Diseño de actividades de aprendizaje orientadas al ...
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Diseño de actividades de aprendizaje orientadas al desarrollo del
pensamiento variacional en el contexto de las funciones y ecuaciones trigonométricas
haciendo uso de la GD
Karen Tatiana Gómez Coronado
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Manizales, Colombia
Año 2020
Diseño de actividades de aprendizaje orientadas al desarrollo del
pensamiento variacional en el contexto de las funciones
trigonométricas haciendo uso de la GD
Karen Tatiana Gómez Coronado
Tesis presentada como requisito parcial para optar al título de:
Magíster en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Director:
MS.c Jaider A. Figueroa Flórez
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Ciudad, Colombia
2020
Dedicatoria
A Dios, por permitirme incursionar en esta
bella labor de educar y transformar la vida de
los jóvenes a través de las matemáticas.
A mis padres, por su apoyo y confianza al
emprender este reto personal y profesional.
A mi hermana, por ser ejemplo a seguir en la
práctica docente y por motivarme e emprender
este nivel de formación.
Agradecimientos
Agradecimiento a Dios, por permitirme gozar cada día de su inmenso amor y bondad, a
través de las personas que coloca a mi alrededor y situaciones que vivo.
A mi familia, por apoyarme y motivarme a preservar en los momentos difíciles. Pero
sobre todo, por ser mi motor para esforzarme a dar siempre lo mejor de mí en todo lo que
hago.
A mi tutor Jaider Figueroa, por despertar en mí el interés por el uso del Geogebra como
un recurso altamente valioso dentro del aula. Además, por su gran compromiso y
motivación para la culminación de este proyecto.
A los directivos de la Institución Educativa Ana Elisa Cuenca Lara, por su apoyo para
avanzar en mi cualificación docente.
Resumen
Este trabajo tiene como objetivo el diseño de actividades de aprendizaje que incorporen el
uso y aprovechamiento de las potencialidades de la geometría dinámica (GD)
(especialmente la dinámica entre la exploración y la sistematización) como estrategia de
mediación cognitiva para alcanzar el desarrollo de los procesos ligados al pensamiento
variacional, bajo el contexto de las funciones y ecuaciones trigonométricas. El tipo de
trabajo se enmarca dentro del modelo investigativo de tipo cualitativo, cuyo alcance es de
carácter descriptivo. Como apoyo a los instrumentos metodológicos se diseñaron 18
aplicativos de Geogebra, sobre los cuales se elaboraron 9 talleres de tipo: diagnóstico, de
familiarización, afianzamiento y profundización. Dentro de los resultados del trabajo se
percibe el diseño de actividades de aprendizaje mediadas con instrumentos digitales, cuya
implementación adecuada por parte del docente permite al estudiante fortalecer procesos
asociados al pensamiento variacional tales como: el reconocimiento y comprensión de
variables, el tratamiento y conversión de sistemas de representación semiótica, la
modelación y la generalización en situaciones relacionadas o en contexto con las funciones
y ecuaciones trigonométricas.
Palabras clave: Pensamiento variacional, geometría dinámica, mediador cognitivo,
geogebra, funciones y ecuaciones trigonométricas, actividades de aprendizaje,
representaciones semióticas.
Resumen y Abstract IX
Design learning activities oriented to the development of processes linked
to variational thinking under the context of trigonometric and
equations using GD
Karen Tatiana Gómez Coronado
National university of Colombia
Faculty of Exact and Natural Sciences
Master in Teaching of Exact and Natural Sciences
Manizales, Colombia
Año 2020
X
Abstract
This work aims to design learning activities that incorporate the use and exploitation of the
potentialities of GD (especially the dynamics between exploration and systematization).
Likewise, it implements as a cognitive mediation strategy, to achieve the development of
processes, linked to variational thinking, under the context of trigonometric functions and
equations. In addition, the type of work is framed within the qualitative research model,
whose scope is descriptive. Thus, to support the methodological instruments, 18 Geogebra
applications were designed, which were developed 9 type workshops: diagnosis,
familiarization, strengthening and deepening. That is why, within the results of the work, the
design of learning activities mediated with digital instruments is perceived. Similarly, proper
implementation by the teacher allows the student to strengthen processes associated with
variational thinking, such as: the recognition and understanding of variables, the treatment
and conversion of semiotic representation systems, modeling, and generalization in
situations related to or in context with trigonometric equations and functions.
Keywords: Variational thinking, dynamic geometry, cognitive mediator, geogebra,
trigonometric equations and functions, learning activities, semiotic representations.
XI
Contenido
Pág.
Resumen ........................................................................................................................... VIII
Abstract ................................................................................................................................ X
Lista de figuras ................................................................................................................. XV
Introducción ........................................................................................................................ 1
1. Capítulo I. Horizonte del trabajo ................................................................................ 3
1.1 Descripción y planteamiento del problema............................................................ 3
1.1.1 Descripción del área problemática ..................................................................... 4
1.2 Justificación ............................................................................................................ 7
1.3 Objetivos ............................................................................................................... 11
1.3.1 Objetivo General ............................................................................................... 11
1.3.2 Objetivos específicos........................................................................................ 11
2. Capítulo II. Marco referencial ................................................................................... 13
2.1 Marco epistemológico .......................................................................................... 13
2.2 Marco de antecedentes........................................................................................ 19
2.2.1 Secuencia didáctica para enseñar trigonometría con el sofware Geogebra,
elaborado por María Maroni Lopes en el programa de maestría en Enseñanza en
Ciencias Naturales y Matemáticas en la Universidad Federal de Río Grande del Norte
(UFRN)......................................................................................................................... 19
2.2.2 Caracterización de los niveles de razonamiento de Van Hiele específicos a los
procesos de descripción, definición y demostración en el aprendizaje de las razones
trigonométricas ............................................................................................................ 21
2.2.3 Representaciones semióticas como dispositivos para facilitar el desarrollo del
pensamiento matemático y científico .......................................................................... 22
2.2.4 Los sistemas cognitivos artificiales en la enseñanza de la matemática ......... 23
XII Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
2.2.5 El uso comprensivo de las razones trigonométricas en el planteamiento y
resolución de problemas ............................................................................................. 24
2.2.6 Diseño de una propuesta didáctica en la enseñanza y evaluación de la
trigonometría en el grado 10º, mediada por una plataforma virtual en la Institución
Educativa Orestes Sindicce ........................................................................................ 25
2.2.7 Geogebra, una herramienta para la enseñanza de las razones trigonométricas
en grado décimo en la IED Leonardo Posada Pedraza ............................................. 26
2.2.8 Diseño e implementación de un curso virtual de trigonometría básica utilizando
redes sociales y otras herramientas TIC: estudio de caso en grados undécimo de dos
colegios oficiales de Puerto Asís ................................................................................ 27
2.2.9 Enseñanza de los conceptos básicos de la trigonometría mediante el uso de
tecnología informática ................................................................................................. 28
2.2.10 Ruta de apoyo pedagógico para la enseñanza de geometría y trigonometría, en
el curso ‘Matemáticas básicas’ ................................................................................... 28
2.2.11 Reflexión sobre el marco de antecedentes ..................................................... 29
2.3 Marco teórico ........................................................................................................ 30
2.3.1 Teoría de la educación según Vygotsky .......................................................... 30
2.3.2 Fundamentación cognitiva del currículo de matemáticas ............................... 31
2.3.3 Uso de las tecnologías en el aula .................................................................... 32
2.3.4 Potencial didáctico de la geometría dinámica ................................................. 33
2.3.5 La visualización como recurso ......................................................................... 35
2.3.6 Teorías de la presentación de Raymond Duval............................................... 35
2.3.7 Pensamiento matemático en la estructura curricular de la educación
matemática .................................................................................................................. 39
2.3.8 Pensamiento variacional en la enseñanza aprendizaje de las matemáticas .. 40
2.3.9 Procesos asociados al pensamiento variacional ............................................. 41
2.3.10 Errores y dificultades de los estudiantes ......................................................... 42
2.3.11 Reflexión sobre el marco teórico ...................................................................... 43
2.4 Marco conceptual ................................................................................................. 43
2.4.1 Pensamiento matemático ................................................................................. 44
2.4.2 Procesos asociados a la actividad matemática ............................................... 45
2.4.3 Pensamiento variacional, sistemas algebraicos y analíticos ........................... 46
2.4.4 Representaciones ............................................................................................. 47
2.4.5 Proceso de variación y cambio ........................................................................ 48
Contenido XIII
2.4.6 Modelación ....................................................................................................... 49
2.4.7 Herramientas de medición cognitiva ................................................................ 50
2.4.8 Geogebra .......................................................................................................... 50
2.4.9 Aprendizaje con geometría dinámica ............................................................... 51
2.4.10 Taller ................................................................................................................. 52
2.4.11 Reflexión sobre el marco conceptual ............................................................... 52
3. Capítulo : Metodología .............................................................................................. 53
3.1 Tipo de trabajo ..................................................................................................... 53
3.2 Instrumentos metodológicos ................................................................................ 54
3.2.1 Taller diagnóstico ............................................................................................. 54
3.2.2 Taller de familiarización con Geogebra ........................................................... 54
3.2.3 Taller de afianzamiento .................................................................................... 54
3.2.4 Taller de profundización ................................................................................... 55
3.3 Descripción de la población ................................................................................. 55
3.4 Fuentes de información........................................................................................ 56
3.5 ¿Cómo se analizarán los resultados? ................................................................. 56
4. Capítulo IV. Resultados y discusión ....................................................................... 59
4.1 Análisis sobre coherencia interna del taller diagnóstico sobre conceptos previos
de trigonometría .............................................................................................................. 59
4.2 Análisis sobre coherencia interna del taller de familiarización sobre el uso de
Geogebra......................................................................................................................... 60
4.3 Análisis sobre coherencia interna en los talleres de afianzamiento ................... 61
4.3.1 Taller de afianzamiento, para la comprensión de las razones trigonométricas y
circunferencia unitaria ................................................................................................. 61
4.3.2 Aller de afianzamiento, para la comprensión de las funciones
trigonométricas
.......................................................................................................................... 63
4.3.3 Taller de afianzamiento, para la comprensión de la traslación de funciones
geométricas ................................................................................................................. 66
4.3.4 Taller de afianzamiento, para la comprensión de ecuaciones trigonométricas
lineales ......................................................................................................................... 67
4.3.5 Taller de afianzamiento, para la comprensión de ecuaciones trigonométricas
cuadráticas .................................................................................................................. 70
XI
V
Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
4.4 Análisis sobre coherencia interna en los talleres de profundización .................. 71
4.4.1 Taller de profundización sobre el movimiento armónico simple...................... 71
4.4.2 Taller de profundización sobre la cinemática del movimiento armónico
simple
.......................................................................................................................... 72
5. Capítulo V. Conclusiones y recomendaciones ...................................................... 75
5.1 Conclusiones ........................................................................................................ 75
5.2 Recomendaciones ............................................................................................... 76
Bibliografía ........................................................................................................................ 77
Anexos ............................................................................................................................... 83
Anexo A: Taller diagnóstico sobre conceptos previos de trigonometría .................. 83
Anexo B: Taller de familiarización sobre el uso de Geogebra .................................... 91
Anexo C: Taller de afianzamiento sobre razones trigonométricas y circunferencia
unitaria ............................................................................................................................... 99
Anexo D: Taller de afianzamiento sobre funciones trigonométricas ....................... 109
Anexo E: Taller de afianzamiento sobre traslación de funciones trigonométricas 119
Anexo F: Taller de afianzamiento sobre ecuaciones trigonométricas lineales ...... 129
Anexo G: Taller de afianzamiento sobre ecuaciones trigonométricas cuadrática . 137
Anexo H: Taller de profundización sobre el movimiento armónico simple ............ 145
Anexo I: Taller de profundización sobre cinemática del movimiento armónico
simple
................................................................................................................................... 149
Contenido XV
Lista de figuras
Pág.
Figura 1. Esquema de la situación. Fuente: ...................................................................... 37
Figura 2. Representación gráfica y numérica de la función seno. .................................... 38
Figura 3. App 1. Imagen Apps: Taller de familiarización. ................................................. 60
Figura 4. Imagen Apps: Taller de afianzamiento – Actividad 1. ....................................... 61
Figura 5. Imagen Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 2. ......................................... 62
Figura 6. Imagen Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 3. ........................................ 62
Figura 7. Imagen Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 4. ........................................ 63
Figura 8. Imagen Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 5. ........................................ 64
Figura 9. Imagen Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 6. ........................................ 64
Figura 10. Imagen Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 7. ...................................... 65
Figura 11. Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 8. ................................................... 65
Figura 12. Imagen Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 9. ...................................... 66
Figura 13. Imagen Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 10. .................................... 67
Figura 14. Imagen Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 11. .................................... 68
Figura 15. Imagen Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 12. .................................... 69
Figura 16. Imagen Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 13. .................................... 69
Figura 17. Imagen Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 14. ..................................... 70
Figura 18. Imagen Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 15. .................................... 71
Figura 19. Imagen Apps: Taller de profundización - Actividad 17. ................................... 72
Figura 20. Imagen Apps: Taller de profundización - Actividad 16. ................................... 73
Figura 21. Imagen Apps: Taller de profundización - Actividad 18. ................................... 73
X
VI
Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
Abreviaturas
Abreviatura Término
GD Geometría dinámica
TIC Tecnologías de la información y comunicación
MEN Ministerio de Educación Nacional
PV Pensamiento variacional
ICFES Instituto colombiano para la evaluación de la educación
M.A.S. Movimiento armónico simple
Introducción
Este trabajo se centra en el desarrollo del pensamiento variacional, considerado como uno
de los más lentos y complejos de alcanzar, pues implica de forma simultánea la integración
del pensamiento numérico, espacial, métrico y aleatorio. Este pensamiento se evidencia
cuando el individuo logra identificar fenómenos de cambio, en los cuales describe e
interpreta las características y comportamiento de las variables relacionadas. A partir de
estas, logra predecir sus consecuencias de manera cualitativa y cuantitativa, hasta llegar
a la modelación de esta situación en cualquiera de los sistemas de representación
semiótica.
Lo anterior, se hace posible a través del uso de la tecnología como herramienta de
mediación cognitiva, la cual constituye un poderoso recurso en la educación matemática.
Por ello, este trabajo está orientado hacia el diseño de actividades de aprendizaje que
incorporen el uso de la GD y sus potencialidades como estrategia de mediación para el
desarrollo de los procesos inherentes al pensamiento variacional en el contexto de trabajo
con funciones y ecuaciones trigonométricas. Para el alcance de este objetivo se diseñaron
aplicativos en Geogebra sobre los cuales se estructuraron distintos talleres de tipo:
diagnóstico, de familiarización, afianzamiento y profundización; posteriormente se les
realizó un estudio de coherencia interna acorde a los procesos y las básicas matemáticas
relacionadas.
Este documento consta de cinco capítulos, en donde el capítulo I, se definen los límites y
dirección del horizonte del trabajo, establecidos a partir del planteamiento del problema, la
justificación y la presentación de los objetivos. El capítulo II presenta el marco referencial
que incluye el recorrido epistemológico, de antecedentes, teórico y conceptual. Con
respecto a la revisión de antecedentes o investigaciones afines a esta, fue posible nutrir
este proyecto conforme a los elementos de dirección, componentes metodológicos,
necesidades y herramientas que potencialmente facilitan el proceso de enseñanza-
2 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
aprendizaje de los contenidos temáticos relacionados con la trigonometría, a través del uso
mediador de Geogebra como Software libre.
El trabajo se apoya en referentes teóricos como: la fundamentación psicológica del proceso
de enseñanza-aprendizaje contemplada desde el componente social y cultural de los
estudiantes, el carácter constructivista del ambiente cognitivo, el uso de la visualización
como recurso dinamizador de las potencialidades de la GD con el Geogebra, a través del
cual se aporta sentido y significación a las representaciones semióticas propuestas por
Duval.
El componente conceptual del trabajo se apoya en los ejes que integran y propician el
desarrollo del pensamiento variacional, los procesos asociados a este tipo de
pensamiento, sistemas algebraicos y analíticos principalmente, representaciones,
procesos de variación y cambio, modelación y uso del Geogebra como herramienta de
mediación en un ambiente de geometría dinámica.
En el capítulo III se definen los elementos metodológicos utilizados a lo largo del proyecto.
De forma seguida, en el capítulo IV, se presenta el análisis de coherencia interna de los
talleres diseñados. En general se diseñaron actividades que requerían de un mayor grado
de comprensión de los conceptos estudiados previamente. Finalmente se elaboran las
conclusiones y recomendaciones para una eventual aplicación y ampliación del proyecto,
en el capítulo V.
1. Capítulo I. Horizonte del trabajo
1.1 Descripción y planteamiento del problema
El MEN, desde los estándares básicos de aprendizaje, ha reconocido la pertinencia de la
formación matemática en relación al: desarrollo de las capacidades de razonamiento
lógico, el ejercicio de la abstracción, rigor y precisión que contribuyen al avance de la
ciencia y tecnología en el país, a partir de contextos de aprendizaje particulares, que le
permita a un estudiante la formación en la toma de decisiones desde las realidades que
viven.
Sin embargo, la búsqueda por la consecución de este objetivo resulta difícil de alcanzar
cuando se abordan temáticas relacionadas con la trigonometría, las cuales se suelen
trabajar de forma muy estática y rutinaria, tal como lo manifiesta Fiallo y Gutiérrez (2007)
de que la enseñanza de la trigonometría en el aula de clase ha estado dominada por un
factor netamente tradicional. Debido a lo mencionado previamente, se limita de forma
considerable la generación de nuevas capacidades ligadas a la explicación, demostración
y generalización, por cuanto, no se enseña desde el dinamismo, el cual resulta más fácil
de capturar para la capacidad humana.
Por otra parte, la dificultad para comprender los conceptos trigonométricos, obedece a que
estos suelen ser percibidos como abstractos y de poca o nula aplicabilidad (debido al uso
del lenguaje algebraico de la letra como incógnita, como número generalizado y como
variable), la falta de interés o apatía por los mismos, la carencia en el conocimiento y
manejo de variadas herramientas didácticas para abordar de forma no convencional este
tipo de contenidos temáticos por parte de los docentes. Lo anteriormente expuesto, reduce
las oportunidades de colocar a un nivel práctico y concreto la construcción de conocimiento
en los estudiantes. Además, en el caso de los docentes, no tenemos mucho conocimiento
acerca de las distintas estrategias TIC que pueden ser utilizadas para facilitar el proceso
4 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
de enseñanza – aprendizaje, incluso en algunos casos, existe una resistencia a
reinventarse y establecer nuevas herramientas dinámicas en nuestro quehacer diario.
Las representaciones de los objetos y lugares geométricos ocupan un lugar central en la
enseñanza de la trigonometría, por ello es tan importante, lograr la integración dinámica
del componente gráfico, algebraico y de cálculo. La razón de tal interés se debe a la
relación directa entre: el conocimiento, el significado, la comprensión y modelización. Es
precisamente, a través de la capacidad que desarrolla la persona de vincular un problema
con las representaciones que conoce, lo que incrementa su capacidad de procesamiento
seguido de las posibilidades de establecer una solución a la situación que se le presenta,
tal como hacen mención Toro et al. (2012).
En ocasiones el docente, en su preocupación por abarcar los densos contenidos temáticos
propuestos en la malla curricular, enuncia las relaciones geométricas a las cuales el
estudiante debería de llegar a construir por sí solo. Es precisamente acá donde se debe
aprovechar el potencial didáctico de la geometría dinámica como mediador que va más
allá de su poder ilustrativo hasta crear la necesidad de exploración en los jóvenes.
1.1.1 Descripción del área problemática
En la I. E. Ana Elisa Cuenca del municipio de Yaguará en el departamento del Huila, se
presentan variadas situaciones que constituyen en un verdadero reto la consolidación del
aprendizaje significativo en lo que respecta a las matemáticas. Estas dificultades están
relacionadas con los distintos actores dentro del proceso de enseñanza como lo son
principalmente: los docentes, los estudiantes y los medios para facilitar la construcción del
conocimiento.
En lo que respecta al cuerpo docente se hace evidente, en un alto grado, la falta de
preocupación por reinventar la práctica pedagógica dentro del aula, lo cual se ve reflejado
en la ausencia de material concreto para la enseñanza de este tipo de temas que resultan
abstractos y la instrucción del conocimiento matemático sin contexto.
Por otra parte, la premura por abarcar la mayor cantidad de temas, restringe el tiempo
disponible para permitir que el carácter y el significado del conocimiento que los
Capítulo 1 5
estudiantes construyen esté cambiando. Además, el error no es aprovechado como un
elemento constitutivo del conocimiento, sino que es visto exclusivamente como algo que
debe ser corregido rápidamente.
Es recurrente ver como en ocasiones los docentes no cuentan con la preparación suficiente
para crear, diseñar y aplicar estrategias didácticas y pedagógicas que hagan que los
contenidos curriculares estén al nivel de la comprensión de sus estudiantes. Lo anterior
obedece a que, con frecuencia el licenciado en matemáticas durante su pregrado se
convierte en un experto en dar solución a problemas de alta complejidad de carácter
predominantemente demostrativo. Mientras es débil en la preparación o elaboración de
material didáctico manipulable en el proceso de enseñanza de contenidos trigonométricos,
el cual, suele estar asociado en gran medida a la falta de conocimiento de las
consideraciones epistemológicas, históricas y funcionales que dieron origen a dichos
conceptos. Por otra parte, frecuentemente se encuentra que algunos docentes no conocen
ni emplean las nuevas plataformas educativas, ni herramientas tecnológicas ya diseñadas
que facilitan la consolidación de un aprendizaje significativo.
Bajo este contexto, los docentes requieren contar con un inventario suficientemente
variado de material bibliográfico enriquecido en estrategias didácticas para la enseñanza
de la matemática, la cual es una necesidad urgente para los docentes que orientan la
trigonometría en cualquier institución educativa. Donde el uso del lenguaje visual resulta
ser de gran importancia en la educación matemática, para llevar a los estudiantes una
representación concreta de las ideas abstractas, de allí el valor que toma el uso de
instrumentos tecnológicos que posibiliten el empleo de representaciones ejecutables.
En relación a los estudiantes, se considera que, al ir avanzando en el aprendizaje de la
geometría, ellos deben ir modificando la organización discursiva de su razonamiento a fin
de ir alcanzando un mayor y mejor uso del lenguaje geométrico, construcción de
estructuras lógicas deductivas. Sin embargo, en los estudiantes del grado décimo de la I.
E. Ana Elisa Cuenca Lara no se evidencia este tipo de avances, por el contrario, es clara
la existencia de una amplia grieta entre la argumentación informal y la justificación formal
en sus comunicaciones al interior del aula.
6 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
Lo anterior, se hace notable a través de la obtención de puntajes entre 52 y 56 en las
pruebas de matemáticas saber 11 para las dos sedes que ofrecen hasta el nivel de la
media técnica. Por otra parte, en el 2019 se presentó la reprobación de 120 estudiantes
en el área de matemáticas para una población de 1.120, es decir, más del 10 %. Es
importante resaltar que estos estudiantes, se encuentran en un nivel de desempeño bajo
tras obtener valoraciones entre 1,0 y 2,9 en una escala hasta 5,0. Si bien la anterior
situación presenta una gran preocupación, también exhibe un gran reto, más aún, teniendo
en cuenta que la institución educativa implementa actividades como: la realización de
planes de nivelación, seguimiento y profundización los días jueves, uso de equipos y
herramientas tecnológicas para mejorar la didáctica dentro del aula, comunicación y
vinculación permanente de los padres de familia a través de las actividades del aula hogar,
todas estas, orientadas hacia la disminución de las debilidades académicas.
Lo expuesto previamente, muestra que el afianzamiento de los contenidos temáticos es
muy pobre y con ello también se da una insuficiente profundización de los mismos asociada
a la poca claridad de estos, en los cuales el pensamiento variacional no se le otorga la
importancia que requiere, sobre todo, bajo el entendido de que este tipo de pensamiento
es el resultado de integrar otros. Dicha situación se refleja cuando después de un intervalo
de tiempo corto, se indaga al estudiante acerca de un problema en el cual se requiere la
utilización de temáticas que han sido abordadas previamente y este no logra establecer la
conexión entre el modelo que describe el escenario que se le presenta y la situación.
Algunas de las causas de errores y dificultades que se presentan con mayor frecuencia en
los estudiantes son aquellas relacionadas con: los contenidos matemáticos, la motivación,
la falta de dominio de los contenidos previos y aquellas causadas por la secuencia de las
actividades propuestas. En relación con el uso de las ecuaciones y funciones
trigonométricas encontramos:
Confusión en los conceptos y algoritmos básicos como: división, razón, proporción,
función, ecuación, ángulo y sistemas de medición, valor numérico.
Dificultades asociadas a la poca profundización en los fundamentos epistemológicos
relacionados con la trigonometría.
No identificación de los parámetros y su naturaleza, que se involucran en una expresión
trigonométrica.
Capítulo 1 7
Dificultad en la interpretación y sentido que recibe un conjunto de datos de
comportamiento trigonométrico. Lo cual, hace que sea reducida su comunicación y
modelación de situaciones particulares a través del uso de un lenguaje matemático.
No reconocen la equivalencia entre los diferentes sistemas de representación como:
figural, fenomenológica, gráfica, tabular, simbólico, algebraico, numérico variacional y
el tránsito a través de cualquiera de estas bajo un contexto trigonométrico.
Poco desarrollo del razonamiento de habilidades y procedimientos relacionados con la
resolución de problemas de carácter trigonométrico aplicados a variadas áreas del
conocimiento
En cuanto a los medios tecnológicos y de comunicación, en la Institución Educativa Ana
Elisa Cuenca Lara carece del servicio de conexión a internet. No obstante, sí es posible
diseñar e implementar otro tipo de estrategias que involucren la tecnología y material
manipulable que hagan del aprendizaje uno significativo para el grupo de estudiantes.
Por todo lo anterior y en la búsqueda continua de mejoramiento, se propone un trabajo que
intenta fortalecer el desarrollo del pensamiento variacional en lo que respecta a los
procesos de reconocimiento y comprensión de variables, tratamiento y conversión de
sistemas de representación, la modelación y la generalización asociados al estudio de las
funciones y ecuaciones trigonométricas, a partir, del diseño y aplicación de actividades de
aprendizaje que incorporan el uso de Geogebra como instrumento de mediación cognitiva.
1.2 Justificación
Importancia
En la actualidad, las investigaciones orientadas al fortalecimiento de los procesos
asociados al pensamiento variacional desde el potencial de la geometría dinámica para la
enseñanza de las funciones y ecuaciones trigonométricas son escasas a nivel local y
regional. Por otra parte, su desarrollo podría generar nuevas inquietudes en futuros
estudios de investigación.
Es preciso insistir en que la implementación de la geometría dinámica como mediador en
el proceso de enseñanza-aprendizaje, da la posibilidad de colocar el conocimiento al
8 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
alcance del estudiante. De tal manera que estos puedan interactuar y manipular las
representaciones de conceptos que resultan abstractos. Este trabajo pretende aprovechar
el potencial didáctico de esta naciente metodología que se desarrolla a través de la
exploración (problematizar la visualización), construcción (hacer operativa la construcción),
argumentación y demostración.
