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 DISTRIBUCION T.

En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de

probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmentedistribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño. Ésta es la base de la popularprueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos medias muestralesy para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias dedos poblaciones.

La distribución t surge, en la mayoría de los estudios estadísticos prácticos, cuando ladesviación típica de una población se desconoce y debe ser estimada a partir de los datosde una muestra.

CARACTERISTICAS:

La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del cociente

donde

  Z tiene una distribución normal de media nula y varianza 1  V tiene una distribución chi-cuadrado con ν grados de libertad  Z y V son independientes

Si  μ es una constante no nula, el cociente es una variable aleatoria que sigue ladistribución t de Student no central con parámetro de no-centralidad μ.

APARICIÓN Y ESPECIFICACIONES DE LA DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT. 

Supongamos que X 1,..., X n son variables aleatorias independientes distribuidasnormalmente, con media μ y varianza σ2. Sea

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la media muestral. Entonces

sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1.

Sin embargo, Gosset estudió un cociente relacionado,

donde

es la varianza muestral y demostró que la función de densidad de T es

donde ν es igual a n  − 1. 

La distribución de T se llama ahora la distribución-t  de Student.

El parámetro ν  representa el número de grados de libertad . La distribución depende de ν,pero no de μ o σ, lo cual es muy importante en la práctica.

Intervalos de confianza derivados de la distribución t  de Student.

El procedimiento para el cálculo del intervalo de confianza basado en la t de Studentconsiste en estimar la desviación típica de los datos S y calcular el error estándar de lamedia= S/(raíz cuadrada de n), siendo entonces el intervalo de confianza para la media =

x media +- t (alfa/2) multiplicado por (S/(raíz cuadradada de n)). fuente: www.seh-lelha.org/stat1.htm

Es este resultado el que se utiliza en el test de Student: puesto que la diferencia de lasmedias de muestras de dos distribuciones normales se distribuye también normalmente,la distribución t puede usarse para examinar si esa diferencia puede razonablementesuponerse igual a cero.

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para efectos prácticos el valor esperado y la varianza son :

E(t(n))= 0 y Var (t(n-1)) = n/(n-2) para n > 3

DISTRIBUCION F.

Usada en teoría de probabilidad y estadística, la distribución F es una distribución deprobabilidad continua. También se la conoce como distribución F de Snedecor o comodistribución F de Fisher-Snedecor.

Una variable aleatoria de distribución F se construye como el siguiente cociente:

donde

  U 1 y U 2 siguen una distribución ji-cuadrada con d 1 y d 2 grados de libertadrespectivamente, y

  U 1 y U 2 son estadísticamente independientes.La distribución F aparece frecuentemente como la distribución nula de una pruebaestadística, especialmente en el análisis de varianza. Véase el test F. 

La función de densidad de una F (d 1, d 2) viene dada por

para todo número real x  ≥ 0, donde d 1 y d 2 son enteros positivos, y B es la función beta. 

La función de distribución es

Donde I es la función beta incompleta regularizada. 

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DISTRIBUCION JI-CUADRADA.

En estadística, la distribución χ² (de Pearson), donde χ² se pronuncia como ji-cuadrado,1 es una distribución de probabilidad continua con un parámetro k querepresenta los grados de libertad de la variable aleatoria:

donde Z i son variables de distribución normal, de media cero y varianza uno. Esta

distribución se expresa habitualmente como

La distribución ji-cuadrado tiene muchas aplicaciones en inferencia estadística, porejemplo en la denominada prueba χ² utilizada como prueba de independencia y comoprueba de bondad de ajuste y en la estimación de varianzas. También está involucrada en

el problema de estimar la media de una población normalmente distribuida y en elproblema de estimar la pendiente de una recta de regresión lineal, a través de su papel enla distribución t de Student, y participa en todos los problemas de análisis de varianza, porsu papel en la distribución F de Snedecor, que es la distribución del cociente de dosvariables aleatorias de distribución ji-cuadrado e independientes.

PROPIEDADES:

Función de densidad

La función de densidad ji-cuadrado es:

Γ es la función gamma. 

[editar] Función de distribución

La función de distribución es

donde es la función gamma incompleta. 

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El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución ji-cuadradoson, respectivamente, k y 2k .

Relación con otras distribuciones

La distribución ji-cuadrado es un caso especial de la distribución gamma. De hecho,

Como consecuencia, para k = 2, la distribución ji-cuadrado es unadistribución exponencial de media k = 2.

Cuando k es suficientemente grande, como consecuencia del teorema central del límite, puede aproximarse por una distribución normal: