DISEÑO DE FILTROS DIGITALES

Filtros Digitales

INCONVENIENTES:• Limitación de velocidad• Efectos de la longitud finita de las palabras• Tiempos de diseño y desarrollo

VENTAJAS:

• Características imposibles con filtros analógicos (fase lineal)• No cambian cualquiera que sea el entorno• Procesamiento de varias señales con un único filtro• Posibilidad de almacenar datos• Repetitividad• Uso en aplicaciones de muy bajas frecuencias

Algoritmo implementado sobre hardware que opera sobre señales analógicas digitalizadas o sobre señales digitales almacenadas.

Filtros Digitales- Clasificación de los Filtros Digitales.

- IIR : Respuesta al Impulso Infinita.

- FIR : Respuesta al Impulso Finita.

[ ] [ ] [ ]∑∞

=−=

0kknxkhny [ ] [ ] [ ]∑ ∑

= =

−+−=M

k

N

kkk knyaknxbny

0 1( )

∑

∑

=

−

=

−

−

= N

k

kk

M

k

kk

za

zbzH

1

0

1

[ ] [ ] [ ]∑=

−=M

kknxkhny

0[ ] [ ] [ ]∑

=−δ⋅=

M

kknkhnh

0( ) [ ]∑

=

−⋅=M

k

kzkhzH0

Filtros Digitales

a. Especificación de las Características del filtro.

b. Cálculo de los Coeficientes. Diferentes métodos.

c. Elección de la Estructura. Realización.

d. Análisis de los Efectos de Precisión Finita.

e. Implementación del filtro mediante software y/o hardware adecuado.

PASOS EN EL DISEÑO DE FILTROS:

Filtros Digitales- Especificación de las Características del filtro.

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )inadalimebandalaenmínimaAtenuaciónlogdBs

pasodebandalaenmáximaAtenuaciónlogdBs

Hlog)(H

logdBs

a

p

2

1

20

120

20120

δ⋅−=α

δ−⋅−=α

Ω⋅−=Ω

⋅=α

( ) ( )

( ) ( ) ( )inadalimebandalaenmínimaAtenuaciónlogdBs

pasodebandalaenrizadologdBsr

aa

p

pp

δ⋅−=α

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

δ+

δ−⋅−=

20

11

20

RELACIÓN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (I)

( )( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ω>ω

π>ω

ω<ω

π<ωΩ

=ωω=Ω

2;0

2;

ss

ss

Teff

óT

óT

HH

s

( ) ( ) π<Ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ω=ω=Ω Ω

=ω;

seff

Teff T

HHHs

Bloque A/D:

F

RELACIÓN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (II)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∞

−∞=−δ⋅=⋅=

nsccs nTttxtstxtx

F

( ) ( )∑∞

−∞=ω−ω⋅=ω

ksc

ss kX

TX 1

( ) ( ) ( )∑∞

−∞=−δ⋅=

nsscs nTtnTxtx ( ) ( )∑

∞

−∞=

ω−⋅=ωn

nTjscs senTxX

( ) [ ]∑∞

−∞=

Ω−⋅=Ωn

njenxX ( ) ( )∑∞

−∞=

ω−⋅=ωn

nTjscs senTxX

( ) ( ) ( ) ∑∑∞

−∞=

∞

−∞=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π−

Ω=ω−ω⋅=ω=Ω

Ω=ω

Ω=ω

k ssc

ksc

ss T

kT

XkXT

XX

sTsT

21

Bloque D/A:

[ ]∑∞

−∞=

Ω−⋅=Ωn

njenyY )(

[ ]∑∑∞

−∞=

ω−∞

−∞=

ω− ⋅=⋅=ωn

nTj

n

nTjsss ss enyenTyY )()(

sTs YY ω=ΩΩ=ω )()(

RELACIÓN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (III)

( ) ( )sTrrsc YHHYY ω=ΩΩ⋅ω=ω⋅ω=ω )()()(

( ) ∑∞

−∞=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π−

Ω⋅⋅Ω=Ω⋅Ω=Ωk ss

cs T

kT

XT

HXHY 21)()()(

( )∑∞

−∞=ω−ω⋅⋅Ω=Ω=ω ω=Ωω=Ω

ksc

ss kX

THYY

sTsT1)()()(

RELACIÓN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (IV)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∞

−∞=ω−ω⋅⋅Ω⋅ω=ω⋅ω=ω ω=Ω

ksc

srsrc kX

THHYHY

sT1)(

( )( ) ( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ω>ω

π>ω

ω<ω

π<ωΩ⋅ω

=ωω=Ω

2;0

2;

ss

ssTc

có

T

óT

HXY

s ( ) ( ) ( )ω⋅ω=ω ceffc XHY

( )( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ω>ω

π>ω

ω<ω

π<ωΩ

=ωω=Ω

2;0

2;

ss

ss

Teff

óT

óT

HH

s

RELACIÓN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (V)

Ejemplo: Obtener la plantilla de un filtro digital que se va a utilizar para realizar un filtrado paso bajo de una señal continua, utilizando la estructura de la figura anterior, conlas siguientes características:

El periodo de muestreo será Ts = 10-4 segundos.

( )

( ) s/rad;,H

s/rad;,H,

eff

eff

300020010

200020011990

⋅π≥ω<ω

⋅π≤ω≤<ω<

RELACIÓN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (VI)

( )( )

30002

2000260log20001,0

086,01log2001,0

⋅=

⋅=−=⋅⇒=

=+⋅⇒=

πω

πωδδ

δδ

a

p

aa

pp

dB

dB

.rad,T

.rad,T

saa

spp

π=⋅⋅π=⋅ω=Ω

π=⋅⋅π=⋅ω=Ω

−

−

601030002

4010200024

4

sT⋅=Ω ω

DISEÑO DE FILTROS DIGITALES IIR

DISEÑO DE FILTROS IIR A PARTIR DE FILTROS ANALÓGICOS

PROCESO:

ESPECIFICACIONES FILTRO DIGITAL↓

ESPECIFICACIONES FILTRO ANALÓGICO↓

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA ANALÓGICA H(s)↓

FUNCIÓN DE SISTEMA H(z)

-Aproximación por derivadas

-Respuesta al impulso invariante.