El uso de esta herramienta ha cobrado especial importancia al mostrar cómo el entorno de
la geometría dinámica constituye un campo de experimentación hasta convertirse en el
motor del pensamiento deductivo, en el cual los estudiantes realizan secuencias de
exploración a través de construcciones dinámicas y al interior del cual pueden sistematizar
sus argumentos, crear nuevas relaciones entre piezas de conocimientos ya existentes.
Este proceso es igualmente enriquecedor cuando se realiza en equipos de trabajo, donde
se fomente la comunicación, interacción como escenario propicio para contrarrestar la
apatía y rechazo a la trigonometría, situación que se ha convertido en un verdadero
problema a la hora de enseñar.
Con la realización de este proyecto de investigación se busca reforzar la apropiación de
los temas a partir de la interacción con el software libre Geogebra hasta el fortalecimiento
de una progresiva confianza para resolver situaciones problemas asociados al
pensamiento variacional que involucren este tipo de conceptos, incluso hasta llegar a la
comprensión y resolución de problemas con situaciones asociadas al movimiento armónico
simple.
Además de lo anterior, el trabajo considera su relevancia por cuanto con su aplicación se
espera que el estudiante fortalezca los siguientes estándares básicos de competencia:
Uso argumentos geométricos para resolver y formular problemas en contextos
matemáticos y en otras ciencias.
Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y
funciones trigonométricas.
Reconozco y describo curvas y/o lugares geométricos.
Modelo situaciones de variación periódica con funciones trigonométricas e interpreto y
utilizo sus derivadas.
Capítulo 1 9
Por último, con el desarrollo de este trabajo se proporciona una guía de trabajo para lograr
disminuir algunas de las limitaciones a las cuales se enfrentan los docentes como la ruptura
y cambio de paradigmas de lo tradicional. De igual forma, el docente enriquece su gama
de estrategias dirigidas al uso de un lenguaje visual que le dé sentido a las abstracciones,
para potencializar las habilidades de sus estudiantes en relación a demostrar, explicar,
ejemplificar, modelar y generalizar a partir de analogías, es decir, recapturar el mundo real
y abrirlo al estudiante en el interior del aula con amplias posibilidades de interacción y
manipulación de representación de conceptos y modelos abstractos.
Pertinencia
El pensamiento matemático asociado al componente variacional implica un proceso lento
y complejo, debido a que integra otros de tipo numérico y geométrico. Es precisamente por
lo anterior, que resulta tan importante su desarrollo, por cuanto es la base para la
generalización y modelamiento de otras situaciones de la vida cotidiana como las que se
pretenden alcanzar a través de este proyecto de investigación que se centra en las
funciones y ecuaciones trigonométricas.
El MEN (2006) sostiene en los Estándares básicos de competencias en matemáticas que:
En las situaciones de aprendizaje que fomentan el desarrollo de este tipo de
pensamiento, también se dan múltiples oportunidades para la formulación de
conjeturas, la puesta a prueba de las mismas, su generalización y la argumentación
para sustentar o refutar una conjetura o una propuesta de generalización, todo lo
cual se relaciona con el pensamiento lógico y científico (p. 68).
Para poder alcanzar lo propuesto por el MEN es necesario partir del uso de las diferentes
representaciones matemáticas como: gráficas, tablas, ecuaciones, inecuaciones que
hacen posible el tratamiento con situaciones de variación y dependencia en la resolución
de problemas desde una perspectiva más práctica y dinámica.
La enseñanza de las funciones, ecuaciones y aplicaciones de la trigonometría ha estado
marcada por un predominante modelo de enseñanza tradicional, en el cual el análisis y
solución de casos en contextos no toman la profundidad y trascendencia que deberían
1
0
Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
merecer. En contraste, la utilización del Geogebra como mediador del conocimiento,
permite visualizar el comportamiento de los lugares geométricos, variación de parámetros
en tiempo real, de tal manera que el estudiante tenga la posibilidad a partir de la
visualización de encontrar las regularidades geométricas asociadas a dichos movimientos.
En el mundo de las nuevas tecnologías en el que nos encontramos, se debe promover un
creciente interés por diseñar, desarrollar e implementar variadas herramientas didácticas
o tecnológicas que dinamicen el proceso de enseñanza y estén al alcance y acceso de los
docentes. Además, con el presente trabajo se busca incrementar el material disponible
para convertir las actividades en clase en verdaderas experiencias significativas.
Académicos como Gravina (1996) y Zulatto (2002), citado en Maroni (2013) aseguran que
los ambientes de geometría dinámica pueden ser herramientas riquísimas en la superación
de las dificultades de los alumnos, los cuales son inherentes al proceso de enseñanza y
de aprendizaje de contenidos matemáticos. Para lograr establecer un puente entre las
ideas intuitivas y los conceptos formales se hará uso de las potencialidades didácticas del
Geogebra como mediador de la construcción del conocimiento.
Viabilidad
En relación a los medios tecnológicos y audiovisuales con los cuales cuenta la Institución
Educativa Ana Elisa Cuenca Lara, esta posee un aula de clase por docente dentro de las
aulas hay un televisor de 54 pulgadas, computadores minis por cada estudiante y no se
cuenta con el servicio de conexión a internet. Con los recursos suministrados por la
Institución Educativa es posible enfrentar el reto de diseñar e implementar estrategias que
involucren la tecnología, elaborar material manipulable, que permitan la construcción de
un aprendizaje significativo para el grupo de estudiantes.
Adicionalmente, se tiene el apoyo de los directivos docentes y padres de familia de la
institución educativa para la planeación, diseño, implementación y ejecución de este
proyecto. Al igual, se cuenta con el recurso humano para el desarrollo de este, es decir,
del grupo estudiantil. Por otro lado, también se dispone del tiempo suficiente para el
desarrollo completo del mismo.
Capítulo 1 11
1.3 Objetivos
1.3.1 Objetivo General
Diseñar actividades de aprendizaje que incorporen el uso de la GD como estrategia de
mediación cognitiva para el desarrollo del pensamiento variacional en lo que respecta a los
procesos de reconocimiento y comprensión de variables, tratamiento y conversión de
sistemas de representación, la modelación y la generalización asociados al estudio de las
funciones y ecuaciones trigonométricas.
1.3.2 Objetivos específicos
Diseñar una propuesta didáctica que implique el diseño de actividades de aprendizaje
que contribuyan al fortalecimiento de procesos asociados al PV, mediante el abordaje
y solución de situaciones que involucren el uso de funciones y ecuaciones
trigonométricas y la incorporación de la GD.
Realizar un estudio de coherencia interna de las actividades de aprendizaje propuestas
de acuerdo a los procesos asociados al pensamiento variacional que son objetos de
estudio.
2. Capítulo II. Marco referencial
2.1 Marco epistemológico
A lo largo de este componente de trabajo se aborda la construcción epistemológica que
dio lugar a la consolidación del concepto de la trigonometría. De esta manera, es posible
reconocer y ampliar la base de significaciones dadas a los conceptos y procesos
matemáticos a partir del análisis de las situaciones señaladas en la historia y en la
epistemología.
Por lo tanto, hace referencia algunos de los problemas del conocimiento científico
relacionados con las circunstancias históricas y funcionales que conllevaron a su
obtención. De acuerdo a lo que afirma Klimovsky, G. (1994), cualquier saber científico ha
sido el resultado de una construcción que involucra problemas particulares producto del
pensamiento de la humanidad, en nuestro caso el de las razones y funciones
trigonométricas.
Es a través de un análisis detallado de los distintos estudios especializados en torno a los
conceptos trigonométricos como pretendemos comprender las condiciones y
problemáticas que facilitaron la emergencia y evolución de dicho conocimiento. Estos
nacen ante la necesidad de explicar fenómenos de la naturaleza que inicialmente
estuvieron relacionados con la astronomía, física y química, seguidos por el análisis del
movimiento, el calor, el sonido y otros más.
Lo anterior, indudablemente implica, la clasificación en el tiempo de las diferentes épocas
y culturas que dominaron el desarrollo de la trigonometría, además de la ubicación de los
personajes más representativos y las preguntas que fueron planteadas. Este fenómeno
permite el avance de nuevos conceptos científicos que tienen como cimiento nociones
previas o incluso en oposición a estas.
14 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
Época empírica:
Los babilonios, alrededor de los 3500 a.C., logran realizar la división de la circunferencia
en 360 arcos iguales, de esta manera, se da origen al grado, pues tenían un amplio
desarrollo del sistema de numeración posicional en base 60 o sexagesimal. Es así como
se van sentando los fundamentos de la trigonometría. Más adelante, esta cultura intentaría
establecer una relación entre el curso del Sol y la Luna, puesto que estos astros no tienen
un periodo entero de días. Con la anterior correlación, pretendían conocer y predecir el
tiempo cronológico de las estaciones.
Desde hace 4 milenios de nuestra era, la civilización egipcia nutrió el camino del progreso
de la trigonometría a través de los siguientes eventos: la construcción de grandes
pirámides y monumentos, el acercamiento al valor de 𝝅 (3,160), la dedicación por resolver
problemas de geometría a partir de la medida de áreas de figuras planas (cuadradas,
triangulares, circulares, etc. ) y el volumen de cuerpos semiesféricos como los planteados
en los papiros de Rhind y Moscú. Al igual que los babilonios encontraron varios obstáculos.
Para dar solución a esto, fijaron que un año solar contenía 12 meses de 30 días, lo cual
implicaba que al cabo de 120 años el retraso sería de 1 mes, razón por la que deciden
agregar 5 días para un total de 365 días.
El interés que ha suscitado en los seres humanos el intento por explicar y comprender los
fenómenos celestes (leyes que rigen su comportamiento), el origen del universo y conocer
todo lo que este contiene, han sido preguntas que han desarrollado el pensamiento
científico de la especie humana, tanto de manera práctica como teórica.
Época concreto-abstracta:
Esta etapa corresponde a la ubicada en el periodo de tiempo del nacimiento de la
civilización griega, la cual se caracterizó por la formulación de hipótesis en el método
científico, por ello, la lógica es introducida a la geometría, hasta incluso llegar a convertirse
en lo que luego se conocerá como demostración con un buen desarrollo axiomático y
deductivo. De modo similar a la cultura egipcia y babilónica, la geometría sirve de base
para lograr un entendido de la visión cosmológica.
Capítulo 15
Entre los años 640 y 569 a. C., el mayor avance en el desarrollo de la ciencia estuvo en
manos de la creación de grupos de estudio o instituciones académicas. En estas, a
filósofos como Tales de Mileto se le atribuye la introducción de la geometría en Grecia a
través de nociones como: todo círculo queda dividido en dos partes iguales por su
diámetro, los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales, los ángulos
opuestos al vértice son iguales, los lados de dos triángulos semejantes son proporcionales,
aunque sus áreas no lo sean y la demostración de varios teoremas.
Entre los discípulos de Mileto se tienen a: Anaximandro, reconocido por afirmar que la
tierra era cilíndrica y estaba en el centro del universo; Anaxágoras, quien sostenía que el
sol era una masa similar en tamaño a Grecia constituido de un metal incandescente;
Pitágoras de Samos, conocido por acercar la astronomía a la geometría a través de la
construcción de las “figuras cósmicas” o también llamadas poliedros regulares como el
tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Por otra parte, la escuela
Pitagórica posiblemente influyera sobre Hipócrates de Chíos, quien se destacó por realizar
distintos avances en tres grandes problemas matemáticos como: la duplicación del cubo,
la cuadratura del círculo y la trisección de un ángulo.
Época de la experimentación:
En este momento de la historia, los pensadores griegos manifiestan abiertamente sus
posturas ideológicas en concordancia con un fundamento que para ellos resultaba válido,
el cual correspondía a la elaboración de experimentos y formulación de reflexiones que
luego se consolidarán como teorías.
Uno de los grandes expositores de esta época es Platón, discípulo de Sócrates, quien
cerca del año 428 a.C se formó en Egipto en Astronomía y junto a los Pitagóricos de
Tarento en geometría, fundando así la Academia. Su concepto de universo está regido por
la idea de que la Tierra (con forma esférica) se encuentra en el centro una esfera de mayor
tamaño que corresponde al cosmos, lo cual, defiende el postulado de que todo aquello que
sea invariable es verdadero, excluyendo la física del dominio de la ciencia.
Su pupilo Eudoxo, hace su mayor contribución a las matemáticas a través del desarrollo
de la teoría de proporciones. Según Boyer (1999), es altamente posible que este
16 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
astrónomo griego hubiese utilizado las razones y medida de los ángulos para intentar
calcular el tamaño de la Tierra y las distancias relativas del sol y la luna.
Época del análisis:
Este periodo de tiempo es considerado la cúspide de la naciente trigonometría, pues
estuvo caracterizado por la mezcla entre el saber Helénico y las escuelas filosóficas con
el saber oriental en las áreas de matemáticas y la astronomía egipcia.
Con Aristarco de Samos, en el año 310 a. C. se tiene la primera evidencia del empleo de
la geometría con fines trigonométricos, al interesarse por investigar los tamaños relativos
del Sol, la Luna y la Tierra. Además, encontró que el único astro capaz de eclipsar a todos
los demás, incluso a las estrellas, era la Luna.
Otra de las evidencias en el avance de la trigonometría, está marcada por los estudios
adelantados por Euclides en el año 300 a.C., los cuales, a pesar de no ser estrictamente
trigonométricos, sí fueron elaborados bajo un lenguaje geométrico de teoremas
equivalentes a leyes o expresiones trigonométricas hoy conocidas. No obstante, según lo
señalado por Ortiz (2000, citado por Caballero, 2013), Euclides no trabajó con rigurosidad
científica en su anhelo por comprender los fenómenos desde una perspectiva geométrica.
Hiparco de Nicea es considerado como el creador de la astronomía matemática y de la
trigonometría. Presenta grandes aportes como: introducción a la noción de latitud y
longitud, método para resolver triángulos a partir de la tabla de cuerdas, y la división del
círculo en 360 grados. En astronomía, describió el movimiento aparente de las estrellas,
calculó un periodo de eclipses, la distancia a la luna a partir de la observación de un eclipse
y desarrolló un modelo teórico para el movimiento de la luna apoyado en epiciclos.
En los siguientes 2 siglos la producción científica fue escasa. Los aportes de Tolomeo en
relación al desarrollo de la trigonometría esférica son destacables. Puesto que alrededor
del siglo II d.C. desarrolla la obra Almagesto (libro referencia de la astronomía), en esta se
demuestran teoremas necesarios para la solución de problemas relacionados con el
movimiento de los cuerpos celestes. Además, estableció una tabla que fijaba los valores
Capítulo 17
de la longitud de las cuerdas en función de los arcos de la circunferencia que subtiende,
hoy conocida como la tabla de senos.
Época del verdadero espíritu científico:
Algunos analistas consideran que la trigonometría, tal como se conoce hoy en día, fue
establecida por los árabes, quienes apoyados en los adelantos logrados por los hindúes,
le dieron forma a las funciones trigonométricas, dedujeron el teorema del coseno y
establecieron tablas muy precisas y útiles en otros campos como la astronomía. Quizás
uno de sus aportes más notable fue la de tomar r=1 en la circunferencia con centro en el
origen.
Cerca del siglo IX, por cuenta de Al-Kwarizmi se construyen las primeras tablas de valores
del seno, coseno y tangente con alta precisión. Tiempo después, el matemático árabe Al-
Marwazi elabora la primera tabla de contangentes. Al astrónomo Al-Battani se le reconoce
por dar los primeros pasos hacia la incorporación del álgebra y no solo de la geometría en
la trigonometría (Bell, 2016). Por ello, su trabajo se centra en el estudio e indagación de
las relaciones matemáticas trigonométricas, entre ellas se destacan: la definición de las
razones tangente, secante, cosecante y la expresión pitagórica de la secante.
En particular, el matemático Abu Al-Wafa, en el siglo X, había realizado un estudio
minucioso de las 6 funciones trigonométricas hasta llegar a compilar tabla de valores con
8 decimales de precisión para intervalos de 4°. Además, estableció la relación algebraica
del seno de la suma o resta de dos ángulos, la fórmula del seno para la geometría esférica,
el seno y coseno de ángulos dobles, preparando el terreno para un cambio en la
percepción del mundo.
En la plenitud del ocaso de la ciencia árabe del siglo XIII, el matemático y astrónomo iraní
Nasir al Din Tusi desvincula la trigonometría de la astronomía, haciéndola una ciencia
completamente independiente a partir de su obra: Tratado del cuadrilátero, en la que se
presentaban los 6 casos distintos de ángulos rectos en un triángulo esférico.
En 1467, durante la renovación cultural propia del renacimiento, el alemán Müller
Regiomontano continúa profundizando en la consolidación de las bases de la
18 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
trigonometría. Logra establecer la definición del seno a partir de los conceptos geométricos
básicos, incluso, expone cómo resolver un triángulo plano o esférico usando el seno del
ángulo o el seno de su complemento, también conocido como el coseno.
Próximos a la primera mitad del siglo XVI, la astronomía incursiona en los terrenos de la
física, dejando atrás la geometría. Mientras tanto, el matemático francés Fraçois Viète da
a la trigonometría un cambio importante al admitir procesos infinitos en su tratamiento con
métodos algebraicos. Simultáneamente, en 1614 John Napier inventó los logaritmos, lo
cual simplificó considerablemente los cálculos trigonométricos.
Época de la verdadera revolución del pensamiento científico:
Para cerca del siglo XVII, la ley de variación y la función se convierten en el corazón de la
investigación de la ciencia, por ello, la matemática redefine su objeto, fundamentos y
métodos. Una muestra de lo anterior fueron los trabajos adelantados por Newton en la
ciencia del movimiento. Allí es notorio el cambio en la manera del empleo de la
trigonometría, puesto que Newton sustituye las tablas por la relación entre el ángulo y el
área bajo la curva, al realizar estudio de las curvas, trayectorias y expresiones analíticas
(Cantoral y Farfán, 2003); además, aplica métodos diferenciales a las curvas de las
circunferencias y a la elipse como trayectoria.
Un siglo más tarde, sería Euler quien definiría la función exponencial para números
complejos y descubrió su relación con las funciones trigonométricas. También, reconoce
las cantidades trigonométricas como relaciones funcionales trascendentes, investiga las
propiedades periódicas de este tipo de funciones y establece relaciones trigonométricas
básicas. Katz (1987) da una apreciación diferente a las propiedades como la periodicidad
y los valores de las cuerdas en las relaciones trigonométricas, los cuales estaban ligadas
a la explicación y descripción de fenómenos astronómicos como la posición de los
planetas.
Montiel (2011) manifiesta que esta rama de la matemática junto con la medición se sirve
de base para el desarrollo de la astronomía, especialmente, a través de la identificación
de los periodos en los fenómenos celestes en conjunto con la práctica empírica y la teoría
predictiva. De esta manera, la trigonometría analítica le da un gran impulso al estudio del
Capítulo 19
infinito como quehacer de la matemática, esta última, constituye el mecanismo para
describir y analizar el mundo físico.
Luego de hacer una revisión de los variados eventos culturales desde sus inicios en torno
al intento por construir un modelo a escala de acuerdo a la reunión de datos empíricos de
una realidad que está fuera del alcance de sus manos, van consolidando las bases de todo
un cuerpo teórico que más adelante se llamaría trigonometría.
Reconstruir la historia constituye un potencial en el recurso didáctico muy amplio, pues
como menciona De Guzmán (2001) “la historia le puede proporcionar (al maestro) una
visión verdaderamente humana de la ciencia y de la matemática, de lo cual suele estar
también el matemático muy necesitado” (p. 14). Lo anterior permite “al docente realizar
aquello que Chevallard (1991) califica como ‘transposición didáctica’” (Caballero, 2013, p.
2), es decir, colocar al nivel de los estudiantes dentro del aula, las complejas teorías propias
de la disciplina científica.
2.2 Marco de antecedentes
En este apartado se realizará una recopilación en el ámbito internacional, nacional y local,
de los proyectos de investigación más representativos y afines al trabajo en cuanto a
temáticas trigonométricas, enfoque metodológico y los recursos empleados, como lo es el
uso de sofware libre de geometría dinámica.
2.2.1 Secuencia didáctica para enseñar trigonometría con el sofware Geogebra, elaborado por María Maroni Lopes en el programa de maestría en Enseñanza en Ciencias Naturales y Matemáticas en la Universidad Federal de Río Grande del Norte (UFRN)
En el trabajo titulado: Secuencia didáctica para enseñar trigonometría con el software
Geogebra, elaborado por Maria Maroni Lopes en el programa de maestría en enseñanza
en ciencias naturales y matemáticas en la universidad federal de Río Grande del Norte
(UFRN) en el 2013. El cual tiene como objetivo la presentación de un cuaderno de
actividades para su uso en el aula en los niveles de primaria y secundaria, además, del
20 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
análisis de las potencialidades y limitaciones del software Geogebra en los procesos de
enseñanza y aprendizaje.
En el desarrollo de este proyecto, se adoptan los conceptos de didáctica de las
matemáticas a partir del uso de tecnologías de la información y comunicación empleando
recursos relacionados con la geometría dinámica, tales como la construcción, dinamismo,
indagación, visualización y argumentación.
Para ello, los datos fueron recolectados de estudiantes de segundo grado de secundaria
en una institución pública a través de un cuestionario sobre sus conocimientos en relación
con las herramientas TIC. Previamente, y debido a la poca profundidad de los
conocimientos de los conceptos básicos de geometría, se hizo necesaria la interacción con
actividades de familiarización con Geogebra referida a algunas propiedades características
de los triángulos. El siguiente bloque de actividades con contenidos trigonométricos.
Otras de las actividades estaban orientadas a la participación en discusiones entre pares
estudiantiles, las cuales, influyen significativamente, para ello, básicamente debían discutir
y analizar las construcciones proporcionadas, plantear hipótesis e intentar establecer
regularidades.
En definitiva, tal como expone Zulatto (2002), “los entornos de geometría dinámica pueden
ser herramientas muy ricas para superar las dificultades de los estudiantes inherentes al
proceso de enseñanza y aprendizaje del contenido matemático” (citado en Maroni 2013,
p. 635 ), en contraste con el uso de instrumentos como regla y compás que permite la
construcción estática y limita la deducción de generalidades.
Por otra parte, en general, la implementación de recursos informáticos como parte
fundamental de las actividades dentro del aula, posibilita la apertura a nuevos
descubrimientos, desde la comprensión que da sentido al conocimiento matemático.
Lo anterior, se hace posible a través del análisis, observación de regularidades y
establecimiento de relaciones propias de la interacción con representaciones geométricas
dinámicas en el tiempo.
Capítulo 21
2.2.2 Caracterización de los niveles de razonamiento de Van Hiele específicos a los procesos de descripción, definición y demostración en el aprendizaje de las razones trigonométricas
En la facultad de Ciencias de la Universidad Industrial de Santander, Danny Luz Algarín
Torres (2013) realizó el trabajo de grado: Caracterización de los niveles de razonamiento
de Van Hiele específicos a los procesos de descripción, definición y demostración en el
aprendizaje de las razones trigonométricas. Su objetivo era caracterizar los niveles de
razonamiento de Van Hiele específicamente relacionado con los procesos de descripción,
definición y demostración en el tema de las razones trigonométricas.
La investigación está enmarcada en un enfoque cualitativo, fundamentada en la
recopilación de la información de datos cualitativos como video, grabaciones, hojas de
ejercitación y actuaciones de los estudiantes registrados tanto de forma individual como en
su interacción con los compañeros y docente, los cuales permitan la caracterización de su
avance a través de los niveles de razonamiento en las actividades de enseñanza.
La unidades de enseñanza diseñadas está relacionada con: razones trigonométricas para
triángulos rectángulos; razones trigonométricas de ángulos en posición normal;
representaciones lineales y visualización de las razones trigonométricas y las identidades
Pitagóricas. Estas actividades están encaminadas a lograr la comprensión de conceptos y
relaciones matemáticas luego de que el estudiante pase por procesos de descripción,
definición y demostración.
En general, la implementación de las actividades permitió el avance de los niveles de
razonamiento en los estudiantes, desde la descripción de los objetos matemáticos, con la
generalización de sus características hasta el uso de definiciones para argumentar una
demostración.
Por otra parte, se logró evidenciar que el uso de la tecnología favorece el análisis, la
generalización, validación de conjeturas, la deducción de propiedades, al facilitar la
discusión de ideas entre iguales, mientras el docente orienta hacia la construcción de los
conocimientos matemáticos.
22 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
Cabe destacar que se confirma que el uso de la tecnología complementaria al rol del
docente como orientador, exhibe un eficiente en el avance de los niveles de razonamiento
de los estudiantes.
2.2.3 Representaciones semióticas como dispositivos para facilitar el desarrollo del pensamiento matemático y científico
Bajo la línea de investigación en educación y sociedad de la Universidad Militar Nueva
Granada, en el 2014, Ciro Antonio Garzón Castillo y Nubia Viviana Rojas Alarcón, elaboran
un proyecto de maestría titulado: Representaciones semióticas como dispositivos para
facilitar el desarrollo del pensamiento matemático y científico, en la cual, se evidencia la
necesidad del uso de estos dispositivos de enseñanza-aprendizaje.
El trabajo depende de los aportes teóricos de algunos autores como: Bruno D’ Amore,
Raymon Duval, Edgar Morín, entre otros fijados dentro del texto, los cuales serán
confrontados con la realidad, lo que corresponde a una investigación aplicada con enfoque
cualitativo y enfoque explicativo.
Los reconocimientos realizados por estos académicos, son considerados como punto de
partida, los cuales están marcados por el empleo de representaciones semióticas como
pilares esenciales para el desarrollo de procesos de enseñanza-aprendizaje en
matemáticas y ciencias naturales.
Las etapas metodológicas avanzaron de la siguiente manera: instrumentos de recolección
de información, conexión entre la dinámica tricerebral del ser humano en los procesos de
aprendizaje mediados por las representaciones semióticas y el diseño de una propuesta
dinamizadora del pensamiento científico y matemático cuyas bases son las dos fases
previas.
En conclusión, resulta conveniente profundizar en el uso y aplicación de las
representaciones semióticas como un recurso pedagógico y didáctico que a través del
constructivismo hace posible el acercamiento a la conceptualización en los estudiantes.
Capítulo 23
Por otra parte, la impresión cerebral dejadas por estos dispositivos representacionales,
transfiriendo este dinamismo cerebral triádico a la conceptualización o interiorización de
los objetos de estudio.
2.2.4 Los sistemas cognitivos artificiales en la enseñanza de la matemática
Luis Alberto Toro, Hugo Hernán Ortíz, Francy Nelly Jiménez y Jairo de Jesús Agudelo
adelantaron la investigación titulada: Los sistemas cognitivos artificiales en la enseñanza
de la matemática con apoyo de la Universidad de la Sabana, tienen por objetivo la
implementación de tecnologías en la enseñanza de la matemática, entendidas como
herramientas de amplificación o reorganización.
