DISEÑO GEOMETRICO DE CARRETERAS pass belorofonte87

James Cárdenas Grisales

Capítulo 2RUTAS y LíNEAS DE PENDIENTE ..2.1 SELECCiÓN DE RUTAS · ·· · ,·2.2 EVALUACiÓNDELTRAZADO DE RUTAS ·2.3 LÍNEA DE PENDIENTEO DECEROS .

2.3.1 Concepto ··..··..· ..2.3.2 Trazado de una línea de pendiente ..

2.4 PROBLEMASPROPUESTOS · · · ·

Capítulo 1LAS CARRETERAS .1.1 GENERAL!DADES ..1.2 CLASIFICACiÓNDE LAS CARRETERAS ..

1.2.1 Según su competencia "1.2.2 Según sus características ",1.2.3 Según el tipo de terreno · ·1.2.4 Según su función · •1.2.5 Según su velocidadde diseño ,

1.3 CONCEPTOTRIDIMENSIONALDE UNAVíA ..

CONTENIDO ···········,·· " ..LISTA DE TABLAS ·.···················..·..···..· .LISTA DE FIGURAS ·· ·..·..·····..·.. ,·..·······..· ;.PRÓLOGO ·····.··········..·· ..INTRODUCCIÓN , ..

CONTENIDO

333334340

333

332

330

323

323

319

317319

268268278282313313313

265256268

255265

IX

203209227227229232

197

194

151155160191191

151

118122122135

3842

35

34

Capítulo 4DISEÑO GEOMÉTRICO VERTICAL: RASANTE... ..4.1 CONCEPTO ·..·········· .4.2 ELEMENTOS GEOM~TRICOS QUE INTEGRAN EL

ALINEAMIENTOVERTICAL. : ·· ··..·..·4.2.1 Tangentes verticales .4.2.2 Curvas verticales ·..· ..

4.3 GEOMETRíA DE LAS CURVAS VERTICALESPARABÓLlCAS · .4.3.1 "Curvas verticales simétricas ..4.3.2' Curvas verticalesasimétricas ..4.3.3 Coeficiente angular de una curva vertical. .

4.4 VISIBILIDAD ENCARRETERAS · ..4.4.1 Principios · ·· ··..· .4.4.2 Distanciade visibilidadde parada ..4.4.3 Distancia de visibilidad de

adelantamiento ······· .4.4.4 Distancia de visibilidadde encuentro .4.4.5 Evaluación de la visibilidad de un proyecto en

planos · ······..···· .4.5 CRITERIOS PARA LA DETERMINACiÓN DE LAS

LONGITUDESDE CURVASVERTICALES ..4.5.1 Longitud mínima de curvas verticales con

visibilidad de parada ··..······4.5.2 Longitud mínima de curvas verticales con

visibilidadde adelantamiento ··4.5.3 Longitud mínima de curvas verticales con

comodidaden la marcha .4.5.4 Longitud mínima de curvas verticales con

apariencia .4.5.5 Longitud máxima de curvas verticales con

control por drenaje ····..··..·····4.5.6 Longitudmínimumde curvas verticales ..

4.6 PROBLEMASPROPUESTOS ··..··..·..

333334

Capítulo 3DISENO GEOMÉTRICO HORIZONTAL: PLANT A. .3 1 CONCEPTOS........................ .. . .32 CURVAS CIRCULARES SIMPLES .

3 2 1 Elementos geométricos que caracterizan unacurva circular simple .

3.2.2 Expresiones que relacionan los elementosgeométricos .

3.2.3 Expresión de la curvatura de una curva circularsimple .

3.2.4 Deflexión de una curva circular simple .32.5 Otros métodos de cálculo y localización de

curvas circulares simples .CURVAS CIRCULARES COMPUESTAS .3.3.1 Curvas circulares compuestas de dos radios .3.3.2 Curvas circulares compuestasde tres radios .ESTABILIDAD EN LA MARCHA. PERALTE YTRANSICIÓN ..34.1 Desplazamiento de un vehiculo sobre una curva

circular ..34.2 Velocidad, curvatura, peralte y fricción lateral. .3.4 3 Transición del peralte .CURVAS ESPIRALES DE TRANSICIÓN ..3.5.1 Generalidades .3 5.2 La espiral de Euler o Clotoide como curva de

transición ..J 5.3 Ecua~i.~nes de la Clotoide o espiral de

translcíón , .3 5 4 Elementos de enlace de una curva circular

simple con espirales de transición Clotoidesiguales .

3 5 5 Longitud mínima de la espiral de transición .SOBREANCHO EN LAS CURVAS ..3 6 1 Expresión de cálculo ..3 6 2 Transición del sobreancho ..PROBLEMASPROPUESTOS .

VIIl

Tipos de terreno " .Clasificación de las carreteras segun la velocidad de diseño....Valores del inverso del coeficienle de Iracción...Abscisas y cotas a lo largo de rulasCarlera de tránsilo o localización dederecha.... . , .Cartera de: tránsito o localización deizquierda , ..Carlera de uánsito o localización de curvas circularesdislinto senddo " .Cartera de lránsito o localización de curvas circularesmismo sentido .Cartera de dellexiones para la curva circular .Cartera de localización de la curva compuesta de dos au"Ja ""'~~..

Radios para deflexiones pequeñas , "" ..~..Radios minimos absolutos ..Valores máximos y minimos de la pendiente relaliva de los bordesla calzada con respeclo al eje ;~I"I));

Cloloide de parámetro K=8 r, ".(';~:;,;Variación de la aceleración cenlrifuga ",.l \~~Cartera de localización de la curva espiral-circular-espret _ _,Dimensiones de vehlculos pesados de lipo rigldo. ensamblados en .Colombia , , .Cartera de localización de una curva circular por el método de lasnormales sobre la langente .Cartera de localiz.aciónde una curva circular desde el pe y désde elPl , ,: _. ,"Pendlentes máximas recomendadas , ~Carlera de diseño de rasanle, curva vertical convexa ~Cartera de diseño de rasanle, curva vertical cóncava "' "'~,·Coeficientes de fricción longitudinal para pavimentos numeuos.:," ~·;1;¡;Oportunidades de adelantar por tramos de 5 kilómetros........Valores mínimos de kv para curvas verticales convexas ycon visibilidad de parada (criterio de sequridad) ¡;.h..••_..

LISTA DETABLAS349349

349

354354 Tabla 1.1

Tabla 1.2

355Tabla 2.1Tabla 2.2

357 Tabla 3.1

359 Tabla 3.2359365 Tabla 3.3381396 Tabla 3.4

403 Tabla 3.5405 Tabla 3.6

Tabla 3.7Tabla 3.8Tabla 3.9

Tabla 3.10Tabla 3.11Tabla 3.12Tabla 3.13

Tabla 3.14

Tabla 3.15

Tabla 4.1Tabla 4.2Tabla 4.3Tabla 4.4Tabla 4.5Tabla 4.6

Capítulo 5DISE~O GEOMÉTRICOTRANSVERSAL:SECCLPNES,ÁREAS yVOLUMENES ',.,',.,"',..,",..,."., , " ,.".., , ''''5.1 CONCEPTO., , "" "." ..".,.., "" ,,,"".".""."."""." ..5,2 ELEMENTOS QUE INTEGRAN LA SECCiÓN

TRANSVERSAL..""..,."" "" """.",., ,..,,,,'" "" "."5.3 SECCIONES TRANSVERSALESTíPICAS, PO~ICIÓN

DE CHAFLANESY ESTACASDE CEROS " " "" ......5.3.1 Secciones transversales típicas" "" ".."".5.3.2 Chaflanes o estacas de talud y estacas de

ceros·""""··"""· ..···"."."...,.".."." ,,.i.,..,,., "" , .

5,3.3 Posición de los chaflanes " " " .5.4 ANCHOS DE BANCA y ÁREAS DE LAS SECCIONES

TRANSVERSALES " " .5.4,1 Anchos de banca5,4.2. Áreas de las sec;i~~'~~'i'~~·~~~~~~·~i~~·.·.·.·.·.'.·...·.·.·...·.·.·..¡..,','....

5.5 VOLUMENES DE TIERRA:CUBICACiÓN.5.6 PR<?BLEMASPROPUESTOS :.:::::::::..:::::::::::::::

~~¡~~GT~~l~ico ....::..::....:......::::..:........:..::...::... .. '..:::::::: :.... ..:: ::::::..::....:......:. :....:::..

x

JJrm_. v¡a .será .J¡_1[IJ,jQJJ(d. !le. ac~~rº9.2. Sil tipo,Qcom~~rLcé!~y yoll!.I1lenesdejránsito, de tal maneraqueadecuada movilidad a través de una suficiente velocidad de

En el proyecto integral de una carretera, el diseño Kelr}lIIe¡r.,,.parte más importante ya que a través de él seconfiguración geométrica tridimensional, con el propósitovía sea funcional, segura, cómoéla, estética, económica ycon el medio ambiente.

Una carretera es una infraestructura de transporteacondicionada dentro de toda una faja de terreno denomde vía, con el propósito de permitir ·Ia circulaciónmanera 'continua en el espacio y en el tiempo, con nde seguridad y comodidad.

GENERALIDADES1.1Lascarreteras

Capítulo ,1'

• Corresponde al número de orden en l. blblicgrnfia

CARRETERAS DE DOS CARRILESConstan de una sola calzada de dos carriles, uno por cadasentido de circulación, con intersecciones a nivel y accesodirecto desde sus márgenes .

CARRETERAS MULTICARRILESSon carreteras divididas o no, con dos o más carriles porsentido, con control parcial de accesos. Las entradas y salidasse realizan a través de intersecciones a desnivel y a nivel.

AUTOPISTASEs una vía de calzadas separadas, cada una con dos o máscarriles, con control total de accesos, Las entradas y salidas dela autopista se realizan únicamente a través de intersecciones adesnivel comúnmente llamados distribuidores.

O

1.2.2 .s.eg_únsus caractertstlcas.,

o CARRETERAS DISTRITALES yMUNICIPALESSon aquellas vías urbanas y/o suburbanas y rurales a cargo delDistrito o Municipio.

e CARRETERAS VEREDALES O VECINALESSon aquellas vías a cargo del Fondo Nacional de CaminosVecinales. Forman la red terciaria de carreteras,

t} CARRETERAS DEPARTAMENTALESSon aquellas de propiedad de los departamentos. Forman la redsecundaria de carreteras.

1.2.1 Seg_~~~_c.ol!lp_e.te_lJ.~ia

O CARRETERAS NACIONALESSon aquellas a cargo del Instituto Nacional de Vías.

1.2 CLASIFICACIÓN DE LAS CARRETERAS(7I'

3CAPiTULO l. LAS CARRETERAS

Losfactores internos del diseño contemplan las velocidades a tener enpara el mismo y los efectos operacionales de la geometría

especialmente los vinculados con la seguridad exigida y losrelacionados con la estética y armonía de la solución.

Los factores externos están relacionados, entre otros aspectos, con latopografía del terreno natural, la conformación geológica y geotécnicadelmismo, el volumen y características del tránsito actual y futuro, los

ambientales, la climatología e hidrología de la zona, losdesarrollos urbanísticos existentes y previstos, los parámetrossocioeconórnicos del área y la estructura de las propiedades.

factores o requisitos del diseño a tener en cuenta se agrupan enexternos o previamente existentes, e internos o propios de la vía y sudiseño.

Finalmente, la vía deberá ser compatible con el medio ambiente,adaptándola en lo posible a la topografía natural, a los usos del suelo yal valor de la tierra, y procurando mitigar o minimizar los impactosambientales.

La vía será económica, cuando cumpliendo con los demás objetivos,pfrece el menor costo posible tanto en su construcción como en sumantenimiento.

La vía será estética al adaptarla al paisaje, permitiendo generarvisuales agradables a las perspectivas cambiantes, produciendo en elconductor un recorrido fácil.

vía será cómoda, en la l1)t_dida en que se disminuyan lasaceleraciones de los vehículos y sus variaciones, lo cual se lograráajustando las curvaturas de la geometría y sus transiciones a lasvelocidades de operación por las que optan los conductores a lo largolos tramos rectos.

geometría de la vía tendrá como premisa básica la de ser segura, a¡ravésde un diseño simple y uniforme.

JAMES CÁRDENAS GRISALES

6!-i1•.hfi

[ €)

~

t

o1.2.4 Según su función

CARRETERAS PRINCIPALES O DE PRIMER ORDENSon aquellas vías troncales, transversales y"capitales de departamento, que cumplen laintegración de las principales zonas deconsumo del país y de éste con los demás pa~~;s,

CARRETERAS EN TERRENO ESCARPADO "'"Es la combinación de alineamientos horizontalobliga a los vehículos pesados a-operar asostenidas en pendiente que aquellas a la quemontañoso, para distancias significativas ofrecuentes.

o

CARRETERAS EN TERRENO ONDULADOEs la combinación de alineamientos horizontal yobliga a los vehículos pe~ados a reducir sussignificativamente por debajo de la de lo~ III\;UInI~,'1I

sin ocasionar que aquellos operen a velOCidadespendiente por un intervalo de tiempo largo.

CARRETERAS EN TERRENO MONTAÑOSOEs la combinación de alineamientos horizontalobliga a los vehículos pesado~ a ci~cular a velOCIdaden pendiente a lo largo de distancias COI1Sl(lerllt>l~intervalos frecuentes.

CAPiTULO 1. LAS CARRETERAS

CARRET-ERAS EN TERRENO PLANOEs la combinación de alineamientos horizontal y vertical, quepermite a los vehículos pesados mantener aproximadamente lamisma velocidad que la de los vehículos livianos.

o

¡

De esta manera, se consideran las siguientes carreteras:

fve.nle InSbl\lloNaclOf'l~él. Vlas.Manuafdo Drnt'to GfOméfflCO par. Cat"j!f's. Bogoca.1998

TiPO DE iNCUNACION MA}.:IMA.'fERRENO MEDIA DE LAS LINEAS DE MOViMIENTO DE TIERRAS

MÁXIMA PENDIENTE ('lo)Plano(P) 0·5 Minimo movimiento de tierras. por lo Queno presenta

dif¡cullad ni en el nazaoo ni en la explanación de unacarretera. Las pendientes longitudinales de una via

Ison cercanas al 0%.Ondulado (O) I 5·25 Moderado movimiento de tierras. Que permite

~ alineamientos mas o menos rectos. sin mayOt'esJ dificullades en el trazado y explanación de una I,1' carretera.

Montañoso ("1) 25·75 Las. pendientes longiludinales y Iransversales sonfuertes aunque no las máximas que se puedanpresentar en una dirección dada. Hay diflCUlladesenellrazado y explanación de una carretera.Escarpado (E) >75 Máximo movimiento de lierras. con muchasdificullades para el Irazado· y explanación, pues losalineamlenlos están praclicamente definidos pordivisaias de a<}uasen el recorrido de una via

Tabla 1.1 Tipos de terreno

En Colombia, los terrenos se clasifican en plano, ondulado,montañoso y escarpado, de acuerdo con los parámetros que se indicanen la Tabla 1.1.

La pendiente longitudinal y transversal del terreno son lasinclinaciones naturales del terreno, medidas en el sentido longitudinaly transversal del eje eje la vía. La línea de máxima pendiente sobre el.J.~(reJlíL..rul1Y.r.ales la inclinación máxima del terreno natu8LelLcuaLquier dirección.

1.2.3 Según el tipo de terreno

JAMES CÁRDENAS GRISAlES<1

El diseño de una vía se inicia con el establecimiento de las I"/I/U.\" ocorredores favorables que conecten los extremos del proyecto y unanpuntos de paso obligado intermedios.

1.3 CONCEPTO TRIDIMENSIONAL DE UNA VíA

Carrelerasecundaria

Carretera ptincipalde una calzada 1

Carretera plincipalde dos calzadas

Callelelaterciana

Tabla 1.2 Clasificación de las carreteras según la velocidad de diseño

En la Tabla 1.2 se establecen los rangos de las velocidades 1J..: diseñoque se deben utilizar en función del tipo de ClIITdcTa según sudefinición legal y el tipo de terreno.

La selección ele la velocidad de diseño depende de 1.1 imponunciu ocategoría de la futura carretera, dI! los volúmenes de tránsito que va umover, de la configuración topográfica del terreno, de los liSOS de Intierra, del servicio que se quiere ofrecer, de las cousidcruciuncsambientales, de la homogeneidad a lo largo de la carretera, de lasfacilidades de acceso (control de accesos), de la disponibilidad derecursos económicos y de las facilidades de Iinanciamiento.

CAPiTUl.O l. l.AS CARRETERAS

Al proyectar un tramo de carretera, hay que mantener un valorconstante para la, velocidad de diseño. Sin embargo, los cambiosdrásticos y sus limitaciones mismas; pueden obligar a usar diferentesvelocidades de diseño para distintos tramos.

Se debe considerar como longitud mínima de un tramo la dista~ciacorrespondiente a dos (2) kilómetros, y entre tramos sucesivos no sedeben presentar diferencias en las velocidades de diseño superiores alos 20 Km/h.

Todos aquellos elementos geométricos de los alineamientoshorizontal, de perfil y transversal, tales como radios mínimos,pendientes máximas, distancias de visibilidad, peraltes, anchos decarriles y bermas, anchuras y alturas libres, etc., dependen de lavelocidad de diseño y varían con un cambio de ella.

La velocidad de diseño se define como la máxima velocidad segura ycómoda que puede ser mantenida en un tramo determinado de una víacuando las condiciones son tan favorables, que las característicasgeométricas de la vía predominan.

La velocidad de diseño o velocidad dé proyecto de un tramo decarretera es la velocidad guía o de referencia que permite definir lascaracterísticas geométricas mínimas de todos los elementos deltrazado, en condiciones de comodidad y seguridad. Por lo tanto, ellarepresenta una referencia mínima.

La velocidad debe ser estudiada, regulada y controlada con el fin deque ella origine un perfecto equilibrio entre el usuario, el vehículo y lacarretera, de tal manera que siempre ~egarantice la seguridad.

_ La velocidad es el eiemento básico para el diseño geométrjCO-.ds:__carreteras y el parámetro de cálculo de la mayoría de los diversoscomponentes del proyecto.

1.2.5 Según su velocidad de diseño

JAMES CÁROENAS GRISALES6

N lo largo de estos tres planos se desarroÍla la poligonal espacialABeDEF la cual presenta quiebres en los puntos a, e, D y E. Dichapoligonal cambia de rumbo en los puntos e y E, lo mismo que cambiade pendiente en los puntos B, O y E. Así, el punto de quiebre E presentatanto un cambio de rumbo como de pendiente. Considerando cada unode los tramos rectos de esta poligonal, se tiene:

IJ¡:II

Inicialmente, . obsérvese que se tienen tres (3) planos verticalesrectangulares plegados a 90°, cada uno de largo 8x y alto 4y. Deacuerdo con la posición de la Norte (N), el primer plano tiene unadirección hacia el Este, el segundo plano hacia el Sur y el tercer planohacia el Este de nuevo. -

En la Figura 1.1 se muestra el eje de una vía ubicado en el espaciotridimensional.

IIIIIIl.

!

Finalmente, si se considera el ancho de la vía asociado a su eje,resultarán las sucesivas secciones transversales, compuestas por lacalzada, las bcrrnas, las cunetas y los taludes laterales; completándoseasí'Ia concepción tridimensional de la vía.

9CA~'TULO l. LAS CARRETERAS

TramoAB:Rumbo: hacia el Este

Pendiente:3y •+-4x

Tramo Be:Rumbo: hacia el Este

OPendiente: -=0

4xTramo co.Rumbo: hacia el Sur

OPendiente: -=0 -,3xTramo DE:Rumbo: hacia el Sur

La forma del perfil longitudinal es una sucesión continua y cambiantedc pendientes a lo largo del eje. Las formas geométricas verticales quese utilizan para la definición del trazado son rectas contiguas dependiente uniforme enlazadas con curvas verticales parabólicas.

Ahora. si se toma en cuenta la dimensión horizontal o alineamiento enplanta. definido anteriormente y, junto con ella, se considera la cota,resultará el perf)! tongltudina! O diseño geométrico vertical,que es laproyección del eje real o espacial de la vía sobre una superficievertical paralela al mismo.

La [orilla del alineamiento en planta es una sucesión continua ycambiante de rumbos o acimutes a lo largo del eje. Las formasgeométricas horizontales que se utilizan para la definición del trazadoson rectas y curvas circulares o espirales de transición.

1'01' lo tanto, en casi todos los diseños se realizan dos análisisbidimensionales complementarios del eje de la vía. prescindiendo encada caso de una de las tres dimensiones. Así, si no se toma en cuentala dimensión vertical (cota), resultará el alineamiento en planta odiseño geométrico horizontal, que es la proyección del eje de la víasobre un plano horizontal.

C0l110 la carretera es una superficie continua y regular transitable,ubicada en un espacio tridimensional, la reducción de su formageométrica a un modelo matemático igualmente tridimensional resultacompleja y. por lo tanto, es poco empleada. .

Una vez seleccionada la ruta más favorable. se inicia propiamente la,¿¡SC de diseño geométrico, que le da la forma fisica más apropiada a lacarretera. adaptada a todos los requisitos, intentando satisfacer almáximo los distintos objetivos del diseño,

Teniendo en cuenta los factores externos que afectan el diseño, en estaprimera etapa predominan los criterios económicos vinculados a laslongitudes de las soluciones y el costo de las obras de explanación. dearte (puentes. viaductos, muros) y túneles.

JAMES CÁRDENAS GRISALES8

,¡

11

AbscisadeF, = KO+ (16+21T)x= KO+ (16+ 2TT)50= KO+1114.159=KI + 114.159

Suponiendo que el valor numérico de x es de 50 metros, la ubscisa deF, será:

Abscisa de F, = Abscisa deA, + A,c, + c,d, + dl91 +9r1, + i,F,Arc, = 7x

cId, = 2rrR, = 2rrx = rrx4 4 2

d,g, = 4x. 2rrRz 21T(3x) 3rrx

91), = 4 = -4-=2"

i,F, = s«• ITX 3rrx ()Absc/sadeFI =KO+000+7x+-+4x+-+5x=KO+ 16+2" x

2 2

Si la poligonal espacial forma parte del eje de la vía, será necesarioenlazar los tramos rectos en los puntos de quiebre COIl curvas, Tulcomo se mencionó anteriormente si se prescinde de las alturas setendrá el diseño geométrico horizontal, representado en la parteinferior de la Figura 1.1 como la proyección horizontal,convirtiéndose la poligonal espacial en la proyección A,B,C,D,E,F" que jal insertar las curvas horizontales circulares en CI de radio R,=xy en Elde radio Rf=3x, generan el diseño en planta del eje de la vía según '.A,c,d,glj,F" tal como se aprecia también en la parte superior de laFigura 1.2. De esta manera, partiendo de A, cómo punto origen de ~abscisa KO+OOO,se tendrá para el punto final F, la abscisa siguiente:

hacia el Este3y+-Bx

Tramo EF:Rumbo:

Pendiente:

_~r5x

Pendiente:

CAI'iiUtO 1. I.AS CARRETERAS

Flguta 1.1 Ejede unavía en el espacio tridimensional

JAMES CÁRDENAS GRIS¡\LES10

.....

IIt

De ighal manera, en la parte inferior de la Figura 1.2, se muestra eldiseñJ en perfil del eje de la vía según A28zb;¡l31f2hz;zFz,obtenido 'alinsertar curvas verticales parabólicas en los puntos 82, O2 Y ~,respectivamente. Así mismo, si el valor numérico de y es de 4 metroslas pendientes correspondientes a los tramos ~z8z, 820Z, OzEz y EzF1 son+6.0%,0.0%, -3.2%Y+3.0%, tal como se indican.

Il.

rl.I

I1:

i~I~

CAPiTUl,.O 1. LASCARRETERAS

Figura 1.2 Diseño geométricoen plantayen perfil del eje de unavia

....

X(Xl+9')+OJ/

»

JAMES CÁRDENAS GRI"ALES12

ta identificación de una ruta a través de estos puntos obligados o de;conlroJ primario y su paso por otros puntos intermedios de' menor'~portancia o de control secundario,hace que aperezcan varias rutas'alternas. Son ejemplos de puntos de control secundario: caseríos,~ruces de ríosy cañadas, cruces con otras vías, zonas estables,

I~sques, e.tc.

" .

-'-~'''~---

'1,J~j

~ft:!~~.~~~~~~~~~~~~~~==~,~~~~~==~l~( .'.~l~t ~~f:

1:t,2.1 SELECCIÓNDERUTAS

~se ~tiende por ruta aquella franja de terreno, de ancho variable.,_l' omJ:Kendida entre dos puntos oblfgadQs extremos y que_pasa_aJ.o_. O .e..pllotos obligados.J.nteimedi~ dentro de la cual es factiblerealizar la localización del trazado de una vía. ~ puntos ob{igg.dos~ n..aqu\!!lossitios extremos .0 intermedios por los que necesariam.en_t~_'deJ:¡erápasar.la vía, ya sea por razones técnicas, e.fQD6mic.as,.2Qf.iales.~ p-ºHtjca.s~ como por ejemplo: poblaciones, áreas productivas,. :puertos, puntos geográficos como valles y depresiones, etc.

Rutas ylíneas dependient

. i

k

Donde: .x = Longitud resistente (m).o Lonaitud total del trazado (m).iy = Des~ivel o suma de desniveles ~m).

= Inverso del coeficiente de tracción,

I I res de k para los distintos tipos deEn la Tabla 2.1 aparecen os va osuperficie de rodamiento.

(2-1 ). Xo =x+k¿y

. . . lIe ermita enlazar dos puntosLa meior ruta entre vanas alternas, q dP erdo a las condicionesJ • I ' aquella que e aCtI

extremos o termina es, ser~ . d drenaje ofrezca el menortopográficas, geoló~ic~s, ~~:'i~i~l~:e~on~mica, so'cial y estética. Porcosto con el mayor índice . . determinar en formad ta sera necesario '. . dlo tanto, para ca a ru . , o eración y ccnservacion eaproximada: los costos de constr~~~'~:~1:ararlOS con los beneficiosla futura vra a proyectar, paraprobables esperados.

I ., de rutas 'y trazados alternos,. 't d s de eva uacionExisten diversos me o ~ la meior selección. Dentro de estoscon los cuales se podrá ha~er t4)en~el cual se aplica el concepto demétodos, se encuentra el de ruce, d . t o trazado alterno, sus. I C para para ca a 1u alongitud virtual. 001, di tes tornando en cuentad . I s y sus pen len , Ilongitudes, sus esruve e I it d correspondiente al esfuerzo leúnicamente el aumento de ongi u .tracción en las pendientes. Se expresa asl:

EVALUACiÓN DEL TRAZADO DE RUTAS2.2

. rrniten recoger todos aquellos d':lal~csLas poligonales de estudio pe '1 t es la que ofrece UIl m':Jor. d a conocer cua ru a . . .necesarios que an en forma rápida y cun unal· I s deben levantarse 11 .•trazado. Estas po igona e lados se pueden medir a cmtaprecisión no muy alta. Es as! como, St~San con brújula, las alturas con. tria los rumbos se determino a taquime , . Idobarómetro y las pendientes con I1Ivees e man .

17CAPITULO 2. RUTAS Y LINEAS DE PENDIENTE

Mediante los reconoclmlen/os aéreos y terrestres se realiza UneXllmen general de las rúias o franjas de terreno que han quedadopreviamente determinadas y marcadas en los croquis. Su finalidad esla de identificar aquellas características que hacen una ruta mejor a lasolras, CUllntificarlos costos posibles de.construcción de la futura víapor elida ruta, determinar los efectos que tendrá la vía en el desarrolloecul16,nicode la región y estimar los efectos destructivos que puedanP,udIlCit~e en el paisaje' natural. Igualmente, se aprovecha el

w--'-II:nlllOdlll;CIlIO, pum obtener datos complementarios de la Zona en

El estudio de planos forma parte del llamado análisis de lainformación existente. Básicamente consiste en la elaboración de loscroquis de las rutas sobre planos, Cartas geográficas o fotografiasaéreas, a escalas muy comunes como 1:I00000, 1:50000, 1:25000,identificando sobre ellos la información obtenida anteriormente,especialmente los puntos obligados de Control primario, ya que estosguían la dirección general a seguir de una ruta específica. De estamanera y con la identificación también de los puntos de Controlsecundario, es posible seí5alar sobre los planos varias rutas alternas ofmnjas de estudio.

El acopio de datos se refiere a la obtención de la información básicaen la Zona de estudio, relacionada con la topogtafia, la geología, lahidrología, el drenaje y los usos de la tierra. Estos factores constituyenlos mayores controles en el diseño, localización y Construcción de lafutura vía. Igualmente, deberá obtenerse información sobre laactividad económica y social de la región. Las principales fuentes deinformación para la obtención de estos datos, Son entre otras: elMinisterio de Transporte, el Instituto Nacional de Vías, el DANE, elIGAC, el CIAF, la CVC, las Oficinas de Planeación, las Oficinas deValorización, las Secretarías de Obras Públicas, etc.

Para todas las rutas alternas, es necesario llevar a cabo la actividaddenominada selecciónde ruta, la cual comprende una serie de trabajospreliminares que tienen q4~ ver con acopio de datos, estudio deplanos, reconocimientos aéreos y terrestres, poligonales de estudio,etc.

JAMES CÁRDENAS GRISALES

16

"

/1'

Donde a es la abertura del compás y p esla pendiente uniforme 4,e111, .línea de ceros.

Equidistaociaa= p

Por lo tanto, también puede decirse que:

r:Donde: ~.AC = 'oist~i.a horizontal entre curvas de nivel

:abertúra del compás.BC =;Di{erq-¡cia de nive~entre curvas o equi~istancia.tan a = Pendiente de la línea recta AB. Pendiente de la

ceros.

BC .AC=-,

lana

Figura 2.1 Concepto de linea de pendiente

CAPiTULO 2. RlJTAS y LtNE>.S DE PENDIENTE

Luego. si se quiere mantener una línca de pendiente uniforme igual atan a. la distancia horizontal necesaria para pasar de una curva de nivela otra será:

l'

(2-2)Pendientede AB = tan a = BCAC

En la isomctría del terreno natural con curvas de nivel cada cineo (5)metros. ilustrada en la figura 2.1. considérese los puntos A y B sobrelas curvas de nivel sucesivas 205 y 210. La pendiente de la línea rectaAB. que los une, es:

I!t. 2.3.2 Trazado de una línea de pendiente~It

Es una línea que al ir a ras del terreno natural, sigue la forma dc éste,convirtiéndose en una linea de mínimo movimiento de tierra. Por lo

I ; tanto, cualquier eje vial de diseño que trate de seguirla lo más cercaposible. será un eje económico, desde este punto de vista.

~ linea de J1elldieIlL~s a.qu~!la.lín~,!_g_l!~,p~san_<!9_j~Q!J.Qs.-p_unlos_obligadqs.dcl.pr.9"'y'ecto,conserva la pendiente _u.!.Úf9r!!1~~Q~cificadaYquc 9_c~Lncidir con el eje dc_lé! vía, éste !JQ ac~p!ªrí.!! cprtes-'li_rellenos. razóil por la cual también se le conoce con el nombre delínea de ceros.

I;..~. 2.3.1 ConceptoI

LíNEA DE PENDIENTE O DE CEROS2.3

TIPO DE SUPERFICIE VALOR MEDIO DE k._.~.Carrelera en l;erTa 21 -Macadam 32--PavimenIO asfalliéo-'- 35 ----

Pavimento rigido 44-_._--

:L..,.Tabla 2.1 Valores del inverso del coeficiente de tracción


RUTAS PUNTOS I ABSCISAS COTAS IA I KO..{loo 100a K3+400 275

Rula 1 b KS.ooO 290--e KB-IOO 240B K10+200 250A KO.ooO 100d K2+4oo lBO

Rula 2 e K7.Soo 170J «s-eco 210B Kl0+800 250A «o-o» 100g K2+600 120

Rula 3 h K6.oo0 110i K7+300 165B KB.30a 250

En la Tabla 2.2, para cada una de las rutas trazadas aparecen suspuntos, abscisas)' cotas.

Tabla2.2 Abscisas y cotas a to largo de rutas

Ruta 1= AabcB, siguiendo la parle alta.Rula 2= AdelB, siguiendo la parle media .RUla3= AghiB, siguiendo la parle baja.

Solución:

S b e el lano dado se hall trazado tres posibles rutas, mediante lao r p b d f 9 h i de controlidentificación de los puntos de paso a, ,e, , , , ,

primario y secundario. Tales rutas son: -

Realizar:Un estudio de las posibles rutas que unan los puntos A )' B.

Datos:En el plano de la figura 2.3, dibuja?o a ,la escala dada ~(ln curvas denivel de equidistancia 50 metros, se identifican los puntos A y B.

EJEMPLO2.1: Estudio de Rutas

21CAPiTULO~. RUTAS y LiNeAS OlOI'ENOIENTt:

lómlinos generales, en el trazado de una línea de ceros, se puedenr•• "'tJlr dos casos: él primero, consiste en llevar desde un punto

una linea de ceros de pendiente uniforme sin especificar elfinal o de llegada. El segundo, consiste en trazar una línea dea través de dos puntos obligados. .En este último caso será

__ trln estimar la pendiente máxima que.une los dos puntos, la cualser comparada con la pendiente máxima permitida por las

nonn". Medinnte el Ejemplo 2.2 y el Problema 2.2 se podrá ejercitar.'lIn:tlldll de llncas de ceros según estos dos casos.

I n Ihll',1 de ceros en' el terreno se lleva marcándola en la dirección.IIcucl,,1H'querlda, pasando por los puntos de,control y por los lugaresIlIlh IILll'l'lIIldos.Para tal efecto, se emplean miras, jalones ydlNhullllIl, (niveles de mano Locke o Abney).

Figura 2.2 ([nea de ceros en un plano

..

sucesivas, cuya unión constituye la línea de ceros, tal Comose muestraen la Figura 2.2..... '


\

,•

-,Distancia horizontal =5100m

-10Pendiente=-- = -0.002 '" -0.2%5100

Ruta 2:Tramo Ad: 1:Desnivel= 1BO-100 =BOm, -Distanciahorizon/al '" 2400m

Pendiente=~ == +0.033 ¡;¡+3.3%2400

Tramo cB:Desnivel = 250 - 240 = 10m, Distancia horizontal = 2100m

Pendiente=...!.E_ = +0.005 ;: +0.5%2100 .

Tramo be:Desnivel == 240 - 290 = -50m, DistanCiahorizontal = 3100m

Pendiente= -50 =-0.016 ;:-1.6%3100

Figura 2.4 Perfil longitudinal de rutas

.J I ID /(117

./ /"/« ,z-: _.,_ .,.-0-- 0_ ..

11IO'{--'A

d,11'-'"/"

'~--:'"- ---o ¡... ......... JV .....·"~/

,/

¡t_ .... -_ ......,, • • •

23CAPITULO 2. RUTAS Y LINEAS DE PENDIENTE

Tramo ab:Desnivel", 290 - 275 = 15m, Dis/ancia horizon/al = 1600m

Pendiente =~ '" +0.009 '" +0.9%1600

RuIn 1:Traillo Aa:Desnivel = 275 -100 = 175m, Distancia horizon/al = 3400m

Pendiente = 175 = +0.051 '" +5.1%3400

Con el propósito de realizar una evaluación preliminar más precisa, esnecesario elaborar un perfil longitudinal de las rutas, como se muestraen la Figura 2.4, calculado así:

Figura 2.3 Estudio de rulas

o $00 1000

JAMES CARDENAS (1RIS¡\I.ES22

Ruta 3: . -10mDesnivelespor eontrapendienle~- _ (O085_ 0.04)1000+ (0.042-0.04~300 =Desnivelespor excesode pendIentes- .

47.6m '" =B300+44(1O+47.6)=10834mXo =x+k¿y

Ruta 2: ODesnivelespor contrapendientes=: 1 mDesnivelespor excesode pendientes= O

- k'" =: 10800+44(10)= 11240mXo - x+ ¿Y

Ruta 1: s _ 50mDesnivelespor conlrapendente. - _ (O 051- 0.04)3400= 37.4mDesnivelespor excesodepen(dlent;; ~) -'14046m

- k"'y=10200+4450+ . -Xo - x+ ¿ .

Ruta. 3: . d' ises por contrapendienles=: 20+ 55+ 85= 160mDesruvelespefJu le44 "'y =: 160mx =8300m, k = , ¿

k'" =8300+ 44(160)= 15340mxo=x+ ¿y .

. es resistentes se realiza en senllJ~Ahora si el análisis de Iongitud . I caso de una carretera do:dos' d B á A como sena econtrario, esto es e, .direcciones, se tiene:

44 '" y =: 200mx=: 10200m, k = , L...

'" =: 10200+ 44(200) =:~100 mXo =x+k¿y

Ruta 2: en entes=BO+40+40=:160mDesnivelesperjudicialespor eonlrapx=: 10800m, k = 44, Iy = 1)Om

'" -10BOO+44(160)=17840mXo = x +k¿y - .

. TAS y t iNEAS OE PENDIENTECAPITULO 2. RU •

Rutnl: "Desnivelesperjudibilles por contrapenclentes=175+15+ 10=: 200m

La evaluación preliminar de las tres rutas se hará con base en lacomparación de sus longitudes, desniveles y pendientes. Para talefecto, se SUpone que las vías a Construir sobre estas rutas seránpavimentadas en concreto y que la pendiente recomendada es delA%.Por lo tanto, de acuerdo a la ecuación (2.J), para cada ruta se tienenlas siguientes longitudes resistentes, Xo:

Tramo iB;Desnivel:: 250-165 =: 85m, DistanciahOrizontal"" 1000mPendíen/e:: .J§_ :: +0.085 e +8.5%

1000

Tramo h/:

Desnivel"" 165-110"" 55m, Dislanciahorizonta/=: 1300m

Pendiente"" ~ "" +0.042a +4.2%1300

Tramo qh:

Desnivel=: 110-120 "" -10m, Distanciahorizontal=: 3400m-10

Pendiente"" - "" -0.003 = -0.3%3400

Ruta 3:TramoA~Desnivel=: 120-100 =: 20m, Distanciahorizontal=: 2600m

Pendiente=:~ "" +0.008 "" +0.8'%2600

Tramo fB:

Desnivel =: 250-210::: 40m, Distanciahorizontal=: 1800mPendiente'" ~ =: +0.022 ¡¡¡ +2.2%

1800

Tramo el;.

Desnivel:: 210-170::: 40m, Distanciahorizontal:::1500m4(J'"

Pendiente"" - "" +0.027 = +2.7%1500

JAMES CÁRDENAS GRISAlES

24

27

4m=_,_ = 36.364m0.11

-.

esta distancia a la escala del plano se trata la linea AB', la cualpuede observarse pasa por debajo del punto B. Esto indica que la

supuesta p, es menor que la máxima posible. En estees preciso suponer una segunda pendiente, mayor que la

,....._...._, por ejemplo, del-ll% saliendo de B, esto es:

4m=-=66.667m0.06

. Figura 2.5 Trazado de líneas de pendiente o de ceros

Q !lO '00•• .,!u I

Suponiendo que existe una curva de nivel intermedia entre cada par delas dadas. la abertura del compás será de:

P, =0.06

Por lo tanto, según la ecuación (2-4), la aber7tllradCo~áS es:

a, = 5su;dislal!:!~= am = 133.333mP, 0.06

Para este ejemplo, se: supone una primera pendiente del +6% saliendode A, esto es:

Solución:Este es el caso de enlazar dos puntos obligados A y B con una solapendiente, que necesariamente es la máxima posible. Una forma dedeterminarla y enlazarla se apoya en el uso de pendientes parcialesentre los puntos dados, las cuales se trazan sucesivamente desde lospuntos opuestos. la una ascendiendo y la otra descendiendo,

Trazar:Una línea de ceros entre los puntos A y B de pendiente uniformemáxima posible.

Datos:La Figura 2.5 muestra unplano a la escala dada, con curvas de nivelde equidistancia 8 metros, sobre el cual se identifican dos puntos A yB.

EJEMPLO 2.2: Trazado de líneas de pendiente o de ceros',:

----------------------------------------------

Como puede observarse, para ambos sentidos, la ruta de menorresistencia es la Ruta 3, la cual se hace atractiva. Sin embargo, ellaincorpora la construcción de un puente en el punto h, situación queelevaría los costos. Por lo tanto, si se trata de un proyecto económico,desde este punto de vista la mejor ruta será laRUla 2.

JAMES CÁRDENASGRISALES26

Datos: 1 d d v· . d .El plano de la Figura 2.7 está dibujado a l~ esca.a a. a, con cur as ~nivel de equidistancia SO metros. Sobre el se identifican dos puntosextremos A y B.

• PROBLEMA 2.1: Estudio de Rutas

2.4 PROBLEMAS PROPUESTOS

Abertura que a la escala del plano permite el trazado de la pendientemáxima posible, como se muestra en la Figura 2.5.

Con una abertura del compás de:4m, ./a =-- =-41i296m

0.0864

2'.1CAPITULO2. RUTASY LiNEAS DEPENDIENTE

- lz

8

38.680 + 76.350 .. O0864 88 '"611+685 . •. 47.

P II[y!t, I x,

1)Lo"~I!I mnnera, la pendiente máxima posible pes:

Y2 = P1Xl = 0.11(685)= 75.350mJ)ilcrcllcía d~ nivel entre C y B:

Xl = 685mDistancia horizontal entre Cy B:

y, = p,X, = 0.06(611)= 3~.660mDiferencia de nivel entre A y C:

x, =611mDistancia horizontal entre A y C:

Figura 2.6 Perlillongitudinal deJlneas de pendiente o de ceros

)( .x

Con el fin de visualizar mejor el cálculo de la pendiente máximaposible para la línea que une los puntos A y B es conveniente dibujarun perfil longitudinal de las líneas de pendiente parciales p, y Pl, comose ilustra en la Figura 2.6, para las cuales:

Con esta distancia y partiendo de B se traza esta segunda línea la cualencuentra en el puntó't la primera línea.

JAMES CÁRDENAS GRISALES·28

Pendiente ponderada máxima uniforme. Problema 2.3

....

: PROBLEMA 2.3: Pendiente ponderada máxima unifqrm~

Datos:En el plano de la Figura 2.9, dibujado a 1,\escala gráfica daga, concurvas de nivel de equidistancia 10 metros', se han. identificado lospuntos A, B, e y D.

Trazar:a) Una línea de ceros entre los puntos A y 8 de pendiente uniforme

máxima posible.Una línea de ceros entre los puntos A y B de pendiente uniforme·del.5%. . . .

3t.' CAPITULO 2. RlJf AS Y LíNEAS DE PENDIENTE

'.'

Figura 2.8 Trazado de lineas de pendiente o de ceros. Problema 2.2

o $0'00 200="./ro.

•

ftr.1 .1

1 I~ _

Datos:En el plano de la Figura 2.8, dibujado a la escala gráfica dada, concurvas dc nivel de equidistancia 10 metros, se han identificado dospuntos Ay B.

PROBLEMA 2.2: Trazado de líneas de pendiente o de ceros

Realizar:Un estudio de las posibles rutas que unan los puntos A y 8, suponiendoque las vlas a construir a través de estas rutas serán pavimentadas enasfalto y que la pendiente recomendada es del 6%.

JAMES CÁRDENASGRISALES.JO

Trazar:

a) Líneas de pendien~ct.uniforme máxima posible para cada tramoAB, BC y CD, independientemente.

b) La pendiente uniforme máxima posible que una el puntopunto D. Para este trazado, ponderar las tres pendientes 11'11'" n ores <,Dibuje un perfil de pendientes.

JAMESCÁRDENASGRISAlES32

I~

E; i4-:i

I'm'.~)Ir: .• J

1.- i~'j

Ir-t f ;'

1,_1·

l.I....1-Il.1..po

II...II-

forma particular, el diseño geométrico de carreteras es el procesocorrelación entre sus elementos fisicos y las características de

operación de los vehículos, mediante el uso de las matemáticas, lafisica y la geometría. En este sentido, ....la carretera quedageométricamente definida por el trazado de su eje en planta y en perfily por el trozado do '.~t.0;ón"'0'"""1.

De una manera general una carretera se puede concebir como unsistema que logra integrar beneficios, conveniencia, satisfacción yseguridad a sus usuarios; que conserva, aumenta y mejora los recursosnaturales de la tierra, el agua yel aire; y que colabora en el logro delos objetivos del desarrollo regional, agrícola, industrial, comercial,residencial, recreacional y de salud pública.

DiseñogeoIllétriIror izo'nüalplanta

CONCEPTOS

ci 1f•• Ie

~~"..t>~l

t...

";;.

: 11d.,I~I

los elementos3.2.2 Expresiones que relacionangeométricos

tétricos se relacionan entre sí, dandoLos anteriores elementos geOl~ 1 álculo de la curva. De acuerdo. esiones que permiten e c . .

origen a expr . l' de estas expresiones SOllocon la Figura 3.1 antenor, a gunas

Elementosgeométricos do una curva circular simpleFigura 3.1

Qo

d dia: distancia desde el punto medio de la curvaOrdena a me l. e ,

A al punto medio de la cuerda larga B.

35CAPITULO J. DISEÑO (iEOMIOTRICO HORIZONTAl.: PL..\NTA

eLE

L

Rt

o.d

pr

= Punto de intersección de las tangentes o vértice de la curva.= Principio de éurva: punto donde termina la tangente de

entrada y empieza la curva ..= Principio de tangente: punto donde termina la Curva y

empieza la tangente de salida.= Centro de la curva circular.= Ángulo de deflexión de las tangentes: ángulo de detlexión

principal. Es igual al ángulo central subtendido por el arcope.pr.= Radio de la Curva circular simple'... Tangente o subtangente: distancia·desde el PI al pe o desde

el PI al pr.= Longitud de Curva circular: distancia desde el pe al pr a lo

largo del arco circular, o de un polígono de cuerdas... Cuerda larga: distancia en línea recta desde el pe al PT... Externa: distancia desde el PI al punto medio de la curva A.

PIpe

En la Figura 3.1 aparecen los diferentes elementos geométricos de unacurva circular simple. Tomando el sentido de avance de izquierda aderecha, dichos elementos son:

.;o. 3.2.1 Elementos geométricos que caracterizan unacurva circular simple

El diseño geométrico en planta de una carretera, o alineamientohorizontal, es la proyeco*ón sobre un plano horizontal de su eje real oespacial. Dicho eje horizontal está constituido por una serie de tramosrectos denominados tangentes, enlazados entre sí por curvas.

3.2 CURVAS CIRC~LARES SIM~

Las curvas horizontales circulares simples Son arcos de circunferenciade un solo radio que unen dos tangentes consecutivas, conformando laproyección horizontal de las Curvas reales o espaciales. Por lo tanto,las Curvas del espacio no necesariamente Soncirculares.


. ----'-----.

-.

lo O.B.PG,se tiene:-M , de donde,

, esto es,[ 'J Ll~ T Ll Tsen-~. 2 4

= Jj Ll Ll sen '4)=--Ll-sen-cos- cos-

4 4 4Ll=Ttan-

. 4

Ll Ll Llentonces, sen- = 2 sen- cos-2 4 4

2 Ll= 2 cosz .1-1 , entonces, por lo tanto,

=[ ~ llJI-2COSZ¡+I)=~[' 'l1T Ll](2{I-COS2¡)2SM-~- ~-~-44 4 ~ 4

~ ~ [ T ](1~cos2~) , pero, entonces,- Ll Ll .4sen-~-4 4

. _[TcosiII-COS%]E- .1 Ll

sen- cos-." 2 2

':E=[~L"%lsen"2}

CAI'ITUI.O 3. DISEÑOGEOMÉTRICO HORIZONTAL: PLANTA

E en función de T y LI:Reemplazando !<J ecuación (3-2) en la ecuación (3-4), se tiene:

[ 1 111

T 1 Ll sen-E= -- ---1 pero lan-=-_2

Ll Ll "2 11lan-- cos- cos-2 2 2

E cn función dc R y LI:En el triángulo rectángulo O.PC.PI, se tiene:

cos Ll = OPC ,OPI = OA+ A.PI =R +E2 O.PI11 Rcos = . - , de donde,2 R+E

E "'R[~-11 (3-4)cos _.2

Gl en función dc R y d:En el triángulo rectángulo O.B.PG, se ticnc:

GL11 B.PC '2sen = .. - = -- , dc donde,2 O.PC R

LlCl:: 2R sen - (3-3)

2

(3-2)

R en función de T y .1:TR=--11

la" 2

(3-1)

T en función dc R y .1:En cl triángulo rectángulo O.PG.PI.se tiene:

11 PG.PI Tlal1- = .._-= - , de donde,

2 O.PG RT:: Rtan11

2

JAMES CÁRDENAS GRISAI.ES .36

~~.~:..

.,..--::1'.,

'-.:

(3-10)eG, = 2 arcsen 2R

esen ~, = 2 , de donde,

2 R

En este caso, según la Figura 3.3, el ángulo central G,. es subtendidopor una cuerda unidad c.

En uno de los dos triángulos farmacias, se tiene:

e SISTEMA CUERDA·GRADO

(3-9)

Reemplazando la ecuación (3-7) en la (3-8), se tiene,

L =~ ,esto es,, 180's

ITRITRtJL =, 180'

Para este sistema, la longitud de la curva Ls, es la lid arco circularentre sus puntos extremos pe y PT.

Igualmente, relacionando arcos COn ángulos centrales. SI.: puedeplantear que:

L, s , de donde,Ll =G~'Ll (J'-!i)L =.:_

, G,

(J-7)

G, 360' d d- -_ ,de on e,s - 2rrR

G = 180's$ rrR

JOCAPiTULO 3. DISEÑOGEOMt:TI\ICO HORIZONTAL: I'LANTA

Relacionando ángulos centrales con arcos, se tiene que:

Figura 3.2 Curvatura por el sistema arco-grado

,, -III,,¡¡,

\ ,1, a, :,--,\ ,

En este caso, según la Figura 3.2, el ángulo central Gs es subtendidopor un arco unidad s.

o SiStEMA ARCO·GRADO

La curvatura de un arco circular se fija por su radio R o por su gradoG. Se llama grado de curva/uro G al valor del ángulo centralsubtendido por un arco o cuerda de determim{(raloI1~itud, escogidoscomo arco unidad s o· cuerda unidad c. En nuestro medio, el arcounidad o la cuerda unidlld usualmente es de 5, 10 y 20 m~\ros.

3.2.3 Expresión de la curvatura de una curva circularsimple '_

JAMéS CÁRDENAS GRISALES

_--------------.11· ..... - _._~....__. ......._---- ...._-

41

,"

Si ahora se toma como cuerda unidad el valor de c=10m, según laecuación (3-10), el grado de curvatura G,"~s:

( Gc= 2arcsen 2~ = 2arcsen 2(:2) = 13'40' 27.42'

Como puede observarse la cuerda equivalente e, es 2'4mm más corta.

cuerda equivalente c. al arco 5=10mes:G 13' 38'3076'c. = 2R5en....!..=2(42)sen . =9.976m <5=10m2 2

Al tomar como arco unidad 5=10m,según la ecuación (3-7), el grado decurvatura G, es:

= 180'5 = 180'(10)= 13' 38'30.67'rrR rr(42)

Figura 3.4 Relación entre los sistemas arco-grado y cuerda-grado

o

En la Figura 3.4, se ilustra la relación que existe entre los sistemasarco-grado y cuerda grado.

CAPtruLO 3. DISEÑO GEOMÉTRICO HORIZONTAL: PLANTA

Mediante este ejemplo, se explica la relación que existe entre lossistemas arco-grado y cuerda-grado. Para tal efecto, supóngase que setiene un ángulo de dcflexión principal d=1?OOyun radio R=42m.

EJEMPLO 3.1: Relación entre los sistemas arco-grado y cuerda-grado

(3-11 )

. de donde,

Para este sistema, la longitud de la curva Le, es la de una poligonalinscrita en ella desde el pe al pr, cuyos lados son cuerdas. De estamanera. si se relacionan cuerdas a ángulos centrales, se puede plantearque:Le _ eII - Ge

cllL == .•e Ge

Figura 3.3 Curvatura por el sistema cuerda-grado

o

JA(\I($ CÁnDfoN'\S GRISALES40r,¡};' .~ .'\fI

La anterior expresión de igualdad de ángulos se puede comprobar enla figura anterior, pues los lados que forman los ángulos 8, y (/J,I2 sonperpendiculares entre sí. Así por ejemplo:

Por un teorema de la geometría se sabe que el ángulo semiinscri to 8 esigual a la mitad del ángulo central (/J. Esto es, en general:ó=__!!_ (3-12)

2

Figura3.5 Conceptode ángulode delfexión

o

PI

Se denomina ángulo de deflexion 8 de una curva, al ángulo formadoentre cualquier línea tangente a la curva y la cuerda dirigida desde elpunto de tangencia a cualquier otro punto P sobre la curva, tal como lomuestra la Figura 3.5, para el ángulo de deflexión 8, correspondiente ala tangente en el pe y el punto P" y el ángulo de deflexión ¿;.¡correspondiente a la tangente en el punto Q y el punto Pl.

43CAPITULO3. DISEÑOGEOMETRICO 1l0RIZONTAL: PI.ANTA

Obsérveseque Le es prácticamente lo mismo que Le,. Esto quiere decir,queuna eurva calculada por el arco puede ser localizada con cualquiercuerda, a excepción de que cualquier ajuste que se haga se deberealizar sobre la longitud calculada por la cuerda y no por el arco.Obviamente, el abscisado que prevalece a partir del PT, es el delsistemaarco. Por lo tanto, para.que las abscisas, por ejemplo a cada 10metros, sobre la curva coincidan con las del sistema arco, y si lalocalización se realiza por' 9'4erdas, se debe utilizar la cuerdaequivalente. ,

-, 13.2.4 Deflexión de una curva circular simple

iTradicionalmente, el cálculo y la localización de las curvas circularessimples en el terreno, se realizan por el método de los ángulos dedeflexión.

La longitud de la curva por el sistema cuerda equivalente Lu, es:, = c,l1 == 9.976(120') 87.753m'-ct G, 13'38'30.67' .'

De'igual manera, la longitud de la curva por el sistema cuerda Le,la ecuación (3-11), es:

cl1 10(120')I = - = - -- - - - = 87.756m< L'e Gc 13' 40' 27.42' s

La longitud de la curva por el sistema arco L" según la ecuación (3-8).

puedeobservarse que el arco equivalente s, es 24 mm más largo.

,_arca equivalente s, a la cuerda c=10mes:

5:= rrRGc = rr(42X13' 40' 27.42') = 10.024m> e = 10m

• 180' 180'

Figura3.6 Dellexiónde unacurvacircular. Casoparticular ~

Para localizar el punto P, en el campo, se estaciona el tránsito en el pecon ceros en la dirección del PI. Se deflecta el ángulo ó, y .e~ e~adirección se mide la primera cuerda unidad e, quedando materia Iza odicho punto.