- Transformación bilineal.

s z

↔⎧⎪⎨⎪ω ↔ Ω⎩

SIMILITUDES CON LOS ANALÓGICOS ⇒ RELACIÓN

APROXIMACIÓN POR DERIVADAS (I)

∑ ∑= =

⋅β=⋅αN

k

M

kk

kkk

kk

dt)t(xd

dt)t(yd

0 0

Filtro Analógico:

( ) ( ) [ ] [ ]T

nynyT

TnTynTydt

)t(dy

nTt

1−−≡

−−=

=

Transformación:

( ) ( )

T

zs

sHzH⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−

=

= 11

Restringido a filtros paso bajo y paso banda con frecuencias de corte bajas

APROXIMACIÓN POR DERIVADAS (II)

( ) 9101

2 ++=

,s)s(H

( ) ( )( )

( ) ( )2

21

2

2

2

2101,92,01

101,92,01

1,0121

01,92,01

91,01

1−−−

+++

++

+−

++=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=z

TTz

TTT

TTT

Tz

zH

Ejemplo:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010

-3

10-2

10-1

100

101

ω/π (rad/s)

|H( ω

)| (d

Bs)

Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro analógico

1/T11/T2

1/T3

1/T4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 110-3

10-2

10-1

100

Ω /π (rad)

|H( Ω

)| (d

Bs)

Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro digital

T4

T1

T2

T3

RESPUESTA AL IMPULSO INVARIANTE (I)

CONCEPTO: Obtener la Respuesta Impulsiva del Filtro Discreto Muestreando la de un Filtro Continuo

[ ] ( )h n T h nTd c d= ck d d

2 kH( ) HT T

∞

=−∞

⎛ ⎞Ω π⇒ Ω = −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

Ω = ω Td

( ) ( )c cd d

H H SIEMPRE QUE H 0T T

⎛ ⎞Ω πΩ = ∀ Ω < π ω = ∀ ω ≥⎜ ⎟

⎝ ⎠( )H ω

ω

dTπ

dTπ

−( )H Ω

Ωπ−π 2π 3π 4π2− π3− π4− π

RESPUESTA AL IMPULSO INVARIANTE (I)

CONCEPTO: Obtener la Respuesta Impulsiva del Filtro Discreto Muestreando la de un Filtro Continuo

[ ] ( )h n T h nTd c d= ck d d

2 kH( ) HT T

∞

=−∞

⎛ ⎞Ω π⇒ Ω = −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

Ω = ω Td

( ) ( )c cd d

H H SIEMPRE QUE H 0T T

⎛ ⎞Ω πΩ = ∀ Ω < π ω = ∀ ω ≥⎜ ⎟

⎝ ⎠ ( )H ω

ω

dTπ

dTπ

−( )H Ω

Ωπ−π 2π 3π 4π2− π3− π4− π

( ) ∑= −

=N

1k k

kc ss

AsH

( )h tA e t

c

k s tk

Nk

=∀ ≥

∀

⎧

⎨⎪

⎩⎪

=∑

10

0

,

, t < 0

[ ] [ ]h n T A e u nd k s nTk

Nk d=

=∑

1

( ) ∑=

−−=

N

1k 1Tskd

ze1ATzH

dk

SUPONEMOS OBTENIDA:

OBTENCIÓN DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

MUESTREANDO hc (t) SE OBTIENE:

APLICANDO TRANSFORMADA Z:

RESPUESTA AL IMPULSO INVARIANTE (II)

RESPUESTA AL IMPULSO INVARIANTE (III)

( ) ( )k d

N Nd kk

c s T 1k 1 k 1k

T AAH s H zs s 1 e z−

= =

= → =− −∑ ∑

PLANO S PLANO Z

POLOS

COEFICIENTES

ESTABILIDAD

ks

kA kd AT

kd sTe

0Re <ks 1Re <kd sTe

RESPUESTA AL IMPULSO INVARIANTE (IV)

Ejemplo: Convertir el filtro analógico con función de transferencia:

( )( ) 91.0

12 ++

=s

sHc

en un filtro IIR digital aplicando la invarianza al impulso.

jsp 31.0 ±−= ( )js

j

js

jsHc 31.0

61

31.061

−+−

++=

( ) ( ) ( ) 131.0131.0 161

161

−+−−−− −−

−=

ze

jT

ze

jTzH

dd Tjd

Tjd

( )( )

( ) 220110

110

321

331

−−−−

−−

+⋅⋅−

⋅⋅=

zezTcose

zTseneTzH

dd

d

T.d

T.d

T.d

RESPUESTA AL IMPULSO INVARIANTE (V)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010

-3

10-2

10-1

100

101

ω/π (rad/s)

|H( ω

)| (d

Bs)


1/T11/T2

1/T3

1/T4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 110-3

10-2

10-1

100

101

Ω /π

|H( Ω

)| (d

Bs)


T4

T3

T2

T1

TRANSFORMACIÓN BILINEAL (I)

1

1d d

2 1 z 2 z 1sT 1 z T z 1

−

−

⎛ ⎞− −⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠

d

d

T1 s2zT1 s2

+=

−

SemiplanoIzquierdo Interior Circunferencia Unidad

SemiplanoDerecho

Exterior Circunferencia Unidad

Eje ImaginarioCircunferencia Unidad

( ) ( )⎩⎨⎧

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯⎭⎬⎫

zzH

ssH iónTansformac

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Ω++

Ω+

Ω++

−⋅=

+

−⋅=ω+σ=

Ω

Ω

cosrrrsenj

cosrrr

Trere

Tjs

dj

j

d 212

2112

112

22

2

TRANSFORMACIÓN BILINEAL (II)

d

2 z 1sT z 1

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

j

jd

2 e 1jT e 1

Ω

Ω

⎡ ⎤−ω = ⎢ ⎥+⎣ ⎦

d

2 tgT 2

Ωω=

dT2 arctg

2ω

Ω =

Relación Eje Imaginario Plano “s” ↔ Circunferencia Unidad Plano “z”

ω Ω

( )H e jΩ

( )Hc ω

TRANSFORMACIÓN BILINEAL (III)

Relación NO LINEAL ω↔ Ω

2παTd

παTd

− αTd

Ω

− ⎛⎝

⎞⎠

22

αTd

tg Ω

( )[ ]Arg H e jΩ

−2παTd

−παTd

TRANSFORMACIÓN BILINEAL (IV)

Relación NO LINEAL ω↔ Ω

( )s js je e ( FASE LINEAL)= ω−α −α ω⎯⎯⎯→ ⇒ ϕ ω = −αω

( )d

2j tgT 2

d

2e tg ( Fase NO LINEAL)T 2

Ω− α Ω

⇒ Φ Ω = −α

TRANSFORMACIÓN BILINEAL (V)

Ejemplo 1: Convertir el filtro analógico con función de transferencia:

( )( ) 910

12 ++

=.s

sHa

en un filtro IIR digital mediante la transformación bilineal.

