Dinámica de la pala

Dinámica del movimiento de batimiento.

Referencia Básica [Joh94]

Helicópteros () Dinámica Batimiento 1 / 30

Introducción I

Rotor articulado

Planos de referencia

Rotor rígido

Helicópteros () Dinámica Batimiento 2 / 30

Rotor articulado. Velocidades I

Ãsinr® cos1V

Ãcosr® cos1V_ r

r® cos1V

Ãcosr® cos1V

2¼==3 Ã

r® cos1V

r­ 2¼==Ã

ryÃ

=0ïrx¼=Ã

Helicópteros () Dinámica Batimiento 3 / 30

Rotor articulado. Velocidades II

Velocidades adimensionales relativas al elemento de pala:

UT

ΩR= x + µ sinψ

UP

ΩR= λ + x

β

Ω+ µβ cosψ

UR

ΩR= µ cosψ

Helicópteros () Dinámica Batimiento 4 / 30

Rotor articulado. Fuerzas I

P

¯

­

Plano de referenciaBr¼ ¯ cosr

zc

dF

IdF

bdF

r

dFb fuerza aerodinámica: dFb ≈ dL

dFc fuerza centrífuga dFc = mrΩ2dr

dFI fuerza de aceleración: dFI = mr βdr

Helicópteros () Dinámica Batimiento 5 / 30

Rotor articulado. Fuerzas II

La fuerza aerodinámica se puede expresar como:

dFb ≈ dL =1

2ρU

2cdrCl (α)

dFb ≈1

2ρU

2T cdrClα

(θ − UP

UT

)dFb ≈

1

2ρcdrClα

(θU

2T −UPUT

)y teniendo en cuenta las componentes de velocidad debidas albatimiento:

dFb = ρcR (ΩR)2Clα

[1

2

(θ (x + µ sinψ)2

−(

λ + x β + µβ cosψ

)(x + µ sinψ)

)]dx

dFb = ρcR (ΩR)2ClαdFb

Helicópteros () Dinámica Batimiento 6 / 30

Rotor articulado. Fuerzas III

Equilibrio de momentos con respecto la articulación de batimiento,

∑MB = 0∫R

0mr

2βdr +

∫R

0mr

2Ω2βdr −

∫R

0rdFb = 0(∫

R

0mr

2dr

)(β + Ω2

β

)=∫

R

0rdFb

β + Ω2β =

1

Ib

∫R

0rdFb

donde Ib =∫R

0 mr2dr es el momento de inercia de la pala. Para unadistribución uniforme de masa, m(r) = m0 el momento seríaIb = m0R

3/3 = mbR2/3 donde mb = m0R es la masa de la pala.

Helicópteros () Dinámica Batimiento 7 / 30

Rotor articulado. Fuerzas IV

El objetivo del problema es determinar la dependencia funcional β (ψ).Por tanto se suele realizar generalmente un cambio de variable,

β =dβ

dt=

dβ

dψ

dψ

dt= Ωβ

′

β =d

dt

(dβ

dt

)= Ω2

β′′

Helicópteros () Dinámica Batimiento 8 / 30

Rotor articulado. Fuerzas V

Por tanto, la EDO del movimiento de batimiento se puede escribircomo:

β′′+ β =

1

IbΩ2

∫R

0rdFb

β′′+ β =

ρ (ΩR)2 cR2Clα

IbΩ2

∫ 1

0x dFb

β′′+ β = γMb

donde γ es el número de Lock:

γ =ρcClα

R4

Ib=

fuerzas aerodinámicas

fuerzas de inercia

y Mb =∫ 10 x dFb.

Helicópteros () Dinámica Batimiento 9 / 30

Rotor articulado. Fuerzas VI

Valores característicos del número de Lock son 5-10. Este valordepende de la densidad del aire y, por tanto, dependerá de la altitud.

La dinámica de batimiento es análoga a la de un sistema masa-muellesometido a una excitación exterior.

Desde el punto de vista de la respuesta libre del sistema (sin excitaciónexterior)

frecuencia propia: ωb = 1 (adimensional) y ω = Ω. Acciones exteriorescon una variación por vuelta del rotor excitará al modo de batimientoen la frecuencia natural.