Para el punto Plla deflexión es:

Ó Gc +Gc _ Gc + Gc =ó + Gc2=-2--2 2 '2

o

\\

\ -.--~--_... \- \ I

~~~~----------~---------~--------------I II I\ I\ I\ I\ I

CAPITULO 3. DISEÑOGEOMETRICO HORIZONTAL:PLANTA

Entonces, para el punto P, sobre la curva, la deflexión es:6 _ Gc1- 2

Según la ecuación (3- .12),la deñexíon para la cuerda unidad e es:

6 = G, (3-13)2

Por lo tanto, de acuerdo a la Figura 3.6, en la que se ha supuesto quela longitud de la curva sea igual a tres (3) cuerdas unidad, se tienee

Realmente este es un caso poco común, especialmente en lo querespecta a la longitud de la curva. Sin embargo, se ha planteado deesta forma con el propósito de entender más fácilmente el método delas deflexiones.

Se Cntieqde por abscisa redonda, aquella que es múltiplo de larespectiva cuerda unidad que se utilice: Así por ejemplo, para unacuerda unidad de 5 metros una abscisa redonda es el K2+225, para 10metros el K3+430 y para 20 metros el K5+680.

o DEFLEXIÓN DE UNA CURVA CIRCULAR CUANDO LA ABSCISADEL pe ES REDONDA y LA LONGITUD DE LA CURVA, Le, ESIGUAL A UN NÚMERO EXACTO DE CUERDAS UNIDAD, e

Igualmente,

62 ~ ....!b.2

El método más usual en nuestro medio es el de~flectar lascurvas desde el PC. En este método se pueden presentar dos casos:

Puesto que el lado PC,PI es perpendicular al lado O,PC y el lado PC.P,perpendicular aliado OA.

6 -....!f.t.,- 2

•JAMES CÁIlDENAS GRISALES

44

f1 . , or subcuerda es:Conocida la deflexión por metro, la de exion P

Pueden ser expresadas en minutos porTambién estas deflexionesmetro:

· =_5_(60')=6G~ ='/mds 10m 1"

· = G; (60')= 3G~= 'Imd,O 20m r· G~ (60')_15G' = 'Imd =_- _ - .•111 40m l'

G'd' -_'-= '1m10 - 20m

G'd' -_'-= '1m20 - 40m

(3-1·1)De donde,d= G,

2c

d .dad de 5m 10m y 20m, las deflexionesPara las diferentes cuer as Un! ,

expresadas en grados por metro son:

d' -_5_= '1m5 -10m

d l pe ue para el ejemplo es 1.12401,6.12401su abscisa redonda. y la e E' ~ mismo se presenta antes del PT.Y 16.12401 respectivamente. s

. 'nado cuerdas de menor longitudComo puede observarse, se haln on;ldenominan subcuerilas, y cuyasque la cuerda unidad, las cua edeb lcular proporcionalmente al. ndientes se e en ca - . Idcflexiones correspo . 11' ue es necesario determinar avalor de la cuerda unidad c. De a l qdeflextán por metro d, así:

G. ~ "e' me/ros2d ~ '1' me/JO

'0 GEOMÉTRICO HORIZONTAL: PLANTA. CAPITULO 3. DISEN •

E!te es el caso más general que se presenta, en el cual al traerse unnbscisudo desde un cierto origen, se llega al pe con una abscisarrnccionnria, por ejemplo el K2+423.876.El primer punto de la Curvadebo situarse en la abscisa redonda inmediatamente superior a la delPC, la cual depende de la cuerda unidad que se esté utilizando. Así porejemplo, para c=5m es el K2+425,para c=tcm es el K2+430y para c=20mes el K2+440.La distaheia del primer punto al pe es la diferencia entre

o DEFL.EXIÓN DE UNA CURVA CIRCULAR CUANDO LA ABSCISADEL PC ES FRACCIONARIA Y LA LONGITUD DE LA CURVA, L.,NO ES IGUAL A UN NÚMERO EXACTO DE CUERDAS UNIDAD, e

De acuerdo con las expresiones anteriores, se puede ver que, ladcflexión para cualquier punto sobre la curva es igual a la deflexiónpara el punto anterior más la deflexión por-cuerda unidad G,/2, y que ladeflexión al PT es igual a L1I2.

Resumiendo:Ó, o: G,

2ól o:ó, + G,

2óJ o:ó1+ G, = 3Gc "'~

2 2 2

Al marcar en el tránsito el ángu de deflexión 63, la dirección de lavisual debe coincidir con el PT Y la istancia P1.PT debe ser igual a lacuerda unidad c. La no-coinciden ia e igualdad, identi.fican laprecisión en el cierre de la curva, pue to que el PT ha sido previamentelocalizado desde el PI.

intersección de esta medida Con la visual dirigida desde el pematerializa este punto. •....

lAMES CÁRDENAS GRISALfS46

49

Datos:Para una curva circular simple a la derecha como la mostrada en laFigura 3.8, se conocen los siguientes elementos: .

-.EJEMPLO 3.2: Elementos geométricos y derIexlones de una curvacircular sImple derecha

y debe ser igual a .dI2. De nuevo, la no-coincidencia de esta últimavisual con el PT materializado desde el PI, indica el error de cierre enángulo de la curva.

Detfexiónal PT=Deflexión (por euerdascompletas+porsubcuerdas)

Esta última deflexión dice que,

Esta deflexión se puede expresar también como,

6¡ =(G, +Gc)+(f!J_+J.L)=~2 2 2 2 2.

oeflexión para el: PT

6¡=g,+GC+GC+g2 =(J?!.+ G. + GC)+J!J..=6J+J!J..=rp¡ =~2 2222 222

ó, = fl1.(s.) , esto es,e, 2

Ó, = fl1. = __!E.t2 2

CAPITULO3. DISEl'lO GEOMÍ:.iRICO HÓRIZONTAL: PLANTA

. entonces,Pero. G, = J?!.e e,

Deflcxión para: P,

6, = e, (d) = e,( G, ) ~ ~(s_)2e) e 2

Figura 3.7 Deflexión de una curva circular. Caso general

o

Con el propósito de explicar este método general, supóngase que setiene 1:1curva de la Figura 3.7, trazada con dos subcuerdas e,adyacente al pe y e2 adyacente al PT, y dos cuerdas unidad e, tal que:

Deflexión por subcuerda = (Longitud subcuerda)(Deflexión por metro)

JAMES CARDoNAS GRISALES48

La deflexión expresada en grados, minutos f segundos, por metro es:

d' = G; = 8'11'31.52' =0'24'34.58' / m d, :';"fO 20m 20m . J'

Deflexión por metro:

b) Deflexiones

Rumbo de la tangente de salida:a = 180' - 31" - .1= 18q' - 31' - 60' =S89' E

Abscisa del: PTAbscisa PT = Abscisa PC + Le = K2 +423.740 +73.241= K2 + 496.981

Ordenada media: M

M=R(1-COS~) = 70(1-COS 6~') = 9.378m

Externa: E

E == R[~ -1] = 70[~ -1] = 10.829mcos- cos-

2 2

Cuerda larga: eL.1 60'

CL= 2R=r 2(70)senT = 70.000m

Longitud de la curva: Le

I == c.1 == 10(60' ) = 73.241m-e Gc 8'11'31.52'

Tangente: T• .1 ( 60')T=Rtan2=70 lan2 ==40.415m

SICAPiTULO l. DISENOGWMÉTRICO HORIZONTAL:PLANTA

Grado de curvatura: G.e 10G. =2arcsen-=2arcsen __ =8'11'3152'

. 2R 2(70) .

a) Elementosgeométricos

Figura 3.8 Curva circular simple derecha

Solución:

= N31 'f=.:1::60'0'" K2+423.740::R= 10m'"e'" 10m

Calcular:a) Los demás elementos geométricos.b) Las deflexiones.

~umbo de la tangente de entradaAngulo de deflexión principalAbscisa del peRadío de la CurvaCuerda unidad

JAMES CÁRDENASGRISAlES50

Calcular: .a) Sus elementos geométricos: radio, tangente, longitud de curva,- cuerda larga, externa y ordenada megi,a.

Las abscisas del PCy PT.Las coordenadas del pe y PT.Las deflexiones.

Rumbo de la tangente de entradaÁngulo de deflexión principalAbscisa del PICoordenadas del PICuerda unidadGrado de curvatura

Datos:. Para una curva circularsimple a la izquierda como la mostrada en laFigura 3.9, se conocen los siguientes elementos:

EJEMPLO 3.3: Elementos gepmétricos y deflexiones de una curvacircular simple izquierda

CAPITULO3. DiSEÑO GEOMÉTRICO HORIZONTAL:PLANTA

Tabla 3.1 Cartera de tránsito o localización de una curva circular simple derecha

. ABSCISA DEFLEXI N ELEMENTOS ". ·RUMBO ANOTACIONES .1

K2~.OOO L540520SOO

PT K2~96.981 29°59'59.47' (;.60°0 S89°E490 27°08'25.43' R = 70.000m •480 23002'39.67' c,,10m470 18"56'53.91' G,=08°11'31.52·460 14'51'08.15' T = 40.415m450 10"45'22.39' Le = 73.241m440 06?39'36.63· el = 70.bOOm430 02'33'50.87" E = 10.829m

Pe K2~23.740 OO"(J()'OO.OO· M = 9.378m N31'E r420400380

K2,,360.000

= N72"30'E= L1 = ~0"30'1= K2+~26= 10000N,500~E= e = 20m= Gc = 6°

",

La primera columna de esta cartera indica los puntos de estación deltránsito, que para el caso corresponden al PC y PT respectivamente. Lasegunda columna corresponde a las abscisas, las cuales, como puedeobservarse, se han llevado de abajo hacia arriba por simple comodidadde lectura en In localización del eje de la vía en el campo. La terceracolumna muestra los diversos ángulos dc dellexión que permitenmaterializar In curva. La cuarta columna presenta la informacióncorrespondiente a todos los elementos geométricos que definen lacurva. En la quinta columna se indican los rumbos o acimutes de lastangentes de entrada y salida respectivamente. Y en la sexta columnase disponen las anotaciones u observaciones que sean necesarias.

De esta manera, con toda la información anterior, se puede elaborar lacartera de tránsito para la localización de la curva, tal como se indica

• en la Tabla J.I.

Las 5J centésimas de segundos (0.53") [al tan tes para completar el valorexacto de d2=30·se deben a los redondeos en las cifras decimales..;

t

Chcqueo dcflex ión al: PTDeflexiónal PT:: Def/exión(por cuerdascompletas+porsubcuerdas)Deflex;ónal PT = 6cuerdas(4'5'45.76'/ cuerda)+ 2'33'50.87' +2'51'34.04'

Deflexiónal PT :: 29' 59'59.47' ""~ = 30'2

De(lexión por subcuerda adyacente al: PTLongitudsubcuerda= 496.981- 490= 6.981mDeflexiónpor subcuerda= 6.981m(O'24'34.58'/ m)= 2'51'34.04'

Dc(lcxión por subcuerda adyacente al: peLongitudsubcuerda= 430 - 423.740= 6.260mDeflexiónpor subcuerda= 6.260m(O'24'34.58·/ m)= 2'33'50.87"

De(lexión por cuerda unidad: )'

%_ '" 8'11'~1.52' = 4'5'45.76' /cuerd

/

.~i

JAMES CÁRDENAS (¡RISALES52

;..

a + 11= 72'30' , de donde,a=: 72'30'-11 =:72'30'-60'30' =:12'

Coordenadas del: PTSe debe conocer el rumbo de la tangente de salida, para lo cual ':11 elPI, se tiene:

Coordenadas del: peNorte =10000 -T cos 72'30' = 10000 -111.430(cos 72'30')= 9966.492Este = 5000 - T sen72'30' = 5000 -111.430(sen 72'30')= 4893.727

c) Coordenadasde!PC y PT

Abscisa PC = Abscisa PI- T = K2 + 226 -111.430 = K2 + 114.570Abscisa PT -= Abscisa PC + Le = K2 + 114.570 +201.667 = K2 + 316.237

b) Abscisas del PC y PT

Ordenada media: M

(11) ,¡ 60'30')M=R 1-coS2" =191.07"'l1-COS-2- =26.017m

Externa: E

E=R[_1 -1]=191.07{ 1 -11=30.11Bm11 60'30'cos- cos _-

2 2

Cuerda larga: el11 60'30'el=2R sen -= 2(191.073)sen-- =: 192.515m2 2

Longitud de la curva: LeL. = cL! = 20{60'30') = 201.667m

Ge 6'

55CAPITULO 3. DIS¡;ÑO GEOMETRICO IIORIZONTAl.: PI.ANTA

1

Radio: RR e 20= --G- = --, = 191.073m

2 sen 2' 2sen ~Tangente: T

T ~Rtan%= 191.07{tan 60~30')=111.430m

a) Elementosgeométricos

Figura 3.9 Curva circular simple Izquierda

'_

Solución:

JAM(S CÁRDENAS ORISALES54

Calcular:a) Los demás elementos geométricos de la curva 1,b) Los demás elementos geométricos ~ la curva 2.e) Las deflexiones de la curva 1,d) Las deflexiones de la curva 2,

Distancia del PI, al Pll = 200.830mAbscisa del PC, = K4+274LI, = 86'38'0e, = 10mGe, = 6'30'Ll2 = 62 "42'1t;2 = 5mGel =4"28'

Datos:Para el par de curvas simples de diferente sentido de la Figura ),10, ~econocen los siguientes elementos:

K2+316.237 30°15'00.1a'300 27°48'52.20' t:. =60°30'1280 24°48'52.20' c= 20m260 21°48'52.20' Gc= 6°240 18°48'52.20' R = 191.073m220 15"48'52 20' T= 11'.430m200 12"48'52.20' Le =201.667mlOO 09°48'52.20' eL = 192.515m160 06°48'52.20' E" JO.118m140 03"48'52.20' M=26.017m120 00·48'52.20'

PC K2+114.570 00°00'00_00'

N12°E

N72°30'E

Cartera de tránsito o localización de una curva circular simple izquierda

CAPfTULO3. DISEÑOGEOMETRICO HORIZONTAL: PLANTA

Oc nuevo. las 18 centésimas de segundos (0.18') sobrantes paracompletar el valor exacto de .112=30'15' se deben a los redondeos en lascifras decimales. De esta manera, se elabora la cartera de tránsito parala localización de la curva, tal como se indica en la Tabla 3.2.

Chcquco ucllcxión al: PTOeffexiónal PT = Oe(/exión (por cuerdas completas+por sllbcuerdas)Deffex;ónal PT == 9 cuerdast3'O'0' / cuerda)+ O'48'52.20' +2'267.98'

DeffexiólIal PT = 30'15'0. 1S' '" II = 30'15'2

Dellexión por subctlcrda adyacente al: PTLongitud subcuerda = 316.237 - 300 = 16.237mOeffexiónpor subcuerda = 16.237m(0'9'0' / m)= 2'267.98'

DcOcxión por subcuerda adyacente al: PCLongitud subcuerda= 120-114.570 =5.430mOeffex;ónpor subcuerda = 5,430m(0'9'0' / m)= 0'48'52.20'~..'

i Dcllcxión por cucrda unidad:

Gc 6' 3"0'0' / d_=_= cue~ a2 2

La dcllcxión expresada en grados, minutos y segundos, por metro es:

d' =s_ =~ = 0'09'0' / m7Q 40m 40m

DeOcxiún por mctro:

d) Deflexiones

Norie = 10000+ T cos a == 10000+ 111.430(coSI2')= 10108995Este= 5000 +T sen a = 5000 + 111.430(sen12')=5023.168

Esto cs. N12 <E, por lo tanto las coordenadas del PT son:!;..~,


r

Cuerda larga: CL¡62'42'~ = 2(64.153)sen- = 66.753mCl¡=2R¡sen 2 2

Longitud de la curva: Le¡c¡LI¡_ 5(62'42'L 70.187m

42=(3- 4'28'e¡

Tangente: T¡ {62'42')~ - 64 15 tan --- =39.082mT¡= R¡tan 2 - . 2

Radio: R¡~- 5c¡ __ ._. =64.153mR¡=--G= -- 4'28'

2 sen ::li. 2 sen -2 2

Abscisa: PTI. -K4+274+133.282=K4+407.282Abscisa PT, = AbSCIsa PC, + Le' -

b) Elementosgeométricosde la curva2

Ordenada media: M, ( 86'38')

( Li,) _ 88195 i-ces -- = 24.027mM -R 1-cos- - . 2f - I . 2

Externa¡: E~ ]_ 88 19{ 1 __ 1J= 33.023mE,=R, ~ll-' -1 -. 86'38'

cos -t cos -2-

Cuerda larga: CL,86'38' .ll, _ 2(88 195)sen -- =121.009mC~=2R,sen2-' 2

CAPiTULO l. DISEÑOGEOMÉTRICO 110RI2.0NTAL.:I)LANTA

Longitud de la curva: 4,4 =E6= 10(86'38') = 133,282m, Ge, 6'30'

Tangente: T,

.11 {86'38')T, = R, tan__1. = 88.19 tan-- = 83,159m2 ·2

10---=88,195m6'30'2sen--2

. ,Radio: R,R _ c,,- G

2sen~

al ElementosgeométrIcosde la curva1

Solución:

Figura3.10 Curvascircularessimples de sentido contrario


Para una cuerda de S metros, la deflexión expresada en minutos pormetro es:d~= 6G;2 =6(4'28')= 26,8'¡m


d) Denexlonesde la curva 2

En esta cartera también se observa que, si se supone que la tangente deentrada de la primera curva apunta en la dirección N25'U0'E, losrumbos calculados para las tangentes de salida serán respectivamente~68 ~2'E y N48 '56'E.

En la parte inferior de la Tabla 3.3 se muestra la cartera de tránsito olocalización de esta primera curva,

Es importante anotar que la aproximación al minuto debe hacerse alcalcular las deflexiones por subcuerdas (117' y 142) y no al calcular ladeflexión por metro (19.5)_ Esto garantiza que la deflexión al PT, sealo más cerca posible a LI¡/2, así como en el caso, que es exactamenteigual a 86"3812=43Of9'.

Chequeo deflexión al: PT,Deflexiónal PT, = Deflexión(por cuerdascompletas+porsubcuerdas)Deflexión<ll PT, = 12 cuerdas(3'!5' / cuerda)+ 1'57'+2'22'

DeflexiónalPI, = 43'19'=~2

Deflexión por subcuerda adyacente al: PT,Longitudsubcuerda'" 407.282- 400 = 7,282mDeflexiónpor subcuerda= 7.282m(19.5' I m) = 141.999' '" 142'", 2'22'

Deflexión por subcuerda adyacente ¡11:pe,Longitudsubcuerda= 280 -274 = 6mDeflexiónpor subcuerda= 6m(19,5'¡ m) = 117'= 1'57'

61CAPiTULO3. DISEÑOGEOMÉTRICO HORIZONTAL: PLANTA

Dencxión por cucrda unidad:G 6'30'e' = =3'15'/cuerda2 2

Para una cuerda ele 10 metros, la cienex ión expresada en minutos pormetro es:d;o = 3G;, = 3(a'30')'" 19.5' ¡m

Dcflcxióu por mctro:

Con csta condición, se tiene:

Con el propósito de mostrar un método en la aproximación de losál.lgulos de dcflexión a cifras enteras o redondas, en este ejemplodichos ángulos se aproximarán al minuto.

el Deflexionesde la curva 1

Abscisa: PT;AbscisaPT, =: Abscisa pez + LeZ '" K 4 + 485.871+ 70.187 '" K4+556.058

¡\bs~isa: PClAbscisaPC; '" AbscisaPT, + PT,.PCl =: AbscisaPT, + [PI, .PI, - (T, + T;)]AbscisaPC, '" K4+ 407.282+ [200.830- (83.159+ 39.082)J=: K4 + 485.871

Ordcnada mcdia: M2

(¡j ) .f 62'42')M, '" R, 1- cos / =: 64.15vl1-COS-2- '" 9.366m

Externa: El

E, ::R7[ 1¡j -1]= 64.15{._l__, ,-1J=10.967mcos 1 62422 cos - 2

JAMES CÁRI"lF.NAS GRISAl.F.S '60

,

Figura3.11 Ejemplo3,5

,,'~~,'"

",\e.ni,o bCurvo I

180m

PI,

Datos:Para la Figura 3.11, se tiene:

EJEMPLO 3.5: Deflexiones de curvas circulares simples del mismosentido

--------------- .__ . - ....

En la parte superior de la Tabla 3.3 se muestra la cartera de tránsito olocalización de esta segunda curva.

Chequeo deflexión al: PTzDeflexiónal PTz= Deflexión (por cuerdas completas+por subcuerdas)Deflexiónal PTz = 13 cuerdas(2'14' / cuerda)+ 1'51'+0'28'

.1Deflexiónal PTz = 31'21'=-t

Deflexión por subcuerda adyacente al: PTzLongitud subcuerda =556.058 - 555:: 1.058mDef/exiónpor subcuerda =1.058m(26.8' / m) = 28.354''" 28'= 0'28'

. Deflexión por subcuerda adyacente al: pezLongitud subcuerda:: 490·485.871 = 4.129mDefléx;ónpor subcuerda= 4.129m(26.8' / m) = 110.657''" 111'= 1'5 t'

Deflexión por cuerda unidad:

~ = 4'28' =2'14' / cuerda2 2

63CAPiTULO 3. DISEÑOGEOMl':nuco l'IORIZONTAL: PLANTA

ESTACiÓN ABSCISA OEFlEXION ELEMENTOS RUMBO. ANOTACIONES

560PT¡ K4-t556.0S8 31°21' N48°5S'E • PTI

555 30°53'550 28°39'545 26°25' ÓI = 62°42'1540 24°11' el= 5m535 21°57' Gel = 4·28'530 19°43' R¡=S4.153m525 17°29' TI' 39.082m520 15°15' 1..1 = 70.187m515 13°01' Cb =66.753m510 10°47' El = 10.967m505 '08°33' MI' 9.366m500 06°19'495 04°05'490 01°51'

PCI K4+485.871 00°00' S68°22'E PCI480470460450440

t 430 .420410

PT. K4+407.282 43°19' - S6s022'E PT.400 40°57'390 37°42'380 34°27' ó. = 86°38'0370 31°12' e. = 10m360 27°57' G,,' S·30'350 24°42' R. =S8.195m340 21°27' T. = 83.159m330 18°12' k. = 133.282m320 14°57' CL. = 121.009m310 11°42' E. = 33.023m300 OS027' M. = 24.027m290 05°12'280 01°57'

Pe. K4+274.000 00°00' N2so00'E o PC.270

Tabla3.3 Cartera de transito o localización de curvascirculares simples de distinto._ sentido

62 JAMES CÁRDENAS GRISALES

Radio: R,

R, + E, =99.790. E, = T, lan~4

Deflexión por subcuerda adyacente al: P.IJLongitud subcuerda= 90.448- 90 =0.448mDeflexiónpor subcuerda=0.448m(0"19'54.05'/ m)= 0"~'54.93'" 0"8'55'

Siguiendo la bisectriz PI,.O" se tiene:

al Deflexlones de la curva 1Deflexión por cuerda unidad:

G., = 6'38'1' = 3"19'0.5'/ cuerda,. 3"19'1"/cuerda2 2

Figura 3.12 Deflexlones de curvas circulares simples del mismo sentido


d;o= G;, = 6"38'1' =0"19'54.05'/ m20 20

o,

,,,,,Abscisa: PT,AbscisaPT, = Abscisa PC, +L., =KO+OOO+90.448 = KO+90.448

,' ..'..\~""j.,,

Longitud de la curva: 4,L.: = c,Ll, = 10(60') = 90.448m

, Gel 6'38'1'

De acuerde COIl la Figura 3.12, se tiene:~

I¡

También con el propósito de mostrar un método en la aproximaci6~de los ángulos de deflexi6n a cifras enteras o redondas, en esteejemplo dichos ángulos se aproximarán al segundo.

G , = 2 arcsen.5_ = 2 arcsen~) = 6"38';78' lO: 6"38'1'e 2R, 2~86.421)

Solución:

R _ R, +E,, - .:1 .:1

1+lan...!. lan...!.2 4

Calcular:a) Las dcflcxioncs de la curva l.b) Las dcflcxiones de la curva 2.

.:1, T. R I .:1,R, +E, = R, +T, lan""4 ' ,=, an"2

R,+E,=R,+R,lan'i lan~ =R.(1+lan~' lan~)

99.790----- = 86.421m

60" 60"1+lanT'an-;¡

= KO+OOO= 10m= 90.020m

Abscisa del PC de la curva 1Cuerda unidad, ambas curvasEntrctangencia

6SCApiTULO 3. DISEÑOGEOMETRICO HORIZONTAL: PLANTAJAMeS CÁRDENAS GRISALES64

Figura3.13 Ejemplo3..6

2J5'JO'

~

Datos:Dada la informllt;;On que aparece en la Figura 3.13 y. además:

EJEMPLO3,6: Elementos geométricos de curvas circulares simples delmismo sentido

------------_ ... --- ---

En la Tabla 3.4 se muestra la cartera de tránsito ° localización de estas

~l!EJClQ!.~t!2.!~~~~~~=' PCz¡Longitudsubcuerda= 190-180.468 = 9.532m'iOeflexiónpor subcuerda= 9.532m(O'19'6.1"/ m)= 3'2'4.63' ""3'2'5"IDeflexión por subcuerda adyacente al: PTz;Longitudsubcuerda= 255.854- 250 = 5.854m:oeflexiónpor subcuerda= 5.854m(0·19'6.1"/ m)= 1'51'49.27'",1'51'49"

I .Chequeo deflexión al: PT,Oeflexiónal PTz= Oeflexión(por cuerdas completas+porsubcuerdas)

. iDeflexiónal PT2 = 6 cuerdas(3'11'1"/ cuerda)+ 3' 2'5' +1'51'49"= 24' = .1;

67CAPITULO 3. 01510"'0 GWMETRICU HORIZONTAL: PI.ANTA

I )dle/S.ión Il.or metro:

eJ' G', 6'222'02•=O'19'6.1'/mlUlO 20

I\bs~¡sn;.PT,AbscisaPT2 =Abscisa pe2 + Lez= KO + 180.468+ 75.386 = KO +255.854

Abscisa: pezAbscisa pez = Abscisa PT,+PT,.PC, = KO +90.448 +90.020 = KO +180.468

Longitud de la curva: k2I = cZ.12 = 10(48') =75.386m..., Gez 6'22'2'

e 10Gez=2arcsen-2 =2arcsen ( r6'22'1.96· .. 6'22'2'2Rz 2 90.1Y.32 .

Ll ¡ 60')T, =R, tan-j-=86.42'ltanT =49.895m

T2 = 180- 90.020- 49.895 = 40.085m, .1, = 228' -180' = 48' O

R2 =~= 40.085 =90.032mtan _L tan 48'

2 2

Radio: Rz

Rz= TZLl ' T,=PI,.Plz-PT,.PC2-T,tan_L

2

b) Oeflexlonesde la curva2

Chequeo deflexión al: PT,Oefl8xiónal PT, = Oeflexlón(por ¿~rdas completas+porsubcuerdas)

Oeflexiónal PT, = 9 cuerdas(3'19't / cuerda)+O'8'55'= 30'0'4' '" 30' = ~2

JAlvII:S CÁRDENAS GRISALES66

,J

,E, =90,OOOm-.

T, =_iy ,.1, =275' -180' =95'Otan _!_

4

Abscisa: PC,Abscisape, = AbscisaPI, - T, = K8 +920 - T,

al Abscisa delPTlAbscisa PT1=Abscisa PC, + Le, +PT,.PC1 + Lcl , donde:

Figura3.14 Curvascircularessimples delmismosentido

De acuerdo con la Figura 3,14, se tiene:

Solución:

Calcular:a) La abscisa del PfJ,b) La distancia entre los centros de las curvas,

69CAPITULO3. DISEÑO GEOMÉTRICO HORlZ.ONTAL:PLANTA

Entrctangcncia ::;269.460mEl punto A pertenece a la primera curva

::;20m::;600m::;90m::;K8+920

Cuerda unidad, ambas curvasDistancia del PI, al PllDistancia del PI, al plinto AAbscisa del PI,

ESTACION ABSCISA OEFLEXIÓN ELEMENTOS RUMBO ANOTACIONES

260PTl KO+255,854 24°00'00' <? PTl

2SO 22"08'11'240 18°57'10' cr= 10m230 15°46'09' tu = 48°'0220 12°35'08' Rl e 90.032rn210 09°24'07' Gel = 6°22'2'200 06°13'06' Lel = 75.386m190 0J002'05'

Pe1 KO+180.468 00°00'00' Pel180170160ISO140130120110100

PT, KO-OSO.448 30°00'04' ~ PT,090 29°51'09'080 26°32'08'070 23°13'07' c,=10m060 19°54'06' 6, = 60°0OSO 16°35'05' R, = 86.421m040 13°16'04' G" =6°38'1'030 09°57'03' Le, = 9O.448m020 06°38'02'010 03°19'01'

Pe, KO·OOO.OOO 00000'00' , PC,

Tabla3,4 Carterade tránsito o localizacióndecurvascircularessimples del mismosentido


Datos:En la Figura 3.16, se muestran tres tramos rectos de una carretera, AB,BC y CD, conectados por medio de dos curvas circulares simples deigual radio, de tal manera que existe entre ellas una entretnngcncilldada de 255 metros. Además, se tiene la siguiente informaciónadicional:

EJEMPLO 3.7: Curvas circulares de igual radio y entretangencia dada

Figura3.15 Distanciaentre los centros de las curvas

0PI ==J(PTt.PCS + (R¡ - Rt YOPI = .J(269.460t + (239.485 -187.427l := 274.443m

Según la Figura 3.1S, esta distancia es igual (1:

b) Distanciaentre los centros de las curvas

71'CAPiTULO J. DISE&OGt:OMtTRICO IIORIZONTAI.: pl.ANTA

Ge¡= 2 aresen ~ ,R¡ = --IL_2R¡ t Ll,an--"-

2T¡=PI,.PI¡- ~ -P~.PC¡ = 600-204.541- 269.460= 125.999mR 125.999_¡ 55'30' - 239.485mlan--

2

Gc2= 2 etcsen (20 =4'47'1071'2239.485) .

= 20(55'30') _L.¡ 4'47'10.71' -231.912m ,por lo tanto,Abscisa PT1=K8 + 715.459+ 310.618+ 269.460+231.912= K9 +527.449

Longitud segunda curva: Le¡e Ll •

L.¡ =~ ,cz = 20m A =235'30'-180' =55'30'0e2

Entretangencia: PhPCzP~.PC¡= 269.460m·

, entonces,Ge, ==2 arcserl (20 = 6'7'0 60'2 187.427) .

L.l ==c,Ll,== 20(95') _Ge, 67'0.60' -310.618m

R _ 7j 204.541, '--Ll- ==--. ==187.427m

tan_!_ t. 952 an2

Longitud primera curva: 4'L., ==~ ==20(95' )

Ge, Ge,

Ge, = 2 arcsení2R,

90.000~==-95' ==204.541m t,.1.,en onces,

tan-4

Abscisa PC, ==K8 +920-204.541 ==K8 + 715.459

JAMES CÁROENAS GRISALES70

,"

Abscisa: PT,Abscisa PT, = Abscisa PC, +Le;Ge, = 2 arcsen ~ = 2 arcsen (10 ) = 1'28'50.86'

2R, 2 386.937

L = c,L1, = 10(39'50') 269.000m -,et Ge, 1·28'50.86·

Abscisa: PC,Abscisa PC, = Abscisa A + A.PC,APC, =AB-T,

L1 (39'50')T, =R,tani=386.937 tan-2- =140.197m

APC, = 612.240 -140.197 = 472.043mAbscisa PC, =KO+986.280 +472.043 =KI + 458.323

b) Abscisas de los cuatropuntos detangencia

409.960R = 386.937m =R, =Rz39·50' 69·46'

tan--+ tan--2 2

Luego:

664.960 = 1j +255+T1 ' de donde,T,+T2= 409.960m , esto es," L1RI tan ~ +Rz tan 2 = 409.960m ,pero, R,:: Rz= R: 2 2R(tan i + tan i )= 409.960m , por 10 tanto,

R - 409.960-" L1lan~ + tan_l.

2 2~ = 180' -74·42'-65'28'= 39'50' O112= 180· -65·28'-44'46' =69'46'J

El radio de las dos curvas puede expresarse en [unción de lastangentes, de la siguiente manera:BC '" T, + entretang~lc;a + T2

a) Radiode (ascurvas

Solución:

Calcular:a) El radio de las curvas.b) Las abscisas de los cuatro puntos de tangencia.e) El número de cuerdas completas para cada curva.d) l.as coordenadas del punto D.

Abscisa del punto A e KO+986.280mCuerda unidad para curvas :: 10mCoordenadas del punto A :: 500N. 100ERumbo y distancia tramo AB :: N74 °42'E, 612.240mRumbo y distancia tramo BC :: S65'28'E, 664.960mRumbo)' distancia tramo CD ::N44°46'E, 524.380m

Figura 3.16 Curvas circulares de igual radio y entretangencia dada

t


Calcular: l' . .a) El radio de la curva que une los tres a ll1eamlentos.

Figura3.17 Curvacircular simple tangentea tres alineamientos

Acimut y distancia alineamiclllo AB = 33 ~ 222mAcimut y distancia alineamic:nto BC = 72 ~ 218mAcimut y distancia alineamiento CD = 121~ 242m

li . uos deben unirse con una curva circular simple,Estos tres a meauueide tal manera que ellos sean tangentes a la curva.

Datos: 7 ' los sil.!_'lIi-:IIl<:~Para una carretera y según la figura 3,1 • se ucneualineamientos:

EJEMPLO 3.8: Curva circular simple tangente a tres alineamientosdados

7)CAPiTULO l. OISEÑOGEUMETIUCO IIOltlWN'!',\I.: I'I.,\N'!'A

No =NA +ABcos 74'42'-BCcos65'28'+CDcos 44'46'No =500+612.240cos 74' 42'-664. 960C05 65'28'+524.380cos 44'46'= 757.747mEa = EA +AB sen74'42' +BC sen65' 28'+CD sen44'46'Eo = 100+612.240sen74' 42'+664.960'sen65' 28'+524.380sen44' 46' = 1664.748m

Id) Coordenadasdel puntoD

I

Curva 1:Longitud por subcuerdas = (460.458.323)+ (727.323 -720)= 9mLongitud por cuerdascompletas = Longitud curva· Longitud subcuerdas= Lel - 9Longitud por cuerdascompletas =269.000· 9 = 260.000m• Longitud por cuerdas 260.000Numerode cuerdascompletas = = --- = 26 cuerdas

Longitudcuerda 10Curva 2:Longitud por subcuerdas= (990.982.323)+ (453.466 - 450) = 11.143mLongitud por cuerdascompletas = Le2-11.143 = 471.143 -11.143 = 460.000m

Númerode cuerdas completas = 460.000 = 46 cuerdas10

el Númerodecuerdascompletasparacadacurva

Abscisa: PTzAbscisa PTz =Abscisa PCz + LezGeZ= Gel = 1'28'50.86"

L = cz.1] = 10(69'46') = 471.143me2 Gel 1'28'50.86"

Abscisa PTz= K1 +982.323 +471.143 = K2 +453.466

Abscisa: PCzAbscisa PC2 = Abscisa PT,+PT,.PCz=K1+ 727.323 + 255 =K1+982.323

.....Abscisa PT, = K1 + 458.323 +269.000= K1+727.323

JAMeS CÁRDENASGRISALES74

Calcular: '40,

La información necesaria para replantear la curva con cuerdas de 20metros .

Datos:Según la Figura 3.18, AB Y CO son dos tramos rectos de una carretera,que deben unirse por una curva circular de radio 330 metros. El PIresultó inaccesible, arrojando los datos mostrados para la poligonalABCO.

EJEMPLO 3.9: Replanteo de una curva circular simple de radio dado yPI inaccesible

Luego:Abscisa PT = KO+ 126.676+ 183.230+ 230.212 =KO+ 540. 118

Longitud de la segunda parte de la curva: L.1

, = rrRA = rr{269.187}49' = 230.212m.... 2 180' 180'

Longitud de la prim!:ra pan!: ti!: la I.:urva: L"Para el sistema arco, según la ecuación (3-9), se tiene:

, = rrR,.1,= rr(269.187}39' =183.230m..... 180' 180'

, Abscisa: peAbscisa PC = Abscisa A + APC

.1 (39' JAPC = AS -T, ,T, = R lan-t = 269.187 lanT = 95.324m

APC = 222 - 95.324 = 126.676mAbscisa PC = KO+ 000 + 126.676 = KO+126.676

b) Abscisadel PTAbscisa PT = Abscisa PC +L•• +L'1 ' donde:

CAPiTULO 3 DISEÑOGEOMtTRICO HORIZONTAL: PLANTA

1

.-----_.-------------------------------------------------

Por In tanto:R - 95.324:!:_1~4.627= 269.187m

88'lan--

2

El valor del radio de la curva puede ser también calculado así:T

R '"' --.1 •T == T, + BPI •T, == 95.324m , .1= .1,+ Ll, == 39' + 49' == 88' Olan

2

218R= ·--=269.187m39' 49'

lan +Ian2 2

Luego:

El radio de la curva puede expresarse en [unción de las tangentes. así:1; + T, == BC :: 218m

Ll LlR,lan ' + R71an .)- :: 218m , pero, R, = R¡" R2 2

R( lan~' , ten ~' ) == 218m , por lo tanto,

218R.. Ll-' Ll-

lan '+ tan 12 2

.1, == 72' -33' = 39'0

.17 :: 121' -72' :: 49' O

a) Radio de la curva

Solución:

b) La abscisa del PT de la curva, si la abscisa del punto A es KO+OOO.

JAMES CARDEN,\S GRISALES76


Ge == 3'28'22.81' == 1"44'11.41'2 2

Abscisa: PTAbscisa PT = Abscisa pe + Le = KO+ 510.818 +302.332 == KO+ 813.15t

Longitud de la curva: Le

I = eL! = 20(52'30:) = 302.332m-e Ge 3'28'22.81'

Grndo de curvatura: Ge

o, = 2 arcsen 2~ = 2 arcsen 2(~~0) = 3'28'22.81"

Luego:Abscisa PC = KO+000+ 510.818 '" KO+ 510,818

Abscisa: peAbscisa pe '" Abscisa A +APCAPC = AS + B.PC = AB + (x - T) , pero,

x BCsen/3 = sen (180' -.1)/3 = 180' -147'30' = 32'30' ,180' - Ll == 180' - 52'30'=127'30'

x= 290.30(sen 32'30'L 196.606m , por lo tanto,sen 127'30'

APC '" 476.95 + (196.606 -162.738) = 510.818m

Tangente: T.1 (52'30')T '" R tan 2 == 330 tan· 2 =162.738m

Ángulo de deflexión principal: Ll.1= a+ fJ = (180' -160')+ (180' -147"30')'" 52'30' O

79CAPiTULO l. DISI,ÑO (OI!OM1~TI(ICO1I0RIZONTAL: PL/lNTA

Figura 3.19 Curva de radío dado y PI inaccesible

D

De acuerdo con la Figura 3.19, se tiene:

Solución:

Figura 3.18 Ejemplo 3.9

D

.....

JAMESCÁRDeNAS GRISALeS78

Figura 3.21 . Curva de tangente dada y PI inaccesible

o

De acuerdo con la Figura 3.2 L, se tiene:

Solución:

Figüra 3.20 Ejemplo 3.10

CAPtTULO 3. DISEÑO GF.OMETRICOHORIZONTAL: PLANTA

Calcular:a) l.as dcflcxioncs de In curva para el PI inaccesible.b) i.A qué lado de la linea AB cstnrá ubicado el Plinto medio de la

curva?

:::K2+960La abscisa de A es

Datos:Según la Figura 3.20, en el trazado de una carretera el PI cayó cn unalaguna. de manera que se trazó una línea de atajo AB igual a ) 00metros entre las tangentes. La curva se debe trazar con cuerdas de 20metros y su tangente se espera que sea de 98.310 metros.

EJEMPLO3.10: Curva circular simple de tangente dada y PI inaccesible

Así. con la información obtenida, se puede replantear la curva.

Chequeo denexión al: PTDeflexión al PT::: Denexión (por cuerdas complelas+por subcuerdas)Deflexión al PT = 14cuerdas(1' 44'11.41' / cuerda)+ O'47'50.02" + 1'8'30.30'

Denexiónal PT ~ 26'15'0.06' '" ~ = 26'15'00'2

Dcllexión slIbclIercln adyacente al: PTLongitud subcuerda = 813. 150 - 800 '" 13.150mDeflexión por subcuerda = 13.150m(0·5'12.57' / m)", ¡'8'30.30"

Dcncxión slIbcuerda adyacente al: peLongitud subcuerda= 520 - 510.818 = 9.182m

Oeflex;ón por subcuerda = 9. 182m(0'5'12.57' / m)= 0'47'50.02'

Dellcxión por metro:

d'X,= G, = ~:~8'22.81'=O'5'12.57'1m40 40

JAMESCÁRDf:NAS GRISAI.r:S80

Datos:Adicionalmente a la información dada en la Figura 3.22, se tiene que:

EJEMPLO 3.11: Curvas circulares simples de tangentes paralelas------------------- .._._- _.-

Luego el punto medio O de la curva está ubicado a la derecha de lalinea AB.

b) Ubicacióndel punto mediode la curva

il (60')PI.D =Extema =T tan '4 = 98.310 tan -4- = 26.342m

_!!E_ =_Y_ ,a = 180' -16' _180' - il = 180' -16' _ 180- -60- = 10rsen16' sena 2 2

{sen16' )PI.C = 80.21 -- = 22.786m < PI.D = 26.342msen 104'

Chequeo deflexión al: PTDeflexiónal PT = Deflexión (por cuerdas completas+porsubcuerdas)DeflexiónatPT = 8 cuerdas(3'22'O.39' / cuerda)+ 3'2'47.75' +0'1'9.09'

Del1exiónal PT = 29' 59'59.96' "" ~ = 3D'2

, Deflexión subcuerda adyacente al: PTLongitudsubcuerda= 120.114-'120=0.114mDeflexiónpor subcuerda = O. t14m(O'10'6.02' / m) = 0'1'9.09'

Deflexión subcuerda adyacente al: PCLongitudsubcuerda= 960- 941.902=18.098mDeflexiónpor subcuerda= 18.098m(O'10'6.02'/ m)= 3'2'47.75'


dio = Qe_ =~:i~~~·!~=0'10'6.02' / m40 40

M3

Deflexión por cuerda unidad:G. 6'44'0.78'- 3'22'0.39"2- 2

Abscisa: PTAbscisaPT =Abscisa PC +Le=:K2 +941.902+ 178.212 = K3 +120.114

Entonces:AbscisaPC = K2+960-18.098 = K2 +941.902

Abscisa: PCAbscisa PC=Abscisa A - x • pero,x=98.310-y _y_= AB,, sen 44' sen(180' -.1) ,180·...:.1= 180' - 60' = 120'

_ 100(sen44')y- sen120' -80.212m ,por lo tanto,

x = 98.310 - 80.212=18.098m

Grado de curvatura: Gc

. e . 20G. = 2 arcsen - = 2arcsen ' = 6'44'0 78'

2R .. 2(170.278) .

Longitud de la curva: .~= cil = 20(60') _ .

Le e, 6'44'0.78' -178.212m

Radio: RTR = -.1 ,.1= 16'+44' = 60' O

tan-2

. R= 98.310 =170278m60' .

tan-2

....a) Deflexiones

JAMESCÁRDGNASGRISALES82

x = PT•.PT1 = 7.200 = 4.213mtan t.. tan 59'40'

~ (59'40')T.=R. tan2"=52.264tan -2- = 29.972m

Tz= 29.972 - 4.213 = 25. 759m , por lo tanto,

Rz -. 25.759 =14.772m ,GeZ =2arcsen~=11'39'22.01·t 120'20' 2\14.772,an--

21...1 3(120'20') = 30.971m ,luego:

11'39'22.01'Abscisa PT; = K2 + 200 +30.971 =K2 + 230.971

Figura 3.23 Curvas circulares de tangentes paralelas

CAPITuLO 3. DISEÑOGEOMÉTRICOHORtWNT AL: PLANTA

.•¡

"."2:' -

cGe2 = 2 arcsen _22Rz

b) Abscisa del PTlAbscisa PTl = Abscisa PC2 + Lel

1...2==:6 'C2 =3m ,112= 180' -59'40' =120'20' OGe2

a) Radío de la curva 1LlCL, = 2R, sen _! ,eL, =52.000m ,.1, =59'40'/ , entonces:2

Cl 52.000R. = --' - = = 52. 264m2 sen .1. 2 sen 59'40'

2 2


Solución:

Calcular:a) El radio de la curva 1.b) La abscisa del PT2'

Figura 3.22 Ejemplo3.11

::K2+200:: Cl:: 3m

La abscisa del PC2 esLa cuerda unidad de la curva 2

JAMESCÁRDENASGRISALES84

Distancia: a6sen rp=-a

a=_6_ ,rp=180"-1l ,1l=Q-tP ,P=84'12'46"sen»

\Es - EA \ _ \936.570. 861.741! =48'26'33.16"

a = arctan 'N-_ N _ aretan ,389,985· 456.322! .I 8 A

II = 48'26'33.16' +84'12'46" = 132'39'19.16"q¡=180' -132"39'19.16' = 47'20'40.84' , entonces,

a=~-=8.158msen 47'20'40.84'

Figura 3.25 Coordenadas del centro de una curva circular

~

\

CAPíTULO J. DISENO GECMG'fRICO I-IOI{lZONTt\1.. I'I.ANTA

De "cuerdo con la Figura 3.25, las coordenadas de e se puedenplnnltn'r así:Not1odo c.Norlede B +a cos a ..bcos P + (E +R)cos ór ~//jcJoC. éste de B -asena· bsen P -(E +R)senó

Solución:

Calcular:l.a! coordenadas del centro ede la curva de 14 metros de radio.


= N: 456.322, E: 861.741= N: 389.985, E: 936.570

Coordenadas del punto ACoordenadas del punto B

Datos:Para la Figura 3.24, se tiene:

EJEMPLO3.12: Coordenadas del centro de una curva circular

JAMGS CÁRDENAS GRISALES86

Abscisa: PTAbscisaPT = Abscisape + Le = K5 + 972.450. + 10.9.146 = K6 + 0.81.596

-.

Longitud de la curva: 1..:

~ = c4 = 1O(59'40'L109.146mG. 5'28' ,

a) Deflexiones


Solución:

Calcular:a) Las deflexiones para la curva dada.b) La abscisa donde la vía 1y la vía 2 se interceptan.


= ¿1 = 59 °40'1=G.=5"28'= c = lo.m .= K5+972.45o.

Ángulo de deflexión principalGrado de curvaturaCuerda unidadAbscisa del pe

CAPITULO 3. DISEÑOGEOMF.TRICOHORIZONTAL:PLANTA

Datos:Para la curva de radio R de la vía 1 de la Figura 3.26. se conocen lossiguientes datos:

EJEMPLO 3.13: Intersección de una vía en curva con otr,avía en recta---_.- -----------

Luego las coordenadas del punto C son:Norie e = 389.985 + 8. 158(cos48'26'33.16' )-lo..878(cos 84'12'46')+

(20..869 + 14)cos 72'6'53.58' = 40.5.0.0.9177Este e = 936.570.- 8. 158(sen 48'26'33.16")-10.878(sen 84'12'46')

(20. 869+ 14)sen72'6'53.58" = 886.459m

Angula: sFste ángulo define el rumbo del alineamiento PI.C:

ó=a +p p = 1~:_-:-_1l= 180.' -132"39'19.16" = 23'40.'20..42"'2 '2

Ó = 48'26'33.16' +23'40.'20..42' = 72'6'53.58'

La externa también se puede calcular en función de la tangente T, así:d II ( 132'39'19.16")E"'" r tan T =R tan = 14 tan -.------ = 31.935m , entonces:4' 2 2

E = 31.935(tanI3'2'39/9.16') = 20..869m

Externa de la curva: E

E=R[ 1 -i]=14[. 1 . -1]=20..869177Ll 132'39'19.16'cos· cos -.-._. .__2 2

Distancia: b8 8sen(/!= ,b= =1a.878mb sen 47'20.'40.84'

JAMES CÁRD~NAS GRISALES88

Bajo la definición de cuerda-grado, la longitud de la distancia PC.P, seexpresa así:

PC.P= caGc

PC.P= Longitud de la curva acumulada hasta P.

Abscisa de P =Abscisa PC + PC.P , donde,

b) Abscisa del punto de intersección P

Tabla 3.5 Cartera de deflexiones para la curva circular

ESTACI N ABSCISA DEFLEXI N ANOTACIONES960970

PC K5+972.450 00°00'00.00' o PC980 02°03''19 20'990 04"47'49.20'

K6.ooo 07°31'49.20'010 10°15'49.20'020 12°59'49.20'030 15°43'49.20'040 18°27'49.20'050 21°11'49.20'060 23°55'49.20'070 26°39'49.20'OSO 29'23'49.20'

PT K6+081.596 29°49'59.66' o PT090100

Por lo tanto, las deflexiones para la curva son las que SI;! muestran enla Tabla 3.5.

Chequeo deflexión al: PTDeflexión al PT = Dellexión (por cuerdas completas+por subcuerdas)Deflexión al PT = 10 cuerdas(2' 44' / cuerda)+2' 3'49.20"+0'26'10.46'

Deflexión al PT = 29'49'59.66':::: 29'50' = ~2

91CAPITULO 3. DISEÑOGEOMl"TRICO HORIZON'rAL: PLANTA

Deflexión subcuerda adyacente al: PTLongi/udsubcuerda =81.596-80 =1.596mDeflexión por subcuerda = 1.596m(O'16'24' / m) =0'26'10.46'

Deflexión subcuerda adyacente al: PCLongitud subcuerda =980 - 972.450 =7.550mDeflexión por subcuerda =7.550m(O'16'24' / m)= 2'3.'49.20'

Deflcxión por metro:

a; - G, _ 5'28' - 0'16'24' /10-- ---- m20 20

Del1cxión por cuerda unidad:

~,_= ~~~ =2'44'2 2

Figura 3.27 Víasque se Interceptan

pe PI

vt» 2

.',,,-," '- -,,,,_,.,

-,,,'-,,,,,,,

o

o

JAMES CÁRDENAS GRISALF.S

La nueva abscisa del PT' sobre la variante será:Abscisa PT'= Abscisa PC+ L', , donde,

e' /J'L'c="G-

e

...,Solución:

Calcular: liu-El nuevo abscisado para el PT', si la tangente de su t a separalelamente hacia fuera una distancia de 1S metros, conservandope su posición.

Figura 3.28 Desplazamiento paralelo de la tangente de salida

= R = 171.910m= e = 10m= K11t919.170

CAPITULO 3. DISEl'lO GEOMETRICO HORIZONTAL: Pl.ANTA

Deflexión principal = ¿1= 72<[)

Datos:Para la Figura 3.28, una Curva circular simple fue calculadainicialmente con:

EJEMPLO 3.14: Desplazamiento paralelo de la tangente de salida de unacurva circular con nuevo radio

Puede observarse que la ~abscisa exacta de P es mayor en 25milímetros a la calculada anteriormente, lo cual era de esperarse, puesen el primer caso la curva se desarrolla através de un polígono y en elsegundo caso se sigue exactamente la trayectoria de arco de la curva.Sin embargo, en este ejemplo particular, el abscisado a tener en cuentaes del sistema de cuerdas, esto es, el primero.

Por otro lado, si se quiere tener la abscisa exacta del punto Pconsiderando el arco PCP, se tiene:

PC.P = rrRo = rr(104.849X35·58'38.39·) = 65.837m180' 180'

Abscisa exacta deP == K5 + 972.450+ 65.837 =K6 + 038.287

a = arccos( 104.849" 20) =: 35'58'38.39' , por lo tanto,104.849

PC.P ==10(35'58'38.39') ==65.812m I5'28' , uego:

Abscisa de P = K5+972.450+65.812 =: K6+038.262

, entonces,

, pero,( R"20)a=erccos Rc 10R==--= =104.849m

2sen Gc 2 sen 5'28'2 2

Según el triángulo rectángulo OPQ:OQ R-20cosa = - ==-- ,esto es,OP R

JAMES CÁRDENAS GRISAI.ES92

Abscisa: vía f (PT,=PT1)Abscisa(PT,=PT2) vía1= AbscisaPC,+ Le'

L _c,IlI ,LlI=180'-a-/3=180'-5S'-4S'=80'Oel - Gel

Ge, =2arcsen_s__ =2arcsen (10)? 11'42'48.25' • entonces,2R, 249

Como se observa en la Figura 3.30 el empalme de las dos vías tienelugar en el PT, o Pl». Las abscisas para cada caso son:

Solución:

Calcular:La ecuación de empalme de la vía 2 en la vía 1.


= K1+922.260Abscisa del PC2

95CAPiTULO 3. DISEÑOGEOMtoTRICO HORIZONTAL: PL.ANTA

Radio de la curva 1 = R= 49mCuerda unidad de la curva 1 = el= 10mAbscisa del PC, = K1+937.S80Cuerda unidad de la curva 2 = e2= 5m

Para el par de curvas de la Figura 3.29, se tiene:Datos:

EJEMPLO 3.15: Ecuación de empalme entre dos vías, curva a curva:G)ud,t.y'

Ll (72')T=Rlan-i=171.91O tanT =·124.900m

senil =~ ,PI.PI'= _15_ = 15.772mPI.PI' sen72'

T'= 124.900+ 15.772= 140.672m

R'= 140.672=193.618m ,por lo tanto,72'lan--2

G' = 2 etcsen 10 = 2'57'34.37" , entonces:e / 2(193.618)

L' = 10(72') = 243.280m • luego:e 2'57'34.37"

Abscisapr= K11+919.170+243.280= K12+ 162.450

Grado de curvatura: G'ec' T'

G'e = 2arcsen - ,R'= -Ll' ,r== T+PI.PI'2R' lan---

2

Ángulo: ¿J'

Como la nueva tangente de salida-es paralela a la antigua tangente desalida:!J'= Il == 72'0 .

~c'Se supone c'= 10m


Calcular:a) La ecuación de empalme de la vía 2 en la vía 1.b) La abscisa del punto C.

= KOtOOO= KOtOOO= N: 854.821,E: 815.961= N: 749.243,E: 946.064= N: 837.081:E: 966.562

Abscisa de AAbscisa de BCoordenadas de ACoordenadas de BCoordenadas de e

Datos:Para las dos vías de la Figura 3.31, se tiene:

EJEMPLO 3.16: Ecuación de empalme entre dos vías, curva a recia

K2 +006.896(vía2, atrás)'" K2+ 005.878(v/a1,adelante)

Una vez calculadas las abscisas por las difererncs vías, seigualarlas, resultando la ecuación de empalme así:

Ll (80')'1j = R, tan-t = 49 lan2 = 41.116m

.s.. (' ) ,p=180'-ó-~-Ll,=180'-25'-45'-80':30'senp sen Ó+~d= 1jsenp =41.116sen30·L21.877m

sen(ó+~) sen 25' + 45'

R2 = 62.993 = 44.108m110'tan--2

G 2 5 6'29'54.33' tel = arcsen2{44.108) , en onces,

I, 5(110') =84.636m ,por lo tanto:. 2 6'29'54.33'Abscisa(PT] = PT,) via 2 = K1+922.260+ 84.636= K2+ 006.896

, Rz =~ ,Tz '" T, + dlan___l

2

Gel= 2 arcsen ..EL2Rz

Abscisa: vía 2 (PTz=PT,)Abscisa(PT] = PT.1) vía2 = Abscisape + L2 el

L Z= ~Ll]e , . .1] =180' -Ó-~=180'-25' -45' =110'0

Gel

= 10(80') _~, 11"42'48.25'-68.298m I por lo tanto:

Abscisa(PT, = PTl) v/a 1= Kl +937.580+68.298= K2+ 005.878

Figura 3.30 Ecuación de empalmecurva a curva


Coordenadas del punto D:No =N...- AD eos a ,AD = APC, +PC,.D = 30.20 +39.80 = 70m

No = 854.821-70(cos 50'50'26.9r)= 810.712mEo= E...+ADsenaEo =815.961 +70(sen 50'56'26.97')= 870.316m

n I \Ec -Ea\ 1 1966.562-870.3161_74'40' '210'l' = arc an ._- = are an -_._-- - l' .Nc -No 837.081-810.712

DC =~(Ee -EoY + (Ne -NO)lOC = ~(966.562-870.316Y +(837.081-810.712y =99.793m

.1, =180' -50'56'26.97'-74'40'42.10' =54'22'50.93'1

Gel =2 arcsen _s_ R = l = 39.80 =77.474m2R, " ¡j, 54'22'50.93'

tan"2 tan 2

Gel = 2arcsen~ =7'24'2.26' ,Le! 10(54'22'50.93') =73.481m2\77.474) 7'24'2.26'

t IEa-EAl 11946.064-815.961150'56'2697"a = are an -- = are an =.Na-N... 749.243-854.821

- AB=~(EB-EJ+(Na-NS

AB = ~(946_064-815.961y + (749.243- 854_B21y =167.551m

El ángulo a define el rumbo del alineamiento AB y el ángulo f3 elrumbo del alineamiento OC.

Abscisa PT1 (vía 1)= Abscisa de A +APC, + Le'+PT,PT1 , donde,Abscisa de A = KO+ 000 , APC, = 30.20m

L., = c,.1, . e, = 10m ,¡j, = 180' - a - pGe,

Abscisa: PTl (vía 1)

al Ecuación de empalme

99CAPITULO 3. DISEÑOGEOMETRICO HORIZONTAL: PLANTA

•

__ o _-.- - .--------- .. ----------

Figura 3.32 'Ecuación de empalmecurva a recta


Solución:

Figura3.31 Ejemplo3.16

B


Figura3.33 Ejemplo 3.17

PI,

EJEMPLO 3.17: Ecuación de empalme entre una variante y

Datos: di'I F· 3 33 el proyecto de traza o por a vra anllgua.Para a Igura . , "b d excavaciones por lo cual iue nccesano proyectarpresenta a gran es ,

una variante con un mayor desano.lIo pe~o c?n ~1~nores ? .. T bié tiene que la distancia PI,. Plz es de 36_ metros.de tierra. am len se

CAPITULO 3. DISEÑO GEOMÉTRICO HORIZONTAL: PLANTA

Abscisa deC =Abscisa PTz(vía1)+ PTz.CPTz·C=OC- D.PT¡ = OC- Tz= 99.793 -88.400 =11.393mAbscisa de C =KO + 152.281+11.393= KO +163.674

Como la vía 2 empalma en la vía 1, entonces el punto C está sobre lavía 1:

b) Abscisa del punto C

KO+108.667(via 2,atrás)SiKO+152.281(vía1,adelante)

De esta manera, la ecuación de empalme es:

Por lo tanto:Abscisa PTz(vía 2)= KO+000+9.151 ~ 99.516 ~ KO+108.667

.11=G + (3 =50'56'26.97' +74'40'42.10'= 125'37'9.07' O

Gez=2 arcsení R =_!g_ = 88.40 =45.413m2Rz '1 tan .1] tan 125'37'9.07'

2 2

G 2 5 6'18'4137' I = 5(125'37'9.07') = 99.516mel = arcsen 2(45.413)= . , "-el 6'18'41.37'

Abscisa PTz (vía 2)= Abscisa de a+ a.pcz + Lez , donde,Abscisa de B=KO +000B.PCz =AB-A.PC, -PC1.D-D.PCz

= 167.551-30.200- 39.800-88.400 =9.151m

Abscisa: PTl (vía 2)

Por lo tanto:Abscisa PTz (vla 1)=KO+000+ 30.200+ 73.481+48.600 =KO+152.281

P7;.PTz=D.PTZ - D.P7; = TZ - r, = 88.40-39.80 = 48.600m


----.-,-- - .... _._------------~

Figura 3.34 Ecuaci6nde empalmeentre unavariante y una vía antigua

,103:CAPITULO 3. DiSEÑO GEOMETRICO HORIZONTAL: PLANTA

-~..- --_ ...~._-------

Distancia: P/',.P/'JA' PI',PI'JcoSu =--, PI',PI'2

PI"P/'J = 362(cos 53')= 217.857m

, entonces,Tangente de la curva 1': T',

T',=R', tan ~' ,LJ',=24' +29' =53'/

(53')T', = 62 tanT = 30.912m

Longitud de la curva 1: k,L,=:t.~'- ,c,=10m .LJ,=180'-29'-24'=127"/e Gc,

e 10Ge,=2arcsen-' = 2 arcsen--;;rc;;'¡= 9'15'4.68" • entonces,2R, - 2\62,

, = 10(127") = 137.278m'"<, 9'15' 4.68'

Abscisa: pe,Abscisape, = Ko+000

, donde,

a) Abscisa PT'J por la vía antigua

Como puede apreciarse en la Figura 3.34, el empalme de la variantecon la vía antigua tiene lugar en el PT'3. Por lo tanto, para determinarsu ecuación, es necesario calcular la abscisa de este punto por cadauna de las vías, así:

,_Solución:

Calcular:La ecuación de empalme de la variante sobre la vía antigua.


Datos:Las cuatro curvas dadas en la Figura 3.35 tienen la siguienteinformación:

EJEMPLO 3.18: Ecuación de empalme por desplazamiento paralelo de latangente común a dos curvas circulares

KO+ 703.044(véTiante, atrás) 9 KO + 464.047(vla a~ligua, adelante)

De esta manera la ecuación de empalme es:

Abscisa PT'J (variante) = KO+ 137.278+ 57.289+197.088 + 111.845+ 77.106 +122.438= KO +703.044

Por lo tanto:

Longitud de la curva )': L'eJ

L' = c') !J') , c'3 =: 10m • Ll')=: 90'1eJ G'e3

G' J =: 2arcsen ~ = 2arcsen _(1O_) = 7'21'2.35' , entonces,e 2R') 2 78

L' = 10(90') -122.438meJ 7'21'2.35'

p/,¡'pI'J = 362(sen 53' )= 289.106m , entonces,PT'z.PC'J = 289.106 -134 -78 =: 77.106m

A' PI'¡.P1'3,sen u I= PI',PI'¡.

G' z= 2 arcsen (5 ) =: 6'23'34.08' , entonces,e 2 44.836

L' =: 5(143') =:111.845me2 6'23'34.08'

CAPITULO3. DISEÑOGEOMETRICO HORIZONTAL:PI.ANTA

R' = __IL_ =~ = 44.836m'2 s 143'

tan2 tan-2 2

L' 1 = ~1~ ,e'l =Sm , Ll'l = 90' + Ll',= 90' +53' =143' Oe G'el

e'G',¡ =: 2 arcsen _22R'2

Longitud de la curva 2': L'e2

Distancia: PT',.PC'2PT',.PC'¡ =: PI','pl'z-T',-T'z = 362- 30.912 -134 = 197.08Bm

L' = 10(53') = 57.289m, e' 9'15'4.68'e',=c, =10m ,G'e,=G" =9'15'4.68'

Como se trata de la prolongación de la curva 1, tendrá la mismacurvatura, esto es:

Longitud de la curva 1': L'e'L' _ c', Ll',,,- G'"

Abscisa: PT,Abscisa PT, = Abscisa PC, + Le, =: Ka + 000 +137.278= KO + 137.278

Donde,

b) Abscisa PT'J por la variante

Abscisa PT'J (víaanligua) = KO+000+ 137.278+30.912 + 217.857+ 78.000=KO+464.047

Por lo tanto:

Tangente de la curva 3': T'3T'J = R'J = 78m


Figura 3.36 Ecuacióndeempalmepor desplazamientode la tangente común

,IIIIIIIIIIII

puede apreciarse en la Figura 3.36, el empalme de la nueva viula vía antigua tiene lugar en el PT'z sobre la tangente de salida de

segunda curva. Por lo tanto, es necesario calcular las abscisas depunto siguiendo los dos trazados, así.

107

.-- ----. ---~--------


.,0;,,,,' I

, ... ", ..., /, I

, IIIIIIt,,,,

II

.'II

Para la situación dada, el trazado inicial contemplaba las curvas deradio R, y Rz. Por problemas de construcción en el tramo de laentrctangencia, fue necesario desplazarlo paralelamente 24 metros,obteniéndose un nuevo trazado a través de las curvas de radios R', yR'z.

= R, = 40.950m= Rz= 104.210m= R']= Rz= P/'. Plz= 206m~j{4+224.450

Radio de la curva 1Radio de la curva 2Radio de la de la curva 2'Distancia del PI, al PlzAbscisa del pe,


Distancia: PT't.PC'¡·PT',PC'¡ =: PI',PI'¡-T',-T'¡ ,PI',Pt...,...PI,PI¡ +b+ e

tan26' =~ ,b = 24 tan26' ""11.706m24

tan42' = 24 .c = __3i_ =: 26.655mc tan42'

PI',.P!'¡=206+11.706+26.655 = 244.361m , entonces,

Longitud de la curva 1': L'"L' - TTR', Ll', ,f.', =116'OsI-~

R' -_IJ_,- f.'tan__l

2T',=TI+8 ,COS26,=24 ,a=_li_=26.702m

a cos26'1, = 65.534 +26.702= 92.236m

R',= 92.236 = 57.635m , entonces,116'tan-2

L' = TT(57.635p16' = 116.687m., 180'

Donde: rAbscisa: ·PC,AbscisaPC, = K4 +224.450

. AbscisaPI; (vía nueva)= AbscisaPC, +L',,+PT'I.PC'z+L',2

. b) Abscisa PI¡ 'por la vía nueva

AbscisaPT'¡ (vía antigua)= K4+ 224.450+ 82.907+ 100.464+ 76.390+35.867= K4+ 520.078

';'I~-:.-

Distancia: PrZ-PT'¡PT¡PT'¡ = PI¡.PT'¡-PI¡.PT¡ =: PI¡PT'¡-T¡PI¡.PT'l = Pt¡.pI'¡+Pl'z.PT'¡ = Plz.PI'¡+T'¡ , pero,

42' 24 P' 24sen =_..., ,1¡PI2=--=35.867mPI2PI¡ sen 42'

T'¡ = T¡ = 40.002m , ya que R'l =R¡ Y LI'¡= Ll1PI¡.PT'l =35.867 + 40.002= 75.869m , entonces,PT¡.PT'¡= 75 869 - 40.002=35.867m

Longitud de la curva 2: L'2

L ¡ = rrR¡Ll) = rr(1.~i.2_!_qy!2'= 76 390m'180' 180' .

Distancia: PT,.PClPT,PC¡ =PI,PI2 - T, - T¡ ,PII.PI¡ =206m

T, = R, tan ~' = 40.950(tan 11:' J = 65.534m

T¡=R¡ tan ~l ,Ll1 =42'1 .T1...=:104.210(lan 4~'J=40.002m ,entonces,

PT,PC¡ = 206 - 65.534 -40.002 =100.464m

Longitud de la curva 1: L"L = rrR,Ll,., 180' ' Ll,=116'O ,entonces,

L - :r_(40.950}t16' 82.907msI - 180'

Donde:Abscisa: PC,AbscisaPC, = K4 + 224.450

AbscisaPT'2(vía antigua)= AbscisaPC, + L" +PT,PC2+ L.2 + PT¡PT'¡

a) Abscisa PT'¡ por la vía antIgua

JAMES CÁRDENAS GR1SALES108

Figura 3.38 Ecuación de empalme por rotación de la tangente común

IIIIIIII

R, IO, ~

II

R' I.- ---------,--------~;\!


IIIIIIII

~~ __ -,R'-'-'__ --dO, ¡II

• I

~ --------~~-------~;

1"111CAPiTULO 3. DISEÑO GEOMETRICO HORIZONTAL: PLANT"

De acuerdo con la Figura 3.38, el empalme de la variante en la víaunligua tiene lugar en el PT'z. Por lo tanto, es necesario calcular lasnbsclsas dc este punto siguiendo ambos trazados, así:

Solucl6n:

Calcular:Lo ecuaclón de empalme de la variante en la vía antigua.

La tangente de entrada a la primera curva y la de salida de la segundacurva no carnbian de dirección. La tangente común cambia dedirección por su rotación alrededor del PT" lo que lo haceIndcsplol.nble

:: Rf:: 42.500m:: R2= 50.000m:: K2+930.420

Radio de la curva 1Radio de la curva 2Abscisa del pef

Datos:Además de la información dada en la Figura 3.37, para las cuatrocurvas se tiene:

EJEMPLO 3.19: Ecuación de empalme por rotación de la tangentecomún a dos curvas circulares

De esta manera la ecuación de empalme es:K4 + 529.650(víanueva,atrás) SiK4 + 520.078(víaanligua,adelante)

Por lo tanto:Abscisa PT' 2 (vía nueva) =K4+ 224.450+ 116.687 + 112.123+76.390

'" K4 +529.650

Longitud de la curva 2': L'.zL'.z = L,z = 76.390m , ya que R'r_Rz y {j'z = {jI

PT'j.PC'¡ = 244.361- 92.236- 40.002 = 112.123m


T'T', = R', sen70'40'= _J_l' T,

1',=59.951(sen70'40')= 56.570m= R:."cos70'40'= f .x = 59.951(COS70'40')= 19.848m,PC',PC, =56.570+ 19.848-59.951 = 16.467m • entonces,Abscisape', = K2+930.420-16.467 = K2+913.953

Donde:Abscisa: PC',AbscisaPC', =AbscisaPC, - PC',PC,PC',PC, =PC',PI, -PC,.?I, ,PC,.PI, =T,PC',PI, =PC',PI',+PI',PI, =T',+xPC',PC, =T',+x-T,

.1 (109'20')T, =R, lan1 = 42.500 lan-2- =59.951m

T' = R', lan~ .1', = 180' -70'40'-19'20'= 90'0, 2'

AbscisaPT'z(varianle)= AbscisaPC',+L',,+PT',.PC']+L"l

b) Abscisa PT'l por la variante

AbscisaPT'z(víaantigua)= K2+ 930.420+81.100+ 33.000+ 69.959+15.740= K3+130.219

'. Plz.Pl'] = 33+ T2

sen19'20' sen60'50'. PI PI' (33+ 42.079)sen19'20' =28.465m ,enlonce~,. ]. 1 sen60'50'PI1.PT']= 28.465+29.354=57.819m • igualmente,PTZPT'l = 57.819 - 42.079= 15.740m

l. DISEÑO GEOMÉTRICO IIORIZONTAL: PLANTA

Distancia: PhPT'2PT1.PT'1= Pll'pT'1-PI2.PTl = PI1.PT'z-T2PI1.PT'2= Plz'pI']+PI']·P¡T'2 = PI2Pl'z+T'l

.1 {80'10')T] = R 2 tan.....1..= 50.00 lan -- = 42.079m2 : 2,

T'z=R'] lan ~ ,R'l ¡::R2 = 50.000m2

.1'] = 180' -19'20'-~O'40'+29'lO')= 60'50' J

(60'50')T'z= 50.000 lan-2- = 29.354m

, entonces,

Longitud de la curva 2: L'l

L ="RA Ll =180'-70'40'-29'10'=80'10'1,2 180' '1

L = "(50.000)80'10' = 69.959m ~,2 180'

Distancia: PT,.PC2

PT,.PC] = 33.000m

Longitud de la curva 1: L"

I = !!.f?,!:, Ll =180' -70'40' = 109'20'O • entonces,...., 180' "

L = "(42.500)109'20' =81.100ms 180' .

Donde:Abscisa: PC,AbscisaPC, = K 2 +930.420

AbscisaPT'z(vía antigua)= AbscisaPC,+ L" + PT,.PC1+ L'l + PT1'pT'2

a) Abscisa PT'2por la vía antigua


Donde:Abscisa: pe,Abscisape, =K2 + 920.000

a} Abscisa (PT¡=PT'l)vía A

De acuerdo con la Figura 3.40, el empalme de la vía A en la via B tienelugar en el PT¡=PT'¡. Por lo tanto, las abscisas de este punto por cadauna de las vías es:

Solución:

Calcular:La ecuación de empalme de la víaA en la vía B.


= T2= tOO.OOOmTangente de la curva 2

115CAPITULO 3. DISEÑO GEOMETR'CO HORIZONTAL: PLANTA

= K2+920.000= K2+890.000= P/,.PI1= 200.000m= R, = 40.000m

Abscisa del pe,Abscisa del PC',Distancia del PI, al P/2Radio de la curva 1

Dalos:De acuerdo con la Figura 3.39, pura la vía A y la vía B también seconoce:

EJEMPLO 3.20: Ecuación de empalme entre dos vías inicialmenteparalelas

K3 + 111.263(variante,atrás) a K3 + 130.219(víaantigua,adelante)


Abscisa PT'¡ (variante) = K2 + 913.953+ 88.860+55.363 +53.087 = K3 + 111.263

Por lo tanto:

Longitud de la curva 2': L'.¡

L' = rr_~_~2_= 1!..(50.000'j50·50'=53.087m.2 180' 180'

Distancia: PT',.PC'lPT',.PC'l = PT', Pl'l-T'l

PT',PI'¡ = PIZ'pl'l ,PT' PI' = 28465(sen99'50'L84.717msen(70'40'+29'10') sen 19'20' '1 sen 19'20'PT',.PC'1= 84.717 - 29.354 = 55.363m

Longitud de la curva 1': L's'

L' - 11R',.11. A' 90' Ds, - 180' ' LJ, =

L' = 11(56.570)90'= 88.860m ,-s, 180'

JA~IES CARDr:NAS GRISALES114

Longitud de la curva 2': L',l

L' _rrR'1/l'2 R' -_!L_ ,T'1=T2-y=100.000-45.B83=54.117m,2- 180' ,,- .1'

lan__l2

Distancia: PT',.PC',PT','pC'l =PI','p1'2-T',-T', = (20.000+P/,'p/2 +x)-80.000-(T, - y)tan /l = 40.000 ,x = 40.000 = 22.478m

1 x tan60' 40'A _ 40.000 _ 40.000 _ 45 883sen ", - -- ,y - - . my sen60'40'

PT', 'pC'2= (20.000+ 200.000+22.478)- 80.000- (100.000- 45.883):: tOB.361m-,

Longitud de la curva 1': L'"

L' - rrR', /l', , pero 'por paralelas, /l',= /l, = 90'Os, - 180'R',=R,+40.000=40.000+40.000= SO.OOOm=T',

L' = rr(80.000)9o' 125.664m" 180'

Donde:Abscisa: PC',Abscisa PC',=K2+ 890.000

Abscisa(PT, = pr2) v/a8= AbscisaPC',+L'"+PT','pC',+L',,

b) Abscisa (PT;=prl) via 8

Abscisa(PT, = PT', ) víaA=K2+ 920.000+ 62.832 + 60.000+ 180.956= K3 +223.788

Por lo tanto:

L = rr(170.90t'YiO'40'= 180.956ms, 180'

CAPiTULO 3. DISEÑO GEOMÉTRICO HORIZONTAL: PLANTA

Longitud de la curva 2: L"L = rrRA .1 180' - 56'40'-62' 40'= 60'40' I.1 180' "rR,. T2 = _'0~.Oo.q_=170.901m2 /ll 60'40'lan~ lan---

2 2

Distancia: PT,.PC,PT,'pC1=PI,,Pll - T,- T2 ,PI,,PI, =200.000m ,T,=R, = 40.000mT,= 100.000m ,PT,'pC, = 200.000-40.000 -100.000 = 60.000m

Longitud de la curva 1: Ls'

L, = rrR,/l, /l =180' -33'20'-56'40'=90'0 , entonces,r 180' .,

L = !."_~·~qE)JO'= 62.832m" 180'

Figura 3.40 Ecuación de empalmeentre dos vias inicialmente paralelas

t

JAMES CÁRDENAS GRISAI.F.S116

, entonces:x=Ltan 6

Ahora, en el triángulo rectángulo PC.B.P, se tiene:BP ytan 6 = -- = - esto esPG.B x' ,

(3-16)y=R(1-cos26)

Pero, según la ecuación (3-12), If! =26. Entonces:

OA R- Y ycosfP=OP =R=1-'R ,esto es,y =R(1- cos cp)

En el triángulo rectángulo OAP:

Figura 3.41 Cálculo de unacurva circular simple por normales a la tangente

PI d

11 ')CAPiTULO J. DISEÑOGEOMETRICO HORIZONTAL: PLANTA

.'

Una generalización de este método consiste en hacer coincidir lospuntos P, ubicados sobre la curva, con las subcuerdas y las cuerdasunidad del método de las deflexiones. Por lo tanto los valores de x e ydeben ser:

(3-15)

De donde:

(Op)l == (OAr + (APY , esto es,R' ...(R_yY+x2,R-y=.JR2-X2

I!n el triángulo rectángulo OAP, se tiene:

Este método, según la Figura 3.41, consiste en calcular la normal y,dados el radio R, la distancia x y el ángulo LI, así:

o DESDE EL pe, o PT, POR NORMALES A LA TANGENTE

3.2.5 Otros métodos de cálculo y localización decurvas circulares simples

K3 + 223.78B(víaA, atrás) '" K3 +221.953(vía B,adelanfe)


AbsCisa(PT2 = PT2) vía 8 =K2 +890.000 +125.664 +108.361+97.928=K3 +221.953

Por lo tanto:....

L' = "(92.487)60'40' =97.928mI .2 180'R' = 54.117 =92.487m

2 60'40't8n--2

JAMI::SCÁRDENAS GRISAlESlIS

De esta manera, el procedimiento general para calcular y localizar elpunto P sobre la curva, consiste en darse un ángulo rp, (/J S¿J, para elcual con el radio R y el ángulo .1, se calcula el ángúlo a y la distanciaPI.P, según las ecuaciones (3-18) y (3-19) respectivamente.

(3-19)-.Luego:

, 2

PI.P=R~(tan} -sencp) + (1 -cos cpy

Ahora, en el triángulo rectángulo AP.PI, se tiene:(PI.Py = (APly + (APY , esto es,

PI.P= ~X2 + y2 = \fR2(tan % -sen cpJ~R2(1_cos cpy

Si arctan >O,entonces el ángulo a es del primer cuadranteSi arctan < O,entonces el ángulo a es del segundo cuadrante

(3-18)

Luego:

a=arcta{ _1r s.:1tan "2 -sencp

En el triángulo rectángulo OBP, se tiene:

eos cp= OB = R- Y = 1 _}'_ , y = R(1- cos cp)OP R RBP t ,«sencp=-=-- ,x=T-Rsencp ,pero,OP R.1T=Rtan - ,esto es,2

x = R tan% -R sen q¡ = R( tan%-sen cp) , por lo tanto,

tana= R(1-cos (ji ) = 1-cosq¡

,tan%-senq¡) tan·i-senq¡

1213. DISEÑO GEOMÉTRICO HORIZONTAL: PLANTA

En el triángulo rectángulo AP.PI, se tiene:AP l'lano=-=API x

Figura 3.42 Calculo de una curva circular simple desdeel PI

Este método, según la Figura 3.42, consiste en calcular el ángulo a yla distancia PI.P, dados el radio R, el ángulo .1 y el ángulo (/J, asi:

f) DESDE EL PI, POR DEFLEXIONES y DISTANCIAS

Se debe recordar que tS es el ángulo de deflexión correspondiente alpunto P sobre la curva y rp el ángulo central subtendido por la cuerdape.p. De esta manera pueden ser calculados x e y mediante las dosexpresiones anteriores, dadas por las ecuaciones (3-16) y (3-17).

(3-17)x = R(1-cos 2ó)

tanó

JAMESCÁRDENAS GRISALES120

Figura3.43 Curvacircular compuestade dos radios

o,

,, ', .elb.- ---- - o

_----------- e

Centro de la curva de mayor radio.Centro de la curva de menor radio.Ángulo de deflexión principal.Ángulo de deflexión principal de la curva de mayor radio.Ángulo de deflexión principal de la curva de menor radio.Tangente de la curva de mayor radio.

= Tangente de la curva de menor radio.= Tangente larga de la curva circular compuesta .= Tangente corta de la curva circular compuesta.

O,OzLILI,LbT,t.t.Te

123CAPiTULO 3. DISEl'IO GWMÉTRICO HORIZONTAL: PLANTA

Punto de intersección de las tangentes.Principio de la curva compuesta.Fin de la curva compuesta o principio de tangente.Punto común de curvas o punto de curvatura compuesta.Punto donde termina la primera curva circular simple yempieza la segunda.Radio de la curva de menor curvatura o mayor radio.Radio de la curva de mayor curvatura o menor radio.

PIpePTPCC

En la Figura 3.43 aparecen los diferentes elementos geométricos dclino curva circular compuesta de dos radios, definidos como:

3.3.1 Curvas circulares compuestas de dos radios

A pesar de que no son muy comunes, se pueden emplear en terrenosmontañosos, cuando se quiere que la carretera quede lo más ajustadaposible a la forma del terreno o topografía natural, lo cual reduce elmovimiento de tierras. También se pueden utilizar cuando existenlimitaciones de libertad en el diseño, como por ejemplo, en losaccesos a puentes, en los pasos a desnivel y en las intersecciones.

Las curvas circulares compuestas son aquellas que están formadas pordos o más curvas circulares simples.

,3.3 CURVAS CIRCULARES COMPUESTAS

Un método particular. consiste éi'i hacer coincidir los puntos sobre lacurva con las subcuerdas y cuerdas unidad del método de lasdeílcxioncs desde el PC. En este caso el ángulo (/J es igual a 28, donde.ses la dcflcxióu correspondiente al punto P desde el PC por el sistemasubcuerdas y cuerdas.

Estacionados en el PI y con ceros en la dirección del PC se deflecta el6naulo a y en la dirección de esta visual se mide la distancia PI.P,obteniéndose así el punto P sobre la curva.


Acimut alineamiento ABAcimut alineapiiento BC

Datos:Según la Figura 3.44, se tienen tres alineamientos rectos AB, BC y COcon la siguiente información: .

En el triángulo rectángulo PI,E.?T:EPT b bsen LI= -_ = - ,Te= --PI.?T Te sen LI

b=PC.A+BFPC.A=PC.O,- AO, = R, - Aa,

.....EJEMPLO 3.21: Elementos geométricos y deflexiones de una curvacircular compuesta de dos radios

----------------_._--- .._ .._----

Por lo tamo,TL =AB+O¡o-O¡C-PIET( =R, sen LI, + R¡ sen Ll-R¡ sen Ll, - Te cos LIT( = R¡sen Ll+ (R, - R¡)sen LI, - Tecos LI

(3-22)

En el triángulo rectángulo PI.E.?T:PI.E= PI.PTeos L1= Teces L1

En el triángulo rectángulo 01CB:o¡e =0lB sen L1, =R¡ sen LI, '

Igualmente:

T. -R A (R R)s Ll [R,-R¡COSLl-(R,-R¡J;OSLlI] A(- 1sen Ll + ,- 1 en 1 - COSLJsend

T. R1 sen1 Ll+ (R, - R¡)sen Ll sen L1,L = sen L1 +

-R, cos Ll+R¡ cos2Ll+ (R, - R¡)cos LlCOS L1IsenLl

T. - R¡ - R, cos L1+ (R, - R¡J;os Ll¡( - sen Ll

En el triángulo rectángulo OlD.PT:°20 = O]PT sim Ll= R2 sen Ll

(3-21)

En el triángulo rectángulo ABOI:AB =018 sen L1, ='R, sen L1,

Luego:

T. - R, - R¡ cosA.:.. (R, - R¡ J;os Ll,e - sen Ll

T( =PC.E - PIEPCE = a = AB + CD= AB+ (010 -o.c)

Entonces:b = R, - AO, + BC- PT.D=R, - RI COSLl, + R2 COSLl, - R2 COSLlb=R, -Rz cos Ll-(R, -R¡J;os dI

(3-20)

En el triángulo rectángulo Olo.PT:PT.o= 0l.PT cos LI =R1COS LI

Para la curva compuesta es necesario calcular la tangente larga Ic y latangente corta Te,así:

En el triángulo rectángulo ABO,:AO, =O,Bcos d, =R, cos .1,

BF=BC-PT.DLos elementos geométricos que caracterizan cada curva circularsimple se calculan en forma independiente en cada una de ellas,utilizando las expresiones para curvas circulares simples, deducidasanteriormente.

ICAPITULO l. DISEÑOGEOMETRICO HOIUZONTAL: PLANTA

JAMESCÁRDEt-IASGRISALES124

-----------------~._._..__ .

lL=T,+xTe=T1+y

Los valores de estas tangentes también pueden calcularse en funciónde las tangentes simples T, y TI y las distancias x e y, así:

Tangente corta: TeTe= R, -=~~eos .1-_(R,-'!!?'r:!!~.1

sen .1

Te= 76.BOO- 45.09Beo~ 112' - (~6yE.O_- 45.09B)cos]~ =72.706msen 112'

Luego:

T. 45.09B -76.BOO cos 112'+ (76.BOO- 45.09B)cos 78'l = .• --- --- = B6.77Bm

sen 112'

Donde:

Rl = ta:1.1z •.12=.1-.1, ,Tz=Be- T, =60.000 - T,2

.1=144' -32' =112'0 A =66,' -32' =34' •.11=112' -34' =78'

.1 (34')T, = Rr tani = 76.800 tallT = 234BOm

Tz =60.000 - 23.4BO= 36.520m , entonces,R1 = 36.5?_Q_= 45.09Bm

7B'tan -2

Tangente larga: t,T. _ Rz - R, cos .1+ (R, - R1)cOS.1,l - - ----- --_.-

sell.1

a) Tangentes larga y corta

Solución:

127CAPiTULO 3. DISEÑO GEOMÉTR ICO BORIZONTAL: PLANTA

_.- .- - ------------_-

Calculor:11) 1ns tangentes larga y corta de la curva compuesta.b) Las deflexiones de la curva compuesta.

Figuro 3.44 Ejemplo de una curva circular compuesta de dos radios

Los tres alineamientos deben unirse con una curva compuesta de dosradios (R,>R2), donde el tramo Be es la tangente común a las curvaslimpies.

= 144o= R,= 76.BOOm= e,= 10m= e2= 5m= KÓ+96B.OOO= Be = 60.000m

Acimut alineamiento CDRadio de In curva 1Cuerda unidad de la curva 1Cuerda unidad de la curva 2'Abscisa del PCDistancia de B a e

JAMES CÁRDENAS GRISAlES126

Deflexión por subcuerda adyacente· al: PCCLongitud subcuerda = 15 -13.542 = 1.458mDeflexiónpor subcuerda= 1,458m(O'38'8.02' / m)= 0'55'35.93'


Gel _ 6'21'20.24' _ 3'10'4012' / d ....,T---'f' .-- . cuer a


d; = Ge2 = 6'21'20.24' = 0'38'8.02' / m10 10

c 5Gel'" 2 arcsen_1 '" 2arcsen ;:;r;¡c--) = 6'21'20.24'2Rz 2\45.098

L = 5(78') = 61.363me2 6'21'20.24'

Abscisa PT = K1+013.542+61,363 =k1 +074.905

Segunda curva circular simple:

. iAbSCisa:PT 1Aquí el PCC es el punto inicial ~, la segunda curva y el PT su puntofinal. Entonces: .',Abscisa PT = Abscisa PCC+LeZ

I clll1 '"'<2=- ,c2=5m ,Llz=78Gel

Chequeo deflexión al: PCCDeflexión al PCC = Deflexión (por cuerdas completas+porsubcuerdas)Deflexiónal PCC = 4 cuerdas(3'43'58.20' / cuerda)+ 0'44'47.64'+1'19'19.81' I

Deflexi6nal PCC = 17'O'O.25':d7' =~f.

Deflexión por subcuerda adyacente al: PCCLongitud subcuerda =13.542 -10 = 3.542mDeflexiónpor subcuerda= 3.542m(O'22'23.82' / m)= 1'19'19.81'

. CAPiTULO3. DISEÑOGEOMÉTRICO HORI7.0NTA!.: PLANTA

----------_.- ..__ ._-

Deflexión por subcuerda adyacente al: PCLongitud subcuerda= 970 - 968 = 2.000mDeflexiónpor subcuerda = 2.000m(0·22'23.82'/ m)= O' 44'47.64'


Ge, _ 7'27'56.41" _ 3'43'5820" / d2 - - --2-- - . cuer a

Deflcxión por metro:

d;o= G;, = 7'2T56.41· =0'22'2382' / m20 20 .

Abscisa: PCCAbscisa PCC '" Abscisa PC +L.,I c,Lll 10 •"'<1 "'- ,c, = m ,Lll =34

Gel

Gel = 2 arcse,' _cL = 2 arcsen ~----)' = 7"27'56.41'2R, 2\76.800

1.. = _10(34~ - = 45.542m '1 7'27'56.41'

Abscisa PCC =KO+968 + 45.542 =K1+ 013.542

Primera curva circular simple:

b) Deflexiones de la curva compuesta

Entonces:TL = 23.480T 63.298 = 86. 778mTe = 36.520+ 36. 186 = 72.706m

_x_=_y_=~ ,BC=60.000msen Ilz sen Il, sen LI'Il'= 180' -Il = 180' -112' = 68'

X = 60.000s~n78' __63.298m 60.000sen34'sen 68' ,y = 36.186m

sen68'

JAMESCÁRDENASGRISALES128

Calcular:a) La ecuación de empalme de la vía 2 en la vía 1.b) La abscisa del punto C.c) Las coordenadas del punto C.


H

..~\o 's~

J

El punto F pertenece a la vía 2 y el punto 8 a la vía 1. La vía 2 empalmaen la vía 1. '

= R2= 31.200m= DE = 46.800m:::1OO.OOON, 100.0001::: K6+947.290= K4+742.530

Radio R2Distancia de D a ECoordenadas del punto FAbscisa de FAbscisa de 8

Datos:Además de la información dada en la Figura 3.45, se tiene:

EJEMPLO 3.22: Ecuación de empalm~ entre dos vias con curvascirculares simples y compuestas de dos radios

--------------------------------------.

131CAPiTULO 3. DISEÑOGEOMÉTRICO HORIZONTAL: PLANTA

I ESTACION ABSCISA OEFLEXIÓN ELEMENTOS ACIMUT ANOTACiONESKhl00090080

PT Kl«l74.90S 56"00'00.24' 144° <i' PT070 52°52'57.50'065 49"42'17.3S' 6=112°0060 46°31'37.26' 61 e 34°0055 43°20'57.14' 62 = 7s00

, OSO 40°1(Í'17.02' RI = 7S.8oom045 36°59'36.90' R¡ = 4S.09Sm040 33°4S'56.7S' el = 10m035 3003S'16.66' C¡=Sm030 27°27'36.54' GOl =7°27'56.41'

- 025 24°16'56.42' GOl =s021'20.24'020 21°06'16.30' Lel = 45.542m t~c015 17°SS'36.1S' Lc¡= 51.363m

PCC KI«l13.542 17"00'00.25' TI = 23.480m 66°010 15°40'40.44' TI = 36.520m

Kl<{)OO 11°56'42.24' TL = 86.17Sm990 OsoI2'44.04' Te =72.70Sm L" 980 04°2S'45.S4'970 00°44'47.64'

PC KO-+968.000 00·00'00' 32·960950

KO.j¡40

Tabla 3.6 Cartera de localización de la curva compuesta de dos radios

En la Tabla 3.6 se muestra la cartera de localización de la curvacompuesta de dos radios.

Chequeo de flexión al: PTDenexiónal PT = Dellexión (por cuerdas complelas+por subcuerdas)Denexiónal PT = 11cuerdas(3'W'40.12' I cuerda)+ 0'55'35.93" +3"7'2 74'

Denexiónal PT = 38·~9'59.99·'"39' = ~2

.....

Deflexión por subcuerda adyacente al: PTLongitud subcuerda = 74.905 -70 = 4.905mDeflexiónpor subcuerda = 4.905m(O'38'8.02' 1m) = 3'7'2.74'

JAM~S CARDENAS GRISALES130

I

Por lo tanto:. 'AbscisadeG (vía2)= K6 +947.290+ 34.215 = K6 +981.505

IArco: FG ~.'~G= I = TTRA _ TT(31.200)62'50'=34.215mI ...., 180' 180'

. .; Figura 3.46 Ecuación de empalmecon curvas circulares simples y compuestas

...

Abscisa deG (via 2) = Abscisade F +ArcoFG

Abscisa de G por la vía 2:

Por lo tanto:AbscisadeG (vial);: K4+ 742.530+ 37.414 = K4 + 779.944

Arco: BG

BG = TTR,a t. R tan a ,a = 2 are/an!L180' '1 =, '2 R,

Ll ,[ 62"50')T,=R,tani=31.20vltan-2- =19.057m

R, = T,.1, ,T, = DE - T, = 4II800-19.057 = 27.743mtan-

2R = 27.743 _= 79.817m a = 2 arc/an19.057= 26'51'24.94' .cnionces,'38'20' ' 79.817lan--

2BG = TT(79.817)26'51'24.94'=37.414m

180'

Abscisa de: BAbscisadeB =K 4 + 742.530

AbscisadeG (vía 1) = AbscisadeB +Arco BG

Abscisa de G por la vía 1:

El empalme tiene lugar en el punto G. Por lo tanto, es necesariocalcular la abscisa de este punto por cada una de las vías.

al Ecuaciónde empalme

Solución:De acuerdo con la Figura 3.46, se tiene:

JAMIlSC'\ROENAS GRISALESIn

------------------------------------

NJ =NF+FJcosAzFJNF = 100.000m ,FJ = Tc := 48.644m •AlFJ = 355'50'NJ = 100.000+ 48.644cos 355'50' =148.515mfJ = EF +FJ sen AZFJEJ := 100.000+ 48.644 sen355'50' = 96.466m

FJ:= Te= Rr -Rz cosLl-(Rr -Rz};osLlrsen Ll

FJ _ T _79.817 -31.200 cos 101'10'-(79.817 -31.200'"'os38'20'- 'e - -- -.... _. '" = 48 644msen 101'10' .JC = TL= R2 - .!3_r cos Ll + (~r - R¡};OS ~l

sen LlJC = T. = 31.200 -79:!!_17 C?S 101'10'+(79.817 - 31.200};os 62'50' _

L sen 101'10' - -70.184m

Se observa que FJ y JC son las tangentes corta y larga de la curvacompuesta de P/=J, PC=F, PT=C y Ll=Llr+Ll,.=38 ~O'+62 '50'= 101<>f0'.Por lotanto, de acuerdo con las ecuaciones (3-21) y (3-22), se tiene:

SegÚn el polí!!ono: FJC

N¿ = NE + fC cos AlECEC = 1', = 27.743m ,AlEC =58'40'+38'20' = 97'00'Nc =143.344 + 27.743 cos 97'00'= 139.963mEe = EE+ fC sen AzECEe =138.590+ 27.743 sen 91'00'= 166.126m

NE = No + DE cos AzOEDE = 46.800m ,AZOE= 62'50'-4'10':= 58'40'NE = 119.007 + 46.800cos 58'40' = 143.344mEE= Ea + DE sen AzOéEE= 98.615 + 46.800sen58'40' = 138.590m

13:'CAPiTULO 3. DISEÑO GEOMETRICO HORIZONTAL: PLANTA

... --------------_ ......

No=NF +FDcos AlFONF= 100.000m ,FD =T2 = 19.057m ,AzFO:= 360' -4'10' = 355'50'No:= 100.000+ 19.057cos 355'50'= 119.007mEo = EF+FD senAlFOEa := 100.000+ 19.057sen 355'50' = 98.615m

N PIJIITOFrllAL =N PUNTO INICIAL+Distancia ENTRE LOS PUNTOS (cos Acimut)E PUIITO FINAL=E PUNro INICIAL+Distancia ENTRE LOS PUNTOS (sen Acimut)

Las coordenadas de un punto final con referencia a un punto inicial secalculan como:

Según el polígono: FDEC

Las coordenadas se calcularán siguiendo el polígono FDEC y secomprobarán según el polígono .cJC.Por lo tanto:

b) Coordenadasdel punto e

Por lo tanto:AbscisadeC = K4 + 779:944+ 53.401=K4 + 833.345

Arco: GCGC =L = TTRr.LlI= TT(79.817)38'20'= 53.401m

si 180' 180'

Abscisa de: G (vía 1)AbscisadeG (vía 1) = K 4 + 779.944

b) Abscisadel punto eAbscisadeC = Abscisa deG (vla 1)+ ArcoGC

....K6 +981.505(via 2,atrás)a K4 +779. 944 (vía 1,adelante)

Luego, la ecuación de empalme es:


Por lo tanto, en [1]:

TL == R, sen Ll, - Rl sen Llr +Rl sen(ll, +.12)+ RJsen z- RJsen(.1r +.12)- Tecos LlTL= (Rr - R2 )sen .1,+ (R2 - RJ}Sfn(.1, +.12)+ RJ sen .1- Tecos Ll [2]

Figura 3.47 Elementosde unacurva '<l.r~ularcompuesta de tres radios

------ ------ ------

,,II,\\

,I,,,I

c'p

III,I

CAPITULO 3. DISEÑOGEOMÉTRICO 110R1ZONTA1.:Pl.ANTA 137

=> AH:; 0IH sen ll, :; R, sen III=> BH ee 0lH sen Ll1 :; Rz sen Ll,=> GO:; 020 sen(Ll1 + Llz) :; R2 sell(Llr + Llz)=> 03F:; OJ.PT sen Ll == RJ sen Ll=> OJE == OJOsen(Ll, +Ll2) == RJ sen(Ll, +Llz)=> PI.G == PIPT GOS Ll == Tecos Ll

Triángulo O,AHTriánguloOzBHt.riángulo OzGOTriángulo OJF_ PTTriimgulo OJEOTriángulo PI.G.PT

Los segmentos AH, BH, CD, OJF, OJE Y PI.G se determinan en lossiguientes triángulos rectángulos:

,1 == ,11+ ,1] + ,1,

1l == a - PI.G , donde,a ==AB+CO+EFAB:;AH-BHEF == OJF - OJE , entonces,1l :; AB +CO+ EF -PI.GTL :;AH-BH+CO+OJF-OJE-PI.G [[J

La figura 3.47 muestra una curva compuesta de tres radios delongitudes diferentes tal que R¡>Rz>RJ y de ángulos de deflexiónprincipal ¿J" ¿Jz y ¿JJ respectivamente. Los puntos H y O son los puntoscomunes a cada par de curvas circulares, o sea, [os dos PCC de lacurva compuesta. Para el cálculo y localización de [a curva circularcompuesta es necesario determinar la tangente larga TL y la tangentecorta Te, así:

3.3.2 Curvas circulares compuestas de tres radios

Ne :;NJ + JC cos AzJC

JC = TL :; 70.184m , AzJC :; 97'00'Ne = 148.515 +70.184cos 97'00' = 139.962mEr :; EJ + JC sen AzJC

Ec = 96.466 + 70.184 sen9raO':; 166.127m

~,,j,\Mf;S CÁRDENASGRISi\{.f;S

136

~ - t.~ I'-~l- I~ ."f~-."

139

TE=T, + x , donde,_x_ = T,~7]_!l' • esto cs,sena sen{1

TE :: T. + (!, :-T1 +_.I'_lsen~ , pero,I sen{1

_L = Tz+TJ

senLlJ sen p

Sin embargo, un caso más general es aquel en el cual .I'h'III/)/'<' el radiode la primera curva es R" el de la segunda R2 )' (;1 d..: la tercera R),cualquiera sean sus longitudes: como por ejemplo, el mostrado en laFigura 3.48. En esta situación, es más conveniente denominar lastangentes de la curva compuesta como tangente ele: entrada TE o dellado del PC y tangente de salida Is o del lado del PT. Dichas lang':III,,'Sse calculan así:

Las expresiones anteriores para Te y T: sólo son válidas bajo lacondición de que R,>R2>R¡, en ese orden.

(3-2-1)

Luego:T. _ RJ- R,_:as.1 +_(R,- R1)cas(Ll1+LlJb-_(~ - ~~)cos LlJL - sen Ll

T. _ ~'.- R2 ).~~~ Llsen Lll.+~? - RJ)sen Llsen{.1,+ Ll2) + R¡ sen/ Ll- R, cos a .L - sen .1

RJ C.9..~2t1+ (RI_:"~?).~?~~cas_Ll.0'_(RC~J)ca~ Llcas(.1, -t- D1)sen Ll

T. _ RJ(sen2.1 ....cas2Ll}::_R,cos Ll~R, - Rl )~~n_.1__sen ~I +cas Llcos Ll,) .;-L - sen Ll

(R2-~l~~_4~enl~, ~_~)+ cos z cas{Ll, + Llz)]senLl

T. - RJ(1)-R, cas.1+(~, -R2)COS_(Ll-LlI)+(~? ~J)cas[Ll-(Ll, + Ll?lIL - sen.1

CAPiTUl.O l. DISEÑO GEOMtTRICO HORIZONTAL: PLANTA

.__ --_ ...._----------

TL = {R, -Rz )senLl,+ (R2 - RJ)sen{Ll,+ ..12)+ RJsenLl-

[R! ..RJcas .1..{R, - R2)cos.1, - (R2-RJ)cos{il, + .1z)](cas .1)

sen Ll

La tangente larga TL se obtiene reemplazando la ecuación (3-23) en(2]:

(3-23)

Luego: .Te = R, - RJcas Ll- {R, - Rz)cas Ll, - (Rz - RJ~as(~c: Llz)

senLl

Por lo tanto, en [3]:Te:: t?! -R, cas Ll, +Rzcas Ll, :-R?_c9~_(A!~1!!5L~E~{~' +Ll?l: ..RJ..:asLl

sen Ll

=> AO, :: O,H cas Ll, = R, cas Ll,=> B02 :: 02H cos Ll, = R2 cos .1,=> CO2 :: O2°cos{Ll, + .12):: R2 cas{Ll, + Ll2)=> DE =OJD cos{Ll, + Ll2) =RJ cas(Ll, + Ll2)=> PT.F :: OJ.PT cas Ll :: RJ cas Ll

TriánguloO,AHTriángulo02BHTn'ánguJa02CDTriánguloOJEOTriánguloOJF.PT

Los segmentos AO" B02, C02, DE y PTF se determinan en los siguientestriángulos rectángulos:

G.PT b bsen .1:: -- :: - •Te:: .-- , donde,PI.PT Te sen .1

b = PC.A+BC +DJPe.A = PC.O, - Aa, :: R1 - AO,BC =B02 -C02

DJ:: DE -JE =DE -PT.FT. PC.A+BC+DJ _R,-AO,+B01-C02+DE-PT.F [3)e senLl - sen .1

La tangente corta Te, en el triá~~tllo rectángulo PI.G.PT, es:

JAMES CÁRDENAS GRISAL[!S138

(3-26)

141 .

(3-25)

! Dependiendo del valor de las longitudes de los radios Rt, Rz y RJ,en la:; Figura 3.49 se presentan las seis posibles configuraciones.

Los valores de las tangentes simples T" T2 y TJ se calculan en cadacurva como:. 11T, =R, tan_!.

2T2= R2 tan il2

2TJ = RJ tan ilJ

2

_[r. t. (T2+iJ)sen ilJX sen il, )a-,+z+ ( )--sen ilz + I1J sen il_b _ =T2"+TJ (T2+ TJ)senil2sen 112 sen p •b sen(il2 + ilJ)

Para la tangente de salida se tiene:

p = 180· - 11 •sen~ = sen(180·-1I)= sen il

CAPiTULO 3. DISEÑOGEOMETRICO HORIZONTAL:PLANTA

t,= T, +[T, +T, + (T2+ T~)se~~J.](S:!!3)senp sen~

p = 180· - (1I2+ 1I¡) •sen p = sen[180·- (1I2+ lIJ)]= sen(1I2+ lIJ)a:(lI,+l1J} .sena=sen(lIz+l1J)

Figura3.48 Casogeneralde una curva circular compuesta de tres radios


Figura 3.49 Casos de curvas circulares compuestas de tres radios

Tangente corta: TeSegún la ecuación (3-23):

Tangente larga: TtSegún la ecuación (3-24):Tl= RJ-.!!L~~:.(~I:!??)~~~l_+~J):(~¡.-R}~o~_ LlJ.

sen LlLlJ= .1- .11- Ll¡ = 80' - 30' - 29' = 21' DT. = 69-112 cos 80' + (112 - 87)COS(29' + 21')+ (87 - 69)cos 21' = 83.697ml sen 80'

Para trazar la curva se necesita conocer las tangentes larga y corta h )'Te, lo mismo que las tangentes simples TI, T¡y h Entonces:

a) Elementos geométricos para trazar la curva

Solución:

Calcular:a) Los elementos geométricos para trazar In curva.b) La abscisa del PT de la curva compuesta.

= 80'0= 30'0= 29'0= 112m= 87m= 69m

Datos:Para la curva compuesta de tres radios de la Figura 3.50. la ubscisa dc lpe es KO+OOO. También se conocen:

·EJEMPLO 3.23: Elementos geométricos de una curva circularcompuesta de tres radios

1·1.;CAPITULO 3. DI~E:;:lJ GEO~1I3TRJCU IJORIZON r..\I.: I'LN:T ..\JA~IES C'\RDENAS GRI5ALES142

Longitud de la segunda curva: Lsz_.

I = 11Rztl¡= "(87)29' = 44.035m... 2 180' 180'

Longitud de la primera curva: L"

I = 11RA = 11(112)30' =58.643m..., 180' 180'

Abscisa del PT =Abscisa del PC +L" + L.? + L'3

b) AbscisadelPT

Marcado el PI se mide el ángulo .1 y se identifican el PC y elmidiendo las tangentes T: y Te. El PI, se obtiene midiendo T,dirección de la tangente de entrada. Situados en el PI, se mide 'ángulo .1, y en esta dirección se mide T, y h quedando marcadosPCC, y el PII. Luego a partir del PI? se mide el ángulo dz y endirección se miden Tz y h quedando así marcados el PCC¡ y el PIJ., .Como chequeo, si el trazado se ha realizado con toda la precisión ~posible, el Pb deberá caer exactamente sobre la dirección de latangente de salida. Por último, se trazan normales en el PC, PCCr, PCC?y PT obteniéndose los centros O" o, y OJo

El trazado de dicha curva se realiza así:

Tangente de la tercera curva: TJLI 21'TJ=RJ tan ; =69 tan 2"= 12.788m

Tangente de la segunda curva: Tz¿l 29'Tz= Rz tan _.1 = 87 tan - =22.500m2 2

Tangente de la primera curva: T,6 30'T, =R, tan _!_ = 112 tan - =30.010m2 2

CAPiTULO J. DISEÑO GEOMÉTRICO HORIZONTAL: PLANTA

Figura 3.50 Ejemplo de una CUNacircular compuesta de tres radios

_ R, -RJ COS 6-(R,-R¡)c0S 6, -(R2 -RJ)cos(~ + 61)Te - sen 6

112 -69cos 80' - (112-87pos 30' - (87-69¡COS~~: ~ = 70.163mT. - .. - -- - ---- ---.-. - ..- ..----e - sen 80'

IM.IES CARI)ENAS GRISAI.ES14~

1·17

11

I

T3es la tangente de la curva circular simple de radio R3, cuyo valor es;

Te= !!.'_~~2ces ll'-(R, - R2J;os ll,sen /J'

TC = 124-71 C_OS 80' - (1_24_- '0.to.~24' = 64.229msen 80'

Te es la tangente corta de la curva compuesta de dos radios R, y R,. quesegún la ecuación (J·21) es:

_ (Te+ T¡)sen /JJ,y- ......_...._--sena

Distancia: y_Y_=!~..!!Jsen llJ sella

Tangente lama: t.Esta es la tangente larga de la curva compuesta de dos radios R, )' Rl.Según la ecuación (3-22), se tiene:Tl= R2 - R, ~9~§+(R, ~Ble~_~1

sen/J'R,=124m ,R¡=71m ,ll¡=56'O ,ll'=ll,+ll¡=24"+56'=8V'O

Tl = 71-124eos80' +(124-71J;os5~: =80.325msen 80'

Abscisa del: PIAbscisa del PI = K2+ 428.370

Abscisa del pe = Abscisa del PI· Tl - y • donde,

Abscisa del pe:


Solución:

Calcular:Las abscisas y coordenadas del pe y PT.

CAPiTULO3. DISEÑOGliOMETHICO IIORIZONTAl. I'I.ANT.\


\r>,

\

= 121<[)= 24<[)= 56 <[)= K2+428.370= 500N, 500E

L1LI,Ll2Abscisa del PICoordenadas del PI

Datos:Además de la información da en la Figura 3.51, también se conocen:

EJEMPLO 3.24: Elementos de curvas circulares compuestas de dos vtres radios

Luego:Abscisa del PT =Ka +000+58.643+ 44.035+25.290= Ka + 127.968

Longitud de la tercera curva: L'J

L = TTR,llJ= TT(69)21'= 25.290m,3 180' 180'

'_JAMESCÁRDENASGRISAlES146

149

. ,..'~

-.NpT = NPI +PI.PT cos AZPI.PT

PIPT "'x+ TJ

Coordenadas del PT:

NFe ,. NPI +PIPe cos AzPl.pcPI.PC = y.+ Tl = 80.351 + 80.325 '" 160.676m ,AzPI.pc = 360' -14' -180' = 166'NFe =500+ 160.676cos 166' =J44.097mEFe = EPI +PIPC sen AzPlPC

EFe =500+160.676sen166' = 538.871m

Coordenadás del pe:

Abscisa PT = K2 + 267.694+51.941+69.394+ 77.999=K2+467.028

Luego:

Longitud de la tercera curva: LsJL. = rrRJllJ = "(109)41" =77.999mJ 180' 180'

Longitud de la segunda curva: 42

I ,."R2L\2 = "(71)56' = 69.394m....2 180' 180' .

Longitud de la primera curva: L"L = "R,ll, = "(124)24' ,. 51.941mti 180' 180'

Abscisa del: peAbscisa del PC ,. K2 +267.694

Abscisa del PT =Abscisa del PC + L" + L'2 + L.J , donde,

Abscisa del PT:

i CAPITULO 3. DISEÑO GEOMÉTRICO HORIZONTAL: PLANTA

Abscisa pe ,. K2 + 428.370·80.325·80.351", K2 + 267.694

Luego:

41'TJ = 109 tan = 40.753m2 .0= 180' -ll = 180' -121' = 59' , por lo tanto.

y = (64.?2~+4E.:~~)se.~i"'"80.351msen 59'

.R¡ =109m ,L\J =L\-ll'=121' -80' =41'

Figura 3.52 Curvas circulares compuestas de dos y Ires radios

0,

PT ~

JMIES CARDENAS GR1SI\I.ES14~

." .'\ .

}' 1I'.~j,;¡

;; ~ l·..

, .

. U' '1

Donde:m Masa del vehículo.a = Aceleración radial, dirigida hacia el centro de curvatura.

F=ma

Cuando un vehículo circula sobre una curva horizontal, actúu sobre elunajuerza centrífuga F que tiende a desviarlo rndialmente hacia fuerade su trayectoria normal. La 'magnitud de esta fuerza es:

Con el propósito de proporcionar seguridad. eficiencia )' lIlI diseñobalanceado entre los elementos de la vía desde el punto .1..: vistageométrico yfislco, es fundamental estudiar la relación existente entrela velocidad y la curvatura.

Tabla 3.7 Radios para deflexiones pequeñas

Para ángulos de deflexión principal M6", en el caso de (fuo!no puedanevitarse curvas circulares simples, se recomienda utilizar las de losradios mínimos dados en la Tabla 3.7171.

3.4,1 Desplazamientode un vehículo sobre una curvacircular

r~~4 ESTABILIDAD EN LA MARCHA, PERALTE Y~ TRANSICiÓN

Ts = 40.753+[26.357 + 37.751+ (37.751+ 40.753)sen41' ]( sen 24'--,\ ,sen(56' + 41') se1l121')

(37.751+ 40.753)sen 56'sen(56' + 41' )

Ts = 161.367m

15 ICAPiTULO l. DISEÑOGEOMÉTRICO IIOI!lZONTAL: l'l.t\NTA

Igualmente, la tangente de salida Ts; de acuerdo a la ecuación (3-26),es:r. = T++T + (T,+TJ}sen tlJXsen !JI) + _(T,+ TJ}sen!J, , esto es,s J f 1 sen(!J, + !J,) sen tl sen(tlz + !JJ}

TE = T, + [TI + T2 + (T, +{, )sen )' ][ sen(tl, + !J,)] , donde,sen tl, + tlJ sen!J

!J 24"T, = R, tan _t = 124tan - = 26.357m2 2!J 56'T1= R, tan.::l = 71 tan - = 37.751m2 2tl 41'T, =RJ tan...l. = 109tan- = 40.753m , por lo tanto,2 2

1: = 26.357+[26.357 +37.751+ (37.751+ 40.753)sen41' Isen(56' + 41' )]E sen(56' + 41') sen 121'

Te = 160.675m

Para la curva compuesta de tres radios, la tangente de entrada Te, deacuerdo a la ecuación (3-25), es:

TE = pe.P1 = 160.676mTs = PI.PT = 161.368m

Los resultados anteriores arrojan los siguientes valores:

Chequeo de las tangentes de entrada y salida: hy I»

_X_=_y_ ,X=ysen!J' = 80.351sen80' = 120.615msen!J' sen !J3 sen!J3 sen 41'PI.PT =120.615 + 40.753=161.368m ,AZp¡.Pf = tl-14' =121-14 = 107'Npf = 500 +161.368 cos 10r = 452.821mEpf =Ep¡+ ~.PT senAzpl.Pf

Epf =500+1-51.368sen 107' = 654.317m

,_ JAMESCÁRDENASGRISALES150

En este caso, la fuerza resultante F+W acrüa en el sentido de la fuerzacentrífuga F.

Caso O: W,<Pp , Figura 3.55

En este. caso, la fuerza resultante F+Wes perpendicular a la superficiedel pavimento, Por lo tanto, la fuerza centrífuga F no es sentida en el

~vehículo. La velocidad a la cual se produce este efecto se le llamaveloadad de equilibrio.

Caso 6: Wp=Fp , Figura 3.54

La calzada es horizontal, esto es, no hay inclinación transversal y Falcanza su valor máximo F. P

Caso O: W,=O

Componentes normales al pavimento.Componentes paralelas al pavimento.

De ~ta .manera, dependiendo de la relación entre Wp y t,,se presentanlos sigurentes casos:

Las componentes normales y paralelas de las fuerzas W y F se defincomo: • en

Figura 3.53 Efecto de la inclinación transversal de la calzada sobre un vehlculocirculando en curva

w

153CApiTULO J. DISEÑO GEOMtrRICO HORIZONTAL: PLANTA

l'ara la situación anterior, las componentes normales de las fuerzas Wy F son siempre del mismo sentido y se suman. actuando hacia elpavimento. contribuyendo a la estabilidad dcl vehículo. Por elcontrario. las componentes paralelas de W)' F son de sentido opuesto ysu relación hace variar los efectos que se desarrollan en el vehículo.

Si sobre una curva horizontal de radlo R un vehículo circula a unavelocidad constante V, según la ecuación (3-27), el peso W y la fuerzacentrifuga F son también constantes, pero sus componentes en lasdirecciones normal y paralela al pavimento varían según la inclinaciónque tenga la calzada, tal como se aprecia en la Figura 3.53.

La única fuerza que se opone al deslizamiento lateral del vehículo esla.!itaza defriccián desarrollada entre las llantas y el pavimento. Estafuerza por sí sola. generalmente, no es suficiente para impedir eldeslizamiento transversal; por lo tanto, será necesario buscarle uncomplemento inclinando transversalmente la calzada. Dichainclinación se denomina pera/le.

En esta última expresión se puede ver que para un mismo radio R. lafuerza centrífuga F es mayor si la velocidad Ves mayor, por lo que el~((!C¡Oce,,¡r((IIf!,(I es más notable.

(J-'27)wvIF-gR

Por lo tanto:

Peso del vehículo.Aceleración de la gravedad.Velocidad del vehículo.Radio de la curva circular horizontal.

Donde:W9VR

Pero. la masa m y la aceleración radial 8 son iguales a:W VI

m= .8= .9 R

JAMr:S CÁRDENAS GR1S!\LI'S152

I.

(5)

,.j~I

I

Dependiendo de la relación entre las componentes y. l:1l1l10 se VIO

anteriormente, se plantea lo siguiente:

(3-28)e = tan 9

Existen dos fuerzas que se oponen al deslizamiento lutcrul lit: UII

vehículo, la componente Wp del peso y la fuerza de fricción uunsversuldesarrollada entre las llantas y el pavimento. lgualrnentc para ayudar aevitar este deslizamiento, se acostumbra en las curvas darle ciertainclinación transversal a la calzada. Esta inclinación denominadaperal/e, se simboliza con la letra B. Por lo tanto, de acuerdo con lasfiguras anteriores:

3.4.2 Velocidad,curvatura, peralte y fricción lateral

Figura 3.56 Caso Wp>Fp

En este caso, la fuerza resultante F+W actúa en el sentido contrario dela fuerza centrífuga F. Por lo tanto, el vehículo tiende u deslizarsehacia el interior de I¡¡ curva. Volcamieuto de este cuso ..:~ típico envehículos pesados.

Caso O: Wp>Fp , figura 3.56

CAPiTULO J. DISEÑO GEO~ltmuco IIORIZONTAI.: ¡'U\NTiI

Por lo tanto, el vehículo tiende a deslizarse hacia el exterior de lacurva, pues se origina un momento en sentido contrario al movimientocontrario a las agujas del reloj. Volcamiento de este caso es típico envehículos livianos.

Figura 3.55 Caso Wp<Fp

Figura 3.54 Caso Wp=Fp

..~._

J,\M!;S CÁRDENAS GRISi\L!;S154

(J.

(3

l':.(

-.La situación más común que se presenta en la práctica es aquella ecual la mayoría de los vehículos ci.rculan a velocidades superiores

Para el Caso 4, W¡>Fp, o lo que es lo mismo (Fp-Wp)<O, según la Fi¡I 3.56, par homología se llega a:; V2

8-(1'=- (3-127 R

Convirtiendo unidades:V28+fr =--

127R

reemplazando la ecuación (3-27):¡,w2

gif VI.TI' =-- - e=- - e •esto es,W gR

V1e+'r =-

gR

En la práctica para valores normales del peralte, la componentemuy pequeña c?mparada con la eomponente W., pOI' lo que se Idespreciar. Luego:

'1'= Fp - Wp F cos a~W sen a ~ f cos a _ W sen a = f.. -tan aW. wcosa Wcos9 wcosa W

F'r=--eW

Por lo tanto, denominando por (1'el coeficiente de fricción transvse tiene:Fp -Wp = (F.+W.)fr_Fp-Wp'1'----F.+W.

Pero también se sabe que:Fuerza de fricción = Fuerza norma/(Coeficiente de (ricción)

CApiTULO J. DISEÑOGEOMÉTRICOHORIZONTAL:PLANTA

...t........ ,

A velocidades diferentes a la de equilibrio:

Parn el Caso J, Wp<Fp, o lo que es lo mismo (Fp'Wp»O, en la figura) .55. se puede ver que:

La resultante paralela (Fp'Wp) actúa hacia la i.'lq:l~erda, por lo quedeberá ser resistida por una fuerza de Fricción tra~svers~l F,desarrollada entre las llantas y el pavimento y que actúa hacia laderecha. Esto es:Fp-Wp=F,

(3-30)

Donde el peralte e es adimcnsioual, la velocidad V2se expresa enKm/h, el radio R en metros, y 9 es igual a 9.31 m/seg. Por lo tanto,convirtiendo unidades se llega a:

VI Kml/hle = 9.BI-R (;;/ seg1 )m

e =: ~ (Kml /mIXsegl/1/XI000m/1 KmY(1 h/3600segf9.BIRVI

e= .-127 R

(3-29)

Reemplazando 1<15 ecuaciones (3-27) y (3-28):WVI

()_ gR . esto es,W

V'e=gR

Según la Figura 3.54. se tiene que:Wp =:FpWsen9=Fcos8

sene -= lana =: Fcosa W

A la velocidad de equilibrio:

JAMES CÁRDeNAS GRISALES156

A aquellas curvas con radios mayores que el radio mínimo, se les debeasignar un peralte menor en forma tal que la circulación sea cómoda,tanto para los vehículos lentos como para los rápidos.

Según el Manual de Diseño Geométrico para Carreteras del lnstituroNacional de Víasf7l, en la Tabla 3.8 se presentan los radios mínimosabsolutos Rmln, calculados con la ecuación (3-34), para las velocidadesespecíficas indicadas V., los peraltes máximos recomendados e".u y loscoeficientes de fricción transversal máximos fTmix.

(3-3·1)

En otras palabras, el radio mínimo R.o." es el límite par u una velocidadespecífica V. dada del vehículo, calculado a partir del peralte máximoem.u y del coeficiente de fricción transversal máximo fr."", según laecuación (3-32), como:

Por tanto, para cada velocidad de operación o específica V, se adoptaun coeficiente de fricción transversal rnovilizable que sea seguro encondiciones críticas fTm~" como son pavimento mojado y estadodesgastado de las llantas, y un peralte suficiente em•t, obteniendo así elradio Rmin de la curva que genera la fuerza centrífuga que se puedecontrarrestar con estos valores seleccionados.

Cuando un vehículo circula por una curva horizontal se le debepermitir recorrerla con seguridad y comodidad a la velocidad deoperación o específica por la qlle opte al afrontarla. La seguridad seintroduce en el diseño garantizando la estabilidad del vehículo ante "1fuerza centrífuga que tiende u desequilibrarlo hacia el exterior de lacurva, oponiéndose a ella el peralte o inclinación transversal de lacalzada y la fricción transversal movilizada entre las llantas y elpavimento.

