoslo) el m.d.c. y el m.m.c. de todas ellas. Colocamos los resultados en laEste sencillo procedimiento muyExiste una cuarta forma en que sesiguiente tabla:til cuando se trata de cantidades pe- procede a una descomposicin simul-queas puede operarse mentalmente tnea de varios nmeros en divisores,por la va del ensayo y ajuste de la si- sin que stos tenganguiente manera: tomamos, uno a uno, losque ser necesaria- 630 180 1.17010 (es divisor comn a los tres)mltiplos del nmero mayor de los dosmente primos. As,63 18 117 9 (es divisor comn a los tres)dados (42), ordenados de menor a ma- por ejemplo, para ha-7213 7 (slo divide a 7)yor: 42, 84, etc., para probar si tambinllar el m.m.c. de 630, 12 (slo divide a 2)resultan ser mltiplos del otro nmero.180 y 1.170, opera- 1 13 (slo divide a 13)As, 42, no es mltiplo de 18; 84, no es mos como antes:11 20 21. abaxbm.d.c.(a, b)m.m.c.(a, b) m.d.c.(a, b) x m.m.c.(a, b) las maneras de hacerlo es utilizar una va42 187566 126 756 distinta a la seguida previamente. Otro32 72 2.304 8 2882.304de los posibles criterios es calcular los co-32 35 1.120 11.120 1.120cientes del m.m.c. al dividirse entre cadanmero. Esos cocientes deben ser primos15 60900 1560 900relativos (por qu?). Por ejemplo, en el La regularidad salta a la vista: encaso de 42 y 18, los cocientes de 126 (su cada caso, hay dos columnas con valo- Ojo: la expresin an-m.m.c.) entre ellos son, respectivamente, res idnticos. Por consiguiente:terior, que relaciona3 y 7, que son primos relativos. los valores del m.d.c. y del m.m.c. de dosCalcule, por la va que desee, el m.m.c. a x b = m.d.c.(a, b) x m.m.c.(a, b) nmeros, slo es vlidade los siguientes nmeros: en ese caso. No puedea) 12 y 84 b) 105 y 63 c) 24 y 25 generalizarse para eld) 1.001 y 143e) 36, 84 y 204 Esta expresin nos permite obtenercaso de relacionarse los f) 72 y 175 el valor de cualquiera de las cuatro va-valores del m.d.c. y del m.m.c. de ms deg) proponga otros casos y resulvalos. riables, si conocemos el valor de las otras dos nmeros. Puede vericarlo tomando tres. Por ejemplo, si ya hemos calculadotres nmeros, p. ej., 12, 8 y 18. Para ellos, su el m.d.c. de a y b, tenemos una quintam.m.c. es 72 y su m.d.c. es 2. Sin embargo, manera de hallar su m.m.c.: el producto de estos dos valores es 144, Los nmeros 6, 14 y 15 son divisores mientras que el producto de los tres nme- de N. Cul puede ser el menor valor ros dados es 1.728.de N?m.m.c.(a, b) =axb m.d.c.(a, b) Obsrvese que, segn el enunciado, N es Tenemos tambin, pues, varias alter- un mltiplo comn de los tres nmeros. nativas diferentes para obtener el m.m.c.Adems, debe ser el menor. Se trata, pues, Por otro lado, este resultado nos per-de varios nmeros, cada una con sus pe-de hallar su m.m.c., que es 210. mite corroborar un par de intuiciones:queas ventajas. Es conveniente saber primero, que si a es mltiplo de b, en- manejarlas todas, y que sea la naturalezaSi el precio de un objeto se puede pagar tonces m.d.c. (a, b) = b, y m.m.c. (a, b) de los nmeros (pequeos o grandes;exactamente con slo monedas de 20 = a. Y, en segundo lugar, que si a y b sonslo dos ms de dos) y el estilo de cada pesos, y tambin con slo monedas de primos relativos (esto es, m.d.c.(a, b) = quien lo que determine la seleccin del25 pesos, se podr pagar exactamente 1), su m.m.c. es igual a su producto. Y, aprocedimiento en cada caso.con slo monedas de 50 pesos? Y con la inversa, que cuando el m.m.c. de dos De todas formas, resulta pertinenteslo billetes de 200 pesos? nmeros es igual a su producto, ambos saber validar si el resultado a que se llegue son primos relativos. en cada situacin es el correcto. Una de21 22. a) Hallar una lista de 10 enteros conse-El enunciado indica que el precio del ob-El m.d.c. de dos nmeros es 5; sucutivos que sean compuestos.jeto es mltiplo de 20 y de 25. El m.m.c.m.m.c. es 75. Si uno de los nmerosde ambos es 100. Por consiguiente, ese es 15, cul es el otro? b) Si se divide cierto nmero por 6,precio puede pagarse con slo monedas se obtiene 4 como resto. Pero si seo billetes de 100 pesos, y tambin con De acuerdo con la ltima relacin descu- divide por 5, el resto disminuye en 1slo monedas de 50, por ser 50 divisor debierta, a x b = m.d.c.(a, b) x m.m.c.(a, b). y el cociente aumenta en 1. Cul es100. Pero puede que no se pague con slo Por consiguiente, si llamamos b al nmeroel nmero?billetes de 200 pesos (p. ej., si el precio es desconocido, 15 x b = 5 x 75; es decir, 15 xde 300 pesos...).b = 375. De donde: b = 375 : 15 = 25.c) De cuntas maneras puede escribir-se 60 como producto de tres nmerosdiferentes? 