DISEÑO E IMPLEMENTACIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO DEL …

DISEÑO E IMPLEMENTACIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO DEL CICLO

SILVESTRE DE LA TRANSMISIÓN DE LA ENFERMEDAD DE CHAGAS

JOAN SEBASTIÁN GALLEGO MURILLO

Universidad de los Andes

Facultad de Ingeniería

Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental

Bogotá D.C.

2012

DISEÑO E IMPLEMENTACIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO DEL CICLO

SILVESTRE DE LA TRANSMISIÓN DE LA ENFERMEDAD DE CHAGAS

JOAN SEBASTIÁN GALLEGO MURILLO

Proyecto de grado para optar el título de:

Ingeniero Ambiental

Asesor:

JUAN MANUEL CORDOVEZ ÁLVAREZ

Universidad de los Andes

Facultad de Ingeniería

Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental

Bogotá D.C.

2012

AGRADECIMIENTOS

Agradezco especialmente a mi asesor, el profesor Juan Manuel Cordovez por todo

el apoyo dado para la realización de este proyecto, y a los estudiantes de la

Universidad de los Andes Daniel Arbaláez y Lina Rendón, quienes colaboraron

activa y decididamente en el desarrollo de este estudio. También agradezco al

Centro de Investigaciones en Microbiología y Parasitología Tropical (CIMPAT) de

la Universidad de los Andes por la información otorgada que indudablemente

permitió llevar a cabo una parte decisiva en la obtención y análisis de los

resultados.

TABLA DE CONTENIDO

Introducción ....................................................................................................................... 1

Antecedentes ................................................................................................................. 1

Justificación del trabajo .................................................................................................. 1

Objetivos ........................................................................................................................ 2

Objetivo general.......................................................................................................... 2

Objetivos específicos .................................................................................................. 2

Métodología ....................................................................................................................... 4

Identificación de las formas de transmisión de la enfermedad ........................................ 4

Introducción a los modelos epidemiológicos de compartimentos .................................... 5

Planteamiento del modelo .............................................................................................. 5

Dinámicas vitales ........................................................................................................ 6

Tasas de transmisión .................................................................................................. 8

Ecuaciones del modelo ............................................................................................. 14

Estudio analítico ........................................................................................................... 16

Implementación en MATLAB ........................................................................................ 17

Resultados ....................................................................................................................... 18

Parámetros del modelo ................................................................................................ 18

Dinámicas vitales ...................................................................................................... 19

Coeficientes de transmisión ...................................................................................... 21

Análisis en estado estacionario .................................................................................... 27

Estabilidad de los puntos estacionarios ........................................................................ 33

Análisis de sensibilidad ................................................................................................ 40

Número reproductivo .................................................................................................... 49

Adimensionalización del modelo para futuros trabajos ................................................. 54

Discusión ......................................................................................................................... 59

Puntos estacionarios y estabilidad ............................................................................... 59

Significado del número reproductivo ............................................................................ 60

Análisis de sensibilidad ................................................................................................ 61

Fracción de hospederos infectados en el equilibrio ...................................................... 63

Control de la enfermedad: estrategias efectivas. .......................................................... 64

Posibilidades de mejorar el modelo .............................................................................. 65

Conclusiones ................................................................................................................... 67

Bibliografía ....................................................................................................................... 69

Anexo: Códigos de MATLAB ........................................................................................... 71

Diseño e implementación de un modelo matemático del ciclo IAMB 201120 13 silvestre de la transmisión de la enfermedad de Chagas

1

INTRODUCCIÓN

ANTECEDENTES

La enfermedad de Chagas es una zoonosis causada por el parásito Trypanosoma cruzi

que actualmente afecta a un estimado de 10 millones de personas a lo largo de todo el

mundo, la mayoría en Latinoamérica; sin embargo, más de 25 millones se encuentran en

riesgo de contraer la enfermedad [1]. Cerca del 30% de los infectados desarrollan

problemas cardíacos que incluso pueden llevar a la muerte. La enfermedad es transmitida

por insectos vectores, principalmente Triatoma infestans y Rhodnius prolixus, siendo este

último bastante común en zonas tropicales Colombianas y el más difícil de erradicar

mediante técnicas convencionales de fumigación debido a que continuamente hay un flujo

de estos insectos entre el ciclo silvestre y el domiciliario. Teniendo en cuenta la

inefectividad del uso de insecticidas, es necesario buscar nuevas estrategias de control

para reducir las tasas de infección. Sumado a este hecho, a pesar de que se tiene

conocimiento de los procesos biológicos involucrados en la transmisión de la enfermedad,

no se conoce con certeza cómo afectan los diferentes factores en las tasas de infección,

cuáles son de mayor relevancia y cómo interactúan entre ellos.

Por lo tanto se plantea la posibilidad de desarrollar un modelo matemático de la

transmisión de la enfermedad en el ciclo silvestre para entender cómo se comportan las

tasas de infección de los hospederos D. marsupialis ante diferentes cambios en los

factores de transmisión, es decir, para tener un mayor conocimiento en el funcionamiento

de la epidemiología de la enfermedad. Con este modelo también será posible plantear

estrategias de control efectivas para el caso colombiano que realmente disminuyan las

tasas de infección que serán de utilidad para las diferentes autoridades de salud del país.

JUSTIFICACIÓN DEL TRABAJO

La modelación matemática de la epidemiología de diferentes enfermedades se ha venido

realizando desde hace años. Gracias a esta herramienta se ha podido comprender de una

mejor manera la epidemiología de enfermedades como la viruela, la malaria, el síndrome


2

respiratorio agudo severo (SARS), el dengue e incluso el VIH [2]. Estos modelos no sólo

permiten tener un mejor entendimiento de la enfermedad sino que también han sido

usados para definir estrategias de control claras para reducir las tasas de infección. Sin

embargo, pocos estudios de este tipo se han realizado en torno a la enfermedad de

Chagas, la cual afecta según la Organización Mundial de la Salud, a más de 10.000.000

de personas [1]. Sólo en Latinoamérica causa unas 43.000 muertes al año, siendo una de

las causas de mortalidad más importantes [3]. Para el caso de Colombia, se tenía que en

el 2007 el estimado de infectados con la enfermedad era de 1.300.000 [3], y a pesar de

que se han venido desarrollando programas de control vectorial, los resultados no han

sido satisfactorios, en parte porque las estrategias tradicionales de fumigación no son del

todo efectivas para combatir la transmisión vectorial por R. prolixus ya que estos insectos

presentan un ciclo peridomiciliario que posibilita la rápida reinfestación luego de las

fumigaciones. Un modelo de la transmisión de la enfermedad no sólo permitiría el análisis

de la dinámica del sistema sino que también les permitiría a las autoridades de salud

tomar decisiones de vigilancia y control epidemiológico específicas que realmente sean

efectivas para reducir la infectividad de la enfermedad.

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Desarrollar e implementar un modelo matemático compartimental del ciclo silvestre de la

transmisión de la enfermedad de Chagas en Colombia, centrado en el estudio del vector

R. prolixus y del hospedero D. marsupialis.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

1. Estimar los rangos en los que deberán estar los parámetros del modelo para

asegurar que los resultados tengan viabilidad biológica y hacer un análisis de

sensibilidad de los mismos para determinar qué factores son más relevantes en el

modelo.


3

2. Analizar de manera teórica usando los conceptos de la epidemiología matemática

las diferentes condiciones estacionarias predichas por el modelo, específicamente

su estabilidad.

3. Calcular el número reproductivo para la enfermedad, el cual permitirá estimar el

grado de infectividad de la misma.

4. Analizar el efecto del aumento de cultivos de palma de aceite (refugio de los

hospederos) en las tasas de infección de la enfermedad.

5. Implementar el modelo usando herramientas computacionales teniendo en cuenta

como requerimientos principales permita el cálculo de elementos como el número

reproductivo o la fracción de hospederos infectados y que pueda ser acoplado con

un futuro modelo del ciclo domiciliario de la enfermedad.


4

MÉTODOLOGÍA

IDENTIFICACIÓN DE LAS FORMAS DE TRANSMISIÓN DE LA

ENFERMEDAD

La principal forma de transmisión de la enfermedad a los hospederos (D. marsupialis) es

por la vía vectorial, que depende exclusivamente de la picadura del triatomino R. prolixus

conocido en Colombia como pito. Para que la infección se dé satisfactoriamente es

necesario que las heces del insecto entren en contacto con la herida resultante de la

picadura. De esta manera, el parásito T. cruzi llega al torrente sanguíneo del hospedero,

contrayendo éste la enfermedad. De igual manera, un vector puede adquirir el parásito

luego de una picadura a un hospedero infectado, siendo en este caso necesario que la

forma infectante del parásito presente en la sangre pase al tracto digestivo del insecto.

Se tienen reportes de otras formas de transmisión en D. marsupialis como la vertical, que

consiste en el paso del parásito de la sangre de la madre al hijo, ya sea en su gestación o

en la etapa del nacimiento. Igualmente se presenta la posibilidad de transmisión por vía

oral, en la que el hospedero se alimenta del vector y adquiere así el parásito durante la

ingesta. Sin embargo, hay que tener en cuenta que este tipo de alimentación se da

usualmente de manera oportunista, es decir, el hospedero sólo lo hará si el vector está

disponible directamente para ser ingerido. Por último, también se puede presentar la

transmisión del parásito entre estos hospederos por vía anal: D. marsupialis, al igual que

otros didélfidos, presenta glándulas odoríferas anales. En situaciones de gran estrés

pueden expeler el contenido de las glándulas, en las cuales se ha reportado que puede

haber presencia de T. cruzi [4]. De esta manera, si esa emisión entra en contacto con

regiones vulnerables para la entrada del parásito en otro hospedero, como ojos o heridas

abiertas, podría llevar a la transmisión de la enfermedad.


5

INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS EPIDEMIOLÓGICOS DE

COMPARTIMENTOS

Los modelos epidemiológicos de compartimentos se basan en separar a las poblaciones

en diferentes grupos dependiendo de su estado: susceptibles, infectados, expuestos (para

enfermedades en las que hay un periodo de tiempo entre ser susceptible y poder

transmitir la enfermedad), removidos (por ejemplo, para enfermedades que confieren

resistencia), en cuarentena, entre otros. Los flujos entre estos grupos o compartimentos

dependen de las suposiciones que se realicen en el modelo en cuanto a transmisión de la

enfermedad.

En algunos casos se incluyen dinámicas vitales en estos modelos, es decir, términos que

involucren el nacimiento y la muerte de individuos en los diferentes compartimentos. La

adición de estos términos puede llevar a un aumento considerable en la complejidad del

modelo pero pueden ser necesarios para analizar de manera correcta enfermedades en

periodos de tiempo largos comparados con la vida media de los individuos ya que en

estos casos el tamaño de las poblaciones puede estar variando de manera considerable.