La metodología de este trabajo, se centra en el uso de representaciones de carácter
algebraico, gráfico y numérico. Particularmente, se emplea el modelo computacional
representacional de mente (MCRM) propuesto por Thagard (2006), el cual establece la
manera en la cual los individuos realizan diversos procesos cognitivos mientras aprenden
los conceptos.
Teniendo en cuenta que las matemáticas están vinculadas a un alto nivel representacional,
propias de un amplio uso de símbolos para nombrar cualquier objeto matemático, el
referente teórico del trabajo, se fundamenta en la ciencia Cognitiva (CC) propuesta por
Friedenberg (2006), definida como el análisis científico e interdisciplinario del pensamiento.
Por otra parte, volviendo al término de representación, este es equivalente a los términos:
conocimiento, significado, comprensión y modelización. El uso de sistemas de
representación artificial de tipo numérico, gráfico y algebraico permite el estudio de una
situación matemática desde variados enfoques, facilitando el establecimiento de nuevas
relaciones, a partir de la reorganización del pensamiento cognitivo.
En general, la implementación de sistemas cognitivos artificiales (SCA) permite una
comprensión completa del proceso enseñanza-aprendizaje, al lograr una correcta
interiorización y aplicación de los conceptos matemáticos, especialmente en aquellos con
una diversificada forma de representación.
24 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
2.2.5 El uso comprensivo de las razones trigonométricas en el planteamiento y resolución de problemas
En el trabajo titulado: El uso comprensivo de las razones trigonométricas en el
planteamiento y resolución de problemas, elaborado por Dwight Oswaldo Escalante Godoy
en la Universidad Nacional de Colombia sede Manizales en el 2018. Su objetivo se centra
en posibilitar la comprensión en el uso de las razones trigonométricas, para plantear y
resolver problemas en los contextos espaciales, de medidas y variación. Además, de
proponer un trabajo de aula que considera el desarrollo de actividades de aprendizaje en
diversos estadios de avance cognitivo, que posibiliten al estudiante un uso comprensivo
de las razones trigonométricas, a partir del planteamiento y resolución de problemas. Y
finalmente, analizar los avances y/o dificultades de los estudiantes, en cuanto a sus
progresos en competencias y procesos asociados al pensamiento matemático.
La investigación propuesta es de corte cualitativo, categoría descriptiva. Para ello, usa
diferentes técnicas estadísticas para describir los datos obtenidos a partir de la búsqueda
de respuestas a preguntas de un fenómeno social, mediante la observación, organización,
representación y análisis de estos. La selección de las variables de estudio, se escogieron
con base en la teoría de George Póyla sobre el planteamiento y resolución de problemas
en 1957, para dar una interpretación y sentido las dificultades a las cuales nos enfrentamos
en el aula en el momento de la enseñanza de las matemáticas. De acuerdo a este modelo,
se trabajó con talleres, para mejorar las destrezas asociadas a la resolución de problemas
típicos de la trigonometría.
Para ello, se aplicaron tres talleres: Construcción de la razón y función trigonométrica, uso
de material manipulativo en el uso comprensivo de las funciones y razones trigonométricas,
resolución de problemas que involucran el uso de las razones y funciones trigonométricas.
El desarrollo de esta propuesta de investigación permitió el aumento de la motivación y el
avance en diferentes estadios cognitivos de los estudiantes, asociados con el pensamiento
espacial, métrico y variacional. Lo anterior, se ve reflejado en la mejora de la comprensión
del uso de las razones trigonométricas, posibilitando a los estudiantes frente a las formas
de enfrentarse a un problema relacionado. El uso de herramientas tecnológicas y la
manipulación de material didáctico, facilita el proceso de aprendizaje, el trabajo en equipo
y el desarrollo de competencias matemáticas.
Capítulo 25
La enseñanza de las matemáticas en la actualidad debe romper los paradigmas del modelo
tradicional, incorporando y utilizando herramientas tecnológicas e informáticas, en la cual
se le dé un sentido y significado a los conocimientos que se aprenden, desde la solución
de problemas de su contexto.
2.2.6 Diseño de una propuesta didáctica en la enseñanza y evaluación de la trigonometría en el grado 10º, mediada por una plataforma virtual en la Institución Educativa Orestes Sindicce
En el 2015, la Universidad Nacional de Colombia con sede en Medellín, desarrolla en
cabeza de Doris Belén Gelves Díaz, el trabajo de investigación titulado: Diseño de una
propuesta didáctica en la enseñanza y evaluación de la trigonometría en el grado 10°,
mediada por una plataforma virtual en la Institución Educativa Orestes Sindicce, el cual se
centró en el uso de la herramienta Moodle. Además, de la identificación de las debilidades
más notorias de los estudiantes en las temáticas de conceptos trigonométricos.
Con respecto al diseño metodológico, el trabajo está enmarcado bajo la concepción de
monografía o estudio de caso, en el cual, se trabajó con un grupo experimental y otro de
control de grado décimo, cuyo enfoque es cualitativo de corte etnográfico.
Las etapas de aplicación del proyecto se estructuraron de la siguiente manera: Inicialmente
se aplicaron encuestas a estudiantes, seguido por encuestas a profesores, la propuesta
de intervención medida por las TIC y simulacro de evaluación. Las actividades educativas
involucran las siguientes temáticas: ángulos dobles y medio, identidades y ecuaciones
trigonométricas, circunferencia y parábola.
A través del análisis estadístico, se logra establecer que hay evidencia de una marcada
diferencia en el promedio de calificación en la evaluación bimestral de los grupos
experimental y de control. Además, al confrontar las notas definitivas para el tercer periodo,
se observa un mejor desempeño académico en el grupo experimental.
Por otra parte, se encontró que se desarrolló otro estilo de aprendizaje, donde los
estudiantes tuvieran mayor concentración y autonomía en sus actividades educativas. El
uso de las herramientas TIC y acceso de una plataforma virtual constituye una novedosa
26 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
revolución pedagógica que lleva al estudiante a encontrar nuevas formas de pensar,
aprender y enseñar
2.2.7 Geogebra, una herramienta para la enseñanza de las razones trigonométricas en grado décimo en la IED Leonardo Posada Pedraza
El trabajo de grado titulado: Geogebra, una herramienta para la enseñanza de las razones
trigonométricas en grado décimo en la IED Leonardo Posada Pedraza, elaborado por
Néstor Javier Matta Gualtero en el 2014, con la Universidad Nacional de Colombia en la
sede de Bogotá, el cual tiene por objetivo diseñar y aplicar una propuesta didáctica que
favorezca la enseñanza de las Razones Trigonométricas a partir del uso del GeoGebra.
En coherencia con el enfoque pedagógico de la institución, esta propuesta de investigación
didáctica está enmarcada en un modelo pedagógico de la enseñanza para la comprensión
desde lo curricular. Además, esta fue fundamentada en la mediación de las TIC. Este tipo
de enfoque, no significa únicamente adquirir conocimientos y desarrollar algunas
habilidades mecánicas, además, fortalecer el desarrollo de capacidades asociadas a la
explicación, demostración, ejemplificación, generalización, establecimiento de relaciones
similares, etc.
En lo que respecta al uso de las TIC, esta herramienta está orientada a recapturar el mundo
real y colocarlo al nivel de los estudiantes desde la posibilidad que tiene de interacción y
manipulación con diferentes y variadas representaciones de conceptos y modelos que
frecuentemente resultan abstractos para los estudiantes.
El diseño de la propuesta didáctica consta de una primera etapa de experimentación y
familiarización con el ambiente de Geogebra. La siguiente etapa contiene el diseño de 5
applets buscando la conceptualización a partir de preguntas enfocadas en temas como
razones trigonométricas de un ángulo agudo, signos de las razones en cada cuadrante,
razones para ángulos de referencia y gráfica de las funciones trigonométricas.
En general, esta estrategia constituye una alternativa innovadora para la enseñanza de la
trigonometría, pues, facilitó el proceso de enseñanza del docente y el de aprendizaje de
los estudiantes, al interactuar con representaciones dinámicas. Por otra parte, la
Capítulo 27
implementación de este tipo de Software resulta motivador para la construcción de
conocimiento significativo en los estudiantes, puesto que favoreció la transición a través
de los distintos sistemas de representación gráfico-analítico a lo numérico-simbólico.
2.2.8 Diseño e implementación de un curso virtual de trigonometría básica utilizando redes sociales y otras herramientas TIC: estudio de caso en grados undécimo de dos colegios oficiales de Puerto Asís
En el trabajo titulado: Diseño e implementación de un curso virtual de trigonometría básica
utilizando redes sociales y otras herramientas TIC: estudio de caso en grados undécimo
de dos colegios oficiales de Puerto Asís en el 2014, por parte del docente Alexandro
Damián Solarte Pérez en la Universidad Nacional de Colombia con sede en Manizales,
estaba orientado a analizar el impacto en los procesos de enseñanza aprendizaje, a través
de la implementación de un curso virtual de trigonometría básica haciendo uso de las redes
sociales y otras herramientas TIC.
El enfoque de ese trabajo de investigación acción es de carácter cuantitativo, en la cual,
se realiza de forma preliminar una prueba diagnóstica y luego de culminado el curso virtual
de trigonometría básica se realizó una evaluación final para medir la apropiación de
conceptos asociados a un aprendizaje significativo.
Las etapas del proceso se desarrollaron de la siguiente forma: prueba diagnóstica,
inducción al curso, avance de la parte conceptual de trigonometría, ángulos, triángulos,
clasificación, propiedades, teorema de Pitágoras, razones, funciones, lineales y
ecuaciones trigonométricas, a través de la manipulación de aplicaciones en Geogebra.
Finalmente, se realiza una evaluación, con el fin de confrontar los datos obtenidos con los
iniciales.
Es importante destacar el uso de la plataforma de Facebook, diseño de mapas mentales
en la herramienta CmapTools, Geogebra, You Tube y formularios de Google.
En general, se evidenció que los estudiantes requieren de la supervisión personalizada
debido a que solo la tercera parte de los que se inscribieron, culminaron el curso. Por otra
28 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
parte, es fundamental concientizar a los estudiantes en ser participantes activos en su
proceso de aprendizaje.
2.2.9 Enseñanza de los conceptos básicos de la trigonometría mediante el uso de tecnología informática
Este trabajo hace parte de la amplia gama de investigaciones orientadas por la Universidad
Nacional de Colombia sede Manizales, en la facultad de Ciencias Exactas y Naturales,
desarrollada en el 2013 por Héctor Herney Herrera Castañeda.
Establece como objetivo, el diseño de una propuesta didáctica para fortalecer los procesos
de enseñanza-aprendizaje de la trigonometría a partir del uso de herramientas informáticas
en la plataforma e-learning. La investigación tiene un corte cualitativo en el que vincula el
entorno natural de los estudiantes y su contexto, con un alcance exploratorio-descriptivo,
puesto que pretende describir o analizar la perspectiva de una población estudiantil acerca
de la repercusión actitudinal y cognitiva del conjunto de herramientas metodológicas
aplicadas.
En lo que respecta a la estructura de las actividades interactivas, estas se encuentran
relacionadas fundamentalmente con las funciones trigonométricas, además de una
evaluación permanente durante la realización de las unidades de aprendizaje diseñadas.
A partir de la aplicación de esta propuesta de investigación se evidencia que el uso de
herramientas digitales hace de las clases, muy productivas, participativas en las cuales se
puede avanzar didácticamente en las temáticas planteadas. Además, el estudiante gana
confianza a través de la exploración de variados escenarios donde pueden verificar o
confrontar sus hipótesis de forma rápida sin necesidad de realizar construcción engorrosa
con lápiz y papel.
2.2.10 Ruta de apoyo pedagógico para la enseñanza de geometría y trigonometría, en el curso ‘Matemáticas básicas’
Omar Gómez, en el 2011, en apoyo de la facultad de ciencias realiza un informe de práctica
titulado: Ruta de apoyo pedagógico para la enseñanza de geometría y trigonometría, en el
curso ‘Matemáticas básicas, de la Universidad Nacional de Colombia sede Medellín. Su
Capítulo 29
finalidad abarca no solo facilitar el aprendizaje de los estudiantes, sino, también dar más y
mejores herramientas a los docentes en su proceso de enseñanza, en las temáticas
relacionadas con la geometría y trigonometría.
Su diseño metodológico es cualitativo, de tipo descriptivo, se desarrolló a través de las
siguientes etapas: una preliminar de recolección de información sobre la interacción con
los estudiantes y evaluación acerca de los conocimientos sobre el tema central, diseño y
aplicación de los instrumentos de recolección y sistematización de datos, estructuración
del informe y finalmente se realizó un análisis profundo de la información para construir la
propuesta metodológica.
Esta última, se implementa a partir de la conceptualización, la cual fue directamente
aplicada a situaciones problemas y ejercicios del área, permitiendo el trabajo individual y
en equipo entre estos pares estudiantiles.
Vale la pena destacar que en esta propuesta participaron los estudiantes del grupo 15 de
pregrado de Ingeniería Mecánica cuyas edades oscilan entre los 16 y 22 años,
provenientes de instituciones privadas y públicas porcentualmente aproximadas.
A partir del establecimiento de las fortalezas y debilidades de los objetos de estudio, se
realiza el diseño de una propuesta en la cual converge la geometría plana, espacial y
trigonometría, que busca desarrollar competencias como: formulación y resolución de
problemas, manejo del lenguaje algebraico, desarrollo de algoritmos para la solución y
verificación o evaluación de resultados y su pertinencia en el contexto.
2.2.11 Reflexión sobre el marco de antecedentes
Luego de realizada la revisión documental de antecedentes fue posible tener una visión
más completa de los elementos, referentes metodológicos, necesidades y herramientas
disponibles que potencialmente puedan facilitar el proceso de enseñanza-aprendizaje de
los contenidos temáticos relacionados con la trigonometría, a través del uso mediador de
Geogebra como Software libre.
30 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
Por ello, en el presente trabajo, se ha privilegiado el uso del Geogebra como mediador
cognitivo y didáctico a partir del uso de las potencialidades de la geometría en movimiento,
las cuales, además, suponen un amplio grupo de representaciones semióticas que facilitan
las asociaciones cerebrales para la consolidación de un conocimiento significativo
producto del constructivismo pedagógico
2.3 Marco teórico
En este marco se puede encontrar un compendio de la teoría de la educación en la
enseñanza-aprendizaje de las matemáticas que son soporte académico para el desarrollo
de este proyecto de investigación, de igual forma, se aborda lo relacionado con la
fundamentación cognitiva del currículo, potencialidades de la geometría dinámica, teoría
de las representaciones semióticas de Duval, errores y dificultades comunes en la actividad
matemática entre otros que son de relevancia para el trabajo.
2.3.1 Teoría de la educación según Vygotsky
Para Vygotski, el conocimiento es producto de un proceso de interacción entre el sujeto y
el medio social y cultural que lo rodea. Es decir, los nuevos conocimientos se generan
desde los esquemas de la persona asociados a su realidad, pasando por interrelación con
las estructuras mentales de los individuos de su alrededor.
Probablemente, uno de los aportes más importantes de su teoría se encuentra en
considerar al sujeto como un ser eminentemente social, donde el conocimiento es producto
de un constructivismo de este tipo. Además, siendo igualmente importante, es su
consideración de que, a través de su contexto, las personas son capaces de desarrollar
procesos psicológicos y cognitivos superiores como: la comunicación, el lenguaje, el
razonamiento entre otros. De allí, su apreciación de que, a mayor interacción social, mayor
conocimiento, más funciones mentales potentes.
En general, la construcción del pensamiento de una función se produce a través en un
nivel social inicial o interpsicológico donde se genera el intercambio con el medio social e
interactúa con otras personas, seguido por uno a nivel personal o intrapsicológico en la
cual el sujeto se da sentido a los signos sociales. En este momento, es importante resaltar,
su consideración de que la atención, la memoria y la formulación de conceptos parten de
Capítulo 31
ser una manifestación social que luego se transforma progresivamente en un atributo de
la persona.
Este psicólogo expone en su teoría que el aprendizaje ocurre fuera de los límites de la
zona de desarrollo próximo, es decir, esta corresponde a
la distancia entre el nivel de desarrollo, determinado por la capacidad de resolver
independiente un problema y el nivel de desarrollo potencial, determinados a través
de la resolución de un problema bajo la guía de un adulto o en colaboración con un
compañero más capaz (Vygotski, 2009, p. 133 ).
2.3.2 Fundamentación cognitiva del currículo de matemáticas
Las corrientes teóricas sobre el aprendizaje de la educación matemática han sufrido
grandes transformaciones en el tiempo, desde el enfoque del conductismo, Piagetiano,
Vigotsky, constructivismo, entre otras. En la actualidad la fundamentación cognitiva del
currículo de matemáticas continúa enfrentando grandes retos relacionados con responder
a las necesidades educativas presentes y futuras asociadas con el fortalecimiento de
actividades de aprendizaje orientadas hacia la generalización, la sistematización y la
abstracción. Además, se debe entender que la estructura curricular no puede depender
exclusivamente de los contenidos temáticos, se necesita la incorporación de instrumentos
de aprendizaje que construyan estructuras cognitivas de gran adaptabilidad a lo novedoso.
En el enfoque conductista se refuerza un proceso mecanicista que no permite la
consolidación de aprendizajes complejos, pues se basa en un modelo estímulo-respuesta.
Posteriormente, en el enfoque Piagetiano se considera que el sujeto tiene un carácter
activo dentro de su proceso, con respecto al profesor, es un mediador entre los
conocimientos y el aprendiz, el cual, facilita el descubrimiento del conocimiento y la
gestación del saber y saber-hacer.
El movimiento constructivista en la educación se caracteriza por ubicar una definición y
desarrollar unos contenidos dentro de un contexto o realidad cercana a la que viven los
estudiantes, en este aprendizaje se genera la modificación de procesos mentales e
intelectuales.
32 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
Otro de los puntos de vista que ha definido el proceso de enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas es el de las interacciones cognitivas. Entendiéndose esta como aquella que
posiciona en primer plano el papel del confrontamiento sociocognitivo dentro de la
construcción del conocimiento ya sea generado a partir de interacciones simétricas o
asimétricas. Es decir, la interrelación entre los participantes permite comparar argumentos
y coordinar la formulación de una única respuesta que integre aquellas deducciones que
representen un verdadero progreso cognitivo.
Por otra parte, la mediación instrumental se basa principalmente en el uso de sistemas de
representación semióticos, lo cual, ha permitido la modificación de la estructura cognitiva
fuertemente ligada a esta actividad (Wertsch, 1993). Las presencias de estos sistemas
posibilitan la transformación conceptual ligada al desarrollo de las matemáticas, puesto
que se maneja de forma articulada el objeto matemático y sus representaciones.
Es por ello, que la formulación curricular de matemáticas, debe estar dirigida a lograr
desarrollar procesos como la abstracción, la generalización y la inferencia asociados al
pensamiento matemático, los cuales se pueden lograr a través del uso de la tecnología en
el aula. Estas herramientas dan sentido a la organización y la mate matización de
situaciones que ante los ojos de los estudiantes carecen de comprensión, es decir, de esta
manera se establecen conexiones entre distintos fragmentos de conocimiento.
2.3.3 Uso de las tecnologías en el aula
La existencia de software de visualización geométrico-matemático ha ampliado las formas
de representación de situaciones de variación, a su vez ha permitido generar otros
sistemas de representación a partir de uno. El uso de herramientas como Geogebra dentro
del aula proporciona la construcción de una red de ideas y conceptos que den sentido a
nociones de cambio que en muchas ocasiones son tratadas de forma abstracta, puesto
que potencializa los procesos de razonamiento, comunicación y modelación.
Este tipo de programas dan la posibilidad de establecer relaciones de dependencia que se
mantienen en el tiempo, sin importar las variaciones de la posición del objeto matemático.
Lo anterior, se refuerza a través de lo manifestado por autores como Artigue (2002);
Souchard (2006) o Haspekian & Artigue (2007), quienes sostienen que: “...sobre todo en
Capítulo 33
la educación, las TIC poseen un valor de construcción de conocimiento y otro de eficacia
a partir de una suerte de transposición tecnológica adecuada y pertinente” (Citado en
Forero Hernández, 2013, p. 62).
Los docentes están preparados para rediseñar continuamente las herramientas didáctico-
pedagógicas, las cuales se circunscriben a las necesidades y condiciones dentro de la
institución en la cual labora con el propósito de mejorar la enseñanza de las matemáticas.
De allí la importancia de su intervención en el proceso de enseñanza, tal como lo expresan
pedagogos: “...Sin embargo, la idea de que los computadores, por sí solos, crearán una
mejor práctica docente es ‘uno de los mitos de la cultura informática´” (Olson, 1988, citado
en Kilpatrick et al., 1998).
El uso de estas herramientas tecnológicas por sí solas, no aseguran el éxito de la práctica
educativa. Un uso adecuado de estas ocurre cuando son consideradas como un mediador
entre lo que el docente espera enseñar y lo que desea que sus estudiantes aprendan.
Siempre debe existir una intencionalidad al momento de usarlas, permitiendo ir más
adelante de lo que sería en caso de aprender sin estas.
2.3.4 Potencial didáctico de la geometría dinámica
Geogebra, es un software de geometría dinámica, caracterizado por la construcción
permanente de objetos matemáticos cuyas relaciones geométricas fueron establecidas
inicialmente y se conservan sin importar la posición de estas en el espacio. Sus principales
características están asociadas a: el dinamismo o movilidad de las construcciones en el
tiempo, la visualización del rastro de lugares geométricos que son descubiertos.
Cabe destacar que los objetos matemáticos dinámicos brindan fenómenos visuales de
mayor impacto que los dibujos. Además, a través de la manipulación que se le dé a este
en el tiempo, es posible identificar propiedades espaciales que resultan invariantes, lo cual,
sería imposible de percibir en un dibujo. De manera que el entorno de la geometría
dinámica es un espacio abierto a la experimentación que avanza a través de la exploración
hasta llegar a la formulación de argumentos.
34 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
La importancia del uso de esta herramienta se evidencia al facilitar el proceso de
reconocimiento de las invariantes de una construcción, la corroboración de las propiedades
que definen y caracterizan los objetos matemáticos a través de la exploración, la
problematización de la visualización de tal manera que surja la necesidad en el estudiante
de explorar, conjeturar, predecir y verificar. La construcción de curvas como lugares
geométricos constituye una forma novedosa de servirse del dinamismo en la enseñanza
de la geometría.
En este trabajo nos centramos en el uso de la dinámica entre la exploración y la
sistematización como potencial didáctico de la geometría dinámica, puesto que facilita el
reconocimiento de las relaciones geométricas. En el uso de este potencial, Geogebra es
entendido como un socio cognitivo que le permite manipular las representaciones de los
objetos matemáticos y atribuirles un sentido. Durante este proceso, se identifican
invariantes, que posteriormente darán lugar a la consolidación de “teoremas” que sirven
de apoyo en la resolución de problemas.
Este medio de visualización posibilita el establecimiento de conexiones entre fragmentos
del conocimiento, lo cual es de gran importancia en la construcción de significados de los
cuales se apropia el estudiante. Este proceso, se estructura de la siguiente manera, se
tiene un objeto geométrico, el cual es modificado mediante el arrastre, permitiendo la
captación de una propiedad más general, la cual puede ser enunciada como una propiedad
general. Este objeto geométrico ha permitido la organización de un conocimiento, que es
resultado de una secuencia de exploración, sistematización de acciones y argumentos
para realizar procesos de abstracción.
Sobre todo, la posibilidad de manipular por medio del arrastre los elementos que
constituyen una figura geométrica, realizar mediciones que posteriormente puedan ser
tabuladas y representadas gráficamente, permite la integración de variados tipos de
representaciones semióticas, asociadas a un alto potencial para interconectar los
conocimientos geométricos con los numéricos y algebraicos.
Conviene reconocer las etapas involucradas en el trabajo matemático, como lo son: la
exploración, la construcción, la argumentación y la demostración. La primera nace en el
momento en que el estudiante se enfrenta al problema, a través de la construcción se
Capítulo 35
ponen de manifiesto las propiedades geométricas involucradas, las cuales, se sirven de
base en la argumentación deductiva hasta finalmente lograr desarrollar con rigor
matemático la demostración.
2.3.5 La visualización como recurso
La visualización se entiende como la habilidad para representar, generar, comunicar,
transformar información gráfica, es decir, corresponde a un proceso mental de amplio uso
en áreas como las matemáticas y ciencias.
El empleo de la visualización constituye un recurso en la asignación de sentido y
significado de conceptos a partir del empleo de estructuras y lenguajes que varían en el
tiempo (Cantoral, 2004). La variación es entendida como la cuantificación de un cambio,
su estructuración es un proceso complejo y lento, debido a la integración de campos
numéricos, geométricos, gráficos, visuales, simbólicos, algebraicos y analíticos. También
requiere de la comprensión de procesos matemáticos como: número, constante, variable,
parámetro, función, límite, continuidad, razón de cambio, convergencia, para tener una
adecuada construcción de la idea de cambio y variación.
La graficación es entendida como una manera de dotar de sentido y significado a las
funciones y sus propiedades matemáticas desde una posición cognitiva. La graficación
permite ir avanzando a través de los diversos escalones de los niveles de desarrollo del
pensamiento matemático con el uso de la visualización en los distintos grados.
A través del uso de este tipo de representaciones visuales, es posible identificar las
características o propiedades que exhiben las variables relacionadas, previo a algún tipo
de movimiento, durante y posterior a este. Por lo anterior, actualmente en la enseñanza
matemática ha tomado importancia el papel de la visualización en el aprendizaje y en la
formación matemática de los estudiantes (Acuña, 2013).
2.3.6 Teorías de la presentación de Raymond Duval
La teoría de registros de representación semiótica propuesta por Duval (1993), establece
la vitalidad del uso de sistemas de representaciones para el fortalecimiento y desarrollo del
pensamiento matemático, incluso él considera que no es posible tener acceso a los objetos
36 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
matemáticos sino a través de estas. Dentro del proceso de enseñanza - aprendizaje es
necesario ahondar en la capacidad de traducir la información suministrada a los diferentes
tipos de representaciones, y transitar flexiblemente de una a otra.
Destaca tres aspectos claves en la comprensión de las representaciones como lo son: el
estructural relacionado con la determinación del significado de los signos y presentaciones
de la información, el fenomenológico vinculado con las exigencias psicológicas en la
producción o aprehensión de estos signos y el funcional establecido a partir del tipo de
actividad que se puede desarrollar con las representaciones.