13. Evale cada una de las siguientes armaciones como verdadera o falsa. Para ello,d) Cul es el mayor nmero posibleaydese con ejemplos, contraejemplos (para refutar), argumentos...: tal que, al dividirse 247, 367 y 427entre ese nmero, se obtiene 7 de1- Si dos nmeros son primos relativos, entonces su m.d.c. es el menor de ellos.resto en todos los casos?2- Si dos nmeros son primos relativos, entonces su m.m.c. es el mayor de ellos.3- El m.d.c. de dos nmeros es divisor del m.m.c. de ambos nmeros. e) Atencin: 45, 150, 105, 30 y 90 son4- Si m.m.c.(a, b) = m, entonces los divisores de m dividen a a y a b.plikos. Pero 24, 50, 18, 125, 66, 6 y 805- Si m.m.c.(a, b) = m, entonces los divisores de a y b dividen a m.no son plikos. Cules de los siguientes6- Si m.m.c.(a, b) = m, entonces m divide a todos los mltiplos de a y de b.nmeros: 40, 75, 120, 36, 60, 96 y 1357- Si m.m.c.(a, b) = m, entonces los mltiplos de a y de b dividen a m. son plikos?8- Si m.m.c.(a, b) = m, entonces a y b dividen a todos los mltiplos de m.9- Si dos nmeros se multiplican (o dividen) por un mismo nmero, el m.m.c. de ambosf) Tome un nmero de tres cifras.queda multiplicado (o dividido) por ese mismo nmero. Escrbalo de nuevo, a continuacindel anterior, para formar un nmerode seis dgitos. Divdalo entre 7, 11 y7. La resolucin bin los hay que aluden a situaciones de 13 y observar que las tres divisiones de problemas en el campola vida diaria. Vamos a plantear algunos son exactas. Y as con cualquier otro de la divisibilidad de estos tipos de problemas. Lo que su-nmero de tres cifras. Por qu? En el campo de la divisibilidad, los pro- gerimos a nuestros lectores es que, unablemas pueden ser muy variados, aunque vez ledo el enunciado de cada situacin,g) El nmero N es la cuarta potencia deen buena parte se reeren a regularidadesintenten resolver el problema por cuenta otro nmero. N tiene a 18 como divisor.o caractersticas que presentan algunospropia antes de revisar la va de solucin Cul es el menor valor que puede tenernmeros, o a relaciones entre ellos. Tam-que se presenta posteriormente.el cociente de N entre 18? 22 23. h) En un abas- Averige cules son si se cumple quediente de Nidia. Cuntos aos tiene to hay menos los tres productos: AxBxC, BxGxEahora Nidia, un da despus del ltimo de 400 huevosy DxExF son iguales.de estos seis cumpleaos? para la venta. Si se colocan en enva- ses de 1 docena, 1 docena y media, 2 m) El dibujo que sigue representa una p) Al sumar dos nmeros de dos dgitos docenas, y 2 docenas y media, siemprepirmide numrica. En ella, cada sector cada uno, a2 y b4, se obtiene un nmero sobran 3 huevos. Cuntos hay? o cuadrcula tiene asignado un nmero mltiplo de 3. Cul es el menor valor quenatural. Salvo en la la de la base, este puede tener la suma a + b? i) Un nmero se divide entre 7 y danmero se obtiene multiplicando los n- como resto 5. Cul ser el resto que se meros de los dos sectores del piso inferior q) Halle 3 nmeros cuyo m.m.c. sea obtiene al dividir el triple de ese nmero que le sirven de apoyo. Coloque los dgitos 48. entre 7? 1, 2, 3, y 4 en la la de la base, de talforma que obtenga el mayor producto r) Halle los nmeros de todos los aos j) En cada una de las 9 casillas libresposible en la cuadrcula superior del segundo milenio tales que la suma de coloque uno de los dgitos del 1 al 9sus dgitos sea 21, y su producto, 162. de tal forma que los productos hori- zontales coincidan con los valores de s) Beatriz guarda en la derecha y los productos verticales,su alcanca menos de con los valores inferiores: 100 monedas.Al sacar- las observa que si las 70agrupa en montones 48 de 2, 3, 4, 5 y 6 monedas, le sobran,108 n) Determinar el mayor nmero respectivamente, 1, 2, 3, 4 y 5 mone- 6445 126 natural tal que cuando divide a 364,das. Cuntas le sobrarn si las pone414, y 539, deja el mismo resto enen montones de 7 monedas?los tres casos. k) Hallar un nmero menor que 30 que t) Cul es el mayor nmero escrito con sea simultneamente mltiplo de 2, de) Rosaura tiene tres hijos. El producto de nueve dgitos diferentes (excluido el 0) 3 y de 5.sus edades es 200. La edad del mayor es que es mltiplo de 18?el doble de la del segundo hijo. Cuntos l) En la siguiente distribucin: aos tiene cada hijo? u) Se desea pavimentar un piso conbaldosas rectangulares de 30 cm xADo) Nidia y su abuela cumplen aos 40 cm, colocadas todas en el mismoB G E el mismo da. Durante 6 cumpleaossentido. Cul es el menor nmeroCFconsecutivos la edad de la abuela hade baldosas necesarias para formar cada letra esconde un dgito diferente.sido mltiplo de la edad correspon- un cuadrado pavimentado? 