Es común encontrar en la literatura modelos de compartimentos determinísticos. Sin

embargo, este tipo de modelos admite el análisis estocástico: es posible incluir funciones

de probabilidad en los diferentes mecanismos de transmisión de la enfermedad de tal

manera que se pueda tener en cuenta la incertidumbre en las diferentes variables

involucradas como tasas de transmisión, de nacimiento y de muerte. Usualmente esta

aleatoriedad se maneja mediante cadenas de Markov, es decir, con una discretización

temporal.

PLANTEAMIENTO DEL MODELO

En el caso del modelo que se plantea para la enfermedad de Chagas en su ciclo silvestre,

se supone que sólo hay dos especies involucradas: los hospederos (D. marsupialis) y los

vectores (R. prolixus). Ambos se separarán en dos compartimentos: los susceptibles que

son los que aún no han adquirido la enfermedad, y los infectados. Debido a que se busca

realizar un análisis a largo plazo de la enfermedad, es necesario involucrar dinámicas


6

vitales en el modelo. Un primer esquema de los compartimentos y los flujos asociados a

los mismos se puede observar en la Figura 1.

Figura 1: Esquema de los compartimentos y de los flujos para el modelo de la enfermedad de Chagas que

involucra las cuatro formas de transmisión (vectorial, vertical, oral, anal).

De esta manera, los hospederos se representan por la letra H mientras que los vectores,

por la letra V. Las poblaciones totales de ambos en el área de estudio son y

respectivamente. Estas dos poblaciones se dividieron en dos grupos: los susceptibles (S)

y los infectados (I). De esta manera, en el modelo se manejan cuatro diferentes

compartimentos entre los cuales se presentan flujos correspondientes a las diferentes

formas de transmisión de la enfermedad previamente mencionadas: vectorial, vertical,

anal y oral.

DINÁMICAS VITALES

Se inicia entonces suponiendo un crecimiento logístico de la población tanto para

hospederos como vectores. Según esta suposición, el número de nuevos individuos en

una población está dado por la ecuación en donde r es la tasa de crecimiento


7

intrínseco, K es la capacidad de carga y N es el tamaño total de la población. Aplicando

esto para los diferentes compartimentos se tendría:

- Nacimiento de hospederos no infectados de madres hospederas no infectadas:

(

)

- Nacimiento de hospederos no infectados de madres hospederas infectadas:

(

)

Donde p es la fracción de hijos de madres infectadas que resultan susceptibles.

- Nacimiento de hospederos infectados de madres hospederas infectadas

(transmisión vertical):

(

)

Donde q es la fracción de hijos de madres infectadas que resultan infectados (lo

que implica que se cumple la igualdad ).

- Nacimiento de vectores (no se reporta transmisión vertical en este caso):

(

)

En cuanto a la muerte de individuos, se suponen que la tasa de muerte per cápita para

infectados y susceptibles es la misma, tanto para vectores como para hospederos. Esto

implica que se está suponiendo que un hospedero o vector infectado tendrá un tiempo de

vida medio en promedio igual al de los susceptibles o no infectados. De esta manera, la

tasa de muerte para los cuatro compartimentos sería:


8

TASAS DE TRANSMISIÓN

Todas las tasas de transmisión se pueden plantear de la siguiente forma [2]:

(

)

Donde:

- Un miembro promedio de la población hace contacto suficiente con miembros

por unidad de tiempo. Estos contactos son los adecuados para la transmisión de la

enfermedad.

- La probabilidad de que el miembro con el que se haya tenido el contacto sea

susceptible (es decir, que sí se haya transmitido la enfermedad) es .

- es el número de miembros de la población que están infectados.

También se pueden expresarse de la siguiente forma, la cual resulta de mayor practicidad

en algunas ocasiones:

(

)

Donde:

- La probabilidad de que el miembro con el que se haya tenido el contacto sea

infectado (es decir, que sí haya adquirido la enfermedad) es .


9

- es el número de miembros de la población que son susceptibles.

Entonces, planteándolo para las diferentes formas de transmisión involucradas:

1. Para la transmisión vectorial de vectores a hospederos (HV):

Con como la tasa de contacto de un vector con hospederos para picaduras

(contactos efectivos para transmitir la enfermedad de un vector infectado a un

hospedero susceptible).

2. Para la transmisión vectorial de vectores a hospederos (VH):

Con como la tasa de contacto de un hospedero con vectores para picaduras

(contactos efectivos para transmitir la enfermedad de un hospedero infectado a un

vector susceptible).

Sin embargo, resulta más conveniente para cálculos posteriores dejar expresada

esta tasa de transmisión en términos de tasa de contacto de un vector con

hospederos, como el caso de la transmisión HV:

Con como la tasa de contacto de un vector con hospederos para picaduras

(contactos efectivos para transmitir la enfermedad de un hospedero infectado a un

vector susceptible).

3. Para la transmisión oral (e por ‘eating’):


10

Con como la tasa de contacto de un vector con hospederos para alimentación

(contactos efectivos para transmitir la enfermedad de un vector infectado a un

hospedero susceptible por la vía oral).

Sin embargo, resulta más conveniente para cálculos posteriores dejar expresada

esta tasa de transmisión en términos de tasa de contacto de un hospedero con

vectores:

Con como la tasa de contacto de un hospedero con vectores para

alimentación (contactos efectivos para transmitir la enfermedad de un vector

infectado a un hospedero susceptible por la vía oral).

4. Para la transmisión anal (a por ‘anal’):

Con como la tasa de contacto de un hospedero con otros hospederos para

transmisión anal (contactos efectivos para transmitir la enfermedad de un

hospedero infectado a un hospedero susceptible por la vía anal).

Cabe decir que ya que a pesar de que son tasas de contacto entre un vector

con hospederos por picaduras, estos contactos deben ser efectivos para transmitir la

enfermedad y la efectividad de dicha transmisión es diferente si se trata de hospedero a

vector (VH) o de vector a hospedero (HV). Esto puede entenderse mejor si se tiene en

cuenta que para la transmisión de hospedero a vector se requiere que el excremento del

pito entre en contacto con la herida, lo cual intuitivamente debe ser más complicado que

la infección de un vector por picadora, que sólo requiere que sangre infectada sea

ingerida por el pito.


11

Obsérvese que para todas las transmisiones que involucra contacto entre vector y

hospedero, el término C es función del tamaño de las poblaciones de ambas especies.

Sin embargo, como en la transmisión anal sólo se presenta entre hospederos, es natural

que sólo dependa de .

Si se supone que las tasas de contacto son proporcionales al tamaño de la población, es

decir, suponiendo ley de acción de masas, se puede definir un coeficiente de transmisión

como [5]:

Si se despeja de esta ecuación el término C se puede observar que efectivamente es

directamente proporcional al tamaño de la población:


Entonces:

2. Para la transmisión vectorial de hospederos a vectores (VH):

Entonces:


12

3. Para la transmisión oral:

Entonces:

4. Para la transmisión anal:

Entonces

Una alternativa es no usar la ley de acción de masas sino tener en cuenta la posible

saturación en las formas de transmisión vectoriales. Una manera de hacer esto es tomar

la dependencia entre la tasa de contacto y el tamaño de la población como una cinética

de saturación (Michaelis-Menten) [2]:

Donde a es la tasa máxima de contacto que puede haber y b es una constante que indica

qué tan rápido se llega a la saturación llamada usualmente “constante de afinidad” (entre

más grande sea b, más lentamente se llega a la saturación, y viceversa). La Figura 2

ilustra el comportamiento del término C a medida que aumenta el tamaño de la población.


13

Figura 2: Comportamiento de la ecuación de Michaelis-Menten, una ecuación usada para tener en cuenta la

saturación de enzimas con sustrato. En esta gráfica, [A] representa la concentración de sustrato y v, la

velocidad de reacción. En el caso de la aplicación a tasas de transmisión, el eje horizontal correspondería a

una población, y el eje vertical al coeficiente de transmisión. Tomada de [6].

Esta alternativa sería útil para tener en cuenta que se puede llegar a un punto en el que el

tamaño de la población es tan grande (es decir, se está en la zona de saturación) que

ante un aumento de la misma un miembro promedio seguiría teniendo aproximadamente

el mismo número de encuentros por unidad de tiempo. Esto tendría sentido para la

transmisión vectorial, en la que un aumento de la población de hospederos cuando ésta

ya es suficientemente grande no implicaría un aumento en el número de encuentros que

tendría con un vector (se puede interpretar como una saturación de los pitos, en la que

éstos ya han conseguido todo el alimento que requieren y no realizarán más piquetes aún

si hay una gran disponibilidad del mismo). Por otra parte, no sería aplicable a la

transmisión oral ya que la ingesta de pitos por parte de hospederos se puede considerar

de tipo oportunista, es decir, no tendría sentido hablar de saturación.


Entonces


14

2. Para la transmisión vectorial de hospederos a vectores (VH):

Entonces:

El principal inconveniente con ésta forma de expresar las tasas de transmisión vectoriales

es que requiere de un parámetro más que al usar la ley de acción de masas. Como son

dos vías vectoriales (de hospedero a vector y viceversa) se tendrían entonces dos

parámetros más que deberían ser determinados experimentalmente o encontrados en

literatura. Además, puede que la dinámica antes de la saturación no sea de gran

importancia ya que la mayor parte de los análisis a realizar serán en el estado

estacionario, donde el tamaño de la población ya es constante y se encuentra en un valor

cercano a la capacidad de carga.

ECUACIONES DEL MODELO

Ya teniendo definidas las dinámicas vitales de hospederos y vectores, además de las

tasas de transmisión de la enfermedad, es posible escribir las ecuaciones que describen

el modelo. Éstas son ecuaciones diferenciales que describen el cambio del tamaño de

cada una de las cuatro clases tenidas en cuenta (infectados y susceptibles de vectores y

hospederos):

(

) (

)

(

)


15

(

)

Con:

Los parámetros del modelo serían son:

p: Fracción de los hijos de madres hospederas infectadas que nacen susceptibles.

q: Fracción de los hijos de madres hospederas susceptibles que nacen infectados.

: Tasas de crecimiento intrínsecos de hospederos y vectores (para el crecimiento

logístico).

: Capacidades de carga de hospederos y vectores (para el crecimiento logístico).

: Tasa de muerte de hospederos y vectores.

Coeficiente de transmisión vectorial de vectores a hospederos.

Coeficiente de transmisión vectorial de hospederos a vectores.

Coeficiente de transmisión oral.


16

Coeficiente de transmisión anal.

Se tienen entonces doce parámetros, una relación adicional ( ), cuatro incógnitas

( ) y cuatro ecuaciones diferenciales de primer orden no lineales.