Por otra parte, el uso de un sistema de representación debe hacer posible el desarrollo de
actividades cognitivas, es decir, la formación de una representación identificable,
tratamiento y conversión. Con respecto al proceso anteriormente descrito, asociado al
pensamiento variacional, Duval (1999) señala que:
La primera actividad está relacionada con la expresión de una representación
mental: las representaciones semióticas no solo son indispensables para fines de
comunicación, sino que también son necesarias para el desarrollo de la actividad
matemática misma. Mientras que, las otras dos actividades están relacionadas con
la transformación de las representaciones en otras representaciones. El tratamiento
es una transformación interna, es decir, es la transformación de la representación
en el mismo registro en el que está dada, por otro lado, la conversión es una
transformación externa, o sea, es la representación en un registro distinto al registro
en el que fue dada ( p. 5)
A continuación, se enuncia una situación susceptible de ser transformada en diversos
sistemas de representación semiótica relacionada con el contexto trigonométrico. Tal es el
caso de: Felipe está elevando su cometa aprovechando los vientos de agosto. Él ha
soltado ya 32 m de cuerda y el ángulo que forma esta con la horizontal, es de 60º. ¿A qué
altura, h, se encuentra la cometa?
La representación anterior es de tipo verbal, la cual ha sido transformada a una de carácter
gráfico (Figura 1).
Capítulo 37
Figura 1. Esquema de la situación. Fuente: Elaboración propia
El empleo de esta última facilita la transición hacia una que utiliza el lenguaje algebraico,
tal como se muestra a continuación:
𝑆𝑒𝑛 𝛽 =ℎ
𝐿,
donde:
𝛽 es el ángulo formado entre la cuerda y la horizontal.
𝐿 es la longitud de la cuerda
ℎ es la altura a la cual se encuentra la cometa
Otorgando los valores suministrados por el enunciado, se puede establecer de la siguiente
manera:
𝑆𝑒𝑛 (60°) =ℎ
32 𝑚,
Ahora apoyados una representación algebraica, la transformaremos en una de tipo
numérica, así:
ℎ = 𝑆𝑒𝑛 (60°) ∗ 32 𝑚;
ℎ = 27,71 m
De igual forma, la situación presentada puede ser analizada a partir de la siguiente
información del comportamiento gráfico y numérico de la función seno (Figura 2).
38 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
Figura 2. Representación gráfica y numérica de la función seno. Fuente: Elaboración propia
Calculando un valor aproximado de la altura de la cometa, de la siguiente manera:
ℎ = 0,87 ∗ 32 𝑚 = 27,84 𝑚
Es importante que el estudiante reconozca que, a través del tratamiento y conversión de
los diversos sistemas de representación semiótica, se establecen equivalencias en los
significados de cualquiera de estas. Duval (1992) sostiene que para lograr el paso flexible
de un registro de representación a otros “...parece esencial proponer una tarea que
conduzca a explorar sistemáticamente las variantes posibles de una representación en un
registro y prever, u observar, las variaciones concomitantes de las representaciones en el
otro registro” (citado en Castro, et al., 2017, p. 3). Lo anterior explica que las dificultades o
limitaciones que se presentan en la comunicación existente entre los diversos sistemas de
representación, constituyen el centro del funcionamiento del pensamiento matemático.
Dentro del proceso de enseñanza-aprendizaje es necesario que el sujeto logre obtener el
estadio de coordinación entre los sistemas de representación semiótica heterogéneos, de
tal manera, que esté en capacidad de distinguir la representación y el contenido conceptual
que está expresa, para lograr convertirlo a otros lenguajes equivalentes.
Capítulo 39
2.3.7 Pensamiento matemático en la estructura curricular de la educación matemática
A lo largo del tiempo, la educación matemática se ha interesado en responder preguntas
como: ¿Qué debe aprender y saber un estudiante de matemáticas? o, ¿cuáles son los
conocimientos mínimos que debe alcanzar un estudiante en su saber en matemáticas? En
los lineamientos curriculares de matemáticas se planteó que estos conocimientos
corresponden al desarrollo del pensamiento numérico, espacial, métrico, variacional y
aleatorio.
El docente de esta especialidad evidencia en los estándares básicos de competencias,
que el MEN (2006) ha propuesto en las matrices de contenidos la no aparición de temas,
sino procesos asociados a cada uno de los pensamientos. Allí también se articula de forma
transversal y permanente en el proceso de enseñanza-aprendizaje al pensamiento lógico.
Por lo tanto, la preocupación en el quehacer pedagógico no debe estar orientado a la
enseñanza de contenidos, por el contrario, se debe buscar que el estudiante desarrolle
diferentes formas de pensamiento en la comprensión y solución de situaciones problemas
de su entorno.
La comprensión que se tiene sobre los números, operaciones y la flexibilidad para emitir
juicios matemáticos están enmarcados dentro del pensamiento numérico y sistemas
numéricos. En cambio, aquel que se relaciona con las representaciones mentales de los
objetos espaciales, sus relaciones y transformaciones corresponde a habilidades propias
del pensamiento espacial y sistemas geométricos.
El pensamiento métrico y de sistemas de medidas hace alusión a la comprensión de
magnitudes, cantidades, la medición de estas y el uso habilidoso de los sistemas métricos.
En el campo probabilístico, se encuentra el pensamiento aleatorio y sistemas de datos,
con el cual es posible la toma de decisiones y predicciones en situaciones de
incertidumbre, desde la exploración con rangos de datos, simulación de experimentos y
realización de conteo.
40 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
Por otra parte, la capacidad de reconocimiento, percepción, identificación y caracterización
del cambio y variación en diferentes situaciones de contexto, en conjunto con la
descripción, modelación, representaciones: verbales, gráficos, numérico o algebraicos
constituyen el pensamiento variacional y sistemas algebraicos, el cual es objeto de estudio
en este proyecto.
2.3.8 Pensamiento variacional en la enseñanza aprendizaje de las matemáticas
La iniciativa de potencializar el desarrollo del pensamiento variacional en la matemática,
aparece de manera explícita en los lineamientos curriculares, cerca de 1996. Para este
momento, era clara la necesidad de profundizar en el aprendizaje y manejo de funciones
como aquellas que simulan situaciones de cambio, es decir, abrir un campo que vincula
conceptos y procedimientos matemáticos y de otras ciencias, susceptibles de ser
analizados, organizados, modelados y transformados.
Este tipo de pensamiento se manifiesta cuando el individuo es capaz de identificar un
fenómeno de cambio, luego describe e interpreta las características y comportamiento de
las magnitudes presentes, y a partir de estas, logra predecir sus consecuencias de manera
cualitativa y cuantitativa, hasta llegar a la modelación de esta situación.
Las situaciones pueden ser representadas de manera cualitativa a través del lenguaje
escrito, donde el estudiante por medio de la expresión de sus propias palabras se refiere
a lo que está ocurriendo en la situación de cambio y logra establecer conclusiones
deducidas de sus observaciones. De igual modo, lo puede hacer mediante
representaciones gráficas que dan sentido al fenómeno de cambio, o a través de modelos
físicos que simulan a este.
De igual manera, es posible realizar representaciones cuantitativas de las situaciones de
variación y cambio, como lo son: la geometría, tabular en donde el uso de tabla de datos
numéricos sirve como herramienta para presentar los datos de forma gráfica, permitiendo
descubrir patrones de comportamiento y realizar predicciones, algebraica en la cual se
comprenda el comportamiento de las variables relacionadas en la situación de estudio.
Capítulo 41
La práctica pedagógica ha evidenciado que en la medida en que el estudiante pueda
realizar, analizar y describir diferentes representaciones, este se profundizará en la
comprensión y sentido que le da a un fenómeno de variación y cambio. Además, la calidad
del entendimiento de la situación está relacionada estrechamente con el tránsito que pueda
hacer el estudiante a través de las diferentes representaciones.
El pensamiento variacional indiscutiblemente está articulado a los distintos tipos de
pensamientos como: el numérico, geométrico, algebraico, métrico y estadístico, puesto
que no es posible desligar estas de las situaciones de variación y cambio. Este
pensamiento principalmente se interesa por: la variable y el concepto de función,
tratamiento de los sistemas de representación y la modelación variacional.
2.3.9 Procesos asociados al pensamiento variacional
En los lineamientos curriculares de Matemáticas (MEN, 1998) y los Estándares Básicos de
Competencias en Matemáticas (MEN, 2006) se establece que, en la actividad matemática,
los procesos asociados al pensamiento variacional son:
1. Reconocimiento y comprensión de variables: se considera que en este proceso los
estudiantes deben presentar las siguientes habilidades:
- Sacar los datos que sufren cambios o variaciones y los que son invariantes, es
decir, reconoce las nociones de constante, variable, razón o tasa de cambios.
- Reconocer, identificar y caracterizar las variables dependientes e independientes.
- Reconocer las relaciones entre variables presentes en la situación.
2. Conversión y tratamiento de sistemas semióticos de representación: se pretende
que en este proceso el estudiante logre la comprensión fácil de una situación
problema a partir del manejo y transformación de una representación en otra de
cualquier tipo. Este grupo de representaciones pueden ser:
- Figural, el cual puede ser un dibujo o esquema que exhiba lo presentado en el
problema.
- Coloquial o verbal.
42 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
- Fenomenológica: en el cual use un objeto de mediación determinado para
representar la solución.
- Ejecutable: es decir, construye la representación del problema en un entorno
tecnológico dinámico.
- Gráfica y tabular: en la cual es capaz de analizar fenómenos de variación
representados en gráficos o tablas.
- Algebraico.
- Numérico-variacional: en la cual el estudiante es capaz de visualizar los cambios
numéricos de las variables que intervienen.
3. Modelación y generalización: cabe destacar que estos dos procesos son
considerados la cúspide del pensamiento variacional. Se evidencia cuando el
estudiante:
- Formula y visualiza un problema en diferentes formas.
- Descubre relaciones y regularidades. Invariantes o patrones.
- Transfiere un problema de la vida real a un problema matemático.
2.3.10 Errores y dificultades de los estudiantes
A partir del análisis de las soluciones elaboradas por los estudiantes de secundaria en
matemáticas, expertos como: Movshovitz-Hadar, Zaslavksy e Inbar (1987, Kilpatrick et al.,
1998) realizaron una clasificación experimental de los errores:
1. Mala utilización de datos: en esta categoría se encuentra los casos en los que es
olvidado algún dato necesario para dar tratamiento a la situación, o se da una
respuesta que no corresponde a lo solicitado, o no hay consistencia entre la
información proporcionada y la asignación de los valores a las magnitudes
relacionadas, o incluso cuando hay confusión en la asignación de valores
numéricos de las variables enunciadas.
2. Errónea interpretación del lenguaje: Ocurre cuando hay una apreciación falsa de
los hechos matemáticos descritos en un sistema representacional. También se
evidencia cuando se expresa en el lenguaje algebraico una relación diferente a la
presentada en el enunciado, o cuando se hace un uso incorrecto de los símbolos
empleados para definir un concepto matemático, o cuando se realiza una
Capítulo 43
interpretación que no coincide con la información suministrada por los términos
gráficos o matemáticos.
3. Razonamientos no válidos lógicamente: Suceden a partir de errores de
razonamiento y no obedecen al contenido teórico. Como por ejemplo deducir lo
contrario a lo establecido en un enunciado condicional, o no comprender los
cuantificadores o incluso, dar saltos en una inferencia lógica.
4. Alteración de definiciones o teoremas: Incluye la aplicación de teoremas sin
respetar las condiciones de uso de este, desarrollar de forma inadecuada una
definición, teorema o fórmulas previamente establecidas.
5. No corroboración de la solución obtenida: Ocurre al no realizar un análisis de la
solución con el enunciado.
6. Errores técnicos: Propios de tomar incorrectamente datos de una tabla, o al
manipular equivocadamente los símbolos algebraicos y otros de carácter
procedimental.
2.3.11 Reflexión sobre el marco teórico
Luego de realizar el barrido histórico de los componentes teóricos descritos anteriormente,
se evidencia la importancia de la fundamentación psicológica del proceso de enseñanza-
aprendizaje asociada fuertemente al componente social y cultural en el que se
desenvuelven los estudiantes. Este trabajo está enmarcado en un ambiente cognoscitivo
de carácter constructivista, el cual, apoyado en el empleo de la visualización como recurso
dinamizador propio de las potencialidades de la geometría dinámica en el Geogebra, se
logra articular de una manera más eficiente la significación de las representaciones
semióticas propuestas por Duval. La transformación de estas representaciones en otras,
permite avanzar a través de los distintos procesos asociados al pensamiento variacional,
disminuyendo así, los errores y dificultades comúnmente presentadas en la actividad
matemática.
2.4 Marco conceptual
En este componente se presenta y describe los conceptos que enmarcan el diseño y
desarrollo del presente trabajo. Lo anterior, permite una comprensión íntegra y consistente
del proceso investigativo sobre el diseño de actividades de aprendizaje orientadas al
44 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
desarrollo del pensamiento variacional en el contexto de las razones, funciones y
ecuaciones trigonométricas haciendo uso del Geogebra como mediador cognitivo en uso
de las potencialidades de la geometría dinámica.
2.4.1 Pensamiento matemático
Desde la teoría del desarrollo cognitivo de Piaget (1999, citado en Paltan y Quilli, 2011), el
conocimiento lógico - matemático emerge en el niño a través del pensamiento reflexivo de
las construcciones mentales generadas luego de la interacción con los objetos, avanzando
de lo simple a lo complejo. A lo cual Baroody (2005) agrega que este conocimiento que se
adquiere cuando es procesado, es decir, cuando el niño se ha interrelacionado de forma
significativa con el objeto, no es olvidado.
Complementariamente, en lo que respecta al enfoque establecido en los lineamientos
curriculares para el área de matemáticas, se espera que los estudiantes estén en la
capacidad de conceptualizar, comprender posibilidades, manejar la incertidumbre,
desarrollar competencias que los posibilite de herramientas para enfrentar las necesidades
actuales propias de la vida, resolución de conflictos, toma de decisiones e incursión en la
sociedad.
El quehacer matemático visto de forma integral, considera fundamental la vinculación de
los siguientes aspectos en la organización del currículo, como lo son:
Los procesos generales propios del aprendizaje, tales como: el razonamiento; la
resolución y planteamiento de problemas; la comunicación; la modelación y la
elaboración, comparación y ejercitación procedimientos.
Conocimientos básicos que desarrollan el pensamiento matemático, como lo son:
pensamiento numérico, el espacial, el métrico, el aleatorio y el variacional, entre otros.
Estos pueden ser ampliados a partir de sistemas numéricos, geométricos, de medida,
de datos, algebraicos y analíticos.
El contexto constituye el ambiente en el cual se le da sentido a las matemáticas. Por
otra parte, debe ser tenido en cuenta para el diseño y aplicación a experiencias
didácticas.
Capítulo 45
Es por ello, que el proceso de enseñanza y aprendizaje se sugiere ser visto como un
sistema tridimensional que incorpore los elementos señalados anteriormente (MEN, 1998).
Dentro del conocimiento de las matemáticas, es importante destacar, que existen niveles
de abstracción que van aumentando progresivamente, y los cuales posteriormente se
constituyen como la fuente de otros.
2.4.2 Procesos asociados a la actividad matemática
En los lineamientos curriculares y estándares básicos de competencias en matemáticas
se establecen los procesos que se deben fortalecer en la actividad matemática. Uno de
estos está relacionado con el planteamiento y resolución de problemas, puesto que el
desarrollo de un intelecto inquieto en los estudiantes se hace posible cuando estos ganan
confianza en el uso de las matemáticas para solucionar problemas de su contexto.
Además, son capaces de comunicar matemáticamente, es decir, de expresar ideas,
interpretar, representar, usar prácticamente otros tipos de lenguaje, describir relaciones y
modelar situaciones.
El razonamiento es entendido como la capacidad de producir y ordenar ideas en la mente
hasta llegar a una conclusión. Este proceso está relacionado con: comprender el cómo y
por qué de los procedimientos, formular posibles hipótesis, hacer deducciones y
predicciones, justificar o refutar conjeturas, dar argumentos coherentes, establecer
patrones y expresarlos matemáticamente.
En el avance través de estos procesos, se presenta la modelación, como una actividad
cognoscitiva que estructura y organiza el conocimiento para descubrir invariantes o
regularidades, incluso, es capaz de transferir una situación de la vida cotidiana a un modelo
matemático. La generalización es reconocida como el nivel más alto de la modelación.
En el proceso de la comunicación de ideas matemáticas, se hace uso de los diferentes
lenguajes representaciones, los cuales se deben usar dentro del aula de manera
permanente para propiciar el trabajo colectivo y natural en la que los estudiantes
compartan el significado de los gráficos, las palabras y símbolos para dar explicación a las
situaciones. En sintonía con lo anterior, si no se dispone al menos de dos formas distintas
de expresar y representar un contenido matemático, formas que Duval (1999) llama
46 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
“registros de representación” o “registros semióticos”, no parece posible aprender y
comprender dicho contenido.
La elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos es un proceso en el cual el
estudiante es versado en la construcción y ejecución de algoritmos sin dejar de lado la
comprensión y entendimiento de estos. Por último, los procedimientos analíticos permiten
modelar situaciones de cambio de forma algebraica, a través de las funciones, sus gráficas
y las tablas, conectando y convirtiendo una representación en otra de diferente tipo.
2.4.3 Pensamiento variacional, sistemas algebraicos y analíticos
El MEN (1998), en los lineamientos curriculares para matemáticas, considera que el
pensamiento variacional constituye una salida a problemas que involucran la enseñanza
fragmentada de contenidos matemáticos aparentemente aislados y carentes de
significado, para pasar a un nivel cognitivo capaz de interrelacionar conceptos y
procedimientos para analizar, comprender y modelar matemáticamente situaciones y
problemas de cambio o variación. Incluso se considera que su desarrollo es lento y que
sólo se alcanza este pensamiento luego del avance en los demás tipos de pensamientos
matemáticos.
El estudio del concepto de variación es central, y está circunscrita a núcleos temáticos
relacionados con: el conjunto de números reales, continuidad, tendencia, procesos
infinitos, función, magnitudes dependientes o independientes, expresiones algebraicas,
noción y significado de variable, proporcionalidad, razón de cambio. Para lograr desarrollar
el pensamiento variacional, Vasco (2002, citado en Gracia, 2018), considera que es
necesario que el estudiante modele fenómenos o situaciones problemas de la realidad que
vive, en la cual, identifique patrones, establezca relaciones de cambio, represente y analice
situaciones a través del uso de símbolos algebraicos.
De acuerdo a lo expuesto anteriormente, existe una relación fuerte entre el pensamiento
variacional y el manejo de los sistemas algebraicos, que presentan al álgebra como un
recurso y sistema robusto de representación y descripción de fenómenos de variación y
cambio.
Capítulo 47
En síntesis, este pensamiento está relacionado con procesos de: reconocimiento,
percepción, identificación y caracterización de la variación y el cambio, así como con su
descripción, modelación y representación en distintos sistemas semióticos (MEN, 2006).
2.4.4 Representaciones
Las representaciones pueden ser principalmente de dos tipos: internas o externas. Duval
(1999) con respecto a estas últimas, considera que se realizan a través de un sistema
semiótico y todos aquellos que conocen dicho sistema pueden acceder a esta
representación. Además, destaca la importancia de disponer de una gama amplia de
representaciones de un mismo objeto, para facilitar la comprensión del sujeto sobre el
objeto de estudio.
Existen variadas representaciones, a continuación, se resaltan las siguientes:
Representación figural: en la cual se usa un dibujo o bosquejo que plasma las
condiciones del problema.
Representación coloquial (verbal): se usa la escritura (letras y números) para mostrar
la situación.
Representación fenomenológica: se hace uso de cualquier objeto o material
manipulativo de mediación para exhibir la situación.
Representación ejecutable: en la cual se usa un entorno tecnológico dinámico para
representar el problema y en el que además se pueda reconocer las variaciones
asociadas a dicho fenómeno.
Representación gráfica (cartesiana): en el cual se emplea un plano cartesiano para
representar el comportamiento de variables en el problema.
Representación tabular: se usan tablas de datos para representar los cambios de las
variables.
Representación simbólica algebraica: se usa un modelo de representación algebraico
(con letras y operaciones) de la situación. En este escenario, la letra se reconoce como
variable o parámetros.
Representación numérico - variacional: este tipo de representación se percibe a partir
de la visualización de los cambios numéricos de las variables en tiempo real.
48 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
A continuación, se presentan algunos ejemplos que evidencian cómo se integran los
diferentes sistemas de representación semiótica entre sí.
Símbolos como representaciones de objetos y los símbolos como objetos.
En el camino que siguen los estudiantes para lograr una correcta manipulación de las
expresiones algebraicas, se debe avanzar a través de dos etapas fundamentalmente. En
la primera etapa los símbolos representan objetos, relaciones entre estos o acciones sobre
ellos. A su vez, estos símbolos pueden tener valores. En la siguiente fase, los valores de
los símbolos no están limitados a los establecidos por la situación, en los cuales los
símbolos son objetos.
En un software de geometría dinámica, el objeto matemático corresponde a un objeto
variable, o también llamado objeto particular dinámico, en la cual, se conserva invariante
una relación sin importar la posición de este objeto.
Resolución algebraica de problemas verbales.
Los problemas expresados de forma verbal, son susceptibles de ser representados,
modelados y resueltos algebraicamente, en la cual, se emplea símbolos o letras para
representar variables que son desconocidas, buscando o estableciendo relaciones
matemáticas entre las cantidades, traduciendo al lenguaje del problema la solución
numérica encontrada.
Funciones y sus representaciones.
La relación de proporcionalidad entre una variable dependiente y otra independiente se
puede presentar a través de un enunciado, una gráfica, tabla y fórmula.
2.4.5 Proceso de variación y cambio
Para el reconocimiento e identificación de un cambio, es necesaria la comparación para
evidenciar la modificación en la cantidad de una magnitud. Mientras que el MEN (2006)
Capítulo 49
establece que la variación se identifica a partir de los cambios de una magnitud en el
tiempo, es decir, explica la manera de cambio de una variable con respecto a otra.
Las situaciones de variación y cambio son una herramienta central para fomentar el
desarrollo del pensamiento matemático, en el cual se establece la causa que genera el
cambio susceptible de ser cuantificado y analizado para realizar predicciones y tomar
decisiones al respecto.
Por lo anterior, este es considerado como una de las bases conceptuales más importantes
en las matemáticas y por lo tanto evaluados por el ICFES. Los problemas son articulados
sobre la necesidad de identificar, reconocer y comprender una variable, reconocimiento y
uso de regularidades, patrones; sentido y uso de las relaciones a través de ecuaciones,
inecuaciones y funciones; sentido, significado y uso de distintas formas de representación
en situaciones de variación (ICFES, 2017).
2.4.6 Modelación
La modelación parte de una situación problema de la cotidianidad, que permite la
formulación de predicciones y toma de decisiones. Al respecto, De Lange (1987, citado en
MEN, 1998) considera que este proceso apoyado en el conocimiento y las habilidades
adquiridas, permite establecer regularidades y relaciones.
Para lograr lo anterior, varios autores manifiestan que, para trasladar la situación problema
a un modelo matemático se requiere de: formular o visualizar un problema de variadas
formas, esquematizar, establecer relaciones o regularidades, conocer un modelo
matemático que mejor se ajuste al problema real.
Luego de realizada la transferencia a un problema matemático, se requiere el uso y
dominio de algoritmos y procedimientos apropiados para dar solución al mismo, a partir de
actividades como: expresión que muestre la relación entre las magnitudes, formulación y
verificación de regularidades, ajuste a modelos, presentación de un concepto matemático
nuevo, hasta alcanzar finalmente la generalización.
50 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
2.4.7 Herramientas de medición cognitiva
El uso internacional de herramientas tecnológicas ha hecho posible la re significación de
variados conceptos matemáticos, de tal manera, que el estudiante pueda comprender esto
o incluso deducirlo desde la interacción con el objeto. Es justamente en el objetivo con el
cual se usa, lo que hace la diferencia, pues estas herramientas pueden ser utilizadas y
carecer de la intencionalidad de mediar en el aprendizaje.
Lo anterior, solo se consigue cuando en el individuo se organiza y amplía su conocimiento
(MEN, 2006), a partir del cuestionamiento sobre lo que sabe previamente, para luego
avanzar a través de nuevos conocimientos para él. Es justamente en este momento,
cuando cobra especial importancia el uso del potencial de la geometría dinámica central
de este proyecto como lo es la dinámica entre la exploración y la sistematización.
Indiscutiblemente, el papel del docente en esta etapa es fundamental, especialmente por
las preguntas y la guía que este realice, se garantiza o no el avance en el proceso de
enseñanza y aprendizaje. A su vez, el uso de herramientas tecnológicas permite que el
estudiante identifique rápidamente su error, invitándolo a reflexionar sobre situaciones
asociadas a la pregunta central del problema, ampliando como anteriormente se había
mencionado sus conocimientos y aprendizajes. De manera que la tecnología hace posible
la mediación entre la comprensión y diferenciación de conceptos, para la generación de
nuevos conocimientos.
2.4.8 Geogebra
Es un software libre e interactivo elaborado por Markus Hohenwarter, bastante útil y
altamente empleado en la enseñanza - aprendizaje de las matemáticas a los distintos
niveles de complejidad y grados de escolaridad, este vincula los diferentes sistemas de
representación como: geométrico, numérico, de datos, algebraico y analíticos. Permite la
visualización de forma simultánea en por lo menos 2 vistas (Geométrica y algebraica) de
objetos matemáticos que se modifican de forma dinámica o automática en cualquiera de
sus presentaciones.
Pedagogos actuales consideran que el Geogebra se puede utilizar como mediador
cognitivo en el campo de la validación de resultados de situaciones problema. Para
Capítulo 51
ahondar la descripción de este programa, se puede remitir al anexo B, correspondiente al
taller de familiarización con Geogebra.
2.4.9 Aprendizaje con geometría dinámica
El aprendizaje significativo de la geometría vincula los procesos de visualización y
justificación con los procesos asociados al componente espacial y deductivo. Los primeros
hacen posible la obtención de conclusiones a partir de la representación de los objetos y
las transformaciones que sufren estas en la manipulación de las construcciones bi o
tridimensionales.
La construcción de un aprendizaje significativo sostiene una interacción continua entre la
visualización y la justificación, de tal forma que las experiencias percibidas son la base del
discurso teórico que construye el estudiante. Además, cuando se tiene mayor cantidad de
representaciones de un fenómeno, se amplían las oportunidades del aprendizaje. En la
actualidad se han desarrollado herramientas destinadas a facilitar la comprensión, el
desarrollo de habilidades y competencias matemáticas. Este es el caso de programas de
geometría dinámica como: el cabri – geometre y el Geogebra, con los cuales se pueden
recrear construcciones desde el uso de elementos de la geometría básica hasta llegar a
conceptualizaciones más complejas.
La geometría dinámica permite en los estudiantes, la exploración ligada a las propiedades,
definiciones y características de los objetos matemáticos. Este es un instrumento para
reconocer relaciones invariantes de comportamiento que facilitan la consolidación del
conocimiento al estructurar y dar sentido al conocimiento. Al respecto, Castiblanco et al
(2009) afirman que: “El potencial didáctico de la geometría dinámica va más allá de su
poder ilustrativo. Se trata de problematizar la visualización, hacerla operativa, de manera
que surja de forma natural la necesidad de explorar, conjeturar, predecir, verificar” (p. 26).