ejemplo. estableciendo el peralte correspondiente a una curva de 1111

determinado radio con base en su velocidad específica y no en funciónde la velocidad de diseño que puede llegar a ser muy inferior,

(APITUI.O l. DIS¡;};,) GCOMéTRICO IIOKIZüNT.-\L.PL.-\)';T.-\

Entonces, existirá toda una sucesión de velocidades específicasasociadas a cada uno de los elementos geométricos, no pudiendo sernunca inferiores a la velocidad de diseño del tramo. Diseñando con lasdiferentes velocidades especificas siempre se mantendrán los •márgenes de seguridad y comodidad dentro de cada elemento. Por

Por lo tanto, la velocidad específica de lin elemento de diseño, es lamáxima velocidad que'. puede mantenerse a lo largo del elementoconsiderado aisladamente, en condiciones de seguridad y comodidad,cuando encontrándose el pavimento húmedo y las llantas en buenestado; las condiciones meteorológicas, del tránsito y las regulacionesson tales que no imponen limitaciones a la velocidad.

Como una primera aproximación a las velocidades de operación sepueden emplear las ve/Deidades específicas de cada uno de loselementos geométricos, por ejemplo, de curvas en planta, siendo éstaslas velocidades inferidas de las características geométricas resultantescon base en. los. mismos criterios de seguridad y comodidadconsiderados para la aplicación de la velocidad de diseño. Es decir,que la velocidad específica de una determinada curva con radiosuperior al mínimo correspondiente a la velocidad de diseño deltramo, será equivalente a la velocidad de diseño que tuviera asociadoese radio como mínimo.

Aunque la velocidad de diseño o de proyecto siga siendo el parámetrobásico e inicial del diseñ¿ ....geométrico. seleccionada estrechamentecon las condiciones físicas de la vía y su entorno y, por tanto, con elnivel de velocidad alque van a desear operar los conductores, y quecondiciona las características mínimas de los parámetros geométricos,no se puede seguir suponiendo que los conductores van a conducirsiempre sus vehículos manteniendo esa velocidad, por lo que hay queestimar las velocidades de operación que pueden llegar a desarrollar alo largo de cada uno de los elementos del alineamiento, diseñándolosen correspondencia con ellas y así garantizar la seguridad ycomodidad de los usuarios de la carretera.

velocidad de equilibrio. En este sentido, para efectos de diseño. laexpresión más utilizada es la de la ecuación (3-32) para el Caso 3.

JA~IESC,\RDENASGRISi\LES158

161

------------.~.-------------------------

Figura 3.57 Relaci6n Peralte-Radio y Velocidad específica- Radiolf_Ilu_NaclcNlillVIa. _do DisoJIoGoom6fricopnc.r.{",...Bogatt 199&1.

• o

, I , ,, , , ,, I , ,, I , ,, , I ,¡ i i ¡ i ¡ ,, f , 4 J 1

Porall. (X)-.

"\.

~~_r~--~-+--r--r~--+----------+----~~~,~~~r__r~--~_+--r__r_4--+_--------~------~~~~r_~~--+__+--~~~--+_--------~-------'\~~

~~+-~~-r-+-+~~r-------~------~\

: L_L __!__N.~ L : ~ 1 L 1 _L__LL__~---:_--L--N_--: J t : L _I /1 I I I I I ''"''''-; I I I I: /.-- ~ .o .. ~ :.. __ ~ __ ~ : ~ ~ __ ~ I_ ! :- _

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Y--:N...-L_{ .. ' ~ -'- .. J_ - __ '- _

1000JOO100100600$00

.00 :!~oo :S

~zoo

100JO101010

so40

JO

20

r~I~~~'!.0~~I~JO~~I~Z~O~I~I~0~~'00~~JÉO~~'EO~~'~0~~6~0~~$~O~~.!O~~~~,-10Q()

~,~--+---~--~--~--~--~---r---+---+---+--~--~6_~ ~'r_--+---~--~--~--~--~--~--~---k---k--~--~.OQ()

~'L---+---~--~--~---r--~---r---?:~~-+:---+--~--~~r 'j/f J_... ' ,~~--+---7---~--~--~--~--~!~--~'--~'--~--~--~1000!:::~I:I:{::I lit I 1 I t I I I--- t--- -:---- t- - --:--- -t -- - ' - --+- --¡---- r---i-- --~---I I I I I I 1 I 1 : I :~ __ ...... __ ~ ... .... 1... .J I'- T -4

r_

, ,

V./oc/dad Elpocfflca (Km/h)

CMÍTULO l. DISEROGEOMÉTRICOHORIZONTAL:PLANTA

l

Así mismo, la sección transversal de la calzada sobre un alineamientocurvo tendrá una inclinación asociada con el peralte, el cual tiene porobjeto, como se vio anteriormente, facilitar el desplazamiento segurode los vehículos sin peligros de deslizamientos.

La sección transversal de la calzada sobre un alineamiento recto tieneuna inclinación comúnmente llamada bombeo normal, el cual tienepor objeto facilitar el drenaje o escurrimiento de las aguas lluviaslateralmente hacia las cunetas. El valor del bombeo dependerá del tipode superficie y de la intensidad de las lluvias en la zona del proyecto,variando del 1% al 4%.

3.4.3 Transición del peralte

El ábaco de la Figura 3.57 establece una relación única entre loselementos de diseño: radio, peralte y velocidad. Permite obtener elperalte e y el radio R para una curva que se desee diseñar para unavelocidad específica V. determinada. Igualmente permite establecer elperalte e y la velocidad específica V. para una curva que se deseediseñar con un radio R dado.

6.5 0.1267.0 0.1337.5 0.1418.0 0.1498.0 0.157

Tabla 3.8 Radios minimos absolutos

J.\.\IES e \RI>FN \~ UllIS.\I.f:S160

En la Figura 3.59, aparecen las mitades de las secciones transversalesen bombeo y en peralte, lo mismo que el perfil parcial de la transición,donde se observa:

Por comodidad y apariencia, se recomienda que la longitud del tramodonde se realiza la transición del peralte debe ser tal que la pendientelongitudinal de los bordes relativa a la pendiente longitudinal del ejede la vía no debe ser mayor que un valor m. En este sentido, m sedefine como la máxima diferencia algebraica entre las pendienteslongitudinales de los bordes de la calzada y el eje de la misma. LaTabla 3.9 presenta los valores máximos y mínimos recomendados deesta diferencia en función de la velocidad especificar".

En términos generales, en las curvas circulares, con tramos sin espiral.la transición del peralte se desarrolla una parte en I¡¡ tangente y la otraen la curva, exigiéndose en el pe y en el PT de la misma entre un 60%y un 80% del peralte total, prefiriéndose valores promedio de esterango.

Figura 3.58 Transición del peralte

1(,3

La longitud de transición L, por simplicidad, se considera de.sdeaquella sección transversal donde el carril exterior se encuen~a a nivelo no tiene bombeo, hasta aquella sección donde la calzada llene t~dosu peralte e completo. La longitud de aplanamiento N es la longitudnecesaria para que el carril exterior pierda su bombeo o se aplane.

L., Longitud de transición.N Longitud de aplanamiento.L Longitud de la curva circular.e Peralte necesario de la curva circular.

La Figura 3.58, muestra en forma esquemática y tridimensional, latransición del peralte de una curva circular, rotando la calzadaalrededor de su eje central, donde:

Para realizar la transición del bombeo al peralte, pueden utilizarse tresprocedimientos: 1) Rotando la calzadaalrededor de su eje central. 2)Rotando la calzada alrededor de su borde interior. 3) Rotando lacalzada alrededor de su borde exterior. El primer procedimiento es elmás conveniente, ya que los desniveles relativos de los bordes conrespecto al eje son uniformes, produciendo un desarrollo másarmónico y con menos distorsión de los bordes de la calzada.

Si para el diseño de las curvas horizontales se emplean curvasespirales de transición, las cuales se estudiarán más adelante: latransición del peraltado se efectúa junto con la curvatura de la espiral.Cuando sólo se dispone de curvas circulares, se acostumbra a realizaruna parte de la transición en la recta y la otra parte sobre la curva. Seha encontrado empíricamente que la transición del peralte puedeintroducirse dentro de la curva hasta en un 50%, siempre que por lomenos la tercera parte central de la longitud de la curva circular quedeCOIl el peralte completo.

Para pasar de una sección transversal con bombeo normal a otra conperal le, es necesario realizar un cambio de incl~nación de la calzada.Este cambio no puede realizarse bruscamente. SIOO gradualmente a lolargo de la vía entre este par de secciones. A este tramo de la vía se lellama transicionde peraltado,

JAMES C,\ROENAS GRISALES162

165

...._-.

Calcular:Los elementos, las abscisas y la posicién de los bordes con respecto aleje en aquellas secciones importantes en la transición del peralte de

Velocidad específica = 60 KmIhRadio de la curva = RmínDeflexión al PI = ¿I = 106"30'0Cuerda unidad = c = 10mAbscisa del PI = K6+582.930Ancho de la calzada = 7.30m (dos carriles)Bombeo normal = 2%Transición = 70% en recta

Datos:Para el diseño de una curva circular simple en una carretera principalde una calzada, se dispone de la siguiente información:

EJEMPLO3.25: Abscisas y posición de los bordes en la transición deiperalte de una curva circular simple

(3-36)

Pero, AF =Carril(Bombeo). entonces,N = Carril(Bombeo)

m

-=-AF m

En el triángulo rectángulo AFB:N 1

(3-35)

Pero, B'G= L, Y E'G=Carril(e), entonces,L, = Carril(e)

m

En el triángulo rectángulo B'E'G:B'G 1E'G=ñi

CAPiTULO 3 DISE:\:O GEO:-'IETRICO HOR1ZO:-<TAI.: PL ..INTA

-- - ------------------

Figura 3.59 Secciones transversales y perfil parcial de la transición del peralte

.l'------..._-----! '0" 0.0 .1 ,,_m."tU .,. V~y-

IIIIIci~ ...!J! -íIIIII

'e-

....... AJA'Y::J eoml (Bomb••)

L-c~

0.1(calril)80 0.5090 048100 O,4S110 0.42

1 -;.12=::O__ -~_-_-_ ---0.40--130 0.40140 0.40150 0.40

60 06470 0.55---

SO 0.77

30___ 1.28-40 0.96

V. Kmlh MAXIMA % MINlMA r~~\

PENDIENTE REtA TIVA DE LOS BORDES CONRESPECTO AL EJE DE LA V(A

m

Valores máximos y minimos de la pendiente relativa de los bordes de lacalzada con respecto al eje

VELOCIDADESPECiFICA

Tabla 3.9

J"~II'S CARI)E:-<AS GRIS r\I.ES16-1

-

Abscisa donde el peralte es igual al bombeo: sección e-c-e'Abscisa =Abscisa sección b - b'-b' +NAbscisa = K6 + 390.294+ 11.406 = K6 +401.700

Abscisa donde el carril exterior se aplana: sección b-b'-b"Abscisa =Abscisa PC - O.71.,Abscisa = K6 + 422,231- 0.7(45.625) = K6 +390.294

Abscisa donde termina el bombeo normal: sección a-a-a'Abscisa = Abscisa pe -O. 71., - NAbscisa =K6 + 422.231- O,7(45,625)-11.406 = K6 + 378.888

b) Abscisas en secciones importantes de la transición -.' -

Para una mejor comprensión en el cálculo de estas abscisas <:srecomendable realizar un dibujo en planta de: la curva, que muestre susrespectivas tangentes y la transición del peralte, tal C0l110 lo representala Figura 3.60, para la cual:

De acuerdo con la ecuación (3-36):Carri/(Bombeo) = 3,65m(2.0%) = 11.406m

N m 0.64%

Longitud de aplanamiento: N

De acuerdo con la ecuación (3-35):_ Carrit(em.u) = 3.65m(8.0%) = 45.625m

L, - m 0.64%

Longitud de transiciÓn: L,

Según la Tabla 3.9, para una velocidad especifica oe 60 Km/h, yutilizando el valor máximo. se tiene que:m=0.64%.

Pendiente relativa de los bord.::s:m

167CAPITULO 3.U1SENO GEO;l.IE1'KiC()IIORIz'üN'I AL. PL..\NT ..\

Abscisa del: PTAbscisa del PT = Abscisa del pe +Le =K6 + 422.231+222.989 = K6 +645.220

Abscisa del: PCAbscisa del PC = Abscisa del PI- T = K6 + 582.930-160.699 = K6 + 422.231

Longitud de la curva: Le= cL1 = 10(106'30')_

L. Ge 4'46'33,71' -222.989m

Grado de curvatura: Ge

c 10G. = 2 arcsen -- = 2 arcsen~) = 4'46'33.71"2Rmm 2,120)

Tangente: T

L1 J 106'30'JT =Rtan2"= 12vltan-2- =160.699m

También de acuerdo con la Tabla' 3.8, para una velocidad específicade 60 Km/h, su valor es:ema. =8.0% ~.

Peralte máximo: emU

Como se tiene una curva de radio mínimo, según la Tabla 3.8, parauna velocidad específica de 60 Krn/h, su valor es:Rmin=120m

Radio mínimo: Rmin

al Elementos

Solución:

esta curva, tanto a la entrada como a la salida, si la rotación de lacalzada se realiza alrededor del eje,

¡A,\IES C,\ROENASGRISALE~166

169

= 50 KmIh= Rmin

Velocidad específicaRadio de la curva

-.Datos:En el diseño de una curva circular simple de una carretera secundaria,se conoce:

EJEMPLO 3.26: Abscisas y cotas de los bordes en la transición delperalte de una curva circular simple

aa'= aa'= 3.65(0.020)= 0.073m = 7.30cmbb'= bb'= 3.65(0.000) =O.OOOm=O.OOcmcc'= cc'= 3.65(0.020) = 0.073m = 7.30cmdd' =dd' = 3.65(0.056) = 0.204m = 20.44cmee'=ee'= 3.65(0.OBO)=0.292m = 29.20cm

Figura 3.61 Perfil longitudinal de la transición del peralte

: .. <> ~..... ~1 9.. ..

=i

ª! ~I ~ ......,+ ++ ::.. :: ::'"

CAPiTULOl. OISE:':OGEO~!I~TRICOIIORI20~T·\L: PLA:-.ITA

Las diferencias de altura entre los bordes y el eje en las respectivassecciones, se calculan multiplicando el ancho del carril por el peral/erespectivo en cada una de ellas, así:

La posición de los bordes exterior e interior con respecto al eje en lassecciones importantes, se aprecia muy bien dibujando un perfil deellos. como lo muestra la Figura 3.61.

e) Posición de los bordes con respecto al eje

Figura 3.60 Planta de la transición del peralte

Abscisa donde empieza el peralte máximo: sección e·e'·e"Abscisa = Abscisa PC +0.3l.,Abscisa =K6 + 422.231+0.3(45.625)= K6 + 435.919

J..\\II:S C.iROFN,\S GRISM.F.S168

Cola de E = CotadeF ·FECotaF =CotaPC.0.08(0..8lr -N)Cota F = 1500.000 - 0.08(30.338 - 9.481) = 1498.331mFE = Carril (Peralte ) = 3.65(0.02) = 0.073m , por lo tanto,Cotade E = 1498.331-0.073 = 149B.258m

e) Cota borde interior, punto E

Para determinar el peralte e'. se observa que el triángulo BCD ..:ssemejante al triángulo a.APC. Entonces:PC.A 0.8lr--=--CD 1.0lr

CD = Carri/(em1x)

Cca~r((e') ) = 0.8 •e' = 0..8(emb ) = 0.8(B%) = 6.4% , por lo tanto.ami em1x

PC.A = 3.65(0..064) = 0.234m , luego.Cola de A = 1500..000+0.234 = 150.0..234m

Cota del punto: AColade A = CotaPC +PC.APC.A = Carri/(Pera/te) = 3.65(e')

Para el cálculo de cotas y abscisas, es recomendable dibujar UIl pcrtilparcial de la transición del peralte, tal C0l110 se ilustra en I:t l·i~llI.,3.62, para la cual:

b) Cota borde exterior sección del pe

Longitud de aplanamiento: NN = Carri/(Bombe~) = 3.65_m(2.0.~) = 9.481m

m 0.77%

Longitud de transición: L,

~ = q_a!~i1e..J = 3.:.6~~.0:~~)= 37.922mm 0.77%

171CAPiTUl.O 3.DISEÑOGI:OME'I'IIICO HOKIZONT..\L: 1'1.,\,',,1..\

Según la Tabla 3.9, para una velocidad específica de SO Km/h, yutilizando el valor máximo, se tiene que:m = 0.77%

Pendiente relativa de los bordes: m

También de acuerdo con la Tabla 3.8, para una velocidad específicade 50 Km/h, su valor es:em,. =8.0%

Peralte máximo: emb

Según la Tabla 3.8, -para una velocidad específica de SO Km/h, suvalor es:R",~ =80m

Radio mínimo: Rmln

a) Longitud de transición y aplanamiento

SQlución:

Calcular:a) La longitud de transición y el aplanamiento.b) La cota del borde exterior en la sección del PC.e) La cota del borde interior donde toda la calzada tiene un peralte

igual al bombeo.d) La abscisa y las cotas del borde exterior e interior donde empieza

el peralte máximo.

TransiciónPendiente longitudinal del eje de la vía

= K4+320.470= 1500.000m= 7.30m (dos carriles)= 2%= 80% en recta= +8%

Abscisa del PCCota del PCAncho de la calzadaBombeo normal

JAMES CAROC:-JAS GRISALES170

173

Según la Tabla 3.9, para una velocídad específica de 76 Km/h, Yutilizando el valor máximo, se tiene que, interpolando:m=O.52%


En el ábaco de la Figura 3.57, a una curva de radio R=200m, lecorresponde una velocidad específica de V.=76 KmIh y un peralte dee=7.7%.

a) longitud de transición y aplanamiento

Solución:

Calcular:a) La longitud de transición y el aplanamiento.b) Si el-tercio central de la curva con el peralte completo e tiene una

longitud mayor que L,/3.e) La cota del borde interior 16 metros antes del pe.d) Las cotas del borde exterior 14 y 45 metros después del PC.

= ¿I = 14"20'D=R=200m= 2%=500,000m=-4%= 7.30m (dos carriles)= 70% en recIa

Deflexión al PIRadio de la curvaBombeo normalCota del eje al final del bombeo normalPendiente longitudinal del eje de la víaAncho de la calzadaTransición

Datos:En el diseño de una curva circular simple se dispone de la siguienteinformación:

EJEMPLO 3.27: Cotas de los bordes en secciones especificas de latransición del peralte de una curva circular simple

CAPITUl.O J DISEÑOGEOMrrrRtCO t tORI7.0:-:T.\I.: PLANT"j·fl......

Cota borde interior:ColadeG =Cola de D -DG .DG = DC =0.292mColadeG = 1500,607 -0.292 = 1500.315m

Cota borde eXlerior:CotadeC = Cota de D +DCDC = Carril(e/Oj,) = 3,65(0.08)= 0.292mCola de D = Cola PC +0,08(7.584) = 1500,000 + 0,607 = 1500,607mColadeC = 1500.607 + 0.292 = 1500.899m

Abscisa:Abscisa = Abscisa Pe +0.2L,Abscisa = K4 + 320.470 + 7.584 =K4~+~2B,054.

Abscisa y cotas para em'ld)

Figura 3.62 Perfil parcial de la transición del peralte

OXI r-2X

I,

, \~IES (AH()I.:-',\~ (.¡HIS,\I,ES17:!

Según la Figura 3.63, la cota que se quiere calcular es la del punto A.Cola de A = Cola deS-BAColado B = 500.000-0.04(N +N + x)N ¡.X+16 = O.7L, ,x = 37.834-14.038 -16 = 7.796mColada 8 = 500.000-0.04(14.038 + 14.038+ 7.796)= 498.565m

el Cota del borde interior 16 metros antes del pe

Puede observarse que, el tercio centralde la curva con todo el peraltetiene una longitud de 17.604 metros, mayor que la tercera parte de lalongitud de la curva. que es de 16.678 metros.

La parle central de la curva con todo el peralte del 7.7% tiene unalongitud de:L,-O.6L, =SO.033-32.429= 17.604m

Longitud de la curva con todo el peralte del 7.7%:

30% por el lado del pe y 30% por el lado del pr, para un total de:O.6L, =0.6(54.048) =32.429m

Longitud de la curva consumida en transición:

L, ~ =16.678m3

Lon!!itud de la curva: LsL = rrRtl = "(200)14'20' = 50.033m'180· 180'

b) Chequeo del tercio central de la curva

Cota del punto: GCola deG = Cola deS -0.04(16 +14),+ Carri/(e')

d) Cotas del borde exterior 14 y 30 metros después del pe

Para calcular el peralte e' correspondiente a esta sección, en lostriángulos semejantes CE.PC y COS, se tiene:OS N+x--=--

E.PC 0.7L,Carri/(e') 14.038 + 7.796 ,e' = 3.111% , enlonces,

Carril(5.39%) 37.834BA = 3.65(0.03111)= 0.114m ,por lo tanto,Cola de A = 498.565 -0.114 = 498.451m

SA =Carri/(Pera/le) =3.65(e')

Figura 3.63 Cotas de los bordes en secciones especificas

14.038m

Longitud de aplanamiento;'foj'N.,. Carril(Bombeo) = 3.65m(2.0%)

m 0.52%

Longitud de transición: LIL, .,. qarri/(e) = 3:65m(7.7%) =54.048m

m 0.52%

17:'CAPITULO 3. OISEÑO(¡EO~11inuco IIOI~t,-l)N r,\l..I·I.,I~;r,11701

177

al Cotas borde derecho e izquierdo en la abscisa K6+005

En la Figura 3.64 se muestra el perfil longitudinal de las transicionesentre las dos curvas, con sus peraltes, abscisas y puntos de cotas.

Longitudes de aplanamiento: NI. N2N =N = Carril(BombeO) 3.65m(2.0%) -14.600m12m 0.50%

Longitudes de transición: Gr. LrlL" =Carril(e,) = 3.65m(a.0%) = 58.400m

m 0.50%L 2 = Carril(el) = 3.65m(7.5%) = 54. 750m, m 0.50%

Según la Tabla 3.9, a una velocidad específica V.,=70 KmIh lecorresponde un mmu,=O.55%, y a una velocidad específica Ver80KmIh unmIAixE0.50%. Igualmente, para ambas velocidades el valor mínimo esmmin=O.1(Carril)=0.1(J.65)=0.J65%. Por lo tanto, para uniforrnizar el diseñose adopta el valor de m=0.50% para ambas curvas, valor que seencuentra en el rango de los valores máximos y mínimos de lapendiente relativa de los bordes.

Pendiente relativa de los bordes:m

De acuerdo con la Tabla 3.8. a la primera curva de R,=170m kcorresponde un peralte e,=8.0% y una velocidad específica V.,=70 Km/h,y a la segunda curva de Rz=235m le corresponde un peralte e2"7.5% yuna velocidad específica V.z=80 Km/h.

Peraltes: er. el

Antes de calcular las cotas y abscisas pedidas..es necesario conocerlos peraltes, la pendiente relativa de los bordes, y las longitudes detransición y aplanamiento:

Solución:

CAPiTULO J. DISENO GEOMÉTRICO HORllO~TAl: f'LANTA

a) La cota del borde derecho e izquierdo en la abscisa K6+005.b) La abscisa de aquella sección en la cual se ha logrado un peralte

del 3% en el desarrollo de la transición de la segunda curva.e) La cota del borde derecho e izquierdo para la sección del pelo

Calcular:

= 70~fen-recIados curvas existe una longitud de 1S

,.

=R,=170m= Rl" 235m:: K5+992.000

.. "1000.000m= 7.30m (dos carriles)=2%= -5%

Radio de la curva 1Radio de la curva 2Abscisa del PT,Cota del PT,Ancho de la calzadaBombeo normalPendiente longitudinal del eje de la víaTransición para ambas curvasEntre las transiciones de lasmetros en bombeo normal.

Datos:Se trata de las transiciones de dos curvas izquierdas, para las cuales setienen los siguientes elementos:

EJEMPLO 3.28: Transición del peralte entre curvas de igual sentido

Como puede observarse en el perfil anterior, la sección que contiene elpunto H se encuentra en el tercio central de la curva. ~Icual posee unperalte del 7.7%. Entonces:Cota de H = Cota de 8-0.04(16 + 30) + Carrí/(0.077)Cota de H = 498.565 -0.04(16 + 30) + 3.65(0.077) = 497.006m

Cota del punto: H

e' 37.834 + 14__ - .e'::7.385%7.7% - 37.834+16.214Cola de G :: 498.565 -o 04(16 +14) + 3.65(0.07385) = 497.635m

176

Figura 3.65 Peraltado en curvas de diferente sentido

= 500.000m= +6%

Cota al eje en el PT,Pendiente longitudinal del eje de la vía


EJEMPLO 3.29: Transición del peralte entre curvas de sentido contrario-----------~.~_ ..- -

Cota borde izquierdo = cota del punto: DCola deC = 1000.000 - 005(40.880+ 14.600 + 15+ 14.600 + 38,325)- 36.5(00.125)Cola de D :: 991638m

Cota borde dc::recho = cota del pUIllO:CColadeC = Cola del PT, -0.05(0.7L" + N, + 15+ Nz +0. nf2)'" Carri/(0,0525)Cola deC:: 1000,000 -0.05(40.880 + 14,600 -1- 15+ 14.600 +38,325)+ 3.65(0,0525)Cola de C :: 994.021m

el Colas bordes derecho e izquierdo seccióndel pe¡

17\1CAPiTULO J. U1SEJ\:Uccousnoco HORIZONTAL: 1'1..·\,\11"

Abscisa =? = Abscisa PT, + 0.7LH +N, +15+Nz +xAbscisa =? = K5 + 992.000+ 40.880 + 14.600+ 15+ 14.600 + x

x 3%5 750 =-7. ,x =21.900m4. .5%Abscisa =?:: K5 + 992.000 +40.880 + 14.600 + 15 +14.600 + 21.900Abscisa = ? = K6 +098.980

b) Abscisa para peralte del 3%en la segunda curva

Cota borde izquierdo = cota del punto: BCola de B = 1000.000 -0.05(13)- 3.65(0.03819) = 999.211m

Cota borde derecho = cota del punto: ACola de A= Cola del PT, -0.05(13)+Carri/(e',)

.!L= 27.880 e' = 3.819%8.0% 58.400 ' I

Cola de A = 1000.000-0.05(13)+3.65(0.03819)= 999.489m

Figura 3.64 Colas de bordes y abscisas en secciones especificas

178

181

Para el cálculo de esta cota es necesario identificar esta sección en elperfil y calcular su peralte:

Cola de B =Cola de C = Cola del PTt + 0.06(0. lLi!)Cola de B = Cola deC = 500.000+ 0.OS(21.292) =501.278m.,__._.-b) Cola borde derecho en la abscisa K2+175

Cota de los puntos: Ay BEn este caso, tanto el borde derecho como el izquierdo están a lamisma altura, por lo que la sección es plana (del 0%).

Cota del punto: ACota de A= Cola del PTr - 0.06(0.3Lu)- Carril(et)Cola de A = 500.000-0.06(9. 125)-3.65(0.08} = 499. 161m

Figura 3.66 Cotas de bordes en secciones especificas

De acuerdo con el perfil de los bordes de la Figura 3.66, se tiene:

a) Cotas en los puntos A, B y e

CAPiTULO J_ DISE:>;O GEOMETRICO HORIZONTAL: I'I.A¡>;T,\

Longitudes de transición al: PTt y PCzEnreclaalPTr =O.7Ltt = O. 7(30.417} = 21.292mEn curva al PTt =0.3L,t =0.3(30.417)=9.125mEn recta al PCz = O.7L,z = 0.7(30.417)= 21.292mEn curva al PCz = 0.3Ltl = 0.3(30.417) = 9.125m

Peraltes al: PTr y PCzAIPT, = 0.7 e, =0.7(8.0%)=5.6%AIPCz -ci», =0.7(8.0%)=5.6%

1, ... ,J

Longitudes de transición: Lrt, L,z

L_ Carri/(et) _ Carril(ez) 365m(8.0%)

,,--------=L'I =30.417mm m 0.96% -

..'Según la Tabla 3.9, a una velocidad especifica V.,=30 KmIh kcorresponde un mm•.r=1.28%,y a una velocidad específica V.z=40 Kmlh unmm~,z=0.96%. Para uniformizar el diseño se adopta el valor de m=0.96%para ambas curvas.


De acuerdo con la Tabla 3.8, a la primera curva de Rr=30m lecorresponde un peralte e,=8.0% y una velocidad especifica V.,=30 Knvh,)' a la segunda curva de Rz=50m le corresponde también un peraltee¡=8.0% para una velocidad especifica V.¡=40 Km/h.

Peraltes: e, , el

Para el cálculo de las cotas es necesario tener los peral les y lasrespectivas longitudes de transición:

Solución:

Calcular:a) Las cotas en los puntos A,By C.b) La cota del borde derecho en la abscisa K2+175.

J,\~IF.S C\ROI':-;,IS GRISAI.ESISO

----~---._-, .•_- -~~- .... \.", .• ,.._............ '.-"......~.r-- ..:~ ....- .._~ -

Longitudes de aplanamiento: N, , N¡N, = Carri/(Bombeo) = 3. 65m(2.0% ) = 15.208m

m, 0.48%

Longitudes de transición: LII, L'1L" = Carri/(e,) = 3. 65m(7.0% ) _ 53. 229m

m, 0.48%

L - Carri/(e¡) _ 3.65m(8.0%) 5309111 - - . mm, 0.55%

Según la Tabla 3.9, a una velocidad específica V.,=90 Km/h kcorresponde un mma,,=0.48%, y a una velocidad especifica V,F70 Km/h unmm.lxrO.55%.

Pendientes relativas de los bordes: m" m¡

Antes de calcular la abscisa y las cotas respectivas, es necesario hallarlos valores correspondientes a las longitudes dI:! transición yaplanamiento:

Solución:

Figura 3.67 Peraltado en curvas de diferente sentido, con cambios de pendiente

b) La cota del borde derecho e izquierdo en la abscisa K2+175.e) La cota del borde derecho e izquierdo en la abscisa K2+258.

IX;CAJ'¡ rULO J. IlISEÑO (jE()~,ni(Il'\) HOR'¿l,¡NT,II. 1'1..\1"1,\

··ji•~"-

-- ..- _--_.. ~- -~--_._~---~--_,.-----

Calcular:a) La abscisa de la sección con peralte del 3% en la primera.

Transición = 20% en curvasCota al eje en el PT, = 500.000mEn el punto A la pendiente del eje pasa del +6.0% al +5.5%.

:: V" = 90 Km/h:: V.l= 70 Km/h:: e,= 7.0%:: el= 8.0%= 2%

Velocidad específica de la primera curvaVelocidad específica de la segunda curvaPeralte de la primera curvaPeralte de la segunda curvaBombeo normal


EJEMPLO 3.30: Transición del peralte entre curvas de sentido contrariocon cambios de pendiente

-------------------

La COla a calcular correspondiente al punto E de abscisa K2+175, estáentre las abscisas K2+171.124 y K2+180.249.x = Absicisa dada-Abscisa PC, =K2 + 175 -K2 + 171.124 = 3.876m

.!1.. "" 21.292 + x = 21.292 + 3.876 , = 6 619%8% 21.292 + 9.125 21.292+ 9.125 ,e, . Q

CotadeE =Cota de8+0.06(0.7L" + x)+ Carri/(e',)Cola de E = 501.278 + 0.06(21.292 +3. 876)+ 3.65(0.06619) = 503.030m

Cota del punto: E

Abscisa del punto: OAbscisa de0= Absicisa PC, + 0.3L"Abscisa de 0= K2 + 171.124+ 9.125 = K2 + 180.249

'....

Aluda del: PC2AbIcIB. PC, " Absicisa P~ +O.n" +o.lL'lAbfcis,PC, = K2 + 128.540+ 21.292+21..292 = K2 + 171.124

tU

185

Cota borde izquierdo. punto: ECota de E =CotadeD-2Carril(ez) ....,Cota de E = 508.862 -7.30(0.08) = 508.278m

Cota borde derecho, punto: OCota de0= Cota de A+0.055(5.000 + 4.454 +13.273 +53.091 + 12.182)+

3.6S(0.08)Cota de A = Cota del PT, +0.05(62.160) = 500.000+ 3.730 = 503.730mColada 0= 503.730 + 0.055(5.000 + 4.454+ 13.273+S3.091 + 12.182)+

3.65(0.08)Cota de O = 50B.862m

Lo que quiere decir entonces que la abscisa K2+258 está a 12.182m másadelante. Si sc supone que ella se encuentra aún en el tercio central dela segunda curva, necesariamente la calzada deberá tener un peraltedel 8%. Por lo tanto, las cotas serán:

Abscisa (al el = 8%) = Abscisa del PCz +0.20L'2Abscisa(aJ el = 8%)=K2 + 235.200+ 10.618 = K2 + 245.818

Para conocer la posición de esta abscisa, es necesario calcular laabscisa de la sección donde empieza el peralte completo del 8% en lasegunda curva:

e) Cotas borde derecho e izquierdoen la abscisa K2+258

Cola de B = Cota del PT, +0.06(62. 160) + 0.05S(S.000)-Carril(Bombeo)Cota de B = SOO.OOO+ 0.06(62.160)+ 0.OSS(S.000)-3. 65(0.02) = S03.932m

Lo que quiere decir que la abscisa correspondiente al K2+175 está entrelas secciones A-A y C-C, con los bordes a la misma altura según elpunto B.

Abscisa sección C -C = Abscisa del PC¡ -0.BL'2 -N¡Abscisa sección C -C =K2 + 235.200 - 42.473 -13.273 =K2 + 179.454

cAriTULO J DISEli:OGEO'\IETRICO 1I0RIZO~T,\L: PI.ANT.\

Es necesario hallar la abscisa de la sección c-e:

b) Cotas borde derecho e izquierdoen la abscisa K2+175

Abscisa al 3% = Abscisa del PT, + xx _ 53229m ,x=I9.771m

5.6%-3% 7%Abscisa a13% = K2 + 107.840 -+- 19771 = K2 + 127.611

.. .' ... _....Abscisas y cotas de bordes en secciones especificasFigura 3.68

7X S.6X JX 2X OX -2X -2X ox

~Ia I ·1 i~IIJ".."~I ~ iH¿I~ j"'(_1:",e '+í~l-...,1'" ul ....

De acuerdo con el perfil de transición mostrado en la Figura 3.68, laabscisa es:

a) Abscisa de la sección con 3%de peralte en la primeracurva

Nz = Carril(Bombeo)"", 3.65m(2.0%)"", 13.273mmz 0.55%

18·1

isérvese que entre las dos curvas la diferencia en las velocidadesiecíficas es de 13 Km/h, menor a 20 Km//¡; mayor valor recomendador el Manual de Diseño Geométrico para Carreteras del tnsriuuoicional de Víasf71,

el ábaco de In Figura 3.57, para un radio R,=300m se obtiene un:alte e,=7.08% y una velocidad especifica V.,=89 Km/h, )' para UIl radio:200m se obtiene un peralte e?,,7,62% y una velocidad especifica=76 Km/h.

rallcs y velocidades cspeciticas: e, , el, V." VeZ

ngitudcs de las curvas: L", L'1= I1R,Ll, = 11(300)30' = 157.080m

180' 180'

= I1R1Llz = 11(200)50' = 174,533m180' 180'

H!.entes:T(. h i.. TeII (30" '.

: R, tanz; '"300l tan- I= 80 385m2 2 )

Ll (50' J=R?tanf'" 200 tanT =93.262m

R1 -R, cas Ll+ (R, - R1 )cas ¡jIsen Ll

= 200 - 300 cas 80' + (300 - 200f;a5 50' '" 215.458msen80'

R, - R1 cas ¡j - (R, - R1)cas Llsen Ll

300-200cos80' -(300-200)cos30· = 181.424msen 80'

Elementos

ución:

'lTULO J, D1SE:':o (;E(l,\lElRH':() II( \í(¡/,(J~'I \1 1'1..1,\, r \

Figura 3.69 Peralte en una curva compuesta de dos radios

Calcular:Los elementos, las abscisas y la posición de los bordes con respecto al ,eje en aquellas secciones importantes, si la rotación de la calzada serealiza alrededor de éste.

= K2+420= 3.65m= 2%= 70% al pe, PCC y PT

Abscisa del PIAncho del carrilBombeo normalTransición

Además de la información dada en la Figura 3.69. se tiene:'_Datos:

EJEMPLO 3.31: Transición del peralte de una curva compuesta de dosradios

186

189

Abscisa donde termina el bombeo normal. primera curva:Abscisa = Abscisa PC - O.7Lu - N,Abscisa =K2 + 204.542 -37.687 -15.208 = K2 +151.647

Abscisa del: PT .Abscisa PT =Abscisa PCC +Lsl =K2 + 361.622+ 174.533 = K2 +536.155

Abscisa del: PCCAbscisa PCC =Abscisa PC + L,! =K2 + 204.542 + 157,080 =K2 + 361.622

Abscisa del: PCAbscisa PC = Abscisa PI- TL =K2 + 420 - 215.458 = K2 + 204.542

Figura3.70 Perfil del peralteenunacurvacompuestadedos radios

..... .............,= 1.OU"'--J...,--

1.08% 7.'2".' 7.'2:11:1.04X

Las abscisas y la posición de los bordes se muestran de manera parcialen el esquema de la Figura 3.70, los cuales se calculan así:

b) Abscisas y posición de los bordes

CAPiTULO 3 DISEÑOGEOl.1ETRICO I!ORIZÜ~T,\L: PL\NT,\

L, _ Carrll(e,-e,) = 3.65m(7.62% -7.08%) = 4.106m=cc m 0.48%

En la curva de mayor radio =O. n;pcc = 0.7{4.106)= 2.874mEn la curva de menor radio = 0.3LlPcc = 0.3{4.106) = 1.232m

Longitud de transición al: PCCEs necesario calcular una longitud de transición para pasar de unperalte del 7.08% al 7.62% y realizar la repartición 70% y 30% alrededordel PCC.

Longitudes de transición al: PC y PTEnrecIa al PC =o.n" = 0.7(53.838)= 37.687mEn curva al PC = 0.3L" = 0.3(53.838)= 16.151mEn recia al PT = O.7La = O. 7(57.944) = 40.561mEn curva al PT = 0.3La = 0.3(57.944) = 17,383m

Peraltes al: PC y PTAIPC=07e, =0.7(7.08%)=4.96%Al PT = 0.7ez = 07(7.62%) = 5.33%

Longitudes de aplanamiento: N, , N¡N =N _ Carrll(Bombeo) _ 3.65m(2.0%) =15208,¡ m 0,48% ,m

Longitudes de transición: L,¡ , L'2

LCarri/(e,) 3.65m(7,08%)" = --- = = 53838m

m 0.48%L,¡ = Carri/(e¡) 3.65m(7.62%) =S7.944m

m 0.48%

Según la Tabla 3.9, a una velocidad especifica V.r:::89 Kmlh lecorresponde un mmiJ,=0.48%, y a una velocidad específica V.¡:::76KmIh unmmi.z=0.52%. Para uniforrnizar la pendiente de los bordes. y por tratarsede valores máximos, se adopta el valor de m=0.48%.


!SS

Pero la experiencia demuestra que los conductores, sobre todoaquellos que circulan por el carril exterior, por comodidad tienden acortar la curva circular, como se .aprecia en la Figura 3.73.describiendo trayectorias no circulares e invadiendo el carril delsentido opuesto, en carreteras de dos carriles dos sentidos, con elconsiguiente peligro potencial de accidentes. Realmente, estastrayectorias no circulares se generan debido a que [os vehículos al

Eventualmente, también en los trazados, se empalman los tramosrectos con curvas circulares compuestas de dos o I1l:1S radios. En 1:1Figura 3.72 se muestran dos casos muy comunes de curvascompuestas, como lo son las de dos y tres radios respectivamente.

Tradicionalmente en nuestro medio se ha utilizado y se seguiráutilizando en muchos proyectos, el trazado convencional donde sólose emplean tramos rectos empalmados con arcos circulares simple»,En estos diseños, la curvatura pasa bruscamente de cero en la recta aun valor constante 1/R en la curva circular de radio R, tal como semuestra en la Figura 3.71.

Como se estableció amerionnente, el ulinecunienu, c:II plunt« de unavía consiste en el desarrollo geométrico de la proyección de su ejesobre un plano horizontal. Dicho alineamiento está formado portramos rectos (tangentes) enlazados con curvas (circulares simples,circulares compuestas y espirales de transición).

3,5.1 Generalidades

3.5 CURVAS ESPIRALES DETRANSICiÓN

, por lo tanto,

Peralte en el PCC: e'e'= 7.08% + Y_Y_"J62% -7.08% =0.38%2.874 4.106e'= 7.08% +0.38% = 7.46%

1'11CAPiTULO J. DISEKO GEU~IÉTRICO IIORIL(J:-;T,\I. I':_'\:o. IA

Abscisa donde termina el peralte completo. segunda curva:Abscisa:: Abscisa PCC +0.3LtPCC

Abscisa = K2 + 361.622+ 1.232= K2 + 362.854

Abscisa donde empieza el peralte completo, segunda curva:Abscisa = Abscisa PT -0.3L(2Abscisa:: K2 +536.155 -17.383", K2 +518.772

Abscisa donde el peralte es igual al bombeo. segunda curva:Abscisa =Abscisa del peralle cero - N,Abscisa = K2 +576.716 -15.208 = K2 + 561.508

Abscisa donde el carril exterior se aplana, segunda curva:Abscisa'" Abscisa PT +0.7L11Abscisa = K2 + 536.155+ 40.561 = K2 + 576.716

Abscisa donde empieza el bombeo normal, segunda curva:Abscisa = Abscisa PT +O. lLa + N 1

Abscisa = K2 + 536.155+ 40.561 + 15.208 = K2 +591.924

Abscisa donde termina el peraltc completo. primera curV:l:Abscisa = Abscisa PCC - O. lL,pccAbsoisa = K2 + 361.622 - 2.874 = K2 + 358.748

t\bscjsa donde empieza el peralte completo. primer:! curva:Abscisa =Abscisa PC + 0.3LIIAbscisa .. K2 + 204.542 + 16.151:: K2 + 220.693

Absclsn donde el peralte es-igual al bombeo. primera curva:Abscisa 1:: At1scisa del peralle cero +N,AOscisa = K2 + 166.855+ 15.208 = K2 + 182.063

Abscisa <:lOndeel carril exterior se aplana. primera curva:AblC/sa '" AbScisa PC - O.lL"Absclsa:= 1(2+204.542-37.687 :: K2 + 166.855

M.\IES C\RDENAS GRIS,llES19()

Por estas razones, se hace necesario emplear una curva de transiciónentre el tramo en recta y la curva circular sin que la trayectoria delvehículo experimente cambios bruscos, pasando paulatinamente delradio infinito de la alineación recta (etrrvatoraeero) al radio constantede la alineación circular (curvatura finita), al mismo tiempo que lainclinación de la calzada cambi; gradualmente del bombeo en la recta

Lo anterior sugiere que cuando un vehículo pase de un tramo en rectaa otro en curva circular, requiere hacerlo en forma gradual, en lo querespecta al cambio de dirección, al cambio de inclinación transversal ya la ampliación necesaria de la calzada.

entrar en la curva circular experimentan la fuerza centrífuga quetiende a desviarlos de su carril de circulación, por lo que susconductores instintivamente maniobran sus vehículos tratando deevitar la incomodidad y contrarrestando la fuerza centrífuga, a travésde la ocupación del carril de la dirección contraria, lo cual como eslógico representa peligro de choque con otro vehículo, especialmenteen condiciones de poca visibilidad y en presencia de radios pequeños.

Figura 3.73 Trayectoria de los vehiculos en una curva circular

193CAPITULO 3 OISF.:\:0GEO~I(;TRICO 1I0RIZO:-T.\I.: P'-"~TA

Figura 3.72 Curvatura en el enlace de tramos rectos con curvas circularescompuestas

I/R, .yl':;R1 ?prI II I

e "~ "~,ft, ----~ ¡t,.) ,I'C PCC j

I II ,

o Rz:-., I ~

pe PT

I/RI/R

1'1

~A,.

•~.f'

Figura 3.71 Curvatura en el enlace de tramos rectos con una curva circular simple

I \~Ir:S e \RDr.'1.\~ (;RIS,\I.r:S

La variación de la aceleración centrífuga Be por unidad de longitud L,es:

Figura 3.75 La curva de transición entre la recta y el arco circular

Para la Figura 3.75, L. representa la longitud total el.: la curva detransición y L la longitud acumulada de la curva de transición desde suorigen hasta un punto cualquiera P de la curva donde el radio es R.

La curva de transición debe diseñarse (al que, tanto la variación de lacurvatura (de cero a tiRe). C0l110 la variación de la acelcrucioncentrífuga (de cero a VZ/Re) sean uniformes o constantes " lo lurgo liddesarrollo de su longitud.

En la curva circular: R = Re

En el tramo recIo: R :::> ,/)

En la curva de transición, ae varía de manera continua desde cero en larecta hasta If2IRe en la curva circular de radio Re. Esto es:

Se sabe que un vehículo que se mueva a una velocidad uniforme Vsobre una curva de transición de radio variable R, experimenta unaaceleración radial o centrífuga ae, cuyo valor es:

3_5.2La espiral de Euler o Clotoide como curva detransición

Figura 3.74 Curvatura en enlace de tramos rectos con una curva circular con curvasde transición

I/R

PI

al peralte en I:! curva circular. Esta configuración. curva de transicióncurva circular-curva de transición, aparece en la Figura 3.74.

)"~IES C,\IWEN,\S GRISALES194

197

Esta expresión dice que los radios de curvatura R de cada uno de suspuntos son inversamente proporcionales a los desarrollos de susrespectivos arcos L, donde 1(1 es la constante de proporcionalidad. Estacaracterística hace que la Clotoide sea la curva más apropiada paraefectuar transiciones desde radios infinítos (R=co) en la tangente hastaradios finitos (R=R.) en la curva circular.

En la Figura 3.77 se muestran algunos de los elementos que definengeométricamente la Clotoide o espiral, tales como:

Despejando R de la ecuación (3-37), se tiene para la Clotoide:K1R=L

3.5.3 Ecuaciones de la Clotoide o espiral de transición

Figura 3.76 Clotoide de parámetro K=8

CAPITULO) DISEÑOGEO¡.¡8RICO HORI7.0I'r.\L:PLANT"

,::

PUNTO R L (R) (L)=(K) (K)=K1 K

-J- 64 1 641111= 64 = 81 82 32 2 32112) = 64 = 81 a3 16 4 16)14) = 64 = 81 84 8 8 8 ) 8) = 64 = 81 85 4 16 4) (16) = 64 = 81, a6 2 32 (2) (32) = 64 = 81 8

Tabla 3.10 Clotoide de parámetro K=8

Así por ejemplo, para una Clotoide de parámetro K=8, en la Tabla 3.10se muestran seis puntos correspondientes a la curva esquematizada enla Figura 3.76.

1\ la constante K se le llama parámetro de la espiral, puesto que parauna misma Clotoide siempre es constante.

La anterior expresión es la ecuación de la Clotoide o Espiral de Euler,la cual indica que el radio de curvatura R es inversamenteproporcional a la longitud L recorrida a lo largo de la. curva a partir desu origen, De igual manera dice que, para cualquier punto P sobre lacurva, el producto del radio de curvatura R por su longitud L desde elorigen hasta ese punto es igual a una constante 1(1.

(3-37)

De esta manera:

Donde K es una magnitud constan/e, puesto que también lo son Re y Le,

Pero. el producto de R, por L. puede hacerse igual ¡¡K2. esto es:RcL. = K2

En el punto P, la aceleración centrifuga a<valdrá:

a, =( ~~ } = ~ , de donde.

R L = R< L.

I.\~IE~L'..\RDI':-; .\\ (;ltI'.\I.I·S190

......__ ~ 4 ... !._ .... .,.•..,.._.._.... ~~_

El parámetro K de la espiral se obtiene haciendo R=L, por lo que:

(3-41 )

(3-40)

Expresando a Den grados sexagesirnales, se tiene:

9 =(!_)180' = 90' (.f.) = 90' (_!}_)2K2 rr "K2 "ReL.

e =(.!: ) ~80' = 90' (~ )2R" tt R

En las expresiones anteriores el ángulo Ocstá expresado en radianes.

(3-39)

Entonces:e9= - • esto es,2RL

9= i_2R

Pero, K2 =RL

(3-38)

Pero según la ecuación (3-37):1 LR = i<'i ' por lo tanto,

L 1de =0 dL= K2 LdL , integrando.

Ide= ~ ILdL ,de donde,Ke e9=-=--2K2 2RcLe

Para el punto P. se tiene:dL =Rd9

de= ;dL

Los ángulos se forman entre la tangente en el origen y las (al1gC:IH<.:~..:"los respectivos puntos de la curva.

1.

Figura 3.77 Elementos de la Clotoide o espiral

,,,1"",I,,

",8.~,',I

_:)- I t

oO.~RedLdO

Coordenadas cartesianas de un punto cualquiera P de laespiral, referidas al sistema de ejes X e Y.Ángulo correspondiente a P.Ángulo de la espiral.Ángulo pararnétrico.Radio de la curva circular simple.Elemento diferencial de arco.Elemento diferencial de ángulo.

x, y

J.-I~tr:sCAtWI:""N,ISGRIS.u.ES198

20t

-,

Por lo tanto, reemplazando en y:

y = d'e _e~+ ~ _.!. + ~Lbl 31 51 7/ '''Jd'e) 1d'e)J 1r.re)5 trIe)'

y= bl2Kz dL-3i bl2K2 dL+5i bl2KI dL-lj bl2KI dL+....

De la misma manera, el desarrollo en serie de sen Bes:el e5 8'sene=e--+-- -+.31 51 7/ ...

Por lo tanto, x en función del parámetro K, queda como:

[ -( el e' e5 )]x = K ./28 1- - + - - -- +10 216 9360 ....

De la ecuación (3-38), se deduce que:L=K-!28

c,\piwI.O j 01SE510GEOMETRICO 1I0RII.O~T'\I.· rl."~T'\

,_

Ahora. reemplazando el valor de f) dado según la ecuación (3-38),queda:

1 ~ L2)1 1 (e)' 1 ~ e )5x= r-dL-- -_ dL+- r- -.- dL-- -- dL+....¡, 21 2Kl 41 ¡, 2K' 61 2K1

El desarrollo en serie de cos Bes:el e' e5cose=1- -+-- - +....21 41 61

( el e' e5 }x = ¡! í , - + - _.-. + L¡, 21 41 61 ....

De donde, las coordenadas cartesianas (x, y) del punto P serán:x = [(cos e'¡JL

y = [(sen8'¡JL

. esto cs.

En la Figura 3.77 anterior, se observa que:dxcos9 = -dL

sene = dIdL

dx = (cos 8fJLdy = (sen/])1L

e = ~' (~J= 28'38'52.4'

1.0 anterior quiere decir que el parámetro de la Clotoide es igual alradio de la Clotoidc en aquel punto para el cual el radio y 1" longitudde la espiral desde el origen hasta t.'I tamhicn son iguales. ,\ este punto<e le llama punto parasnétrico, al cual 1<: corresponde un ángulo entrelas tangentes. según la ecuación (3-41). de;

;(7 = RL= Rl =e .o lo que es lo mismo.K ",R=L

-

-_.--------- -_---

PI Punto de intersección de las tangentes principales.PI. Punto de intersección de la espiral.PI, Punto de intersección de In curva circular con transiciones.pe: Pf = Principios de curva y tangente de la curva circular primitiva.

De esta manera, los elementos de las curvas son:

Para una mejor comprensión del liSO de la espiral, se supone queinicialmente se tiene una curva circular simple de radio R, sintransiciones y que finalmente se quiere tener el arreglo EspiralCircular-Espiral, conservando I::lS tangentes y el radio R,. Por lo tanto.es necesario desplazar (dislocar o retranquear) hacia dentro la curvacircular para poder intercalar las espirales de transición.

En la Figura 3.78 aparecen los elementos geométricos para el cálculoy trazado de 11110 curva ele /UII1Sic:iÓIl simétrica. Espirul-CircuturEspiral, los cuales están referidos al sistema de coordenadascartesianas de ejes X e Y.

En este caso las espirales de transición de entrada y salida tienen i¡';lIallongitud, resultando un enlace simétrico. lo cual es aconsejable desdeel punto de vista del cálculo de los elementos geométricos de la"curvas, lo mismo que desde el punto de vista de una operaciónvehicular gradual balanceada, que se traduce en seguridad para klS

usuarios. Al mismo tiempo, los vehículos cambian paulatinamente dedirección acorde con la curvatura, y la calzada se va inclinandotransversalmente en forma uniforme siguiendo los peraltes yampliaciones requeridas.

Los dos alineamientos rectos o tangentes de entrada y salida se:enlazan con una espiral de transición d.: entrada, una curva circularsimple central y una espiral de transición de salida.