Figura 3: Modelo de los compartimentos y de los flujos para el modelo de la enfermedad de Chagas que

involucra las cuatro formas de transmisión (vectorial, vertical, oral, anal).

ESTUDIO ANALÍTICO

Luego del planteamiento del modelo se prosiguió a realizar un análisis del mismo,

centrándose no sólo en aspectos matemáticos como la determinación de los puntos

estacionarios y de su estabilidad sino también en la epidemiología de la enfermedad para

lo cual se halló la expresión algebraica correspondiente al número reproductivo. También

se realizó un estudio de los parámetros del modelo, iniciando con una revisión

bibliográfica para encontrar estimados de sus valores y finalmente llevando a cabo un

análisis de sensibilidad para determinar cuáles eran los que tenían mayor efecto en la

proporción de hospederos infectados.


17

IMPLEMENTACIÓN EN MATLAB

El modelo se implementó en MATLAB para realizar un análisis tanto en estado

estacionario como de la evolución de la enfermedad a lo largo del tiempo. El elemento

temporal se resolvió usando un ODE solver (código para resolver ecuaciones

diferenciales ordinarias de forma simultánea), mientras que para la sección de estado

estacionario se escribió el código que permitiera calcular elementos como el número

reproductivo, la fracción de hospederos infectados, la sensibilidad de dicha fracción ante

los diferentes parámetros (medida mediante un índice llamado número de condición). La

mayoría de las figuras que se presentarán en las siguientes secciones se obtuvieron

mediante esta herramienta. Cabe decir que todo el código usado se encuentra anexo a

este documento.


18

RESULTADOS

PARÁMETROS DEL MODELO

La estimación de los parámetros del modelo se realizó a partir de información bibliográfica

acerca del ciclo vital de las dos especies y de las diferentes cuatro diferentes formas de

transmisión. La Tabla 1 contiene el compilado de los valores de los parámetros obtenidos

a partir de las diferentes fuentes usadas. En muchas de estas fuentes se tienen valores

máximos y mínimos para los diferentes valores usados en las estimaciones de los

parámetros, por lo que se tomaron en general los valores medios.

Tabla 1: Parámetros usados en el modelo de compartimentos. Obsérvese que para los parámetros

relacionados con las dinámicas vitales se tienen valores únicos, mientras que para los coeficientes de

transmisión vertical se maneja un rango de diferentes órdenes de magnitud.

Par. Definición Unidades Estimado Referencias

Tasa reproductiva de D. marsupialis

⁄ 6,4 [7], [8], [9]

Tasa de mortalidad de D. marsupialis

⁄ 0,4 [8], [9]

Capacidad de carga de D. marsupialis

1,6 [7], [8], [9]

Tasa reproductiva de los R. prolixus

⁄ 77,76 [10], [11], [12]

Tasa de mortalidad de R. prolixus

⁄ 0,5 [11], [12]

Capacidad de carga del vector R. prolixus en el ciclo silvestre

140,91 [10], [11], [12]

Coeficiente de transmisión vectorial de vector a hospedero

⁄ 10

-3,5

(10-5

- 10-2

) [13]

Coeficiente de transmisión vectorial de hospedero a vector

⁄ 10

-0,5

(10-1

– 1) [13]

Coeficiente de transmisión oral

⁄

Coeficiente de transmisión anal

⁄

Fracción de los hijos de madres hospederas infectadas que nacen infectados (transmisión vertical)

-


19

DINÁMICAS VITALES

Se comenzó con los parámetros relacionados con las dinámicas vitales de ambas

especies. Tanto para hospederos como para vectores, teniendo en cuenta las

suposiciones de crecimiento logístico y tasa de muerte proporcional al tamaño de la

población, se cumple la ecuación:

(

)

Donde es la tasa de crecimiento intrínseco, es la capacidad de carga y es la tasa de

muerte per cápita.

Hospederos

Para los hospederos, el cálculo de se realizó teniendo en cuenta que: en promedio los

didélfidos se reproducen 2 veces al año [8] [13], las madres son capaces de dar a luz y

mantener a una camada de siete crías [7] [9], tienen una expectativa de vida de 2.5 años

en los cuales 2 son de madurez sexual completa:

Para la tasa de muerte per cápita, se tomó la siguiente relación:

Ya con la tasa de muerte per cápita y la tasa de crecimiento intrínseco, se puede

determinar el valor de la capacidad de carga evaluando la población en estado

estacionario:


20

(

)

Donde es la población de hospederos en el equilibrio. Si se trabaja con la densidad de

hospederos (usualmente se encuentra uno o dos didélfidos por palma, por lo que en

promedio es 1.5) [14]:

Vectores

En cuanto a los vectores, se realizó un procedimiento similar, aunque para el cálculo de

se tuvo en cuenta que: una hembra puede depositar aproximadamente 600 huevos por

año de madurez sexual, la expectativa de vida es de 2 años en los cuales 1.44 son

capaces de reproducirse [10] [11] [12], el 60% de los huevos eclosionan y sólo el 60% de

éstos llegan a la vida adulta [14]:

Para la tasa de muerte per cápita, se volvió a usar la siguiente relación:


21

Ya con la tasa de muerte per cápita y la tasa de crecimiento intrínseco, se puede

determinar el valor de la capacidad de carga evaluando la población en estado

estacionario:

(

)

Donde es la población de vectores en el equilibrio. Si se trabaja con la densidad de

vectores, teniendo en cuenta que en promedio se encuentran entre 80 y 200 vectores en

una palma [14] (valor medio de 140):

COEFICIENTES DE TRANSMISIÓN

En cuanto a las formas de transmisión, se inició con la estimación de los coeficientes de

transmisión vectorial de hospederos a vectores y viceversa. Posteriormente, se determinó

el parámetro relativo a la transmisión vertical y finalmente se realizó un estimativo del

coeficiente de transmisión oral y anal.

Transmisión vectorial

Para la determinación de los dos coeficientes correspondientes a la transmisión vectorial,

se usaron las siguientes expresiones:


22

Donde:

: indicador del número de encuentros entre un vector y un hospedero en la forma de

picaduras. Es una medición de la eficacia del vector buscando al hospedero.

: indicador de la probabilidad de que un encuentro entre un vector infectado con un

hospedero susceptible resulte en la infección de este último (por vía vectorial, es decir,

picadura y contacto de las heces del vector con la herida).

: indicador de la probabilidad de que un encuentro entre un vector susceptible con un

hospedero infectado resulte en la infección del vector, lo cual se presenta cuando con la

picadura el parásito que se encuentra en la sangre del didélfido entra al tracto digestivo

del insecto.

Si se hace un análisis dimensional de y , se obtiene que deben tener las

siguientes unidades:

[

] [ ]

[ ]

[ ]

[

] [ ]

[ ]

[ ]

Teniendo en cuenta estas unidades y el significado de , y , se plantaron las

dimensiones de estos tres parámetros:

[ ]

[ ]

[ ]

El planteamiento de las dimensiones de estos parámetros facilita enormemente la

estimación de los coeficientes y ya que de esta manera se puede tener una guía


23

de lo que debe calcularse a partir de la información presente en la bibliografía. El

parámetro más sencillo de calcular es o el indicador de encuentros entre vector y

hospedero para picaduras: se ha reportado que un vector puede sobrevivir sin alimentarse

hasta seis semanas y que la tasa de alimentación promedio de los mismos es de uno

cada tres semanas [14]. Por lo tanto:

Para y , es decir, los indicadores de eficiencia de transmisión de la enfermedad con

la picadura, la estimación se realiza determinando el número de picaduras que serán

necesarios para transmitir la enfermedad de un vector a un hospedero y viceversa. Estos

valores no se encuentran en la literatura investigada sino que fueron estimados usando

órdenes de magnitud a criterio del autor teniendo en cuenta factores como la gran

dificultad de trasmitir la enfermedad de vector a hospedero versus la relativa facilidad de

la transmisión hospedero a vector: en la primera, es necesario que las heces del insecto

entren en contacto con la herida, mientras que en la segunda, sólo se requiere que la

sangre ingerida por el vector contenga al parásito.

Entonces, para se supuso que se requerían entre 1000 y 100000 piquetes para que un

hospedero resultara infectado, reflejando así la dificultad propia de esta vía de

transmisión. En cuanto a , se esperaría que su valor fuera en todo caso menor al de :

se estimó que se necesitarían entre 10 y 100 piquetes para que el hospedero infectara al

insecto. De esta manera:


24

Por lo tanto, los coeficientes de transmisión serán:

Teniendo en cuenta la gran incertidumbre en la estimación de estos coeficientes, se dejan

expresados sólo en términos de sus órdenes de magnitud:

Para los cálculos realizados posteriormente en los que era necesario tomar un valor fijo

de estos coeficientes de transmisión se tomó el punto medio logarítmico, es decir:


25

Transmisión vertical

Los dos parámetros que se utilizan en el modelo para tener en cuenta esta forma de

transmisión son p y q, los cuales cumplen la relación . representa la fracción

de los hijos de una hembra hospedera infectada que resultan infectados en el nacimiento.

A pesar de que en algunas referencias bibliográficas se menciona esta forma de

transmisión, en ninguna se tienen resultados concretos de mediciones de hijos infectados

e hijos susceptibles para camadas de didélfidos.

Transmisión anal y oral

Finalmente, para los últimos dos coeficientes de transmisión correspondientes a las

formas de transmisión anal y oral ( y ), se realizó un procedimiento similar

separando dicho coeficiente en dos términos relacionados con la probabilidad del

encuentro y con la probabilidad de la transmisión:

En donde:

: indicador del número de encuentros que tiene un hospedero con vectores para

alimentarse de ellos.

: indicador del número de encuentros entre dos hospederos que lleven a que uno de

ellos expela el contenido de sus glándulas anales (condiciones de gran estrés).

: indicador de la probabilidad de que un encuentro entre un hospedero susceptible con

un vector infectado resulte en la infección del primero por la vía oral, es decir, que el

didélfido consuma al insecto y el parásito pase del tracto digestivo al torrente sanguíneo.

: indicador de la probabilidad de que un encuentro entre dos hospederos, uno de ellos

infectado y el otro susceptible, se dé teniendo en cuenta que dicho encuentro debe ser de

gran estrés (como lucha por el territorio).


26

El principal problema con estos parámetros es que no se encontró ninguna referencia

científica en la que se tuvieran resultados experimentales para poder estimarlos. Sin

embargo, se deja enunciado a continuación un procedimiento para poder determinar

aunque sea el orden de magnitud en el que se encuentran a partir de mediciones en

campo futuras:

Al igual que con la forma de transmisión vectorial, lo más conveniente es determinar las

dimensiones que deben tener los coeficientes de transmisión y los parámetros en los que

se separaron:

[

] [ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[

] [ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

Los valores de , , y se estimarían así:

1. es el número de vectores que un hospedero ingiere por unidad de tiempo.