Su poder didáctico tiene un gran alcance, debido a que busca problematizar la
visualización, hasta crear en el estudiante la necesidad avanzar a través de las etapas
mencionadas anteriormente, que afectan un fenómeno en particular. A través del diseño,
implementación y evaluación de diferentes estrategias que vinculan la geometría dinámica
en la enseñanza de la geometría y matemática, se ha establecido que el uso de estas
52 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
herramientas permite en el estudiante confrontar su percepción y la retroalimentación de
sus conocimientos.
2.4.10 Taller
Las actividades de aprendizaje utilizadas en este trabajo corresponden a talleres de tipo:
diagnóstico, de familiarización, de afianzamiento y de profundización. Este recurso o
material de apoyo didáctico contiene una ruta para que el estudiante avance a través de
los distintos procesos asociados al pensamiento variacional, hasta llegar a enfrentarse y
dar solución a problemas de modelación, apoyados de forma permanente en el uso de
aplicativos de Geogebra.
Es conveniente aclarar que estos talleres conservan una guía u organización acorde a los
grados de complejidad de los niveles conceptuales que se desean abordar, de tal manera,
que el estudiante se ejercite, afiance, consolide lo aprendido y además, asimile nuevos
conocimientos teniendo como base los ya aprendidos.
2.4.11 Reflexión sobre el marco conceptual
En la compilación de los componentes conceptuales expuestos anteriormente, se
describen las bases que soportan el diseño y desarrollo de este proyecto. Además de los
ejes que articulan y fomentan el desarrollo del pensamiento matemático como lo son: los
procesos asociados a la actividad matemática centrándonos de manera especial en el
pensamiento variacional, sistemas algebraicos y analíticos, representaciones, procesos de
variación y cambio, modelación y uso del Geogebra como herramienta de mediación
cognitiva en un ambiente de aprendizaje con geometría dinámica.
3. Capítulo III: Metodología
A lo largo de este capítulo, se explica la metodología empleada en la investigación de este
trabajo. Se define el modelo de investigación más apropiado acorde a las condiciones del
contexto y a los objetivos establecidos, los instrumentos metodológicos que permite la
medición de las evidencias en el avance de los procesos asociados al pensamiento
variacional en el nivel de la media, se especifica y caracteriza la muestra, se identifican las
potenciales fuentes de información y se detalla la forma en la cual se realizará el análisis
de los resultados.
3.1 Tipo de trabajo
Este trabajo se encuentra enmarcado dentro del modelo de investigación cualitativa, con
un alcance en el nivel descriptivo basado en el enfoque del uso de las potencialidades de
la geometría dinámica a través del Geogebra como mediador del aprendizaje.
Específicamente, se busca describir en forma particular y detallada el progreso en
procesos asociados al pensamiento métrico como:
Reconocimiento y comprensión de variables: reconoce, percibe, identifica y caracteriza
las variables asociadas a un fenómeno de variación
Tratamiento y conversión de sistemas representación semiótica: figural,
fenomenológica, gráfica, tabular, simbólico, algebraico y numérico variacional.
La modelación y la generalización: formular y visualizar un problema de diferentes
formas, descubrir relaciones, regularidades e invariantes, transferir un problema real a
uno matemático.
54 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
3.2 Instrumentos metodológicos
El trabajo se basa en el diseño, aplicación y análisis de los resultados obtenidos a partir
de cuatro tipos de actividades de aprendizajes, los cuales corresponden a talleres: uno de
familiarización, diagnóstico, de afianzamiento y de profundización, relacionados con los
conceptos asociados al estudio de la trigonometría. A continuación, se describe cada uno
de ellos.
3.2.1 Taller diagnóstico
La actividad diagnóstica tiene por objetivo conocer a través de la recopilación de
información, el nivel de apropiación de los conceptos asociados al componente
trigonométrico, para cada uno de los procesos involucrados como: Reconocimiento y
comprensión de variables, Tratamiento y conversión de sistemas de representación y La
modelación y la generalización. Lo anterior se realiza con la intención de que esta resulte
útil en la toma de decisiones orientadas a facilitar y mejorar el proceso de diseño de las
actividades de aprendizaje dirigidas al desarrollo del pensamiento variacional en el
contexto de las razones, funciones y ecuaciones trigonométricas, en la cual, gran parte de
los estudiantes aprendan dinámicamente.
3.2.2 Taller de familiarización con Geogebra
En esta actividad el estudiante explora las herramientas básicas del software educativo
libre GeoGebra empleando las potencialidades de la geometría dinámica, a través de la
interacción con construcciones u objetos geométricos. En la manipulación con este nuevo
ambiente de aprendizaje, las cuales, adquieren temporalidad, se posibilita al estudiante la
realización de deducciones y establecimiento de relaciones propias del objeto (Anexo B).
3.2.3 Taller de afianzamiento
La finalidad de este taller, será para:
La comprensión de las razones trigonométricas y circunferencia unitaria.
La comprensión de las funciones trigonométricas.
La comprensión de la traslación de funciones trigonométricas.
Capítulo 3 55
En estas actividades de aprendizaje, aprovechando las potencialidades de la geometría
dinámica (articulación entre procesos de visualización y procesos de justificación; dinámica
entre la exploración y la sistematización; modelización y la simulación) se busca que el
estudiante avance a través de los procesos asociados al pensamiento variacional, es decir,
se fortalezca el desarrollo del descubrimiento de relaciones, regularidad e invariantes en
cualquier sistema de representación para situaciones de carácter trigonométrico.
3.2.4 Taller de profundización
El taller de profundización trata:
Sobre las ecuaciones trigonométricas.
o Sobre ecuaciones trigonométricas lineales.
o Sobre ecuaciones trigonométricas cuadráticas.
Sobre el movimiento armónico simple
Estas actividades de aprendizaje se centran en diseñar instrumentos frente a temáticas
relacionadas con las ecuaciones trigonométricas lineales, cuadráticas y su aplicación en
el movimiento armónico simple. En razón a lo anterior, en este taller se involucran
actividades que requieren un alto grado de comprensión de los conceptos previamente
estudiados, donde se pretende alcanzar sobre todo procesos de modelación y
generalización transferidos de una situación problema de variación real a uno matemático.
3.3 Descripción de la población
La población objeto de estudio para la aplicación de las actividades de aprendizaje
propuestas en este trabajo, corresponde a grupos de estudiantes de grado décimo, es
decir, jóvenes con edades entre los 14 y 18 años, que preferiblemente sean escogidos por
conveniencia o según la necesidad de la educadora.
Es necesario que los estudiantes tengan conocimientos previos sobre los contenidos
básicos de trigonometría, puesto que estos son requeridos para el desarrollo de las
actividades iniciales de familiarización y diagnóstica.
56 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
3.4 Fuentes de información
Las distintas fuentes de información que permitirán evidenciar las dificultades, fortalezas y
avances en el desarrollo de los procesos cognitivos asociados al pensamiento variacional
son:
La obtenida de la comunicación e interacción en el nivel simétrico, es decir, entre los
estudiantes, y asimétrico, entre el docente y el estudiante.
La producción escrita de los estudiantes, reflejada en las respuestas presentadas en
cada una de las actividades de aprendizaje.
La observación directa durante el desarrollo de las actividades por parte del docente.
3.5 ¿Cómo se analizarán los resultados?
El análisis de las actividades de aprendizaje propuestas en este trabajo, se fundamenta
principalmente en un estudio de coherencia interna desde la articulación lógica entre los
objetivos de cada una con el desarrollo del pensamiento variacional dentro de la actividad
matemática, a partir del recorrido y avance del estudiante en los procesos como: el
reconocimiento y comprensión de variables, tratamiento y conversión de sistemas de
representación hasta llegar a la modelización y sistematización.
En este trabajo, el análisis del taller de familiarización con geogebra se analizará de
manera global, teniendo en cuenta algunos aspectos de los procesos descritos en 3.1. Con
respecto a los demás, talleres diagnóstico, de afianzamiento y de profundización, se
analizarán teniendo en cuenta ciertos subprocesos a los procesos descritos en 3.1, de la
siguiente manera:
En cuanto al proceso de reconocimiento y comprensión de variables, se considera
que en este proceso los estudiantes deben presentar las siguientes habilidades:
- Identificar en la situación descrita de forma trigonométrica aquellos datos que
sufren cambios o variaciones (variables), la proporción de sus cambios (razón o
tasa de cambio) y los que son invariantes (constantes).
- Reconocer, identificar y clasificar las variables en dependientes (funciones
trigonométricas) e independientes (ángulo).
Capítulo 3 57
- Reconocer el tipo de relación entre las variables presentes en diferentes sistemas
que describen un movimiento armónico simple
En torno al proceso de tratamiento y conversión de sistemas representación-
semiótica, se tiene en cuenta si el estudiante es capaz de lograr la comprensión ágil
de una situación problema a partir del manejo y transformación de una representación
en una equivalente de otro tipo, como: de unidades e instrumentos, como:
- Figural, el cual puede ser un dibujo o esquema que exhiba lo presentado en el
problema.
- Coloquial o verbal.
- Fenomenológica: en el cual use un objeto de mediación determinado para
representar la solución.
- Ejecutable: es decir, aquella en la que se construye la representación del problema
en un entorno tecnológico dinámico.
- Gráfica y tabular: en la cual es capaz de analizar fenómenos de variación
representados en gráficos o tablas.
- Algebraico.
- Numérico-variacional: en la cual el estudiante es capaz de visualizar los cambios
numéricos de las variables que intervienen.
Y respecto al proceso la modelación y la generalización, se considera la cúspide del
pensamiento variacional, en la cual se tiene en cuenta si el estudiante es capaz de:
- Visualizar un problema y formularlo de diferentes formas.
- Descubrir relaciones, patrones, regularidades e invariantes presentes en el
comportamiento de razones, funciones, ecuaciones trigonométricas lineales y
cuadráticas y M.A.S.
- Transferir un problema real a uno matemático.
4. Capítulo IV. Resultados y discusión
Para analizar la coherencia interna de las preguntas propuestas, se realizará una revisión
dentro de cada uno de los talleres según su relación con los procesos y subprocesos
asociados al pensamiento variacional como variables de estudio. Además, se establecerá
su relación con las competencias matemáticas como: formulación y resolución de
problemas, modelación de procesos y fenómenos de la realidad, formulación y ejercitación
de procedimientos y algoritmos, comunicación y razonamiento.
Por otra parte, es importante destacar que todas las imágenes, figuras son de autoría
propia acorde a las necesidades del proyecto en el software Geogebra.
4.1 Análisis sobre coherencia interna del taller diagnóstico sobre conceptos previos de trigonometría
Para el desarrollo en el proceso de reconocimiento y comprensión de variables, se
diseñaron las preguntas 1, 4, 5, 6, 7 y 8, las cuales están dirigidas a identificar el nivel de
comprensión y uso de los conceptos: razón, función y ecuación trigonométrica por parte
de los estudiantes. Además de reconocer, identificar y clasificar las variables
independientes o ángulos de las dependientes como lo son las razones y funciones
trigonométricas.
En relación al proceso de tratamiento y conversión de sistemas de representación
semiótica, se han propuesto las preguntas 9, 10, 12, 13 y 14, las cuales buscan identificar
el nivel manipulación y operación a través de los diferentes sistemas de representación
(principalmente en forma: gráfica, tabular, algebraica y numérica) en situaciones de
variación trigonométrica.
60 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
Finalmente, en lo que respecta al proceso de modelación y generalización, a través de las
preguntas 2, 3 y 11, se podrá evidenciar si el estudiante es capaz de elaborar o formular
sencillas generalizaciones en el proceso de transferir un problema real a uno
trigonométrico. Allí se evidenciará las competencias del estudiante en relación al
razonamiento, y modelación de procesos y fenómenos de la realidad, estableciendo
relaciones entre variables. Para más información acerca del taller diagnóstico (ver Anexo
A).
4.2 Análisis sobre coherencia interna del taller de familiarización sobre el uso de Geogebra
Este taller reposa en el Anexo B y está orientado a que el estudiante se familiarice o explore
las herramientas geométricas básicas del software Geogebra necesarias para avanzar a
través de los diferentes talleres propuestos a lo largo de este trabajo. Lo anterior,
principalmente apoyado en el uso de las potencialidades de la geometría dinámica como
lo es la dinámica entre la exploración y la sistematización, a través de la interacción con
construcciones u objetos geométrico-matemático. Esta manipulación se realiza en tiempo
real, lo cual provee de herramientas al estudiante para la elaboración de deducciones y
reconocimiento de relaciones propias del objeto (Figura 3).
Figura 3. App 1. Imagen Apps: Taller de familiarización. Fuente: Elaboración propia.
Capítulo 4 61
4.3 Análisis sobre coherencia interna en los talleres de afianzamiento
4.3.1 Taller de afianzamiento, para la comprensión de las razones trigonométricas y circunferencia unitaria
En el Anexo C se puede revisar en detalle este taller, el cual consta de 4 apps de Geogebra,
tal como se presentan a continuación. El proceso de reconocimiento y comprensión de
variables, se podrá desarrollar a través de los interrogantes 1, 2, 3, 10, 11, 12, 18 y 23, los
cuales están orientados a que el estudiante perciba, reconozca e identifique los parámetros
que afectan las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo. Este proceso está
relacionado con la adquisición de competencias propias de la comunicación de ideas
asociadas a dar sentido al lenguaje matemático y gráfico de variables como ángulos
agudos, ángulos especiales y razones trigonométricas (Figura 4 y Figura 5).
Figura 4. Imagen Apps: Taller de afianzamiento – Actividad 1. Fuente: Elaboración propia.
62 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
Figura 5. Imagen Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 2. Fuente: Elaboración propia
Para el avance en el proceso de tratamiento y conversión de sistemas de representación
semiótica, se han planteado las preguntas 4, 5, 6, 7, 13, 14, 19, y 24, en estas se pretende
que el estudiante sea capaz de comprender las razones trigonométricas a partir de
cualquiera de sus representaciones semióticas y su conversión entre estas. Este proceso
está ligado principalmente al desarrollo de la competencia de formulación, comparación y
ejercitación de procedimientos y algoritmos, puesto que, en esta etapa es necesario que
el estudiante comprenda y realice de forma ágil y segura la ejecución de algoritmos para
dar solución a situaciones (Figura 6).
Figura 6. Imagen Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 3. Fuente: Elaboración propia.
Capítulo 4 63
Para la exploración y avance a través del proceso de modelación y generalización, se
proponen las preguntas 8, 9, 15, 17, 20, 21, 22 y 25. Se espera que, por medio de estas,
el estudiante descubra relaciones o regularidades en el comportamiento trigonométrico
presente en situaciones de la vida real. Este proceso está relacionado con el desarrollo de
la competencia de modelación de una situación a través de sistemas mentales, gráficos,
numérico o algebraico para hacerla más comprensible. Además, se busca que el
estudiante descubra relaciones y regularidades presentes en el comportamiento de las
razones trigonométricas, a partir de la circunferencia unitaria (Figura 7).
Figura 7. Imagen Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 4. Fuente: Elaboración propia.
4.3.2 Aller de afianzamiento, para la comprensión de las funciones trigonométricas
Consignado en el Anexo D, los numerales 1, 5 y 8 están alineados al desarrollo de
procesos de reconocimiento y comprensión de variables, puesto que buscan que el
estudiante sea capaz de describir las funciones trigonométricas a partir de características
como: dominio, rango, par o impar, máximos y mínimos, continuidad y periodicidad. En
este proceso del pensamiento variacional, el estudiante reconoce, identifica y clasifica las
variables en dependientes (funciones trigonométricas) e independientes (ángulos). El
objetivo anterior se alcanzará fundamentalmente a partir del desarrollo de competencias
de la actividad matemática como el razonamiento, en la medida en que perciba
regularidades y relaciones que le permita dar explicaciones coherentes, validar o refutar
64 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
conjeturas y proponer interpretaciones que justifiquen lo que observa, partiendo de
deducciones simples generadas a partir de simetrías (Figura 8).
Figura 8. Imagen Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 5. Fuente: Elaboración propia.
Para avanzar en el proceso de tratamiento y conversión de sistemas de representación
semiótica, se han diseñado las preguntas 6, 9, 11, 12 y 13, a través de las cuales el
estudiante logre transitar por los diferentes sistemas de representación semiótica dando
sentido a las funciones trigonométricas, especialmente estableciendo la equivalencia entre
su presentación gráfica con la algebraica, o con la numérica-variacional. En este
componente se busca que el estudiante realice construcciones, procedimientos
matemáticos y verificaciones válidas de forma rápida y apropiada, que además gocen de
completa comprensión frente a cualquiera de las representaciones de las funciones
trigonométricas (Figura 9 y Figura 10).
Figura 9. Imagen Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 6. Fuente: Elaboración propia.
Capítulo 4 65
Figura 10. Imagen Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 7. Fuente: Elaboración propia.
El proceso de modelación y generalización, se evidencia en las preguntas 2, 3, 4, 7 y 10,
pues se han diseñado para que el estudiante establezca relaciones, regularidades e
invariantes en el comportamiento (numérico, algebraico y gráfico) de las funciones
trigonométricas. Por otra parte, este proceso está completamente relacionado con la
competencia de la modelación de procesos y fenómenos de la realidad, en la cual, el
estudiante descubra relaciones y uniformidades entre objetos matemáticos relacionados
con las funciones trigonométricas y además es capaz de aplicar modelos matemáticos a
problemas de una situación de contexto (Figura 11).
Figura 11. Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 8. Fuente: Elaboración propia.
66 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
4.3.3 Taller de afianzamiento, para la comprensión de la traslación de funciones geométricas
Dentro del proceso de reconocimiento y comprensión de variables, se han propuesto las
preguntas 1, 2, 3, 4, 9 y 10. Estas están dirigidas a que el estudiante identifique los
parámetros que afectan la traslación de las funciones trigonométricas y reconozcan el
efecto de estos en su comportamiento. En este proceso se encuentran vinculadas
fundamentalmente competencias como: razonamiento y comunicación. Inicialmente se
tienen situaciones de aprendizaje que favorezcan el razonamiento en el ámbito espacial,
numérico, geométrico y algebraico. Apoyados en la etapa anterior, el estudiante dispondrá
de herramientas que le permitan expresar las transformaciones de las funciones
trigonométricas, es decir, la adquisición de conocimiento a través del dominio de los
lenguajes en los ámbitos mencionados anteriormente (Figura 12).
Figura 12. Imagen Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 9. Fuente: Elaboración
propia.
En cambio, a través de las preguntas 5, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14 y 15, se espera lograr el
desarrollo de procesos de tratamiento y conversión de sistemas de representación
semiótica. En estas se identificará en el estudiante su capacidad para describir de forma
verbal, numérica, algebraica y gráfica, una función trigonométrica que ha sido trasladada
previamente. Lo anterior, implica la competencia de la formulación, comparación y
ejercitación de procedimientos, es decir, que ejecute algoritmos ágiles y precisos en la
conversión de un sistema de representación en otro que sea equivalente, lo cual evidencia
el conocimiento conceptual y procedimental (Figura 13).
Capítulo 4 67
Figura 13. Imagen Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 10. Fuente: Elaboración propia.
Por último, para avanzar en el proceso de modelación y generalización, se han diseñado
las preguntas 16, 17 y 18, a través de las cuales el estudiante podrá expresar de forma
matemática un problema periódico relacionado con la transformación de las funciones
trigonométricas fundamentalmente seno y coseno. Apoyado en una de sus
representaciones, el estudiante es capaz de formular, dar tratamiento y solución a
situaciones problemas y además valida o verifica los resultados obtenidos.
Para más información acerca del taller afianzamiento para la traslación de funciones
trigonométricas, ver Anexo E.
4.3.4 Taller de afianzamiento, para la comprensión de ecuaciones trigonométricas lineales
En el Anexo F se puede encontrar en detalle la actividad de aprendizaje propuesta para la
comprensión de este tipo de ecuaciones a partir del uso de apps de Geogebra. Dentro del
proceso de reconocimiento y comprensión de variables, se han planteado las preguntas 1,
2 y 3, las cuales están dirigidas a que el estudiante reconozca los parámetros que afectan
la solución de una ecuación trigonométrica lineal, además de conocer la expresión general
a partir de la cual es posible calcularla. En este proceso es importante que reconozca que,
al dar solución a una ecuación, se está determinando el valor del ángulo que satisface la
expresión, Por otra parte, es indispensable el uso del razonamiento como competencia
matemática, a partir de la cual, el estudiante puede percibir regularidades y relaciones en
68 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
la solución numérica, algebraica y gráfica de estas ecuaciones. Además de reconocer los
casos en los cuales estas no tienen solución (Figura 14).
Figura 14. Imagen Apps: Taller de afianzamiento – Actividad 11. Fuente: Elaboración
propia.
Para avanzar en el desarrollo de procesos de tratamiento y conversión de sistemas de
representación semiótica, se han propuesto las preguntas 4, 5, 6 y 7, dirigidas a buscar
que el estudiante determine la solución de ecuaciones trigonométricas lineales de forma
algebraica, gráfica y numérica para un intervalo determinado. Este proceso se encuentra
ligado al desarrollo de la competencia de formulación y ejercitación de procedimientos, en
la cual se parte de la ecuación hasta llevarla a la forma de la solución general para
finalmente establecer el valor o valores de los ángulos que cumplen con esta expresión.
De esta manera, es posible identificar el dominio del conocimiento conceptual,
procedimental y significancia gráfica (Figura 15).
Capítulo 4 69
Figura 15. Imagen Apps: Taller de afianzamiento – Actividad 12. Fuente: Elaboración propia.
Las preguntas 8, 9 y 10 están dirigidas a que el estudiante emplee y resuelva ecuaciones
trigonométricas lineales para dar solución a problemas reales de optimización, que
involucran el proceso de modelación y generalización. En este punto, el estudiante utilizará
los procesos que ha logrado desarrollar en las actividades anteriores, para establecer y
manipular modelos que le permitan reproducir una situación a partir de la cual puede
establecer conjeturas, hacer predicciones y establecer inferencias (Figura 16).
Figura 16. Imagen Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 13. Fuente: Elaboración propia.
70 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
4.3.5 Taller de afianzamiento, para la comprensión de ecuaciones trigonométricas cuadráticas
A través de las preguntas 1, 2, 3, 4, 5 y 6, se pretende que el estudiante transite dentro del
proceso de reconocimiento y comprensión de variables, pues, han sido diseñadas para
que este reconozca los parámetros y la manera en que estos afectan la solución general
de una ecuación trigonométrica cuadrática de la forma 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 0. Además,
identifica los casos en los cuales estas ecuaciones no tienen una solución numérica y
comprenden su sentido gráfico. Por eso, la competencia que se encuentra directamente
relacionada, corresponde al razonamiento, puesto que la actividad de aprendizaje está
orientada a que el estudiante construya o establezca relaciones en las diversas formas de
representación de este tipo de ecuaciones, frente al rango de valores que pueden tomar
estos parámetros (Figura 4-15). Para más información acerca del taller de afianzamiento
sobre ecuaciones trigonométricas cuadráticas, ver Anexo G.
Figura 17. Imagen Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 14. Fuente: Elaboración propia.
Para el proceso de tratamiento y conversión de sistemas de representación, se elaboraron
las preguntas 7, 8, 9 y 10, en las cuales el educando expresa resueltamente una ecuación
trigonométrica cuadrática en un sistema de representación gráfica, algebraica o numérico-
variacional. En este proceso el estudiante realiza procedimientos rutinarios para calcular
la solución de estas igualdades de segundo orden, seguidamente, verifica o valida el
resultado obtenido a través de cualquiera de sus representaciones equivalentes (Figura
18).
Capítulo 4 71
Figura 18. Imagen Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 15. Fuente: Elaboración propia.
El proceso de modelación y generalización se emplea en las preguntas 11, 12, 13, 14, 15,
16 y 17, estas están dirigidas a que el estudiante establezca regularidades, relaciones e
invariantes para dar solución desde la comprensión a problemas de aplicación de
ecuaciones trigonométricas cuadráticas. En esta actividad de aprendizaje, el estudiante
pone en práctica competencias relacionadas con la verificación de conjeturas,
identificación de las variables que afectan un modelo y formulación de relaciones para
definir las características que rigen el movimiento parabólico.
4.4 Análisis sobre coherencia interna en los talleres de profundización
4.4.1 Taller de profundización sobre el movimiento armónico simple
Para el avance a través del proceso de reconocimiento y comprensión de variables, se han
propuesto las preguntas 1, 2, 3, 4, 5 y 6, en los cuales, se busca que el estudiante
reconozca, identifique y caracterice las variables que afectan el comportamiento del
periodo de un objeto que describe un M.A.S. En este proceso se emplea el razonamiento
como competencia matemática esencial para el avance dentro de este proceso, puesto
que los simuladores empleados de la plataforma Phet le permitirán al estudiante contrastar
el efecto directo e inversamente proporcional o incluso cuando algunas variables no
afecten el tiempo que tarda un objeto en realizar una oscilación.
72 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
Con respecto al proceso de modelación y generalización, se han diseñado las preguntas
7, 8, 9, 10, 11 y 12, en las que se desea que el estudiante encuentre relaciones o
regularidades en el comportamiento variacional del periodo de un objeto que describe un
M.A.S., específicamente para el caso del movimiento de un péndulo o de un sistema masa-
resorte. Para más información acerca del taller de profundización sobre el movimiento
armónico simple, ver Anexo H.
4.4.2 Taller de profundización sobre la cinemática del movimiento armónico simple
En las preguntas 1, 2, 3, 4, 15, 16 y 17 se busca que el educando analice y estudie la
cinemática del M.A.S. a partir del reconocimiento, comprensión y caracterización de las
variables que afectan la posición, velocidad y aceleración de un oscilador armónico. En
este proceso se emplea competencias asociadas a la actividad matemática como lo es el
razonamiento, puesto que, el estudiante percibe el efecto de la variación de los parámetros
𝐴, 𝜔 y 𝜑 sobre la cinemática de osciladores pendulares, sistemas masa-resorte vertical y
horizontal (Figura 19).
Figura 19. Imagen Apps: Taller de profundización - Actividad 17. Fuente: ELaboración
propia.
Además, de la competencia de comunicación de ideas, en la que el estudiante expresa un
amplio dominio de los lenguajes característicos de las matemáticas para dar sentido de
forma numérica, gráfica y algebraica de las situaciones relacionadas con el M.A.S.
Capítulo 4 73
En los numerales 5, 6 y 7 se espera que el educando aplique procedimiento matemáticos
de rutina para dar tratamiento y transformar una representación semiótica a otra dentro del
contexto de la cinemática del M.A.S. (Figura 20)
Figura 20. Imagen Apps: Taller de profundización - Actividad 16. Fuente: Elaboración
propia.
El proceso de modelación y generalización se manifiesta en las preguntas 8, 9, 10, 11, 12,
13, 14, 18, 19 y 20. En estas se busca que el estudiante descubra regularidades en la
posición de equilibrio y cuando la posición corresponde al valor de la amplitud de un objeto
que describe un M.A.S. Además, a través de la simulación predice el comportamiento de
la posición, velocidad y aceleración de un oscilador armónico, para la toma de decisiones
y dar respuesta a preguntas dentro de este contexto (Figura 21).