Momento aerodinámico

Mb =∫

1

0

x

2

(θ (x + µ sinψ)2−

(λ +x β + µβ cosψ

)(x + µ sinψ)

)dx

Helicópteros () Dinámica Batimiento 10 / 30

Rotor articulado. Fuerzas VII

Distribución de paso

θ(x) = θc + θ1x

θ(x) = θ0 + θ1s sinψ + θ1c cosψ + θ1x

donde:

θ0 es el paso colectivo.θ1 es la torsión geométrica de la pala.θ1s sinψ + θ1c cosψ es el paso cíclico.

En general el paso se puede descomponer en serie de Fourier:

θ(x) = θ0 +∞

∑n=1

θns sinnψ + θnc cosnψ

θ(x)≈ θ0 + θ1s sinψ + θ1c cosψ + . . .

Helicópteros () Dinámica Batimiento 11 / 30

Rotor articulado. Fuerzas VIII

En primera aproximación, se considera que el ujo será uniforme:λ = cte

Bajo estas hipótesis, el momento de batimiento aerodinámico se puedeexpresar como:

Mb = γ(Mθ θc +Mθ1θ1 +Mλ λ +Mβ β +Mβ ′β

′)

Helicópteros () Dinámica Batimiento 12 / 30

Rotor articulado. Fuerzas IX

Desarrollando los términos se obtiene:

Mθc=

1

8+

1

3µ sinψ +

1

4µ2 sin2 ψ

Mθ1 =1

10+

1

4µ sinψ +

1

6µ2 sin2 ψ

Mλ =−1

6− 1

4µ sinψ

Mβ =−1

6µ cosψ− 1

4µ2 cosψ sinψ

Mβ ′ =−1

8− 1

6µ sinψ

estos términos corresponden a los momentos de batimiento debidos avariaciones del ángulo de ataque.

Helicópteros () Dinámica Batimiento 13 / 30

Rotor articulado. Fuerzas X

En concreto:

Mθcrepresenta el momento de batimiento debido al cambio de ángulo

de ataque consecuencia del cambio de paso debido al controlMθ1

representa el momento de batimiento debido al cambio de ángulode ataque consecuencia del cambio de paso geométrico de la palaMλ representa el momento de batimiento debido al cambio de ángulode ataque consecuencia de la velocidad inducidaMβ ′ representa el momento de batimiento debido al cambio de ángulode ataque consecuencia de la variación de la velocidad de batimientoMβ representa el momento de batimiento debido al cambio de ángulode ataque consecuencia de la variación del ángulo de batimiento

Helicópteros () Dinámica Batimiento 14 / 30

Rotor articulado. Fuerzas XI

La acción exterior que alimenta la dinámica del batimiento contienevariaciones en una vuelta y por tanto excita al sistema en la frecuenciapropia.

Las acciones aerodinámicas contienen un término β que proporcionaamortiguamiento al sistema dinámico.

De esta manera: la frecuencia propia del sistema cambia ligeramente, yla amplitud no tenderá a innito dando lugar a una respuesta acotada.

Helicópteros () Dinámica Batimiento 15 / 30

Plano de puntas I

Batimiento

β (ψ) = β0 +∞

∑n=1

βns sinnψ + βnc cosnψ

β (ψ)≈ β0 + β1s sinψ + β1c cosψ + . . .

β0: conicidad. Las puntas de la pala describen un círculo cuyo planose sitúa paralelo al plano de referencia. La pala describe un cono deángulo β0.

0¯

= 0ü= Ãrx

Plano de referencia

rz

0¯

Helicópteros () Dinámica Batimiento 16 / 30

Plano de puntas II

β1c : coeciente de batimiento longitudinal. Las puntas de laspalas describen un círculo inclinado longitudinalmente, de forma que laparte delantera apunta hacia abajo y la trasera hacia arriba.

Plano de referencia

Visto desde el lado retroceso

c1¯

¼= Ã

= 0Ãrx

rz

c1¯

β1s : coeciente de batimiento lateral. Las puntas de las palasdescriben un círculo inclinado lateralmente, de forma que la parte dellado de avance apunta hacia arriba y la parte que retrocede haciaabajo.

Helicópteros () Dinámica Batimiento 17 / 30

Plano de puntas III

2¼== Ã

Plano de referencia

Visto desde la parte trasera

s1¯

2¼== 3 Ã ry

rz

s1¯

Plano de puntas: la combinación de los tres batimientos se traduceen que las puntas de las palas recorren un plano inclinado haciaadelante y hacia arriba en el lado de avance. La pala describe un conoinclinado en el espacio.

