DISEÑO DE PILARES TRENZADOS DE SECCIÓN VARIABLE.

DELGADO OLMOS, Angel Humberto (1);MARQUEZ GARCIA, M. Luisa (2)

(1) Universidad de Granada, España E.T.S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, Departamento de Expresión Gráfica Arquitectónica y en la Ingeniería

Correo Electronico: ahdolmos@ugr.es

(2) Universidad de Granada, España E.T.S. Arquitectura, Departamento Matemática Aplicada

Correo Electrónico: mmarquez@ugr.es

RESUMEN

Los pilares de sección variable se adaptan mejor a las necesidades estructurales que requiere su función. Así un pilar cuya sección disminuye con la altura supone un mejor aprovechamiento del material con el que está fabricado.

Por otro lado los pilares compuestos permiten un mejor encauzamiento de las cargas que ha de soportar el pilar y una mayor libertad de diseño en cuanto a la obra de fábrica que trasmite sus cargas al pilar.

Por todas estas razones funcionales así como por el alto contenido estético los pilares compuestos se usan cada vez mas sobre todo en obras en las que el componente estético es esencial..

En la presente ponencia se propone una metodología de diseño de pilares trenzados compuestos por cuatro elementos. Se aportan los algoritmos de generación de estos elementos y se incluye su implementación en ordenador.

Palabras clave: Diseño avanzado, pilares trenzados, modelado de superficies, algoritmos de modelado, implementación de algoritmos.

ABSTRACT

The pillars of variable section adapt better to the structural necessities that it requires their function. A pillar whose section diminishes with the height supposes this way a better use of the material with which is manufactured.

On the other hand the compound pillars allow a better orientation of the loads that must support the pillar and a bigger design freedom as for the factory work that transmits their loads to the pillar.

For all these functional reasons as well as for the high aesthetic content the compound pillars are used every time but mainly in works in those that the aesthetic component is essential..

In the present report he/she intends a methodology of design of braided pillars composed by four elements. The algorithms of generation of these elements are contributed and their implementation is included in computer.

Key words: I design advanced, braided pillars, modeling of surfaces, algorithms of modeling, implementation of algorithms

1. Introducción

El diseño de pilares trenzados requiere en primer lugar la definición de cada uno de los componentes o ¨hilos¨ que van a componer el trenzado.

En esta ponencia se ha partido de la idea de que el área de la sección de cada hilo vaya disminuyendo a medida que se va subiendo por el pilar. Con ello se responde mejor a las necesidades estructurales del pilar como es sabido.

También se ha pretendido dar una gran libertad en cuanto al tipo de sección generándola a partir de seis puntos de control cuya posición relativa es susceptible de variarse lo que permite infinitas posibilidades de diseño.

Cada hilo se forma a partir de dos superficies generadas según el algoritmo que se aporta y el conjunto de los cuatros hilos conforma el pilar trenzado.

La observación de la metodología seguida muestra las infinitas soluciones de diseño a las que se puede llegar por este camino cambiando las posiciones de los puntos y su forma de agrupamiento.

Se han incluido ejemplos de diseño de varios pilares con distintos posicionamiento de los hilos que lo forman para mostrar las posibilidades que ofrece el método.

2. Algoritmo de generación de la superficie

La curva (Figura 1) que pasa por dos puntos P0, y P1 tendrá una ecuación vectorial:

Figura 1

( ) ( ) ( )1

10

it f tii

== ∑=

P Pi

donde las fi(t) son polinomios de Lagrange cuya expresión sería:

( )( )( )

( )

1

0, 21

0,

t t jj j if tit ti jj j i

−∏= ≠=

−∏= ≠

que cumplen:

( )( )

( )1 Si

30 Si

f t i ji j

f t i ji j

= = = ≠

Entrando con los valores de (2) en (1) quedaría que la ecuación de P(t) puesta en forma matricial sería:

( ) ( ) ( )1 1

41 0 1

tt

− =

P P P0 1

Análogamente la curva (Figura 2) que pasa por tres puntos P0, P1 y P2 tendrá una ecuación vectorial:

Figura 2

( ) ( ) ( )2

50

it f tii

== ∑=

P Pi

donde las fi(t) son polinomios de Lagrange cuya expresión sería:

( )( )( )

( )

2

0, 62

0,

t t jj j if tit ti jj j i

−∏= ≠=

−∏= ≠

que cumplen (3)

Entrando con los valores de (6) en (5) quedaría que la ecuación de P(t) puesta en forma matricial sería:

( ) ( ) ( )

21 3 22 4 0 7

1 1 0 1

tt t0 1 2

− = − −

P P P P

Si se efectúa el producto tensorial de la expresión (7) por la (4) se llega, después de hacer operaciones y desglosar los vectores en sus componentes, a que:

( )00 10 01 11 02 12

800 10 01 11 02 12

00 10 01 11 02 12

x acx bcx adx bdx aex bex

y acy bcy ady bdy aey bey

z acz bcz adz bdz aez bez

= + + + + += + + + + +

= + + + + +

Que son las ecuaciones paramétricas de la superficie (Figura 3) que pasa por la red de los puntos Pij i=0,1,2, j=0,1,2,3,4 dados

Figura 3

3. Implementación

La implementación del algoritmo presentado se ha hecho usando el paquete Mathematica y su organigrama sería:

4. Ejemplo 1

En el presente ejemplo se diseñado un pilar trenzado de cuatro hilos en el que la posición de los hilos en la base del pilar es la que muestra la Figura 4. En la parte superior del pilar (Figura 5) los hilos se abren para adoptar una forma cuadrada en cuanto a su posición relativa.