23 24. v) Tres amigos, cuyas edades pasan de19 aos, nos indican que el producto dea) La tarea es un poco tediosa, pero noadems, nos piden que sea el mayor posible.sus edades es 17.710. Cuntos aosdifcil. Hay que buscar la tabla de nmerosSe trata, pues, del mximo divisor comn detienen?primos y observar dnde aparece un salto 240, 360 y 420. Y este nmero es 60. de 11 unidades (al menos) entre dos primosw) Coloque en la tabla siguiente los d- consecutivos. Esta situacin se presenta e) Sabemos que 45, 150, 105, 30 y 90 songitos del 1 al 9 (uno en cada casilla) por primera vez entre los nmeros primos plikos, pero que 24, 50, 18, 125, 66, 6 y 80 199 y 211. La lista de los 11 enteros con- no son plikos. Para responder a la pregun- secutivos es: 200, 201, ..., 210. La siguiente ta: cules de los siguientes nmeros: 40, 75, secuencia (tambin de 11 nmeros) va de120, 36, 60, 96 y 135 son plikos?, necesi-de manera que el nmero formado212 a 222. tamos saber qu es un pliko. Es decir, qupor los dgitos de las casillas:caracterstica tienen en comn los nmeros1 y 2 sea divisible por 2b) En primer lugar, podemos formar eldel primer grupo, que no sea poseda por2 y 3 sea divisible por 3conjunto de los nmeros que dan resto 4 al ninguno de los del segundo grupo.3 y 4 sea divisible por 4dividirse entre 6: {4, 10, 16, 22, 28, 34, 40, ...}...Y ahora observamos cul de estos nmeros,Pueden formu-8 y 9 sea divisible por 9al dividirse entre 5, arroja un cociente una larse, de entrada, unidad superior y un resto una unidad in-muchas hiptesis,x) Ramn borra accidentalmente una ferior a los que se obtienen al dividirse porque se deben irdivisin. Pero recuerda que los sucesivos6. El ensayo nos lleva al nmero 28. contrastando consustraendos eran, de arriba hacia abajo,el criterio anterior.690, 2.415, y 3.105; y que el resto nal c) Se trata de tener a la mano todos los Por ejemplo, sonera 1. Cules eran el dividendo, el divisor divisores de 60: D(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10,nmeros entre 30y el cociente de la divisin?12, 15, 20, 30, 60}. Y de organizarlos orde- y 150... (rechazada: nadamente en ternas de factores diferentes tambin los hayVamos, pues, a reportar algunas vas cuyo producto sea 60. Estas ternas son: 1 xen el segundo grupo); acaban en 0 en 5:de solucin para poder contrastarlas con 2 x 30, 1 x 3 x 20, 1 x 4 x 15, 1 x 5 x 12, 1son mltiplos de 5 (rechazada: 50, 125 y 80las que hemos podido obtener entre x 6 x 10, 2 x 3 x 10, 2 x 5 x 6, 3 x 4 x 5.estn en el segundo grupo); son mltiplostodos.de 3 (rechazada: 24, 18, 66 y 6 tambin lo d) Si al dividirse 247, 367 y 427 entre el son y estn en el segundo grupo). nmero que buscamos, da siempre resto 7, esto signica que 240, 360 y 420 son ml-Pero profundizando por esta lnea podemos tiplos de tal nmero. Por consiguiente, este percatarnos de que todos los nmeros del nmero es un divisor de los tres (comn), y, primer grupo son mltiplos de 15, y que 24 25. no hay ninguno del segundo grupo que lo por 18 (que es 2 x 32), esto nos indica que 1 + 5; 19 = 7 x 2 + 5. En estas condiciones, sea: hemos hallado la caracterstica de los 2 y 3 son factores primos propios de N. As,el triple de N ser el triple de 7 x k, ms plikos. Por consiguiente, los plikos delel nmero ms pequeo que puede ser N el triple de 5, que es 15. Obsrvese que el tercer grupo son los mltiplos de 15, eses 24 x 34. Por consiguiente, el menor valortriple de 7 x k sigue siendo un mltiplo de decir, 75, 120, 60 y 135. posible para N/18 es: (24 x 34) / (2 x 32) =7, y que 15 es un mltiplo de 7 (14) ms 23 x 32 = 8 x 9 = 72. 1. En denitiva, el triple de N es un nuevo f) Por ejemplo, 217. Formamos el nmero mltiplo de 7, ms una unidad. As, pues, al 217.217. Y, efectivamente, es divisible por h) Los envases en que se colocan los hue- dividirse el triple de N entre 7, el resto que 7, por 11 y por 13. Y as ocurre con cual-vos tienen como capacidad: 12, 18, 24 y 30. se obtendr ser siempre 1. quier otro construido de la misma forma.Si al colocarse los huevos en cartones de Por qu? Veamos: podemos descomponer cada tipo siempre sobran 3, est claro quej) Aqu lo fundamental es observar los pro- 217.217 en 217.000 + 217. Y ahora, pode-al quitarse 3 huevos del nmero total seductos en los mrgenes derecho e inferior. mos aplicar la propiedad distributiva de la obtendra un mltiplo de cada una de lasAs, en la 1 la deben estar los dgitos 5 y 7 multiplicacin con respecto a la suma:capacidades. Para buscar los posibles ml-para poder dar 70 como producto. Adems, tiplos comunes, hallamos primero el menor 5 debe hallarse en la 2 columna y 7 en la 3 217.217 = 217.000 + 217 = 217 x (1.000de ellos: m.m.c.