( )

910112

12

1

1+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−⋅

=

−

−.

zz

T

zH

d

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−⋅=

−

−

1

1

112

zz

Ts

d

TRANSFORMACIÓN BILINEAL (VI)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 110-4

10-3

10-2

10-1

100

101

Ω /π (rad)

|H( Ω

)| (

dBs)


T4 T3T2 T1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010

-3

10-2

10-1

100

101

ω/π (rad/s)

|H( ω

)| (d

Bs)


1/T11/T2

1/T3

1/T4

TRANSFORMACIÓN BILINEAL (VII)

Ejemplo 1: Convertir el filtro analógico con función de transferencia:

( )( ) 161.0

1.02 ++

+=

sssHa

en un filtro IIR digital mediante la transformación bilineal. El filtro digital debe tener un polo a la frecuencia 2π=Ωr

441.0 =⇒±−= rp js ω

21

2224

22

=⇒=⇒Ω

= dd

id

i TtgT

tgT

πω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−= −

−

1

1

114

zzs

( ) 214

213

2

1

1

1

1

952.010096.61119.010096.6125.0

161.0114

1.0114

−−−

−−−

−

−

−

−

++

−+=

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−

=zz

zz

zz

zz

zH

TRANSFORMACIÓN BILINEAL (VIII)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010-3

10-2

10-1

100

101

ω

|H( ω

)| (d

Bs)


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.510-3

10-2

10-1

100

101

Ω

|H( Ω

)| (d

Bs)


EJEMPLO (I)

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

≤Ω≤≤Ω

≤Ω≤≤Ω≤

ππ

π

3,0; 17783,0

2,00;189125,0

H

H

Diseñar un filtro digital paso bajo aplicando la respuesta al impulso invariante y la transformación bilineal a un filtro de Butterworth. Las especificaciones del filtro digital son:

( ) ( )( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤Ω≤≥Ω

≤Ω≤≤Ω≤

Ω⋅−=Ω

ππα

πα

α

3,0; 15

2,00;10

log20

dB

dB

H

EJEMPLO (II)

dTΩ

=ω

a) Respuesta al Impulso Invariante b) Transformación Bilineal

Obtención de la plantilla del filtro paso bajo prototipo analógico:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω⋅=ω

22 tg

Td

EJEMPLO (III)

a) Respuesta al Impulso Invariante:

( ) N

c

aH 22

1

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

+

=ω

Diseño del Filtro de Butterworth

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωπ

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωπ

+

22

22

1778301301

8912501201

,T,

,T,

N

cd

N

cd

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

==

88,5

22433,070474,0

NTT dd

cπω

6=Ndd

c TTπω 2256,07087,0

==

Distribución de raíces:

d

d

d

Tjs

Tjs

Tjs

1834,06845.0

5011,05011.0

6845,01834.0

3

2

1

±−=

±−=

±−=

EJEMPLO (IV)

a) Respuesta al Impulso Invariante: Diseño del Filtro de Butterworth

( ) ( ) ( ) ( )5022,03690,15022,00022,15022,03668,0 222 ++⋅++⋅++=

ssssssksHa

( ) 1266010 ,kHa =⇒=

( )

1834,06845,06196,19351,0

1834,06845,06196,19351,0+

5011,05011,00797,1

5011,05011,00797,1+

6845,01834,02505,01447,0

6845,01834,02505,01447,0

jsj

jsj

jsjs

jsj

jsjsHa

−+−

+++

+

+−+

−+

++−

+−+

++

++−

=

( )1266,06905,08824,12533,37484,37380,2

1266,023456 ++++++

=ssssss

sHa

EJEMPLO (V)

a) Respuesta al Impulso Invariante: Obtención del Filtro Digital

( )H zT Ae zd ks T

k

N

k d=

− −=∑

1 11

( )

11

11

1834,06845,01834,06845,0

5011,05011,05011,05011,0

16845,01834,016845,01834,0

16196,19351,0

16196,19351,0+

10797,1

10797,1+

12505,01447,0

12505,01447,0

−−

−−

−−−

−−−

−−−−−

−

−+

−

+

+−

−+

−

−

+−

++

−

−=

zeej

zeej

eezee

zeej

zeejzH

jj

zjj

jj

( ) 654321

54321

0647056000072522190401835344331001000420016700105000070

−−−−−−

−−−−−

+−+−+−

++++=

z,z,z,z,z,z,z,z,z,z,z,zH

EJEMPLO (VI)

b) Transformación bilineal: Diseño del Filtro de Butterworth

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+

2

2

22

17783012

302

1

89125012

202

1

,

,tgT

,

,tgT

N

cd

N

cd

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

π==ω

6

2439076620

NT

,T,

ddc

Distribución de raíces:

d

d

d

Tjs

Tjs

Tjs

7401,01983.0

5418,05418.0

1983,07401.0

3

2

1

±−=

±−=

±−=

( ) N

c

aH 22

1

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

+

=ω

( )2024,00205,15728,21124,43822,49605,2

2024,023456 ++++++

=ssssss

sHa

EJEMPLO (VII)

b) Transformación bilineal: Obtención del Filtro Digital

( ) ( )

1

1

112

−

−

+

−⋅=

=

zz

Ts

a

d

sHzH

( ) 654321

654321

0544,04800,08136,17795,36222,41836,31007,00004,00111,00148,00111,00044,00007,0−−−−−−

−−−−−−

+−+−+−

++++++=

zzzzzzzzzzzzzH

MATLAB

[N,wc]=buttord(0.2*pi,0.3*pi,1,15,’s’);[B,A]=butter(N,wc,’s’);[R,P,K]=residue(B,A);[Bz,Az]=impinvar(B,A,Fs);

a) Respuesta al Impulso Invariante

[N,wc]=buttord(2*tan(0.1*pi),2*tan(0.15*pi),1,15,’s’);[B,A]=butter(N,wc,’s’);[Bz,Az]=bilinear(B,A,Fs);

b) Transformación bilineal:

EJEMPLO (VIII)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ω

|H( Ω

)|


BilinealR.I.Inv.