2. es el número de encuentros que tiene un hospedero con otro hospedero que

resultan en una condición de estrés bajo la cual se expela el contenido de las

glándulas anales.

3. es el inverso del número de vectores infectados que deberá ingerir un

hospedero susceptible para que éste resulte infectado.

4. es el inverso del número de encuentros entre dos hospederos (uno infectado y

otro susceptible) que son necesarios para que bajo la condición de estrés el


27

infectado transmita la enfermedad al susceptible mediante los fluidos expelidos por

las glándulas anales.

Teniendo en cuenta que de las cuatro formas de transmisión que se incluyen en el modelo

sólo de la vertical se tiene cierto nivel de certeza en la estimación de sus parámetros, se

continuará el análisis del modelo teniéndola en cuenta únicamente. Es decir, para lo que

resta del presente documento se supondrá que . Por lo tanto, las

ecuaciones resultantes del modelo son:

(

)

(

)

ANÁLISIS EN ESTADO ESTACIONARIO

La determinación de los puntos estacionarios se realiza igualando las cuatro ecuaciones

diferenciales del modelo a 0 y resolviendo el sistema no lineal resultante. Como se había

dicho anteriormente, las ecuaciones que se usarán son en las que no se tienen en cuenta

las formas de transmisión vertical, oral y anal:

(

)


28

(

)

Si se suman las dos primeras ecuaciones, es decir, las correspondientes a los

hospederos:

(

)

[ (

) ]

De acá se obtienen dos posibles soluciones:

1. , que no es de interés realmente ya que implicaría que no hay hospederos.

2. (

)

(

)

Donde:

Por otra parte, si se suman las ecuaciones correspondientes a los vectores:


29

(

)

(

)

[ (

) ]

De acá se obtienen dos posibles soluciones:

1. , que no es de interés realmente ya que implicaría que no hay vectores.

2. (

)

(

)

Donde:

Retomando la ecuación correspondiente a

:


30

Pero :

De acá se obtienen diferentes soluciones:

1. Si

Es decir, si

cuando , o si cuando ( o

):

2. Si

Es decir, si

cuando , o si cuando ( o

). En este caso se tendría que:

Donde se obtienen tres diferentes soluciones.

2.1. Si :

Lo que se cumple si o si (o ambas).


31

2.2. Si :

Lo que se cumple si o si (o ambas).

2.3. Si :

De acá se obtienen entonces 2 soluciones:

2.3.1. Si

2.3.2. Si

Es decir, si

cuando , o si cuando

( o ).

Por último, retomando la ecuación correspondiente a

:

Pero :

1. Si , entonces

:


32

[ ]

De acá se tiene que:

1.1.

1.2.

1.2.1. Si , es decir si :

Entonces se debe cumplir que:

1.2.2. Si , es decir, si

Entonces:

De estos puntos estacionarios, el de verdadero interés es este último, es decir:


33

Sin embargo, también sería de interés el otro encontrado, que corresponde a una

población de vectores y hospederos libre de la enfermedad:

Sólo se tienen en cuenta estos dos porque los otros determinados en el proceso

algebraico consideran condiciones que no se cumplen en la naturaleza, como tasas de

muerte, coeficientes de transmisión, tasas de crecimiento intrínseco y capacidades de

carga negativas o iguales a 0. Cabe decir que si se tuvieran en cuenta las otras formas de

transmisión, se tendría una ecuación de segundo orden a la hora de determinar el valor

de (es decir, de la forma ) debido específicamente a la forma de

transmisión anal, en la que interactúan los dos compartimentos de los hospederos.

También, es importante destacar que a partir de los valores de e se puede

determinar por completo todo el modelo, ya que:

Donde:

(

) (

)

ESTABILIDAD DE LOS PUNTOS ESTACIONARIOS

Para determinar la estabilidad de los dos puntos estacionarios de interés, se analiza la

matriz Jacobiana del sistema:


34

(

)

Donde los términos y no son más que las dos ecuaciones a las que se reduce el

sistema luego de que se supone estado estacionario:

En vez de remplazar las derivadas de estas ecuaciones en la definición de la matriz , lo

que se realizará es un análisis general para cualquier matriz que represente un sistema

autónomo lineal 2 x 2 como el que se tiene en el modelo de la enfermedad. Por lo tanto,

se define una matriz general que será igual a:

(

)

La estabilidad de los puntos estacionarios del sistema representado con la matriz puede

determinarse evaluando los valores propios de dicha matriz en dicho punto. Dependiendo

de las características de estos valores propios se puede establecer si un punto

estacionario es:

1. Estable: si todos los valores propios tienen parte real negativa. Los puntos que

cumplen con esta condición se conocen también como sumideros o “sinks”.

2. Inestable: si alguno de los valores propios tiene parte real positiva. En este caso,

estos puntos se conocen como fuentes o “sources”.

También es posible determinar cómo es el comportamiento de dichos sumideros o fuentes

usando los valores propios:


35

1. Espiral: si los valores propios tienen parte compleja diferente a 0. Esto indica que

el sistema se acerca o aleja del punto estacionario (dependiendo si es un

sumidero o una fuente, respectivamente) con oscilaciones.

2. Real: si los valores propios son reales. En este caso, el sistema se acerca o aleja

del punto estacionario (dependiendo si es un sumidero o una fuente,

respectivamente) sin oscilaciones sino de manera directa.

Los valores propios de esta matriz se definen como los valores que cumplen con la

igualdad:

Donde es la matriz identidad. Aplicando esta definición a la matriz se pueden calcular

los valores de que hacen que esta igualdad se cumpla:

(

)

Pero y corresponden a la traza ( ) y al determinante ( ) de la matriz

respectivamente, por lo que:

( √ )

De este resultado se pueden obtener conclusiones importantes como:

1. La suma de los dos valores propios es igual a la traza de la matriz original.


36

( √ √ )

2. El producto de los dos valores propios es igual al determinante de la matriz

original:

( √ ) ( √ )

Ya con una ecuación que permite calcular los valores propios a partir de parámetros como

el determinante y la traza de la matriz, se puede plantear un ‘diccionario’ o guía que

describa por completo los posibles comportamientos de estos sistemas lineales

autónomos 2 x 2 [15]:

1. Si , entonces los dos valores propios tienen parte imaginaria diferente

a 0, es decir, son complejos. La parte real es

, por lo que:

{

2. Si , entonces los dos valores propios son reales diferentes:

{

{

{

3. Si , entonces los valores propios son reales repetidos

Una posible representación gráfica de esta clasificación se puede realizar en el plano

traza-determinante, como se puede observar en la Figura 4.


37

Figura 4: Plano traza-determinante con el que es posible clasificar un punto estacionario de un sistema que se

pueda reducir a autónomo lineal 2 x 2. Tomado de [15].

Por lo tanto, lo que se desea es clasificar en lo posible los dos puntos estacionarios en

alguna de las categorías descritas arriba. En general, para el sistema de interés la matriz

Jacobiana, construida con las derivadas de y , es:

(

)

(

)

La traza y el determinante de esta matriz son:


38

Lo primero que se observa es que para cualquier condición de parámetros factible

biológicamente la traza siempre es negativa. Esto reduce inmediatamente el

comportamiento de los puntos estacionarios a sumideros (sinks) y sillas. Ahora, se

calculará la expresión para :

[ ] [

]

[

]

[ ]

De esta expresión, el primer término es positivo (es un número elevado al cuadrado) y el

segundo también ya que en ningún momento la población de infectados será mayor a la

población total tanto para vectores como para hospederos. Por lo tanto, al ser una suma

de dos números positivos, debe ser también un número positivo. Esto implica que

los valores propios del sistema son reales diferentes y que no hay un comportamiento

oscilatorio en el sistema.

Lo que queda entonces es evaluar los dos puntos estacionarios en las expresiones de y

para así clasificar a cada uno en una silla o en un sumidero. Por ejemplo, para el punto

estacionario de :


39

Esto ya se había demostrado anteriormente, ya que en general, para cualquier condición

con significado biológico, es mayor a 0 siempre. En cuanto a :

Para determinar si el signo de se siguió la siguiente aproximación:

Tómese un punto estacionario cualquiera que sea diferente de y que sea

posible en la naturaleza, es decir, que cumpla con . Para este punto se tiene que:

Se puede evaluar el límite de esta expresión cuando tiende a 0 por la derecha (por la

izquierda se tendrían valores de negativos, lo cual no tiene sentido alguno):

Como el denominador en todo caso es mayor que cero, se requiere entonces que para

que se cumpla la igualdad D sea negativo a medida que tienda a 0 (esto se deduce

teniendo en cuenta la dirección en la que se aproxima a 0). Por lo tanto, se puede afirmar

así que para este primer punto estacionario el comportamiento es de silla ( ,

).

Un análisis similar se puede realizar para el segundo punto estacionario (el de real

interés, ya que es en el que se tienen infectados de vectores y hospederos), obteniendo

que , es decir, que se comporta como un sumidero o “sink”. Esto indica que el

verdadero punto estacionario de interés es este último ya lo que se busca es estudiar el

caso real en el que la enfermedad perdura en el tiempo y la silla es un “disease free

equilibrium”.


40

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

El análisis de sensibilidad tiene como objetivo hallar expresiones que cuantifiquen y

permitan comprar entre sí los cambios que tendría la población infectada ante variaciones

de los parámetros del modelo. El procedimiento se inició partiendo de la ecuación para

en el estado estacionario:

De esta ecuación se puede obtener la fracción de hospederos infectados como:

Para llevar a cabo el análisis de sensibilidad se calcula el aporte en el valor de ⁄ al

tener un cambio de un parámetro. Como en el modelo los parámetros se encuentran por

parejas ( ), se podrían comprar estos dos aportes para

determinar en cada uno cuál de las especies tiene un mayor efecto en la proporción de

hospederos infectados. Por lo tanto, se inicia buscando una expresión general que mida el

cambio relativo de ante un cambio de un parámetro cualquiera k:

Primero, usando una de las definiciones básicas en derivadas parciales aplicada a ⁄

y al parámetro k:

(

) (

)

Para facilitar la escritura de las siguientes ecuaciones, se define ⁄ :

Pasando de derivadas a una discretización:


41

Se realiza la reorganización de la ecuación, obteniéndose:

Se define el número de condición del parámetro k ( ) como:

Por lo que se tendría que:

Es decir, este número de condición compara el cambio relativo que tiene la proporción de

hospederos infectados con el cambio relativo realizado sobre el parámetro k, que era lo

que se buscaba. Ahora, se pueden comparar los efectos de dos parámetros comparando

sus números de condición. Para dos parámetros y :

Se puede calcular la razón de estos dos números de condición para determinar cuál de

los dos parámetros produce un cambio relativo en mayor al cambiarlos en la misma

magnitud. Se define esa razón como :


42

Si , se tendría que es mucho más sensible a cambios de , por lo que dicho

parámetro requerirá mucha más precisión en su determinación. Por el contrario, tendría

mayor flexibilidad ya que variaciones en su valor no tendrían tanto efecto en la proporción

de infectados como .