Figura 21. Imagen Apps: Taller de profundización - Actividad 18. Fuente: Elaboración
propia.
74 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
Para más información acerca del taller de profundización sobre cinemática del M.A.S.,
ver Anexo I.
5. Capítulo V. Conclusiones y recomendaciones
5.1 Conclusiones
A partir del diseño del taller de diagnóstico es posible establecer el grado de manejo y
significancia de los conocimientos previos de los estudiantes sobre contenidos
trigonométricos, elemento esencial en la construcción de los talleres de familiarización,
afianzamiento y de profundización.
Se logró el diseño de actividades de aprendizaje estructurados en talleres de tipo:
diagnóstico, de familiarización, afianzamiento y profundización, los cuales
corresponden a una guía intencional dentro de un ambiente de geometría dinámica a
partir de la interacción con el uso del Geogebra, que integra de forma clara los procesos
asociados al pensamiento variacional tales como: reconocimiento y comprensión de
variables, tratamiento y conversión de sistemas de representación, la modelación y la
generalización asociados al estudio de las funciones y ecuaciones trigonométricas.
Se diseñó y elaboró varios aplicativos en Geogebra que contribuyan al fortalecimiento
de procesos asociados al PV, a partir de la solución de situaciones que involucren el
uso de razones, funciones y ecuaciones trigonométricas en un entorno que incorpora
la GD.
Se realizó un estudio de coherencia interna de las actividades de aprendizaje o talleres
propuestos, los cuales fueron diseñados acorde a los procesos asociados al
pensamiento variacional establecidos en los lineamientos curriculares. De forma
simultánea, se analizó su relación con las distintas competencias matemáticas ligadas
a la realización de estas actividades establecidas en los estándares básicos de
competencias.
76 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
Se aprovechó los beneficios de los simuladores Phet para abordar el tema del
movimiento armónico simple en sistemas masa-resorte y péndulo, especialmente, para
relacionarse y analizar los parámetros que afectan el periodo de este movimiento.
Se empleó como eje central la potencialidad de la GD correspondiente a la dinámica
entre la exploración y la sistematización para el diseño y manipulación de los aplicativos
de Geogebra, para facilitar el reconocimiento de las relaciones geométricas.
El diseño del presente trabajo constituye un valioso recurso didáctico para la
enseñanza y aprendizaje de contenidos trigonométricos acordes al grado décimo, que
aumente el nivel de motivación e interés de los estudiantes y que posibilite al docente
de herramientas innovadoras en su quehacer diario.
5.2 Recomendaciones
Para la implementación de estas actividades de aprendizaje de manera virtual y bajo
el trabajo autónomo de los estudiantes, se recomienda realiza un diagnóstico inicial
para reconocer el nivel de dominio de las competencias de los estudiantes en el manejo
de los conceptos de matemáticas, disposición y uso de los medios tecnológicos.
Disponer del tiempo suficiente para el avance en el desarrollo de los talleres
propuestos, en los cuales se puede flexibilizar a través del trabajo colectivo entre los
estudiantes. Además, implementar las potencialidades de la geometría dinámica desde
primaria.
Es importante resaltar que esta propuesta está orientada al fortalecimiento del
desarrollo de procesos asociados al pensamiento variacional, lo cual complementa la
realización de actividades de aprendizaje desde el enfoque tradicional que implican el
uso de papel y lápiz.
Constituir espacios y redes de capacitación local en las instituciones para la enseñanza
de las matemáticas a partir de la implementación de estas actividades, en ambientes
dinámicos con el uso de Geogebra.
Bibliografía
Acuña, C. M. (2013). La visualización como forma de ver las matemáticas: un acercamiento
a la investigación. Geisa.
Algarín, D. L., y Fiallo, J. E. (2013). Caracterización de los niveles de razonamiento de Van
Hiele específicos a los procesos de descripción, definición y demostración en el
aprendizaje de las razones trigonométricas [tesis de maestría, Universidad
Industrial de Santander]. http://tangara.uis.edu.co/biblioweb/tesis/2013/150528.pdf
Baroody, A. J. (2005). El pensamiento matemático de los niños: un marco evolutivo para
maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial (6.ª ed.). Visor.
Bell, E.T. (2016). Historia de las matemáticas (R. Ortiz, trad.). [Edición electrónica]. Fondo
de Cultura Económica. (Original publicado en 1940).
https://books.google.com.co/books?id=9PR2DQAAQBAJ&printsec=frontcover&hl=
es&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false
Boyer, C. B. (1999). Historia de la Matemática. Alianza Editorial.
Caballero, O. O. (2013). Una transición de la geometría a la trigonometría utilizando
problemas históricos de la astronomía como recurso didáctico en las clases de
matemáticas [tesis de maestría, Universidad Nacional de Colombia]. Repositorio
institucional Universidad Nacional de Colombia.
http://bdigital.unal.edu.co/39684/1/1186879.2013.pdf
Castro, M. G, González, M. D, Flores, S., Ramírez, O., Cruz, M. D., y Fuentes, M. D. (2017).
Registros de representación semiótica del concepto de función exponencial. Parte
I. Entreciencias: diálogos en la Sociedad del conocimiento, 5(13), 1-12.
http://doi.org/10.21933/J.EDSC.2017.13.218
78 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
Cantoral, R., y Farfán, R. M. (marzo, 2003). Matemática Educativa: Una visión de su
evolución. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa,
6(1), 27-40. https://www.redalyc.org/pdf/335/33560102.pdf
Cantoral, R. (2004). Desarrollo del pensamiento y lenguaje variacional, una mirada
socioepistemológica. En L. Díaz (Ed.) Acta Latinoamericana de Matemática
Educativa, Vol. 17, (pp. 1-9). México: Comité Latinoamericano de Matemática
Educativa. https://clame.org.mx/documentos/alme%2017.pdf
De Guzmán D. Miguel (septiembre, 2001). Tendencias actuales de la Educacion
Matematica. Sigma Revista de Matematicas, Nº 19, 5-25
https://www.yumpu.com/es/document/read/17350919/tendencias-actuales-de-la-
educacion-matematica-cimm
Duval, R. (1993). Registres de represéntations sémiotique et fonctionnement cognitif de la
penseé, Annales de Didactique et de Sciencies Cognitives, IREM de Strasbourg,
Francia, 5, 37-65. https://numerisation.irem.univ-mrs.fr/ST/IST93004/IST93004.pdf
Duval, R. (1999). Semiosis y pensamiento humano: Registros semióticos y aprendizajes
intelectuales (M. Vega, Trad.). Universidad del Valle. (Original publicado en 1995)
Escalante, D. O. (2018). El uso comprensivo de las razones trigonométricas en el
planteamiento y resolución de problemas [tesis de maestría, Universidad Nacional
de Colombia]. Repositorio Institucional Universidad Nacional de Colombia.
http://bdigital.unal.edu.co/65095/
Fiallo, J. E. y Gutiérrez ,A. (2007) Unidad de enseñanza de las razones trigonométricas en
un ambiente Cabri para el desarrollo de las habilidades de demostración. En P.
Bolea; M. Camacho; P. Flores; B. Gómez; J. Murillo; M.T. González (eds.)
Investigación en Educación Matemática. Comunicaciones de los grupos de
investigación. X Simposio de la SEIEM. Huesca, pp.41-62.
https://www.seiem.es/docs/comunicaciones/GruposXSimposio.pdf
Forero, D. J. (2013). El uso de las TIC (Software Libre) para la enseñanza de las
Matemáticas. Revista Ejes, Nº 1, 61-63.
http://fce.ut.edu.co/images/posgrados/ma_educacion/Revista_EJES_N1.pdf
Bibliografía 79
Garzón, C. A. y Rojas, N. V. (2014). Representaciones semióticas como dispositivos para
facilitar el desarrollo del pensamiento matemático y científico [tesis de maestría,
Universidad Militar Nueva Granada]. Repositorio Institucional Universidad Militar
Nueva Granada. https://repository.unimilitar.edu.co/handle/10654/12212
Gelves, Doris Belén (2015). Diseño de una propuesta didáctica en la enseñanza y
evaluación de la trigonometría en el grado 10° mediada por una plataforma virtual
en la Institución Educativa Orestes Síndicce [tesis de maestría, Universidad
Nacional de Colombia]. Repositorio Institucional Universidad Nacional de
Colombia. https://repositorio.unal.edu.co/handle/unal/55416
Gómez, O. A. (2011). Ruta de apoyo pedagógico para la enseñanza de geometría y
trigonometría, en el curso ‘matemáticas básicas’ [tesis de maestría, Universidad
Nacional de Colombia]. Repositorio Institucional Universidad Nacional de
Colombia. https://repositorio.unal.edu.co/handle/unal/9053
Gracia, G. (2018). Potenciando pensamiento variacional y uso de sistemas algebraicos con
Geogebra [tesis de maestría, Universidad Nacional de Colombia]. Repositorio
Institucional Universidad Nacional de Colombia. http://bdigital.unal.edu.co/65098/
Herrera, H. H. (2013). Enseñanza de los conceptos básicos de la trigonometría mediante
el uso de tecnología informática [tesis de maestría, Universidad Nacional de
Colombia]. Repositorio Institucional Universidad Nacional de Colombia.
https://repositorio.unal.edu.co/handle/unal/21149
Instituto Colombiano para el Fomento de la Educación Superior (ICFES). (2017). Guía de
orientación. Saber 11. 2017-2 (5.ª ed.).
https://www.icfes.gov.co/documents/20143/193560/Guia+de+orientacion+saber-
11-2017-2+V5.pdf/c2b42f04-beef-256e-f86c-efc1854ed7d3
Katz, V. J. (1987). The Calculus of the Trigonometric Funtions. Historia Mathematica, 14(4),
311-324. http://users.uoa.gr/~apgiannop/Sources/Trigonometric-functions.pdf
Kilpatrick, J., Gómez, P., y Rico, L. (eds.). (1998). Educación matemática. Errores y
dificultades de los estudiantes. Resolución de problemas. Evaluación. Historia.
Universidad de los Andes. Iberoamericana. http://funes.uniandes.edu.co/679/
Klimovsky, G. (1994). Las Desventuras Del Conocimiento Científico. Editorial A-Z
80 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
Maroni, M. (agosto, 2013). Sequência didática para o ensino de trigonometria usando o
Software GeoGebra. BOLEMA: Boletim de Educação Matemática, 27(46), 631-644.
https://doi.org/10.1590/S0103-636X2013000300019
Matta, N. J. (2014). GeoGebra como herramienta para la enseñanza de Razones
Trigonométricas en grado Décimo en la IED Leonardo Posada Pedraza [tesis de
maestría, Universidad Nacional de Colombia). Repositorio Institucional Universidad
Nacional de Colombia. http://bdigital.unal.edu.co/49578/1/01186959.2014.pdf
Ministerio de Educación Nacional (1998). Lineamientos curriculares de Matemáticas.
https://www.mineducacion.gov.co/portal/micrositios-preescolar-basica-y-
media/Direccion-de-Calidad/Referentes-de-Calidad/339975:Lineamientos-
curriculares
Ministerio de Educación Nacional (2006). Estándares Básicos de Competencias en
Matemáticas. Potenciar el pensamiento matemático: ¡Un reto escolar¡ En Ministerio
de Educación nacional (Ed.), Estándares Básicos de Competencias en Lenguaje,
Matemáticas, Ciencias y Ciudadanas. Guía sobre lo que los estudiantes deben
saber y saber hacer con lo que aprenden (pp. 46-95). Imprenta Nacional de
Colombia. https://www.mineducacion.gov.co/1621/articles-340021_recurso_1.pdf
Montiel, E. G. (2011). Construcción del conocimiento trigonométrico: un estudio
socioepistemológico. Editorial Díaz de Santos.
Paltan, G. A. y Quyilli, K. I. (2011). Estrategias metodológicas para desarrollar el
razonamiento lógico – matemático en los niños y niñas del cuarto año de educación
básica de la escuela “Martín Welte” del cantón Cuenca, en el año lectivo 2010-2011
[Tesis de licenciatura, Universidad de Cuenca - Ecuador].
https://dspace.ucuenca.edu.ec/bitstream/123456789/1870/1/teb60.pdf
Solarte, A. D. (2014). Diseño e implementación de un curso virtual de trigonometría básica
utilizando redes sociales y otras herramientas tic: estudio de caso en grados
undécimo de dos colegios oficiales de puerto Asís [tesis de maestría, Universidad
Nacional de Colombia]. Repositorio Institucional Universidad Nacional de
Colombia. http://bdigital.unal.edu.co/46980/1/16860624.2014.pdf
Bibliografía 81
Toro, L. A., Ortíz, H. H., Jiménez, F. N., y Agudelo, J. de J. (2012). Los sistemas cognitivos
artificiales en la enseñanza de la matemática. Educación y Educadores, 15(2),167-
183.
https://educacionyeducadores.unisabana.edu.co/index.php/eye/issue/view/161
Vygotski, L. (2009). El desarrollo de los procesos psicológicos superiores (S. Furió trad.).
Crítica. (Original publicado en 1978).
https://saberespsi.files.wordpress.com/2016/09/vygostki-el-desarrollo-de-los-
procesos-psicolc3b3gicos-superiores.pdf
Wertsch, J. (1993). Voces de la mente. Un enfoque sociocultural para el estudio de la
acción mediada. Visor
Recursos y materiales
Simuladores PHET - Laboratorio virtual de física. Masas y resortes: Intro. University of
Colorado Boulder Obtenido de: https://phet.colorado.edu/es/simulation/masses-
and-springs-basics.
Simuladores PHET - Laboratorio virtual de física. Lab de péndulo. University of Colorado
Boulder. Obtenido de: https://phet.colorado.edu/es/simulation/pendulum-lab
Anexos
Anexo A: Taller diagnóstico sobre conceptos previos de trigonometría
PROYECTO: DISEÑO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ORIENTADAS AL
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL EN EL CONTEXTO DE LAS
FUNCIONES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS HACIENDO USO DE LA GD.
OBJETIVO: Identificar los conceptos previos de los estudiantes sobre el tema de razones,
funciones y ecuaciones trigonométricas en cada proceso asociado al pensamiento
variacional.
El recurso gráfico utilizado en la guía es de autoría propia.
PENSAMIENTO VARIACIONAL
PROCESOS DESCRIPCIÓN PREGUNTA AVANCE
Reconocimiento y comprensión de variables
Reconoce, percibe, identifica y caracteriza las variables asociadas a un fenómeno de variación.
1
4
5
6
7
84 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
8
Tratamiento y conversión de sistemas de representación
Representación semiótica: figural, fenomenología, gráfica, tabular, simbólico, algebraica, numérico variacional.
9
10
12
13
14
La modelación y la generalización.
Formular y visualizar un problema de diferentes formas, descubrir relaciones, regularidades e invariantes, transferir un problema real a uno matemático.
2
3
11
1. Escribe un ejemplo de una razón, función, ecuación e identidad trigonométrica.
¿Corresponden a lo mismo, o, en qué se diferencian?
Respuesta:
Razón
trigonométrica
Función
trigonométrica
Ecuación
trigonométrica
Identidad
trigonométrica
Anexo A. Taller diagnóstico sobre conceptos previos de trigonometría 85
2. Se tiene un triángulo rectángulo para el cual se cumple la siguiente expresión:
𝑇𝑎𝑛 45° = 1 =𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 . Si se tiene otro triángulo rectángulo isósceles de 4 cm
de base, ¿Cuál es la altura?
Respuesta:
3. En qué tipo de triángulos rectángulo, el valor de la tangente es igual a 1 o -1. ¿Qué
característica tienen la medida de sus lados y sus ángulos internos?
Respuesta:
4. En qué tipo de triángulos se puede aplicar las razones trigonométricas:
A. Obtusángulos. B. Escalenos acutángulos.
C. Rectángulos. D. Todos los anteriores
5. ¿Qué entiende por la expresión: 𝐶𝑠𝑐 𝜃 =?
Respuesta:
86 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
6. Completa las siguientes equivalencias.
Respuesta:
360°= _____rad 1 rad=_____ grados 1°=___₉=____₉₉
7. ¿Qué es una función trigonométrica? Menciona un ejemplo de tu cotidianidad en la cual
se presente el comportamiento de este tipo de funciones.
Respuesta:
8. Crea una expresión que corresponda a una función trigonométrica. Luego, identifica
cada uno de los parámetros involucrados y explica qué tipo de valores pueden tomar.
Respuesta:
9. Selecciona con un ➤ las expresiones que consideres que NO corresponde a funciones
trigonométricas:
Respuesta:
( ) 𝑦 = 𝑆𝑒𝑛 𝜃 ( ) 𝑆𝑒𝑛2𝜃 + 𝐶𝑜𝑠2𝜃 = 1
( ) 𝐶𝑜𝑠 (𝑥) = −1 ( ) 𝑇𝑎𝑛2𝑥 + 𝐶𝑠𝑐 𝑥 − 3 = 0
Anexo A. Taller diagnóstico sobre conceptos previos de trigonometría 87
( ) 𝑇𝑎𝑛 (𝜃) = 𝑆𝑒𝑛 𝜃
𝐶𝑜𝑠 𝜃 ( ) 𝑆𝑒𝑛 𝑞 = −
√2
2
10. El movimiento de un oscilador armónico simple está dado por la siguiente expresión:
𝑥(𝑡) = 𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛 (𝜔 ∗ 𝑡), donde 𝑥 es la posición que tiene en un tiempo 𝑡, dado que se
mueve a una frecuencia angular 𝜔 y con una amplitud 𝐴. Dado que la amplitud es 5 m,
la frecuencia angular es 1 rad/s, ¿Qué posición tendrá al cabo de un tiempo 𝜋
2𝑠? ¿Y
𝜋
4𝑠? ¿Y
𝜋
6𝑠?
Respuesta:
11. La siguiente figura presenta las coordenadas de los puntos que se encuentran ubicados
sobre una circunferencia unitaria para los ángulos de 15°, 30°, 45°, 60° y 75°. De
acuerdo a esto, complete las coordenadas de los demás puntos.
88 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
12. continuación, se presenta una tabla de valores que corresponde al comportamiento de
la aceleración de un cuerpo que describe un movimiento armónico simple.
t 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8 5,4 6,2
a (t) 0 -2,14 -2,99 -2,03 0,16 2,25 2,99 2,33 0,28
Ubicarlos en el plano cartesiano adjunto, únelos con una línea curva suave. ¿Qué tipo de
gráfica obtuviste? Menciona algunas de las características que observes en ella.
Respuesta:
Anexo A. Taller diagnóstico sobre conceptos previos de trigonometría 89
13. La siguiente figura presenta el comportamiento de la función tangente, ¿Describa que
se evidencia en esta? ¿Si la gráfica es 𝑦 = 𝑇𝑎𝑛 𝜃, bajo qué valores de 𝜃 se presenta
la línea punteada, esta que representa?
Respuesta:
14. A continuación, se presentan figuras que describen comportamientos trigonométricos.
¿Une cada una de las siguientes expresiones con la que crees que corresponde a cada
figura y explica por qué?
90 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
y = -0.8sen(2x) y = 0.8sen(0.5x) y = -8sen(0,5x)
y = -8sen(0,4x) y = -8sen(2x)
Anexo B: Taller de familiarización sobre el uso de Geogebra
PROYECTO: DISEÑO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ORIENTADAS AL
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL EN EL CONTEXTO DE LAS
FUNCIONES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS HACIENDO USO DE LA GD.
OBJETIVO: Introducir y familiarizar a los estudiantes en el uso y manejo de las herramientas
de construcción necesarias para avanzar hasta problemas de modelación y generalización con
el software Geogebra.
El recurso gráfico utilizado en la guía es de autoría propia.
Introducción
Geogebra es un software de matemáticas que integra ramas como la geometría, álgebra,
estadística y cálculo, útil a todo nivel educativo. Además, es un recurso potente e innovador de
la enseñanza y aprendizaje de diferentes ciencias del saber, pues permite mediante la
construcción de objetos simples y de alta complejidad llevar a cabo la generación de nuevos
diseños, estableciendo relaciones dinámicas entre estos.
Al ejecutar el programa, la interfaz nos presenta los siguientes componentes:
92 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
Barra de Menú
● A través de la barra de Menú, en la opción archivo, se puede: abrir una nueva ventana,
crear un nuevo documento, guardar archivos, previsualizar para imprimir y cerrar
documentos.
● En el menú - Edita, es posible deshacer algunas construcciones que se realizaron de
manera equivocada o incluso borrar objetos.
● En cambio en el menú - Vista, el usuario redefine la vista en la ventana que desea
visualizar, puesto que, le permite mostrar u ocultar cada vista, ya sea, la gráfica, vista
hoja de cálculo, barra de entrada, objetos auxiliares y lista de comandos. A través de
la opción protocolo de construcción, permite ver los pasos que se dieron para la
construcción del objeto.
● En el menú - Opciones, es posible modificar todo lo relacionado con el estilo del texto,
escoger el tamaño de la letra, el idioma, o incluso, modificar la vista gráfica.
● En Herramientas, se visualizan algunas construcciones que faciliten o simplifique
construcciones más complejas.
Herramientas
En esta opción se encuentra una gama de herramientas, geométricas y de cálculo para la
construcción de variados objetos matemáticos. A continuación, se presenta la paleta de
opciones disponibles para realizar construcciones geométricas, sin embargo, el objetivo de esta
actividad nos ocupa de conocer y manipular las relacionadas con el avance en las actividades
de afianzamiento y profundización:
Anexo B. Taller de familiarización sobre el uso Geogebra 93
Tomado de: https://wiki.geogebra.org/es/Vista_Gr%C3%A1fica
Vista Gráfica
En esta vista se visualiza de manera gráfica los objetos matemáticos.
Vista Algebraica
En esta vista se puede visualizar en tiempo real las coordenadas y ecuaciones que describen
los objetos matemáticos dibujados
Barra de entrada
A través de esta barra se puede ingresar de forma directa los comandos, coordenadas,
funciones y ecuaciones que se desee.
Es importante destacar que en Geogebra todas las vistas se encuentran enlazadas
dinámicamente, esto implica que cuando un objeto es modificado en cualquiera de sus vistas,
de forma inmediata se producirán automáticamente los cambios en sus demás
representaciones.
94 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
ACTIVIDAD DE CONSTRUCCIÓN
Haciendo uso de Geogebra realice la siguiente construcción:
A. Abre Geogebra y verifica en el menú “Vista” que se encuentre activas las opciones:
“vista gráfica, algebraica y entrada”
B. Cree un deslizador para la longitud del segmento c, así:
C. Crea un deslizador para la longitud del segmento b como se indicó en el paso anterior.
D. Luego, crea un deslizador para la amplitud del ángulo 𝛼, así:
Anexo B. Taller de familiarización sobre el uso Geogebra 95
E. Ubica en la barra de entrada la coordenada A=(0,0), B=(c,0) y C=(b,0)
F. Ingresa en la barra de entrada el comando: Rota(C, 𝛼 ) y oculta el punto C, así:
G. A continuación, dibuja un polígono cuyos vértices sean los puntos A, B y C, así:
H. Seguidamente, trazamos el punto medio de cada segmento del 𝛥𝐴𝐵𝐶, así:
96 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
I. Ahora, trazaremos con la opción polígono, el 𝛥𝐸𝐷𝐹, así:
J. Luego, con la opción área, determinamos el espacio limitado por cada uno de los
triángulos:
K. Para dar una mejor presentación al interfaz gráfico del sofware, ocultaremos los ejes y
la cuadrícula de la siguiente manera:
L. Para presentar en cuadros de texto, la información relacionada con: área de los
triángulos, longitud de los lados de cada triángulo y la medida de los ángulos interiores.
M. Hasta obtener la presentación de los siguientes datos:
Anexo B. Taller de familiarización sobre el uso Geogebra 97
A través de los siguientes enlaces podrás recurrir a la ubicación de las apps diseñadas en
geogebra y los respectivos links de YouTube donde podrá profundizar en la construcción
de cada una de estas.
https://www.geogebra.org/m/hr3evwyv https://youtu.be/ZMeHSzDHWFg
ANÁLISIS
Manipula los deslizadores b, c y 𝛼
1. ¿Qué relación puede establecer entre los ángulos interiores correspondientes de
ambos triángulos?
2. ¿Describa qué relación encuentra entre los lados correspondientes de ambos
triángulos?
3. Formule una expresión que establezca la relación existente entre 𝛥𝐴𝐵𝐶 y 𝛥𝐸𝐷𝐹
4. La proporción entre 𝛥𝐴𝐵𝐶 y 𝛥𝐸𝐷𝐹 es 4:1 o 1: 1
4, lo anterior ¿Qué implicación tiene?
Active la vista gráfica 2. Asegúrese de estar en esta vista e ingrese en la barra de entrada la
coordenada (𝛼, á𝑟𝑒𝑎 𝛥𝐴𝐵𝐶) . Luego aplique un rastro a la coordenada anterior. Seguidamente
vaya hasta el deslizador de 𝛼 y active la opción de animación, así como se muestra a
continuación:
98 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
De forma seguida, visualiza el comportamiento del ángulo𝛼 𝑦 á𝑟𝑒𝑎 𝛥𝐴𝐵𝐶.
5. ¿Para qué valor de 𝛼 el área de 𝛥𝐴𝐵𝐶 será máxima?
Anexo C: Taller de afianzamiento sobre razones trigonométricas y circunferencia unitaria
PROYECTO: DISEÑO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ORIENTADAS AL
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL EN EL CONTEXTO DE LAS FUNCIONES
Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS HACIENDO USO DE LA GD.
OBJETIVO: Interactuar y explorar con el geogebra como mediador del aprendizaje de las
razones trigonométricas y circunferencia unitaria.
El recurso gráfico utilizado en la guía es de autoría propia.
Recuerda que: En un triángulo rectángulo cada uno de sus lados reciben los siguientes
nombres de acuerdo a la posición del ángulo indicado, como se muestra a continuación:
Haz uso e interactúa con la construcción elaborada en Geogebra: “Actividad 1”, y contesta las
siguientes preguntas:
100 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
Reconocimiento y comprensión de variables: Reconoce, percibe, identifica y caracteriza
las variables asociadas a un fenómeno de variación.
1. ¿En qué rango de valores puede cambiar los valores del ángulo 𝛼 y la medida del lado
𝐴𝐵 desplazando la ubicación del punto B, de tal forma que se forme un triángulo
rectángulo, explica cuál y por qué?
Respuesta:
2. ¿Qué elementos o parámetros afectan o cambian el valor de las razones trigonométricas
de un triángulo rectángulo?
Respuesta:
3. Con tus propias palabras, ¿Cómo podrías definir qué es una razón trigonométrica?
Respuesta:
Anexo C. Taller de afianzamiento sobre razones trigonométricas y
circunferencia unitaria
101
Tratamiento y conversión de sistemas de representación: Representación semiótica:
figural, fenomenología, gráfica, tabular, simbólico, algebraica, numérico variacional.