3.5.4 Elementos de enlace de una curva circularsimple con espirales de transición Clotoidesiguales

.,íj

En las cuatro expresiones anteriores, el ángulo B está expresado enradianes.

(3-45)

(3-44)

Clotoide definida por su parámetro K:

X=K[ 28(1-~+.!_--.~~+ )]. 10 216 9360 ....

[ .-(0 03 ~ 07 )]y=K .'28 ---+----+3 42 1320 75600 ....

(J-4J)

(J-42)

Resumiendo, las ecuaciones de /(1 Clotoide, referidas al sistema decoordenadas de ejes X e Y, pueden ser expresadas de las dos siguientesmaneras:

Por lo tanto, el valor de yen función del parámetro K, es:

y=K[ 28(~-:; +1~O - i5~OO+...)]

JA~tr:sC,\ROf:N r\S GRIS..\I.ES202

abE.x,yXc. y.k,pXo, Yo

k

eL.L.LP

TLTee'

R~T.

rp

&8

PO'OLI

Espiral-Tangente. Punto donde termina la espiral de salida yempieza la tangente de salida.Punto cualquiera sobre el arco de espiral.Centro de la curva circular primitiva (sin transiciones).Nuevo centro de la curva circular (con transiciones).Ángulo de deflexión entre las tangentes principales.Ángulo de la espiral. Ángulo entre la tangente a la espiral enel TE y la tangente en el EC.Ángulo central de la curva circular con transiciones.

= Ángulo de deflexión principal del punto P. Ángulo entre latangente a la espiral en el TE Y In tangente en el punto P.

= Dcflexión correspondiente al punto P. Ángulo entre latangente a la espiral en el TE Yla cuerda e',

= Deflexión correspondiente al EC, o ángulo de la cuerda largade la espiral.

= Radio de curvatura de la espiral en el punto P.= Radio de la curva circular central.= Tangente de la curva espiral-circular-espiral. Distancia

desde el PI al TE y del PI al ET.= Tangente larga dc la espiral.= Tangente COI1ª~e la espiral.

Cuerda de la espiral para el punto P.Cuerda larga de la espiral.Longitud total de la espiral. Distancia desde el TE al EC.Longitud de la espiral, desde el TE hasta el punto P.Desplazamiento (disloque o retranqueo). Distancia entre latangente a la prolongación de la curva circular desplazada alPC y la tangente a la curva espiral izada.Distancia a lo largo de la tangente, desde el TE hasta el PCdesplazado.Desplazamiento del centro. Distancia desde O'hasta O.Proyección de a sobre el eje X.Externa de la curva espiral-circular-espiral.Coordenadas cartesianas del punto P.Coordenadas cartesianas del EC.Coordenadas cartesianas deT'PCdesplazado.Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular contransiciones,

ET

205CAPITULO J_ DISENO GEOMETR.lCO HORIZONTAL: PLANTA

Cu"'".. plfTIl

,,;¡.

PC, PT = Principios de curva y tangente en la prolongación de lacurva circular desplazada.

TE Tangente-Espiral. Punto donde termina la tangente deentrada y empieza la espiral de entrada.

EC Espiral-Circular. Punto donde termina la espiral de entrada yempieza la curva circular central.

CE Circular-Espiral. Punto donde termina la curva circularcentral y empieza la espiral de salida.

Figura 3.78 Elementos de la curva simétrica Espiral-Circular-Espiral..'

PI'TJIongccl6n d.Ja ctJrYfJ cIrculard•• plozodo

CUfYa c/~uJQrprl",lII~

J,\~IES C'\ROE~.\S GRIS.\I.I:~

(3-56)

(3-55 )

(3-54)

(3-53)

(3-5~)

X -ksen8 =_c_ ,de donde,• Re

k = Xc - R. sen 8.

Coordcnadns cartesinnas del PC dcsnlazndo: (k. p)

cos B = ~L~P - Yc , de donde,• Re

p =disloque =Ye - Re (1 - cos B.)

En las ecuaciones (3-44) y (3-45), al reemplazar a Opor (70, quedan LIscoordenadas en función de parámetro Kde la espiral, así:

_ K[ '-2"(1 8; 8; B! )]x.- ,,". -10+216-9360+ ....

y =K[!i9(!1.- B: .s._~+ )]e • 3 42 1320 75600 ....

En las ecuaciones (3-42) y (3-43), al reemplazar a L por Le y a 011\11' 0..quedan las coordenadas en función de la longitud L. de la espiral. así:

Xc = L.(1- ~ + !t~6-91~ó+ ....) (3-51)

(3-50)

(3-4\J)

Coordenad:ls cartesianas del: EC(x" Ye)

Ángulo central de la curva circular: LIcll, =ll-29.

,t:sto cs._ 90· ( L! )8 ----• 1T ReL.8. =: 90· (~I

1T Re)

~(J7

Ángulo de detlexión de la espiral: e.Según la ecuación (3-47), cuando L = L.:

(3-48)

Dividiendo a Bentre B.:

8 9~·U:)e--- - -. - _. , de donde,8. - 90· ( L! ) - L!

1T K2

También, para 0= 0.: L = Le. esto es,

8 = 9~~(L!)• 1T K2

(J-47}

Ángulo de detlexión principal de un punto P: e8 = 90· ( L: ) = 90· (_f__) = 90· (!:.)

1T K . 1T ReL. 1T R

(3-46)

Parámetro de la espiral: KDespejando K de la ecuación (3-38):K = )RcL.

Los diferentes elementos, de acuerdo con la Figura 3.78 anterior, secalculan como sigue:

Para el cálculo de los diversos elementos del trazado espiralizado, esnecesario partir de algunos datos conocidos. como lo son: el ángulo dedeflexión entre las tangentes principales .1; el radio de la curvacircular Re según la velocidad de diseño, la jerarquía de la carretera yel tipo de terreno; y la ló~itud de la espiral L., cuya longitud mínimase determinará más adelante.

J"ME~ C,\ROENAS GRISALliS206

209

La longitud de la curva de transición L. o el parámetro de la espiral Kno deberán ser inferiores a un valor mlnimo, con el objeto de que lacurva cumpla ciertas condiciones de tipo dinámico, geométrico yestético. En este sentido, existen varios criterios-en la determinaciónde la longitud mínima o parámetro mínimo, adoptándose COIllO

parámetro de diseño el mayor valor determinado por cada uno de loscriterios, los cuales son'''lI:

3.5.5 Longitud mínimade la espiral de transición

(3-71 )

Por el sistema cuerda:• cl\Le = _...

G,

o-70)

Longitud dc la curva circular: L" LePor el sistema arco:I = rrRe.1,.... 180·

(3-68)

(3-69)

También, según las ecuaciones (3-65) y (3-66):8

1ft =..!...-Z"'e 3 •Z. = 3.1(1O-J~;+ 2.3(1O-4~:

(3-67)

Deflexión del EC o ángulo de la cuerda larga: q1c

rp =arclan 1"e Xe

(3-66)Z = 3.1(WJ ~J + 2.3(10""'~5

Donde Z expresada en segundos. es una pequeña corrección. la cual esprácticamente despreciable para valores de 0< 16~

(3-65)81p=--Z3

c,lPirULO J. DISE:'.O GEOMÉTRICO 1!(};l.l¿1J:>:rA l•. I'I.M'T.I

También, numerosos cálculos han probado que:

(3-6~)

Deflexión de cualquier punto P de la espiral: rp

1p= arctanyx

(3-63)

Cuerda larg;] de la espiral: CL.CL. = ,;: +y;

(3-62)

Pero, según la ecuación (3-55):Yo =Ye -Re(1-cose,)+R. = Ye -Re +Re cos e, + RoYo= Ye+R, cose,

Coordenadas c;]rlcsianas lid centro de 1;] ClIrv¡¡ circular contrnnsiciolles: (xo, Yo)xo=k=xe-Resene, (3-61)Yo=p+Re

(3-60)

(3-59)

fangentc!s Inrga y corla de la espiral: i: Te

r;. = x - Yee lane.

Te = _re_sene,

(3-5S)

Externn de la curva cspiral-circulnr-cspirnl: El.1 Re + Pcos = , de donde,2 Re + E.

E., ¡"+{o;:J-R<

Tan!.!cnte de la curva espir:tl-circular-espirnl: T..1

T, =k+(R.+p)/an i (3-57)

cll8 JA.\lES(;;\[(1)1':-;.\\ (;llIS.\I.ES

Expresando a V. en Km/h, a Re en metros y a ee en tanto por uno, SI.:

llega a la siguiente expresión que indica la longitud mínima Le de laespiral:

L > V, [Vo2 -127{e )] (3-n)• - 46.656(J) Re e

Ahora, si se supone que el vehículo tarda un tiempo ten recorrer lod;!la longitud de transición L. a una velocidad uniforme V, y se: define a Jcomo la variación de la aceleración centrífuga por unidad de tiempo,en el Ee se tiene:

V2...!..-geJ= aa =~ ,de donde,

t L.V.

L = V. (v.2 _ ge )• J Re e

Cuando el radio de la espiral es R.V1

a, = ~ -ge

Reemplazando F Y W,rna, -mge =ma"aa = ae - ge

Pero, tana=e. y para ángulos a pequeños cos az1. Entonces:F -We =ma"

Dividiendo por cos IX.

F-Wtana= ma"cosa

Donde, Ba es la aceleración radial no compensada por el peralte. 1\:ro:~ =Fcosa .w, =WsenaFcosa -W sena =ma"

'~;\l'irur,oJ. O!SE;\:(J OEü~tE'lltICO iIC,RIZl)~'! .\1.. 1': \~n.\

En una curva peraltada la aceleración centrífuga se aminora debido ala componente radial del peso del vehículo, por lo que la fuerzacentrífuga residual que actúa radial mente sobre el vehículo es:

aeWgFrW,ae

Fuerza centrífuga = mae= Aceleración centrífuga.= Peso del vehículo =mg

Aceleración de la gravedad = 9.8 l m/scg'Componente radial de la fuerza centrífuga.

= Componente radial del peso del vehículo.Inclinación transversal de la calzada.

= Peralte de la calzada en tanto por uno = tana

F

Figura3.79 Vehiculoen CUNa

.~I

Considérese un vehículo circulando sobre una curva de transición,para la cual transversaJm~;¡t: en un punto cualquiera. según la Figura3.79. se tiene:

LONGITUD M¡NIMA DE LA ESPIRAL DE ACUERDO A LAVARIACiÓN DE LA ACELERACiÓN CENTRíFUGA

o

);\\II·:S l'.·\({i)ENAS tilUS"I.E~

213

Igualmente, en el triángulo rectá~gulo vertical BCD,

En el triángulo rectángulo vertical ABC, se tiene:AC 1BC =;

Para pasar con seguridad y comodidad desde la sección en bombeonormal b en recta hasta aquella sección con peralte ee donde empiezala curva circular, es necesario hacer variar gradualmente el peralte oinclinación transversal de la calzada.

Figura 3.80 Longitud minima de la espiral de acuerdo al peralte

•

eeem

Ancho de carril.Ancho de calzada.Bombeo normal en recta.Peralte en la curva circular.Peralte en cualquier sección.Pendiente relativa de los bordes.

a2ab

transición desde la tangente o tramo en recta hasta el comienzo de lacurva circular, donde:

CAPITULO J. DISE:\!()Gf.O~IF.TRICOII()RllO:-JTAI: PI.ANT,\

En la Figura 3.80, se muestra la isornetría de una calzada que ha sidorotada gradualmente alrededor de su eje a lo largo de la longitud de

LONGITUD MíNIMA DE LA ESPIRAL DE ACUERDO A LATRANSICiÓN DEL PERALTE

Esta expresión es conocida como lajórlllll/a de Barnett, __

(3-74)... ~ .-

Igualmente, Barnett propuso un valor de J=O.6 mlsegJ en la fórmula dcShortt, llegándose a:

L v/2:--• 28 Re

La cual es conocida como la fonnula de Shont, ya que fue deducidapor él. p._ QlOt~ razón lafórlllllla de Smimoff, también se conoce comolafórll1l1la de Shont modificada.

(3-73)L > V.3• - 46.656(J)Ro

En caso de que no se tenga en cuenta el peralte, la ecuación (3-72) seconvierte en:

VELOCIOAD ESPECiFICA v.(Km/h) 30 4Q 150 160 i70 ¡80 /90 110011\0;12011301140jI5O

J (rnIsegl) 0.71°.71°.7 !07 10710+610.5 !os10 4104!04 !OAf n· ..

Tabta 3.11 Variación de la aceleración centrífuga

Realmente la constante J es un valor empírico que indica el grado decomodidad que se desea proporcionar. Experimcntnlmcntc se hacomprobado que este valor varia entre DA y 0.7 m/seg:', Se adoptanpara J los valores específicos dados en la Tabla 3.1 )17!.

Esta expresión se conoce con el nombre de la./ürmlt/u de Smirnoff.

I,\~IES C\RDE:-.iAS GRIS.\I.l'S

Angulo central de la curva circular: LlcEcuación (3-50):.1e= .1- 2e. , donde,

Angulo de deflexión de 1"espirnl: él.Ecuación (3-49):

e = ~(_l:t_) = ~(100) = 35'48'35.50' = 0.625 radianes• "Re "80

Parámetro de la espiral: KEcuación (3-46):K = JR,L. = J80(tOO) = 89.443m

a) Elementos de las curvas

Solución:

Calcular:Se desea diseñar una curva circular con espirales de transición deentrada y salida de igual longitud. Para tal efecto. se deben calculartodos los elementos de las curvas que permitan realizar su trazado enplanos y localización en el terreno.

::37~:: 143'":: SOON. 500E:: K2+482.370:: 80m:: 10m:: 100m

Acimut de la tangente de entradaAcimut de la tangente de salidaCoordenadas del PIAbscisa del PIRadio de la curva circular centralCuerda unidadLongitud de la espiral

Datos:Todos los datos y cálculos están referidos a la Figura 3.78, para 1:. cualse tiene:

EJEMPLO3.32: Cálculo geométrico de una curva espiralizada

~15CAPITUl.O J DISEÑO (;EO,'vIÉTRICO IIOIlIZONTAI.· I'I ..·\NT,\

,11

(3-77)

, por lo tanto:L = Tre.Re = "(3)c = 0.10472(R )• 90' 90' c

L t!. Re• 9

Por razones de estética y con el objeto de obtener alineamientosarmoniosos, el ángulo de deflexión de la espiral e. debe ser mínimo de3°. Despejando L. de la ecuación (3-49):

(3-76)

Para tal efecto, se considera que el disloque mínimo a utilizar debe serde 0.25 metros, con lo cual se obtiene una longitud mínima de laespiral de:

Desde el punto de vista de In percepción, la longitud de la curva detransición ha de ser suficiente para que se perciba de forma clara elcambio de curvatura, orientando adecuadamente al conductor.

e LONGITUD MíNIMA DE LA ESPIRAL POR RAZONES DEPERCEPCiÓNY ESTÉTICA

Donde, como se vio anteriormente en el numeral 3.4.3, en la Tabla 3.9se presentan los valores máximos y mínimos de la pendiente relativade los bordes de la calzada con respecto al eje.

(3-75)

De donde se deduce que:L > aee• - m

AC = (CO)ec , donde CD ,=.¡mcho de carril = a, yAC:: L.m

BC = ee , por lo tanto,CO 1

214

.I-------- .~-- . ~ ......~_-

217

Longinld de la curva circular: LeEcuación (3-71):L _ ellee - Gc

e, =28rcsen-C-=2arcsen~10 =7"9'59.92'2Re 2~80)

L = 10(34·2749.00'L47.973m ~,e 7"9'59.92'

También, según las ecuaciones (3-69) y (3-68):Z. == 3.1(10-3p; + 2.3(10~p;Z. == 3.1(10-3X35'4S'35·5O'Y+ 2.3(W-8X}5·48'35.50'r = 143.708'= 0'2'23.71'

lPe= 35' 4S'35.50' _ 0'2'23.71' =11'53'4S.12' (Aproximadamente)3

Deflexión del fe o ángulo de la cuerda larga: ~Ecuación (3-67):

lPE'c aretanYe = aretan20.259 = 11'53'47.81'x, 96.164

Cuerda larga de la espiral: eL.Ecuación (3-63):

eL, =Jx; +y: =~r-(9-6.-'64-Y-+-(2-0-.2-59-Y= 98.275m

Coordenadas cartesianas del centro de la ·curva circular contransiciones: (x., yo)Ecuaciones (3-61) y (3-62):Xo = k = 49.356m

Yo '" Yc + Re cos8, : 20.259+ 80(cos35'48'35.50')= 85.136m

T. =X -2L=96.164- 20.259 = 68.084mL e tanG. tan35' 4S'35.50'

t. =_lL_ = 20.259 = 34.625me sen 1), sen 35' 4S'35.50'

CAPiTULO 3. DISENO GEOMETRICO IIORIZONTAI.: PL,INTII

. --" _ ..- .. _.._...__._-----

Tangentes larga y corta de la espiral; t: TeEcuaciones (J-59) y (3-60):

Externa de la curva espiral-circular-espiral: E.Ecuación (3-58):

E. = (Re+P{~]-Rc =(SO+5.,36{----k-j-ao : 61.465mcos- cos-

2 2

Tangente de la curva espiral-circular-espiral: T.Ecuación (3-57):

( ".1 106'T. =k+ Re +p"an-=49.356+ (SO+5.136)tan-= 162.335m2 - 2

Coordenadas cartesianas del pe desplazado: (k, p)Ecuaciones (3-55) y (3-56):

P = disloque=Ye - Re(1-cosO.)= 20.259-SO(I-cos 35'48'3550')= 5.136mk = Xc - Re sen 8, = 96.164-80(sen35·48'35.50')= 49356m

Coordenadas cartesian:.1Sdel: seo; Ye)Ecuaciones (3-51) y (3-52):

(1)2 1)' 1)6 ]X =L 1--!..+_' __ '_+

e e 10 216 9360 ....

x ='00[,_(0.625)2 + (o.625t _(0.625)6 ]-96164c 10 216 9360 +.... - . m

- L (G. G; G; G: JYe - e ,3- 42 + 1320 -75600+'"y- : 100[0.625 _ (0.625)1+ (0.625)5_ (0.625)' + ] =20 259- 3 42 1320 75600.... . m

.1: Acimultangente salida· Acimutlangenleenlrada= 143'-37" = 106'0

.1( = 106' -2(35·4S'35.50')=34'22'49.00'

JA;\IF~ (· ..\RDFó'i.\S GRIS.\LF.,>~16

~ , ........~,..~,." .....,_..._"'_ .._.:;:~~~"" . ...,.."".e.,..... ,........... _

K2+340:

e =(19.965)135'48'35.50'= 1'25'38.59'= 0.024912575 radianes100

=19965[1 (0,024912575Y + (0.024912575y (0.024912575)6 L.]XX2•340• 10 216 9360

XX2.:uo = 19.964m

N1E. = NPI + T. cos AZPl.lE

T. = 162.335m ,AZp1TE= AZTEP1+ 180· =37' + 180' = 21TN1'E =500+ 162.335cos217' = 370. 354m

ETE= EPI + T. sen AZPl.TE= 500 +162.335sen 217" = 402. 304mNX1.l)(} =Nre + TE.(K2 + 330 Jcos AZ¡E(K2>3JO)TE.(K2 + 330) ='C'K2.111 = 9.965m

AZrEIK2.3ll) = AZ1E.Pt+ (/JK2.J)(}= 37' +0'1'14.68'= 37'7'14.68'

NX1•111 = 370.354 +9.965cos 37'7'14.68' = 378.300mEX2•J)(} = E¡E +TE.(K2 + 330) sen AZ¡E.(KI.1JO¡

Exz.l)(} = 402.304 + 9.965sen 37'7'14.68'= 408.318m

Las coordenadas topográficas planas de esta abscisa. S~ calculan apartir dc las coordenadas del TE, las que a su vez se calculan a partirde las coordenadas del PI:

Para una cuerda desde el TE de:

C'Xl.l)(} = JXi.:l.3JD· + y~I.JJO = Jr.(9-.9-65"";'):;-2+-(-:-0::-02-170y=: 9.965m

= 9.965[0.006206326 (0.006206326)J + (0.006206326)5Y,(2.1ll 3 42 1320

(0.006206326)' ... .... ] = 0.021m75600

(/JK1III= arclan y K2.330 = are/en 0.021 = 0"7'14,68'o XK2•1)(} 9.965

21'1C,\PITUI.O J. DISeÑOGEO.\IÉnuco IIIJIH/.ONT.\I.: I'I.M' 1.-1

•

Donde L es la distancia desde el TE a la abscisa considerada:L = 330 - 320.035 = 9.965m

e =(9.965)135'48'35.50'=0'21'20.15'= 0.006206326 radianes100

x = L( 1- ~~+ 2~~- 9;:0 + ....)

x =9.96J1- (0.006206326)2 + (0.006206326y _ (0.006206326)5 +....]K1.3ll ~l 10 216 9360

XK1•330 =: 9.965m

( e e3 e5 e' )y=L 3- 42+ 1320-75600+····

Su correspondiente deflexión se calcula usando las ecuaciones (3-48),(3-42), (3-43) Y(3-64).

e=ure.

K2+330:

Se acostumbra abscisar la espiral en incrementos iguales a la longitudde la cuerda de la curva circular. De esta manera, se tienen lassiguientes abscisas:

Espiral de entrada, desde el TE al Ee:

b) Cálculos de localización por deflexiones, por coordenadas cartesianas ypor coordenadas topográficas planas

Abscisas de los puntos: TE, EC, CE y ETAbscisa TE = Abscisa PI - T. = K2 + 482.370 -162.335 =K 2 + 320.035Abscisa EC = Abscisa TE +L. = K2 + 320.035 + 100 = K2 + 420.035Abscisa CE = Abscisa EC- Le = K2 + 420.035 + 47.973= K2 + 468.008Abscisa ET = Abscisa CE + L. ;"1<2+468.008 +100 = K2 + 568.008

t

),\,\lES CARDF.NASGRIS,\I.ES218

211

K2+450:AzO./Kh,SO¡= AZO.(K2.44il)+ Go = 357'7'5.12"+7'9'59.92' = 4'17'5.04'

NK1•4SO= 358.536+ 80 cos 4'17'5.04' = 438.312m

EK1•1SO= 500.000 + 80 sen 4'17'5.04" = 505:977m

K2+440:AzO~K2"JOI = AZO(K2t4:m + Go =349' 57'5.20' +7'9'59.92' =357'7'5.12'

NK2•44il=358.536+80 cos 357'7'5.12' = 438,435m

EKh410 = 500.000 + 80 sen 357'7'5.12"= 495.978m

K2+430:AZO./K2+'))¡ = AZo.fe + el doble de la deflexión lado del EC

AZO.(Kl.'))) = (162'48'35.50' +180' )+ 2(3'34'14.85')= 349'57'5. 20'

NK2.,)) =358.536+80 cos349'57'5.20' = 437.309m

EI(2.,)) = 500.000 +80 sen 349'57'5.20' = 486.041m

EC.O =Re = 80m

AzEC.O l' AzPIe.EC + 90'AZPle"EC = Azp,.PI + 8.= 37' + 35' 48'35.50' = 72'48'35.50'AzEC"o = 72' 48'35.50' +90' = 162'48'35.50'No = 434.962+80 cos 162'48'35.50' = 358.536m

Eo = 476.357+ 80 sen 162'48'35.50' = 50o.000m

Las coordenadas topogrcfícas planas de los diversos puntos .ubicadossobre la curva circular. se calculan a partir de las coordenadas de sucentro O:

Deflexión (K2 + 450) = 7'9'14.81'+3'34'59.96' = lO' 44'14.77'Deflexión(K2 + 460) = ID' 44'14.77'+3' 34'59.96'= 14'19'14.73'Deflexión(CE : K2 + 468.008) = 14'19'14.73'+2'52'10.32'= 17'11'25.05'

CAPiTULO 3 DISE¡;:O GEOMÉTRICO HORIZONT,\L; PLANTA

_;Deflexión(EC : K2 + 420.035) = 0'0'0,00'

Denex;ón (K2 + 430) = 3' 34'14.85'

Deflexión (K2 + 440) = 3'34'14.85' +~' = 3'34'14.85' +3'34'59.96' = 7"9'14.81'

De esta manera, las deflexiones para la curva circular son:

Deflexión por cuerda unidad = Ge = 7'9'59.92' 3'34'59.96'2 2

Deflexión por metro = Ge = 7'9'59.92' 0'21'30.00' / m20 20

Deflexión subcuerdaladc del EC = (430 - 420,03S1r21'3000' = 3'34'14.85;Deflexión subcuerdalado del CE = (468,008 - 460P' 21'30,00' = 2'52'10.32'

Curva circular, desde el Ee al CE:

y así se continúa hasta llegar a la abscisa del EC.

".

'/!"l.J'~ =arclan YKI+1JO =arclan 0.166 =0'28'35.05'XK1+340 19.964

(n.m = JX~2'J40 + Y~,+34Q = ~r.(1-9-.9-64-)-:C-l+-(0-.1-6-6)-:-1= 19.965m

Nxl.¡,O = NrE + TE.(K2 + 340) cos AZrE/K,':J4UJ

TE.(K2 + 340) =C'Kl.JJO = 19.965mAz",¡.;",,"I =Az fE PI + ifJK2.JJO=37' + 0'28'35.05" = 3r28'35.0S·

N<1-1'1= 370.354 + 19.965cos 37"28'35.05" = 386.198mEX¡.140 =tló + TE.(K2 +340) sen AZrEIK1.),v¡

EKZ.140= 402.304 + 19.965sen 37"28'35.05' =414.4S1m

1=0.166m

YK ., = 19.965fO.024912575 (0.024912575Y + (0.024912575)~ _1 1O ~ 3 42 1320

(0.024912575Y75600 + ...

Obsérvese que como la longitud de la curva circular, que es deL?47.973m, es mayor que la distancia 13.889m, este criterio se cumple.,

Para un radio de la curva circular de Rc=80m lc corresponde tiliavelocidad específica de V,=50 Km/h. Suponiendo esta igual a 1:1'velocidad de diseño Vd, entonces:

Distancia recorrida = Vd(t)= 50 Km (1seg! ~)(1000m) = 13.889mhr \ 3600 seg 1Km

La longitud mínima de la curva circular central en el caso del arregloespiral-circular-espiral, corresponde ti la distancia que puedo recorrerun móvil a la velocidad de diseño durante 1 segundoñ.

e) Chequeo de la longitud de la curva circular central

En la Tabla 3.12, se ilustra la cartera de localización de la CllI'V:J.

espiral-circular-espiral por los tres métodos: deflexiones. coordenadascartesianas y coordenadas topográficas planas. Igualmente ":11 laparte inferior aparecen todos los elementos geométricos asociados conlas curvas.

y así se continúa hasta llegar a la abscisa del CE.

NET = Np1 + T. eos AZP1óT

T.= 162.335m . AZPlH = 143'NET = 500+ 162.335eos 143' = 370.354m

EET =500+ 162.335sen 143' = 597.696mET.(K2 + 560) = e'K2+l6IJ = 8.008m

AZET-/Kz.s¡;q =AZETPI - !PK2dJ) = (143' +180' )- O' 4',)3.33' = 322'55'16.67"NK2•56O= 370.354 + 8.008 cos 322'55'16.67' = 376.743mEK2•56O = 597.696 + 8.008 sen 322'55'16.67"= 592.868m

Las coordenadas topográficas planas de esta ubscisu. se calculan ;o

partir de las coordenadas del ET, las que a su vez SI! calculan a partirde las coordenadas del PI.

'::.\I'ITI.:I.O J. OISIi;;'OUEO;\IElltll't) 11l)1(11.()~1.\1.. 1'1."',,'1'."

L = 568.008 -560 =8.008in

B = (8~~~8r 35'48'35.50'= 0'13'46. 71'= 0.004008003 radianes

x = 8.008[1 (0.004008003)1 + (0.004008003)1 _ (0.004008003)6 + ....]K2+560 10 216 9360

XK2•56O= 8.008m

= 8.008[0.004008003 (0.004008003)3 (0.004008003)lYK2.56O 3 42 + 1320

(0.004008003)' +.... ] = 0.011m75600

t YKI.56O t 0.011 0'4'4333'!PK2>56O= are an -- = are an -- = .XKl•56O 8.008

C'1(2.56O=~ X~2+56O+Y:2+56O= ~r-(8-.0-08""")2~+-(-0.-01-1)-2=8.008m

K2+560:

Las deflexiones y las coordenadas cartesianas de la espiral de salida,se calculan tomando como origen el ET y como punto final el CE. Porlo tanto, se tienen las siguientes abscisas:

Espiral de salida, desde el ET al CE:

K2+468.008 (CE):

AzO.CE= Azo {K2.'6II) + el doble de la deflexión lado del CE

AzocE = 11'27'4.96'+2(2'52'10.32') = 17'11'25.60'NCE = 358.536 +80cos 17'11'25.60'= 434.962

ECE = 500.000 + 80 sen 17'11'25.60'= 523.644m

K2+460:Azo (K2.•4611)= AZO.(K2+45C)+Gc = 4'17'5.04'+7'9'59.92' = 11"27'4.96'

N"2.4611= 358.536 + 80 cos 11'27'4.96' = 436.943mE"2.46iI = 500.000 + 80 sen 11'27'4.96' = 515.883m

J'\"'IE~ C,iROEN'\S GKISALES212

225

-,Según la ecuación (3-75), se tiene:L C!: aee. -;-

b) Criterio de la transición del peralte

Por lo tanto:

60 [601 ]L. C!: 46.656(0.7) 120 -127(0.08) =36.449m

De la Tabla 3.11. para una velocidad específica V.:60 Km/h, se tiene unvalor de la constante J=0.7 n1IsegJ.

Según la ecuación (3-72). la longitud mínima de la espiral es:

L V. [Vel 127( )]• C!: 46.656(J) R. - e.

al Criterio de variación de la aceleración centrifuga

Solución:

Calcular:La longitud nuruma de la espiral de transición de acuerdo a loscriterios de: variación de la aceleración centrífuga, transición deperalte, y por razones de percepción y estética.

: V.: 60 KmIh: Re: 120m: ec= 8%: a: 165m (calzada de dos carriles)

Velocidad específicaRadio de la curva circularPeralte de la curva circularAncho de carril

Datos:Para el diseño de una curva espiral, se tiene la siguiente información:

EJEMPLO3.33: Longitud mínima de una curva espiral

CAPiTULO J. DISENOGEOMETRICOHORIZONTAL:PL·\NTA

LONGITUD DEFLE· COORDENADAS I COORDENADASDESDE EL XIONES CARTESIANAS TOPOGRÁFICAS

ABSCISAS TEyeT DESDE EL DESDE El PLANASESPIRALES TE, se» ET TEyET

L rp x ¡ y N e

1TE:K2+320.035 0.000 iOO,()()·OO.OOI 0.000 0.000 I 370.354 402.304

330 9.965 00~7.14.68 r 9965 I 0021 378.300 408.318340 I 19.965 i00·28·35.05 19.964 0.166 I 386.198 i 414.451

1

350 29.965 01-04·15.48 29.956 I 0.560 I 393.941 420,779360 ¡ 39.965 01·54·23,49 39.925 1.329 401.440 I 427.393370 49.965 02·58-45.05 49.843 2594

I408.599 I 434.372

380 l 59.965 04·17·25.34 59.663 4.476 415.310 441.785390 69.965 05·50·19.73 69.313 7.088 421.444 449.678400 79.965 07 ·37 ·21.31 78.097 10.532 I 426866 458.077410 89.965 09·38·24.84 87.690 14.895 431.422 466.973420 99.965 11.53.19.281 96.135 20.239 I 434.950 476.323

EC:KH20.035 100.000 11-53-47.81 96.164 20.259 I 434.962 476.357EC:K2-'42O 035 OO.()().()().OO P4,962 476357

430 03-34·14.85 437309 486.041440 07.Q9·1481 438.435 49S.978450 10-44·14.77 - 438.312 505.977460 14-19-14.73 - 436.943 515.883

CE;K2<468 008 17-11 -25.0S 434.962 523.644CE;K2<468JlO8 I 100.000 11·53-47.81 96.164 20.259 434.962 523.644

470 98.008 11-25-50.28 g4.534 19.114 434.349 525.539480 88.008 09·13·36.37 85.968 13.965_. 43!l607 534.806490 78.008 07-15·17.79 76.887 9.788 . 4~S.as8 543.607500 68.008 05-31-00.83 67.442 6.514 420.295 551.9065tO 58.008 04-00·55.40 57J52 4.054 414.037 559.702520 48.008 02-4S.Q3.50 47.908 2.302 407.229 567.026530 38.008 01-43-26.11 37.977 1.143 399.996 573.928540 28.008 00-56·13.48 28.001 0.458 392.441 580.479550 18.008 00·23-17.45 18.007 0.122 384.661 586.762560 8.008 OO.Q4-43.33 8.008 0.011 376.743 592.868

ET=K2+568.008 0.000 OO'()().QO.OO 0.000 0.000 370.354 597.696

ELEMENTOS DE LAS CURVASAcimul de emrada = 37· Gc; 7·9'59.92' T.= 162.335mAcimul de salida; 143· 9. = 35·48'35.50' E.: 51,465m

Abscisa del PI : K2<482.370 6c = 34·22'49.00' Tl: 68.084m6; 106·0 <¡le; 1'·53'47.8" Te' 34.625mR.,:80m x,: 96. 164m xe= 49.356mC' 10m ye; 20.259m yo' 85. 136mL.; 100m p = 5.136m CL.; 98.275m

K; 89.443m k = 49.356m Le; 47.973m

Tabla 3.12 Cartera de localización de la curva espiral-circular-espiral

J,\~II:S L'.\HnE~.\S (;RIS.\U'S

- ..."_.-"_-- ------

Para cualquier número n de carriles por calzada, el sobreancho es:

(J-7ll)

DI! donde, se obtiene que para un sólo carril, el sobrcancho S de lacurva es:

Si se asume que el radio de la trayectoria del vuelo delantero exteriorR' es aproximadamente igual al radio R de la curva al eje, se tiene que:

En la Figura 3.81 se ilustran dos vehículos circulando en una curva deradio R al eje, con las dimensiones mostradas en la Tabla 3.13 paravehículos pesados de tipo rígido ensamblados en Colornbiañ, que sonprecisamente los vehículos que tienen más di licultad al ejecutar cstumaniobra.

En estas circunstancias y con el propósito de que las condiciones deoperación de los vehículos en las curvas sean muy similares a 1.1, deen recta, la calzada en las curvas debe ensancharse. Este aumento delancho se denomina Sobreancho S de la curva.

Cuando un vehículo circula por una curva horizontal. ocupa un anda)de calzada mayor que en recta, Esto es debido a que por 1:1 rigidc'/ }dimensiones del vehículo, sus ruedas traseras siguen una trayectoriadistinta a la de las ruedas delanteras, ocasionando dificultad a I\)~conductores para mantener su vehículo en el eje del carril decirculación correspondiente.

3.6.1 Expresión de cálculo

3.6 SQBREANCHO EN LAS CURVAS

CAPiTULO 3 DISE~u U~O.\II\TI<IC()IIORIZl)~ (',\L: f'1.",~TA

.._,.,_--~-- - • ------.---.- ·-I~ __ ~_.- #. _P_" _

Como puede observarse, para satisfacer todos los criteriossimultáneamente, para propósitos de diseño, deberá tomarse unalongitud de la espiral comprendida en el rango de 45.625 metros a 80metros. Si se utiliza una espiral mayor a 80 metros, el peralterequerido por la curva circular deberá lograrse a los 80 metros.

Por razones de estética, de acuerdo con la ecuación (3-77), la longitudmínima de la espiral es:

R 120L·2!:i=g=13.333m

Desde el punto de vista de la percepción, la longitud mínima de lacurva de transición, según la ecuación (3-76), es: .L. 2!: J6R: =J6(i2Oj = 26.833m

e) Criterio de percepción y estética

Esto quiere decir que si se va a utilizar toda la espiral para realizar latransición del peralte, su longitud mínima deberá ser de 45.625 metrosy su longitud máxima de 80 metros.

Por otro lado, al utilizar el valor mínimo de m, la longitud máxima dela espiral es:L, s ae, = 3.65(8) = 80.000m

mmin 0.365

De esta manera, al utilizar el valor máximo de !TI, la longitud mínimade la espiral es:L 2!: ae, = 3.65(8) = 45.625m• ITImA. 0.64

m",., =0.64% ,mmj.=0.t~arril)=0.1(3.65)=0.365%

De la Tabla 3.9, para una velocidad específica V.=60 Km/h, los valoresmáximos y mínimos de la pendiente relativa m de los bordes de lacalzada con respecto al eje son:

J,\~IESCARDEN,\:)taUS'\L¡;~:116

229

En el caso de curvas circulares simples, por razones de apariencia, elsobreancho debe desarrollarse linealmente a lo largo del lado internode la calzada en la misma longitud I_¡ utilizada para la transición delperaltado. Así por ejemplo, si la transiC10nal pe y PT es del 70%, en laFigura 3.82, se aprecia la repartición del sobreaneho S, de tal forma

Con el fin de disponer de un alineamiento continuo en los bordes de lacalzada, el sobreancho debe desarrollarse gradualmente a la entrada ya la salida de las curvas.

3.6.2 Transición del sobreancho

(3-81)

Para velocidades específicas V.distintas a la de equilibrio, la posiciónrelativa de las ruedas traseras depende de la velocidad, para lo cualBamett sugiere agregar un factor de seguridad, llegando a la siguienteexpresión:

Esta expresión supone que el vehículo viaja a la velocidad deequilibrio.

(3-80)

Para el caso de una vía de dos carriles dos sentidos, se tiene:

Según el Manual de Inviasn, en vías de dos carriles, en dosdirecciones, para anchos de calzada en recta, mayores a 7.00 metros,no se requiere sobreancho, a excepción en curvas con ángulos dedeflexión LJ> 120 0. Igualmente, el valor del sobreancho, está limitadopara curvas de radio R<160m y se debe aplicar solamente en el bordeinterior de la calzada. La línea central divisoria de carriles, demarcadasobre el pavimento se debe fijar en toda la mitad de los bordes de lacalzada ya ensanchada.

CAPíTULO 3. DISF.~OGEOMÉTRICO1I0RI7.0NTAL: PLANTA

Vol ueta Chevroiel C·70Camión Chevrolel C·70Bus Chevrolel B-OO8usChe.rolel 580

MARCAy TIPO

Tabla 3.13 Dimensiones de vehículos pesados de tipo rigido, ensamblados enColombia .

Figura 3.81 Sobreancho en las curvas

M\II'\ c..iRD[N.IS GRIS,II.ES

Por lo tanto, según la ecuación (3-82), el sobreancho desarrollado auna distancia de 20 metros desde su inicio, es:

Sp =(Lp)S ==(~)1,312 ==0.692mLI 37.922

La longitud de transición de peraltado es:L, ==Carri/(e) = 3.65m(8. 0%) = 37,922m

m 0.77%

b) Sobreancho a 20 metros

Según la Tabla 3.13, para un bus tipo, Chevroler 580, la distancia L esde 7.75 metros, y de acuerdo con la ecuación (3-81), el sobreanchonecesario es:

S == {80 - J801 -7.751) + O:);) ==0.753 + 0.559 ==1.312m

a) Sobreancho necesario

Solución:

Calcular:a) El sobreancho para el bus tipo.b) El sobreancho a una distancia de 20 metros desde su inicio.

=41=130'0=R=80m= V. = 50 Kmlh= e = 8%=m= 0,77%= 7.30m (dos cam)es)-:;Chevro/el 580

Datos:Angulo de deflexión principalRadio de la curva circularVelocidad específicaPeralte recomendadoPendiente relativa de los bordesAncho de la calzadaI3us tipo

EJEMPLO3.34: Sobreancho en curvas y transición---------------- . -~- .

:!31c,\rlTI.;I.O j, DISEÑú GEO~Ir:TRICOIJOf{I7.0;-';'J',\I..PI.A:-Ir ..\

_ ... - - ----------------

En los alineamientos espiral izados, el sobreancho se distribuye a lolargo de la Clotoide, trazando el borde del ensanche por medio dedistancias radiales a partir del eje de la vía, las cuales varíandirectamente con la longitud de la espiral central L. desde el TE y el E],tal que se llega al sobreancho total S en el EC y el CE, garantizando deesta manera que toda la curva circular central lleve el sobreanchouniforme S.

Figura 3.82 Transición del sobreancho en las curvas

(3-82)' ....

que el sobreancho Sp en cualquier punto P, situado a una distancia Lpdesde el inicio, es:

JA~IES C,\ROF.N,\S C¡RISAlES130

-o- •• --

Calcular.La ecuación de empalme de la V/a2 en la Vía 1.[ -,Resp. : K2+301.382 (V/a 2)aK2+122.593 (V18 1)].

= R,= BO.OOOm= 10m= K2+200= 8"26'=5m

Radio curva al PI,e,Abscisa del pelGele2

Datos:Para la Figura 3.83, se tiene:POT.PI, = 82.600mPI,.PI2 = 47.000mAbscisa del por = K2+000

PROBLEMA 3.5

Calcular:El nuevo abscisado para el pe y el pr, si la tangente de salida semueve paralelamente hacia fuera una distancia de 20 metros sin que lacurva simple cambie de radio.[Resp. : Absc.PC'=K2+442.651, Absc.PT'=K2+545.984).

G,e

Datos:Una curva circular simple fue calculada inicialmente con:Abscisa del PC= K2t420.1 = 62'0

'PROBLEMA 3.4

Calcular:~ longitudes de las dos cuerdas iguales que' reemplazan el arco de20 metros. [Resp. : c'=9.995m).

C,WITULO J. DISE;\:O GEO~IÉTnICO IIORIZO~T.\L- rL,\;-'¡TA

..\

Datos:En el cálculo de una curva circular simple, definida por cl sistemaarco. se tiene:G, = 12°s = 20m

\ PROBLEMA 3.3

Calcular:Las longitudes de las dos cuerdas iguales que reemplazan la cuerda de20 metros. [Rcsp. : c'=10.010m).

Datos:En el cálculo de una curva circular simple, definida por el sistemacuerda. se tiene:Gc = 10~e = 20m

\ PROBLEMA 3.2

Calcular:<1) La curva. usando 1,1 definición por arco. [Rcsp. : R,=71_620m.

r=50.149m. L,=B7.500m, Absc.PC=K4+388.131, Absc.Pf=K4+475_631j_b] La curva, usando la definición por cuerda. (Resp. : Rc=71.678m.

f=50.189m,Lc=87.500m, AbscPC=K4+388 091, AbscPf=K4+475.581].

Datos:En la definición de una curva circular simple se tiene:-vhscisa del PI = K4+438.2801 = 70'0G<=G. =8"c = s = 10m


~ PROBLEMA 3.1

t PROBLEMA 3.8

Datos:Para la Figura 3,86, se tiene la siguiente información:Coordenadas del por,: N: 378.180, E: 246.860

Figura 3.85 Problema 3,7

~alcular:La abscisa del punto D tal que el PCC de la curva compuesta quedeexactamente en la mitad del segmento BC. [Resp. : K3+059.555j.

Datos:Adicionalmente a In información dada en la Figura 3.S5, SI.! tiene:Coordenadas de A = N: 500.000, E: 700.000Coordenadas de C = N: 572,580, E: 774.960Segmento AB = 60mSegmento CD :: 50mAcimut de AB : 72 "20'52'Acimut de CD = 344 <56'20'

PROBLEMA 3.7

235C\PITUI.O J. DIS~S() GE()~Il~fRIC() 11!'>1~IZ(J:-';'f'''1. 1'1."\,"1'.\

Figura 3.84 Problema 3.6

Calcular:El radio Rz que se adapte a dichos elementos, [Resp, : Rr154.880m].

Datos:Los que aparecen en la Figura 3.84.

PROBLEMA 3.6


por

¡'\~IES C\lWENAS (iI{fS,\L~:;

. -.....-------------

:; c= 5mCuerdas

Datos:Además de la información dada en la Figura 3.88, se conoce:Distancia AB :; 131m -,Abscisa de A :; KO+B46

* PROBLEMA 3.10


Calcular:La ecuación de empalme del Eje 2 en el Eje 1.[Resp. : K3+302.153 (Eje 2)eK3+266.736 (Eje 1)].

:; N: 421.360, E: 376.840= N: 629.880, E: 534.960= 334~'38'= 98"50'42'= 101m:; 126m= e = 10m

Coordenadas de BCoordenadas de CAcimutdeABAcimut deCODistancia ABDistancia COCuerdas

~37CAPITULO l. DISEÑOGEOMt:T1UCOHORIZONTAL PLANTA

1..., I

",.{

Datos:Para la Figura 3.87, se tiene la siguiente información adicional:

-tPROBLEMA 3.9- ._---------------------


to,;

1'0',

Calcular:La ecuación de empalme. [Resp. : K5+496.129 (vía 2)!!K5~330.059 (vía 1)].

Coordenadas del PI, = N' 239940, E: 184.070Coordenadas del PIl = N: 153.910, E: 461.620Coordenadas del POrl= N: 245.120. E: 572.370Abscisa del POT, "K4+879.820Distancia PI,.PI': = 139.100mDistancia P/z,PI'; = 35.600mCuerdas = e = 10m

J.\~II:S \.·AROE:-IASGRISA'-ES~36

\ I\ \

\ 1

\jo

\

IAz=9(J"· -

Calcular:Las ecuaciones de empalme necesarias.(Resp. : KO+091.136(Eje 2)5KO+069.184(Eje 3)

K0+218.673(Eje 3)5KO+20~.635(Eje 1)].

Datos:Además de la información dada en la Figura 3.90, se conoce:Coordenadas de A = N: 1000.000,E: 1000.000Coordenadas de B = N: 1132.510,E: 1030.590Coordenadas de e = N: 1123.450,E: 926.990Curva de centro F " T" 37m, e = 10mCurva de centro G " R = 32m, e" 5mCurvas de centros I y H = T = 48m, e = 5.'11Curva de centro J " e" 5m

7r PROBLEMA 3.12


<¡.

\\I \

\

80, '"

»/

CAPiTULO 3 f)1~1:i\0 (¡E()MI!T!UL'() 110I(l/.0"T,\I.. I'I.ANTA

-"..--_. ---- _ ..•--_.------------

Calcular:La ecuación de empalme del Eje 2 en el Eje 1.[Resp. : KI +193.002(Eje 2)5KI+299.549 (Eje 1)].

Datos:Además de la información dada en la Figura 3.89, se conoce:Coordenadas de A = N: 800, E: 500Coordenadas de B = N: 1000, E: 560Coordenadas de e = N: 900, E: 680

-1< PROBLEMA 3.11

Figura3.88 Problema 3.10

x..C,. ~: .

Calcular:La ecuación de empalme del Eje 2 en el Eje 1.(Resp. : KO+990.692(Eje 2)¡¡¡K1+000.114(Eje 1)].

JA~IES C,\RDENAS GRI$,\LI'S238

24 I



PROBLEMA3.14


B

e

CAPiTULO 3 015E:':0 GEOMÉTRICO HORI7.0NTAL: PLANTA

Calcular:La ecuación de empalme de la Vía 2 en la Vía 1.[Resp. : KOt407.977 (Vía 2)",KO+444.796 (Vía 1)].

= 46°= R, =: R', = 90m=TZ=T'2=92m= c= 10m

Acimut de BERadiosTangentesCuerdas

Datos:Además de la información dada en la Figura 3.91, se conoce:Coordenadas de A =: N: 1000, E: 1000Coordenadas de B = N: 957, E: 1115Coordenadas de C = N.' 1161, E: 1227Acimut de CD = 1250

~PROBLEMA 3.13

Figura 3.90 Problema 3.12--.

B

·':'.':1'

Figura 3.94, Problema 3.16

o

B

Calcular:a) La ecuación de empalme entre las dos vías.

[Resp. : K2+201.636 (Vía 2)=K3+015.799 (Vja 1)J.b) La abscisa del punto D. [Resp, : Absc,D=K3+258.094j.

= e = 10mCuerdas

Datos:Adicionalmente a la información dada en la figura 3.9-1, se conoce:Coordenadas de A = N: 426, E: 342Coordenadas de B = N: 200, E: 500Abscisa de e = K1+980Abscisade B = K2+920

r PROBLEMA 3.16-----._----- -- -_ .. - ---

C..wrrvLu J. DISF.ÑOGEO~II;'I RICU 11()I(fZO~T,".· Pl..\:-':·, ..\

----------_ ..-_------ ...._-----------


Calcular:La ecuación de empalme. [Resp. : K5+259.752 (Eje 2)=K5+281.639 (Eje 1)].

Datos:Además de la información dada en la Figura 3.93. se conoce:Coordenadas de A = N: 528,E: 416Coordenadas de B = N: 625, E: 530

~ PROBLEMA 3.15

Calcular:a) La ecuación de empalme.

[Resp.: KO+184.170 (EjeB)DKO+214.029 (Eje A)].b) La abscisa del punto P. [Resp. : Absc.P=KO+061.331).'-

JA~I(S C,\RDf:NAS GRISAlES242

2~5

Figura 3.~7 Problema 3.19

Datos:Además de la información dada en la Figura 3.97, se conoce:Distancia AB = 235m

PROBLEMA 3.19


CAPiTULO J. 01$1,:'10 GEOMETRICO 1l0RIZONTAL: PLANTA

Calcular:Las coordenadas del punto P de abscisa K4+640.[Resp. : N=5198,853, E=3197.667].

Datos:Adicionalmente a la información dada en la Figura 3.96, se conoce:Coordenadas de B = N: 4995.430,E: 3254.210Distancia BD = 140.240mPunto medio de 80 = Punlo eCuerdas = e = 5m (prímera curva) y 10m (segunda curva)

=* PROBLEMA 3.18


Calcular:La ecuación de empalme de la Vía 2 en la Vía 1.[Resp. : KO+966.304 (Vía 2)",KI+161, 181IVía 1)].


1'- PROBLEMA 3.17- --_._-_ ...__ ...._- -_._---_ ..-_._-----

J,\~Ir:S C.iR!1F:-:AS GRISALES

L

- ,- '-'. _,----

Figura3.99 Problema3.21,

Calcular:La ecuación de empalme del Eje 3 en el Eje 2_(Resp. : KO+169. 763 (Eje 3)=KO+167.726 (Eje 2)].

= Ge2= 60= T3= 55.090m=c,=c2=c3:.10m

Curvatura curva RlTangente al PIJCuerdas

Datos:Para la figura 3.99. adicionalmente se tiene:P/z.PI, = 88.460mRadio al PI, = R,= 71.680m

PROBLEMA 3.21

247C.\rITULO 3. DISERoGEOMETRICO1I01<IZONr'\L.I'L'\~l.-\

-.:.. ,_-.,_' ----

Figura3.98 Problema3.20'1

I

A

Calcular:a) Las abscisas de P por el Eje 1y por el Eje 2.

[Resp. : Abscisa P (Eje 1)=KI+050.295, Abscisa P (Eje 2)=K2+052.690).b) Las coordenadas del punto P.

[Resp. : N=4935.052, E=7994.791).

Datos:Además de la información dada en la Figura 3.98, se conoce:Coordenadas de A = N: 5000, E: 8000Cuerdas = c = 10m (pare! Eje 1) y 5m (por el Eje 2)

PROBLEMA 3.20

Calcular:Las ecuacionesde empalme necesarias.[Resp, : KO+149.862 (Eje l)lIiJKO+102.974 (Eje 2)

KO+096.796 (Eje 3)aKO+176.539 (Eje 2)K0+29.5.628 (Eje 2)=KO+I30.496 (Eje 4)).

J"~IES C.-\RDENASlil<lS.-\LES246

...•. --- ------------~

Calcular:a) La ecuación de empalme entre los dos ejes.

[Resp. : KO+384.307 (Eje B)aK5+052:lt20 (Eje A)].b) Las coordenadas del punto de abscisa K5+100.

[Resp. : N=10082.645, E=5181-,755).

Datos:Para la Figura 3.102, adicionalmente se tiene:Coordenadas de P = N: 10000. E: 5000Distancia PO = 273mPM y ON son paralelas

PROBLEMA 3.24


\-------------o

Calcular:La abscisa del punto. P por el Eje l. [Resp. : Abscisa P (Eje 1)=K4+069.549].

= N: 447.080. E: 442.880Coordenadas de B

cAriTULO J. DISE:':OGEO~IIrrR ICO 110~¡::o:-;r. \ L. PLANT.\

Datos:!':U3 la figura J.I 01, adicionalmente se tiene:Coordenadas del PI = N: 500.730, E: 413.960Coordenadas de A = N: 454.120, E: 361.940

·PROBLEMA 3.23_. ---_ ---------------------

Figura 3.100 Problema 3.22••: '_40

Calcular:Las abscisas del punto de intersección P de la Vía 1 con la Vía 2.[Rcsp. : Abscisa P (Vía 1)=K4+316.747, Abscisa P (Via 2)=KO+439.158]._

Datos:Paro la figura 3.100. adicionalmente se tiene:Coordenadas de A = N: 500. E: 300Distancia AB = 38m

PROBLEMA 3.22-_----_._----_._--------------

Figura 3.10,4 Problema 3.26

Datos:Para la Figura 3.104. adicionalmente se tiene:Curva de centro O, = R, = 52mCurva de centro 02 = R¡= 32mCurva de centro Ol = R3= 20mCurva de centro O, = R4 = 42mCurva de centro Os = R; = 64m

PROBLEMA 3.26

Calcular:a) La ecuación ele empalme entre el Eje B y el Eje A.

[Resp. : K5+044.248 (Eje 81;;;.K3+079.956 (Eje Al).b) Las abscisas del punto Q.

[Resp. : Abscisa Q (Eje A)=K3+017.379, Abscisa Q (Eje C)=KS'022,5551e) Las coordenadas del punto del puma Q.

[Resp. : N=967.742, E=495,873).

I.:AI'ITIJLO J.1)ISEÑl) Cl:o.\li'TIUCO II(JRIZOST ..\I. I'I.r \~T,\


.. -~,....: "i

A

~ 'T"tDlC')' .;--+-__ _ ~;; L. -....",--,.:=:,.....--++-"r= ........=-

~'

\ l __ -.!!:R#::!;70~m!._____ .; -ó'1

R:=:60m IO-__"::'=:~_~"?_

Datos:Para la Figura 3.103, adicionalmente se tiene:Coordenadas eleA = N: 1000, E: 500

PROBLEMA 3.25


JA~IES C.·\RDEN.·\SGRISALES250

= Klt002.160= LI = 68 "32'54'0

siguientes elementos:Abscisa del PIDeflexión principal

Datos:De una curva circular compuesta de dos radios se conocen los

PROBLEMA 3.30

C.al~u.lar:Las deflexiones desde el pe y desde el PI.[Rcsp. : Se presenta en la Tabla 3. 15J.

=c= 5mCuerda unidad

Dal.s:Pa.a una curva circular simple se tiene:P oscisa del pe = K4+523.800!)eflexión principal = .1= 70 'f)Grado de curvatura =G,= 6"30'

PROF ¿MA 3.29

Calcular:El radio de la curva que pasa por el punto P. [Resp. : 41.069m].


cAriTUI.O J. DISE:':O (jEO~II~RICO IIORIZO:-;T,\L: PtANTA

Datos:Para la situación dada en la Figura 3.105, se tiene:.J~ 100eo ,/3=210 ,PI.P=25m

PROBLEMA 3.28.-.- ----------_._------------

ESTACION ABSCISAS DEFLEXIONES x y.5 (m) (m)

PC KO--426.70Q oo.QO.QO,QO 0.000 0.000

1-. 430 01-34·22,80 3.299 0.091

---- 440 06.2Q.:?1lL.., __!l2.Q7 ___.~7--_ ._- 450 11.06J.2.lL~_7 _L-.4.465 _-_.-I-~ 15.52.22,68 T 31.659 -1--9.002

470 20.38.22.64 T 39.696 - i4.9S2-:_er. K0479,14f'l 25·00.QO.05T - 46093 r "2l493--... -

Tabla 3.14 Cartera de localización de una curva circular por el método de lasnormales sobre la tangente.. "

Calcular:La curva por el método. de las normales sobre la tangente; de talmanera que se teagan.1os mismos puntos de la curva dcflectados desdeel pe por d ñ,élod'OdeTas deflexicnes V cuerdas.[Rcsp .. Se mu~str!l en la Tabla 3,14J.· .

Datos:Para una curva circular simple se tiene:'\hscis,l del pe e KO+426.700Radio de la curva = R = 60. 170miklkxiún principal = ..J = 50'0Cuerda unidad -= e = 10m

PROBLEMA 3.27- ...~_..._-_ ... ------

Calcular:Las ecuaciones de empalme necesarias.IResp. : K2+242.362 (Eje 2)",KO+065.973 (Eje 1)

K2+100.531 (Eje 4);.Kl+089.000 (Eje 3)].

Figura 3.1~6 Problema 3.33

I OJ, "IANTA o,~ 9

11 : i,~

• ,RJK2+800 R I I

Jo I --------'!J-------.bo, :, ,/

BB't - =:',;;¡J~ -r":1-------------

111;1

Datos:Para la figura 3.106, se tiene:

------------------PROBLEMA 3.33

Calcular:a) Las tangentes de entrada y salida. [Resp. : 59.392m, iguales].b) La abscisa del PT de la curva compuesta. [Resp. : K2+460.302].

= LI= 84·=¿h=d2=l.h= Rl= 50m= R. = 1.5Rl=RJ= RI= CI= C1= 10m, Cl: 5m

Dellexión principalDeflexiones individualesRadio de la segunda curvaRadio de la primera curvaRadio de la tercera curvaCuerdas

Datos:Para una curva circular de tres radios SI! conocen:Abscisa del PI =K2+422.020

------------- - ---- - --_._ -- ..PROBLEMA 3.32

255CAl'lTUlO 3 DI~r:Ñ() G"()~l1,T~ICO IIORW.N 1'.\1. "I.'\NI'.\

Calcular:Las tangentes de entrada y salida de la curva compuesta de tres radios,utilizando el método general dado por 1; ~ expresiones de lasecuaciones (3-25) y (3-26). .

Datos:La misma informaci6n dada en el Ejemplo 3.23.