Entonces, lo que se debe realizar con el modelo de la enfermedad es calcular el número

de condición para los ocho parámetros que se tienen y posteriormente calcular las

razones que comparar dichos números de condición. Para facilidades de cálculo en

esta etapa se define:

Donde:

A continuación se encuentran los resultados del cálculo de los números de condición y de

las razones entre ellos. Teniendo en cuenta la extensión de la demostración de estas

expresiones, sólo se adjunta el procedimiento para los parámetros de mayor interés que

son las tasas de transmisión vectorial. También se presentan las gráficas obtenidas en

MATLAB de estos números de condición para los ocho diferentes parámetros.


43

1. Análisis de sensibilidad para las tasas de transmisión:

(

)

(

)

(

)

Figura 5: Número de condición del coeficiente de transmisión para diferentes valores de dicho parámetro.

El rango de análisis de comprende el límite mínimo y máximo obtenido en el proceso de estimación

llevado a cabo. El valor de los otros parámetros es el que se encuentra en la Tabla 1.

(

)

( )

(

)

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01-40

-20

0

20

40

60

80

100

120Number condition of Bhv (INBhv) vs. Bhv for Bvh=10e-0.5=0.31623 1/year/host

Bhv (1/year/vector)

Rela

tive e

ffect

of

Bhv in I

H/N

H o

r IN

Bhv


44

Figura 6: Número de condición del coeficiente de transmisión para diferentes valores de dicho parámetro.

El rango de análisis de comprende el límite mínimo y máximo obtenido en el proceso de estimación

llevado a cabo. El valor de los otros parámetros es el que se encuentra en la Tabla 1.

(

)

(

) (

)

(

)(

)

(

)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50Number condition of Bvh (INBvh) vs. Bvh for Bhv=10e-3.5=0.00031623 1/year/vector

Bvh (1/year/host)

Rela

tive e

ffect

of

Bvh in I

H/N

H o

r IN

Bvh


45

Figura 7: Valores de para diferentes combinaciones de los coeficientes de transmisión vectorial. De nuevo,

ambos parámetros se analizaron en los rangos estimados anteriormente.

2. Análisis de sensibilidad para las tasas de crecimiento intrínseco:

(

)

Figura 8: Número de condición de la tasa de crecimiento intrínseco de los hospederos para diferentes

valores de dicho parámetro. El rango de análisis de va desde 0 (valor mínimo posible, que implica

población nula de hospederos) hasta 10 veces el valor estimado. El valor de los otros parámetros es el que se

encuentra en la Tabla 1.

(

)

5

5

5

5

5

10

10

10

10

15

15

15

20

20

Ratio of INbhv to INbvh vs. Bhv and Bvh (INBhv/INBvh)

Bhv (1/year/vector)

Bvh (

1/y

ear/

host)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 10-3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 10 20 30 40 50 60 7010

-7

10-6

10-5

10-4

10-3

Number condition of rh (INrh) vs. rh for rv=77.76 1/year

rh (1/year)

Rela

tive e

ffect

of

rh in I

H/N

H o

r IN

rh


46

Figura 9: Número de condición de la tasa de crecimiento intrínseco de los vectores para diferentes valores

de dicho parámetro. El rango de análisis de va desde 0 (valor mínimo posible, que implica población nula

de hospederos) hasta 10 veces el valor estimado. El valor de los otros parámetros es el que se encuentra en

la Tabla 1.

3. Análisis de sensibilidad para las tasas de muerte:

[ (

)]

Figura 10: Número de condición de la tasa de muerte de los hospederos para diferentes valores de dicho

parámetro. El rango de análisis de va desde 0 (valor mínimo posible, que implica que no hay muertes en la

población) hasta el valor estimado de (si la tasa de muerte es mayor a la tasa de crecimiento intrínseco, la

población de hospederos nunca crecería). El valor de los otros parámetros es el que se tiene en la Tabla 1.

0 100 200 300 400 500 600 700 80010

-4

10-3

10-2

10-1

Number condition of rv (INrv) vs. rv for rh=6.4 1/year

rv (1/year)

Rela

tive e

ffect

of

rv in I

H/N

H o

r IN

rv

0 1 2 3 4 5 6 7-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0Number condition of dh (INdh) vs. dh for dv=0.5 1/year

dh (1/year)

Rela

tive e

ffect

of

dh in I

H/N

H o

r IN

dh


47

[

(

)]

Figura 11: Número de condición de la tasa de muerte de los vectores para diferentes valores de dicho

parámetro. El rango de análisis de va desde 0 (valor mínimo posible, que implica que no hay muertes en la

población) hasta el valor estimado de (si la tasa de muerte es mayor a la tasa de crecimiento intrínseco, la

población de vectores nunca crecería). El valor de los otros parámetros es el que se encuentra en la Tabla 1.

(

)

(

)

4. Análisis de sensibilidad para las capacidades de carga:

0 10 20 30 40 50 60 70 80-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0x 10

5 Number condition of dv (INdv) vs. dv for dh=0.4 1/year

dv (1/year)

Rela

tive e

ffect

of

dv in I

H/N

H o

r IN

dv


48

Figura 12: Número de condición de la capacidad de carga de los hospederos para diferentes valores de

dicho parámetro. El rango de análisis de va desde 0 (valor mínimo posible, que implica población nula de

hospederos) hasta 10 veces el valor estimado. El valor de los otros parámetros es el que se encuentra en la

Tabla 1.

(

)

Figura 13: Número de condición de la capacidad de carga de los vectores para diferentes valores de dicho

parámetro. El rango de análisis de va desde 0 (valor mínimo posible, que implica población nula de

vectores) hasta 10 veces el valor estimado. El valor de los otros parámetros es el que se encuentra en la

Tabla 1.

( )

0 2 4 6 8 10 12 14 16-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4Number condition of Kh (INKh) vs. Kh for Kv=140.91 vectors/palm

Kh (hosts/palm)R

ela

tive e

ffect

of

Kh in I

H/N

H o

r IN

Kh

0 500 1000 15000

5

10

15

20

25

30

35

40

45Number condition of Kv (INKv) vs. Kv for Kh=1.6 hosts/palm

Kv (vectors/palm)

Rela

tive e

ffect

of

Kv in I

H/N

H o

r IN

Kv


49

NÚMERO REPRODUCTIVO

El número reproductivo es tal vez uno de los resultados más buscados en un análisis

matemático epidemiológico ya que es una medida de la infectividad de la enfermedad. Es

un número adimensional que indica qué tan rápido aumentará el número de infectados

cuando se introduce uno a una población completamente sana. Hay diferentes maneras

de entender el significado de este número pero todas comparten la noción que hay un

límite o “threshold” por encima del cual se podrá presentar una epidemia de la

enfermedad. Este límite es 1: por encima de este valor, el infectado introducido a la

población transmitirá la enfermedad a más de otro individuo; por el contrario, si es menor

a 1, la enfermedad desaparecerá sin presentar un aumento en la población infectada.

Para el cálculo del número reproductivo se sigue el método de la siguiente generación,

[2]. Desde esta aproximación se comienza evaluando el “disease free equilibrium”, es

decir, la condición de equilibrio en la que no hay infectados en ninguna de las

poblaciones. Esto se puede calcular en el modelo haciendo en las

expresiones resultantes de igualar a 0 las ecuaciones diferenciales del modelo. De esta

manera se puede calcular una expresión tanto para como para en dicho equilibrio.

Para diferenciar este punto de los otros determinados anteriormente, se usará un

subíndice ‘0’ para las diferentes variables involucradas.

Al hacer

:

(

)

Pero :

(

)

[ (

) ]


50

De acá se tienen dos posibles soluciones:

1. Que lo cual no es de real interés ya que implica que , es decir, que

no hay hospederos.

2. Que (

) , lo cual al despejar lleva a que (

)

Ahora, al hacer

:

(

)

Pero :

(

)

[ (

) ]

De acá se tienen dos posibles soluciones:

1. Que lo cual no es de real interés ya que implica que , es decir, que

no hay vectores.

2. Que (

) , lo cual al despejar lleva a que (

)

Por lo tanto, el punto de “free disease equilibrium” es (

) (

).

Posteriormente, se separan de las tasas de cambio de infectados de hospederos y

vectores (es decir, de las ecuaciones diferenciales de

y

) los términos que suman y


51

que restan. La función que tiene los términos que suman se llama y la que tiene los que

restan se llama . Para los hospederos:

Para los vectores:

El siguiente paso es la construcción de dos matrices F y V que se definen como:

[

]

[

]

Estas dos matrices no son más que evaluar el cambio que tendrían las funciones y al

realizar un cambio sobre las condiciones de “disease free equilibrium” (obsérvese que

tienen una forma similar a la matriz Jacobiana). Entonces, remplazando los resultados de

las funciones y :

[

]

[

]

[

]


52

[

]

[

]

[

]

Finalmente se construye otra matriz K, que se define como:

Por lo tanto, es necesario determinar la inversa de la matriz V, que es:

[

]

Entonces, la matriz K será:

[

]

[

]

[

]

El valor propio positivo de esta matriz K no es más que el número reproductivo del

modelo. Por lo tanto, siguiendo un procedimiento similar al de la determinación de la

estabilidad de los puntos estacionarios, se puede usar la siguiente ecuación para calcular

los valores propios:

( √ )

Donde T y D son la traza y el determinante de la matriz K, respectivamente:


53

Por lo tanto:

( √

)

Sólo tomando el valor propio positivo y agrupando los términos de hospederos y vectores

se tendría el número reproductivo :

√

√

Se pueden remplazar las expresiones calculadas de y pero no se presenta mayor

simplificación algebraica:

√

(

)

(

)

√ (

) (

)

La dependencia de este número con los dos coeficientes de transmisión puede

observarse en la Figura 14, en la que se varió y dentro de los rangos previamente

descritos.


54

Figura 14: Número reproductivo del modelo planteado de la enfermedad de Chagas (sólo transmisión

vectorial) para las diferentes combinaciones posibles de los coeficientes de transmisión vectorial estimados

previamente. Todo punto de esta gráfica tiene un número reproductivo mayor a 1.