(12, 18, 24, 30) = 360. Los (por los productos inferiores 45 y 126, respec- + 1) = 217 x 1.001dems seran: 720, 1.080, etc. Pero estos tivamente). De todo esto surge la 1 la: 2, 5 y ltimos superan a 400. Por consiguiente, en 7 (en ese orden). Por otro lado, la 1 columna Por consiguiente, 217.217 (y cualquierel abasto hay 360 + 3 = 363 huevos. no debe llevar dgitos mltiplos de 3 (3, 6 9), otro nmero construido de la mismaya que el producto es 64 (slo deben estar el forma) es divisible por 1.001. Ahora bien,i) Ensayemos con algunos casos concretos. 4 y el 8). Pero el 8 no puede estar en la 3 la, si descomponemos 1.001 en sus factoresSi el nmero es 12 (da de resto 5 al dividirseya que 108 no es mltiplo de 8. El 9 tampoco primos, obtenemos: 1.001 = 7 x 11 x 13. entre 7), su triple (36) da de resto 1 al divi- puede estar en la 2 la, ya que el producto es Por consiguiente, 217.217 (y cualquier otro dirse tambin entre 7. Si el nmero es 19, el 48, que no es mltiplo de 9.Todo esto lleva a nmero construido de la misma forma) es resto de su triple (57), al dividirse entre 7, es la siguiente conguracin de la tabla: divisible por 7, por 11 y por 13. tambin 1. Puede vericarse con otros casos anlogos y siempre el resto ser 1. 2 57 70 g) Si N es la cuarta potencia de otro nme- 8 16 48 ro, la descomposicin factorial de N debe La razn es que esos nmeros (los llamare-4 93108 estar constituida por factores primos (unomos N) estn formados por dos sumandos:6445 126 solo o varios) cuyos exponentes deben ser uno que es mltiplo de 7 (de la forma 7 x k, mltiplos de 4. Por ejemplo, N podra ser donde k es un nmero natural) y otro, que Es usted capaz de elaborar un ejercicio 28, 34 x 58, 74 x114 x 38. Pero si es divisible es 5. Es decir, N = 7 x k + 5. As, 12 = 7 xsimilar al propuesto? 25 26. k) Si el nmero es, simultneamente, ml-servira, y un mltiplo mayor de 72 (como 1 y 4, los valores de la siguiente la sern:tiplo de 2, de 3 y de 5, ha de ser mltiplo144) resultara excesivamente grande. 6, 3 y 4. Pero si se hubieran ubicado en elde su mnimo mltiplo comn, que es 30.orden 1, 4, 2 y 3, tales valores seran: 4, 6Pero la condicin de que sea menor que El problema est ahora en cmo distribuir y 8, cuyos productos son superiores a los30 reduce las posibilidades al caso de 0, quelos dgitos para obtener 72 como producto.del primer caso.es tambin un mltiplo comn de los tres Un punto de partida puede ser pensar ennmeros dados. una terna que necesariamente debe apa-La lgica sugiere colocar los factores 3 y 4 recer: 9, 8, 1. La pregunta es: en qu orden al centro. Y se observa que resulta indife-l) Antes de ensayar con cualesquiera y en qu lugar? El lector puede comprobar rente poner el 1 en cualquiera de los dosdgitos, debemos observar la distribucinque no puede gurar como B G E enextremos de la la. As se llegara a unapropuesta. Inmediatamente se percibe que ningn orden de los factores pues no disposicin ptima como la siguiente:B y E son los dgitos clave, pues forman permite lograr los productos verticalesparte de dos productos cada uno, cosa queiguales a 72. Por consiguiente, la terna 9, 3.456no ocurre con los dems. Por otro lado,8, 1 es vertical (supongamos que es D Edebemos pensar en los tres dgitos slo F). Cul de los tres dgitos ocupa el lugar 48 72usamos siete que no pueden aparecer clave de E? Por ensayo y ajuste (puede4126en esta conguracin. Ellos son el 0, el 5 comprobarlo) se llega a determinar quey el 7, ya que su presencia no es posible, debe ser el 9. A partir de aqu se derivan1 4 32simultneamente, en los tres productos alas posiciones de 4 y 2 en los lugares B y G,lo sumo en dos, con lo que stos dejaran respectivamente. Los dgitos 6 y 3 puedende ser todos iguales. En efecto, si uno o dosocupar las posiciones A o C.n) Este ejercicio diere un poco del ejercicioproductos son mltiplos de 5 (o de 7, od) resuelto anteriormente. All se saba quenulos), el (los) restante(s) no podra(n) serlo. As que una de las distribuciones posiblesel resto comn era 7, mientras que ahora noDebemos trabajar, pues, con los factores 1,es:6 8se conoce tal resto. Llammosle r. Entonces,2, 3, 4, 6, 8 y 9.4 2 9los nmeros 364 r, 414 r, y 539 r son3 1divisibles por nuestro nmero desconocido.Otro elemento en el que debemos pensar Evidentemente, se trata de encontrar elahora es en el posible valor comn del m) Esta situacin sugiere el uso de la estra- mayor divisor comn de esos tres nme-producto de las ternas de factores. Ese pro- tegia de ensayo y ajuste porque, como habr ros, pero al no saber su valor numrico, noducto debe ser mltiplo de todos los dgitos observado el(la) lector(a), no es indiferente podemos proceder como en d).implicados. Esto nos lleva a deducir que elel orden en que se coloquen los cuatroproducto debe ser 72, ya que otro mltiplo dgitos en la la de la base. Por ejemplo, si Sin embargo, podemos utilizar otra propie-no comn (como 36, 54 108) no