PROBLEMA 3.31

ESTACION ABSCISAS DEFLEXlONES DEFLEXlONES ANGULO Pf.PDESDE EL Pe (él OOBLES(Gll lal (m)

Pe K4+523,800 00-00-00 00-00-00 OO-OO.OQ.OO 30.871525 Q0.40-4JJ 01·33·36 00-01-53.60 29.677530 Q4.{)1-48 08-03·36 01-00·38.08 . 24698535 07·1648 14-33·36 04.()5·34.26 19.842540 10·31-48 21-03·36 lt-05·1389 15317545 13-46-48 27·33·36 25·32-05.22 -...D.608_:550 17-01-48 34-03-36 5045.1Q24- 9.768555 20-16-48 40-33·36 78·IS·ll.21 10.822560 23-3148 47-03-36 9542·27.35 14.127565 26-46-48 53-33.J6 104·24·11.30 18.485570 30-01-48 60-03·36 108·22·12.90 23.275575 33·16-48 66·33.J6 109·50,'9.40 28.231

PT K4+577.646 35-00-00 70-00-00 110-00-00.00 30.877 -

Tabla 3.15 Cartera de localización de una curva circular desde el pe y desde el PI

Calcular: ,-a) Las tangentes larga y corta de la curva compuesta.

[Resp. : 92.196m, 78.548m].b) Las abscisas del PC, PCC y PT usando la definición por arco.

[Resp. : PC=KO+923.612, PCC=KO+998.665, PT=KI+073.777].

= 106.680m= 152.400m= 40"18'34"

Radio de la primera curvaRadio de la segunda curvaDeflexi6n de la primera curva

J,\~IES C'\RDEN,\S GRIS,\1.ES254

= 0.50%= 20m=LI;: 30"20'1;: K5+422.320= 3.65m;: 2%= 500m;: +1%

Pendiente relativa de los bordes respecto al ejeCuerda unidadDeflexión principalAbscisa del peCalzada de dos carriles, con ancho de carrilSección normal con bombeo ... rCota del pe al ejePendiente longitudinal del eje

Datos:Para el diseño de una curva circular simple, se tiene:Velocidad específica = 80 KmIhPeralte = 7.5%Radio = 235m

PROBLEMA 3.36

Calcular:a) Las longitudes de transición y aplanamiento, rotando la calzada

alrededor de su cje. [Resp. : J5.821m, 8.955m].b) La cota del borde exterior en la sección del pe. [Resp. : 499.792].

Datos:Para el diseño de una curva circular simple, se tiene:Bombeo normal en recta = 2%Transición en toda la tangente, con peralte = 8%Diferencia de pendientes entre los bordes y el eje = 0.67%Pendiente longitudinal del eje = -1%Calzada de dos carriles, con ancho de carril ;: 3.00mCota al eje donde termina el bombeo normal = 500m

PROBLEMA 3.35

Calcular:a) Las coordenadas del punto medio de la curva circular.

[Resp, : N=865.253, E=537.369).b) La abscisa del ET. [Resp, : KO+376.303).

257CAPITULO) DISE:':O GF.O~IETRICO IfORIZO:-JTAL: PUNTA

,"

I .,


Datos:La rampa de enlace ilustrada en la Figura 3.107, une el paso inferiorcon el superior. El alineamiento de entrada a la rampa tiene un acimutde a=113~. y el de salida de /]=36°. Los puntos A y A' están sobre lomisma línea vertical. Laabscisa de A es KO+OOOy sus coordenadas sonN: 1000, E: 500. La rampa se compone de dos espirales iguales deentrada y salida cada una con una longitud L.=60m, y de una curvacircular central de radio R,=60m.

PROBLEMA 3.34

Calcular:.: I La abscisa de 8 sobre el puente y lo de B' debajo ,1<.:1puente.

[Resp, : Abscisa de B=K2+ 788.070, Abscisa de 8'=KJ+07J.012].h) La pendiente uniforme de la línea que Y<1 desde el punto B (sobre

cl puente) hasta el punto B' (debajo del puente), si verticalmenteestos dos puntos están separados 7 metros.[Resp : Pendiente=-2.457%].

= RI= 60m= RI= 40m= R,¡= 30m

Curva de centro 01Curva de centro 01Curvo de centro 03

!'\------~------~---~-._~-------~~.~._....-~

= KO+BBO= 500m= 0.77%

Datos:Para la Figura 3.109, se tiene:Abscisa del pe,Cota del PT,Pendiente relativa de los borde~ respecto al eje

PROBLEMA 3.39

Calcular:a) Las cotas en los puntos A, B y e respectivamente.

[Resp. : 502.370,499.564, 498.589].b) La abscisa de aquella sección donde se tiene un peralte del 5% tI.:1

lado del PT, en la primera curva. [Resp. : K2+993.433J.

Figura 3.108 Problema3.38

El eje de la vía trae una pendiente del ·4% hasta el puntu P, don"..:cambia al -3.5%.

Datos:Además de la información dada en la Figura 3. 108, para un par de.'curvas derechas, se tiene:

PROBLEMA 3.38

Calcular:a) Las cotas del borde derecho e izquierdo en la abscisa K2+215.

[Resp. : 501.065, 500.776]-b) La cota del borde derecho 25m después del PCz. [Resp. : 504.142].e) La abscisa donde se tiene un peralte del 4% del lado del pez en el

desarrollo de la transición de la segunda curva.[Resp. : K2+298.359].

Entre las transiciones de las dos curvas existe una longitud de 20m cnbombeo normal del 2%. El 70% de las transiciones se efectúa en recta.

= +3%

= 500.470m= 0.67%= 3.50m

= 5.6%= K2+200

= 7.0%

Se trata de las transiciones de dos curvas, la primera izquierda y lasegunda derecha, para las cuales:Peralte al PT,Peralte al PezAbscisa del PT,Cota del PT, al ejePendiente relativa de los bordes respecto al ejeCalzada de dos carriles, con ancho de carrilPendiente longitudinal del ejc

Dalos:

PROBLEMA 3.37

Calcular:a) Si el tercio central, que queda con el peralte completo, tiene una

longitud de al menos-l/J de I¡¡ longitud de la curva. [Resp. : S~.b) La cota del borde izquierdo en la abscisa K5+575. [Resp. : 501.4541.

La transición del peralte se realiza 2/3 en la tangente y 1/3 en la curva. = 2%= 0.67%= 500m

Sección normal con bombeoPendiente relativa de los bordes respecto al ejeCota del punto P

CAPI rULO J DIS~:\O GEO~IET;UCCJ1I0IUZ(,i'< rAl. PLANT.\

..l

J.\~IES C'\RDE:-':..\S GRIS"l~~158

= 32m= 3.65m= -3%= K2+900= 500m= 80% en recta

Datos:-.Para la Figura 3.111, se tiene:Longitud de transición de la primera curvaCalzada de dos carriles, con ancho de carrilPendiente longitudinal del ejeAbscisa del PT, -,Cota al eje en el PT,Transiciones

Calcular:a) La cota del punto A. [Resp. : 503.882].b) La COladel punto B. [Resp. : 498.635].e) La cota del borde derecho en la abscisa K2+040. [Resp. : 501.508].


= 50m= 70m= 3.65m= +4%

Longitud de la primera curvaLongitud de la segunda curvaCalzada de dos carriles, con ancho de carrilPendiente longitudinal del eje

261CAI'ITUI.O l. OISE:<O Gr:OMETRICO HORI7.0NTJ\1..: PLANT,\

PROBLEMA 3.41

~.",

= 10%=8%= 0.96%

Datos:Para la figura 3.110, se tiene:Peralte de la primera curvaPeralte de la segunda curvaPendiente relativa de los bordes respecto al eje

PROBLEMA 3.40----- ---- -----

Calcular:a) Las cotas en los bordes en el KI+050. [Resp. : 506.873, 506.721).b) Las cotas en los bordes en la abscisa ubicada 5m después del PT,.

[Rcsp, : 505766, 505.434J.


8% I. t ,%

~-- ·J~-I-- -0-1 __oj pr, ..------ pez I: ~~..'" " ....

--""",";¡; '----

= 135m= 112m= 68m= 3.65m=2%= +4%= 70% en recta

Longitud de la primera curvaLonguud Je la segunda curvaDrstancr.i del PT, al PC2Calzada de dos carriles. con ancho de carrilBombeo normalPendiente longitudinal del ejeIransicioncs

-.- _._~.- .~- ..~ ..,.~-,~.~~-~-----


Calcular:a) Las cotas del borde derecho e izquierdo en la abscisa KO+995 .

[Resp. : 499.745,500.279].b) La cota del borde derecho en la abscisa KI+055. [Resp, : 499.655].e) La abscisa cuando se ha desarrollado el 85% de la transición del

peraltado en la segunda curva. [Resp, : KI+104.702}.

Las pendientes longitudinales del eje son: -1.0% hasta el PT" -0.5% delPT, al pez y del +0.5% del pez en adelante.

Datos:Se trata de las transiciones de dos curvas derechas, para las cuales:Peralte de la primera curva = 8.0%Peralte de la segunda curva "6.0%Abscisa del PT, = KI+OOOAbscisa del pez = KI+IOOCota del PT, al eje = 500mPendiente relativa de los bordes respecto al eje = 0.67%Bombeo normal = 2.0%Calzada de dos carriles, con ancho de carril = J.50mTransiciones = 70% en reciaSobreancho requerido en las curvas = 1.40m

PROBLEMA 3.43

Calcular:a) Las cotas de los bordes de la calzada en la abscisa KJ+100.

[Resp. : 488.140, 487.860}.b) La abscisa correspondiente a un peralte del 5% en la espiral do:

salida del PI,. [Rcsp, : K2+943.125] .

= 500m= -4%= 3.65m

Datos:Para la Figura 3.112, se tiene:Cota al eje en el TE,Pendiente longitudinal del ejeCalzada de dos carriles, con ancho de carril

PROBLEMA 3.42

263CAPiTULO 3. DISEI':O {jEO~It:TRICO IfOlllZONT ..\f.. flf.Mrr..\

..

i

,.Calcular:a) Dibuje un esquema de la planimetría correspondiente.b) La cota del borde derecho en la abscisa K3+055.

[Resp. : 495.209 Ó 495.491].


J.-I~I[S C,\RDEK·\S GRIS..\LES

Al igual que el diseño en planta, el eje del alineamiento vertical estáconstituido por una serie de tramos rectos denominados tangentesverticales, enlazados entre sí por curvas verticales. El alineamiento aproyectar estará en directa correlación con la topografía del terrenonatural. -.

4.2 ELEMENTOS GEOMÉTRICOS QUE INTEGRANEL ALINEAMIENTO VERTICAL

El diseño geométrico vertical de una carretera, o alineamiento enperfil, es la proyección del eje real o espacial de la vía sobre unasuperficie vertical paralela al mismo. Debido a este paralelismo, dichaproyección mostrará la longitud real del eje de la vía. A este ejetambién se le denomina rasante o subrasante.

4.1 CONCEPTO

Diseñogeo1l1étrÍ(vierti'cal:r.asante

Capítulo 4

, ...,-_._---

Para proyectos de carreteras en los cuales se supere la longitud críticay con volúmenes de tránsito promedio diario mayores a 1000vehículos, será necesario, para propósitos de capacidad y niveles de

Se define la longitud crítica de U/le pendiente como In maximalongitud en subida sobre la cual un camión cargado puede operar sinver reducida su velocidad por debajo de un valor prefijado, Seconsidera que la longitud crítica es aquella que ocasiona unareducción de 25 Kmlh en la velocidad de operación de los vehículospesados, en pendientes superiores al 3%. De orden práctico, SI:

establece la longitud critica de una pendiente como la distanciahorizontal medida desde el comienzo de la pendiente, necesaria pamlograr una altura de 15metros respecto ni mismo origen.

Las pendientes máximas se emplearán cuando sea conveniente desdeel punto de vista económico con el fin de salvar ciertos obstáculos decarácter local en tramos cortos tal que 110 se conviertan en longitudescríticas.

CarreteraTl!fciana

CarreteraSecundaria

Carrell!f3 Principalde una calzada

CalJetera Principalde dos calzadas

Tabla 4.1 Pendientes máximas recomendadas

267(,\rrrULo4. OISI;"»:O(jt:O~II:TRIlO vERTleA!.. 1(,\S,\;--:lE

"'"

,•

t..

La pendiente máxima es la mayor pendiente que se permite en elproyecto. Su valor queda determinado por el volumen de tránsitofuturo y su composición, por la configuración o tipo de terreno pordonde pasará la vía y por la velocidad de diseño. En la Tabla 4.1 sepresentan laspendíentes máximas recomendadas a utilizar.

Para propósitos del diseño vial, las pendientes deben limitarse dentrode un rango normal de valores, de acuerdo al tipo de vía que se trate.Así se tendrán pendientes máximas y mínimas.

Obsérvese que en la expresión anterior la pendiente mse ha expresadoen porcentaje.

Por lo tanto:

m=( i.)tooFigura 4.1 La tangente vertical

Las tangentes sobre un plano vertical se caracterizan por su longitud ysu pendiente, y están limitadas por dos curvas sucesivas. De acuerdocon la Figura 4.1, la longitud T.de una tangente vertical es la distanciamedida horizontalmente entre el fin de la curva anterior y el principio. de la siguiente. La pendiente m de la tangente vertical es la relaciónentre el desnivel y la distancia horizontal entre dos puntos de lamisma.

4.2.1 Tangentes verticales

JA.'.IES (,\ROENAS GRISALES266

A= PIV = Punto de intersección vertical. Es el punto donde seinterceptan las dos tangentes verticales.

B = PCV= Principio de curva vertical. Donde empieza la curva.C= PTV= Principio de tangente vertical. Donde termina la curva.Be = L. = Longitud de la curva vertical, medida en proyección

horizontal.VA = E. = Externa vertical. Es la distancia vertical del PIVa la curva.VD = ( = Flecha vertical.P(XI. YI)= Punto sobre la curva de coordenadas (XI. YI).Q(XI. y?)= Punto sobre la tangente de coordenadas (XI. y?). situado sobre

la misma vertical de P.QP = y Corrección de pendiente. Desviación vertical respecto a la

tangente de un punto de la curva P. Valor a calcular.BE = X Distancia horizontal entre el PCV y el punto P de la curva.a Ángulo de pendiente de la tangente de entrada.f3 Ángulo de pendiente de la tangente de salida.r Ángulo entre las dos tangentes. Ángulo de deflexión

vertical.m=fana= Pendiente de la tangente de entrada.n=lan f3 = Pendiente de la tangente de salida.Flan r = Diferencia algebraica entre las pendientes de la tangente de

entrada y de salida.

En la Figura 4.2, se presenta la parábola de eje vertical, perfectamentesimétrica. Los principales elementos que caracterizan esta parábolason:

La pendiente de cualquier cuerda de la parábola, es el promedio de laspendientes de las líneas tangentes a ella en sus respectivos extremos.

Los elementos verticales de la curva (cotas) varían proporcionalmentecon el cuadrado de los elementos horizontales (abscisas).

La proyección horizontal del punto de intersección de las tangentesverticales está en la mitad de la línea que une las proyeccioneshorizontales de los puntos de tangencia extremos. donde empieza ytermina la curva.

~69CAPíTUlO~. UISEÑO GEOMÉTRICO VElnlCAL. RASANTE

,..

'-- '.-- ..------~

La razón de variación de su pendiente a lo largo de su longitud es unaconstante.

La oani?ola utilizada para el enlace de dos tangentes verticalesconsecutivas debe poseer las siguientes propiedades:

4.3.1 Curvas verticales simétricas

4.3 GEOMETRíA DE LAS CURVAS VERTICALESPARABÓLICAS

Una curva vertical es aquel elemento del diseño en perfil que permiteel enlac.ede dos tangentes verticales consecutivas, tal que a lo largo desu longitud se efectúa el cambio gradual de la pendiente de la tangente~I! .c~Híadaa la pendiente de la tangente de salida, de tal forma quelacd.n.:: ~na operación vehicular segura y confortable, que sea deapancncra agradable y que permita un drenaje adecuado. Se hacomprobado que la curva que mejor se ajusta a estas condiciones es laparábola de eje vertical.

4.2.2 Curvas verticales

La pendien~e minima es la menor pendiente que se permite en elproy:clO. ~u v~lor se fija para facilitar el drenaje superficiallongitudinal, pudiendo variar según se trate de un tramo en terraplén oen corte y de acuerdo al tipo de terreno. De todas maneras lainclinación de la línea de rasante en cualquier punto de la calzad; nodebe.rá ser menor que 0.5%. Salvo justificación, no se proyectaránI~ngltudes de pendientes cuya distancia de recorrido a la velocidad dedlsc~o sea inferior a la recorrida en 10 segundos; midiéndose dichalongitud entre vértices contiguosl7l.

servicie, estudiar la posibilidad de construir vtas lentas o carriles 1-adicionales a la derecha para tránsito lentoñ,

JA,\IESCÁRDENASGRISAlES268

27t

Reemplazando YJYdespejando Y1,se tiene:kL! kL!--Y1 =--kL.x,4 2

Evaluándola en el punto B:

; (L.)YJ-Y1=kL. "2-x,

Y-Y2 =m(x-x,)y . y2 =kL.(x - x,)

La ecuación de la tangente también puede darse considerando supendiente m y el punto O:

Extema = Flecha

La anterior igualdad es una importante propiedad de la parábola. lacual dice que:

VA=VD

Obsérvese que los valores absolutos de YJy y. son iguales, por lo tanto:

,de donde.

Reemplazando YJYm en la ecuación de la tangente y evaluando para elpunto A(O. Y4). se tiene:

kL! .' L) keY. --¡-=kL,(_O-t =--¡-

CAPITULO~ DISENOGF.O~If:TRICOVERTICAL:RASANTE

1.,

Para la parábola en el punto B se tiene:

m = dy • evaluada en el punto S,dx

m .: 2k~ := 2k( L; ) =kL.

, donde.

La ecuación de la tangente de entrada, dados su pendiente m y unpunto S, es:

, L)y-y¡=mlt-t,

Se tiene entonces una parábola de eje vertical coincidiendo con el ejey y el vértice Ven el origen (O. O), según el sistema de coordenadas Xversus Y. La ecuación general para esta parábola es:y=kt?

Figura 4.2 Para bola de eje vertical, perfectamente simétrica

'A~Ir.S c.\Rnr::-:·\S GRIS \Lr:~no

y': y -y, -Y2Y=( 2~)x2 , referido al PCV

Y, =m(x-;)

Ahora considérese el punto P' sobre la segunda mitad de la curva. Parasituarlo desde el punto e o PTV interesa conocer la distancia x' y laaltura y'. Entonces:

Para x =~ , se tiene que: y =E, , entonces,2

( . XL)2 ( . ) eE, = 2~, f = 2~, tE=l,i ~~, B

4E 2Regresando a: y =-f x , y reordenando,Lv

Reemplazando los valores de: las tangentes:

m - i._--2

tana = tan Y.. '" tan y2 2

273c ..\I'iTUlO~. DISI.:~OGEO~IÚTRICO VERTICAL. 1<.\S,Wré

•..-~._-.... - _...... ~.-~- _._.

Para el caso de perfecta simetría, adebe ser igual a/]:

y =a + a = 2a , esto es, a = f

También se observa que:y=a+p

Esta es la ecuación de la corrección de pendiente en función de laexterna E. y con origen el punto B o PCV.

(4-1)

4E. 2Y=-Xev

y efectuando la diferencia entre y, y Y2, que es la que se quierecalcular, resulta:

k 2 n kL~ k( L! L 2 Jy, -Y2 = X, - ...,x, +4= 4- ,x, +x,

YI-r2=k(;-xIJ=r ,pero,

k= 4yJ = 4YI = 4VA= 4E,L~ L! L~ L;

Lzs: - x, = BE = x , por lo tanto,2

Para la parábola en el punto P se tiene:y, =kx{

'-

JA~IESC,\RDENASGRIS,\LES272

275

Caso S:1= -m-{-n) = -m+n1=-{m-n)<O

Caso 4:I = .mi+n) = -m·n1= -(m+n)<O

Caso 3:I ~ -m-{-n) = ·m+n1= +(n-m»O

Caso 2:1= m-{+n) = m-nt= +(m-n»O

Caso 1:1=m-{-n) =mtn1= +(m+n»O

Esta es la expresión general que define el valor de i. En lo.Figura 4.4.se ilustran los seis casos que se presentan:

Para valores prácticos de las pendientes viales, el producto mn es muypequeño comparado con la unidad, por lo cual se desprecia, Por lotanto:i=m-(-n) (4-5)

Aplicando la función tangente:

tan y = tan(a -s- 13)= ~ta::.:n..:.a_-.::ta::..:..n::...131+ tan a tan 13

, m-(-n) m-(-n)1= 1+m(-n,= -1---m-n-

tana=m ,lan/3=·n .tanr=i ,a+{3"r

Las pendientes analíticas con respecto a la línea horizontal son:

c,IPlrUlO 4. DISEÑO GEOMÉTRICO VERflCAL: RoISoINTli

Figura 4.3 Diferencia algebraica entre las pendientes

Cou.o se dijo anteriormente; es la diferencia algebraica entre laspendientes de la tangente de entrada y salida. En la Figura 4.3 semuestra un caso más general, en el que precisamente a"'p'

(-1--1)

Pero I.,·x" x'. entonces.r I .

y' ~ I-- l(x'l'Oc ••~~;l:-\~L. ) •

Las expresiones de las ecuaciones (4-2) y (4-4) para las correccionesde pendiente y y y' indican que 1:1 primera mitad de la curva se calculadesde el PCV y la segunda desde el PTV respectivamente.

¡ L \ ( L'y; se ni x - is: 1=m x _...2. I . pues aquí m = n. entonces.2 J • 2 I

• , I ), 2 ( L, )Y,~,-;;¡--,l - mx--" '-, ,?

y =1-,I IXI -ir x-~'J"_' rxl-2L.lx-~)].2L; , 2 2L, ~ 2

y'" +¡X1 - 2Lyx+L~)=-¡-(L~ -2L,x +xl): _i_(Lv - XY( I 2L, 2L,

Cola P = Colap'.y , donde,Cota P'=Cota PCV +mx

y =(2~}1 , entonces,

La cota de P a partir de la cota del PCVes:

Figura4.5 Puntomáximodeunacurvaverticalsimétrica

l1horizontal

Un elemento geométrico importante de ubicar en curvas verticales éS

su plinto máximo (el punto más alto de la curva), o su plinto minimo(el punto más bajo de la curva). Así por ejemplo, en la Figura 4.5 dpunto P representa el punto máximo de tina curva vertical convexa.

Valores positivos de i(i >0)representan curvas verticales convexas o encresta: Casos 1, 2 Y 3. Valores negativos de i (1 <O) representan curvasverticales cónc(lvas o en columpio: Casos 4, 5 y 6.

Par el cálculo de 1,las pendientes de diferente signo se sllman: Casos Iy 4. Las pendientes de igual signo se restan: Casos 2, 3, 5 y 6.

De acuerdo con lo anterior. se pueden identificar dos característicasimportantes de las curvas verticales:

277CAPITUlO~. DISEÑOGEOMÉTRICOvERTICAL: RASANrs

Figura4.4 Significadode i. Tiposdecurvasverticales

~l. m-(+n) • m-",. - (n-m) < O

Au..JI • -m-(-n) _ -m"''''''' - (m-n) < O

1:<uJL.JI • -",-(+n) .. -m-tiI ~ - (m..n) < O

~I • -m-(-n) • -m+n1= .. (n-m) > O

~I .= m-(+n) = m-"1: ..(m-n) > o

~I ::ti m-(-n) • m+nI;JI + (m+n) > o

- n

.. n

'_

Caso 6:1= m-(+n) = m-n1= -(n-m)<O

J,lMf:S CÁRDENASGRISALES276

279

De acuerdo con la ecuación (4-1), las correcciones de pendiente paracada rama se calculan como:

Una curva vertical es asimétrica cuando las proyecciones horizontalesde sus tangentes son de distinta longitud. Esta situación se presentacuando la longitud de la curva en una de sus ramas está limitada poralgún motivo. La Figura 4.6, ilustra este caso para una curva verticalcóncava.

4.3.2 Curvas verticales asimétricas

Quiere decir que para determinar la posición horizontal x o abscisa delPlinto máximo, referida al PCV, simplemente se multiplica la longitudde la curva L. por el cociente de dividir a m entre i. Esta mismaexpresión también es válida para el cálculo del plinto mínimo de unacurva vertical cóncava.

(4-6)

L;¡ expresión anterior es la ecuación de la parábola, la cual define laposición exacta de P, mediante sus coordenadas (x. z), y de cualquier"1m Plinto sobre la curva. La pendiente de la tangente a cualquierpunto de la curva está dada por la primera derivada dzldx, que para elpunto máximo es igual a cero:

~; = :X[mx-(2~}l]=Om_r_i_)2X =O . de donde,l2L.x=(f}·

. pero,CotaP:o Cola PCV +mx -( 2~)xlCotaP - CotaPCV = Z , esto es,

z =mx-(-i-ix22L,. )

Pero, la flecha e es igual a la externa E., entonces,a+E. +E. =d

d-aE. =-2- ,donde,

d=mL,a =pL,=(~)L, , pero,

L, +Lza+b =d - e =mL, - nLz , esto es,

Para las cuales la externa E. se calcula así:a+c+E. =d

J ..\\lES C\RnENAS ORISr\I.ES273

(4-8)

(4-7)y, =E·U: rYZ=E·u:r

Figura 4.6 Curva vertical asimétrica

CAPITULO~. 015E:>;0GEO~ltTRICO VERTIC,\L, RASANTE

(4-1 J)mex=-'2E.

Esta expresión define la posición horizontal x o abscisa del pl/IIIVmínimo, referida al PTV. para el caso en que el punto mínimo seencuentre en la segunda rama de la curva. Si el punto mínimo seencuentra en la primera rama de la curva, la posición horizontal xreferida al PCV, se calcula con la siguiente expresión:

(4-10)

,de donde,n-e~'}=onex=-¡2E,

La expresión anterior es la ecuación de la parábola asimétrica, la cualdefine la posición exacta de p. mediante sus coordenadas (x, z), y decualquier otro punto sobre la curva. La pendiente de la tanuente acualquier punto de la curva está dada por la primera derivada dzJdx.

:~e:;a[:~::n(toxn1)í2nli:1: es igual a cero:

dx dx vLI

ColaP = CotaP'+y • donde,Cota P' = Cota PTV - tix

y = Ev( ¿)2 • entonces,

CotaP = Cota PTV -nx + E,( ¿r .pero,Cota PTV - Cota P = Z , esto es,

z=nX-E.(¿)'

La COlade Pes:

cAPiruLO •. DIS¡;¡\;OGCO,\II,TRICO VEltTlC,II. R..\SAN rt

!

1i+

Figura4.7 Puntomínimodeunacurvavertical asimétrica

Como se vio anteriormente es importante ubicar en curvas verticalessu punto máximo o su punto mínimo. Así por ejemplo, en la Figura ~.7el punto P representa el punto mínimo de una curva vertical cóncavaasimétrica.

(4-9)

Pero m +n = i , por lo tanto,E = iL,L¡• 2Lv

mLr _(mL, -nL2)~E. _ L, +L¡ = mL,(L, +L¡)-(mL, -nL¡)L,

2 2(L, +L2)E _ mL~+mL,LI - mL~+'I'Ib.,LIv 2(L, +L¡)

L,+Ll= L.E = (m+n)L,L1

v 2L,

¡A\lcS C'\RDE."AS GRISALES280

283

Abscisas y cotas de: pev, PTVAbscisaPCV =AbscisaP/V· Lv = K2+640 _ 120 = K2+ 580

2 2

AbscisaPTV = Absc;saP/V +~ =K2+640+~ =K2+ 7002 2

Cota PCV =Cota PIV •m( L; ) = 500 - 0.08(60) = 495.200m

Cota PTV =Cota PTV• n( L; ) = 500 - O,03(m)j = 498,200m


Solución:

Calcular:La curva vertical en abscisas de 10 metros.

= K2+640:: 500m=+8%=·3%= 120m

Abscisa del PTVCOla del PTVPendiente de la tangente de entradaPendiente de la tangente de salidaLongitud de la curva vertical

Datos:Para el cálculo de una curva vertical simétrica se dispone de lasiguiente información:

EJEMPLO 4.1: Curva vertical convexa simétrica

Mediante esta expresión, como se verá más adelante, se puededeterminar la longitud mínima de una curva vertical para uncoeficiente angular k. dado, según los criterios de seguridad, drenaje,comodidad y apariencia, de acuerdo al tipo de vía a proyectarse.

(4·13)L. =k,i

CAPiTULO 4, DI~E:'lO GEOMF.TRICO VERTICAl.: RASANTE

Así. si kv es la distancia horizontal para que se produzca un cambio dependiente de! 1%, la longitud necesaria para que se produzca uncambio total de pendiente del; % será la longitud total Lv de la curva,esto es:

Figura 4.8 Coeficiente angular de una curva vertical

Entonces kv es la distancia horizontal en metros, necesaria para que seefectúe un cambio del 1%en la pendiente de la tangente a lo largo dela curva, tal como se ilustra cn la Figura 4.8.

Si i= 1% -)k,=L,i1%(mts/%)

(4·12)

El coeficiente angular kv de una curva vertical, define la ClIIT(/(Ur(( dela parábola como una variación de longitud por unidad de pendiente.así:

kv ~ L~ (mts/%)I

4.3.3 Coeficiente angular de una curva vertical

Estas mismas expresiones también son válidas para el cálculo del1'1//1/0 máximo de una curva vertical convexa asimétrica,

"'_ e_ ••• _. _. > •.__ ._~.,'-~, __=,.. _

De esta manera, queda calculada la curva vertical, con lo cual sepuede elaborar el modelo de cartera, con la información necesaria, talcomo se muestra en la Tabla 4.2. .

Para obtener las cotas de los respectivos puntos sobre la curva,llamadas también cotas rojas, cotas de proyecto, COlas de rasante ocotas de subrasante, se deben restar de las cotos en la tangente. lascorrecciones de pendiente, ya que se trata de una curva verticalconvexa.

Como se trata de una curva simétrica, las correcciones de pendiente delos puntos 6, 7, 8, 9 Y 10 de la segunda rama, son exactamente lasmismas de los puntos 5, 4, 3, 2 y 1 de la primera rama,respectivamente.

Como comprobación, ésta última corrección de pendiente debe serigual al valor de la externa Ev:E = L.i = 120(0.11) = 1.650m• 8 8

Punto 1:K2+590, XI::: 10m, y, ::[4.58333(10)·'J(10)1::0.046mPunto 2: K2+600, xi= 20m, Yl = [4.58333(10)"J(20)1:: 0.183mPunto 3: K2+610, X3:: 30m, Y3:: (4 58333(1O)·4J(30)1:: 0.412mPunto 4: K2+620, XI:: 40m, y¡:: [4.58333(10)"J(40)1 :: 0.733mPunto 5: K2+630, X5:: 50m, ys:: [4.58333(10)·IJ(50)1 :: t.146mPIV : K2+640, X6 = 60m, Y6 = [4.58333(1WJ(60)2 :: 1.650m

Por lo tanto, las correcciones de pendiente y para los diversos PUIIII)Sson:

La constante 4.58333(10)·1 110 debe aproximarse, puesto que ella est.ibasada en los parámetros; y L.,. En otras palabras, debe considerarsecon toda su fracción deci mal.

CAI'ITULO 4. DISEÑO GeOMETRICO VERTIC.·\I.:R'\Sc\NTE

...~.

1:: m-n = +8%-(-3%) = 11% '" 0.11

Correcciones de pendiente en puntos intermedios:

Cola de 1= Cota PIV-m(50) = 500-0.08(50) = 496.000mCota de 2 = Cola PIV-m(40) = 500-0.08(40) = 496.800mCola de 3= Cota PIV-m(30) = 500-0.08(30) = 497.600mCota de 4 = Cota PIV-m(20) = 500-0.08(20) = 498.400mCota de 5 = Cota PIV-m(10) = 500-0.08(10)::: 499.200mCota de 6 = Cota PIV-n(10) :: 500-0.03(10) = 499.700mCota de 7= Cota PIV-n{20) = 500-0.03(20) :: 499.400mCota de 8 = Cota PIV-n(30) = 500-0.03(30)::: 499.100mCota de 9:: Cola PIV-n(40) = 500-0.03(40) = 498.800mCota de 10::: Cota PIV-n(50)= 500-0.03(50) = 498.500m

Cotas en la tangente en puntos intermedios:

Figura 4.9 Curva vertical convexa simétrica

J.-\.\IESc.;'\RDENAS GRISAI.ES284

Cota de 1= Cola PCV+m(20) = 499.200+0.01(20) = 499.400m "Cola de 2 = Cola PCV+m(40) = 499.200+0.01(40) = 499.600m •Cota de 3 = Cola PCV+m(60) = 499.200+0.01(60) = 499.800mCola de 4 = Cota PIV+n(20) = 500+0.06(20) = 501.200mCola de 5 = Cota PIV+n(40) = 500+0.06(40) ='"'S02.400mColade 6 = Cola PIV+n( 60) = 500+0. 06(60) = 503.600m

Cotas en la tangente en puntos intermedios:

AbScisa PTV = Abscisa PIV +~ = K5+940 +80 =K6 + 0202

Cota PCV =Cola PIV -m(; ) = 500 -0.01(80) = 499.200m

Cota PTV = Cola PIV +n(; )= 500 + 0.06(80) = 504.800m

Figura-4.10 Curva vertical cóncava simétrica

- _. -_.- "'.- --_._----------

Abscisas y cotas de: PCV, PTV

AbscisaPCV = AbscisaPIV -~ = K5 +940 -80 = K5 + 8602


Solución:

Calcular:La curva vertical en abscisas de 20 metros.

Pendiente de la tangente de entrada = +1%Pendiente de la tangente de salida = +6%Longitud de la eurva vertieal = 160m

= K5+940= 500m

Abscisa del PIVCota del PIV

Datos:Para el cálculo de una curva vertical simétrica se dispone de lasiguiente información:

EJEMPLO 4.2: Curva vertical cóncava simétrica

~S6 JA~Ir:S C..\RDf:N,\S (¡RISAI.ES l' CAPiTULO 4, DISENO GE()MÉTRICO VERTIC Al.; RASANTE 287

Tabla 4,2 Cartera de diseño de rasante, curva vertical convexa

PUNTOS ABSCISAS PENDIENTES COTASENLA CORRECCI N COTASéTANGENTE DEPENDIENTE ROJAS L.¿2 L.¿2 •~PCv K2+580 495,200 0,000 495.200 f ~1 590 496,000 -0.046 495954

PTV2 600 496800 ·0183 496.6173 610 +8% 497.600 -0,412 497.1884 620 498.400 -0.733 497,6675 630 I 499,200 ·1.146 498.054PIV K2+840 ? 500,000 ·1.650 498.3506 650 I 499.700 ·1.146 498.5547 660 I 499.400 -0.733 498,657 -8 670 ·3% 499,100 -0.412 498.6889 680 I 498.800 ·0.183 498.617.

1ft ~ +J_% PCV10 690 • 498.500 -0,046 498.454PTV K2+700 0 498200 0,000 498200

'" '" '" '"r '".. ~ g ~.. ~ '" a 1!.... .. .. :: .. ..'1, '1 .. >: "',"'1

. " __ --_._ ._,.. -- -,....,._,.-~_._,_".,."., ......_------------

Figura 4.11 Curva vertical simétrica por un punto obligado.

g..~

1'CV r'l L./Z lr/Z.


Solución:

Calcular:la longitud de la curva vertical simétrica, de tal manera que en laabscisa K6+005 la cota en la curva sea 571.500.

Pendiente de la tangente de entrada == +5%Pendiente de la tangente de salida e +1%

= K5+995== 572.800m


Datos:Para una curva vertical simétrica Si! conoce:

EJEMPLO 4.3: Curva vertical simétrica gue pasa por un punto obligado------- - _._---_._

CAPiTULO ~_DISEÑOGEO~fETRICOYCRTIC¡\I.. RAS.\N, ¡;

PUNTOS ABSCISAS PENDIENTES COTAS EN LA CORRECCiÓN COTASTANGENTE DE PENDIENTE ROJAS

PCV K5<860

1%499.200 0.000 499.200

1 880 499.400 ..0,063 499.4632 900 499.600 ..0.250 499.8503 920 t 499.800 ..0.563 500.363

PIV K5+940 5OO.~ +1.000 501.0004 960 501.200 ..0,563 501.7635 980 r' 502.400 ..0.250 502.6506 KS..ooo 503.600 +0.063 503.663

PTV K6+02Q 0 504.800 0.000 504.800

Tabla 4.3 Cartera de diseño de rasante, curva vertical cóncava, . '~

Queda así calculada la curva vertical con la información necesaria, talcomo se aprecia en la Tabla 4.3.

Para obtener las cotas rojas, se deben sumar a las cotas en la tangente,las correcciones de pendiente, ya que se trata de una curva verticalcóncava.

De la misma manera, la corrección de pendiente al PIVes igual al valorde la externa E.:E = L"i :; 160(0.05) 1.000mv 8 8

Punlo 1: K5+BBO, x, = 20m, y, == [1.5625(10)·~(20)2 == 0.063mPunto 2: K5+900, Xl == 40m, Y2 == [1.5625(10)-4](40)2 == 0.250mPunlo 3: K5+920, XJ == 60m, YJ == [1.5625( 10)·4](60F == 0.563mPIV : K5+940, XI == BOm,y4 == [1.5625(10)4](80)2 == 1.000m

Por lo tanto, las correcciones de pendiente y para los diversos puntosson:

Correcciones de pendiente en puntos intermedios:1= m-n = +1%-(+6%)=-5%.. -0.05

Y =(_i )X2 = 0(.05r'= [1.5625(10)"1 k2L" 2 160 '_

JAMES CARDtNAS GRISALES188

Igualmente, la cota del punto Pes:.

Abscisa de P = Abscisa PCV +x

Abscisa PCV = Abscisa PIV • .!:x_ = K7 + 040- 120 = K6 +9802 2

Abscisa de P = K6 + 980 + 71.578",K7 +~M79

Por lo tanto, su abscisa es:

X=(!!!.)L =(6.8% )120 = 71.579mi ' 11.4%

El punto P, punto máximo de la curva, según la ecuación (4-6), seencuentra ubicado a la distancia x del PCV:

m= 6.8% ,n = -4.6% ,i =m -n = 6.8% -(-4.6%)=11.4% ",0.114L, = 120m

Figura 4.12 Ejemplo de punto máximo de una curva vertical simétrica

L,/Z

horizontel

p'p,----------~------~/,

PIV" •,,

De acuerdo con la Figura 4.12. se tiene:

Solución:

291CAPiruLO~. DIS[¡;'OGEO)I,ltTRKO VERTI(,\I.; R,\SANTE

•

Calcular:La abscisa y la cota del punto más alto de la curva.

Pendiente de la tangente de entrada = +6.8%Pendiente de la tangente de salida = -4.6%Longitud de la curva vertical = 120m

= K7+040= 1600m

Abscisa del PIVCota dcl PIV

Datos:Para una curva vertical simétrica se tiene la siguiente información:

EJEMPLO4.4: Punto máximo de una curva'vertical simétrica' , .;'" .....'H

Iongil ud de la curva es:t, = 318.745m

Resolviendo esta ecuación de segundo grado. se determina quc la

y = Cola de A •Cola de 8 • donde,Cola de A = Cota del PIV + 10(n)= 572.800+ 10(0.01)= 572.900mCola de 8 = 571.500m , entonces,y = 572.900-571.500= 1.400m . pero.

y = (2~)x' = 1.400 , donde,

i=m-n=5%-(+I%):4%-a0.04,X=;-10 ,entonces,

0.04(~ _10)' = 1.4002L, 2

0.02( ~ -10L, +100) = lAL,

0.005~ -1.6L, +2=0

El punto. de abscisa y cota conocidas. es el punto 8, el cual tiene unacorrección de pendiente y:

J,\~Ir:S CAROENAS GRISAI.ES~90

---------------------~

AbscisaMíN = AbscisaPCV + x , donde,

AbscisaPCV =AbscisaPIV _.h. =KI +490 - SOO= KI +2402 2

b) Abscisa y cota del punto minimo

Reemplazando a x = 0,2Lv , se tiene:

y = O.OS(0.2Lv)1 = 1i;

0,05 (0,04L~)=1 ,de donde,LvL, =SOOm

La diferencia de altura de un (1) metro, entre el punto mínimo P de J:¡curva y la tangente vertical, es la corrección por pendiente y, Por IIIcual:

( i ) 2 (0,10) 1Y = 2L, x = 1= 2C x

Figura 4,13 Curva vertical simétrica por un punto mínimo

C,\PITULO 4, DISEÑOGEO,\lETRICOVERTle,\I,: I('\S ..\:'lTE

x=(T}V(2% )x = 10% L, = 0,2L.

m=-2% ,n=+8% .i=m-n=-2%-(+8%)=-10% .. -0,100

De acuerdo con la Figura 4,13, se tiene:

a) Longitud de la curva

Solución:

a) La longitud de la curva vertical simétrica, de tal manera que entreel punto más bajo de la curva y la tangente haya una diferencia dealturas de un (1) metro,

b) La abscisa y la cota del punto más bajo de la curva,

Calcular:

Pendiente de la tangente de entrada = -2%Pendiente de la tangente de salida = +8%

= KI+490= 1490m


Datos:Para una curva vertical simétrica se tiene:

EJEMPLO 4,5: Curva vertical simétrica gue pasa por un punto mínimo

Colada P =ColaPCV +mx-(-I-' )X22L.

ColaPCV =CotaPIV -m( L;~ =1600-0,068( 1~0) = 1595,920m

ColadeP = 1595,920+0,068(71,S79)-~(71,579Y = 1598,354m2\120J

JA~IESCARDENASGRISALES292

295

Sí se defi~e a p c?mo la pe~diente de la tangente común PIVI.PIV1, y a t.como la diferencia de pendientes para la primera curva, se tiene:

Cota de E'= Cota deC +0.08( ~I )-10P

E'E = (...!LJX22L" 1

P = Cota PIVz - Cota PIV, ~,L." + L.,12 2

L." =K2+080-K1+94 O:: 140m

AbscisaPIV, :: Abscisa de A +~ = K1+ 940 + 70 - K2 + 0102 -Cota de E = Cota de E' +E' E

K2+020: Cota de E

al Cotas de rasante

Figura4.15 Curvavertical compuesta

DI:! acuerdo con la Figura 4.15, se tiene:

Solución:

CAPiTUlO~. DISEÑO GEOMETRICO VERTICAL: RASANTE

Calcular:a) Las cotas en la rasante en las abscisas K2+020 y K2+150.b) La abscisa y la cota del punto más bajo de la curva compuesta.


Datos:Con la información dada en la Figura 4.14, se quiere unir el punto A yel punto B mediante una curva vertical compuesta de dos curvasverticales simétricas, la primera en el tramo Ao y la segunda en eltramo oB, tal que el punto O sea el PCCV o punto común de curvasverticales.

EJEMPLO 4.6: Curva vertical compuesta

Cota MiN = Cota P' +1 . donde.

Cota P':: Cola PIV +(~ - x )0.02

Cota p'= 1490+(5~0 -100)0,02:: 1493m , entonces.

Cota MiN = 1493+ 1= 1494m

x = 0.2L. = 0.2(500)= 100m , entonces,Abscisa M{N :: K1+ 240 + 100= K1+ 340

J.·I~lESC,IROENAS GRIS,ll.éS194

---------~~\.---,-.._-,..~.~-----

Calcular:La longitud de la Curva vertical simétrica al PIV¡, de tal manera quesobre la vertical del PIV, y el PIV1exista una diferencia de altura de 6metros entre las rasantes respectivas.


ox

Datos:

La Figura 4.16, muestra los perfiles de las tangentes verticales de unpar de vías que se cruzan. El PIV, pertenece a un paso inferior queacomoda una Curva vertical de longitud 80 metros y el P/V¡ pertenece aun paso superior que acomoda otra curva vertical.

EJEMPLO4.7: Curvas verticales simét~icas gue se cruzan

CotaMiN =Cola de G =ColadeG'+G'G . donde,Cola de G'= Cola de E'·p(x, +x)Cota de G'=505.440 - 0.016(60 + 45.714) =503.749m

G'G .. (i)Xl :;0.056 (45.741)' =: 0.366 , luego,2L.1 2(160) mCotaMiN =: 503. 749 +0.366 = 504.115m

AbscisaMíN = Abscisa de O + x = K2+080 + 45. 114 = K2 + 125.714

. luego,( p) (0.016)x = -:- L.2 = - 160 = 45. 714m'2 0.056

CAPITUl.O ~.I)ISE"¡O GW/l.ltrRICO vr:RTIc,II. /(..IS,\.~ n:

b) Abscisa y cota del punto mínimo

De acuerdo con los valores de las tres pendientes de la Curvacompuesta, se deduce que el punto más bajo de ella se encu~ntra en laprimera rama de la segunda curva. Por lo tanto, es necesario calcularla distancia x:

Sí se define a i¡ como la diferencia de pendientes para la segundacurva, se tiene:

Cola de F'= CotadeC +o.o{ ~¡ )+10p

Cota deF'", 500+0.04(80)+ 10CO.0IS)'" 503.360mi¡ = -0.016 -(+0.04)= -0.056 , por lo tanto,

F'F =(i)x: = 0(.056)(70)2=0.858m ,luego,2L.¡ 2 160Cola de F = 503.360 +0.858 = 504.218m

Cota de F '" Cola de F'+F' F

K2+ 150: Cota de F

CotaP/V2 = Cota de C + o.o{ L;2)

L.¡ = K2 + 240- K2 +080 = 160mCotaP/V¡ = 500 +0.04(80)=;~03.200m

Cola P/V, ,. Cola de e+o.08( ~' )

Cola PIV, = 500 + 0.08(70) = 505.600m= 503.200 -505.600 = -0.016

p 70+80i, =-0.08-(-0.016)=-0.064 ,por lo tanto,Colade E'= 500 +0.08(70)-10(0.016)= 505.440m

E'E = 0.064 (60y =0.823m , luego,2(140)

Colade E = 505.440+ 0.823 =50S.263m

}A~IES CÁRDENAS GRISALES296

Figura 4.19 Pendiente en una curva vertical restringida

L.. "2 " 60

De acuerdo con la Figura 4.19, se puede plantear la siguienteigualdad:

Solución:

Calcular:La pendiente de la tangente de salida que se acomoda a la anteriorsituación.


./

:<:11~

299CAPITULO~. DISEÑOGEOMÉTRICO \·ERTI(..\1. R"SMHE

_----_---------,---_-------- ------_

Datos:Para el esquema dado en la Figura 4.18, se tiene quc la diferencia decotas entre las respectivas rasantes del PCV y un punto de abscisaK2+140 debe ser de 0.85 metros.

EJEMPLO4.8: Pendiente en una curva vertical restringida

La longitud dela curva vertical al PIVz en función dc su externa Evzes:Lvz = 8(~vz) . donde,

1}

;, =+0.04-(0.00)=0.04Evz =PIV,PIVz-6-Ev, =8-6-E" =2-Ev' ,pero,

Evt = L.~i, , Lvt= 80m , i,= -0.02-(+0.06)=·0.08 , entonces,

Evt = 80(0.08) =OBOOm , por lo tanto,8 .

E,z = 2 - 0.800", 1.200m , luego,Lv, = 8(1.200) = 240m

0.04

Figura 4.17 Curvas verticales simétricas que se cruzan

~'-------

De acuerdo con la figuro -1.17. se tiene:

Solución:

JAMES C\Rf)E~.·\S (;RISAI E~

. .;._ ........ -,.:- -- '-...- _.,_.__ ..~-~,.....------------

En la vertical sobre la alcantarilla se puede plantear la siguienteigualdad:y+a+b=2.10m ,esto es,y = 2.10-a-ba =m(20) = 0.03(20)= 0.60mb =ColaPIV-Cota Clave == 425.00-424.10 = 0.90m , entonces,Y = 2.10-0.60-0.90 = 0.60m ,pero,

Pendienlede enlrada 425.00-427.40 = -0.03 = m460-380

Pendienlede salida= 428.20- 425.00 _ +0.04 = n540-460

i = m -n = -0.03 - (+0.04) = -0.07

Figura 4.21 Curva vertica I sobre una cota obligada

L./1

~....~I~II

...", A (C.'Q~.~7••0)PCV


Solución:

Calcular:La longitud de la curva vertical simétrica que cumpla esta condiciólI.

JOICAPiTULO~. DISENOGEO:>.IÜRICOVERTICAI_:R,\SM, fE


Datos:Para la situación dada en la Figura 4.20, entre la rasante de la vía y laalcantarilla desde el nivel de la clave debe existir una altura de 2.10metros.

EJEMPLO 4.9: Curva vertical sobre una cota obligada

Despejando el valor de n, se tiene:n = 0.071875 , o lo que es lo mismo n = -7.188%

Aplicando la definición de i:i=m-n = 0.02 - (- n) '" 0.02+ n= 0.02+n(40)1 = 0.02+n I

y 2(120) 0.15' pDr D tanto,

1.200+0.85=20n+ 0.02+n0.15

'....

a+0.85=b+y ,donde,

a = m(; ) = 0.02(60)= 1.200m

b = n(20) = 20n

Y=(2~}2

JA1>IESCÁRDENAS GRISAI.ES300

303

-,, donde,

Por lo tanto, la cota del punto Pes:ColaP=ColaPIV, -a- y, -b+c+ yza =n, (5)= 0.12(5) =0.600m

Y = (_!t_)X2 = 0.095(30)2 =0.611m, 2L., ' 2(70)

b =mz(60) = 0.0793(60) = 4.758m

Sí para 70m hay un cambio de pendiente del:~ i, = 9.50%Para 40m habrá un cambio de pendiente del: ~ i'=m,·m2

m, -mI = (;~)9.50 = 5.43%mI =m, -5.43% = -2.50 -5.43"" -7.93%

Como para la primera curva se conoce toda su información, seráposible calcular la pendiente de la línea tangente a cualquier punto deella, como por ejemplo en este caso en el punto A. Por lo tanto:i, =m, -mz =-2.50-(-12)=9.50%

Figura 4.23 Curvas verticales tang.entes

I ,, II ,I I ': .!-~ ....'6/{..O "",,_--,"60'__ _

: : : ~'~5~~ __ ~x~~~~::;:: ~: ~T ~: ~:::~:: ':lJ ~':~: ~:e~~~ ~~ ~:~: ~~

..,..'..,..,~~

x:::JO

,, ,, ,, ,, ,, ,.:.:..:.\ '

,,,,,,~

CAPiTUl.O 4 DISEÑO GEOMETRIC(.) \'cRTIC.\L R,\SA:--JTE

De acuerdo con la Figura 4.23, como en el punto A{PCVI) las doscurvas verticales son tangentes, tendrán una tangente común dependiente m¡, la cual a su vez será la tangente de entrada de la segundacurva por tratarse el punto A como el principio de ella.

Solución:

Para la segunda curva, la cota de la rasante en la abscisa KO+570.Calcular:


," ."....,.... ,~ e:,,'

Datos:En la ~;igura 4.22, El punto A es el principio de una segunda curvavertical cóncava de 120 metros de longitud, la cual posee unapendiente del +4% en su tangente de salida.

EJEMPLO4.10:Curvas verticales tangentes

Resolviendo esta cuadrática se obtienen los valores para la longitud dela curva vertical L, de 11.689 metros y 136.883 metros. siendo ésteúltimo el que se ajusta las condiciones del problema.

y J-'-' )XZ = 0.60 = 0.07 (~_ 20)2 -= 0.035(L~ -20L, + 400)l-,2L. 2L. 2 Lv 4 ,

O.6L, = 0.00875L~- O.?L, + 14

0.00875L~ -1.3L, + 14 =O

J.\~!ES C"R[)E~A~ GRIS,\LI:~

-- - _. -- ,. -- .. ,_ ... , ....... ,~...-~...~----

5.00=a+b+c+y , donde,a = (0.08 -0.06X204 -100)= 2.0BOm

b=0.06(L; -x)¡= 6 - (- 5) = 11% , pero para el punto máximo,

x =( ft }. ,entonces,b=O.OJL., -(i)L ]=(_3 )LuL 2 11 v 1100'

c =0.0' L; - X) = 0.05[ ~ -( ft)L.] = (4~0)'

y=(2~}2 = ~t(ftr L~=UB}' .Iuego,

5.00 =2.08+(_3 )L, +(_1 )L, +('!_)Lv1100 440 BB

Figura 4.25 Rasantes que se cruzan, a desnivel

J05C"PITULO~. DISEÑOGEO~IETI(lCO\·t:R'fI(.·Al"I(AS.,:'ITI:

De acuerdo' con la Figura 4.25, se puede plantear la siguienteigualdad:

a) Longituddela curva

Solución:

Calcular:a) La longitud de la curva vertical simétrica.b) La cota en la abscisa KO+287sobre la rasante de la v/a 1.


Datos:Las rasantes de la vía 1 y la v/a 2 de la Figura 4.24 tienen un puntocomún A de abscisa KO+100 donde se separan, para cruzarse en elKOt204 con una diferencia de rasantes de 5 metros.

EJEMPLO 4.11: Rasantes que se cruzan, a desnivel

e = n2(15) = 0.04(15)= 0.600m

= (...!L)X2 = 0.0793+0.04(45)2 =1.007m ,luego,Y2 2L.2 2 2(120)CotaP = 500 - 0.600- 0.6.14,-4.758 +0.600 + 1.007 = 495.638m

JAMESC'¡ROENASGRISALES304

307

Figur .. 4.27 Curva verticalen unpasoInferior


al Longitud de la curva vertical simétrica

Solución:

Calcular:a) La longitud de la curva vertical simétrica que cumpla esta

condición.b) Las COlasde rasante en las abscisas KO+430y KO+530.


PIV (Coloz500)

Pa.oSup.rlor

f!.,,!,!~n!o_l lkd.. ......,

cAPirul.O ~ DISEÑOGEO¡'Il~RICO \'f:RTIC.-IL: f{,ls.\:-;m

Datos:Para el esquema de la Figura 4.26, sobre la vertical del PIV debe existiruna altura libre o gálibo de 4.7 metros entre la rasante inferior y elpaso superior.

EJEMPLO 4.12: Curva vertical en un paso inferior

De esta manera:Cola de abscisa KO+287 =CotaPIV ·(287 . 195.889)J.05 ,pero,ColaPIV =500 + 0.06(195.889· 100)= 505.753m , luego,Cola de abscisa KO+ 287 = 505.753· (287 .195.889)0.05 = 501.197m

Como puede observarse la abscisa del PTV es menor que la abscisaKO+287. Por lo tanto, ésta última cae fuera de la curva, esto es, despuésdel PTV.

Inicialrncnte, es necesario identificar si esta abscisa cae dentro de lacurva o no, para lo cual se debe calcular la abscisa del PTV. así:

Abscisa PTV = Abscisa PIV + ~ , pero,2

Abscisa PIV = (KO + 204),( ~ - x)

x =UI )L., =UI )178.444 = 81.111m

Abscisa PIV = (KO+204)'C78;444 -81,111) = KO+195.889 . entonces,

AbscisaPTV = KO+ 195.889+ 178.444 = KO + 285.1112

b) Cota en la abscisa KO+287

, de donde,(3 1 1 )2,92=L --+-+-

v 1100 440 88t; = 178A44m

',I.\'E~ e iROF~,IS (jRISAI.ES

-- ._~ -,,...-..,,,,._- .....,...,,,..----------

El máximo de la curva menor está situado del PN, a:

a =( 166 )ao = 30m , entonces,

e :=40 - a = 40 - 30 = 10m

Figura 4.29 Máximos entre curvas verticales simétricas


Solución:


JO')CAPiTUlO~. DISEÑOGEO~IETRICOVERTIC..\L: Rr\SANTE

