Distribución Distribución HipergeométricaHipergeométrica

Cetina López Wendy. Distribución Hipergeométrica. México 2011. pp. 15.Cetina López Wendy. Distribución Hipergeométrica. México 2011. pp. 15.

Distribución hipergeométrica Distribución hipergeométrica

En estadística la En estadística la Distribución hipergeométricaDistribución hipergeométrica es es una distribución de probabilidad discreta una distribución de probabilidad discreta con tres parámetros discretos con tres parámetros discretos NN, , dd y y nn cuya cuya función de probabilidad es:función de probabilidad es:

Aquí, se refiere al coeficiente binomial, o Aquí, se refiere al coeficiente binomial, o al número de combinaciones posibles al al número de combinaciones posibles al seleccionar seleccionar bb elementos de un total elementos de un total aa..

Esta distribución se refiere a un espacio Esta distribución se refiere a un espacio muestra donde hay elementos de 2 tipos muestra donde hay elementos de 2 tipos posibles. Indica la probabilidad de obtener posibles. Indica la probabilidad de obtener un número de objetos un número de objetos xx de uno de los tipos, de uno de los tipos, al sacar una muestra de tamaño al sacar una muestra de tamaño nn, de un , de un total de total de NN objetos, de los cuales objetos, de los cuales dd son del son del tipo requerido.tipo requerido.

El valor esperado de una variable aleatoria El valor esperado de una variable aleatoria XX de distribución hipergeométrica es de distribución hipergeométrica es

Y su varianzaY su varianza

3.1.1. MUESTRA CON 3.1.1. MUESTRA CON REEMPLAZO.REEMPLAZO.

Muestra:Muestra: subconjunto de la población subconjunto de la población seleccionado mediante algún criterio particular. seleccionado mediante algún criterio particular. Porción de elementos de una población elegidos Porción de elementos de una población elegidos para su examen o medición directa. para su examen o medición directa.

Muestreo con reemplazo:Muestreo con reemplazo: Es aquel en que un Es aquel en que un elemento puede ser seleccionado más de una vez elemento puede ser seleccionado más de una vez en la muestra para ello se extrae un elemento de en la muestra para ello se extrae un elemento de la población se observa y se devuelve a la la población se observa y se devuelve a la población, por lo que de esta forma se pueden población, por lo que de esta forma se pueden hacer infinitas extracciones de la población aun hacer infinitas extracciones de la población aun siendo esta finita.siendo esta finita.

Características:Características:

a)a) Al realizar un experimento con este Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan más de dos tipo de distribución, se esperan más de dos tipos de resultados.tipos de resultados.

b)b) Las probabilidades asociadas a cada Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados no son constantes.uno de estos resultados no son constantes.

c) c)  Los ensayos o repeticiones del Los ensayos o repeticiones del experimento no son independientes entre experimento no son independientes entre sí.sí.

d)d) El número de repeticiones del El número de repeticiones del experimento experimento nn, es constante. , es constante.

Entonces en este caso se tienen más de dos Entonces en este caso se tienen más de dos tipos de objetos, por lo que la fórmula a tipos de objetos, por lo que la fórmula a utilizar sería:utilizar sería:

donde:donde: N = x + y + z = total de objetosN = x + y + z = total de objetos a = total de objetos del primer tipoa = total de objetos del primer tipo b = total de objetos del segundo tipob = total de objetos del segundo tipo c = N-a-b = total de objetos del tercer tipoc = N-a-b = total de objetos del tercer tipo n = objetos seleccionados en la muestran = objetos seleccionados en la muestra x = objetos del primer tipo en la muestrax = objetos del primer tipo en la muestra y = objetos del segundo tipo en la muestray = objetos del segundo tipo en la muestra z = n-x-y = objetos del tercer tipo en la z = n-x-y = objetos del tercer tipo en la

muestramuestra

nN

yxnbaNybxa

C

C*C*C)n,y,x(p

Ejemplos:Ejemplos: 1. En un lote de productos se tienen 20 1. En un lote de productos se tienen 20

productos sin defectos, 3 con defectos productos sin defectos, 3 con defectos menores y 2 con defectos mayores, se menores y 2 con defectos mayores, se seleccionan al azar 5 productos de este seleccionan al azar 5 productos de este lote, determine la probabilidad de que a) 3 lote, determine la probabilidad de que a) 3 de los productos seleccionados no tengan de los productos seleccionados no tengan defectos y 1 tenga defectos menores, b) 4 defectos y 1 tenga defectos menores, b) 4 de los productos seleccionados no tengan de los productos seleccionados no tengan defectos y 1 tenga defectos menores.defectos y 1 tenga defectos menores.