nosse ordenan de izquierda a derecha 2, 3, dad de los divisores: si un nmero divide a 26 27. varios nmeros, entonces divide tambin a de hace 5 aos deba ser mltiplo de 6. El quedamos con su diferencia. En este caso, nuestro nmero problema est en encontrar una secuencia los pares 65 y desconocido dividir a las tres diferencias de 6 edades consecutivas de la abuela que66, y 95 y 96. posibles entre esos tres nmeros: a [(539 satisfagan esa condicin de ser, respectiva- r) (364 r)], a [(539 r) (414 r)]mente, mltiplos de 6, 7, 8, 9, 10 y 11. En el pr imer y a [(414 r) (364 r)]. Es decir, a (539caso, la secuen- 364), a (539 414) y a (414 364). O, Todo lo anterior es vlido si Nidia acabaracia numrica de lo que es lo mismo, a 175, a 125 y a 50.de cumplir 11 aos. Pero de momento no las seis edades Buscamos, pues, el m.d.c.(175, 125, 50), quesabemos si habr cumplido ms o menosde la abuela seran: 61, 62, 63, 64, 65 y 66. es 25. Puede vericarlo y, de paso, hallar el aos que 11. Lo que s observamos es que Secuencia que cumple las condiciones ini- valor del resto r no nos interesa que haya cumplido mu- ciales: 61 es mltiplo de 1; 62, de 2; 63, de chos aos, porque entonces las exigencias 3; 64, de 4; 65, de 5; y 66, de 6. En cambio, ) Sabemos que el producto de tres fac- para las sucesivas edades de la abuela son en la otra secuencia (91, 92, 93, 94, 95 y tores es 200. Para tener una idea de cules muy fuertes; vase, por ejemplo para 96) no se cumple que 94 sea mltiplo de 4 pueden ser, hallemos los divisores de 200:el caso de 11 aos, que la secuencia de[Trate de probar con otras posibles edades D(200) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50,edades consecutivas de la abuela debe ser: de Nidia...]. 100, 200}. Hemos de tener en cuenta dos un mltiplo de 6, uno de 7, uno de 8, etc. Y condiciones: se trata de edades de hijosesto no es fcil de satisfacer (de hecho, no p) La suma de los dgitos de ambos n- (no pueden ser nmeros muy grandes), yexiste esa secuencia). meros es a + b + 2 + 4, es decir, a + b + 6. la edad del mayor es el doble de la edad Si la suma es mltiplo de 3, entonces a + del segundo hijo. Esta situacin nos lleva aPor eso, es preferible empezar el ensayo b + 6 debe ser tambin mltiplo de 3. Por dos posibles ternas de edades: 20, 10, 1 ysuponiendo que Nidia acaba de cumplirlo que el valor mnimo de a + b debe ser 10, 5, 4 aos. Quiz resulta ms habitual la6 aos (que es lo mnimo permitido en3 (no puede ser 0, ya que entonces a y b segunda terna, pero nunca se sabe... Hay, el problema), con lo que su secuencia de deberan ser 0, y no tendramos sumandos pues, dos respuestas posibles.aos cumplidos es 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Entonces, de dos dgitos). la secuencia de edades consecutivas de la o) De entrada y para entender el problema,abuela debe ser: un mltiplo de 1, uno de 2, q) Puede haber muchas ternas de nmeros podemos pensar que Nidia acaba de cum-uno de 3, uno de 4, uno de 5, y uno de 6. Si cuyo mnimo mltiplo comn es 48. La con- plir, por ejemplo, 11 aos. Esto signica que nos jamos en las dos ltimas condicionesdicin que debe cumplirse necesariamente la edad actual de su abuela es mltiplo de(dos nmeros seguidos, uno mltiplo de 5 y es que los tres nmeros sean divisores de 11. La de hace un ao, deba ser mltiplo el siguiente, mltiplo de 6), encontramos los48. [Una manera fcil de conseguir esas de 10; la de hace dos, mltiplo de 9; y as posibles pares: 5 y 6; 35 y 36; 65 y 66; 95 yternas es juntando el propio nmero 48 sucesivamente, hasta llegar a que la edad 96, etc. Por la relacin de abuela-nieta, noscon otros dos divisores de 48. Por ejemplo,27 28. (1, 1, 48), (2, 6, 48), (12, 16, 48), etc.]. Pero sentes. As, que al dividirse entre 5 dan como resto 4,no basta que los nmeros de la terna sean pues, habrson los que terminan en 9, es decir: 9, 19, 29,divisores de 48, pues podra tratarse de (2,que inten- ..., 89 y 99. Ahora podemos aplicar la condi-4, 6), cuyo m.m.c. es 12. Lo que se requieretar otro ca- cin b, que nos reduce el conjunto anteriores que entre los tres nmeros aparezcan los mino.a 29, 59 y 89. Y, nalmente, la condicin c,factores en que se descompone 48, que sonque nos lleva al valor de N: 59 monedas. De24 y 3. Es decir, que en alguno de los nmerosEn primer lugar, debemos observar bien las paso, hemos comprobado que la condicinde la terna aparezca 24, que en algn otrocondiciones impuestas.Y las vamos a identi-e estaba de sobra... As, pues, al poner las(o en el mismo anterior) aparezca 3, y quecar, para manejarlas con mayor soltura: 59 monedas en montones de 7, sobrarnel tercero sea cualquier divisor de 48. Por3 monedas (59 = 7 x 8 + 3).ejemplo, (16, 3, 24), (16, 12, 6), etc. a. al poner las monedas en montones de 2, sobra 1 moneda Hay otra manera de pensar la solucin. Sir) Como se trata de un ao del segundob. al poner las monedas en montones de revisamos las condiciones anteriores, vemosmilenio, ya sabemos que empieza por 1. 