ADIMENSIONALIZACIÓN DEL MODELO PARA FUTUROS TRABAJOS

Una posibilidad para reducir la complejidad del modelo para futuros estudios es

adimensionalizarlo, es decir, expresar las ecuaciones diferenciales en términos de

variables que no tengan dimensiones físicas. Esto se puede realizar usando los siguientes

factores de escala:

- Las capacidades de carga para las poblaciones:

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

- Tasa de crecimiento intrínseco de los hospederos para el tiempo:

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

02

46

810

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Bhv (1/year/vector)

Reproductive number vs. Bhv and Bvh

Bvh (1/year/host)

Repro

ductive n

um

ber

1

1.5

2

2.5

3


55

[

] [ ]

Se definen entonces las variables adimensionalizadas (en letras minúsculas):

En donde:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

Entonces, remplazando en las ecuaciones del modelo:

(

) (

)

(

) (

) (

)

(

)


56

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

Entonces, el modelo adimensionalizado será:


57

Luego de realizar esta adimensionalización, es posible reducir los grados de libertad, es

decir, disminuir el número de parámetros necesarios para determinar de manera completa

el modelo. Si se definen los siguientes nuevos parámetros:

Finalmente se tendría:


58

De esta manera se redujo el número de parámetros de doce a nueve. Igualmente se

tendrían las siguientes relaciones adicionales:

El principal problema de tener este modelo con los grados de libertad reducidos es que el

significado físico de los parámetros se pierde, siendo más complicado leer las ecuaciones

del modelo y extraer su significado directamente.


59

DISCUSIÓN

Uno de los principales problemas que se tuvo con el modelo original que involucraba las

cuatro formas de transmisión es que no sólo aumentaban la complejidad del mismo

(específicamente, como en la transmisión anal interactúan los dos compartimentos de los

hospederos, la ecuación resultante para en el equilibrio es de segundo orden, por lo

que sería necesario llevar a cabo un análisis de la viabilidad de las raíces, ya que sólo

interesarían las que son reales positivas) sino que también llevó a problemas a la hora de

especificar los parámetros del mismo. Esto se debe a que no se encontró reporte

cuantitativo de las formas de transmisión vertical, anal y oral. En general, se encontró que

sí hacen mención de estos mecanismos de transmisión del parásito pero carecen de

mediciones experimentales que soporten dichas observaciones. Es por esto que el

análisis se realizó sobre el modelo simplificado, en el que sólo se tiene en cuenta la forma

de transmisión vertical.

PUNTOS ESTACIONARIOS Y ESTABILIDAD

El modelo cuenta con dos puntos estacionarios, uno que es una silla y otro que es un

sumidero (o “sink”). La silla corresponde al equilibrio en el que no hay presencia de la

enfermedad ni en hospederos ni en vectores, también llamado “disease free equilibrium”.

En general, un punto de silla es aquel en el que la primera derivada es igual a cero y el

signo de la segunda derivada depende de la dirección en la que se evalúe. Esto implica

que si las condiciones iniciales del modelo son libres de enfermedad (es decir, cero

hospederos y vectores infectados), a lo largo del tiempo se mantendrá esta condición si

no se presentan perturbaciones, como la introducción de un individuo infectado al

ambiente.

Por el contrario, si en las condiciones iniciales se tienen infectados o si se presenta una

de estas perturbaciones, el sistema abandonará este punto de equilibrio. Ya que el otro

punto es un sumidero, las soluciones del modelo se dirigirán a él. Esto quiere decir que

como sólo hay dos puntos de equilibrio y uno de ellos es una silla que corresponde al

“disease free equilibrium”, todas las soluciones en las que haya presencia de infectados

deberán tender al sumidero a medida que avanza el tiempo.


60

Como el verdadero interés en el modelo es utilizarlo para estudiar un ambiente con

presencia de la enfermedad, es claro que el sumidero es el punto de real interés. Es por

esto que los siguientes análisis se realizaron sobre la expresión de correspondiente a

éste.

SIGNIFICADO DEL NÚMERO REPRODUCTIVO

Recordando, el número reproductivo ( ) es una “medida del potencial de una

enfermedad para propagarse en una población” [2]. Desde el punto de vista matemático,

lo que busca describir este número es si luego de introducir un individuo infectado a una

población sana en el tiempo se tendrá en un mayor número de infectados. En

general, si es menor a 1, nunca podrá ocurrir una epidemia de la enfermedad. Por el

contrario, un mayor a 1 implica que en promedio un individuo transmite la enfermedad

en promedio a más de un individuo susceptible, es decir, que al introducir al infectado a la

población sana, el número de infectados aumentará inmediatamente [2].

Se obtuvo analíticamente que el número reproductivo de la enfermedad para el modelo

usado es:

√

√ (

) (

)

Se observa que depende de todos los parámetros del modelo y que es proporcional a los

coeficientes de transmisión y a las capacidades de carga. Esto implica que a medida que

se aumenta el número de individuos máximo de hospederos o vectores que puede haber

en el área de estudio (por ejemplo, si se está analizando un área específica y se siembran

más palmas), habrá una mayor tendencia a que se forme una epidemia de la enfermedad.

En la Figura 14 se observa el valor de para el rango de valores de los dos coeficientes

de transmisión, obteniéndose el mayor cuando ambos parámetros son máximos.

Bajo ninguna combinación de ambos coeficientes que se encuentre dentro de estos

rangos estimados anteriormente se obtiene un número reproductivo menor a 1. Esto


61

implica que aún con los menores valores de y , la introducción de un individuo

infectado (hospedero o vector) a una población libre de enfermedad llevará a una

epidemia.

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

En cuanto al análisis de sensibilidad, cuyas expresiones fueron calculadas usando el

concepto del número de condición, se pueden realizar las siguientes observaciones:

1. Para las tasas de crecimiento intrínseco: se observa en las Figuras 8 y 9 que,

tanto para vectores ( ) como para hospederos ( ), el número de condición es

positivo en los rangos analizados (desde hasta un orden de magnitud mayor

al valor estimado anteriormente, es decir, hasta ), lo que significa que el

efecto de aumentar para las dos especies es un incremento de la fracción de

hospederos infectados. Sin embargo, la magnitud de esta respuesta disminuye

cuando se tienen valores muy grandes de la tasa de crecimiento intrínseco:

variaciones de la misma cuando tiene valores cercanos al límite superior del rango

analizado llevarán a cambios más pequeños que aquellos que se obtendrían si se

estuviera en el límite inferior del rango. Es importante destacar que aunque el

comportamiento es similar, el número de condición de es hasta dos ordenes de

magnitud superior que el de ( ). Esto implica que

será necesaria mucha más precisión a la hora de determinar para los vectores

que para los hospederos.

2. Para las tasas de muerte: en este caso, los rangos usados para y van desde

cero hasta los valores de y estimados respectivamente, ya que si estuvieran

por encima de dichos valores, la población tanto de vectores como de hospederos

tendería a cero con el tiempo (resultado directo de la suposición de crecimiento

logístico). A diferencia del punto anterior, se observa en las Figuras 10 y 11 que

para las dos especies, el número de condición es negativo en los rangos

analizados. Esto quiere decir que un aumento en una tasa de muerte implica una

disminución en la fracción de infectados (en general, se tendría una respuesta en

la dirección inversa al cambio realizado sobre el parámetro). La magnitud del


62

número de condición para ambas especies es bastante similar, aunque con se

pueden llegar a valores de de hasta -10, mientras que con el valor máximo

de calculado fue de aproximadamente -1.8. De las figuras también se puede

apreciar que el comportamiento es diferente: aunque el número de condición

disminuye a medida que aumenta la tasa de muerte en ambos casos, para la

dependencia con es aproximadamente lineal, mientras que para se

presentan cambios más fuertes en cuando se tienen valores de cercanos

al valor límite del rango analizado (es decir, ). Esto implica que entre más

pequeñas sean las tasas de muerte comparadas con las tasas de crecimiento

intrínseco, menor efecto tendría la incertidumbre de su determinación en el

resultado final del modelo.

3. Para las capacidades de carga: los rangos analizados de estos dos parámetros

también se basaron en órdenes de magnitud, usando como límite inferior el cero y

como límite superior diez veces más el valor estimado a partir de la información

bibliográfica encontrada. En las Figuras 12 y 13 se observa que para , el

número de condición es cero excepto cuando toma el valor de cero hospederos

por palma (una indeterminación matemática en el modelo logístico). Por el

contrario, para el número de condición es positivo y aumenta a medida que se

aumenta , indicando así que para valores grandes del parámetro, una variación

en el mismo tendrá mucho más efecto en la proporción de hospederos infectados

que cuando el parámetro tome valores más pequeños. La magnitud del número de

condición para varía entre 0 y 45 por lo que hasta ahora es el parámetro con

mayor efecto en la razón ⁄ .

4. Para los coeficientes de transmisión: para estos parámetros ya se tenían

estimados los rangos en los que se podían encontrar. Al realizar el análisis de

sensibilidad en estos intervalos, se encontró que para ambos hay una

discontinuidad que separa una parte positiva de una parte negativa (Figuras 5 y 6).

Para , la sección positiva se encuentra a la derecha de la discontinuidad, es

decir, para valores grandes del parámetro. Por el contrario, para el número de

condición es positivo cuando los valores del parámetro son menores al valor en el

que se encuentra la discontinuidad. Cabe decir que en puntos alejados de esa

disrupción, se tienen en general valores del número de condición bajos,


63

encontrándose en su mayor parte entre -5 y 5. Esto refleja la complejidad de la

dependencia de la fracción de hospederos infectados con los coeficientes de

transmisión, habiendo valores para los cuales la dirección de la variación de dicha

fracción es igual (IN positivo) o contraria (IN negativo) a la del parámetro. En

cuanto a la magnitud de los efectos de cada uno, se puede observar en la Figura X

que en general la magnitud del número de condición de es superior al de .

Esta gráfica se obtuvo a partir de la expresión de , es decir, de la razón entre

⁄ : para todas las combinaciones en los rangos estimados de ambos

parámetros esta razón era mayor a 1. Esto indica que se requiere de una mayor

precisión en la determinación de (la incertidumbre de su valor, por más baja

que sea, tendría un impacto mayor al que tendría una incertidumbre de la misma

magnitud para ).

FRACCIÓN DE HOSPEDEROS INFECTADOS EN EL EQUILIBRIO

Uno de los objetivos de este documento era verificar con el modelo si era posible explicar

sólo con la forma de transmisión vectorial un porcentaje de infección de D. marsupialis del

80% observado en visitas de campo realizadas por el CIMPAT. Esto se puede verificar

evaluando la expresión de ⁄ en los rangos de y estimados anteriormente. El

resultado de este cálculo se tiene en la Figura 15, que es una gráfica de ⁄ vs.

parametrizada para . En esta se observa que incluso con la combinación máx.-máx.

de los dos parámetros, es imposible alcanzar el 80% de infección. También se observa

que para el valor mínimo de no se obtienen resultados con significado biológico (esta

combinación corresponde a la curva de color rojo, la cual no aparece en la gráfica debido

a que corresponde únicamente a valores negativos de la fracción de hospederos

infectados). Claramente, la suposición principal en este punto analizado es que el 80%

observado en campo corresponde a una condición de equilibrio.