Desactiva la opción “Razones Trigonométricas” y contesta las siguientes preguntas:
4. ¿Para qué valores de ángulos la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa es
aproximadamente igual a 0.07, 0.5 y 0.87 respectivamente?________, _________,
________.
5. ¿Para qué valores de ángulos la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa es
aproximadamente igual a 0.07, 0.5 y 0.87 respectivamente ?________, _________,
_______.
6. ¿Existe alguna relación entre los valores de los ángulos anteriores, explica cuál y por
qué?_________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
7. ¿Para qué valor del ángulo la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente es
igual a 1? ____________. ¿Qué tipo de triángulos presenta esas
medidas?______________________________
La modelación y la generalización: Formular y visualizar un problema de diferentes
formas, descubrir relaciones, regularidades e invariantes, transferir un problema real a
uno matemático.
8. Desactiva la opción “Razones Trigonométricas”, luego, deja fijo el valor del ángulo,
seguidamente, modifica la distancia de la base del triángulo a partir de desplazamiento
del punto B. ¿Explica qué ocurre con la medida de las razones entre cada pareja de
lados del triángulo cuando el ángulo permanece constante? ¿Por qué crees que ocurre
eso?
Respuesta:
102 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
9. Activa la opción “Razones Trigonométricas”. Describe qué ocurre (creciente o
decreciente) con las razones trigonométricas seno, coseno y tangente cuando el ángulo
aumenta.
Respuesta:
Haz uso de la construcción elaborada en Geogebra: “Actividad 2” y contesta las siguientes
preguntas:
Reconocimiento y comprensión de variables: Reconoce, percibe, identifica y caracteriza
las variables asociadas a un fenómeno de variación.
10. Analiza el comportamiento de las razones entre cada par de lados de ambos triángulos
manteniendo constante el ángulo 𝛼, para ello, debes desplazar la ubicación del punto
D, para el triángulo ADE y el punto B para el triángulo ABC. ¿Qué observas en los
valores de las razones entre ambos triángulos?
Respuesta:
11. Luego de manipular el archivo “Actividad 2”, marca con una X aquellas expresiones que
están correctamente bien escritas, al contener la información necesaria para su
comprensión:
( ) 0.58 = 𝑆𝑒𝑛𝑜 ( ) 𝑇𝑎𝑛 (45°) = 1
( ) 𝐶𝑜𝑠 (0.81) = 39° ( ) 1/2 = 𝐶𝑜𝑠 (60°)
( ) 𝐶𝑜𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 (1.15) = 60° ( ) 𝐶𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 = 120°
Anexo C. Taller de afianzamiento sobre razones trigonométricas y
circunferencia unitaria
103
12. Escribe una expresión que corresponda a una razón trigonométrica, luego, identifica los
parámetros involucrados y que tipo de valores pueden tomar estos.
Respuesta:
Tratamiento y conversión de sistemas de representación: Representación semiótica:
figural, fenomenología, gráfica, tabular, simbólico, algebraica, numérico variacional.
13. Completa la siguiente tabla de valores, que relaciona las razones trigonométricas: seno,
coseno y tangente para un ángulo determinado, realizando una aproximación a las
milésimas.
Ángulo (𝛂) 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90°
Sen (𝛼)
Cos (𝛼)
Tan (𝛼)
14. Encierra con un óvalo la representación que mejor compara la relación entre las razones
trigonométricas de los triángulos ADE y ABC, para un mismo ángulo
= = = x
Explica tu elección:
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
104 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
La modelación y la generalización: Formular y visualizar un problema de diferentes
formas, descubrir relaciones, regularidades e invariantes, transferir un problema real a
uno matemático.
15. Debido a que ambos triángulos son proporcionales, es decir, la razón entre cada pareja
de lados correspondientes conserva el mismo valor cuando tienen sus ángulos internos
iguales. Teniendo en cuenta lo anterior, ¿Cuáles son los valores de las razones
trigonométricas para cualquiera de los dos triángulos?
Respuesta:
16. Varía la medida del ángulo 𝛼 y describe el comportamiento que encuentras entre las
razones. Luego enuncia una afirmación que se cumpla en cualquier triángulo con
respecto a la relación encontrada.
Respuesta:
17. Felipe ha logrado ascender hasta el pico de un árbol muy alto. Cuando intenta
descender de este siente temor a caerse por su gran altura. Ante lo cual, su padre decide
lanzar una cuerda hasta su hijo, de 6 metros de longitud, la cual forma con el suelo un
ángulo de 30°.
Construye un esquema que represente la situación. ¿Qué razón trigonométrica nos
permite conocer la altura a la cual se encuentra
Felipe?_____________________________________
Respuesta:
Anexo C. Taller de afianzamiento sobre razones trigonométricas y
circunferencia unitaria
105
Haz uso de la construcción elaborada en Geogebra: “Actividad 3” y contesta las siguientes
preguntas:
Reconocimiento y comprensión de variables: Reconoce, percibe, identifica y caracteriza
las variables asociadas a un fenómeno de variación.
18. Modifica la longitud de la base y la altura del triángulo haciendo uso de los deslizadores.
Describe qué relación existe entre las medidas de los ángulos 𝛼 y 𝛾. Explica si es posible
que: 𝛼=90° ó 𝛾=90°.
Respuesta:
Tratamiento y conversión de sistemas de representación: Representación semiótica:
figural, fenomenología, gráfica, tabular, simbólico, algebraica, numérico variacional.
19. Completa la siguiente tabla:
Condición Valor Máximo Valor Mínimo
Sen (𝛾)
Cos (𝛾)
Tan (𝛾)
106 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
La modelación y la generalización: Formular y visualizar un problema de diferentes
formas, descubrir relaciones, regularidades e invariantes, transferir un problema real a
uno matemático.
20. Haz uso de los deslizadores y construye un triángulo cuya base sea 4 unidades y la
altura sea 3 unidades. Luego, analiza los valores de las razones seno, coseno y
tangente para los ángulos 𝛼 y 𝛾. Explica qué relación es posible establecer entre estos.
Respuesta:
21. Luego de explorar e interactuar con la actividad anterior, menciona 2 casos en los cuales
resultaría útil emplear las razones trigonométricas en tu cotidianidad.
Respuesta:
22. En qué caso es válido afirmar que:
𝑆𝑒𝑛 (𝛼) = 𝐶𝑜𝑠 (𝛾):____________________________________________________________
Haz uso de la construcción elaborada en Geogebra: “Actividad 4” y contesta las siguientes
preguntas:
Reconocimiento y comprensión de variables: Reconoce, percibe, identifica y caracteriza
las variables asociadas a un fenómeno de variación.
23. Luego de interactuar con la construcción elaborada en Geogebra, completa: las razones
trigonométricas dependen de:___________________________________________ y
son independientes de: __________________________________________________.
Anexo C. Taller de afianzamiento sobre razones trigonométricas y
circunferencia unitaria
107
Tratamiento y conversión de sistemas de representación: Representación semiótica:
figural, fenomenología, gráfica, tabular, simbólico, algebraica, numérico variacional.
24. Completa las siguientes oraciones: Para que valores del ángulo,
El Seno se hace máximo: ___________________________________________
El Coseno se hace mínimo: _________________________________________
La Tangente se hace mínimo: ________________________________________
La Tangente se hace máximo: _______________________________________
La modelación y la generalización: Formular y visualizar un problema de diferentes
formas, descubrir relaciones, regularidades e invariantes, transferir un problema real a
uno matemático.
25. Relaciona el valor de cada razón trigonométrica de la columna izquierda con la derecha
que tengan el mismo valor. Después explica el criterio que usas para hacerlo.
𝑆𝑒𝑛 (25°) −𝑆𝑒𝑛 (−120°)
𝐶𝑜𝑠 (45°) 𝑇𝑎𝑛 (30°)
1/𝐶𝑜𝑡 (30°) 𝑆𝑒𝑛 (45°)
𝑆𝑒𝑛 (120°) 𝐶𝑜𝑠 (65°)
A través de los siguientes enlaces podrás recurrir a la ubicación de las apps diseñadas en
geogebra y los respectivos links de YouTube donde podrás profundizar en la construcción
de cada una de estas.
Actividad. 1
https://www.geogebra.org/m/aesqnnbz
https://youtu.be/K7QJPezunEQ
Actividad.2
https://www.geogebra.org/m/hjafygee
https://youtu.be/Phljiwx6dyc
Actividad. 3
https://www.geogebra.org/m/khxfpmau
https://youtu.be/abRSt4fil6w
Actividad.4
https://www.geogebra.org/m/vjgmraeb
https://youtu.be/OXgdQ-T6fJE
Anexo D: Taller de afianzamiento sobre funciones trigonométricas
PROYECTO: DISEÑO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ORIENTADAS AL
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL EN EL CONTEXTO DE LAS FUNCIONES
Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS HACIENDO USO DE LA GD.
OBJETIVO: Lograr una mayor comprensión en el uso de las razones y funciones
trigonométricas a partir de la modelación de situaciones de variación periódica.
El recurso gráfico utilizado en la guía es de autoría propia.
RECUERDE LOS SIGUIENTES ELEMENTOS EN LA CARACTERIZACIÓN DE FUNCIONES.
110 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
Interactúa con la construcción “Actividad 5” en Geogebra, contesta las siguientes preguntas:
Reconocimiento y comprensión de variables: Reconoce, percibe, identifica y caracteriza
las variables asociadas a un fenómeno de variación.
1. Describe cómo cambian las coordenadas 𝑥 y 𝑦 de un punto determinado por un ángulo
ubicado sobre la circunferencia unitaria, que varía de 0 a 𝜋
2𝑟𝑎𝑑 o de 0° a 90°
respectivamente. Utiliza este resultado para predecir el comportamiento de la función
tangente sabiendo que 𝑇𝑎𝑛 𝜃 =𝑆𝑒𝑛 𝜃
𝐶𝑜𝑠 𝜃 para este intervalo.
Anexo D. Taller de afianzamiento sobre funciones trigonométricas 111
Respuesta:
La modelación y la generalización: Formular y visualizar un problema de diferentes
formas, descubrir relaciones, regularidades e invariantes, transferir un problema real a
uno matemático.
2. Explica qué relación encuentras entre los valores de las funciones trigonométricas 𝜋
3 𝑦
𝜋
6𝑟𝑎𝑑 .
Respuesta:
3. Luego de interactuar con la interfaz de Geogebra, completa la siguiente tabla sin dar
resultados decimales tabla según corresponda:
𝛼 𝑃 (𝑥, 𝑦) 𝑆𝑒𝑛 (𝛼) 𝐶𝑜𝑠 (𝛼) 𝑇𝑎𝑛(𝛼) 𝐶𝑠𝑐 (𝛼) 𝑆𝑒𝑐 (𝛼) 𝐶𝑜𝑡 (𝛼)
16
12𝜋 =
4
3𝜋
-2 √2
2
-√2
2 -1 √2
112 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
4. Completa la siguiente tabla:
Cuadrante Signos de (x,y) Funciones
positivas
Funciones
negativas
I
II
III x<0
y<0
Tangente,
Cotangente
Coseno, Seno,
Secante,
Cosecante
IV
Interactúa con la construcción “Actividad 6” en Geogebra, contesta las siguientes preguntas:
Reconocimiento y comprensión de variables: Reconoce, percibe, identifica y caracteriza
las variables asociadas a un fenómeno de variación.
5. Completa los espacios:
La función seno es la función definida por 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛 𝑥, tiene las siguientes propiedades:
● Dominio: ________ ________ : [-1,1]
● EL periodo de la función seno es ________
● La función 𝑦 = 𝑆𝑒𝑛 𝑥 es impar, ya que 𝑆𝑒𝑛 (−𝑥) = −𝑆𝑒𝑛 (𝑥), para todo 𝑥 en ℝ. Por
tanto. se puede decir que 𝑆𝑒𝑛 (−45°)=________=________
● La gráfica de 𝑦 = 𝑆𝑒𝑛 𝑥 corta al eje ________ en los puntos cuyas abscisas son: 𝑥 =
𝑛 .ℼ. Para todo número entero 𝑛.
● El valor máximo de 𝑆𝑒𝑛 𝑥 es ________, y el mínimo valor es ________.
● Describe las funciones seno, coseno en términos de su crecimiento cuando el ángulo
theta en posición normal cambia de 0 a 2ℼ
Anexo D. Taller de afianzamiento sobre funciones trigonométricas 113
Tratamiento y conversión de sistemas de representación: Representación semiótica:
figural, fenomenología, gráfica, tabular, simbólico, algebraica, numérico variacional.
6. Ordena de menor a mayor valor del seno del ángulo que está señalado en cada
triángulo.
𝜶 𝜷 𝜸 𝜹 𝜺
𝑆𝑒𝑛 ( ) < 𝑆𝑒𝑛 ( ) < 𝑆𝑒𝑛 ( ) < 𝑆𝑒𝑛 ( ) < 𝑆𝑒𝑛 ( )
La modelación y la generalización: Formular y visualizar un problema de diferentes
formas, descubrir relaciones, regularidades e invariantes, transferir un problema real a
uno matemático.
7. Francisco se encuentra analizando las ondas producidas luego de tocar una trompeta.
Dicha onda sigue el comportamiento descrito por la siguiente expresión:
𝑦 =1
2𝑆𝑒𝑛 (
𝑥
2) + 𝐶𝑜𝑠 (2𝑥) + 𝑆𝑒𝑛 (3𝑥 +
𝜋
4)
114 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
Completa la siguiente tabla teniendo en cuenta que:
Dominio Rango Periodo Intercepto con
x
Intercepto con
y
Máximo Mínimo
Interactúa con la construcción “Actividad 7” en Geogebra, contesta las siguientes preguntas:
Reconocimiento y comprensión de variables: Reconoce, percibe, identifica y caracteriza
las variables asociadas a un fenómeno de variación.
8. Completa los espacios:
La función coseno es la función definida por: ________. Tiene las siguientes propiedades:
● Dominio: ________ ________ : [-1, 1]
● Es una función periódica, y su periodo es: ________.
● La función 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠 𝑥,es par, ya que 𝐶𝑜𝑠 (−𝑥) = 𝐶𝑜𝑠 (𝑥), para todo𝑥 en ℝ. Por
tanto, 𝐶𝑜𝑠 (−60°) = ________=________
● La gráfica de 𝑦 = 𝐶𝑜𝑠 𝑥 intercepta al eje x en los puntos cuyas abscisas son ________
● El valor máximo de 𝐶𝑜𝑠 𝑥 es ________, y el valor mínimo valor es ________
Tratamiento y conversión de sistemas de representación: Representación semiótica:
figural, fenomenología, gráfica, tabular, simbólico, algebraica, numérico variacional.
9. Observa las gráficas de la función seno y coseno.
Anexo D. Taller de afianzamiento sobre funciones trigonométricas 115
Completa el paralelo.
Función Seno Función Coseno
Puntos máximos
Puntos mínimos
Corte con el eje Y
Corte con el eje X
Completa el espacio, para que la expresión sea verdadera: 𝑆𝑒𝑛 (𝑥) = 𝐶𝑜𝑠 (𝑥 + )
La modelación y la generalización: Formular y visualizar un problema de diferentes
formas, descubrir relaciones, regularidades e invariantes, transferir un problema real a
uno matemático.
10. Si 𝛼 =𝜋
4, cuál debe ser la medida del ángulo 𝛽 de tal manera que se cumpla la siguiente
igualdad: 𝐶𝑜𝑠 𝛼 = 𝑆𝑒𝑛 (𝛼 + 𝛽).
Respuesta:
116 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
Interactúa con la construcción “Actividad 8” en Geogebra, contesta las siguientes preguntas:
Tratamiento y conversión de sistemas de representación: Representación semiótica:
figural, fenomenología, gráfica, tabular, simbólico, algebraica, numérico variacional.
11. Manipule el deslizador del ángulo y complete la siguiente tabla, teniendo en cuenta que
𝑓(𝜙) = 𝑇𝑎𝑛 (𝜙) =𝐶.𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐶.𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝜙 0 1
6𝜋
1
3𝜋
1
2𝜋
2
3𝜋
5
6𝜋
𝜋 7
6𝜋
4
3𝜋
3
2𝜋
5
3𝜋
11
6𝜋
2𝜋
𝜙 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360°
𝑓(𝜙)
Ubique las coordenadas en el siguiente plano
Qué puede concluir del comportamiento obtenido.
Respuesta:
12. Construye una expresión algebraica que describe la forma general de los ángulos (en
grados o radianes) que generan valores de tangente de 1 o -1.
Anexo D. Taller de afianzamiento sobre funciones trigonométricas 117
Respuesta:
13. La función tangente es continua o discontinua, explica tu respuesta.
Respuesta:
A través de los siguientes enlaces podrás recurrir a la ubicación de las apps diseñadas en
geogebra y los respectivos links de YouTube donde podrá profundizar en la construcción
de cada una de estas.
Actividad. 5
https://www.geogebra.org/m/k2agtjh9
https://youtu.be/8unDZiVAUr8
Actividad. 6
https://www.geogebra.org/m/hzumr3vr
https://youtu.be/jnK0lkvu7qA
Actividad. 7
https://www.geogebra.org/m/tcfsfcga
https://youtu.be/h6wS776DbXs
Actividad. 8
https://www.geogebra.org/m/ehevdw9d
https://youtu.be/o6dFG-veG_o
Anexo E: Taller de afianzamiento sobre traslación de funciones trigonométricas
PROYECTO: DISEÑO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ORIENTADAS AL
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL EN EL CONTEXTO DE LAS FUNCIONES
Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS HACIENDO USO DE LA GD.
OBJETIVO: Analizar el cambio en el comportamiento que experimenta una función
trigonométrica al modificar algún parámetro.
El recurso gráfico utilizado en la guía es de autoría propia.
Interactúa con la construcción “Actividad 9 ” en Geogebra, contesta las siguientes preguntas:
Para facilitar la comprensión de la actividad se definirá la expresión “condición inicial”
como aquella en la cual 𝑨 = 𝟏, 𝑩 = 𝟏, 𝑫 = 𝟎 y 𝜶 = 𝟎°, es decir, cuando 𝒇(𝜽)= 𝒈(𝜽).
Reconocimiento y comprensión de variables: Reconoce, percibe, identifica y caracteriza
las variables asociadas a un fenómeno de variación.
1. La curva 𝑔(𝜃) corresponde a la función inicial, mientras la función 𝑓(𝜃) corresponde a
la obtenida luego de modificar algún parámetro de los establecidos en la ecuación
general. Ubica los deslizadores de 𝐴 y 𝐵 en el valor igual a 1, luego modifica el valor de
𝐷 y describe lo que observas.
Respuesta:
120 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
2. Asegúrate de que el deslizador de 𝐷 esté en el valor igual a 0, seguidamente usa
únicamente el deslizador de 𝛼 y explica qué efecto tiene sobre la función 𝑓(𝜃).
Respuesta:
3. Modifica los deslizadores de tal manera que 𝑓(𝜃)= 𝑔(𝜃), luego usa el deslizador de 𝐴 y
describe lo que observaste.
Respuesta:
4. Modifica los deslizadores de tal manera que 𝑓(𝜃)= 𝑔(𝜃), luego usa el deslizador de 𝐵 y
describe lo que observaste.
Respuesta:
Tratamiento y conversión de sistemas de representación: Representación semiótica:
figural, fenomenología, gráfica, tabular, simbólico, algebraica, numérico variacional.
5. Ubica la función 𝑓(𝜃) en las condiciones iniciales, luego modifica lentamente el
deslizador de 𝐴, especialmente cuando 0 ≤ 𝐴 ≤ 1, y cuando está entre −1 ≤ 𝐴 ≤ 0,
para ello ayúdate de las teclas de dirección del teclado. ¿Qué ocurre con el
comportamiento de la gráfica?
Respuesta:
Anexo E. Taller de afianzamiento sobre traslación de funciones
trigonométricas
121
6. Ubica la función 𝑓(𝜃) en las condiciones iniciales, luego modifica lentamente el
deslizador de 𝐵, especialmente cuando 0 ≤ 𝐵 ≤ 1, y cuando está entre −1 ≤ 𝐵 ≤
0, para ello ayúdate de las teclas de dirección del teclado. ¿Qué ocurre con el
comportamiento de la gráfica?
Respuesta:
7. Ubica la función 𝑓(𝜃) en las condiciones iniciales, seguidamente ubica el deslizador en
𝐴 = −1 , luego establece 𝐴1 = 1para la función 𝑔(𝜃). Continúa ubicándolo en 𝐴 = −2 ,
luego en 𝐴1 = 2. Por último 𝐴 = −3 , y 𝐴1 = 3. ¿Qué relación encuentras en este
comportamiento?
Respuesta:
8. Ubica la función 𝑓(𝜃) en las condiciones iniciales, seguidamente ubica el deslizador en
𝐵 = −1 , luego establece 𝐵1 = 1 para la función 𝑔(𝜃). Continúa ubicándolo en 𝐵 = −2 ,
luego en 𝐵1 = 2. Por último 𝐵 = −3 , y 𝐵1 = 3. ¿Qué relación encuentras en este
comportamiento?
Respuesta:
122 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
Interactúa con la construcción “Actividad 10 ” en Geogebra, contesta las siguientes preguntas:
Para facilitar la comprensión de la actividad se definirá la expresión “condición inicial”
como aquella en la cual 𝑨 = 𝟏, 𝑩 = 𝟏, 𝑫 = 𝟎 y 𝜶 = 𝟎°.
Reconocimiento y comprensión de variables: Reconoce, percibe, identifica y caracteriza
las variables asociadas a un fenómeno de variación.
9. Manipula libremente los parámetros. Luego, relaciona cada columna con el nombre del
parámetro, símbolo utilizado y el efecto que genera en el comportamiento gráfico de la
función.
Traslación vertical 𝐴 Desfase
Comprimir o alargar horizontalmente 𝐵 Amplitud
Desplazamiento entre valor máx y mín 𝛼 Desplazamiento vertical
Traslación horizontal 𝐷 Indicador de la repetición
10. Luego de las interacciones realizadas previamente, relaciona las siguientes columnas.
Gráfica Tipo de transformación Parámetro Función
Reflexión Vertical A 𝑦 = 𝑓 (−𝑥)
Reflexión Horizontal B 𝑦 = −𝑓 (𝑥)
Anexo E. Taller de afianzamiento sobre traslación de funciones
trigonométricas
123
Tratamiento y conversión de sistemas de representación: Representación semiótica:
figural, fenomenología, gráfica, tabular, simbólico, algebraica, numérico variacional.
11. Modifica los deslizadores hasta ubicarlos en la condición inicial. Seguidamente,
manipula el deslizador de 𝜶. Coloca el nombre a cada una de las funciones teniendo en
cuenta que son transformaciones de la función seno.
__________
__________
__________
12. Deja activa únicamente la opción de elementos y de la función coseno, luego ubica la
función 𝑔(𝜃) en las condiciones iniciales. Explora manipulando los deslizadores de 𝐴 y
𝐵. La gráfica de la función ℎ(𝜃) que se muestra a continuación ha sido transformada a
partir de la gráfica de 𝑔(𝜃) = 𝐶𝑜𝑠 (𝜃). ¿Qué valores tiene 𝐴 y 𝐵 para ℎ(𝜃) = 𝐴 ∗
𝐶𝑜𝑠 (𝐵𝜃)?
ℎ(𝜃) = 𝐴 𝐶𝑜𝑠 (𝐵𝜃)
ℎ(𝜃) = ___ 𝐶𝑜𝑠(___ 𝜃)
ℎ(𝜃) = 𝐴 𝐶𝑜𝑠 (𝐵𝜃)
ℎ(𝜃) = ___ 𝐶𝑜𝑠(___ 𝜃)
124 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
13. El período de una función es cada cuanto la porción principal de la gráfica se repite, es
decir, corresponde a la longitud de un intervalo en el dominio, o sea, del eje 𝑥, en la cual
se esboza el patrón de la gráfica que se repite. Está dada por la expresión: 𝑇 =2𝜋
𝐵 con
𝐵 ≠ 0. Establece la condición inicial, luego, modifica únicamente el valor del deslizador
𝐵, y activa la opción de la función seno y elementos. ¿Cuando el periodo de una función
aumenta? De acuerdo al comportamiento que observaste, ¿En qué caso el periodo sería
mínimo?
Respuesta:
14. Construye la ecuación de la función trigonométrica de acuerdo a las características que
te den:
- Función seno, amplitud 15
3, periodo 2𝜋 , desfase 40°. 𝑦=_______________.
- Función coseno, amplitud 3.5, periodo𝜋. 𝑦=_______________.
- Función seno, amplitud 3
4, periodo 𝜋/2, desfase 𝜋/4 𝑦=_______________.
𝑦=_____________
𝑦=_____________
Anexo E. Taller de afianzamiento sobre traslación de funciones
trigonométricas
125
𝑦=_____________
15. Elabora la representación gráfica de cada una de las funciones que se piden a
continuación y escribe su expresión algebraica correspondiente.
Una transformación del Coseno, que corte al eje
𝑥 en 3
4𝜋 y en
7
4𝜋, y que tenga amplitud 4
unidades.
Una transformación del Seno, que corte al eje 𝑥
en y en 11
8𝜋, y que tenga amplitud
6
2 unidades.
La modelación y la generalización: Formular y visualizar un problema de diferentes formas,
descubrir relaciones, regularidades e invariantes, transferir un problema real a uno
matemático.
16. Si el desplazamiento en función del tiempo 𝑡 de un objeto describe la ecuación 𝑦 = 𝐴 𝑆𝑒𝑛 𝜔𝑡
, o, 𝑦 = 𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡, entonces el objeto exhibe un movimiento armónico simple donde: 𝐴 es la
amplitud en centímetros que corresponde al desplazamiento máximo del objeto, 𝑇es el
periodo 𝑇 =2𝜋
𝜔 que corresponde al tiempo en segundos necesario para completar un ciclo y
𝐹es la frecuencia 𝐹 =𝜔
2𝜋 que corresponde al número de ciclos por unidad de tiempo.
El desplazamiento de la masa del resorte está dado por: 𝑦 = 3 𝐶𝑜𝑠 (4𝜋𝑡)
126 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
Determine el valor del periodo del resorte e
identifícalo gráficamente.
Determine la frecuencia del resorte y explique
el significado de este valor.
17. En el dibujo se observa un resorte del cual se
suspende una masa.
La posición de la masa está dada por la expresión
𝑥 = 7 𝐶𝑜𝑠 10 𝑡, donde el tiempo 𝑡 está expresado en
segundos y la posición 𝑥 en centímetros.
Cuando 𝑡 = 0, el resorte está desplazado hasta la
posición +𝑥.
¿Cuál es el valor de 𝑥?
________________________________________________________________________
Calcula la posición después de 20 segundos.
________________________________________________________________________
Calcula el tiempo en volver a la misma posición.