3, sobran 2 monedas que todas podran haberse reducido a unaAhora tenemos que hallar tres dgitos cuyoc. al poner las monedas en montones de sola: al ponerse en montones de 2, 3, 4, 5 y 6producto es 162 y cuya suma es 21 1 = 20.4, sobran 3 monedas monedas, siempre falta 1 moneda. Es decirPara ello buscamos, entre los divisores ded. al poner las monedas en montones de que si se tratara de N + 1 monedas, se ob-162, los que constan de un solo dgito. Ellos5, sobran 4 monedas tendran distribuciones en montones exactos.son: 1, 2, 3, 6, y 9. Hay dos posibles ternas e. al poner las monedas en montones de Esto signica que N + 1 es un mltiplo comncuyo producto es 162: (2, 9, 9) y (3, 6, 9). 6, sobran 5 monedas de 2, 3, 4, 5 y 6. Pues bien, como m.c.m.(2, 3, 4,Pero la suma de los dgitos de la segunda5, 6) = 60, los posibles valores de N + 1 sonno es 20. Por consiguiente, nos quedamosAlgunas de esas condiciones aportan datos60, 120, 180, etc. Pero como en la alcanca haycon la primera. Los nmeros de los aos inmediatos. Por ejemplo, a nos indica que Nmenos de 100 monedas, debemos quedarnosbuscados son: 1299, 1929 y 1992.es impar. Esto nos llevara a probar las dems con el primer valor: N + 1 = 60, de donde secondiciones slo con los nmeros impares desprende que N = 59.s) Desde luego, parece haber un patrn en menores que 100. La estrategia ahorala formacin de los montones y en las mo- consiste en observar bien el conjunto de t) El nmero que nos solicitan ha de sernedas que van sobrando, por lo que el pri-las condiciones, con el n de seleccionar en mltiplo de 18, es decir, de 2 y de 9. Hamer impulso nos lleva a decir que al ponerprimer lugar aquella que reduzca al mximo de ser par y, adems, mltiplo de 9. Ahora,las monedas en montones de 7, van a sobrarel conjunto inicial de posibles respuestas.si nos jamos bien, cualquier nmero de6 monedas. Pero no hay modo de sustentar nueve dgitos escrito con los dgitos delesta respuesta, ya que no conocemos elEl ensayo nos lleva a considerar juntas las1 al 9 sin repetir y en cualquier orden, estotal lo llamaremos N de monedas pre- condiciones a y d: los nmeros impares tales mltiplo de 9, ya que la suma 1 + 2 + ... + 8 28 29. + 9 = 45 (mltiplo de 9). Por consiguiente,nos solicitan el menor de tales cuadrados, dgitos condenados a ocupar determi- el mayor de esos nmeros mltiplos de 9el problema se resuelve obteniendo el m-nadas posiciones. Y la respuesta es que sera: 987.654.321. Pero este nmero esnimo mltiplo comn de ambos nmeros:s: los dgitos pares han de ocupar las impar. Para conseguir el mayor par, bastam.m.c.(30, 40) = 120. El cuadrado pavimen- casillas pares (de izquierda a derecha) y, con cambiar de orden los dos ltimos tado tendr un lado de longitud 1,20 m y sobre todo, el 5 debe ocupar la 5 casilla dgitos, 1 y 2. Y as obtenemos el nmerocontendr 12 (3 x 4) baldosas. (nica alternativa para que el nmero pedido: 987.654.312.formado por los dgitos de las casillas 4 yv) Se trata de hallar tres factores (mayores 5 sea divisible por 5). Colocamos el 5 en u) Un cuadrado pavimentado con estas que 19) cuyo producto sea 17.710. Para la 5 casilla. baldosas presentar alineadas, en el ladoobtenerlos, buscamos su descomposicin que podemos designar como base del en factores primos: 17.710 = 2 x 5 x 7 x 11Nos preguntamos qu dgito puede gurar cuadrado, las aristas correspondientes a x 23. Ahora debemos reducir esa multipli-en la 6 casilla para que se cumpla la con- una de las dos dimensiones de cada bal-cacin a slo tres factores mayores que 19.dicin correspondiente; y vemos que slo dosa (por ejemplo, 40 cm). Y en el ladoLa nica terna posible (puede vericarse)puede estar el 4 (54, divisible por 6). Para que podemos designar como altura del es: 22 (11 x 2), 35 (5 x 7) y 23.la casilla 7 pudieran entrar el 2 y el 9 (42 y cuadrado, las aristas correspondientes a49 son los dos mltiplos de 7 que empie- la otra dimensin de la baldosa (30 cm). w) Para ubicar los dgitos del 1 al 9 de la for- zan por 4), pero no podemos utilizar el 2 Pero como se trata de un cuadrado, las ma solicitada, podra procederse de izquierda(porque es par), por lo que se queda el 9. longitudes de esa base y de esa altura a derecha, tratando de cumplir paso a paso Para la 8 casilla slo es posible ubicar el 6 deben ser iguales. las condiciones exigidas: que el nmero for- (96 es mltiplo de 8) y para la 9, el 3 (63mado por los dgitos de las casillas 1 y 2 sea