EJEMPLO (IX)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω

|H( ω

)|

Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro analógico prototipo

Td=1

Td=4

Td=0,2*π

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ω

|H( Ω

)|


Td=1

Td=4

Td=0,2*π

Respuesta al Impulso Invariante

TRANSFORMACIONES DE FILTROS DISCRETOS (I)

Procedimientos:1.- Transformación en frecuencias en tiempo continuo.2.- Transformación en frecuencias en tiempo discreto.

TRANSFORMACIONES DE FILTROS DISCRETOS (II)

Transformación en frecuencias en tiempo continuo.

1.- Transformación paso bajo a paso bajo:

( ) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ω

ω=→⇒

ω

ω→ sHs'HsHss

'p

pPBPBPB'p

p

2.- Transformación paso bajo a paso alto:

( ) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ω⋅ω=→⇒

ω⋅ω→

sHsHsH

ss

'ppPBPAPB

'pp

3.- Transformación paso bajo a paso banda:

( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ω−ω⋅

ω⋅ω+⋅ω=→⇒

ω−ω⋅

ω⋅ω+⋅ω→

−+

−+

−+

−+

pp

pppPBPBdPB

pp

ppp s

sHsHsH

ss

s22

eriorcortedePulsación

eriorcortedePulsación

p

p

inf

sup

≡ω

≡ω

−

+

( )( ) ( )

( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ω⋅ω+

ω−ω⋅⋅ω=→⇒

ω⋅ω+

ω−ω⋅⋅ω→

−+

−+

−+

−+

pp

pppPBBEPB

pp

ppp

s

sHsHsH

s

ss 22

4.- Transformación paso bajo a banda Eliminada:

TRANSFORMACIONES DE FILTROS DISCRETOS (III)

G(z-1) debe ser función racional en z-1.

El interior de la circunferencia unidad en el plano z se debe transformar en el interior del circunferencia unidad en el plano z´.

La circunferencia unidad en el plano z se debe transformar en lacircunferencia unidad en el plano z’.

Constantinides (1970):* 1N N

1k k* 1

k 1 k 1k k

z a z az ' z '1 a z 1 a z

−−

−= =

− −= ± ↔ = ±

− −∏ ∏

Transformación en frecuencias en tiempo discreto.

( ) ( ) ( ) ( )1111

−− =−− =⇒= zG'zPB 'zHzHzG'z

TRANSFORMACIONES DE FILTROS DISCRETOS (IV)

Ejemplo: Paso Bajo - Paso Bajo

( )

*j m

j m *

j m * j m

j m * j m

1 a1 e1 a

1 a e 1 a

1 a e a e1 e a a e

π

π

π π

π π

−=

−− = −

− = −

− = −

A’ ↔ A

( )

*j m

j m *

j m * j m

j m * j m

1 a1 e1 a

1 a e 1 a

1 a e a e1 e a a e

π

π

π π

π π

− −− =

++ = +

+ = +

− = − +

C’ ↔ C

m=0 ; a = α (Real) zz '1 z−α

=−α

B’ ↔ Bp

p

p

jj

j

ee1 e

Ωθ

Ω

− α=

−α

α

θ

θ=

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

sen

sen

Ω

Ω

p p

p p

2

2

Para determinar α :

z z aaz'

*= ± −

−1

TIPO FILTRO

TRANSFORMACIÓN FÓRMULAS ASOCIADAS

PASO BAJO

zz

z'−

−

−=−

−1

1

11α

α

α

θ

θ=

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

sen

sen

Ω

Ω

p p

p p

2

2

Ωp = frecuencia de corte desada

PASO ALTO

zz

z'−

−

−= −+

+1

1

11α

α α

θ

θ= −

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

cos

cos

p p

p p

Ω

Ω2

2

Ωp = frecuencia de corte desada

PASO BANDA

zz

kk

zkk

kk

zk

kz

'−− −

− −=

−+

+−+

−+

−+

+

1

2 1

2 1

21

11

11

21

1

α

α

α =

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

cos

cos

Ω Ω

Ω Ω

p p

p p

2 1

2 1

2

2

k g p p p=

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟cot tg

Ω Ω2 1

2 2θ

Ω

Ωp

p

1

2

=

=

frecuencia de corte inferior desada

frecuencia de corte superor desada

BANDA ELIMINADA

zz

kk

zkk

kk

zkk

z'−

− −

− −=

−+

+−+

−+

−+

+

1

2 1

2 1

21

11

11

21

1

α

α

α =

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

cos

cos

Ω Ω

Ω Ω

p p

p p

2 1

2 1

2

2

k p p p=

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟tg tg

Ω Ω2 1

2 2θ

Ω

Ωp

p

1

2

=

=

frecuencia de corte inferior desada

frecuencia de corte superor desada

TRANSFORMACIONES DE FILTROS DISCRETOS (V)

DISEÑO DE FILTROS DIGITALES FIR

SISTEMAS FIR DE FASE LINEAL (I)

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅Ω=Ω−

⋅Ω=Ω−⇒Ω

Ωα−β

Ωα−

j

j

eAHdageneralizalinealFase

eHHlinealFaseH

Función real de Ω Constantes reales

[ ] ( ) ( ) ( ) [ ]α−=Ω⋅Ωπ

=Ω⋅Ωπ

= β

π

α−Ωβ

π

Ω ∫∫ naedeAedeHnh jnjj

nj

22 221

[ ] [ ]αβ −= naenh j

[ ] [ ]nana −= ∗ [ ] [ ]αβ +=⇒ − nhena j

[ ] [ ]αα ββ +−=+ ∗− nhenhe jj [ ] [ ]α+−= ∗β 22 nhenh j

[ ][ ] 200

MMn;nh

causalesnhSi =α⇒

⎩⎨⎧

≤≤≠ [ ] [ ]nMhenh j −= ∗β2

SISTEMAS FIR DE FASE LINEAL (II)

[ ] [ ]nMhenh j −= ∗β2

Coeficientes del filtro reales [ ] [ ]nhnh ∗=⇒ ale j Re2β⇒ Zkk ∈=⇒ ,2/πβ

[ ] ( ) [ ] ZknMhnh k ∈−⋅−= ,.1

( ) ( ) ( ))(,,22 filtrodelordenMZkeAH

Mkj∈⋅Ω=Ω

Ω−π

Tipo I: k = 0 (simetría positiva) y M par Tipo II: k = 0 (simetría positiva) y M impar [ ] [ ]nMhnh −=

[ ] [ ]nMhnh −−=Tipo III: k = 1 (simetría negativa) y M par Tipo IV: k = 1 (simetría negativa) y M impar

⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

SISTEMAS FIR DE FASE LINEAL (III)Ejemplo: Obtener la respuesta en frecuencia de un sistema FIR de orden par cuya respuesta alImpulso tiene simetría positiva y demostrar que es de fase lineal.

[ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ]

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

−==

⇒⎭⎬⎫

≡−=

12

12

110

MhMh

...MhhMhh

ParMnMhnh

( ) [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] Ω−Ω−−Ω−Ω−

=

Ω− ⋅+⋅−++⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡++⋅+=⋅=Ω ∑ jMMj

MjjM

n

nj eMheMh...eMh...ehhenhH 12

01

210

( ) [ ] [ ] [ ] [ ]⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅+⋅−++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++⋅+⋅⋅=Ω

Ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−Ω⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−Ω⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −ΩΩ− 2

12

1222 1

210

MjMjMjMjMjeMheMh...Mh...eheheH

( ) [ ] [ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω⋅⋅=Ω

Ω−

21

212

2022 Mh...McoshMcosheH

Mj

( ) [ ] ( ) ( )ΩθΩ−

=⋅Ω=⋅

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −Ω⋅+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=Ω ∑

−

jMj

neAenMcosnhMhH

M

2

0

12

22

2

( ) [ ] ( ) Ω−=Ωθ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −Ω⋅+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=Ω ∑

−

= 2;

2cos2

2

12

0

MnMnhMhA

M

n

( )( ) [ ] ( )[ ]

[ ] [ ]nh2nd

nsenndeH

21M

1n21j 2

1M

22M

−=

−⋅Ω⋅⋅=Ω

+=

−Ω−∑+

π

( )( ) [ ] [ ]

[ ] [ ]nh2nc

nsennceH

2M

1n

j 2M

22M

−=

⋅Ω⋅⋅=Ω ∑=

−Ω− π

( ) [ ] ( )[ ][ ] [ ]nh2nb

ncosnbeH

21M

1n21j 2

1M

2M

−=

−⋅Ω⋅⋅=Ω

+=

Ω−∑+

( ) [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]nhnaha

nnaeH

MMn

jM

M

−==

⋅Ω⋅⋅=Ω ∑=

Ω−

22

0

20

cos2

2

SISTEMAS FIR DE FASE LINEAL (IV)

Tipo h[n] Orden M H(Ω) θ(Ω) τ

I Par

II Impar

III Par

IV Impar

SimetríaNegativa

SimetríaPositiva

[ ] [ ]nMhnh −=

[ ] [ ]nMhnh −−=

2MΩ−

2MΩ−

22π+Ω− M

22π+Ω− M

2M

2M

2M

2M

SISTEMAS FIR DE FASE LINEAL (V)

Posiciones de los ceros en los sistemas FIR de fase lineal:

( ) ( )1−− ⋅±= zHzzH M

( ) ( ) ( ) ( )zHdecerozzHzHzzHerz Mj 11

11

111111 001 −−−−Ω ⇒=⇒=⋅±=⇒=

Si h[n] real:

( ) ( )1−− ⋅= zHzzH M

1=z ( ) ( ) ( ) ( )1111 HHH M ==⇒

Sistemas con simetría positiva y M impar (tipo II) poseen un cero en z = -1

( ) )()(1

11 zHdeceroTambiénzzHdecerotambiénz−∗∗ ⇒

Casos particulares (z = 1; z = -1):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )⎩

⎨⎧

=−⇒−−=−⇒−=−⇒

⇒−−=−⇒0111

11111

HHHimparMHHparM

HH M1−=z

- Ceros de H(z):

( ) [ ] [ ] [ ] ( )∑∑∑=

−−−

=

−

=

− ⋅±⋅=⋅−±=⋅=0

1

00 Mk

kMM

n

nM

n

n zkhzznMhznhzH

Simetría Positiva:

SISTEMAS FIR DE FASE LINEAL (VI)

Posiciones de los ceros en los sistemas FIR de fase lineal:

( ) ( )1−− ⋅±= zHzzH M

( ) ( ) ( ) ( )zHdecerozzHzHzzHerz Mj 11

11

111111 001 −−−−Ω ⇒=⇒=⋅±=⇒=

Si h[n] real:

( ) )()(1

11 zHdeceroTambiénzzHdecerotambiénz−∗∗ ⇒

Casos particulares (z = 1; z = -1):

- Ceros de H(z):

( ) [ ] [ ] [ ] ( )∑∑∑=

−−−

=

−

=

− ⋅±⋅=⋅−±=⋅=0

1

00 Mk

kMM

n

nM

n

n zkhzznMhznhzH

1=z ( ) ( ) ( ) ( )1111 HHH M −=−=⇒ Sistemas tipo III y IV poseen un cero en z = 1

1−=z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )⎩

⎨⎧

−=−⇒=−⇒−−=−⇒

⇒−−−=−⇒11

0111111

HHimparMHHHparM

HH M

Sistemas tipo III poseen un cero en z =- 1

Simetría Negativa: ( ) ( )1−− ⋅−= zHzzH M

SISTEMAS FIR DE FASE LINEAL (VII)

DIAGRAMAS DE POLOS Y CEROS DE SISTEMAS FIR DE FASE LINEAL

Orden par Orden parOrden impar

Orden impar Orden par Orden impar

DISEÑO DE FILTROS FIR

FILTROS IDEALES:

1.- Su hd[n] tiene longitud infinita.

2.- Su hd[n] es no causal ( hd[n] ≠ 0, ∀ n < 0 ).

SOLUCIÓN (MÉTODO DE LAS VENTANAS):

1.- Limitar la longitud de hd[n] a M+1 muestras(Multiplicarla por una función ventana h[n] = hd[n]·w[n] ).

2.- Introducir el retardo necesario para que h[n] sea causal.

DISEÑO DE FILTROS FIR

FILTRO DISCRETO PASO BAJO IDEAL

−ΩC ΩCΩπ−π

|H ( )|d Ω

[ ] ( ) ( )n

nCsendedeHnh

C

C

njnjdd π

ΩΩ

π=Ω⋅Ω

π= =∫

Ω

Ω−

Ω

π

Ω∫ 21

21

2

( ) [ ]∑∞

−∞=

Ω−⋅=Ωn

njdd enhH

Filtro ideal: Respuesta al impulso no causal e infinita.

-30 -20 -10 0 10 20 30

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

h d[n]

Respuesta al impulso de un filtro discreto Paso Bajo Ideal

......