Otro aspecto importante de este cálculo fue observar que a medida que se aumenta ,

su efecto va disminuyendo. A pesar de que esto no se evidencia en gran medida en la

Figura 15, en las simulaciones realizadas usando valores de más altos que el valor

máximo estimado a partir de la revisión bibliográfica se observó que las curvas

correspondientes a dichos valores se acercaban más y más a una curva que se


64

encontraba muy cercana a la de color azul. Esto quiere decir que, aunque en general una

variación de tenga mayor efecto en ⁄ que una de , para valores muy grandes

de un aumento en su magnitud no tendrá un efecto significativo en la fracción de

hospederos infectados. Además, esto implicaría la existencia de una cota superior en

⁄ cuando sólo se está variando en el modelo.

Figura 15: Proporción de hospederos infectados para diferentes valores de los dos coeficientes de transmisión

vectorial. El valor de los otros parámetros es el indicado en la Tabla 1.

CONTROL DE LA ENFERMEDAD: ESTRATEGIAS EFECTIVAS.

Ya con el análisis de sensibilidad realizado, es sencillo plantear estrategias para el control

de la enfermedad, debido a que se conocen cuáles parámetros deberán ser disminuidos o

aumentados para reducir el nivel de infección en la población de hospederos. En general,

lo que se busca es alterar los parámetros relacionados con las dinámicas reproductivas

de las especies ya que alterar los coeficientes de transmisión es realmente complicado

teniendo en cuenta que están fuertemente relacionadas con la biología de ambas

especies.

Para las tasas de crecimiento intrínseco ( y ), se encontró que tenían números de

condición positivos para los rangos analizados, por lo que deberían ser reducidos para

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Proportion of infected host for different values of Bhv and Bvh

Bhv = [1 to 10 encounters/year] * [1/100 to 1/100000 bites for transmission] (1/year/vector)

Pro

port

ion o

f in

fecte

d h

ost

IH/N

H

0.01 1/year/host

0.1 1/year/host

1 1/year/host

10 1/year/host


65

disminuir ⁄ . Sin embargo, teniendo en cuenta que el número de condición de era

aproximadamente 100 veces mayor que el de se recomendaría centrar los esfuerzos

en el primero. Una forma de reducir este parámetro en campo es el uso de insecticidas

que disminuyan el número de huevos que eclosionan o el porcentaje de estos huevos que

llega a la vida adulta.

El uso de insecticidas también puede llevar a un aumento de la tasa de muerte de los

vectores, . En el análisis de sensibilidad se había encontrado que el número de

condición de ambas tasas de muerte es negativo, indicando que aumentar sus valores

lleva a la reducción de la razón ⁄ . Claramente, también se puede buscar un aumento

en la tasa de muerte de los hospederos, pero en general su efecto es bajo comparado con

el de los vectores (como se vio en las Figuras 10 y 11, la magnitud de puede llegar a

ser 10 veces mayor que la de ).

Otra técnica es reducir la capacidad de carga del vector, , ya que su número de

condición es el más alto entre los parámetros relacionados con las dinámicas vitales de

ambas especies. Teniendo en cuenta que las hembras de estos insectos depositan sus

huevos en la parte alta de las palmas, se podría disminuir la fracción infectada de

hospederos reduciendo la densidad de estas plantas en la zona de interés. Por otro lado,

este resultado confirma la hipótesis de que se debería detener el remplazo de la

vegetación nativa por palma africana para la obtención de aceite de palma y biodiesel, ya

que con esta práctica se estaría aumentando la capacidad de carga de los vectores.

POSIBILIDADES DE MEJORAR EL MODELO

A pesar de que el modelo planteado inicialmente incluye cuatro formas de transmisión de

la enfermedad entre D. marsupialis y R. prolixus que han sido reportadas en la literatura,

cuando se cuente con estimados de los parámetros correspondientes a la transmisión

oral, anal y vertical se podrían hacer simplificaciones en el modelo, descartando las que

virtualmente no tengan un efecto considerable con respecto a las otras. Esto reduciría la

complejidad del modelo, llevando igualmente a resultados satisfactorios. Por ejemplo, al

tener en cuenta la transmisión anal la ecuación para calcular resulta ser de segundo

orden, lo que implica que para determinar los puntos estacionarios con sentido biológico


66

sería necesario realizar un análisis que descartara no solo los valores negativos de sino

también los completos. Por lo tanto, si se observa que la forma de transmisión anal no es

muy relevante para describir la proporción de infectados, el modelo se simplificaría

enormemente ya que se pasaría de tener una ecuación de segundo orden a una de

primer orden para calcular .

También es posible mejorar el modelo planteándolo nuevamente pero sin usar la ley de

acción de masas a la hora de determinar las tasas de infección en vectores y hospederos.

Una posibilidad es usar aproximaciones como la de Michaelis-Menten, como se sugirió en

la sección de metodología, aunque usualmente éstas requieren de una mayor cantidad de

parámetros.


67

CONCLUSIONES

El modelo planteado para la transmisión de la enfermedad de Chagas en su ciclo silvestre

involucró a la especie hospedera D. marsupialis y al vector R. prolixus. El modelo inicial

incluyó cuatro formas de transmisión diferentes: vectorial, vertical, anal y oral. Sin

embargo, teniendo en cuenta que no se encontró información cuantitativa que describiera

las tres últimas formas, se simplificó el modelo para su análisis teniendo en cuenta sólo la

vectorial. Se obtuvo que el número reproductivo de la enfermedad es mayor a 1 en los

rangos posibles de los dos coeficientes de transmisión. También se encontró que el

modelo tiene dos puntos de equilibrio: una silla que es un “disease free equilibrium” y un

sumidero o “sink”. Teniendo en cuenta estos dos resultados, se puede afirmar que la

introducción de un vector o de un hospedero infectado en el área de estudio llevará al

inicio de una epidemia, la cual perdurará en el tiempo.

Para responder a la pregunta de si era posible predecir un 80% de infección en los

hospederos sólo con la forma de transmisión vectorial se evaluó la fracción de

hospederos infectados para los diferentes rangos de los coeficientes de transmisión. Se

encontró que ni siquiera en la combinación máx.-máx. de los dos parámetros era posible

alcanzar dicho porcentaje. Esto sugiere que otras formas de transmisión a parte de la

vectorial tienen un papel en la naturaleza que no debería ser ignorado.

En cuanto al control de la enfermedad, se realizó primero un análisis de sensibilidad de

los parámetros, obteniendo así que los que tienen mayor efecto en la proporción de

hospederos infectados son aquellos relacionados con las dinámicas vitales de los

vectores: tasa de crecimiento intrínseco, capacidad de carga y tasa de muerte de R.

prolixus. Específicamente, la fumigación intensiva con insecticidas (reducción de y

aumento de ) y dejar de remplazar la vegetación nativa por plantas que sirvan como

hábitat para los insectos como las palmas de cera (reducción de ) son dos estrategias

que de forma acoplada llevarían según el modelo a una reducción significativa en el

porcentaje de infección de vectores y hospederos.

Sin embargo, cabe destacar el hecho de que es necesario como trabajo de investigación

futuro acoplar este modelo con uno que involucre el ciclo domiciliario de la enfermedad,


68

es decir, que tenga en cuenta a los seres humanos, a los pitos que se encuentren en el

domicilio y en el peridomicilio, y posiblemente a animales domésticos como perros. De

esta manera se tendría un modelo completo de la enfermedad que permitiría tomar

medidas más precisas para reducir la infección humana con el parásito. Este modelo

debería reflejar el problema enunciado al inicio del documento de programas de

fumigación no efectivos debido a que los vectores permanecen en el peridomicilo.


69

BIBLIOGRAFÍA

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Media Centre, 2010.

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70

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[15] M. W. Hirsch, S. Smale y R. L. Devaney, Differential Equations, Dynamical Systems &

An Introduction to Chaos, San Diego: Elsevier, 2004, pp. 61-64.


71

ANEXO: CÓDIGOS DE MATLAB

Se crearon dos scripts en MATLAB, uno que inicializa los valores de los parámetros y otro en el que

se generan todas las gráficas correspondientes al análisis de sensibilidad y al número reproductivo.

Script para inicializar:

% Script to initialize the values of the parameters p.q = 0.8; p.rh = 6.4; %1/year p.rv = 77.76; %1/year p.kh = 1.6; %hosts/palm p.kv = 140.91; %vectors/palm p.dh = 0.4; %1/year p.dv = 0.5; %1/year p.bhv = 8.8e-3; %1/(year*vect) p.bvh = 876; %1/(year*host) p.bhe = 2e-2; %1/(year*vect) p.bha = 1e-4; %1/(year*vect) p.options = odeset('AbsTol',1e-3,'RelTol',1e-3); p.IC = [3 0 20 1];%Initial values for [Sh,Ih,Sv,Iv]

Script de cálculos:

%% Reproductive number for different values of betahv and betavh p = initialize; bhv = linspace(1e-5,1e-2); bvh = linspace(1e-1,1e1);

Nh=p.kh.*(1-p.dh./p.rh); Nv=p.kv.*(1-p.dv./p.rv); Ro=zeros(100,100); for i=1:100 for j=1:100 Ro(i,j) = ((p.q*p.rh/(p.q*p.rh+(1-p.q)*p.dh))+((p.q*p.rh/(p.q*p.rh+(1-

p.q)*p.dh))^2+(4*Nv*Nh*bvh(j)*bhv(i))/(p.dv*(p.q*p.rh+(1-p.q)*p.dh)))^(1/2))/2; end end figure surf(bhv,bvh,Ro,'EdgeColor','none') title('Reproductive number vs. Bhv and Bvh') xlabel('Bhv (1/year/vector)') ylabel('Bvh (1/year/host)') zlabel('Reproductive number')

figure [C,H]=contour(bhv,bvh,Ro);


72

clabel(C,H) title('Reproductive number vs. Bhv and Bvh') xlabel('Bhv (1/year/vector))') ylabel('Bvh (1/year/host)')