Solución:Solución: a) N= 20+3+2 =25 total de artículosa) N= 20+3+2 =25 total de artículos a=20 productos sin defectosa=20 productos sin defectos b= 3 productos con defectos menoresb= 3 productos con defectos menores N-a-b= 2 productos con defectos mayoresN-a-b= 2 productos con defectos mayores n= 5 productos seleccionados en la muestran= 5 productos seleccionados en la muestra x = 3 productos sin defectos en la muestra = x = 3 productos sin defectos en la muestra =

variable que nos define el # de productos sin variable que nos define el # de productos sin defectos en la muestradefectos en la muestra

y = 1 producto con defectos menores en la y = 1 producto con defectos menores en la muestra = variable que nos define el # de muestra = variable que nos define el # de productos con defectos menores en la productos con defectos menores en la muestramuestra

z = n-x-y = 5-3-1 = 1 producto con defectos z = n-x-y = 5-3-1 = 1 producto con defectos mayores en la muestra = variable que nos mayores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos define el # de productos con defectos mayores en la muestramayores en la muestra

b) N= 25 b) N= 25 a=20 productos sin defectosa=20 productos sin defectos b= 3 productos con defectos menoresb= 3 productos con defectos menores N-a-b= 2 productos con defectos mayoresN-a-b= 2 productos con defectos mayores n= 5 productos seleccionados en la muestran= 5 productos seleccionados en la muestra x = 4 productos sin defectos en la muestra = x = 4 productos sin defectos en la muestra =

variable que nos define el # de productos sin variable que nos define el # de productos sin defectos en la muestradefectos en la muestra

y = 1 producto con defectos menores en la muestra y = 1 producto con defectos menores en la muestra = variable que nos define el # de productos con = variable que nos define el # de productos con defectos menores en la muestradefectos menores en la muestra

z = n-x-y = 5-4-1 = 0 productos con defectos z = n-x-y = 5-4-1 = 0 productos con defectos mayores en la muestra = variable que nos define el mayores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos mayores en la muestra# de productos con defectos mayores en la muestra

128741053130

6840

53130

231140513

525

1213320 .))()((

C

C*C*C)n,y,x(p

nN

yxnbaNybxa

C

C*C*C)n,y,x(p

27357053130

14535

53130

134845

514525

0213420

.))()((

C

C*C*C)n;y,x(p

3.1.2. MUESTRA SIN REEMPLAZO. 3.1.2. MUESTRA SIN REEMPLAZO. (HIPERGEOMÉTRICA).(HIPERGEOMÉTRICA).

Muestreo sin reemplazo:Muestreo sin reemplazo: No se devuelve los No se devuelve los elementos extraídos a la población hasta que no elementos extraídos a la población hasta que no se hallan extraídos todos los elementos de la se hallan extraídos todos los elementos de la población que conforman la muestra.población que conforman la muestra.

Se seleccionan n de los N, Se seleccionan n de los N, SIN REEMPLAZOSIN REEMPLAZO. La . La v.a. X que nos interesa es el número total de v.a. X que nos interesa es el número total de éxitos entre los n seleccionados y nó el orden en éxitos entre los n seleccionados y nó el orden en que salieron. que salieron.

En estas condiciones la v.a. X tiene la distribución En estas condiciones la v.a. X tiene la distribución hipergeométrica. Su imagen es {0,1,...,n}. La hipergeométrica. Su imagen es {0,1,...,n}. La función de probabilidad está dada por:función de probabilidad está dada por:

P(X=x) = [kC x (N-k)C(n-x)] / [NCn]; para x en P(X=x) = [kC x (N-k)C(n-x)] / [NCn]; para x en {0,1,...,n}{0,1,...,n}

La media es: E(X) = nk/N y la varianza: var(X) = La media es: E(X) = nk/N y la varianza: var(X) = [N-n]/[N-1] n (1-k/N) k/N [N-n]/[N-1] n (1-k/N) k/N ¿Dónde se aplica? ¿Dónde se aplica?

