1 Distribuciones continuas

Algunos modelos de probabilidad son frecuentemente

usados para representar la funcion de densidad de

probabilidad de variables aleatorias continuas. Aquel-

los mas utilizados son descritos a continuacion.

1.1 Distribucion Uniforme continua, U[α,β]

Es una generalizacio de la distribucion Uniforme disc-

reta, y es el modelo mas simple de una variable aleato-

ria continua.

Definicion. Una variable aleatoria X tiene distribucion

Uniforme continua de parametros α y β con α < β,

ambos reales, si su funcion de densidad de probabili-

dad esta dada por

fX (x) =

{

1β−α

, α ≤ x ≤ β

0 si no

El grafico de fX (x) tiene la siguiente forma,

-4 -2 0 2 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

α β

Figure 1: Funcion de densidad de la U[α,β].

Ejemplos.

1. Si X ∼ U[α,β], la esperanza es

E (X) =∫ β

α

x

β − αdx =

x2

2 (β − α)

∣

∣

∣

∣

∣

β

α

=α + β

2.

2. Su varianza es

V (X) = E

(

X2)

− E2 (X)

=∫ β

α

x2

β − αdx −

(

α + β

2

)2

=(β − α)2

3−

(

α + β

2

)2

=(β − α)2

12.

3. Su funcion de distribucion acumulada es

FX (x) =∫ x

α

1

β − αdz =

0, x < αx−αβ−α

, α ≤ x ≤ β

1, x ≥ β

y su grafico es

Ejemplo. La escala de una balanza de palanca insta-

lada en un laboratorio tiene el valor de una division

igual a un gramo. Al medir la masa de los compo-

nentes quımicos de una mezcla, la lectura se toma

con una precision hasta una division entera redonde-

ando con el error mınimo.

0 5 10 15 20

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

α β

Figure 2: Funcion de distribucion acumulada de la

distribucion U[α,β].

¿Cual es la probabilidad de que el error absoluto de la

determinacion de la masa no exceda la magnitud de

una desviacion estandar?

Supongamos que la aguja de la balanza se distribuye

uniformemente entre cero y un gramo.

Luego, la desviacion estandar es

σ =

√

(β − α)2

12=

√

(1 − 0)2

12=

1

2√

3

Por otro lado, el error de la determinacion de la masaes pequeno, o sea menor a σ, si la aguja marca en elconjunto

[0, σ] ∪ [1 − σ, 1]

Por tanto, la probabilidad que estamos buscando es

P ([0, σ] ∪ [1 − σ, 1]) = P ([0, σ]) + P ([1 − σ, 1])

= 2P ([0, σ]) = 2∫ σ

0dx

= 2σ =1√3

= 0.577 35.

1.2 Distribucion Exponencial, E (λ)

Definicion. Diremos que una variable aleatoria X

tiene distribucion Exponencial con parametro λ > 0

si su funcion de densidad de probabilidad es

fX (x) =

{

λe−λx, x > 00, x ≤ 0

El grafico de fX (x) se ilustra en la siguiente figura:

0 5 10 15

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Figure 3: Funcion de densidad de probabilidad de la

distribucion E (λ).

Por otro lado, es facil verficar que

E (X) =∫ ∞

0xλe−λxdx =

1

λ

y

V (X) = E

(

X2)

− E2 (X)

=∫ ∞

0x2λe−λxdx − 1

λ2=

1

λ2

Su funcion de distribucion acumulada es

FX (x) = 1 − e−λx,

si x > 0, y es cero si x ≤ 0.

La distribucion Exponencial tiene una relacion intere-

sante con la distribucion de Poisson: Si en una unidad

de tiempo se observan n conteos con distribucion P (λ),

entonces el tamano de los intervalos de tiempo entre

cada conteo distribuye E (λ).

Ejemplo. El tiempo de vida (en horas) de cierto tipo

de lamparas es una variable aleatoria T ∼ E (0.002).

De aquı se tiene entonces que la vida media de este

tipo de lamparas es

E (X) =1

0.002= 500

horas, y la probabilidad de que el tiempo de vida sea

mayor que el tiempo medio es

P (X > 500) = 1 − P (X ≤ 500) = 1 − FX (500)

= e−0.002·500 = e−1 = 0.3679.

1.3 Distribucion Normal, N(

µ, σ2)

Esta es la distribucion mas importante de la Estadıstica

debido, fundamentalmente, a que en muchas oca-

ciones es razonable suponer que los errores de medicion

tienen distribucion Normal y porque posee propiedades

matematicas deseables.