%% Effect of betahv and betavh on the proportion of infected hosts (IH/NH). % Plot of IH/NH vs betahv parametrized by betavh p = initialize; bhv = linspace(1e-5,1e-2); bvh = [1e-2 1e-1 1e0 1e1]; color = {'r','g','k','b','m'}; PHI = zeros(4,100); Nh=p.kh.*(1-p.dh./p.rh); Nv=p.kv.*(1-p.dv./p.rv); figure for i=1:4 num=Nv*Nh.*bvh(i).*bhv-p.dv*p.dh; den=Nh*bvh(i).*(p.dh+Nv.*bhv); PHI(i,:) = num./den; plot(bhv,PHI(i,:),color{i}) hold on end hold off title('Proportion of infected host for different values of Bhv and Bvh') xlabel('Bhv = [1 to 10 encounters/year] * [1/100 to 1/100000 bites for

transmission] (1/year/vector)') ylabel('Proportion of infected host IH/NH') legend(strcat(num2str(bvh(1)),' 1/year/host'),strcat(num2str(bvh(2)),'

1/year/host'),... strcat(num2str(bvh(3)),' 1/year/host'),strcat(num2str(bvh(4)),' 1/year/host')); axis([0 1e-2 -0.1 1])

%% Sensitivy analysis for r's. Analysis of the conditional number of rv and rh p = initialize; rh = linspace(0,10*p.rh); rv = linspace(0,10*p.rv);

for i=1:100 for j=1:100 Nv = p.kv*(1-(p.dv/rv(j))); Nh = p.kh*(1-(p.dh/rh(i))); num = (Nh*Nv*p.bvh*p.bhv - p.dv*p.dh); den = (Nh*p.bvh*(p.dh + Nv*p.bhv)); INrh(i,j) = p.kh*p.dh*p.bvh*(Nv*p.bhv/num-(p.dh+Nv*p.bhv)/den)/rh(i); INrv(i,j) = p.kv*p.dv*Nh*p.bhv*p.bvh*((1/num)-(1/den))/rv(j); end end figure surf(rh,rv,INrh./INrv,'EdgeColor','none') title('Ratio of INrh to INrv vs. rh and rv') xlabel('rh (1/year)') ylabel('rv (1/year)') zlabel('Relative effect of rh to rv in IH/NH or INrh/INrv')

for i=1:100 Nv = p.kv*(1-(p.dv/p.rv));


73

Nh = p.kh*(1-(p.dh/rh(i))); num = (Nh*Nv*p.bvh*p.bhv - p.dv*p.dh); den = (Nh*p.bvh*(p.dh + Nv*p.bhv)); listINrh(i) = p.kh*p.dh*p.bvh*(Nv*p.bhv/num-(p.dh+Nv*p.bhv)/den)/rh(i); end figure semilogy(rh,listINrh); title(strcat('Number condition of rh (INrh) vs. rh for rv=',num2str(p.rv),'

1/year')); xlabel('rh (1/year)'); ylabel('Relative effect of rh in IH/NH or INrh')

for j=1:100 Nv = p.kv*(1-(p.dv/rv(j))); Nh = p.kh*(1-(p.dh/p.rh)); num = (Nh*Nv*p.bvh*p.bhv - p.dv*p.dh); den = (Nh*p.bvh*(p.dh + Nv*p.bhv)); listINrv(j)= p.kv*p.dv*Nh*p.bhv*p.bvh*((1/num)-(1/den))/rv(j); end figure semilogy(rv,listINrv); title(strcat('Number condition of rv (INrv) vs. rv for rh=',num2str(p.rh),'

1/year')); xlabel('rv (1/year)'); ylabel('Relative effect of rv in IH/NH or INrv')

%% Sensitivy analysis for deltas. Analysis of the conditional number of deltav and

deltah. p = initialize; dh = linspace(0,p.rh); dv = linspace(0,p.rv); INdh=zeros(100,100); INdv=zeros(100,100); for i=1:100 for j=1:100 Nv = p.kv*(1-(dv(j)/p.rv)); Nh = p.kh*(1-(dh(i)/p.rh)); num = Nh*Nv*p.bvh*p.bhv - dv(j)*dh(i); den = Nh*p.bvh*(dh(i) + Nv*p.bhv); INdh(i,j) = dv(j)*p.kh*(num*den-

den*(num+dv(j)*dh(i)+dv(j)*Nh*p.rh/p.kh))/(num*den*p.rh*Nh); INdv(i,j) = dv(j)*(num*(num+dv(j)*dh(i))*p.kv/(Nv*p.rv)-

den*(p.kv*(num+dv(j)*dh(i))/(p.rv*Nv)+dh(i))); end end figure surf(dh,dv,INdh./INdv,'EdgeColor','none') title('Ratio of INdh to INdv vs. dh and dv') xlabel('dh (1/year)') ylabel('dv (1/year)') zlabel('Relative effect of dh to dv in IH/NH or INdh/INdv')

for i=1:100 Nv = p.kv*(1-(p.dv/p.rv)); Nh = p.kh*(1-(dh(i)/p.rh)); num = Nh*Nv*p.bvh*p.bhv - p.dv*dh(i);


74

den = Nh*p.bvh*(dh(i) + Nv*p.bhv); listINdh(i) = p.dv*p.kh*(num*den-

den*(num+p.dv*dh(i)+p.dv*Nh*p.rh/p.kh))/(num*den*p.rh*Nh); end figure plot(dh,listINdh); title(strcat('Number condition of dh (INdh) vs. dh for dv=',num2str(p.dv),'

1/year')); xlabel('dh (1/year)'); ylabel('Relative effect of dh in IH/NH or INdh')

for j=1:100 Nv = p.kv*(1-(dv(j)/p.rv)); Nh = p.kh*(1-(p.dh/p.rh)); num = Nh*Nv*p.bvh*p.bhv - dv(j)*p.dh; den = Nh*p.bvh*(p.dh + Nv*p.bhv); listINdv(j)= dv(j)*(num*(num+dv(j)*p.dh)*p.kv/(Nv*p.rv)-

den*(p.kv*(num+dv(j)*p.dh)/(p.rv*Nv)+p.dh)); end figure plot(dv,listINdv); title(strcat('Number condition of dv (INdv) vs. dv for dh=',num2str(p.dh),'

1/year')); xlabel('dv (1/year)'); ylabel('Relative effect of dv in IH/NH or INdv')

%% Sensitivy analysis for carrying capacity. Analysis of the conditional number of

Kv and Kh. p = initialize; kh = linspace(0,p.kh*10); kv = linspace(0,p.kv*10); INkh=zeros(100,100); INkv=zeros(100,100); for i=1:100 for j=1:100 Nv = kv(j)*(1-(p.dv/p.rv)); Nh = kh(i)*(1-(p.dh/p.rh)); num = (Nh*Nv*p.bvh*p.bhv - p.dv*p.dh); den = (Nh*p.bvh*(p.dh + Nv*p.bhv)); INkh(i,j) = p.dv*p.dh/num; INkv(i,j) = kv(j)*(num+p.dh*p.dv)*((1/num)-(1/den)); end end figure surf(kh,kv,INkh./INkv,'EdgeColor','none') title('Ratio of INKh to INKv vs. Kh and Kv') xlabel('Kh (hosts/palm)') ylabel('Kv (vectors/palm)') zlabel('Relative effect of Kh to Kv in IH/NH')

for i=1:100 Nv = p.kv*(1-(p.dv/p.rv)); Nh = kh(i)*(1-(p.dh/p.rh)); num = (Nh*Nv*p.bvh*p.bhv - p.dv*p.dh); den = (Nh*p.bvh*(p.dh + Nv*p.bhv)); listINkh(i) = p.dv*p.dh/num;


75

end figure plot(kh,listINkh); title(strcat('Number condition of Kh (INKh) vs. Kh for Kv=',num2str(p.kv),'

vectors/palm')); xlabel('Kh (hosts/palm)'); ylabel('Relative effect of Kh in IH/NH or INKh');

for j=1:100 Nv = kv(j)*(1-(p.dv/p.rv)); Nh = p.kh*(1-(p.dh/p.rh)); num = (Nh*Nv*p.bvh*p.bhv - p.dv*p.dh); den = (Nh*p.bvh*(p.dh + Nv*p.bhv)); listINkv(j) = kv(j)*(num+p.dh*p.dv)*((1/num)-(1/den)); end figure plot(kv,listINkv); title(strcat('Number condition of Kv (INKv) vs. Kv for Kh=',num2str(p.kh),'

hosts/palm')); xlabel('Kv (vectors/palm)'); ylabel('Relative effect of Kv in IH/NH or INKv'),

%% Sensitivy analysis for betas. Analysis of the conditional number of betahv and

betavh p = initialize; bhv = linspace(1e-5,1e-2); bvh = linspace(1e-1,1e1); Nv = p.kv*(1-(p.dv/p.rv)); Nh = p.kh*(1-(p.dh/p.rh)); INbhv=zeros(100,100); INbvh=zeros(100,100); for i=1:100 for j=1:100 num = (Nh*Nv*bvh(j)*bhv(i) - p.dv*p.dh); den = (Nh*bvh(j)*(p.dh + Nv*bhv(i))); INbhv(i,j) = (num+p.dv*p.dh)*((1/num)-(1/den)); INbvh(i,j) = p.dv*p.dh/num; end end figure meshc(bhv,bvh,INbhv./INbvh) %surf(bhv,bvh,INbhv./INbvh,'EdgeColor','none') title('Ratio of INbhv to INbvh vs. Bhv and Bvh') xlabel('Bhv (1/year/vector)') ylabel('Bvh (1/year/host)') zlabel('Relative effect of Bhv to Bvh in IH/NH or INBhv/INBvh')

figure [C,H]=contour(bhv,bvh,INbhv./INbvh); clabel(C,H) title('Ratio of INbhv to INbvh vs. Bhv and Bvh (INBhv/INBvh)') xlabel('Bhv (1/year/vector)') ylabel('Bvh (1/year/host)')

centerbvh=10^-0.5; for i=1:100


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num = (Nh*Nv*centerbvh*bhv(i) - p.dv*p.dh); den = (Nh*centerbvh*(p.dh + Nv*bhv(i))); listINbhv(i) = (num+p.dv*p.dh)*((1/num)-(1/den)); end figure plot(bhv,listINbhv); title(strcat('Number condition of Bhv (INBhv) vs. Bhv for Bvh=10e-

0.5=',num2str(centerbvh),' 1/year/host')); xlabel('Bhv (1/year/vector)'); ylabel('Relative effect of Bhv in IH/NH or INBhv')

centerbhv=10^-3.5; for j=1:100 num = (Nh*Nv*bvh(j)*centerbhv - p.dv*p.dh); den = (Nh*bvh(j)*(p.dh + Nv*centerbhv)); listINbvh(j) = p.dv*p.dh/num; end figure plot(bvh,listINbvh); title('INbvh vs. Bvv'); title(strcat('Number condition of Bvh (INBvh) vs. Bvh for Bhv=10e-

3.5=',num2str(centerbhv),' 1/year/vector')); xlabel('Bvh (1/year/host)'); ylabel('Relative effect of Bvh in IH/NH or INBvh')

DISEÑO E IMPLEMENTACIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO DEL …

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