1_En situaciones de muestreo sin reemplazo en que 1_En situaciones de muestreo sin reemplazo en que la muestra es un porcentaje considerable de la la muestra es un porcentaje considerable de la población. Como ejemplo, de un lote de 40 población. Como ejemplo, de un lote de 40 artículos se seleccionan al azar 4 para probarlos y artículos se seleccionan al azar 4 para probarlos y si fallan la prueba más de 2 se rechaza el lote si fallan la prueba más de 2 se rechaza el lote completo. ¿Cuál es la probabilidad de rechazar un completo. ¿Cuál es la probabilidad de rechazar un lote que tenga 8 defectuosos? Dado que el lote que tenga 8 defectuosos? Dado que el muestreo se hace sin reemplazo y la fracción de muestreo se hace sin reemplazo y la fracción de muestreo es grande (10%) tenemos una v.a. muestreo es grande (10%) tenemos una v.a. hipergeométrica. Los parámetros son: N=40, hipergeométrica. Los parámetros son: N=40, k=8, n=4, X es el número de defectuosos en la k=8, n=4, X es el número de defectuosos en la muestra y queremos la probabilidad muestra y queremos la probabilidad

P(X > 2) = P(X=3) + P(X=4) = 1792/91390 + P(X > 2) = P(X=3) + P(X=4) = 1792/91390 + 70/91390 = 0.020470/91390 = 0.0204

ésta es la probabilidad de rechazar un lote con ésta es la probabilidad de rechazar un lote con 25% de defectuosos y es muy baja. Para mejorar 25% de defectuosos y es muy baja. Para mejorar el proceso de selección, los ingenieros deciden el proceso de selección, los ingenieros deciden rechazar el lote cuando haya 2 o más rechazar el lote cuando haya 2 o más defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de rechazar defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de rechazar un lote que tenga 8 defectuosos? Los parámetros un lote que tenga 8 defectuosos? Los parámetros permanecen iguales lo que cambia es la permanecen iguales lo que cambia es la probabilidad, ahora es probabilidad, ahora es

P (X >= 2) = P(X=2) + P(X>2) = 0.1520 + P (X >= 2) = P(X=2) + P(X>2) = 0.1520 + 0.0204 = 0.17240.0204 = 0.1724

Con esta nueva política de rechazar el lote Con esta nueva política de rechazar el lote cuando sean 2 o más, ¿cuál es la probabilidad de cuando sean 2 o más, ¿cuál es la probabilidad de rechazar un lote con 6 defectuosos? Los rechazar un lote con 6 defectuosos? Los parámetros son, ahora, N=40, k=6, n=4 y parámetros son, ahora, N=40, k=6, n=4 y queremos la probabilidad:queremos la probabilidad:

P (X > 10) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]P (X > 10) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]= 1 - [46376/ 91390 + 35904/ 91390]= 1 - [46376/ 91390 + 35904/ 91390]= 0.0997 = 0.0997

2_2_ En el salón de tercer año de una escuela hay 35 En el salón de tercer año de una escuela hay 35 alumnos, de los cuales 10 son niñas y 25 niños. alumnos, de los cuales 10 son niñas y 25 niños. Se nombra un comité de 7 alumnos que Se nombra un comité de 7 alumnos que represente al salón. La selección se hace al represente al salón. La selección se hace al azar. ¿Qué probabilidad hay de que en el azar. ¿Qué probabilidad hay de que en el comité haya mayoría de niñas? En esta comité haya mayoría de niñas? En esta situación se cumplen las hipótesis de una situación se cumplen las hipótesis de una hipergeométrica. Los parámetros son: N=35, hipergeométrica. Los parámetros son: N=35, k=10, n=7, X es el número de niñas en el k=10, n=7, X es el número de niñas en el comité. La probabilidad pedida es:comité. La probabilidad pedida es:

P(X > 3) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) P(X > 3) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7)

= 0.0839 = 0.0839