Respuesta Impulsivadel Filtro Ideal: hd[n]

Ventana (Rectangular)w[n]

Respuesta impulsivaobtenida:

h[n] = hd[n]· w[n]

Respuesta Impulsivadesplazada para quesea causal: h[n-n0]

DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.5

0

0.5

1

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.5

0

0.5

1

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.5

0

0.5

1

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.5

0

0.5

1

SI PRIMERO DESPLAZAMOS Y DESPUÉS MULTIPLICAMOS,EL RESULTADO ES EL MISMO ( VENTANAS CAUSALES).

Respuesta Impulsivadel Filtro Ideal: hd[n]

Respuesta Impulsiva delFiltro Ideal desplazada

hd[n-n0]

Ventana (Rectangular)causal: w[n]

Respuesta impulsivaobtenida:h[n] = hd[n-n0]· w[n]


-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.5

0

0.5

1

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.5

0

0.5

1

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.5

0

0.5

1

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.5

0

0.5

1

Transformada de Fourier de la ventana rectangular:


( ) ( ) ( ) Ω−Ωφ− ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅Ω

=⋅Ω=Ω 2

2

21

Mjjp e

sen

MseneWW[ ]

⎩⎨⎧ ≤≤

=restoel

Mnnw

001

-3 -2 -1 0 1 2 3-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Ω

φΩ)

-3 -2 -1 0 1 2 3-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

Ω

A(Ω

)0 M...

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

w[n

]

...


RESPUESTA DE FASE LINEAL

Todas las ventanas van a tener simetría positiva:

[ ] [ ] ( ) ( )

Las Respuestas al Impulso de los Filtros Ideales Tendrán Simetría Positiva o Negativa:

20

0Mj

pTF eWW

nderesto,Mn,nMw

nwΩ−

⋅Ω=Ω⎯⎯→←⎩⎨⎧ ≤≤−

=

[ ] [ ] ( ) ( )

[ ] [ ] ( ) ( ) 2

2

Mjnd

TFdd

Mjpd

TFdd

ejAHnMhnh

eAHnMhnh

Ω−

Ω−

⋅Ω=Ω⎯⎯→←−−=

⋅Ω=Ω⎯⎯→←−=

[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) θ⋅θ−Ω⋅θπ

=Ω⊗Ω=Ω⎯⎯→←⋅= ∫π

dWHWHHnwnhnh ddTF

d2

21

( ) ( ) ( )( )

∫π

π−

θ−Ω−θ−θ⋅⋅θ−Ω⋅⋅θ

π=Ω deWeAH

Mjp

Mjp 22

21

( ) ( ) ( )∫π

π−

Ω−θ⋅θ−Ω⋅θ

π⋅=Ω dWAeH pp

Mj

212

Simetría positiva

EFECTO DEL ENVENTANADO SOBRE LA RESPUESTADE AMPLITUD DEL FILTRO.


-3 -2 -1 0 1 2 3

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ω

Wp(Ω

)

( ) ( ) ( ) ( )Ω⋅=θ⋅θ−Ω⋅θπ

⋅=ΩΩ−π

π−

Ω−∫ AedWAeH

Mjpp

Mj22

21

2π-2π Ω = -Ω1Ω = -Ω2 Ω = Ω2Ω = Ω1

-Ω1 -Ω2 Ω2 Ω1

πΩ = π

π-π

Ω = -π-π Ω

ΔΩ = Ω2 - Ω1 = ZONA DE TRANSICIÓN

Debida Fundamentalmente a la Anchura del Lóbulo Principal

EFECTO DEL ENVENTANADO SOBRE LA RESPUESTADE AMPLITUD DEL FILTRO. LÓBULO PRINCIPAL


2π-2π

Ω = -Ω1Ω = -Ω2 Ω = Ω2Ω = Ω1Ω = -π

-π Ω

-π π

Ω = π

RIZADO EN BANDA DE PASO Y ELIMINADADebida a los Lóbulos Secundarios (Principalmente al primero)

-Ω1

-Ω2 Ω2Ω1

π

EFECTO DEL ENVENTANADO SOBRE LA

RESPUESTADE AMPLITUD DEL FILTRO.

LÓBULOS SECUNDARIOS


VENTANA RECTANGULAR.

4ANCHURA DEL LÓBULO PRINCIPAL =M 1π

ΔΩ =+

-2 0 20

2

4

6

8

M+1 = 9

Ω-2 0 2

0

2

4

6

8

10

12

M+1 = 13

Ω

-2 0 20

5

10

15

M+1 = 18

Ω-2 0 2

0

5

10

15

20

25

M+1 = 26

Ω

MÓDULO DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE LA VENTANA RECTANGULAR


( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅Ω=Ω

2

21

sen

MsenW


VENTANA RECTANGULAR.

AMPLITUD RELATIVA DEL LÓBULO SECUNDARIO = -13 dB

0 1 2 3-60

-50

-40

-30

-20

-10

0M+1 = 9

Ω0 1 2 3

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Ω

M+1 = 13

0 1 2 3-60

-50

-40

-30

-20

-10

0M+1 = 18

Ω0 1 2 3

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0M+1 = 26

Ω

PARA MODIFICAR LA AMPLITUD DE LOS LÓBULOS SECUNDARIOS

HAY QUE MODIFICAR LA FORMA DE LA VENTANA.SE UTILIZAN VENTANAS QUE NO CONTENGAN

DISCONTINUIDADES ABRUPTAS ( FENÓMENO DE GIBBS )


CONLLEVA EL AUMENTO DE LA ANCHURA DEL LÓBULO PRINCIPAL

REGIÓN DE TRANSICIÓN EN LA RESPUESTA DEL FILTRO FIR MÁS ANCHA

PARA COMPENSARLO SE INCREMENTARÁ “M”


ALGUNAS VENTANAS UTILIZADAS: EXPRESIÓN ANALÍTICA

[ ]

2n M, 0 nM 2

2n M2 , n Mw nM 2

0, Resto n

⎧ ∀ ≤ ≤⎪⎪⎪ − ∀ ≤ ≤= ⎨⎪⎪⎪⎩

BARTLETT

[ ]

2 n0,5 0,5 cos , 0 n MM

w n0, Resto n

⎧ π⎛ ⎞− ∀ ≤ ≤⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪= ⎨⎪⎪⎪⎩

HANNING

HAMMING BLACKMAN

[ ]

2 n0,54 0, 46 cos , 0 n MM

w n0, Resto n

⎧ π⎛ ⎞− ∀ ≤ ≤⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪= ⎨⎪⎪⎪⎩

[ ]