Definicion. Diremos que una variable aleatoria X

tiene distribucion Normal con parametros µ y σ2, donde

µ ∈ R y σ > 0, si su funcion de densidad esta dada

por

fX (x) =1√

2πσ2exp

{

−1

2

(x − µ)2

σ2

}

,

donde x ∈ R.

El siguiente grafico ilustra esta funcion de densidad

para los parametros µ y σ2,

Algunas propiedades son:

1. E (X) = µ y V (X) = σ2.

2. limn→±∞

fX (x) = 0.

3. fX (x) es simetrica en torno a µ, es decir, fX (µ + x) =

fX (µ − x) para todo x ∈ R.

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

µ

Figure 4: Funcion de densidad de probabilidad de la

distribucion N(

µ, σ2)

.

La distribucion acumulada de la Normal no tiene una

forma analıtica explıcita. Luego, para calcular prob-

abilidades con variables aleatroias normales es nece-

sario el uso de metodos numericos para el calculo de

integrales.

Las areas bajo la curva Normal han sido calculadas

para la llamada distribucion normal estandar, esta es

la distribucion Normal con parametros µ = 0 y σ2 =

1.

La siguiente tabla muestra la funcion de distribucion

acumulada para la distribucion N (0, 1). Esta es de-

notada por Φ (x), o sea,

Φ (x) =∫ x

−∞1√2π

exp

{

−x2

2

}

dx.

¿Como utilizar la tabla?

Ejemplos.

1. P (Z ≤ 1.73) = Φ (1.73) = 0.9582.

2. P (Z > 1.73) = 1 − Φ (1.73) = 1 − 0.9582 =

0.041 8.

3. Φ (−1.73) = P (Z ≤ −1.73) = P (Z ≥ 1.73) =

0.0418.

4. P (−1.73 ≤ Z ≤ 0) = P (0 ≤ Z ≤ 1.73)

= P (Z ≤ 1.73) − 0.5 = 0.9582 − 0.5 = 0.4582.

5. P (0.47 ≤ Z ≤ 1.73) = Φ (1.73)−P (Z < 0.47) =

0.9582 − 0.6808 = 0.277 4.

6. P (−1.73 ≤ Z < −1.28) = P (1.28 < Z ≤ 1.73) =

Φ (1.73)−Φ(1.28) = 0.9582− 0.8997 = 0.0585.

Pero, ¿como podemos calcular probabilidades con otras

distribuciones normales?

Proposicion. Si X ∼ N(

µ, σ2)

, entonces la variable

aleatoria Z definida por

Z =X − µ

σ

tiene distribucion normal estandar.

Ejemplos.

1. Si X ∼ N(

µ, σ2)

, calcular P (a < X ≤ b).

P (a < X ≤ b) = P

(

a − µ

σ<

X − µ

σ≤ b − µ

σ

)

= P

(

Z ≤ b − µ

σ

)

− P

(

Z ≤ a − µ

σ

)

= Φ

(

b − µ

σ

)

− Φ

(

a − µ

σ

)

.

2. Si X ∼ N (3, 16), calcular P (2 ≤ X ≤ 5).

P (2 ≤ X ≤ 5) = P

(

2 − 3

4≤ X − 3

4≤ 5 − 3

4

)

= P (−0.25 ≤ Z ≤ 0.5)

= P (Z ≤ 0.5) − P (Z ≤ −0.25)

= Φ (0.5) − [1 − Φ(0.25)]

= 0.6915 − 1 + 0.5987

= 0.2902.

Por tanto, P (2 ≤ X ≤ 5) = 0.2902.

3. ¿Cual serıa el primer y tercer cuartil de X ∼N (3, 16)?

(a) Hasta el tercer cuartil se acumula un 75% de

la probabilidad. Luego, por definicion de Q3

se tiene:

0.75 = P (X ≤ Q3) = P

(

Z ≤ Q3 − 3

4

)

Por tanto, si z0.75 es el punto de la distribucion

normal estandar hasta donde se acumula un

75% de la probabilidad entonces

Q3 − 3

4= z0.75 = 0.675,

por lo que Q3 = 5.7.

(b) Hasta el primer cuartil se acumula un 25% de

la probabilidad. Luego, por definicion de Q1

se tiene:

0.25 = P (X ≤ Q1) = P

(

Z ≤ Q1 − 3

4

)

Por tanto, si z0.25 es el punto de la distribucion

normal estandar hasta donde se acumula un

25% de la probabilidad entonces

Q1 − 3

4= z0.25 = −z0.75 = −0.675,

por lo que Q1 = 0.3.

Finalmente, el intervalo intercuartılico de X ∼N (3, 16) es IQR = 5.7 − 0.3 = 5. 4.