Calcular:La longitud de la curva vertical mayor que se acomode a la situacióndada.

Datos:En la Figura 4.28, la curva vertical menor tiene una longitud de 80metros. Entre los puntos más altos de las dos curvas debe existir unadiferencia de alturas de 1.0 metro.

EJEMPLO4.13: Máximos entre curvas verticales simétricas

AbscisaPCV =KO + 500 -~ =KO + 500 - 97.289:=KO +451.3562 2

Cota de abscisa KO + 430 =Cola de ACola de A = Cota PIV +0.08(500 -430):= 500 +0.08(500 -430) = 505.600mCota de abscisa KO +530 = Cola de B

0.18 (97.289 )~Cola de B =Cola PIV +0.10(530-500)+ 2(97.289) -2- -30

0.18 (97.289 )~ColadeB=500+0.10(530-500)+~) ---30 :=503.322m2~97.289J 2

b) Cotas de rasante en las abscisas KO+430y KO+530

b =4.70 + C. ,pero, b = e , esto es,O.08 (a) := 0.10(155 - a)8=86.111mb =0.08{a)= 0.08{86.111) = 6.889mE = Lvi t_v 8i= m-n = -8 - (+ 10) = -18%

C. = Lv (0.18) =0.0225Lv ' por lo tanto,8

6.889= 4. 70+0.0225Ly , luego.t, =97.289m

J"~IF.S CARDENASGRISALES30S

311

Correcciones de pendiente en puntos i.atermedios:Es necesario calcular primero el valor de la externa E" pues ella entraen la determinación de las correcciones de pendiente de cada rama.

Cotas en la tangente en puntos intennedios:Colade1 =Cota PCV -m(10)= S02.S00-0.0S(10)= 502.000mCota de 2 = 502.500 -0.05(20) = 501.500mCola de3 = 502.500 -0.05(30)= S01.000mCola de 4 = 502.S00 -0.OS(40)= SOO.SOOmCola de S :: Cola PIV + n(10) = SOO+ 0.07(10) = S00.700mCota de 6 = 500 +0.07(20) = 501.400m

Abscisas y cotas de: PCV, PTVAbscisa PCV == Abscisa PIV - L, = K 3+ 600 - 50 == K 3+ 550Abscisa PTV = Abscisa PIV +L2 = K3 + 600 + 30 == K3 +630Cola PCV = Cota PIV +mL, = 500 +0.05(50) = 502.S00mCota PTV = Cola PIV + nLz = SOO+ 0.07(30) = 502. 100m

Figura 4.30 Ejemplo de curva vertical asimétrica

e, Tz

<> e PIV:: <> <> <> 5l :¡¡• ... " :: ..Q ... ... ... Q


Solución:

CAPiTULO < DISEÑO GEO~IF.TRICO \·ERTlC ..IL: RASANTE

,.-...

Calcular:La curva vertical en abscisas dc 10 metros.

= K3+600= 500m= -5%= +7%= 80m= 50m" 30m

Abscisa del PIVCota dcl PIVPendiente de la tangente de entradaPendiente de la tangente de salidaLongitud de la curva verticalLongitud primera rama de la curvaLongitud segunda rama de la curva

Datos:Para el cálculo de una curva vertical asimétrica, se dispone de lasiguiente información:

EJEMPLO4.14: Curva vertical asimétrica

Reemplazando:

0.06[C~}v -25]=1.00 .Iuego.

t; = 133.333m

Obsérvese también que:ColadeA-ColadeB =1.00m ,que es lo mismo a,006(d .c)", 1.00 ,donde,

d =f +~ == S:. +(~)L ==(~)L¡ 8 32 v 16 v• "a 30 ',~

c=e+-=10+-=25m2 2

El máximo de la curva mayor está situado del PTV2 a:

b= (~)L , entonces,16 v

f = ~ - b :: ~ -C~},= ~

),\.\IE5 C.·\RDL:-""S mus \I.ES310

Entonces, la longitud requerida Op para detener el vehículo en lasanteriores condiciones, de acuerdo con el esquema ilustrado eh laFigura 4.31, será la suma de dos distancias: la distancia recorridadurante el tiempo de percepción-reacción d", y la distancia recorridadurante elfrenado dI. Esto es:

Se considera como distancia de visibilidad de parada Op de undeterminado punto de una carretera, la distancia necesaria para que elconductor de un vehículo que circula aproximadamente a la velocidadde diseño pueda detenerlo antes de llegar a un obstáculo fijo queaparezca en su trayectoria.

4.4.2 Distancia de visibilidad de parada

Esta distancia de visibilidad deberá ser de suficiente longitud, tal quele permita a los conductores desarrollar la velocidad de diseño y a suvez controlar la velocidad de operación de sus vehículos ante larealización de ciertas maniobras en la carretera, como lo pueden serpor la presencia de un obstáculo fijo sobre su carril de circulación, o eladelantamiento de un vehículo lento en carreteras de dos carriles dossentidos, o el encuentro de dos vehículos que circulan por el mismocarril en sentidos opuestos en carreteras terciarias de calzadasangostas.

La distancia de visibilidad se define como la longitud continua dacarretera que es visible hacia delante por el conductor de un vehículoque circula por ella.

Una de las características más importantes que deberá ofrecer elproyecto de una carretera al conductor de un vehículo es la habilidadde ver hacia delante, tal que le permita realizar una circulación seguray eficiente.

4.4.1 Princlplosn

4.4 VISIBILIDADENCARRETERAS

JIJCAPiTULO~. DISEÑOGEOMETRICOVERTICAL:RAS,INTE

•t1

Punlo PCV = S02.S00mPunlo P7V = S02.1DOmPunlo PIV =SOO+1.12S=501.12SmPunlo 1= 502.000 +0.045 = 502.04SmPunlo2 = 501.S00 +0.180 = S01.6BOmPunto 3 =: SOl.000 + OAOS= 501AOSmPunto 4 =SOO.500+O.720 = 501.220mPunto 5 = 500. 700 + 0.500 = 501.200mPunto 6 =501.400 +0.12S = 501.52Sm

Al sumar a las cotas en la tangente, estas correcciones de pendiente, seobtienen las respectivas cotas en la rasante, así:

Para la segunda rama de la curva:

Y2 =E.U: r =1.12,;~r =0.OOI2Sx:

PuntoS:x2 =20m 'Yl =0.OOI25(20y =O.SOOmPunto 6 :x1 =10m 'Y2 =0.0012S(tOy =0.12Sm

Para la primera rama de la curva:

y, =E.UJ =1.12{;~r=0.00045x{Punto 1.'x, =10m ,y, =0.0004S(10)2 =0.04SmPunto 2 .'X, = 20m ,y, = 0.0004S(20)2 =0.180mPunto 3 :x, =30m ,y, =0.0004S(30)2 =OAOSmPunto4:x, =40m ,y, =0.0004S(40y =0.120m

Por lo tanto:E = iL,LZ

• 2L.i = m -n =: -0.05 - (+0.07)= -0.12

0.12(50X30) ......Ev = 2(80) =1.125m • entonces,

JAMESC'\RDENASGRISALES312

315

Utilizando unidades prácticas y usunies, se transforma la expresiónanterior para V. en kilómetros por hora, g igual a 9.81 m/seg2 y di enmetros, como sigue:

Ahora reemplazando este valor de a en la ecuación (4-17):V2dI =_._2f,g

(4-22)a =r,g

Reemplazando el valor de W dado por la ecuación (4-21), en laecuación (4-20), resulta:ma=f,mg

(4-21)Pero también se sabe que:W=mg

(4-20)

Igualando F YF" según las ecuaciones (4-18) Y(4-19), queda:F=F,ma=f,W

Donde " representa el coeficiente de fricción longitudinal generadoentre las llantas yel pavimento al producirse el frenado.

(4-19)

La fuerza F debe ser contrarrestada por otra igual con el fin de detenerel vehículo de peso W, denominada fuerza de fricción longitudinal F"que se expresa así:F, =f,W

Por otro lado, sobre el vehículo de masa mactúa una fuerza F, que sevalora como:F=ma (4-18)

También en movimiento uniformemente decelerado y cuando elvehículo finalmente se detiene. VI: O, se sabe que:

V1dI = ¿_ (4-17)

2a

CAPITULO ~ OISEJ'lO Gf:OMETRICO VERTICAL. Ri\SA:-ITE

La distancia de frenado d" que se mide desde la aplicación de losfrenos hasta el momento en que el vehlculo se detiene totalmente, yque es recorrida en un tiempo 1, por el vchlculo en movimientouniformemente decelerado con aceleración -e, es igual a:

a/2d, =V.I, -f (4-16)

Recmplazando Ip, por 2.0 segundos, para J:¡ velocidad V. en kilómetrospor hora y la distancia dI" en metros, se tiene:dI" =O.556V. (4-15)

Dependiendo de la complejidad del obstáculo y de las característicasdel conductor, el tiempo de percepción-reacción puede variar de 0.5 a4.0 segundos. Para fines de proyecto, se emplea un valor medio de 2.0segundos. Durante este tiempo se considera que la velocidad delvehículo V. se mantiene constante, pues su variación es muy pequeña.Por lo tanto, la distancia de percepción-reacción dI'" que se midedesde el momento en que se hace visible el obstáculo hasta el instanteen que se aplican los frenos, para movimiento uniforme esPI:dI' =V.(/¡r)

(4-14)

Figura 4.31 Distancia de visibilidad de parada

d,... d,11-,.,J l 1

ApllctJ 101

~

~_v.~F

314

(4-27)

Por razones de seguridad, se supone que toda la maniobra deadelantamiento se realiza a la velocidad de diseño Vd. Según loanterior, la distancia mínima de visibilidad de adelantamiento D. esaproximadamente igual a:

Distancia recorrida durante el tiempo de percepciónreacción (2.0 segundos) del conductor que va a efectuar lamaniobra, (rnts.).Distancia recorrida por el vehículo adelantante durante eltiempo desde que invade el carril del sentido contrario hastaque regresa a su carril (8.5 segundos, valor experimental),(mts.).

= Distancia de seguridad, una vez terminada la maniobra,entre el vehículo adelantante y el vehículo que viene en ladirección opuesta, recorrida durante el tiempo de despeje(2.0 segundos, valor experimental), (mts.),

= Distancia de recorrida por el vehículo que viene en sentidoopuesto (estimada en 2/3 de 01), (mts.).

D1

Donde:D,

(4-26)

La distancia mínima de visibilidad de adelantamiento D., de acuerdocon la Figura 4.32, se determina como la suma de cuatro distancias.asi:D. =D,+D2 +DJ +04

Un tramo de carretera de dos carriles y de circulación en dos sentidos,tiene distancia de visibilidad de adelantamiento Da. cuando 1:1distancia de visibilidad en ese tramo es suficiente para que. encondiciones de seguridad, el conductor de un vehículo pueda adelantara otro, que circula por el mismo carril, a una velocidad menor, sinpeligro de interferir con un tercer. vehículo que venga en sentidocontrario y se haga visible en el momento de iniciarse la maniobra deadelantamiento.

4.4.3 Distancia de visibilidad de adelantamienton

JI7CAPiTULO 4. DISE¡;;OGEOMÉTRICO VERr!CAL. RASANTE

....

VELOCIDAD DE DISENO100 110 120..., ("·V, .... ", 30 40 50 60 70 80 90

;'~(I(inllil' ...~".cCOEFICIENTE DE

0.310 0.305 0,300FRICCiÓN LONGITUDiNAl 0.440 0.400 0.370 0.350 0.330 0.320 0.315~

Tabla4.4 Coeficientesde fricción longitudinalparapavimentoshúmedos

En la Tabla 4.4, se muestran los coeficientes de fricción longitudinal (¡en pavimentos húmedosñ, como condición más desfavorable, paradiferentes velocidades de diseño Vd.

(4-25)

Finalmente, sustituyendo la distancia de percepción-reacción dI'"ecuación (4-15), y la distancia de frenado dI, ecuación (4-24), ~n laecuación (4-14), la distancia de visibilidad de parada Dp, baJ? elsupuesto de que el vehículo circula aproximadamente a la velocidadde diseiio Vo=Vd, queda como:

V2o, =0.556 Vd + 254(1, ±p)

La distancia de frenado es menor en ascenso que en descenso, por lotanto el valor de p expresado en decimal o tanto por uno es po.sitivo(+) para pendientes ascendentes y negativo (-) para pendientesdescendentes.

(4-24)

Cuando la vía sobre la Cll~ ocurre el frenado se encuentra sobre unarasante de pendiente longitudinal p, la distancia de frenado d, seexpresa como:

V2d - o, - 254(f, ±p)

(4-23)

JAMES C,\RDENAS GRISAI.ES) 16

319

Las distancias de visibilidad, tanto de parada como de adelantamiento,se pueden medir directamente utilizando aplicaciones informáticas oespecíficas, anotándolas a intervalos frecuentes, usualmente cada 20 Ó25 metros, sobre los planos planta-perfil. De esta manera, el diseñadorpodrá apreciar de conjunto todo el trazado y realizar un proyecto másequilibrado. En carreteras de dos carriles con dos sentidos decirculación, deben medirse las distancias de visibilidad de parada yadelantamiento. En carreteras de dos calzadas separadas es suficienteel análisis de visibilidad de parad~.

La distancia de visibilidad es un elemento que debe tenerse en cuentadesde el principio del proyecto, dada la importancia que tiene tanto enla seguridad como en la capacidad de la futura carretera.

4.4.5 Evaluación de la visibilidad de un proyecto enplanosn

Esta distancia se debe determinar con base a un tiempo de percepciónreacción de un (1) segundo y una deceleración similar a la de frenadohasta esquivarse y cruzarse a una velocidad de 10 Krn/h, mediante lasiguiente relación:

D. =2(O.278Vd)+[ V¡ --100 ]+[ V¡ --100] (4-28)254(t, + p) 254(f, -- p)

Se ha establecido, que esta longitud debe ser lo suficientemente larga,para permitirle a los vehículos que viajan a la velocidad de diseño ensentidos contrarios, esquivarse y cruzarse con seguridad a unavelocidad de 10Km/h.

En carreteras terciarias de una calzada y sin diferenciación de carriles,la distancia de visibilidad de encuentro D. es la longitud mínimadisponible de carretera, visible para los conductores que circulan ensentidos opuestos. obligados a llevar a cabo maniobras paraesquivarse.

4.4.4 Distancia de visibilidad de encuentrom

C"PITUI.O~. DISEÑO GF.OMETRICOVERTlC,\L: RAS.\NTE

VELOCIDAD De,cISENO80·100V. 30060 60-80

(Kmhl)LONGITUD MINIMA CON

40%DISTANCIA DE VISIBILIDAD 20% 30%DE ADELANTAMIENTO (%)

Tabla 4.5 Oportunidades de adelantar por tramos de 5 kilómetros

En carreteras de dos carriles y dos sentidos de circulación, se debeprocurar obtener la máxima longitud posible cn que la distancia devisibilidad de adelantamiento sea mayor a la mínima dada por lasexpresiones anteriores. Por esto, como norma de diseño, se debenproyectar en tramos de 5 kilómetros, varios subtramos de distanciamayor a la mínima especificada. En la Tabla 4.5, se presenta comoguía, la frecuencia con la que se deben presentar oportunidades deadelantar o el porcentaje mínimo habilitado para adelantamiento en eltramo, de acuerdo a la velocidad de diseñon,

Figura 4.32 Distancia de visibilidad de adelantamiento en carreteras de dos carrilesdos sentidos

t i lW/(cul. Clb.... q~ Io,-J---:foz - toz ~o. O.---,j'

~--------------------~

J:\~Ir:S C:ÁRDEN,\S GRIS'\LE~318

,'1 _ '. _""'._•.~.",."""'_~ --

Figura 4.33 Evaluación y medi~ión de, las distancias de visibilidad en carreterasl11

I I

: I

1'1 <>, , rr _._- ~o

~ .a ,r o-! I I! I o, ,q o

,~ Ir o

1: ,I..

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1/ ,o ,,. o I <>Q: ..

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;¡ :;: - §~ ., a .."..loe

,,_::¡-hf" c::=...h-\ I, '/' I, ,

321C,\PtruLO~, DISENÓGEO~IÉTRICOVERTICAL:R,\SANT~

Si las anteriores distancias son mayores que las distancias mínimas deparada y adelantamiento calculadas con las expresiones dadas porlasecuaciones (4.25) y (4.26) o (4.27), se dice entonces que en planta eltramo a partir de la abscisa K4+000 tiene suficiente distancia devisibilidad como para que el conductor de un vehículo pueda realizaruna parada con seguridad o una maniobra de adelantamiento. De locontrario, si ésta última no se cumple, deberá prohibirse eladelantamiento.

Para ilustrar como se realiza la medición de las distancias devisibilidad de parada y adelantamiento en planta, a manera deejemplo, en la parte superior de la Figura 4.33, se observa que elvehículo que pasa por la sección de abscisa K4+000 y que circulahacia la derecha, en cada caso (traza del talud a 0.65 y 1.25 metrossobre la calzada), dispondrá en planta de aproximadamente 200metros como distancia de visibilidad de parada y de 260 metros comodistancia de visibilidad de adelantamiento.

Como la visibilidad en planta está limitada por la presencia deobstrucciones laterales, tales como puentes, edificaciones, vallas,cercas, vegetación alta, etc., es necesario que estas aparezcandibujadas en los planos para realizar la evaluación. Cuando laobstrucción se debe a los taludes de las secciones .en corte, se debendibujar en la planta las lineas o trazas del talud a 0.65 metros(promedio entre 1.15 y 0.15 metros) sobre la calzada para distancia devisibilidad de parada, y a 1.25 metros (promedio entre 1.15 y 1.35metros) para distancia de visibilidad de adelantamiento.

o EVALUACIÓN y PRESENTACIÓN DE LA VISIBILIDAD ENPLANTA

Para la medición de las distancias de visibilidad se deben considerarlas siguientes alturas: 1). Altura de los ojos del conductor, medidasobre la superficie del pavimento: 1.15 metros. 2). Altura delobstáculo que debe ver el conductor y que lo obliga a parar: 0.15metros. 3). Altura del objéto en la maniobra de adelantamiento, quecubre la altura de la mayoría de los autos: 1.35metros.

JAMESC;\RDENASGRISALES320

De esta figura, se deduce que:

Figura 4.34 Curva vertical convexa con visibilidad de parada. Caso 1: O, >L.-.~------------4------------~

~--------------~--------------~

Aquí el conductor y el obstáculo están fuera de la curva. La' Figura4.34 muestra este caso, para el cual H representa la altura del ojo delconductor sobre el pavimento y h la altura del obstáculo.

Se presentan dos casos, según que la distancia de visibilidad de paradaDp sea mayor o menor que la longitud de la curva L•.

o CURVAS VERTICALES CONVEXAS

Las longitudes mínimas de las curvas verticales convexas y cóncavas,además de ser suficientes para producir la variación gradual de lapendiente desde su tangente de entrada hasta su tangente de salida sinque se generen cambios bruscos en la curvatura, deberán satisfacer losrequisitos de visibilidad de parada. Este requisito es conocido como elcriterio de seguridad.

4.5.1 Longitud mínima de curvas verticales convisibilidad de parada

4.5 CRITERIOS PARA LA DETERMINACiÓNDE LASLONGITUDESDE CURVASVERTICALES

CAPiTUlO~. DISEÑO (jEOMÉTRICO Vr,RTlC,\L: R'\S,\NTE

-----------------------------------------~~----------

Finalmente puede decirse, que con las distancias de visibilidad deparada y adelantamiento así medidas tanto en planta como en perfil,en carreteras de dos carriles con dos sentidos de circulación, se podrándeterminar las zonas en donde se debe prohibir la maniobra deadelantamiento y en donde se debe-rimitar-la velocidad mediante unaadecuada señalización. Esto, a su vez, determinará el porcentaje delongitud de carretera habilitada para efectuar maniobras deadelantamiento, útil en el cálculo de la capacidad de la carretera.

De nuevo, si las anteriores distancias son mayores que las distanciasmínimas de parada y adelantamiento calculadas con las expresionesdadas por las ecuaciones (4.25) y (4.26) o (4.27), se dice entonces queen el perfil el tramo a partir de la abscisa K4+080 tiene suficientedistancia de visibilidad como para que' el conductor de un vehículopueda realizar una parada con seguridad o una maniobra deadelantamiento. De lo contrario, si esta última no se cumple, deberáprohibirse el adelantamiento.

La parte inferior de la Figura 4.33, ilustra la forma como se deberealizar el chequeo de las distancias de visibilidad en perfil para unvehículo ubicado en la sección de abscisa K4+080. En la rasante enesta abscisa se coloca el "cero" de la reglilla, la cual se gira hasta quesu borde superior sea tangente al perfil del proyecto. En estascondiciones, la distancia desde la estación inicial tK4+080) hasta elpunto del perfil interceptado por la paralela a 0.15 metros indicará ladistancia de visibilidad de parada disponible en el perfil, 185 metrosen este caso. De igual manera, la distancia desde la estación inicial(K4+080) hasta el punto del perfil interceptado por la paralela a 1.35metros indicará la distancia de visibilidad de adelantamientodisponible, 278 metros en este caso.

Se recomienda el empleo de una reglilla transparente o de plástico, debordes paralelos separados 1.35metros a la escala vertical del perfil.con dos líneas paralelas situadas a 0.15 y 1.15 metros del bordesuperior.

EVALUACIÓN Y PRESENTACIÓN DE LA VISIBILIDAD EN PERFIL

',\~IF.S CAROB-I,\S GRIS,\I.F.S

---~~"'" ~---~.....,~'''''''''''''''''..,.,__,.....".....,"'?"'-------------

Figura 4.35 Curva vertical convexa con visibilidad de parada. Caso 2: Op < Lv

Aquí el conductor y el obstáculo están dentro de la curva, tal como seilustra en la Figura 4.35.

(4-31)L" =20 _ 425p i

Como se estableció anteriormente, para la distancia de visibilidad deparada se tienen las siguientes alturas: H=1.15my h=O.15m.Por lo tanto,expresando a i en %, la longitud mínima Lv de la curva vertical esaproximadamente igual a:

L" = 20p _ 200(JG5.+ .JG.15tI

(4-30)

O =!:r.+ H( 1+ /fJ + h( 1+~Jp 2 i

o, =!:r.+ H+.JHh +h+M =!:r.+ H+2.JHij +h2 i 2 i

O =!:r.JJH +Jiitp 2 i 'de donde,

L =2D _ 2(JH +Jiit• P i

325CAPITULO 4. DISENO GEOMÉTRICO VERTICAL: RASANTE

Reemplazando en la ecuación (4-29), queda:L" H h0·=-+--.-+---

p 2 I I

1+~ 1+~

Para Op mínima, la visual debe ser tangente al vértice de la curva, porlo tanto:

'!!_(o )= O = _Hm-2 -h(i-m)"2(-1} =-_!!_ +_._h_2 =-~+-;dm P m2 (/-m) m nH h- =-2 ' de donde,m2 n

m=nN .n=m/f . ahora.

i=m+n=m+m~ =m(1+~J ' esto es,

im = -- , igualmente,

1+~

in=--1+N

(4-29)

'...•pero,

•donde,LOp =..!..+X,+x2

2H hx,=- ,x2=-m n

i=m-(-n)=m+nn = i - m , esto es.

O :!:r.+!:!..+!!..p 2 m n

O = L" +!:!..+_h_=!:r.+Hm-, +h(i-mt'p 2 m i-m 2

JAMES C;\RDENAS GRISALES324

....,Por relación de triángulos semejantes:

L,_lC_=_f_ d da+h b ,on e,

(4-34)

En esta figura, se observa que:

Op =; +X

Figura 4.36 Curva vertical cóncava con visibilidad de parada. Caso 1: Dp> L.

La Figura 4.36 muestra este caso, para el eual h representa la altura delas luces delanteras del vehículo sobre el pavimento y a el ángulo dedivergencia del rayo superior de luz.

En términos generales, las curvas verticales cóncavas, por su forma,son de visibilidad completa durante el día, más no así durante lanoche. En este sentido, la longitud de carretera iluminada haciadelante por la luz de los faros delanteros del vehículo deberá ser almenos igual a la distancia de visibilidad de parada. Esta longitudllamada visibilidad nocturna, depende de la altura de las lucesdelanteras sobre el pavimento, asumida como 0.60 metros, y delángulo de divergencia del rayo de luz hacia arriba o respecto al ejelongitudinal del vehículo, supuesto en 10.

o CURVAS VERTICALES CÓNCAVAS

.._...~_.._~_....._-_._-.-~._-_.._----_ .....=~--,~--_...._~-~-,_---------

327CAPiTULO 4. DISEÑOGEOMÉTRICOVERTICAL: RASANTE

(4-33)

Por lo tanto, al igualar las dos expresiones anteriores, se obtiene:DI.

L =L=ki d d dv 425 • ,e on e,

02k =_p_v 425

Anteriormente, según la ecuación (4-1 J), se estableció que la longitudde la curva vertical L. en función del coeficiente angular kv es:L. = kvl

(4-32)D I·piL =-• 425

De la misma manera que el caso anterior, reemplazando a: H=1.15m yh=O.15m, y expresando a i en %, la longitud mínima L. de la curvavertical es:

Donde K es la constante geométrica que define la parábola, que esigual a:

y H hK =1 = ---r = ---r ' de donde,

x x, XI

Xf=~ ,xl=jif ,estoes,

O = fE+ fIp VI< VI<

DI =!!_+I.JHh .s.,(JH +.Jhy = (JH ~.Jhy = 2Lv(JH +.JhtPKK K K I i

2L,

Pero, la ecuación general de la corrección de pendiente yes:

(i ) 1 1Y = 2L, x =Kx

Se observa que:O. = X, + XI

326

a=xi-ha+y xi-h+y •lana=--=---=(anl =0.0175~+x o,2

xi-h+y==0.01750p

y= 2~ (~ -xr;-x=L.-Op

xi_h+_i_'L -O \2 =001750 ,pero,2L. ~. s l . p

x=O _L.p 2

(Op -; }-h+ 2~ (~-2L.Op +0;)=0.01750p

L.' L . 02•O i-_!"-h+_¿-O i+L=0.01750

p 2 2 p 2L. p

02i-'--h=0.01750,2L.02i_P--2h =0.0350pLv

Figura 4.37 Curva vertical cóncava con visibilidad de parada. Caso 2: Dp < L,

CAPiTULO4. DISEÑOGEOMETRICOvERrl(.:AV R,\S,\NTE

?,

.i

..,--------.-,------~--.----~--<=-,~~--------

En este caso, ilustrado en la Figura 4.37, se observa también que:

o,=; +x

L. L.x 2" 2" 1 1

a+h =t : n(;) =;=1

Caso 2: Ope L.

Por lo tanto, expresando a i en %, la longitud mínima L. de la curvavertical es:L. =20p _120+~.50p (4-35)

I

Regresando a la ecuación (4-34), se tiene:O =~ + _0.0_1_75_0J:.._p_+0_.6_0

p 2 i

Reemplazando el valor absoluto de n por i, queda:0.01750p + 0.60

x= i

Despejando x:0.01750p +0.60x = ,pero,

ni=m-n=O-n=-n

8=Op lana =ORlan1°=0.0175Op

b '" n( ~ ) , entonces,~ .....

x =_2_=_0.01750p +0.60 {;) n

M~If.$ CARDE~"$ GRISALES328

- .._--- ----_ ..._--------------

A pesar de que estas longitudes mínimas para las curvas verticalesconvexas se puedan calcular para los dos casos anteriores, y debido alas grandes longitudes requeridas, es dificil proveer durante la granparte del diseño las curvas convexas con distancia de visibilidad deadelantamiento.

De nuevo, como en el caso anterior, reemplazando a: H= 1.15m Yh=1.35m, y expresando a ¡en %, la longitud mínima L. de la curvavertical es aproximadamente igual a:

01 .L =L (4-39)• 1000

Análogamente, según lo establecido anteriormente, también se puedellegar a la siguiente expresión:

O: _ 2L.(JH_ + .JhyI

(4-38)

Para la distancia mínima de visibilidad de adelantamiento D. se tienenlas siguientes alturas: H=1.15m y h=1.35m. Por lo tanto, expresando a ien %, la longitud mínima L. de la curva vertical es aproximadamenteigual a:

L. =20. _ 200(.JU5 + .J1T5yi; =20. _1D?0

I

Reemplazando en la ecuación (4-30) a D. por D•. se tiene:

L =20 _ 2(JH+.JhLv, i

o CURVAS VERTICALES CONVEXAS

331c,\pinJLO 4. DISEÑOOEO~IÉTRICc) VERTICAl.: RASANTEo'.r

En aquellos casos en que sea económicamente posible, se puedenadoptar distancias de visibilidad amplias, incluso hasta obtenerdistancias de visibilidad de adelantamiento D•.

4.5.2 Longitud rruruma de curvas verticales convisibilidad de adelantamiento

tI> c.Iaód.... 1I.... 1OIItI '''15).... c.o:.L>docooll """ocl6n ''',3).~ CalaAIdo e.. 11 .... _1..'7),

2551~ 153 64109 5321511076 4318010053 35ISO9037 281258021 ~957013 1575607 855504 640401 32530

CURVAS VERTICALES CURVAS VERTICALESCONVEXAS'" CÓNCAVASQ

V1SIBIUDADDEPARADA

D,(m)(O

VELOCIDADDE DISEÑOVI (Krrvll)

COEFICIENTE ANGULARk.

Tabla 4.6 Valores mínimos de k, para curvas verticales convexas y cóncavas convisibilidad de parada (criterio de seguridad)

En la Tabla 4.6, aparecen los valores mínimos recomendados de k••para las sucesivas velocidades de diseño Vd y sus correspondientesdistancias mínimas de visibilidad de parada Dp, tonto para curvasverticales convexas como para cóncavas.

De la expresión anterior, se observa que el coeficiente angular k.es:01

k = • (4-37)• 120+3.50.

Expresando a i en % y reemplazando a h=0.60m. se obtiene que I¡¡longitud mínima Lv de la curva vertical es:

O;i~= 0~~120+ 3.5 O.

no

Las curvas verticales, con pendientes de entrada y salida de signocontrario, tanto convexas como cóncavas, que sean muy amplias,

4.5.5 Longitud rnaxima de curvas verticales concontrol por drenaje

Como puede observarse en la expresión anterior ~lor de k. es de30. Comparado con los valores de k. del criterio de seguridad paracurvas verticales cóncavas, según la Tabla 4.6 anterior, estas curvascorresponden a velocidades de diseño Vd superiores a 80 Krn/hr.Quiere esto decir, que para carreteras de alta jerarquía, es necesariodisponer de longitudes amplias en las curvas para así garantizar unabuena apariencia o estética.

Las curvas verticales cóncavas, por ser de completa visibilidad diurna,deben presentar al conductor una buena apariencia o estética.Experimentalrnentel'l se ha encontrado que la longitud mínima Lv deestas curvas, con criterio de apariencia o estética, expresando a ; en%, es:L. =30; (4-41)

4.5.4 Longitud mínima de curvas verticales conapariencia

Expresando a i en %, la longitud rmruma Lv de la curva verticalcóncava., con criterio de comodidad o confort, es igual a:

VZ,L., =....!..!.. (4--10)

395

Por lo tanto despejando Lv, se tiene:

V2(Km2) .VJ ; d -¡;;z I (10002 m2 X 1hr2 ) V2;

L., ~ 0.305 = 0.30d _!!!_) ~ 36002 segZ = 3.~53l.seg2

333cArITULO~ DISEÑOGEOMETRICO VERTIC,\I•. ItI\~,\:-ITE

t

Pero, para el arco de circunferencia, su longitud L. es:L. =R .<1 , donde, ¿! = ; , esto es,

L., V2L., =Ri R=_ ...._d_• ; c;. 0.305

Asimilando la parábola a un arco de circunferencia de radio R, a lavelocidad de diseño Vd, la aceleración centrífuga vertical ac es:

V28, = ~ s0.305 mI seg2 , de donde,

R~ VJ0.305

El confort debido a este efecto depende, entre otros factores, de lasuspensión del vehículo, la presión en las llantas y, la cargatransportada. Investigaciones al respectol'l, indican que no se presentaincomodidad mientras la aceleración centrífuga vertical no exceda elvalor de 0.305 mJseg2........

El efecto de incomodidad producido por los cambios de pendiente. esmayor en las curvas verticales cóncavas que en las convexas, ya quelas fuerzas componentes de la gravedad y el peso actúan en el mismosentido, generando una mayor fuerza centrífuga vertical. En las curvasconvexas las dos fuerzas componentes son opuestas, lo que hace quese compensen, produciendo un menor efecto centrífugo, que lasconvierte en menos incómodas.

4.5.3 Longitud mínima de curvas verticales concomodidaden lamarcha

6 CURVASVERTICALESCÓNfAVAS

Para la distancia de visibilidad nocturna de adelantamiento. no esindispensable calcular la longitud mínima de la curva verticalcóncava, porque se pueden'ver las luces del vehículo que viene ensentido contrario.

J,\MES C,\ROENAS GRIS,\I.ES332

Inicialmente, es necesario calcular la distancia de parada Dp, deacuerdo con la ecuación (4-25):VI _,Dp=0.556Vd+ ( )254 r, ±p

Criterio de seguridad:

Figura 4.38 longitud de una curva vertical convexa con base en criterios

De acuerdo con la Figura 4.38, se trata de una curva vertical convexa,cuya longitud L. requerida según los criterios es:

Solución:

Calcular:La longitud requerida para la curva vertical teniendo en cuenta loscriterios expuestos anteriormente.

335

" BOKm/h=+2%= -4%

Velocidad de diseñoPendiente de la tangente de entradaPendiente de la tangente de salida

Datos:Para el diseno de una curva vertical, se dispone de la siguienteinformación:

EJEMPLO4.15: Longitud de una curva vertical convexa con base encriterios

Ci\rÍTUlO 4. DISEr:rOGEOMETlUCO VERTICAL:RASANTE

Por otro lado, en el diseño de vías urbanas, algunos ingenieros, paravalores de ¡menores al 1%, no proyectan curva vertical. Pero, lasmodificaciones de campo durante la construcción finalmente producenuna curva vertical equivalente, aún así sea corta.

Sin embargo, de orden práctico, se exige una cierta longitud mlnimade curva vertical L. según la velocidad Vd expresada en Km/h, deacuerdo con la siguiente expresión:L, =0.6Vd (4-43)

Para valores pequeños de 1, en las curvas verticales convexas ycóncavas, para los casos donde Dp >Lv, la longitud de la curva puedellegar a ser negativa, significando esto que no se necesitaría curva.

4.5.6 Longitud mínimum de curvas verticales

Ahora, partiendo del principio de que el criterio más importante es deseguridad, el cual prevalecerá sobre el de drenaje, según los valores dek.de la Tabla 4.6 anterior, las curvas verticales con valores superioresa k,;=50 requerirán de una atención especial para proporcionarcondiciones adecuadas de drenaje cerca de su vértice, mediante unconveniente bombeo y con pendientes longitudinales del fondo de lascunetas mayores a la pendiente de la rasante.

Por lo tanto, expresando a ¡en %, la longitud máxima L, de las curvasverticales convexas y cóncavas, que satisfacen el criterio de drenaje,es:~=~¡ ~~~

presentan en su parte alta o baja, tramos easi a nivel qUI!podríanocasionar dificultad en el drenaje de las aguas lluvias. Se haencontrado, que no se tendrán problemas de drenaje, si al menos enuna distancia de 15 metros desde el vértice de la curva SI!alcanza unapendiente del 0.3%. Esto arroja un kv de:k = 15m =50• 0.3%

J.\i'IES CÁRIJf.NASGRIS,\I.ES334

El valor de ies:

La distancia de parada Op, es:801o, = 0.556 (80)+ ( ) = 124.125m2540.320-0.006

Criterio de seguridad:

Solución:

Calcular:La longitud requerida para la curva vertical teniendo en cuenta loscriterios.

Pendiente de la tangente de entrada :: +0.6%Pendiente de la tangente de salida = -0.5%

:: 80 Km/hVelocidad de diseño

Datos:Para el diseño de una curva vertical, se dispone de la siguiente;información:

EJEMPLO 4.16: Longitud de una curva vertical convexa con base encriterios para pendientes pequeñas

Los cálculos anteriores arrojan, para el criterio de seguridad unalongitud mínima de la curva vertical de 255.274m, y para el criterio decontrol por drenaje una longitud máxima de la curva vertical de 300111.En este sentido, cualquier valor entre estas dos longitudes cumplirácon los dos criterios. Por razones prácticas de facil idad de cálculo ylocalización, se recomienda diseñar curvas verticales con longitudesmúltiplo de 20 metros, hasta donde sea posible. Por lo tanto, unalongitud de diseno de la curva vertical para este caso puede ser 280metros.

t; =50¡=50(6}=300m

337CAPiTULO 4. OISEÑO GEO~IÉTRICO VElrrtCAI.: RAS ..\:-;TE

La longitud máxima L.de la curva, según la ecuación (4-42), es:

Criterio de drenale:

Este criterio, para curvas verticales convexas, tampoco tieneaplicación.

Criterio de apariencia:

Para curvas verticales convexas, este criterio no tiene aplicación.

Criterio de comodidad:

Obsérvese que ahora sí se cumple la condición de que Op< L•.

Como Op= 134.469m < 198.105m = Lv, el supuesto no es válido. Entonces,para el Caso 2, cuando Op< L" la longitud mínima Lv de la curva, segúnla ecuación (4-32), es:

t; = O! i = (134.469)Z6 255.274m425 425

Suponiendo el Caso 1, cuando Op > Lv, la longitud mínima L, de lacurva, según la ecuación (4-31), es:

4.25 425t, = 20p --¡- = 2(134.469)-""'6 = 19B.105m

El valor de ¡es:i =m-n = +2%-(-4%)= +6%

Donde la velocidad de diseño Vd es de 80 Km/h y el coeficiente defricción longitudinal (¡, según la Tabla 4.4, de 0.320. La pendiente dela rasante a lo largo de la curva vertical varía desde el +2% al entrar ala curva hasta el -4% al salir de la curva. En el peor de los casos ybajo un criterio conservador se adopta el valor del -4% para lapendiente p. Por lo tanto:

O =0.556 (80)+ 802 134.469mp 254(0.320 - 0.04)

JAMES CARDENAS GRISALES336

339

Como O, = 137.802m < 175.220m= L., el supuesto no es válido. Entonces,para el Caso 2, cuando O, < L., la longiluJi mínima L.de la curva, segúnla ecuación (4-36), es:

Suponiendo el Caso 1, cuando Op> L., la longitud mínima L. de lacurva, según la ecuación (4-35), es:

L., = 20, _ 120+~.5O, =2(137.802)- 120+ 3.5(137.802)= 175.220mI 6

El valor de i es:i =m -n = -5% - (+ l%l= -6%

La distancia de parada O" es:801

O, =0.556(80)+ 254(0.320-0.05) =137.802m

Criteriode seguridad:

Figura 4.39 Longitud de una curva vertical cóncava con base en criterios

De acuerdo con la Figura 4.39. se trata de una curva vertical cóncavacuya longitud L. requerida según los criterios es: '

Solución:

Calcular:La longitud requerida para la curva vertical teniendo en cuenta loscriterios.

CAPiTULO4 DISEÑOGF.OMnRICo VF.RTICAL: RASA:-ITI2

Velocidad de diseño "80 KmIhPendiente de la tangente de entrada "-5%Pendiente dc la tangente de salida "+1%

Datos:Para el diseño de una curva vertical, se dispone de la siguienteinformación:

EJEMPLO 4.17: Longitud de una curva vertical cóncava con base encriterios

Por lo tanto, una longitud de diseño de la curva vertical para este casopuede ser 50 metros ..:r.... ~

De acuerdo con la ecuación (4-43), la longitud mínimum de la curvavertical L. según la velocidad Vd expresada en Km/h. es:L. =0.6Vd =0.6(80)=48m

Criteriode la longitud mínimum:

La longitud máxima L. de la curva, es:L. = 50i =50(1.1)= 55m

Criteriode drenaje:

Como Op " 134.469m > -136.914m = L•• el supuesto es válido. El valornegativo de L. indica que por razones de seguridad no se necesitacurva vertical.

Suponiendo el Caso 1. cuando Op > L., la longitud mínima L. de lacurva. es:

L., =20, - 4~5 =2(124.725)- 425 =-136.914mI 1.1

1=m-n = +0.6% -(-0.5%)= +1.1%

IM.IES C,\.RnE:-I.\~GRISAI.ES338


KO KO+040 KO+140 KO+UO KO+JOOABSCISAS

Datos:Las .longitudcs de las curvas verticales simétricas para los tres PIV dela Figura 4.41 son 40m, 80m y 60m respectivamente.

PROBLEMA 4.2

Calcular:a) Las cotas de rasante en las abscisas KO+190, K0+440, KOt620, KO+800

y KO+910 ..[Resp. : 488.833, 492.42S, 503.000, 499.325 Y 493.900).b) Las abscisas y cotas del punto más bajo y más alto de la rasante

en el tramo AB.[Resp. : Mínímo: KO+221.429 y 488.2S7; Máximo: KO+576.667 y S03.783).


)·11CAPITULO 4. DISEÑOGr:OMt:I'I\1CO VERTI(.',\1.. It/\SM'¡TE

-•s

Datos:Las longitudes de las curvas verticales simétricas para los cuatro PIVde la Figura 4.40 son en su orden 60m, 80m, SOm y 20mrespectivamente.

PROBLEMA 4.1


Los cálculos anteriores arrojan, para el criterio de seguridad unalongitud mínima de la curva vertical de 189.167m, para el criterio decomodidad una longitud mínima de 97.215m, para el criterio deapariencia una longitud mínima de 180m y para el criterio de controlpor drenaje una longitud máxima de 300m. Por lo tanto, una longitudde diseño de la curva vertical, que cumpla con todos los criterios,puede ser 200 metros.

La longitud máxima Lv de la curva, es:L, =SOi=SO(6)=300m

Criterio de drenaje: .

La longitud mínima L, de la curva, según la ecuación (4-41), es:L, = 30 i = 30(6)= 180m

Criterio de apariencia:

La longitud mínima Lv de la curva, según la ecuación (4-40), es:

L, = Vd2 i = 802(6) = 97.215m39S 39S

Criterio de comodidad: .....

JAMES C,\RDENAS GRISALES340

343

Datos:En una curva vertical cóncava simétrica de 120 metros de longitud,con pendiente de entrada del -4%, la diferencia de cotas entre lasrespectivas rasantes del PCV y un punto de abscisa K3+890 es de 0.825

PROBLEMA 4.6

Ca1cular:a) La distancia horizontal entre el punto máximo y el punto mínimo

de ambas curvas. [Resp. : 147.583m]. I

b) La cota de la rasante 20 metros adelante del PIV-2. [Resp.: 496.467].


Datos:Para la Figura 4.42, se trata de dos curvas verticales simétricas donde'L., = 100m ' .L.1 = 120mCota del PCV·1 = 500m

PROBLEMA 4.5

Calcular:a) La longitud de la curva, de tal manera que en un punto localizado

a 15metros después del PIV, la cota de la rasante esté 3 metros pordebajo de la cota del PCV. [Resp. : 165.633m].

b) La cota del PTV. [Resp. : 515.387J.

CAPITULO~. DISE:\'O GEOMETRICO VERTICAl.: R/ISANTE

Datos:Para una curva vertical simétrica se conoce:Pendiente de la tangente vertical de entrada = -1%Pendiente de la tangente vertical de salida = -8%Cota del PCV = 522.840m

PROBLEMA 4.4

Calcular:a) La longitud de dicha curva. [Resp. : 160m].b) La abscisa de su PIV. [Resp. : K3+090J.e) Las cotas de la rasante en las abscisas K3+052, K3+100 y Kl+180.

[Resp, : 502.997,503.024 y 501.960].d) Tendrá esta curva problemas de drenaje? [Resp. : No].

Cota en la tangente (m)502.320502.560503.320502.160

AbscisaK2+994K3+010K3+112K3+170

PuntoABCO

Las abscisas y cotas en la tangente de los cuatro puntos son:

Datos:Los puntos A y B pertenecen a la tangente vertical de entrada y lospuntos e y o a la tangente vertical de salida. Se desea insertar unacurva vertical simétrica entre los puntos B y D.

PROBLEMA 4.3

Calcular:a) Las cotas en la rasante sobre la vertical de la externa para las tres

curvas. [Resp, : 13.200, 14.350 Y 10.563J.b) Las abscisas y cotas del punto máximo y mínimo.

[Resp. : Máximo: KO+118.462 y 14.538; Minimo: KO+250.000 y 10.500].

JA~IES C,\ROr:N,IS GRISALES.H:!

-- -- - _.----_. -_._.__ ._-_ .._--------

Calcular:La abscisa y la cota del punto más alto de la curva.[Resp. : K1+993.94y 499.079].

Datos:De una curva vertical asimétrica se conoce:Pendiente de entrada = +4%Pendiente de salida = ·7%L, = 40mLz = 30mAbscisa del PIV = K2+000Cota del PIV = 500m

PROBLEMA 4.10

Calcular:a) La longitud de la curva vertical, tal que 40 metros después del PIV.

la cota en la curva sea de 300.240 metros. [Resp. : 120m].b) La abscisa y la cota del plinto más alto. [Resp. : K5+030y 302.040].

Datos:De una curva vertical simétrica, se conoce:Pendiente de la tangente vertical de entrada = +4%Pendiente de la tangente vertical de salida = ·8%Abscisa del PCV = K4+990Cota del PCV = 301.240m

PROBLEMA 4.9

Calcular:La longitud de la curva vertical. de tal manera que en la abscisaK6+010, la cota sobre la rasante sea 573.400m. [Resp. : 236. 190m].

Pendiente de la tangente vertical de salida ;: ·2%Abscisa del PIV = K5+995Cota del PIV = 572.800m

345CAPiTULO~. DISEÑO GEOMtTRICO voRTICAI.: RAS,\NTE

Datos:Para una curva vertical simétrica se conoce:Pendiente de la tangente vertical de entrada = ·6%

PROBLEMA 4.8

Calcular:a) La longitud de la curva vertical. [Resp. : 79.796m].b) La cota de la rasante en la abscisa KO+250.(Resp. : 499.797].


Datos:En la Figura 4.43, el punto máximo de la curva vertical de la vía 1debe caer en la abscisa K0+180, y con respecto al vía 2 debe estar 1.95metros por debajo.

PROBLEMA 4.7

Calcular:La cota en la rasante de ltabscisa K3+930. (Resp. : 499.242].

metros. Se sabe además que la abscisa del PCV es el K3+860 y su cota500m.

JAMES CAROENAS GRIS,\LES344

La cota de la rasante en la abscisa K3+033 sobre la Vla2.[Resp. : 502.646).

-_-_-_.'--_ ..-.----

-,Calcular:


-34m4m

Datos:La Figura 4.45, muestra la vista en planta de una bifurcación, donde e,y 62 son los peraltes respectivos por la Vía 1y la Vía 2. El punto A es elprincipio de dos curvas verticales simétricas, una para cada vía, coniguales pendientes de entrada del +6% y de salida del +3%. Lalongitud de la curva vertical en la Vía 1 es de 60 metros.

PROBLEMA 4.12

Calcular:a) La cota de la rasante en la abscisa KO+140 para el paso superior.

[Resp. : 504.015].b) La cota de la rasante en la abscisa K1+220 para el paso inferior.

[Resp. : 499.011).

CAPiTUlO~. DISE::<OGEOMÉTRICO VERTICAL: RASANTE

_E

347

Figura 4.44 Problema 4,11

S;:::-"~R-=-------IPfV

Datos:En la parte de arriba de la Figura 4.44, se presenta la vista en planta deun cruce a desnivel a 90°, y en la parte de abajo se ha dibujado unperfil longitudinal a lo largo del paso superior y que muestratransversalmente el paso inferior.

PROBLEMA 4.11

JA,\lES CARDEN.\S GRISALES346

"

Calcular:La longitud de la curva vertical, tal que en la abscisa K3+000 la rasantetenga una diferencia de altura de 2.50 metros con respecto al PTV.[Resp. : 145.387m].

= Primera rama= Segunda rama = 2Lr= K2+980=500m

L,L2Abscisa del PIVCota del PIV

Datos:De una curva vertical asirnéttica se conoce:Pendiente de entrada ::+4%Pendiente de salida = ·3%

PROBLEMA 4.13


Geométricamente, la sección transversal de una carretera estácompuesta por el ancho de zona o derecho de vía, el ancho de

-,5.2 ELEMENTOS QUE INTEGRAN LA SECCIÓN

TRANSVERSAL

El diseño geométrico transversal de una carretera consiste en ladefinición de la ubicación y dimensiones de los elementos que formanla carretera, y su relación con el terreno natural, en cada punto de ellasobre una sección normal al alineamiento horizontal. De esta manera,se podrá fijar la rasante y el ancho de la faja que ocupará la futuracarretera, y así estimar las áreas y volúmenes de tierra a mover.

5.1 CONCEPTO

•secciones,,,1'áreas yvolúmenes

Diseñogeomérricotransversal

Capítulo 5

----- ..._---- ...~.__ ..._--_._------------------._.- ..- ._---- ---_ .._.-

Al conjunto formado por la calzada y las bermas se le denominacorona. Por lo tanto, el ancho de corona es la distancia horizontalmedida normalmente al eje, entre las aristas interiores de las cuneta;de un corte y/o entre las aristas superiores de los taludes de unterraplén.

En la Tabla 5.2 se presentan los anchos de berrna recomendados enfunción del tipo de carretera, el tipo de terreno y la velocidad dediseñoñ.

Contiguo. a la calzada ~e encuentran las hermas, que son fajascomprendidas entre las orillas de la calzada y las líneas definidas porlos hombros de la carretera. Las bermas sirven de confinamientolate:al de la .superficie de rodamiento, controlan la humedad y lasposibles erosiones de la calzada. Eventualmente, se pueden utilizarpara estacionamiento provisional y para dar seguridad al usuario de lacarretera pues en este ancho adicional se pueden eludir accidentespote~ciales o reducir su severidad. También se pueden utilizar para lostrabajos de conservación.

TIPO TIPO VELOCIDAD DE DISENO Kmhl\DE CARRETERA DE TERRENO 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

Plano 7.JO 7.30 7.JO 7.JOCarretera principal Ondulado '. 7.JO 7.JO 7.JO 7.JO 7.JOde dos calzadas Montañoso 7.JO 7.JO 7.JO 7.JO 730

Escareado 7.30 7,30 7.JO 7.3CPlano 7.JO 7.JO 7,JO 7.30

Carretera pnncipat Ondulado 7,30 7.JO 7.30 7.JO 7.JOde una calzada MOIltañoso 7.30 7.30 7,30 7.3C

Escaroado 7,30 7.30 7.30Plano 7.00 7.30 7,30 7.JO

Carretera Ondulado , 7.00 7,00 7.30 7.30 7,30secundaria Montañoso 6.60 7.00 7.00 7.00