2 n 4 n0, 42 0,5 cos 0,08 cos 0 n MM M

w n0, Resto n

⎧ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + ≤ ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⎪= ⎨⎪⎪⎪⎩


ALGUNAS VENTANAS UTILIZADAS: REPRESENTACIÓN ( M = 50 )

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1BLACKMAN

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1BARTLETT

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1HANNING

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1HAMMING


0 1 2 3-100

-80

-60

-40

-20

0BLACKMAN

0 1 2 3-100

-80

-60

-40

-20

0HAMMING

0 1 2 3-100

-80

-60

-40

-20

0HANNING

0 1 2 3-100

-80

-60

-40

-20

0BARLETT M = 50

ALGUNAS VENTANAS UTILIZADAS: .( ) ( )( )20log W / max W− Ω Ω


VENTANA HANNIG: .( ) ( )( )20log W / max W− Ω Ω

0 1 2 3-100

-80

-60

-40

-20

0M = 20

0 1 2 3-100

-80

-60

-40

-20

0M = 30

0 1 2 3-100

-80

-60

-40

-20

0M = 40

0 1 2 3-100

-80

-60

-40

-20

0M = 50


VENTANAS: RESUMEN DE CARACTERÍSTICAS

PARÁMETRO ÚNICO DE DISEÑO: ORDEN DEL FILTRO ( M )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π−

Mn2cos1

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

⋅−M

n2cos46.054.0

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

⋅−M

ncos.M

ncos.. 4080250420

VENTANA w[n] (0 ≤ n ≤ M) Anchura del Lóbulo Principal

Ai αbe rbp ΔΩ

Rectangular 1 4π/(M+1) 13,3 20,9 1,57

0,11

0,033

0,00298

1,84π/M

Hanning 8π/(M+1) 31,5 43,9 6,22π/M

Hamming 8π/(M+1) 42,7 54,5 6,64π/M

Blackman 12π/(M+1) 58,1 75,3 11,12π/M

Ai : Amplitud máxima relativa (en dB's) de los lóbulos laterales. αbe=-20 log(δ) : Atenuación mínima (en dB's) en la banda eliminada.rbp =-20 log((1- δ)/(1+ δ)): Rizado en la banda de paso.ΔΩ: anchura de la banda de transición.


VENTANA DE KAISER

[ ]( )

w nI n

In M

=−

−⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

∀ ≤ ≤

∀

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

0

2

0

1

0

0

12

βα

α

β

, resto de n

M2

α =

I0 ( ): Función de Bessel de Orden CeroModificada de Primera Clase

β : Factor de Forma

( )( )

2kL

0k 1

x2I (x) 1 L 25

k!=

⎡ ⎤⎢ ⎥≈ + ≤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

DOS PARÁMETROS DE DISEÑO:

ORDEN DEL FILTRO ( M ) → AJUSTE DE ANCHURA DEL LÓBULO PRINCIPAL

FACTOR DE FORMA ( β ) → AJUSTE DE AMPLITUD DE LÓBULOS SECUNDARIOS


VENTANA DE KAISER: REPRESENTACIÓN PARA DISTINTOS VALORES DE β

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

β = 0

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1 β = 3

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1 β = 6

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1 β = 9

n n

n n


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

M = 10

Ω 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

M = 10

Ω

M = 20

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

M = 10

Ω

M = 20

M = 41

VENTANA DE KAISER: PARA DISTINTOS VALORES DE M( ) ( )( )20log W / max W− Ω Ω


0 0.5 1 1.5-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

β = 0

Ω 0 0.5 1 1.5

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

β = 0

Ω

β = 3

0 0.5 1 1.5-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

β = 0

Ω

β = 3

β = 6

0 0.5 1 1.5-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

β = 0

Ω

β = 3

β = 6 β = 9

VENTANA DE KAISER: PARA DISTINTOS VALORES DE β( ) ( )( )20log W / max W− Ω Ω

( )p aDefiniendo A 20 log con min ,= − δ δ = δ δ

( )( ) ( )β =

−

+ − ≤ ≤

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

0 1102 8 7

0 07886 21 21 500 0

0 4

, ,

,,

,

A

A A

A > 50

0,5842 A - 21 A < 21


VENTANA DE KAISER: OBTENCIÓN DE β y M

A 7,95 A 7,95M2,285 14,36 f

− −≥ =

ΔΩ Δ


EJEMPLO

Se desea diseñar un sistema para procesar una señal analógica xc(t) (limitada en banda a 5 kHz) con un filtro digital como se indica en la figura.

Las especificaciones del módulo de la respuesta en frecuencia del sistema analógico |H(ω)| son:

-Atenuación máxima en la banda de paso αp= 1 dBs.- Atenuación mínima en la banda atenuada αa = 15 dBs.- Frecuencia de corte en la banda de paso: fp = 800 Hz- frecuencia de corte en la banda atenuada: fa = 1400 Hz

DISEÑO DE FILTROS FIR: CAMBIO DE ESPECIFICACIONES

αmax

αmin

α(dB)

ΩΩp Ωa π

1 - δ1

|H(Ω)|

ΩΩp Ωa

1

δ2

π

max

min

201

202

1 10

10

α−

α−

− δ =

δ =

1 - δp

|H(Ω)|

ΩΩp Ωa

1

δa

π

1+ δp

( ) ( ) ( ) ( )max20

p 1 p p p1 1 1 1 1 10α

−− δ = − δ + δ ⇒ − δ = + δ

( )max

min

max

2020

p a p20

10 1 ; 10 110 1

αα

−

α

−δ = δ = + δ

+

( ) ( )min20

a p 2 p1 10 1α

−δ = + δ δ = + δ

max maxmax max

max max

20 2020 20

p p20 20

1 10 10 110 1 1 101 10 10 1

α α−α α

− −

α α−

⎛ ⎞ − −δ + = − ⇒ δ = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ + +

|H(Ω)|

Ωπ

1

1-δ1

δ2

1-δp

1+δp

δa

DISEÑO DE FILTROS FIR: CAMBIO DE ESPECIFICACIONES


EJEMPLO

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⋅⋅=⋅=Ω

=⋅⋅=⋅=Ω⇒=⇒⋅=Ω

−

−

ππω

ππωω

35,0108114002

2,010818002

81

3

3

saa

sppss

T

TmsTT

a) Plantilla de atenuación del Filtro Analógico: b) Plantilla de atenuación del Filtro Discreto:

d) Plantilla de amplitud del Filtro discreto en unidades naturales:

SOLUCIÓN:1. PLANTILLAS:

( ) 188,0110

0575,0

110

110

110

110

20

201

201

20

20

=+⋅=

=

+

−=

+

−=

−p

p

a

p

p

a δδ

δ

α

α

α


EJEMPLOSOLUCIÓN:2. Diseño:

( ) ( ) dB,log',,min apap 8242005750 =δ⋅−=α⇒=δ=δδ=δParámetros de diseño:

VENTANA αbe

Rectangular 20,9

Hanning 43,9

Hamming 54,5

Blackman 75,3

π=π−π=Ω−Ω=ΔΩ 15020350 ,,,pa

424641150226

=⇒=ππ

> M,,,M

452744150646

=⇒=ππ

> M,,,M

7513741501211

=⇒=ππ

> M,,,M

1665151502852957824

2852957

=⇒=π⋅

−=

ΔΩ⋅−

> M,,,,,

,,AM

Ventana de Kaiser:

( ) ( ) 2961210788602158420 40 ,A,A, , =−⋅+−⋅=β

π=π+π

=Ω+Ω

=Ω 27502

350202

,,,apc


EJEMPLOSOLUCIÓN:

2210 20 ΔΩ

+Ω=ΩΔΩ

−Ω=Ω=δα

−cacp ';';

ba

Ventana Orden δ ΔΩ Ω’p Ω’a

Hanning 42 0,0064 0,148π 0,201 π 0,349π

0,348π

0,349π

Kaiser 16 0,0575 0,15π 0,2 π 0,35π

Hamming 45 0,0019 0,147π 0,201 π

Blackman 75 0,00017 0,148π 0,201 π

[ ] [ ] [ ]nwMn

MnsennwMnhnh

CID ⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅π

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −Ω

=⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

2

22


EJEMPLOSOLUCIÓN:

[ ]( )( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧≤≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−⋅⋅−⋅π

−π=

nderesto;

n;ncosn

n,sennhD

0

42042

2121

21212750

[ ]( )( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧≤≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

⋅−⋅−⋅π

−π=

nderesto;

n;ncos,,,n

,n,sennhD

0

45045

2460540522

5222750

[ ]( )( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧≤≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

⋅−⋅−⋅π

−π=

nderesto;

n;ncos,ncos,,,n

,n,sennhD

0

75075

408075

250420537

5372750

- Hanning: FIR fase lineal tipo I

- Hamming: FIR fase lineal tipo II

- Blackman: FIR fase lineal tipo II

- Kaiser: FIR fase lineal tipo I

[ ] ( )( )( ) ( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

−⋅⋅

−⋅π−π

=

nderesto;

n;,I

n,I

nn,sennhD

0

1602961

8812961

882750

0

0


hD,Ham= fir1(M,ΩC,Hamming(M+1))hD,Han= fir1(M,ΩC,Hann(M+1))

hD,Blac= fir1(M,ΩC,Blackman(M+1)) hD,kaiser= fir1(M,ΩC,kaiser(M+1,β))0 2 4 6 8 10 12 14 16

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3Respuesta al impulso del filtro utilizando la ventana de Kaiser

n

|hDK

ai[n

]

0 10 20 30 40 50 60 70-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3Respuesta al impulso del filtro utilizando la ventana de Blackman

n

|hDB

Lan[

n]

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3Respuesta al impulso del filtro utilizando la ventana de Hamming

n

|hDH

am[n

]

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3Respuesta al impulso del filtro utilizando la ventana de Hanning

n

|hDH

an[n

]


0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ω

|HD( Ω

)|

Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro

HanningHammingBlackmanKaiser

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

Ω

|HD( Ω

)|



1 1.5 2 2.5 30

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Ω

|HD( Ω

)|



DISEÑO DE FILTROS: COMPARACIÓN IIR - FIR

La perturbación debido a la recursividad del filtro puede afectar a la señal de salida de forma indefinida.

Si la realización es no recursiva la salida del sistema puede verse afectada por su estado inicial o por cualquier interferencia de corta duración durante la longitud de la respuesta al impulso.

7.- Sensibilidad a las interferencias

No se requiere un computador grande y suele utilizarse la transformación bilineal con lo que no son demasiados cálculos. Son poco complejos.

Se requiere un computador de tamaño medio y la complejidad depende de la longitud de su h[n].

6.-Carga computacional y complejidad

Sólo puede usarse la estructura recursiva. La más utilizada es la de cascada de secciones de primer y segundo orden.

Admiten estructuras recursivas y no recursivas. La estructura más utilizada es la no recursiva denominada filtro transversal

5.- Estructura

Pueden ser inestables si los polos caen fuera de la circunferencia unidad.

Son siempre estables4.- Estabilidad

Sólo puede conseguirse fase lineal utilizando ecualizadores con lo que el filtro es más complejo.

Es posible conseguir fase lineal.3.- Característica de fase

Se consiguen selectividades altas con órdenes reducidos al disponer de pares polo-cero. Es posible diseñar todo tipo de filtros.

Para selectividades altas se requieren órdenes altos (todos los polos están en z = 0). No es posible diseñar filtros paso todo.

2.- Respuesta en frecuencia

Contiene polos y ceros en puntos finitos de z, ello proporciona mayor flexibilidad en el diseño de filtros sencillos (método de ubicación de ceros y polos)

Sólo contiene ceros, todos sus polos en el origen, excepto si se emplea muestreo en frecuencia

1.- Función del sistema H(z)

IIRFIR

Necesitan menos memoria ya que el número de coeficientes es menor que el equivalente FIR.

Necesitan mucha memoria para almacenar la muestra actual y las anteriores de la señal de entrada, así como los coeficientes del filtro.

9.- Memoria

Es un problema importante puesto que puede hacerse inestable. Pueden producirse oscilaciones indeseadas a causa del desbordamiento (Oscilación de overflow) o oscilaciones de ciclo límite.

Con estructura no recursiva no es un problema importante. Cuando estos filtros se realizan de forma recursiva debe conseguirse una cancelación exacta de polos y ceros después de la cuantificación obligándonos a utilizar longitudes de palabra mayores.

8.- Efecto de la cuanti-ficación de los coeficientes

DISEÑO DE FILTROS: COMPARACIÓN IIR - FIR

DISEÑO DE FILTROS DIGITALES -...

Documents

Transcript of DISEÑO DE FILTROS DIGITALES -...