es mltiplo de 9). Esto implica que las medidas 30 y 40 son divisible por 2, que el formado por los dgitos ambas divisores de tal longitud. O, en otras de las casillas 2 y 3 sea divisible por 3, etc. Al De manera anloga hay que proceder con palabras, que esta longitud debe ser uncomienzo puede resultar sencillo, pero luego los dgitos para las cuatro primeras casillas. El mltiplo comn de 30 y de 40. Pero comopodemos llegar a callejones sin salida.resultado nal es (en cada casilla se escribe, junto con cada cifra, el orden en que sePor eso, hay que proceder con cautela. va ubicando, de acuerdo con los criteriosPor ejemplo, preguntarnos si hay algunos indicados):1 7 (9) 8 (7) 7 1 (8)2 (6) 5 (1) 4 (2)9 (3) 6 (4)3 (5) 29 30. que, consideradas dex) Recurdese que, en una divisin, losSe trata, pues, de hallar m.d.c.(690, 2.415,izquierda a derecha,sustraendos son las cantidades que se van3.105), que es 345. Las posibles respuestas cumplen las siguien-restando progresivamente. As, por ejemplo,al problema estn en el conjunto de los tes condiciones: la 1en la siguiente divisin:divisores de 345 (incluyendo al propio 345),cifra es par; la suma y la condicin que deben cumplir es quede las dos primeras es 15; la 3 es igual4 1 5 18 deben multiplicarse por un factor de una la diferencia de las dos primeras (la- 3 6 23 solo dgito para obtener como productos, mayor menos la menor); el nmero55 690, 2.415 y 3.105. La bsqueda se reducees mltiplo de 9; la 1 cifra es igual- 54 al propio 345, ya que 690 = 345 x 2; 2.415 a la 1 por la 4; todas las cifras son1= 345 x 7; 3.105 = 345 x 9, con lo que las diferentes. Cul es el nmero de la cifras sucesivas del cociente son: 2, 7 y 9combinacin?los sustraendos son 36 y 54. Cada sustraen-(con cualquier otro divisor menor de 345do se obtiene al multiplicar la cifra que acabapor ejemplo, con 115 no se cumple la 16. Halle todos los divisores de 1.275.000de colocarse en el cociente, por el nmero condicin de un solo dgito como cocienteque sean cuadrados perfectos.que est en el divisor. Esto signica, entonces, al dividirse 690, 2.415 y 3.105 entre eseque los sucesivos sustraendos: 690, 2.415divisor).17. Halle el nmero impar que esy 3.105 se han obtenido al multiplicar la mltiplo de 9 y divisor de 72.cantidad del divisor por un factor que,De modo que, en la divisin, el divisor esen cada caso, no puede tener ms de un 345, el cociente es 279, y el dividendo es 18. Se desea embaldosar un pasillo dedgito. De modo que la cantidad del divisor345 x 279 + 1, es decir, 96.256. Podemos 9,20 m de largo y 2,40 m de ancho cones un divisor comn de los tres nmerosvericarlo.baldosas cuadradas de la mayor dimen-anteriores. sin posible, de tal modo que quepan unnmero exacto de veces a lo largo y a loancho del pasillo. Cunto medir el ladode la baldosa?8. Y ahora, otros ejercicios la curiosidad. Y para ir alcanzando para la casa cierta familiaridad con los nmeros. 19. Halle la capacidadPero antes, la reexin nal. TenemosDe esto se trata cuando hablamos dede un tonel si es laque acostumbrarnos a ver los nmeros divisibilidadmenor que se puedeen su dimensin multiplicativa, comollenar exactamentedescompuestos en factores y, sobre 14. Si A B A x A A = A A A A, siendo A y con botellas llenas detodo, en factores primos. Y a percibir B dgitos distintos, hallar el valor de B. lquido de cada unalas relaciones multiplicativas entre losde las siguientes capa-nmeros, como divisores y mltiplos15. La combinacin para abrir un cidades: 60 cl, 90 cl, 1unos de otros. Y todo ello guiados por cofre es un nmero de cinco cifras l y 2 l. 30 31. 20. De cuntas maneras se pueden25. Usando los dgitos 3, 4, 6 y 8, cun- 30. Hay algn nmero de cuatro cifras agrupar 36 alumnos en las y columnastos nmeros de tres cifras no repetidasque sea divisible por 3 y por 4 y que completas? pueden formarse, de tal modo que seantenga sus cuatro cifras iguales?a la vez mltiplos de 4 y de 6? 31. Una caja de manzanas cuesta 2.00026. Sea S = 10723 + 9146. Cul es elpesos; una de peras, 3.000; y una demenor nmero primo que divide a S? ciruelas, 4.000. Si 8 cajas de los tres tipos de frutas cuestan 23.000 pesos,27. Las caras diferentes de una caja cul es el mayor nmero de cajas deson rectngulos cuyas reas son: 24ciruelas que pueden comprarse?cm3, 32 cm3 y 48 cm3. Cul es elvolumen de la caja?32. Cul es la diferencia entre el menor ao primo del siglo XXI y el mayor ao 21. El seor Pedro presume de ser28. Tres personasprimo del siglo XX? joven. Para conrmarlo, nos dice que trabajan como si su edad se divide entre 2, 3, 4, 5 y 6, conductores de 33. Tenemos 36 cu- siempre da como resto 1. Realmenteautobuses en tresbos de igual tamao. es una persona joven?rutas que parten Cuntos paralele-del mismo puntoppedos diferentes 22. Una caja de base cuadrada tiene unay cuyos recorridos de 36 cubos pue- altura cuya medida es el triple del lado completos se lle-den construirse con de la base. Si el volumen de la caja es de van 35, 60 y 70 minutos, respectivamen-ellos? 