________________________________________________________________________
18. Las ondas sonoras se transforman en el sonido que escuchamos, lo cual significa que
estas se han transmitido desde la fuente que las emite hasta nuestros oídos que son
capaces de captarlas, a partir de la vibración de las moléculas del aire. Los lugares que
facilitan la creación de ecos de un sonido generalmente corresponde a espacios
cerrados donde la onda choca con un obstáculo y se refleja creando otra secuencia de
ondas sonoras, sin embargo, también es posible percibirlos en lugares abiertos. La
función 𝑓(𝑥) = 5 𝑆𝑒𝑛 (𝑥 + 2) representa las ondas que determinan el sonido antes de
llegar a una montaña y la función 𝑔(𝑥) =5
2∗ (𝐶𝑜𝑠 𝑥 − 2), el sonido después de reflejarse
en dicha montaña (eco). Gráfica cada función en un mismo plano cartesiano. Luego,
halla el rango de las funciones.
128 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
A través de los siguientes enlaces podrás recurrir a la ubicación de las apps diseñadas en
geogebra y los respectivos links de YouTube donde podrá profundizar en la construcción
de cada una de estas.
Actividad.9
https://www.geogebra.org/m/w9fahvae
https://youtu.be/qF4duy5J-X8
Actividad. 10
https://www.geogebra.org/m/vh4f3yrj
https://youtu.be/zl-9tU_8o6Y
Anexo F: Taller de afianzamiento sobre ecuaciones trigonométricas lineales
PROYECTO: DISEÑO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ORIENTADAS AL
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL EN EL CONTEXTO DE LAS
FUNCIONES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS HACIENDO USO DE LA GD.
OBJETIVO: Estudiar cómo afecta la variación de los parámetros en el comportamiento de la
gráfica y en la solución general de ecuaciones trigonométricas lineales.
El recurso gráfico utilizado en la guía es de autoría propia.
Interactúa con la construcción “Actividad 11 ” en Geogebra, contesta las siguientes
preguntas:
Reconocimiento y comprensión de variables: Reconoce, percibe, identifica y caracteriza
las variables asociadas a un fenómeno de variación.
1. En una ecuación trigonométrica lineal de la forma 𝐴 𝑆𝑒𝑛 (𝐵𝑥) + 𝐷 = 𝐶, ¿Qué valores
puede tomar 𝐴, 𝐵, 𝐶 𝑦 𝐷?.
Respuesta:
130 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
2. ¿Qué ocurre con la gráfica cuando en la expresión 𝐴 𝑆𝑒𝑛 (𝐵𝑥) + 𝐷 = 𝐶, 𝐵 = 0? ¿Cómo
podrías explicar este comportamiento?
Respuesta:
3. Activa la opción de “Ecuaciones con razón SENO”, luego modifica el parámetro 𝐶 de la
ecuación trigonométrica lineal de la forma 𝐴 𝑆𝑒𝑛 (𝐵𝑥) + 𝐷 = 𝐶. Tenga en cuenta que
los puntos de corte son las soluciones para esta ecuación en el intervalo 𝜓 < 𝑥 < 𝜔 .
¿Cómo podría explicar el hecho de que no siempre existan puntos de corte entre la
curva 𝐴 𝑆𝑒𝑛 (𝐵𝑥) + 𝐷 con la recta 𝑦 = 𝐶?
Respuesta:
Anexo F. Taller de afianzamiento sobre ecuaciones trigonométricas lineales 131
Tratamiento y conversión de sistemas de representación: Representación semiótica:
figural, fenomenología, gráfica, tabular, simbólico, algebraica, numérico variacional.
4. Atribuye a cada gráfica la ecuación que está representando, si las soluciones están en
el intervalo [0, 2𝜋]. Luego, indica el conjunto de soluciones:
A
B
C
D
( ) 3 𝑇𝑎𝑛 𝑥 + 2 = 𝑇𝑎𝑛 𝑥; Soluciones: _____________, ____________,____________,
( ) 2 𝐶𝑜𝑡 𝑥 − 3 = 5 Soluciones: ___________, ____________,____________,
( ) 2 𝐶𝑜𝑠 𝑥 − √2 = 0 Soluciones: _____________, ____________,___________,
( ) 6 𝑆𝑒𝑛 𝑥 = 3 Soluciones: _____________, ____________,___________,
132 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
5. Haciendo uso del aplicativo, manipula los deslizadores de los parámetros 𝐴, 𝐵, 𝐶 𝑦 𝐷,
hasta lograr obtener las ecuaciones que se muestran a continuación. Luego, descifra
la solución aproximada de cada ecuación trigonométrica en el intervalo indicado.
𝐶𝑜𝑠 𝜃 = 1
2, si −𝜋 < 𝜃 < 𝜋 Soluciones:_________,__________,__________,__________,
2𝑆𝑒𝑛 𝜃 + √3 = 𝜋 , si − 3
2𝜋 < 𝜃 <
1
2𝜋 Soluciones:____________,____________,
6. Relaciona cada ecuación con su respectiva solución matemática, la cual se rige por la
expresión 𝜃 =𝑆𝑒𝑛−1(
𝐶−𝐷
𝐴)
𝐵, ó, 𝜃 =
𝐶𝑜𝑠−1(𝐶−𝐷
𝐴)
𝐵 .
𝑆𝑒𝑛 𝜃 = √2
2, si 0 < 𝜃 < 𝜋 Sol: 𝜃 =
5
6𝜋
𝐶𝑜𝑠 𝜃 = − √3
2, si 0 < 𝜃 < 𝜋 Sol: 𝜃 =
1
6𝜋 y 𝜃 =
5
6𝜋
2𝑆𝑒𝑛 𝜃 − 1 = 2, si 0 < 𝜃 < 𝜋 Sol: 𝜃 = 𝜋
𝑇𝑎𝑛 𝜃 + 1 = 0 si 0 < 𝜃 < 𝜋 Sol: 𝜃 =3
4𝜋
7. En la siguiente tabla se presenta la variación del nivel del agua en la bahía de
Cartagena dentro de un periodo de 24 horas. Lleva a una representación gráfica la
información suministrada en la tabla.
horas transcurridas
desde las 6:00a.m.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
nivel del agua en
metros
8 7 5 2 0 -2.6 -4 -2.6 0 2 5 7 8
Anexo F. Taller de afianzamiento sobre ecuaciones trigonométricas lineales 133
De acuerdo a la gráfica obtenida, indique:
¿En qué intervalo de horas es más probable tener alturas de las mareas de superiores a 7
metros? ___________________________________________________________________
¿Qué ocurre entre las 6 y 10 hora transcurrida luego de las 6:00 a.m.?
_________________________________________________________________________
¿Cual es la amplitud de las olas?
_________________________________________________________________________
La modelación y la generalización: Formular y visualizar un problema de diferentes
formas, descubrir relaciones, regularidades e invariantes, transferir un problema real a
uno matemático.
Interactúa con la construcción “Actividad 12 ” en Geogebra, contesta las siguientes
preguntas:
8. Para la siguiente actividad se debe hacer uso de la construcción elaborada en
GeoGebra, archivo denominado “Actividad 14”, el cual describe las dimensiones que
debe tener una canaleta que se muestra en la figura 3D. Varía el ángulo 𝛼 y la longitud
134 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
del lado 𝑐 utilizando los deslizadores hasta que el área sea aproximadamente igual a
las indicadas en la tabla.
Solución
Área≈3.9 𝑐𝑚2 Lado= 3 𝑐𝑚 Ángulo= 60° Base= 3 𝑐𝑚 Fórmula del área
𝐴 =𝑏. √𝑐2 −
𝑏2
4
2
b=Base
c=lado congruente
entre sí del triángulo
Área≈6.25 𝑐𝑚2 Lado= 𝑐𝑚 Ángulo= 30° Base= 𝑐𝑚
Área≈ 𝑐𝑚2 Lado= 4 𝑐𝑚 Ángulo= 120° Base= 0.93 𝑐𝑚
Área≈ 𝑐𝑚2 Lado= 𝑐𝑚 Ángulo= ° Base= 𝑐𝑚
9. Se desea diseñar un canal para la utilización del agua, tal como se muestra a
continuación.
El ángulo 𝜃 que maximiza el área de un canal con forma trapezoidal se encuentra mediante la
siguiente ecuación:
2 𝑆𝑒𝑛 𝜃 + 2√3 = 𝑆𝑒𝑛 𝜃 + 5√3
2
¿Cuál es el valor óptimo de 𝜃?
Respuesta:
Interactúa con la construcción “Actividad 13 ” en Geogebra, contesta las siguientes
Anexo F. Taller de afianzamiento sobre ecuaciones trigonométricas lineales 135
preguntas:
10. Se inscribe un triángulo isósceles en un círculo de radio 𝑅 . La expresión
𝐴 = 𝑅2(𝑆𝑒𝑛 𝛼) (𝐶𝑜𝑠 𝛼 + 1) establece el área del triángulo en términos de la medida del
ángulo formado por los dos lados iguales.
Utilice el punto de color rojo que está sobre la circunferencia para identificar, la medida
del ángulo para la cual el área del triángulo sea máxima.
Respuesta:
A través de los siguientes enlaces podrás recurrir a la ubicación de las apps diseñadas en
geogebra y los respectivos links de YouTube donde podrá profundizar en la construcción
de cada una de estas.
Actividad. 11
https://www.geogebra.org/m/xrzdjydp
https://youtu.be/WnPfdQ4abZU
Actividad. 12
https://www.geogebra.org/m/xsjsgcbt
https://youtu.be/kmnNwNDZKfI
Actividad. 13
https://www.geogebra.org/m/vxkccbz3
https://youtu.be/tZxSX-fZmEw
Anexo G: Taller de afianzamiento sobre ecuaciones trigonométricas cuadráticas
PROYECTO: DISEÑO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ORIENTADAS AL
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL EN EL CONTEXTO DE LAS FUNCIONES
Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS HACIENDO USO DE LA GD.
OBJETIVO: Estudiar y analizar la solución general, numérica y gráfica de las situaciones que
involucren ecuaciones trigonométricas cuadráticas.
El recurso gráfico utilizado en la guía es de autoría propia.
Interactúa con la construcción “Actividad 14 ” en Geogebra, contesta las siguientes preguntas:
Reconocimiento y comprensión de variables: Reconoce, percibe, identifica y caracteriza
las variables asociadas a un fenómeno de variación.
1. Escribe una ecuación trigonométrica de segundo grado e identifica los parámetros que
están involucrados.
Respuesta:
138 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
2. Manipula los deslizadores de 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶. Luego, establece el rango de valores que puede
tomar y cuáles no, para cada uno de los parámetros.
Respuesta:
3. En qué casos la gráfica generada es lo menos parecida a la presentada en el
comportamiento sinusoidal lineal.
Respuesta:
4. ¿Qué efecto tiene sobre el comportamiento de la gráfica la variación del parámetro 𝐶?
Respuesta:
5. ¿Además del parámetro 𝐴, que otro parámetro afecta considerablemente la distancia
entre el valor máximo y el mínimo?. ¿En qué rango de variación es más notable esta
diferencia?
Respuesta:
Anexo G. Taller de afianzamiento sobre ecuaciones trigonométricas
cuadradas
139
6. Aquellas ecuaciones trigonométricas de una variable y de segundo grado (o que puedan
expresarse como tales) se les conoce como ecuaciones trigonométricas cuadráticas. De
acuerdo a lo anterior, clasifica las siguientes expresiones algebraicas en ecuaciones
trigonométricas lineales y cuadráticas.
(𝑆𝑒𝑛 𝑥 − 1)(𝑆𝑒𝑛 𝑥 + 1) = 0; __________________________
2 𝑆𝑒𝑛 𝑥 − √2 = 0; __________________________________
2 𝐶𝑜𝑠2 𝑥 – 1 = 0 ; ___________________________________
2 𝑆𝑒𝑛2 𝜃 − 𝑆𝑒𝑛 𝜃 = 1; ______________________________
7 𝑆𝑒𝑛 2𝛽 − 2
3 + 𝑆𝑒𝑛 2𝛽 = −3; _________________________
(2 𝐶𝑜𝑠 𝑥 − 1)(𝐶𝑜𝑠 𝑥 + 1) = 0 ; ________________________
Tratamiento y conversión de sistemas de representación: Representación semiótica:
figural, fenomenología, gráfica, tabular, simbólico, algebraica, numérico variacional.
7. Relaciona cada ecuación con sus soluciones si 0 < 𝜃 < 2𝜋
Ecuación
2𝐶𝑜𝑠 𝜃 + √3 = 0
𝑆𝑒𝑐 𝜃 = 2√3
3
𝑇𝑎𝑛 𝜃 = √3
2𝑆𝑒𝑛 𝜃 + 1 = 0
2𝑆𝑒𝑛 𝜃 − 3 = 0
𝑆𝑒𝑛 𝜃 = −1
𝑇𝑎𝑛 𝜃 + 1 = 0
Solución
1
6𝜋 𝑦
11
6𝜋
1
2𝜋
3
4𝜋 𝑦
7
4𝜋
5
6𝜋 𝑦
7
6𝜋
1
3𝜋 𝑦
4
3𝜋
3
2𝜋
7
6𝜋 𝑦
11
6𝜋
8. Con la ayuda de los deslizadores gráfica la función 𝑓(𝑥) = 𝐴 𝑆𝑒𝑛2 𝑥, encuentra los
puntos de corte con el eje 𝑥 en el intervalo [−2𝜋 , 2𝜋].
Respuesta:
9. Gráfica la función 𝑓(𝑥) = 3 𝑆𝑒𝑛2 𝑥. Con la ayuda de la gráfica anterior, completa la
siguiente tabla de valores y encuentra algo común entre ellos.
𝑥 -2𝜋 -3
2𝜋 -𝜋 -
1
2𝜋 0 1
2𝜋
𝜋 3
2𝜋
2𝜋
𝑓(𝑥)
Que se obtiene al calcular 𝑓(−3
2𝜋)y 𝑓(
3
2𝜋), o, 𝑓(−𝜋)y 𝑓(𝜋). ¿La función es par o impar?
Respuesta:
10. Gráfica la ecuación 𝐴 𝑆𝑒𝑛2 𝑥´ + 𝐵 𝑆𝑒𝑛 𝑥 = 𝐷. ¿Qué le ocurre a la gráfica?
Respuesta:
142 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
Interactúa con la construcción “Actividad 15 ” en Geogebra, contesta las siguientes
preguntas:
La modelación y la generalización: Formular y visualizar un problema de diferentes
formas, descubrir relaciones, regularidades e invariantes, transferir un problema real a
uno matemático.
11. La distancia horizontal y vertical máxima que recorre un balón están dadas por la
fórmula 𝑋 =𝑉0.
2 𝑆𝑒𝑛 (2𝛼)
𝑔 y 𝑌 =
𝑉0.2 𝑆𝑒𝑛2(𝛼)
2𝑔 respectivamente, donde 𝑉0 es la velocidad
inicial, 𝛼 el ángulo de salida del proyectil y 𝑔 = 10 𝑚/𝑠2.
En la vista Gráfica 1 encontrará el camino que sigue el balón en el plano, es decir, la variación
de su posición durante el tiempo de vuelo, para ello, debe manipular el deslizador 𝑇
Revisa independientemente el comportamiento de la distancia vertical y horizontal recorrida
Vs. Tiempo en la vista Gráfica 2. Describe las características que encuentras en cada uno.
¿Cómo podrías definir el movimiento que sigue el balón?
Respuesta:
Anexo G. Taller de afianzamiento sobre ecuaciones trigonométricas
cuadradas
143
12. Manipule el deslizador 𝛼 en la vista Gráfica 1, y saca conclusiones frente a lo que
observas.
Respuesta:
13. En la vista Gráfica 2 encontrará la variación de la distancia horizontal y vertical máxima
y el tiempo de vuelo en función del ángulo con el cual es pateado el balón. Describe las
características que encuentras en cada uno.
Respuesta:
14. Si el balón alcanza una distancia horizontal máxima de 34,64 𝑚 en la tierra, con una
velocidad inicial de 20 𝑚/𝑠, ¿Cuál fue el ángulo de salida?
Respuesta:
15. Si el balón es lanzado con una velocidad inicial de 10 𝑚/𝑠 desde la luna (𝑔 𝐿𝑢𝑛𝑎 =
2 𝑚/𝑠2) y alcanza una distancia horizontal máxima de 43,3 𝑚, ¿Cuál fue el ángulo de
salida?
Respuesta:
144 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
16. Se requiere que un balón lanzado con una velocidad inicial 15 𝑚/𝑠 alcance una altura
mayor a 10 𝑚, ¿Cúal es el valor del ángulo mínimo con que debe salir disparado desde
la Tierra?
Respuesta:
17. ¿Cuál es el efecto de la 𝑔 sobre 𝑋 𝑦 𝑌?
Respuesta:
A través de los siguientes enlaces podrás recurrir a la ubicación de las apps diseñadas en
geogebra y los respectivos links de YouTube donde podrás profundizar en la construcción
de cada una de estas.
Actividad. 14
https://www.geogebra.org/m/ws78vuju
https://youtu.be/SpbD85x0xjo
Actividad. 15
https://www.geogebra.org/m/ntwqnp3h
https://youtu.be/EzX6PP6gwZw
Anexo H: Taller de profundización sobre el movimiento armónico simple
PROYECTO: DISEÑO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ORIENTADAS AL
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL EN EL CONTEXTO DE LAS
FUNCIONES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS HACIENDO USO DE LA GD.
OBJETIVO: Desarrollar el pensamiento variacional a partir del análisis del comportamiento
del periodo en los sistemas masa-resorte y péndulo propios de los movimientos armónicos
simples.
El recurso gráfico utilizado en la guía es de autoría propia.
MODELOS M.A.S.: Un objeto presenta produce un movimiento armónico simple (M.A.S.)
cuando las fuerzas restauradoras que actúan sobre él, son proporcionales a la distancia en que
se desplaza con respecto al punto de equilibrio.
Reconocimiento y comprensión de variables: Reconoce, percibe, identifica y caracteriza
las variables asociadas a un fenómeno de variación.
⮚ SISTEMA MASA-RESORTE
Haciendo uso del simulador virtual de PHET, llamado laboratorio de masas y resortes,
interactúe con los parámetros mostrados en su interfaz:
Tomado de:
https://phet.colorado.edu/sims/html/masses-and-springs/latest/masses-and-springs_es.html
146 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
1. ¿Qué parámetros afectan el movimiento de un sistema masa-resorte?
Respuesta:
2. ¿Cómo definirías el movimiento de un sistema masa-resorte?
Respuesta:
3. ¿Qué tipo de valores pueden tomar los parámetros que afectan el movimiento?
Respuesta:
⮚ SISTEMA PÉNDULO SIMPLE
Haciendo uso del simulador virtual de PHET, llamado laboratorio de péndulo, realice
libremente la manipulación de los parámetros que desee, luego conteste las siguientes
preguntas:
Tomado de: https://phet.colorado.edu/sims/html/pendulum-lab/latest/pendulum-lab_es.html
Anexo H. Taller de afianzamiento sobre el movimiento armónico simple 147
4. ¿Qué parámetros afectan el movimiento de un péndulo?
Respuesta:
5. ¿Cómo definirías el movimiento de un péndulo?
Respuesta:
6. ¿Qué tipo de valores pueden tomar los parámetros que afectan este movimiento?
Respuesta:
La modelación y la generalización: Formular y visualizar un problema de diferentes
formas, descubrir relaciones, regularidades e invariantes, transferir un problema real a
uno matemático.
Con respecto al movimiento de un sistema masa-resorte, verifique que ocurre con:
7. La amplitud de la oscilación cuando aumenta la masa que está sujeta al resorte:
____________________________________________________________________
8. El periodo y la frecuencia del movimiento cuando disminuye la constante elasticidad
del resorte: ___________________________________________________________
148 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
9. El periodo cuando se duplica la constante de elasticidad del resorte:
____________________________________________________________________
Con respecto al movimiento del péndulo, verifique que ocurre con:
10. ¿Cómo debe variar la longitud del péndulo para hacer que la frecuencia aumente?
____________________________________________________________________
11. ¿La masa colgada del péndulo afecta de alguna manera el fenómeno?
____________________________________________________________________
12. ¿Cuantos grados de desfase se debe mover el peso que pende de la cuerda para
asegurarnos de que se presente un movimiento armónico simple?
____________________________________________________________________
Anexo I: Taller de profundización sobre cinemática del movimiento armónico simple
PROYECTO: DISEÑO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ORIENTADAS AL
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL EN EL CONTEXTO DE LAS
FUNCIONES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS HACIENDO USO DE LA GD.
OBJETIVO: Fortalecer el desarrollo de los procesos asociados al pensamiento variacional a
través del reconocimiento del carácter trigonométrico de la cinemática del movimiento armónico
simple.
El recurso gráfico utilizado en la guía es de autoría propia.
Reconocimiento y comprensión de variables: Reconoce, percibe, identifica y caracteriza
las variables asociadas a un fenómeno de variación.
Interactúa con la construcción “Actividad 16 ” en Geogebra, contesta las siguientes
preguntas:
1. Fija los parámetros de la siguiente manera: 𝐴 = 8, 𝜔 = 2 y 𝜑 = 0°. Luego, selecciona
únicamente la casilla de control de Posición y luego realiza la animación del deslizador
𝑡. ¿Cómo identificar gráficamente el valor de 𝜔?
Respuesta:
150 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
2. Selecciona únicamente la casilla de control de la velocidad. Luego, describe el
comportamiento de esta en un sistema masa-resorte durante una oscilación, teniendo
como referencia (𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜) 𝑇,𝑇
2,
𝑇
4 .
Respuesta:
3. Activa la casilla de control de Posición, Velocidad y Aceleración. ¿Cuál de todas las
gráficas presenta mayor número de oscilaciones en un mismo periodo de tiempo?
Respuesta:
4. ¿Qué ocurre en la gráfica de posición Vs. Tiempo, cuando aumenta el desfase en
comparación al comportamiento obtenido sin aplicar un desfase?
Respuesta:
Tratamiento y conversión de sistemas de representación: Representación semiótica:
figural, fenomenología, gráfica, tabular, simbólico, algebraica, numérico variacional.
Anexo I. Taller de afianzamiento sobre cinemáticadel movimiento armónico
simple
151
5. Una partícula sigue un M.A.S. en un plano horizontal, si se sabe que 𝜔2 = 9 y la
velocidad en el eje x es: 𝑣(𝑡) = −36 ∗ 𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡 −𝜋
4), escribe la expresión algebraica
donde identifiques plenamente, los elementos: 𝐴, 𝜔 𝑦 𝜑.
Respuesta:
6. Traza la gráfica aproximada del comportamiento de la posición, velocidad y aceleración
de una partícula que tiene un M.A.S.
𝐴𝜔2
𝐴𝜔
+𝐴
𝑋 = 0
−𝐴
𝐴𝜔
𝐴𝜔2
0 𝑇
4
𝑇
2
3𝑇
4 𝑇
7. La siguiente gráfica corresponde al comportamiento de la posición de una partícula. A
partir de esta, construye la expresiones algebraicas que describen la velocidad y
aceleración de esta en un 𝑇 = 2𝜋
152 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
Respuesta:
La modelación y la generalización: Formular y visualizar un problema de diferentes
formas, descubrir relaciones, regularidades e invariantes, transferir un problema real a
uno matemático.
8. ¿Qué se espera que ocurra con la velocidad y la aceleración de la partícula si la
𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 (𝐴) aumenta?
Respuesta:
9. Completar la siguiente tabla, teniendo en cuenta que el movimiento es horizontal:
Posición −𝑨 𝑿 = 𝟎, Equilibrio +𝑨
Velocidad 𝒗 = 𝟎
Aceleración 𝒂 = 𝑨𝝎𝟐
Interactúa con la construcción “Actividad 17 ” en Geogebra, contesta las siguientes
preguntas:
10. Luego de explorar con el aplicativo, ¿Qué diferencia sustancial encuentras asociada al
movimiento del sistema masa-resorte en comparación a la actividad 16?.
Anexo I. Taller de afianzamiento sobre cinemáticadel movimiento armónico
simple
153
Respuesta:
11. Escribe la expresión algebraica que representa el valor máximo de la velocidad y
aceleración de cualquier partícula que se mueve bajo un M.A.S.
Respuesta:
12. ¿En qué caso se consigue que la amplitud de las gráficas posición, velocidad y
aceleración sea igual? ¿A qué se debe que ocurra esto?
Respuesta:
13. Simula la siguiente expresión en la actividad de Geogebra: 𝑎(𝑡) = −4(2)2𝑆𝑒𝑛 (2𝑡 + 0°),
¿Cuál es intervalo de tiempo en el que se alcanza una aceleración mayor a 15𝑐𝑚
𝑠2 ?
Respuesta:
154 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
14. Felipe desea alargar el tiempo que le toma a un sistema masa-resorte vertical ir y volver
a su posición inicial. ¿Qué le recomiendas hacer para conseguir esto?
Respuesta:
Interactúa con la construcción “Actividad 18 ” en Geogebra, contesta las siguientes
preguntas:
Reconocimiento y comprensión de variables: Reconoce, percibe, identifica y caracteriza
las variables asociadas a un fenómeno de variación.
15. ¿Qué rango de valores puede tomar 𝜃, 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑, 𝐺𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑, para mantener un
movimiento oscilatorio?
Respuesta:
16. Luego, de explorar el comportamiento del oscilador armónico, a través de la
manipulación de los parámetros 𝜃, 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑, 𝐺𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 a lo largo del 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜, ¿Qué
factores afectan la amplitud del movimiento?
Respuesta:
Anexo I. Taller de afianzamiento sobre cinemáticadel movimiento armónico
simple
155
17. ¿Cómo afecta la 𝐺𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 el movimiento del péndulo?
Respuesta:
La modelación y la generalización: Formular y visualizar un problema de diferentes
formas, descubrir relaciones, regularidades e invariantes, transferir un problema real a
uno matemático.
18.Un péndulo se mueve con un 𝜃 = 10° y 𝐺𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 = 10, ¿Cuál debe ser la longitud de
la cuerda para que el movimiento tenga una amplitud igual a 1?
Respuesta:
19. Un péndulo se mueve con un 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 = 3 𝑐𝑚 y 𝐺𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 = 5𝑐𝑚/ 𝑠2, se
requiere que su movimiento tenga como mínimo una amplitud 3 𝑐𝑚 , a partir de qué
ángulo mínimo se debe desplazar el objeto para conseguir lo solicitado?
Respuesta:
156 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría
20. ¿Cómo debe variar la longitud del péndulo para hacer que la frecuencia aumente?
Respuesta:
A través de los siguientes enlaces podrás recurrir a la ubicación de las apps diseñadas en
geogebra y los respectivos links de YouTube donde podrás profundizar en la construcción
de cada una de estas.
Actividad. 16
https://www.geogebra.org/m/nrnvrf8y
https://youtu.be/S8VrQ2ueU80
Actividad. 17
https://www.geogebra.org/m/egqfzdfz
https://youtu.be/mSz6KuMf7tw
Actividad. 18
https://www.geogebra.org/m/xpgwxs8s
https://youtu.be/0THDBlpHjyE