Figura 4. Base del pilar Figura 5 Parte superior del pilar

La figura 6 muestra una perspectiva desde abajo del pilar con sus cuatro hilos en la que se puede observar como los hilos se trenzan. En la base los hilos se solapan según el esquema de la figura 4 para irse despegando y abriéndose hasta llegar en la parte superior del pilar a una disposición sensiblemente cuadrada (Figura 5).

La figura 7 muestra el mismo pilar visto desde arriba en ella se puede apreciar como el pilar se va abriendo hasta que los hilos componentes adoptan en su extremo superior la posición exigida. La forma recuerda estéticamente el tronco de un árbol.

-4-2

024 2468

10

-30

-20

-10

0

-4-2

024-30

-20

-10

0

-4-2024246810

-30

-20

-10

0

246810

-30

-20

-10

0

Figura 6 Vista desde abajo del pilar Figura 7 vista superior del pilar

5. Ejemplo 2

En el presente ejemplo se diseñado un pilar trenzado de cuatro hilos en el que la posición de los hilos en la base del pilar es la que muestra la figura 8. En la parte superior del pilar (Figura 9) los hilos se abren para adoptar una forma cuadrada en la que los hilos aparecen adosados.

Figura 8 Base del pilar Figura 9 Parte superior del pilar

La figura 10 ofrece una vista desde abajo del pilar en la que se puede apreciar como queda. Este tipo de vistas relejan bien los aspectos estéticos del pilar en cuanto están tomadas según los observadores mirarían la obra.

La figura 11 da una vista superior del pilar en la que se ven como los hilos al quedar adosados muestran una disposición adecuada para soportar cargas concentradas en una región pequeña al contrario que en el ejemplo anterior.

-4-2024 246810

-30

-20

-10

0

-4-2024-30

-20

-10

0

-4-2024246810

-30

-20

-10

0

246810

-30

-20

-10

0

Figura 10. Vista desde abajo del pilar Figura 11 Vista superior del pilar

6. Ejemplo 3

En el presente ejemplo se diseñado un pilar trenzado de cuatro hilos en el que la posición de los hilos en la base del pilar es la que muestra la figura 12. En la parte superior del pilar (Figura 13) los hilos se abren para adoptar una forma cuadrada en la que los hilos aparecen adosados.

Figura 12 Base del pilar Figura 13 Parte superior del pilar

La figura 14 muestra una vista superior del pilar en la que se puede apreciar la disposición de los hilos del pilar idónea para servir de soporte a plataformas rectangulares. Esta disposición resulta muy apropiada para su uso en pilares de puentes en los que la sección transversal es bastante menor que la longitudinal.

-10

0

10246810

-30

-20

-10

0

246810

-30

-20

-10

0

Figura 14 Vista superior del pilar

La figura 15 refleja una vista del pilar desde abajo lo que permite dar una idea de cómo es su aspecto estético.

-10

0

10

246810

-30

-20

-10

0

-10

0

10-30

-20

-10

0

Figura 15 Vista desde abajo del pilar

7. Conclusiones

Los pilares compuestos se adaptan mejor a las necesidades estructurales que los pilares simples al permitir unas posibilidades de apoyo muy variables. Si a esto se une la variación de la sección resistente, de acuerdo con las cargas actuantes en cada altura del pilar, la versatilidad del modelo, para adaptarse a las distintos requerimientos, es extraordinaria.

Los pilares de formas trenzadas aportan grandes valores estéticos y están dotadas de una gran belleza.

La metodología que se expone en la ponencia permite generar pilares trenzados de muy diversa forma. Los ejemplos que se han aportado son solo una pequeña muestra de las posibilidades del método. La variación en la posición de los puntos de control de las formas así como su agrupamiento en grupos de seis puntos permite diseñar soluciones muy diversas

La metodología que se ha propuesto permite obtener una representación 3D del modelo y además determina las ecuaciones paramétricas de éste. Todo ello dentro de un programa abierto a distintas posibilidades de los valores que adoptan los parámetros de moldeo.

La obtención de las ecuaciones de las formas diseñadas posibilita un análisis profundo de éstas con motivaciones muy diversas.

Bibliografía

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[5] Delgado Olmos, A. ; ¨Diseño y análisis de formas arquitectónicas singulares. Nuevas tecnologías para su realización¨, Barcelona (España) VIII Congreso Internacional de Expresión Gráfica Arquitectónica, Servei d´Informació, Imatge i Publicacions UPC 2000 . ISBN: 84-7653-743-3

[6] Delgado Olmos, A. ; ¨Formas de sección variable. Una metodología de diseño¨, Sevilla (España) XIII Congreso Nacional de Ingeniería de Proyectos, Secretaría del XIII Congreso Nacional de Ingeniería de Proyectos 1997 . ISBN: 84-88783-30-2

[7] Delgado Olmos, A. ; ¨Carreteras-Obras de Fábrica. Diseño con Formas Singulares¨, Granada (España) I Congreso Andaluz de Carreteras, R.S. Madrid 1998 . ISBN: 84-89875-01-4

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