Escarpado 6.00 6.00 6.60 7.00Plano 5.00 6,00 6.60

Carretera Ondulado 5.00 5.00 6.00 6,60terciaria Montañoso 5.00 5.00 6.00

Escaroado 5,00.5,00 6.00fuen1e.: 1n$3bJ N -

Tabla 5.1 Anchos recomendados de calzada en recta

351CAPiTULO S.DISEÑOGEOMETRICOTR.·\NSVEI(SAI.

~.Los anchos de carril normalmente utilizados en recta son de 2.50m,3.00m, 3.50m y 3.65m. En la Tabla 5.1 se suministran los anchos decalzada recomendados en función del tipo de carretera, el tipo deterreno y la velocidad de diseñoñ. Los sobreanchos de calzada en lascurvas horizontales deberán calcularse con el procedimientoestablecido en el numeral 3.6 del Capítulo 3.

La calzada o superficie de rodamiento, es aquella parte de la seccióntransversal destinada a la circulación de los vehículos, constituida poruno o más carriles para uno o dos sentidos. Cada carril tendrá unancho suficiente para permitir la circulación de una sola fila devehículos. El ancho y el número de carriles de la calzada sedeterminan con base en un análisis de capacidad y nivel de serviciodeseado al final del periodo de diseflo.

Figura 5.1 Sección transversal típica mixta, pavimentada en recta

explanación, el ancho de banca o plataforma, la corona, la calzada, loscarriles, las bermas, las cunetas, los taludes laterales y otros elementoscomplementarios. En la Figura 5.1, se detallan estos elementos, para elcaso de una vía pavimentada de sección transversal mixta, corte yterraplén. ubicada en recta o-en tangente.

JA~IESCARDF.NAS GRIS,\(.E~350

353

La rasante, como eje, es la proyección vertical del desarrollo del ejereal de la superficie de rodamiento de 4..vía. La sub-rasante es aquellasuperficie especialmente acondicionada sobre la cual se apoya laestructura del pavimento.

El ancho de zona o derecho de vía es la faja de terreno destinada a laconstrucción, mantenimiento, futuras ampliaciones si la demanda detránsito así lo exige, servicios de seguridad, servicios auxiliares ydesarrollo paisajístico. En la Tabla 5.4 aparecen los anchos mínimosde derecho de vía recornendadosñ, A esta zona no se le podrá dar usoprivado.

El chaflán o estaca extrema de talud, es el punto donde el talud decorte o terraplén encuentra el terreno natural. El ancho deexplanación, es la distancia total horizontal comprendida entre loschaflanes derecho e izquierdo.

La banca o plataforma de la carretera, es la distancia horizontal,medida normalmente al eje, entre los extremos exteriores de lascunetas o los hombros.

A continuación aparecen los taludes, que son las superficies lateralesinclinadas que limitan la explanación. Si la sección es en corte, eltalud empieza enseguida de la cuneta. Si la sección es en terraplén, eltalud se inicia en el borde de la berma, Las inclinaciones adoptadaspara los taludes se determinan con base en los estudios geológicos ygeotécnicos del lugar. En términos generales, los taludes que seemplean son: para cortes 2 verticales por I horizontal, y paraterraplenes 2 verticales por 3 horizontales.

Las cune/as son zanjas, revestidas o no, construidas paralelamente alas berrnas, destinadas a facilitar el drenaje superficial longitudinal dela carretera. Sus dimensiones se determinan de acuerdo a los análisishidráulicos del sitio. Generalmente son de sección triangular, sinembargo son deseables las de sección trapezoidal.

berma como continuación de la calzada, se deberá mantener lapendiente adoptada para la calzada.

CAPITULO S DISEÑO GEOMtrRICO TR'\:-JSVERS,\1.

La pendiente transversal recomendada para las bermas es lacorrespondiente a la de la calzada más un 2%. Si se construye la

TIPO DE SUPERFICIE DE RODADURA BOMBEO 1%1Muy buena Supefficie de COOCIelohidráulico o asfáltico, 2

colocada con extendedoras rnecáokas,Buena Superlicle de mezcla asfallica. cOlocada con 2·3

lerminadora Carpela de rieqos.Regular a Superficie de tierra o grava 2-4

mala

Tabla 5.3 Valores recomendados para el bombeo

~.

En los tramos rectos, la calzada tiene una pendiente transversal que vadel eje hacia los bordes, denominada bombeo; el cual tiene por objetofacilitar el escurrimiento de las aguas lluvias hacia las bermas ycunetas. En la Tabla 5.3 se suministran, en función del tipo dcsuperficie de rodadura, los valores recomendados del bombeo aemplearse en el proyectoñ,

Futnte. ""'1I1l.I1ONaooo3ldl Vlu, MaooitldtDrSeM GeomflllCOpIf. CMf!ltfl$ 8~(.t 1998,. a..maderlCll&'!loml,~~.O>Pnc3...,Ia.,-..

TIPO TIPO VELOCIDADDE DISE~IO (Km/h) IDE CARRETERA DE TERRENO 30 40 50 60 70 80 90 I 100 I 110 I 120 1

Plano 2.511.012511.02 Sil O 2 SIl Q!Carretera principal Ondulado 2.0110 2.0JI Ol2.Sll O 2511 O 2 SIl 01de oos caJzada~" Montañoso 1.8!0.5 1810.5120110'20110 2 SIlO

Escarpado 1.8,"0.51.8105 1a.1.0 1.811.0Plano 1.8 2.0 2.0 2.5

Carrelera principal Ondulado 1.8 1.8 2.0 2.0 2.5de una calzada Montañoso 1.5 1.5 1.8 1.8

Escarpado 1.5 1.5 1.8 1.8Plano 1.0 1.5 1.5 1.8

Carrelera Ondulado 0.5 1.0 1.0 1.5 1.8secundaria Montañoso 0.5 0.5 1.0 10

;_~ado 0.5 0.5 05 1.0Plano 0.5 0.5 1.0

Canelera Ondulado 0.5 0.5 0.5 1.0temariam Montañoso 0.5 0.5 0.5

Escarpado 0.5 0.5 0.5

Tabla 5.2 Anchos recomendados de berrnas

J.\:>'IESC,\RDE:-J,\S GRISALES352

Obsérvese que en el punto de paso de corte a terraplén, la cota roja esigual a la cota negra, por lo que la cota de trabajo es nula,característica ésta propia de la estaca de cero. En la Figura 5.3, semuestra de manera tridimensional y transversal a lo largo de unabanca las diferentes posiciones de los chaflanes y los ceros.

: Cota de proyecto o nivel de sub-rasante.: Cota del terreno natural.

Donde,Cota RojaCota Negra

Se define la cofa de trabajo, como el trabajo necesario a realizarverticalmente sobre un punto, ya sea excavando o rellenando,expresada como:Cota de Trabajo = Cota Roja - Cota Negra

Como se dijo anteriormente, los chaflanes o estacas extremas de talud,son los puntos donde los taludes. de corte o terraplén, encuentran elterreno natural. Los ceros son aquellos puntos de paso de corte aterraplén o viceversa.

5.3.2 Chaflanes o estacas de talud y estacas de ceros

Figura 5.2 Secciones transversales típicas

L ~~ -----------

CDrl. - f1lCOYDCl6tt

355CAPíTULO S.DISEÑOGEOMÉTRICOTR,\NSVERS,II."

Dependiendo del tipo de terreno' o topografía, predominará unasección transversal determinada, la cual será típica para ese tramo. Enla Figura 5.2, se muestran los tipos generales de seccionestransversales, en corte, terraplén y mixtas.

5.3.1 Secciones transversales típicas

5.3 SECCIONES TRANSVERSALES TíPICAS, POSICiÓN DE CHAFLANES Y ESTACAS DE CEROS

Como el enfoque presentado aquí es meramente geométrico, elanálisis en lo sucesivo parte de la base que dichas dimensiones einclinaciones son conocidas, las cuales obviamente se fundamentan enotros estudios complementarios, como geológicos, suelos, pavimentose hidráulicos.

De acuerdo al tipo de vía a proyectar, adicionalmente a los valoresrecomendados dados aquí, existen diferentes criterios que permitendefinir las dimensiones e inclinaciones de cada uno de los elementosde una sección transversal.

A los niveles de la sub-rasante también se les conoce como las cofasde proyecto o cotas rojas. A los niveles del terreno natural, se lesdenominan calas negras. Cuando es necesario excavar el terreno paraformar la superficie de la sub-rasante, se dice que se hace excavacióno carie. Si por el contrario, es necesario colocar material para ubicar elpavimento sobre él, se dice que se hace relleno o terraplén.

Fuenle: lnst;lulO Nac.onaI ele Vi,u, IJanvaJ d& Oise.1o Geometrico pala C~(ertf¡1.Bogola. 1996.

Terciaria

Princi al dedos calzadasTIPO DE CARRETERA

Tabla 5.4 Anchos minimos de derecho de via recomendados

JAMESCÁRDENASGRISAlES354

Ancho de banca o plataforma.Cota de trabajo al eje.Pendiente de los taludes. ~,Posición del chaflán derecho con respecto al eje de la vía y ala banca.

Una sección transversal, como la de la Figura 5.5, quedageométricamente definida en forma completa cuando se especificanlos siguientes elementos:

5.3.3 Posición de los chaflanes

Figura5.4 Plantadechaflanesy ceros

A su vez. en la Figura 5.4 se presenta una vista en planta de loschaflanes y cer'Osdel modelo anterior. Es importante observar, que enla medida que aparezcan ceros dentro de la banca o plataforma setendrán secciones mixtas. de lo contrario serán secciones simples. decorte o terraplén.

I

357CAPiTULO 5 DISEÑOGEOMETRICO TRA:-.iSVERSAL

.-.

Figura 5.3 Posiciónde lasestacasdechaflanesy deceros

{ fI I~::_7 ~I C.".Io'.,.,¡

~.o b

I IS.cc/6n Z S.cclM ,J

- ~"".$.u:1611 ,

J,\Mf:S CÁROf;NAS GRIS,\LES

_.,¡ f..!'·

8 = Ancho de banca o plataforma.e = Ancho del carril.b = Ancho de la berma.e = Espesor total de la estructura de pavimento.g.+f = Ancho de la cuneta, desde el borde de la berrna hasta donde

se inicia el talud del corte,d = Profundidad de la cuneta por debajo de la sub-rasante (0.50

mmínímo).m = Bombeo normal.n = Pendiente de la cuneta.h.l, i = Alturas auxiliares de cálculo.

En la Figura 5.6, se esquematiza la sección transversal para este caso,para la cual se definen los siguientes elementos:

o ANCHO DE BANCA EN RECTA y EN CORTE

En el cálculo del ancho de banca, se pueden presentar los siguicmescasos básicos generales:

Tal como se mencionó anteriormente, aquellas dimensiones einclinaciones que no dependen directamente del estudio geométrico, yque se fundamentan en otros estudios complementarios, se suponencomo conocidas. De lo contrario, deberán ser estimadas lo más precisoposible, de tal manera que los ajustes posteriores, a que haya lugar,sean mínimos.

Geométricamente, el lincho de banca depende de! ancho de loscarriles, del ancho de las bermas, del espesor de la estructura delpavimento, del valor del bombeo o del peralte en curvas, delsobreancho si existe en curvas, de la pendiente transversal de lascunetas y del valor de los taludes en terraplén.

5.4.1 Anchos de banca

5.4 ANCHOS DE BANCA Y ÁREAS DE LASSECCIONES TRANSVERSALES

J5lJCAPiTULOs, DISENOGEOMETRIC0TR.-\NSV~I\S,\L

En la localización directa de chaflanes en el terreno, las dosecuaciones anteriores son indeterminadas, pues se desconocen los'valores de Xd y Yd, X, Y '{¡, teniéndose que proceder mediante tanteoshasta que tales ecuaciones se satisfagan para su.cesivosvalores de .Ydy'{¡ que arrojen distancias calculadas Xd y Xi 19ual~s a las ,medIdasactuales hechas directamente en el terreno desde el eje de la vra.

Tales posiciones, se expresan a través de las siguientes ecuaciones:

x, =~+(f)Yd (5-1)

X, =~+(f)YI (5-2)

Figura5.5 Posiciónde los chaflanes

_ _;.9/,-,'2=--_18/2

Cho1l4t1d"f"Kho

9!I

= Distancia horiscntal desde el eje de la vía al chaflánizquierdo.Altura del chaflán derecho con respecto a la banca.Altura del chaflán izquierdo con respecto a la banca.

X,

X,. '{¡ = Posición del chaflán izquierdo con respecto al eje de la vía ya la banca.

Xd = Distancia horizontal desde el eje de la vía al chaflánderecho.

JA~IES C'\ROE~AS GR1SALES358

361

(5-4)

....,

e +h = j + i , donde,h=m(c+b +g,)j=m(c+b)i= f,g, , entonces,e +m(c+b +g,)= m(c +b)+ t,g,e +mg,= f,g, , esto es,

eg, = - , por lo tanto,ti-m

B = 2c+2b+ .1_e_)'lt,-m

Igualmente, para hallar g" se plantea la siguiente igualdad de alturas:

El ancho de banca B se expresa como:

Figura 5.7 Ancho de banca en recta y en terraplén

La Figura 5.7, muestra este caso. para el cual t, representa la pendientetransversal del talud en terraplén.

e ANCHO DE BANCA EN RECTA Y EN TERRAPLÉN

cAriTULO 5. DISEÑOGEO."IÉTRICO TR,\SSVERSM.

(5-3)

Por lo tanto:

B = 2c+2b+ 2(n~m)+ 2(~)

e +h = j + i ,donde,h;m(c+b+ge)j=m(c+b)i=ng. , entonces,e +m(c +b +g.) =m(c +b)+ ngce +mg. = nge , esto es,

ege = n-m

Para hallar ge, se plantea la siguiente igualdad de alturas:

B =2c+ 2b + 2ge + 2f , donde,

f=~n

De esta manera, el ancho de banca B se expresa como:

Figura 5.6 Ancho de banca en recta yen corte

J,\~IES CARnOI ..\S GRIS,II.F.S360

(5-6)

° eg, = -- , por lo tanto,I,+m

8 =2c+ 2b +S +_e_+ _e_I,-m I,+m

Análogamente, los valores de g, y gO,son:g,=_9_

I,-m

La Figura 5.9, ilustra este caso para una curva derecha. El ancho debanca Bes:

ANCHO DE BANCA EN CURVA y EN TERRAPLÉN

(5-5)

Por lo tanto:

B= 2c+2b+S+_9_ +_e - + 2(!!")n-m n+m n

e+ j' = hO+1' , donde,j'=m(e+b)h'~ m(e +-b+ g0.)i' = ngOc ' entonces,e +m(e + b) =m(e + b + gO.)+ngO,e =mgO,+ngo. ' esto es,

go.=_e_n+m

Para hallar gO.ose plantea también la siguiente igualdad de alturas:

e+mg, = ngc , esto es,

g, =_9_n-m

363CAPiTULO s. DISEÑO GEOl>IE1R1CO TR..\:-JSVERSAL

9+h = j+i , donde,h =m(c+S+b+9.)J = m(c+S +b)i= ng. , entonces,9 +m(e+S +b +g.)= m(c +S + b)+ngc

De nuevo, para hallar g" se plantea la siguiente igualdad de alturas:

8=2c+2b+S+9. +g'.+2f ,donde,

( =!!..n

En este caso, el ancho de banca Bes:

Figura 5.8 Ancho de banca en curva y en corte

La Figura 5.8, muestra este caso para una curva derecha con un peraltemy un sobreancho S. Obsérvese que por efecto del peralte, el ancho dela cuneta del borde superior ~'Smenor que la del inferior, pues gO,< g,.Para el cálculo, se identifican adicionalmente las alturas ¡o. hO y j'.

e ANCHO DE BANCA EN CURVA Y EN CORTE

J,\MES CÁRDENAS GRIS,\LES362

365

Con el avance tecnológico, hoy en día para determinar el área de lassecciones transversales, se utilizan técnicas de computador, como porejemplo el Autocad. Sin embargo, existen varios métodos manuales,que eventualmente pueden ser usados, y que son la base analítica delas técnicas computacionales. En lamedida de su aplicabilidad, seexpondrán aquí las bases teóricas sobre las cuales se fundamenta cadauno de ellos.

Se denomina homogénea si se trata de sólo corte o sólo terraplén, y essimple si el perfil del terreno natural es más o menos uniforme.

ÁREA DE UNA SECCiÓN HOMOGÉNEA SIMPLE EN RECTAo5.4.2 Áreas de las secciones transversales

Con apoyo en los casos básicos generales anteriores, se puede plantearla ecuación para calcular el ancho de banca de cualquier otra seccióntransversal con una variedad de inclinaciones transversales: conbombeo (en recta), en transición (en recta y curva) y con peralte (encurva), ya sea emplazadas solamente en corte, solamente en terrapléno mixta.

Figura 5.10 Ancho de banca en recta y sección mixta

CAPiTULO S. DISEÑO GEOMÉTRICO TR..IS$VERSAl

.~

(5-7)

Dc igual manera, los valores de gc, gl y f son:El

gc =ñ=ñiEl

g, = I -mI

df = - , por lo tanto,

nEl e dB = 2c +2b+-- +--+n-m I,-m n

En este caso, el ancho de banca B se plantea como:

La Figura 5.10, muestra este caso, con todos los elementos conocidos,vistos anteriormente.

ANCHO DE BANCA EN RECTA y SECCiÓN MIXTA

Figura 5.9 Ancho de banca en curva y en terraplén

JAMES CÁRDENAS GRIS,\lES36'"

----- --- ---o _.~-~-.-.

Vértice @ : [O, O]Vértice (j): [-(c+b+g.), -h]

Se utiliza un sistema de coordenadas (x , y), de origen la cota roja en eleje de la vía, tal como se aprecia en la Figura 5.11 anterior, para lacual las coordenadas de los vértices son:

Método de las coordenadas de los vértices:

Donde,

B = 2C+2b+{/m)+ 2(*)a YdXd =-+-2 tea y.x·=-+-!., 2 teege=-n-m

h =m(c + b+ g.)

(5-8)

Desarrollando:

Ac =i(%)Yd +y¡)+fY(Xd +x,)+f(Xd +XJh+d)-(e+b+geXh)

-(c+b+geXd)- B:

Ae=[i(%)Yd ]+[~(%)Y¡]+U(h+d)Xd ]+[~(h+d)XI]+[~(Y)Xd]

+[f(Y)X, ]-U(2C +2b +2ge)h] -[ec+ 2b; 2g, -rB}]

367CAPiTULO5. DISEÑOGEOMt:iRICO TR,\NSVERSAL

=

---------_._ ..._--._---------_ .._--~---.;.---

Ac =TriánguloB65+TriánguloB23+ TriánguloB05+TriánguloB03+Triángulo045+Triángulo04J- Triángulo107 -Trapecio1762

En este caso el área de corte A:, se puede plantear mediante el área delas siguientes figuras geométricas así:

Figura5.11 Áreasecciónhomogéneasimple en recta,por figuras geométricasycoordenadas

La sección transversal se divide en figuras geométricas conocidas,generalmente triángulos, rectángulos y trapecios, para así calcular elárea de cada una de ellas separadamente, como se muestra en laFigura 5.11, para una sección en corte.

Método de las figuras geométrícas:

En este caso la sección transversal debe estar dibujada a una solaescala dada, tal que se pueda recorrer su contorno con el planímetro.

Método del planímetro:

JAMESCÁRDENASGRISAI.F.S366

369

Calcular:a) El ancho necesario de banca.b) El área de la sección transversal en corte por el método de las

figuras geométricas y por el método de las coordenadas de los....,vértices.

c = 3.65mb::: 2.00mrn= 0.02n= 0.50e= 0.50md::: 0.60mte::: 2v::: 2.294mVd:::2.351mVI::: 3.852m

Ancho de carrilAncho de bermaBombeo normalPendiente de la cunetaEspesor del pavimentoProfundidad de la cunetaTalud en corteCota de trabajo al ejeAltura del chaflán derechoAltura del chaflán izquierdo

Datos:La Figura 5.13, muestra una sección transversal homogénea simple encorte y en recta, de la cual previamente se conoce la siguienteinformación:

EJEMPLO 5.1: Ancho de banca y área de una sección homogéneasimple en recta, por figuras geométricas y coordenadas

Obsérvese, que ésta es la misma expresión dada por la ecuación (5-8),del método de las figuras geométricas.

Desarrollando y factorizando, se obtiene:

2A. - B(\+V¡) +(Xd +XJV +h+d)-Bd-2(c+b+gcXh+d)

CAPiTULO s. OISEÑO GEO~IETRICO TRANSVeRSAL

Efectuando dichos productos, se tiene:

2A. =-{-~)-(h+dX-X;)+YXd +[Yd -(h+d)J~-(h+dXC+b+g.)

- {- (h+dX-(c +b+g.)]-[y¡ - (h+ d){ -~) - Y(- X¡)-[-(h +d)Xd J

8-(-h)-2

Figura 5.12 Área sección homogénea simple en recta, por las coordenadas de losvértíces

COORDENAOASVERTICE

r@ o

0 -h -(.+b+g.)

0 -(hU) -B/2

0 r,-(Hri) -x,@ o

0 rr(h+d) Xd

@ -(h+d) 8/2

0 -h (Hb+V.)

@ o

En la Figura 5.12, se han organizado las coordenadas (x , y) de losvértices, de tal manera que la suma de los productos y por x de laslíneas continuas, menos la suma de los productos y por x de las líneasdiscontinuas, arrojan como resultado el doble del área, esto es 2Ac.

Vértice a> : [- 812 , - (h + d)]Vértice (J): [-XI I Y,-(h+d)JVértice @ : [O , yJVértice m: [Xd ' Yd -(h+d)]V értice ® : [812 I - (h + d)]Vértice (Í): [(C+b+ge), -hJ

368

._--~-~----------------~-----~-----.--.

Con base a la Figura 5.13, en la Figura 5.14, se organizan lascoordenadas (x , y) de los vértices ..


Por lo tanto, según la ecuación (S-8), el área A,es:A = B(Yd +YI) + (Xd +XIXY +h+d) Bd -(e+b+g Xh +d)e 4 2 2 e

A. = 15.783(2.351 +3.852) + (9.067 +9.818X2.294+0.134+0.60)4 2

- 15.783(0.60) _ (3.65 +2.00+1.042XO.134+ 0.60)2

A. = 43.421m2

Para el cálculo del área, es necesario también conocer los valores dex, x: g, Y h:

Xd = ~+ Yd = 15.783 + 2.351 = 9.067m2 t. 2 2

X. = ~ + Yi = 15.783+ 3.852 = 9.818m, 2 t. 2 2

e 0.50g. = n-m = 0.50-0.02 =1.042mh = m(e +b + g,) = 0.02(3.65 + 2.00 + 1.042) == 0.134m

Método de las figuras geométricas:

b) Áreadela seccióntransversal

Según la ecuación (5-3), el ancho de banca Bes:

B = 2e +2b+ 2(_8_)+ 2(~) = 2(3.65)+ 2(2.00)+ 2( 0.50 )+ 2( 0.60)n-m n 0.50-0.02 0.50

B=15.783m

a) Anchodebanca

Solución:

371CAPiTULO 5. DISEÑOGEOMETRICOTRANsvERSAL

---_._---_ - -_-- ----~."..~-~--__,..,~-~--

FiguraS.13 Ancho debancay área,por figuras geométricasy coordenadas

~IQ¡ :::~ .. .... "...lO "j .. " ~'" ..

I ...~.i ......~i! i

~~ ~@ Ir- :!: •

~..

,!!,

JAMESC,\RDENAS GRIS.-\lES370

373

Figura 5.15 Área sección mixta simple en recta por las coordenadas de los vértices

-,

eg.=-n-meg,=-

t,-mh =m(c +b+g.)h'= m(c+b + g,)

En la Figura 5.15 se muestran lodos los elementos geométricos de unasección transversal mixta simple en recta, referidos al sistema decoordenadas (x , y), de origen la cota roja en el eje de la vía. Como sedesarrolló anteriormente. estos elementos se calculan como:

e e dB=2c+2b+--+--+n-m t,-m nd yx, =c+b+g. +-+....!.n tey

Xi =c+b+g, +...!..t,


CAPiTULOS.DISEÑOOEOMETRICOTRA~SVERSAL

Al igual que en el caso anterior, para el cálculo del área, se puedeemplear cualquiera de los métodos descritos, a saber:

Se denomina mixta si se trata de corte y terraplén, y es simple si elperfil del terreno natural es más o menos uniforme.

{) ÁREA DE UNA SECCiÓN MIXTA SIMPLE EN RECTA

Que es el mismo valor obtenido anteriormente.

Figura 5.14 Ejemplo de cálculo del área por las coordenadas de los vértices,:~,~

Aplicando la suma de los productos de las líñeaS~mfhuas menos losproductos de las discontinuas, se tiene que el área Ac es:

-\ = f[-O.134(-7.892)-0.734(-9.818)+2.294(9.067)+1.617(7.892)

-o.·;~4(6"692)]-f[-0.734(-6.692)+ 3.118(-7.892)+ 2.294(-9.818)

- O.734(9.067)-0.134(7.892)]A. = 43.422mZ

COOROENAOASVERTICE

1 .@ 0.000 1-- »-: 0.000

0 -0.1:14 ~ > -1."1

0 -0.7:J4 r<.:- -> -1.1192

0 +3.116<> -,.".0 +2.294<- -> 0.000

0 +1.611 < -""> +~.Of1

0 -0.1:14 <- '--" +1.'91---'"CE> ---- >-0.IJ4 +6.612

@ -~...- --- -0.000 0.000

372

r

---- ...--~-- ........ --

En secciones en curva, para tener en cuenta la inclinación de la bancaque facilite el peralte de la calzada, se adoptan como planoshorizontales de referencia los que pasan por cada uno de los extremosde la banca. La Figura 5.17 muestra una sección de terraplén simpleen una curva horizontal izquierda, a la cual se le ha aplicado un peraltem y un sobreancho S en su interior. Tal sección se ha dividido encuatro triángulos de bases y alturas conocidas, así:

Triángulo1: aase =!!.. + S •Altura= Y¡ ,Area = A, = !..(!!..+ s)y¡222

1Triángulo2: aase=Y .A1tura=X¡ .Area=Al =-(Y)X¡21Triángulo3: aase=Y ,Altura=Xd ,Area=AJ =2'(Y)Xd

Triángulo4: Base=~ •Altura= Yd •Area= A¡ = f(~)Yd

En las secciones transversales en recta para bancas planas a nivel desub-rasante, para ubicar los chaflanes verticalmente se toma comoreferencia el plano horizontal de la banca.

Método de las figuras geométricas:

Se tratará aquí una sección transversal, donde el ancho de banca a yaha sido calculado previamente para una sección en recta. En este caso,adicionalmente a los elementos anteriores, aparecen el peralte m y elsobreancho S, aplicados a una determinada sección transversal. El árease puede calcular por cualquiera de los siguientes métodos:

{) ÁREA DE UNA SECCIÓN HOMOGÉNEA SIMPLE EN CURVA

(5-10)

Por lo tanto, desarrollando y factorizando, se llega a:A. = (h+dXXd +XOd+ g, -g, -a) + mXOd(c+ b+ g, -Xd)

2 2(Yd+ hXXOd+ C+ b+g¡)

2

375CAPiruLO s. DISEÑOGEOMÉTRICO TRANSVERSAl_

Igualmente, el doble del área de corte A. es:2-\ = -mXOd(Xd)+ [Vd-(h +d)J [a - (e+b + g, )J-(h + dXc+ b + g.)-h(XIl§)-[Vd -(h +d)]xOd - [-(h+d)Xd]- {-h[a -(C+b+ g,m -(-mXOdXc +b+ gJ

(5-9)

Por lo tanto:A, = Y(x, +XOd)'+ (Y¡+h'XC+b+g¡) _ h'X¡

2 2 .2

Aplicando la suma de los productos de las líneas continuas menos losproductos de las discontinuas, se tiene que el doble del área de 'terraplén A, es:lA, = -Y(-x¡)-(Y¡ +h'X-(c + b+g,)]-(- Y)XOd-(-h'X- XI)2A, = YX., + (Y,+ h'Xc +b + g,)+ YX.Od-h' X,

Figura 5.16 Área sección mixta por las coordenadas de los vértices

TIPO OE: ...... COOROE:NAOASÁRE:A V[RTlCe: r "

@ D -....... ~~~-o(J) -mXo" <. > Xo.

® -y<~> Dr.ff'fJpllfI

~ >0 -o,+h? -x,0 -h' K~> -(...Hg,)

@ o ..--'- ---- o0 -m¡¡'" --- ---- Xo.

® Y.-(h+d) «: > x.Corl. 0 -(h ..d) r::;: > B-(C+b+g,J

0 -hK- > (c+b+g.J

(J) -m¡¡'""",--- --........ x~-

De igual manera, en la Figura 5.16, se han organizado las coordenadas(X, y) de los diferentes vértices.


De acuerdo con la Figura 5.17 anterior, la cota del plano horizontal dereferencia, para situar el chaflán de la derecha, con respecto a la cotade trabajo y en el eje, está a una altura fi por encima; a la cual se lellama cota nominal de trabajo. Para el chaflán de la izquierda la alturaes fe por debajo. Por lo tanto, para este caso:

Método de la carterade chaflanes:

(5-11)

El área abca se calculó dos veces, el área dbfd no se calculó, el área (ghftampoco se calculó y el área igji se calculó por fuera. Porcompensación puede decirse que las áreas calculadas adicionalmente,abca y igji, son aproximadamente iguales a las que se dejaron decalcular, dbfd y fghf

Al calcular las áreas de esta manera, se puede ver que:

Figura5.17 Áreasecciónhomogéneasimpleencurva, por figuras geométricas

377

Figura5.18 Áreasecciónhomogéneasimpleen curva,por chaflanes

....,

o .<:« r, X r X r. X oV1+V',X, , o-~ x;- ~ 812

/teCLA oc LAS CRVCCS

Izqul.rdo C<'I1ro D,,..cho

r, r r.X, ¡;;;;¡;; x;-

CARreRA DC CHAFlANes

En la parte superior de la Figura 5.18, se ha dispuesto la .cartera dechaflanes correspondiente a los datos de la Figura 5.17 antenor.

El método de cálculo del área por chaflanes, denominado regla de lascruces, ilustrado en la parte inferior de la Figura 5.18, utiliza la ~arterade chaflanes, artificialmente colocando un cero (O) en el denominadordel quebrado del centro, y adicionando un par de qu~br~dosextremosde numerador cero (O) y denominador el valor de la semi-banca (8/2+Sy BI2 respectivamente).

Para el chaflán izquierdo:

Cota nominal de trabajo = Y - fe = Y - m(~ +S)(B ) y.XI = -+S +_!_2 1,

Para el chaflán derecho:

Cota nominal de trabajo = Y + fi = Y .¡.m(~ )B YdXd =-+-2 "

CAPiTULO S. DISEÑO GEOMETRICO TRA¡"¡SVERS,\I.J"~IES CtÍRDI:NAS 0RISALES376

Esta expresión da el área exacta de la sección transversal. Obsérveseque la primera parte de ella, es el área dada por los dos métodosanteriores (Ecuación 5-(1). De allí que, la segunda parte representa lacorrección, que para efectos prácticos es muy pequeña, mostrando asila aplicabilidad de ellos. Sin embargo, todas las veces que se quiera elárea precisa, deberá considerarse expresiones como la dada por laecuación (5-12).

Organizando los términos, resulta:

~ =H(~)Yd+(~+S)Y¡+Y(Xd+X,)]

+f[( ~B)(Xd -X¡)-mS(S +B-Xi)]

Figura 5.20 ÁIea sección homogénea simple en curva, por coordenadas

TIPO OE COOROENADASVe:RTICe:ÁREA r ..0 1!!f ............ ~~~-s:

2

® .!!!f-rd <~> x.

0 -y ~~ > oTuroplhl

- '"zB -mS-Y, ¡<.:'~ _>0 -x,

0 _ ";8 -m$ r<~> : -sQ) .!1!!.

__ ...- --- 82 2"

379CAPiTUl.O S_ DISEÑOGEOMETRICOTRANSVERSAL

.~.,.

Organizando las coordenadas de los vértices, según la Figura 5.20, setiene:

2A, = ~B (Xd)+(-YX-X¡)+( - ~B -mS- y,X~+S )+(_~B -ms)~-( ~B _ Yd)~-(-YX-Xd)-( - ~B -mS )-X¡)-( ~BX -~-s)

Figura 5.19 Área sección homogénea simpl: en curva, por coordenadas de 105vértices

-1

(J)(-Xt.-IDj-ms-y¡)

(J) (O,-Y)

r

La Figura 5.19 presenta la sección transversal bajo el sistema decoordenadas (x • y).


Que es la misma ecuación (5-] 1).

Si se efectúan los productos en diagonal, de tal manera que a losproductos de las líneas continuas se le resten los de las líneasdiscontinuas, se obtendrá el doble del área. Por lo tanto:

2A, =( ~+S )Y¡ +X¡{Y)+Y(Xd~:Yd(~)

Al = i[(~)Vd +( ~+S )Yi + Y(Xd +Xi)]

JAMES C,\RDENAS GRISALES378

Para que dicho volumen se pueda calcular fácilmente, será necesariosuponer que entre cada par de secciones consecutivas existe un sólidogeométrico compuesto de elementos conocidos o identificables. Eneste sentido, el sólido que más se aproxima a esta configuración es elprismoide, como el ilustrado en la Figura 5.23. El prismoide es aquelsólido geométrico limitado en los extremos por las caras lateralesparalelas correspondientes a las "'"Secciones transversales; Ylateralmente por los planos de los taludes, el plano de la banca y lasuperficie del terreno natural.

Una vez que se han calculado las áreas de las secciones transversales,se puede proceder a calcular el volumen correspondiente entre ellas.

5.5 VOLÚMENESDETIERRA:CUBICACiÓN

2A =XO¡(Y)+ Y(Xz)+ Y2(X,)+ V,(Xd)+ Yd( ~+S ) - XZ(Y, )-x,(vd)

A = i[v(xo, + X2)+ Yd(%+S -X,)+ Y,(XrXz)+ Y2(X,)] (5-14)

Figura 5.22 Área sección mixta compuesta en curva, por chaflanes

MeLA oc LAS C/WCES

Izqul.rdo C.n'ro O.r.cho

Y, rJ 0.000 y r~ r, r.rz; rz: --¡;¡- ;¡;;;¡;; Xi' -¡¡- x;-

CARTCRA oc CHAFLAH(S

381CAPiTULO S_ DISEÑOGEOMÉTRICOTRANSVERSAL

Los datos correspondientes a esta sección se muestran en la Figura5.22, en la cartera de chaflanes y la regla de las cruces, para lo cual:

82Ac ='2(X,)+X¡(Yl)-Y¡(XJ)-YJ(XO¡)

A. =HY{~-XJ)+ VJ(X¡ -Xo¡)] (5-13)

Figura 5.21 Área sección mixta compuesta en curva

€I

Como se vio anteriormente, cualquiera de los cuatro métodos tieneaplicación en el cálculo del área. Por esta razón, para este caso, seusará solamente el de la regla de las cruces basado en la cartera dechaflanes, tomando como modelo una sección mixta en curva derechacon un cero lateral izquierdo, como lo ilustra la Figura 5.21.

Se denomina compuesta debido a que el perfil transversal del terreno :'es irregular. por lo que para precisar mejor su área es necesario acotardiferentes puntos, exactamente donde el terreno cambia.

ÁREA DE UNA SECCiÓN MIXTA COMPUESTA EN CURVAo

JAMESC,\rW[NAS GRISAlES380

Entre la sección 2-2 y la sección 3-3:

Volumendecorle = Troncode pirámoide = Ve= ~ (Al +A3 +~AZAJ)

Volumende terraplén = Pirámoide = VI = \Ll

Entre la sección 1-1 y la sección 2-2:

Volumende corle = Prismoide = Ve = .!:L(A, +A¡ + 4Am)6También:

Volumen de corle = Pr ismoide = Ve= Ll (Al ; A¡ )

La Figura 5.24 muestra la formación de estos tres sólidos geoméiricos.cuyos volúmenes son:

Otro tipo de sólido geométrico que aparece con frecuencia, cuando seforman secciones mixtas, es el/ronco de pirámoide, cuyo volumen sccalcula como:

V =.!:.(~ +A¡ +~A,A¡) (5-18)3

(5-17)

Esta fórmula es más precisa a medida que A, y Al tiendan a ser iguales.Cuando una de las secciones tiende a cero, el volumen se calculacomo un pirámoide:V= AL

3

(5-16)

Reemplazando en la ecuación (5-15):

V =HA, + Az +{ A, ; Al )] = ~(3A, + 3A¡)

V =(A,.;Az)

A = A, +A¡", 2

383CAPITULO s, DISEÑOGEOMt,'RICO TRANSVERSAL

_-¡;

.!;

..-::"

e

r"""

"

-.

.

También puede utilizarse, en forma aproximada, la fórmula de lasáreas medias. Este método supone que el área de la sección media A.es igual al promedio aritmético entre Al y A2. Esto es:~

Volumen del prismoide (m\Área de la sección transversal extrema inicial (m2).Área de la sección transversal extrema final (m2).Área de la sección media (m'). Es aquella sección situadaexactamente a 1../2.

Donde:VAlAzA.

(5-1 S)

El volumen del prismoide se calcula mediante la siguiente expresión:

Figura 5.23 El prismoide en carreteras

s.ccld" /rQffrNnal llllelal A8CO

\_Plono d.JJo/ud

\_

duwcho seraP/Gno d. lo banca A.8CF

o

JAMESCARDENASGRISALES382

_,,:-: _.

385

En la Figura 5.26 se ha dispuesto la cartera de chaflanes, de tal maneraque se pueda calcular las áreas de las secciones por el método de laregla de las cruces.

al Áreas de las secciones transversales

Figura 5.25 Abscisas, cotas de trabajo, chaflanes y ceros

Solución:En la Figura 5.25 se ha dibujado un esquema tridimensional de lainformación dada, referente a abscisas, cotas de trabajo, chaflanes yceros para cada sección transversal.

Calcular:Las áreas y los volúmenes de terraplén y corte en todo el tramo.

CAPITULO5. DISE¡;;OGEOMETRICOTR":'SVERSAL

- I

...."

IZOUIERDO EJE DERECHO!li º'ºº -2.4 1110.2 3.4 KO+030 9.4:U MQ ~9.8 KO+024 7.6!ll .:1Q Q.QQ :ll10.5 KO+020 1.6 6.7~ ~ Q.gQ10,3 KO+015 5.0..3,4 .!U :U9.9 KO+Ol0 8.6~ :1.1 !M9,8 KO+OOO 13.2

Tabla 5.5 Cartera de chaflanes en recta. Ejemplo 5.2

Datos:Un tramo de una carretera secundaria de 30 metros de longitud y 10metros de ancho de banca, tiene los chaflanes que se presentan en laTabla 5.5..

EJEMPLO 5.2:Áreas y volúmenes de terraplén y corte

Figura 5.24 Prismoide, tronco de pirámoide y pirámoide

_'.....

/.l ...

."., Io,C• "

.;l~: /'"í

,,

CAPiTULO S.DISEÑOGEOMl:TRICOTR....NSVERS,\/. 387

Sección de abscisa KO+020:Terraplén:

A, = ~[5(3.8)+ 10.5(1.0)+ 1.0(1.6)]= 15.550mI

Corte:

Ac = .!.[3.6(5)-1. 6(3.6)]=6.120mI2

Sección de abscisa KO+024:Terraplén:

A, =~[5(3.2)]=8.000m2

Corte:

~ = .!.[3.5(5)]=8.750 mZ2. :..

Sección de abscisa KO+030:"

Terraplén:

A, = .!.[5(3.6) - 3.6(3.4)]=2.880mI2

... Corte:

Ac = .!.[3.4(2.4)+ 2.4(9.4)+ 9.3(5)J= 38.610mI2

b) Volúmenes entre secciones transversales

Entre las secciones de abscisas KO+OOOy. KO+OIo:Terraplén: Prismoide, según ecuación (5-16),

V, =L( A, ;AI )=1{70.050;44.350)=572.000m3;

Entre las secciones de abscisas KO+OIO y. KO+Ol5:Terraplén: Prisrnoide, ecuación (5-16),

Sección de abscisa KO+O15:Terraplén:

1A, = 2'[5(4.5)+10.3(1.9)+ 1.9(5)]= 25.785m2

Sección de abscisa KO+O10:Terraplén:

1A, = 2'[5(3.4)+9.9(3.2)+3.2(8.6)+ 2.5(5)J= 44.350m2

Sección de abscisa KO+OOO:Terraplén:

A, = f[5(3.3)+ 9.8(4.2)+ 4.2(13.2)+ 5.4(5)J= 70.050m2

Áreas de las secciones por el método de los chaflanes. Ejemplo 5.2Figura 5.26

ABSCISAS REGLA OE LAS CRUCES

KO~O:JO ¿_X E..XO,OOX 2.4 X 9·JX O$ ....10.2 ~.4 ....-¡¡- " 77"" Tr.mle"n '-2d.f. .

KO~OU ¿_XE..X~X~X¿_$ ....g.B .... O..,. 7.1 '" .5

r·""'e."n C~rl.

KO+020 ¿_XE..X.!:E...X~X:J.6XOS ... fO'f.rroe_¡'n D '" r., '" ~~ -¡-

"0+015 ¿_XE...X.!.:!_X~X¿_5 " IO.J .... O '" $..0 "" .5

T.rrQplltt

"0+010 ¿_X.!:!..XE..X~X¿_5 ....9.9 "O '" &5 "" $r.rrop'In

KO+Ooo ¿_XHX~X~X¿_$ ....9.8 ... O '" t~2 '" jT.rroplllt


389

a) Áreas de las secciones transversales

En la Figura 5.27 se ha dispuesto la cart;¡a de chaflanes, para calcularlas áreas de las secciones por el método de la regla de las cruces.

Solución:

Calcular:Las áreas y los volúmenes de corte y terraplén para el tramo.

IZQUIERDO EJE DERECHOMQ. !11? .:!:ill !2M +3.585.00 1.60 K8+580 3.80 10.20-3.28 MQ. ~ ~6.80 1.20 1<8+564 10.18-4.46 MQ. ~7.20 K8+546 9.60

Tabla 5.7 Cartera de chaflanes y topografía. Ejemplo 5.3

Datos:Para un tramo de ancho de banca de 10 metros, en la Tabla 5.7, semuestran los chaflanes, ceros y puntos topográficos.

EJEMPLO 5.3: Áreas y volúmenes de corte y terraplén

V.SSCiSA CHAFLANES AREASlmll VOLUMENES (mI)IZQUIERDO EJE DERECHO CORTE TERRAP. CORTE TERRAP.

KO.o3O +3.6110.2 0.0013.4 ·2.4 i ·9319.4 38.610 2.880I 131.481 31.360

024 ..3.219.8 0.00 ..J.sn.6 8.750 8.000I 29.584 46.271

020 +3.8/10.5 +1.0 0.0011.6 I .3.616.7 6.120 15.55010.200 102.265

015 +4.5110.3 +1.9 0.0015.0 25.785175.338

010 +3.419.9 +3.2 +2.518.6 44.350572.000

KO·OOO +3.319.8 +4.2 +5.41131 70.050VOLUMENES TOTALES 171.265 927.234

Tabla 5.6 Cartera de cubicación. Ejemplo 5.2

CAPiTULOS. DISEÑOGEOMETRICOTR.·\»;SVERSAL

Como se puede aprceiar en la cartera de cubicación, para cada abscisa,aparece en la parte izquierda la posición de los chaflanes y ceros, en laparte central las áreas respectivas, y en la parte derecha los volúmenesentre secciones sucesivas.

Calculadas las áreas y los volúmenes se elabora la cartera decubicación, tal como se muestra en la Tabla 5.6.

Corte: Tronco de pirámoide, ecuación (5-1.8),

Ve =}(At +A, +~AtA, )=j[8.750+38.610+~8.750(38.610)]= 131.481mJ

Entre las secciones de abscisas KO+024y KO+030:Terraplén: Tronco de pirámoide, ecuación (5-18),

V, = }(A +A, + ~A,Az )= j[8.000 + 2.880 + ~8.000(2.880)J= 31.360mJ

Corte: Tronco de pirámoide, ecuación (5-18),

Ve == }(A, + Az +~AtAz)= ;[6.120 + 8.750+ ~6.120(8.750)]= 29.584mJ

Entre las secciones de abscisas KO+020v KO+024:Terraplén: Tronco de pirámoide, ecuación (5-18),

V, == }(A, +Al +.JA,Az )= ';[15.550 +8.000+~15.550(8.000)]= 46.271 mJ

Corte: Pirámoide, según ecuación (5-17),Ve == AL = 6.120(5) =10200mJ

3 3 .

Entre las secciones de abscisas KO+O15v KO+020:Terraplén: Tronco de pirámoide, según ecuación (5-18),

V, = } (A, +A, + ~A,Az)= y [25.785+ 15.550+ ~25785(15.550)]= 102.265mJ

11 _ L(A, +AZ) _ 5(44.350 + 25.785) Jv, - -2- - 2 = 175.338m

JAMES C..\ROENAS GRISAlES388

.--- ----~--- "__-"~:..'ft."'"- _: "~~ .•.-.r.--_ -

lAescl$.! AREAS(ml) VOLUMENES (m31CORTE ITERRAPLEN CORTE ERRAPLEN

K8~ 28.67233.237 416.525

K8~4 6.232 23.480154.307 264.369

K8+546 11.150 7.400

Tabla 5.8 Áreasy volúmenes. Ejemplo 5.3

En la Tabla 5.8, se resumen las áreas y los volúmenes de este tramo.

Terraplén: Tronco de pirárnoide,

V,= .!:.(A, +A¡ + ,jA,Al)= ~[23.480+ 28.672 +,j23.480(28.672) 1= 416.525mJ3 3

Entre las secciones de abscisas K8+564 v K8+580:Corte: Pirámoide,V = AL = 6.232(16) = 33.237 mJe 3 3

Terraplén: Tronco de pirárnoide,

V, =.!:.(A¡ +Al +,jA¡Al)= 18 [7.400+ 23.480 +,j7.400(23.480)] = 264.369mJ3 3

Entre las secciones de abscisas K8+546 y K8+564:Corte: Tronco de pirámoide,

Ve = .!:.(A¡+Al + ,jArAl)= ~[11.150+ 6232 + J11150(6.232)]= 154.307 mJ3 3

b) Volúmenes entre secciones transversales

Sección de abscisa K8+580:Se trata de una sección homogénea compuesta en terraplén con uncero en el chaflán izquierdo, de área:

1A¡ = '2[5.00(1.22)+ 1.60(3.32)+ 3.32(3.60)+ 2.84(10.20)+ 3.58(5)- 3.60(3.58)J

= 28.672mz

391CAPiTULO S. DISEilO GCO~t(iTRICO TRA:-ISVt::RSAL

Terraplén:

A, = 1 [1.20(2.58)+ 2.58(10.18)+ 3.52(5)] = 23.480 mZ2

Corte:

A.: =1[5(3.28)- 3.28(1.20)]= 6.232 mZ2

Sección de abscisa K8+564:Es una sección mixta con un cero lateral izquierdo, cuyas las áreasson:

Terraplén:

A¡ = 1[2.96(5)] = 7.400 mZ2

Corte:

A. =1[5(4.46)] = 11.150mZ2

Sección de abscisa K8+546:Es una sección mixta con un cero en el eje, para la cual las áreasrespectivas son:

Figura 5.27 Áreas de las secciones por el método de los chaflanes. Ejemplo 5.3

A9SClSAS RECLA CE: LAS CRUCES

K~+~O ...!...X~X~X~X2.8·X J.5~X...!...5 ...$.00 .... ',60 -, O '" J.SO", 10.20... ,,....... T.rroplln

K~+56' .s:Xs.t6X O.OOX2.58X~X...!....s ... 6.80 .... ',20 "O",. 10.14/ ,$C«lI T.nve.'ln

K~+546 ..!!_X~X~X~X..!!_5 , 7.20 'O" '.60 , 5~d.f. _ THTT1e!_ln


Calcular: -.a) La posición de los chaflanes, derecho e izquierdo.b) El área de la sección transversal.

El terreno natural es bastante uniforme, bajando hacia la derecha conuna pendiente de 5 horizontales por 1vertical.

= 15m: -C.50m= 1horizontalpor 1vertical= 2 horizontalespor 1 vertical

Ancho de bancaCota de trabajo en el ejeTalud en corteTalud en terraplén

Datos:Una sección transversal en recta presenta las siguientes característicasgeométricas:

EJEMPLO5.5: Posición de chaflanes y área

Ae = .!.[3.60(2.40)+ 6.00(2.16)+ 2.16(2.88)+ 1.48(3. 60)J=16.574 m22

Árca: A:Se trata. de una sección homogénea compuesta en corte. Según la parteinferior de la Figura 5.28, al aplicar la regla de las cruces, se tiene:

te = 1 , talud del 1Ó 45'

,de donde:

Talud: t.t< 2.407= 6.00-3.60

,de donde:

Ancho de banca: 8

0.00 • indica un cero en el chaflán derecho. esto es,3.600.00 0.00-=--3.60 8/2B=7.20m

393C¡\pITUlO S. DISEJ(lOGEOMÉTRICO TRANSVERSAl.

!.

._

"

Figura 5.28 Cálculo de ancho de banca, talud y área

.,~ RE:Gl..A DE: !.AS CRUCES

s..<l6n o X 1.40X 1.11X t.4X o.OOX oJ.ió ...'iOO ...-o , 2.ii, UD" UD

íI

En la parte superior de la Figura 5.28 se ha dibujado la seccióntransversal con la información dada, para la cual:

Solución:

Calcular:El ancho de la banca, el talud usado y el área de la sección.

Tabla 5.9 Cartera de chaflanes. Ejemplo 5.4

Datos:Para una sección transversal, la Tabla 5.9 muestra la disposición delos chaflanes.

EJEMPLO5.4: Cálculo de ancho de banca, talud y área

JAMF.SC¡\ROE"AS GRISAlE$392

Áreas: .40, A,Se observa en la Figura 5.29 que las áreas de corte y terraplén son:

~ =i[(~+XOd)'I; ] =He: +2.50)2.50]= 12.500m2

A =H(~-XOd}d ]=i[C: -2.5? }667 ]=4.168m2

Reemplazando:

Xd =={ ~d -3.75)+2.50 • esto es,

x, = 10.833m

Yd = 10.833 -3.75 =: 1.667m ,por lo tanto:2

. Yd +1.667El chaflán derecho es. Xd =: 10.883

Chaflán derecho: Xd• Yd

Igualmente relacionando triángulos:

~=~Yd +0.50Xd =5Yd + 2.50

Yd 1x, -7.50 2

Yd = Xd -3.752

: "~." ..,'.[

Reemplazando:Xi +2.50 =~XI-7.50 1X, +2.50 = 5X, - 37.50 • esto es,X, =10.00mY, = Xi -7.50 =: 10.00-7.50 = 2.50m , por lo tanto:

YI -2.508chaflán izquierdo es : Xi = 10.00

395CAPiTULO 5. DISEÑO GEOMETRICO TRANSVERSAL

'.

Relacionando triángulos Conrespecto al talud de corte:~=!

YI 1'1; ==x, -7.50

Chaflán izquierdo: XI, Y;Relacionando triángulos Conrespecto al terreno natural, se tiene:XI +XOd 5~=-YI 1

Cero lateral derecho: XOdXOd 5Q5¡j = '1 ' de donde,XOd =0.50(5)=2.50m

al Posición de los chaflanes

Figura 5.29 Posición de chaflanes y cálculo de área

De acuerdo Conla Figura 5.29, se tiene:...~....~ .

.........,.....~....~,...

Solución:

h""'ES CÁRDENAS GRISALES394

...:

"f !s.

i;._

397

- ..,•

.p'

I~.~{.',O.-•..~,~

Figura 5.3.0 Problema 5.1

cAPirulO S. DiSEÑO GEOME'TRICdTRANSVERS¡\L

'~~'I! I

¡I

Calcular:a) El área de cada sección. [Resp. : 54.190m7 y 33.590 m7].b) El volumen entre las secciones. [Resp. : 1097.250mJ].

IZQUIERDO EJE DERECHO~ +2.60 ~? K20+015 ?+2.80 +4.30 !ll!!? K19-+990 ?

Tabla 5.10 Cartera de chaflanes. Problema 5.2

Datos:Las dos secciones mostradas en la Tabla 5.10, pertenecen a un tramode una curva izquierda de ancho de banca plana 8 metros, sobreancho1 metro y talud 3 horizontales por 2 verticales.

PROBLEMA 5.2

Sugerencia: Dibuje un perfil, mostrando el terreno y la sub-rasante.Trabaje las secciones cada 20 metros y adicionalmente considereaquellas que contienen ceros.

Calcular:El volumen total de terraplén y corte en este tramo.[Resp, : Aproximadamenfe'715m' y 1090mJ].

Datos:Para la Figura 5.30, se tiene que: La sub-rasante entre el KO+OOOy elKO+100 es a nivel (pendiente longitudinal igual a 0%), localizada enla cota 504. El ancho de la banca plana es de 8 metros. Los taludesson: para corte 1 vertical por 0.5 horizontal y para terraplén 1 vertical'por 1.5 horizontal. El plano muestra la planta a la escala gráfica dada,con curvas de nivel de equidistancia 1 metro.

PROBLEMA 5.1


J¡\~IES CÁRDENAS GRISALES396

Datos:La Figura 5.32 muestra la planta y el perfil de un tramo de vía de37.50 metros de longitud.

PROBLEMA 5.7

Calcular:El volumen total de terraplén y corte en el tramo.[Resp. : Terraplén:166.467m',Corte:437.098m']'

IZQUIERDO EJE DERECHO4.80 :.!JQ MQ7.40 KO-t040 5.00~ MQ ~7.30 KO-t028 9.65::ill :1J.Q M27.20 KO-t020 5.00Q.QQ !!12 :tUQ5.00 KO-tOOO 9.95

Tabla 5.12 Cartera de chaflanes en recta. Problema 5.6

Datos:La Tabla 5.12 presenta la cartera de chaflanes de un tramo recto deuna vía. El signo menos (.) indica corte y el signo más (+) terraplén.

PROBLEMA 5.6

Calcular:El área exacta. [Resp. : 124.145m1J.

Datos:Un terraplén descansa sobre una superficie horizontal el) una curvaizquierda de peralte 10%, banca 10metros, sobreancho 2 metros, cotade trabajo en el eje de 6 metros y talud 3 horizontales por 2 verticales

PROBLEMA 5.5

Calcular:El volumen entre las secciones. [Resp. : 971.595m3].


Datos:La Figura 5.31 ilustra dos secciones en curva, separadas 30 metros.

. í

PROBLEMA 5.4

Calcular:Los volúmenes entre estas dos secciones.[Resp. : Terraplén:404.737mJ, Corte: 521.680ml].

_._ y.-._. -- - .._-, - _,_. - -.

IZQUIERDO EJEQ,QQ !l§Q4.00 K2+344·15.60 ·13.40 :21Q -,Il.60 ·5.40 0.0011.80 8.60 5.10 2.40 K2..320 2.60

Tabla 5.11 Cartera de chaflanes y topografía. Problema 5.3

Datos:En la Tabla 5. II se muestran los chaflanes y la topografía de un par desecciones de ancho de banca'plana de 8 metros.

PROBLEMA 5.3

399CAPiTULO s.OI~EÑO GEOME mico TRM<SVERSAI.

.~

1

I·:1~1~I

.~ ..~l

JAMF.S CAROENAS GRIS,\LF.S398

401

Calcular:Los volúmenes totales de corte y terraplén,':[Resp. : Corte: 704.569mJ, Terraplén:491.421mJ).

ABSCISAS AREAS(ml)CORTE TERRAPLtN

1<0-+000 72.0KO<OO8 40.0K()-t{).14 20.0 25.0KQ.026 50.0

Tabla 5.13 Áreas. Problema 5.8


Datos:La Figura 5.33 ilustra el perfil longitudinal de una sub-brasante, consu respectivo eje y bordes de banca. En la Tabla 5.13 se muestran lasáreas correspondientes a las secciones transversales. .

PROBLEMA 5.8

CAPiTULO 5. DISEÑO GEOMETRICO TRANSVERSAL

Calcular:Los volúmenes totales en el tramo de vía.[Resp. : Corte: 894.775m3, Terraplén:55.125mIJ.


S8

$!S

S4

PlRF1I.$S

52

S'I

Los talu~es de las secciones .transversales son: en corte 2 verticalespor l borizontal y en terraplén 2 verticales por 3 horizontales.


DISEÑO GEOMETRICO DE CARRETERAS pass belorofonte87

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