24.000 cm3, cul es la altura de la caja? te. Los tres salen a las 6 de la maana ydeciden que almorzarn juntos cuando34. Dos atletas se 23. Consideremos la suma N de cin- coincidan de nuevo en el mismo punto de entrenan corriendo co nmeros naturales consecutivos. partida. A qu hora ser el almuerzo?en un circuito, a ve- Adems de la unidad y de N, qu locidades constan- otros dos divisores posee necesaria- 29. La organizadora de una estates pero diferen- mente N cada vez?observa que si los invitados se sientan tes. Ambos parten7 en cada mesa, quedan 4 por fuera. simultneamente 24. El municipio posee tres lotes de terreno Y si lo hacen 9 en cada mesa, sobrande la raya de salida cuyas reas son de 3.675 m2, 1.575 m2 y3. Al nal decide organizar 4 mesasy a los 72 minutos vuelven a 2.275 m2. Los tres lotes se tienen que divi- de 8 invitados cada una, y el restocoincidir en ese mismo punto. dir en parcelas menores, de igual rea, para de mesas, de 7 invitados cada una. Si el ms rpido de los atletas da la la construccin de viviendas. Cul es elCuntos invitados hay, si no llegan vuelta completa cada 8 minutos, cunto mayor tamao posible de estas parcelas?a 100? tarda el otro atleta en darla (d todas las31 32. respuestas posibles, sabiendo que es unnmero entero de minutos, menor queuna hora)? 35. Un campo tiene forma de cuadrilte-ro y las dimensiones de sus lados son 72,96, 120 y 132 metros. Se desea plantarrboles sobre los cuatro linderos de talforma que haya uno en cada vrticedel campo, que todos estn igualmenteespaciados, y que la distancia entre dosrboles consecutivos no sea mayor que10 metros. Cul ser esta distancia? 36. Halle los valores numricos de a,b, c, d, e (a 0) para que se cumplaque:el nmero a sea mltiplo de 9el nmero ab sea mltiplo de 3 y de 4el nmero abc sea mltiplo de 2 y de 5el nmero abcd sea mltiplo de 7el nmero abcde sea mltiplo de 11 rmese de innita paciencia y coloqueen la tabla siguiente los dgitos del 1 al9 (uno en cada casilla)de manera que el nmero formado porlos dgitos de las casillas:1 y 2 sea divisible por 21, 2 y 3 sea divisible por 31, 2, 3 y 4 sea divisible por 4..1, 2, , 8 y 9 sea divisible por 9 32 33. Referencias bibliogrcas- Alsina, C., De Guzmn, M. (1998). Los matemticos no son gente seria. Barcelona:Rubes. - Gentile, E. (1985). Aritmtica elemental. Washington: OEA. - Kline, M. (1992). El pensamiento matemtico de la Antigedad a nuestros das,Vol. I. Madrid: Alianza. - Morin, E. (1999). La cabeza bien puesta. Repensar la reforma. Reformar el pensa-miento. Buenos Aires: Nueva Visin. - Sierra, M. et al. (1989). Divisibilidad. Madrid: Sntesis.33 34. Respuestas de los ejercicios propuestos1. 9 metros 2. 588 libros 3. 8 das 4. 25 aos 5. 18 pesos 6. Ver-daderos: 1, 3, 4, 7, 11, 12, 14, 15, 17. Falsos: 2, 5, 6, 8, 9, 10, 13, 16 7. De nin-guno 8. S: a, b, d, e, f. No: c 9. a) 4.068, 4.968; b) 984; c) 58.176, 58.374,58.572, 58.770, 58.878; d) 80.568, 84.564, 88.560, 89.568; e) 31.332, 34.332,37.332, 30.336, 33.336, 36.336, 39.336 10. 60, 72, 84, 90 y 96 (12 divisores)11. Los cuadrados de los nmeros primos 12. Verdaderos: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9,10. Falsos: 3, 6 13. Verdaderos: 3, 5, 8, 9. Falsos: 1, 2, 4, 6, 7 14. B = 0 15.69318 16. 1, 4, 25, 100, 625, 2.500 17. 9 18. 40 cm 19. 18 litros 20.5 maneras: 1x36, 2x18, 3x12, 4x9, 6x6 21. 61 aos 22. 60 cm 23. 5 y eltrmino intermedio 24. 175 m2 25. 6 nmeros: 348, 384, 648, 684, 864, 46826. 2 27. 192 cm3 28. 1 p.m. 29. 39 30. No 31. 3 cajas 32. 4 (2003 1999) 33. 8 34. 9, 18 36 minutos 35. 6 metros 36. 96041 34 35. ndice A modo de introduccin 5 Captulo I De qu hablamos cuando hablamos de divisibilidad 6 Captulo II En el mercado de los nmeros, nmeros hay... 7 Captulo III Matemtica: de las conjeturas y los problemas abiertos, a las demostraciones 9 Captulo IV Divisores y mltiplos de un nmero natural12 4.1. Descomposicin de un nmero en factores primos 12 4.2. Los divisores de un nmero: cules y cuntos 15 4.3. Las potencias desde el punto de vista de sus divisores16 4.4. Cmo averiguarsi un nmero dado es primo o compuesto 16 Captulo V El mximo divisor comn de varios nmeros 17 Captulo VI El mnimo mltiplo comn de varios nmeros19 Captulo VII La resolucin de problemas en el campo de la divisibilidad 22 Captulo VIII Y ahora, otros ejercicios para la casa 3035 36. Este libro se termin de imprimiren el mes de marzo de 2006. 36