El plano de puntas representa el plano con respecto del cual latracción prácticamente es perpendicular.

Este plano es empleado en el análisis de actuaciones. Hasta ahora hasido el plano en el que se ha trabajado.

Helicópteros () Dinámica Batimiento 18 / 30

Plato distribuidor

Es el sistema más habitual para controlar el paso de las palas.

Helicópteros () Dinámica Batimiento 19 / 30

Plano de control I

El paso se representa mediante la siguiente serie de Fourier:

θ = θ0 +∞

∑n=1

θns sinnψ + θnc cosnψ

θ ≈ θ0 + θ1s sinψ + θ1c cosψ + . . .

La variación de paso proviene de dos fuentes

dinámica torsional de la pala. Los momentos de torsión son bajos en lala pala, y en primera aproximación será despreciada la dinámicatorsional asociada a la elasticidad de la pala.sistema de control del helicóptero. Los cambios en la sustentacióndebidos a cambios en el paso son grandes porque el ángulo de ataqueefectivo cambia directamente. Por tanto, el control de las fuerzas en elrotor es muy efectivo si se realiza a través de cambios en el paso.

Helicópteros () Dinámica Batimiento 20 / 30

Plano de control II

θ0: paso colectivo. Controla el valor medio de las fuerzassustentadoras de la pala.

Visto desde lado de avance

0µ

Plano de control

Plano de referencia

θ1c y θ1s paso cíclico. Representa una variación por vuelta del paso.Controla la orientación del vector de tracción modicando laorientación del plano de puntas.

Helicópteros () Dinámica Batimiento 21 / 30

Plano de control III

θ1s : paso cíclico longitudinal. Proporciona control longitudinal delhelicóptero.

Plano de control

s1µPlano de referencia

Visto desde lado de avance

s1

µ

Helicópteros () Dinámica Batimiento 22 / 30

Plano de control IV

θ1c : paso cíclico lateral. Proporciona control lateral del helicóptero.

Visto desde atrás

Plano de referencia

Plano de control

c1

µ

c1µ

Plano de control: siempre existirá un plano con respecto del cual elpaso se puede expresar como θ = θ0 es decir no existe variación enuna vuelta y el paso es constante. Este plano recibe el nombre deplano de control.

Helicópteros () Dinámica Batimiento 23 / 30

Equivalencia batimiento-paso I

c1¯

= 0Ã

2¼== Ã

2¼== 3

à ¼= Ã

s1¯

s1µ

c1µ

s1µ

+ c1¯

¼= ÃPlano de referencia

Visto desde el lado de avance

= 0Ãrx

Plano de control

c1¯

Plano de puntas s1µ

rzc

1µ s

1¯

2¼== ÃPlano de referencia

Visto desde atras

ry

Plano de puntas

c1µ

2¼== 3Ã

Plano de control s1¯

rz

Helicópteros () Dinámica Batimiento 24 / 30

Solución estacionaria I

La solución estacionaria será de la forma

β (ψ) = β0 + β1s sinψ + β1c cosψ

Al buscar la solución estacionaria como funciones armónicas de ψ eltérmino β ′′+ β de la EDO se reduce a:

β′′+ β = β0

La EDO se reescribe como:

β′′+ β = β0 = γ [Mθ (θ0 + θ1s sinψ + θ1c cosψ) +Mθ1θ1 +Mλ λ +

+Mβ (β0 + β1s sinψ + β1c cosψ)+

+Mβ ′ (−β1c sinψ + β1s cosψ)]

Helicópteros () Dinámica Batimiento 25 / 30

Solución estacionaria II

reteniendo solo los términos sin dependencia azimutal, los términossinψ , los términos cosψ se obtienen tres ecuaciones para β0, β1s yβ1c :

β0 = γ

[θ0

8

(1+ µ

2)

+θ1

10

(1+

5

6µ2

)+

µ

6θ1s −

λ

6

]0 =

θ1c

8

(1+

1

2µ2

)− 1

8β1s −

µ

6β0−

µ2

16β1s

0 =θ1s

8

(1+

3

2µ2

)+

µ

3θ0 +

µ

4θ1−

µ

4λ +

1

8β1c −

µ2

16β1c

Helicópteros () Dinámica Batimiento 26 / 30

Solución estacionaria III

Despejando los coecientes del plano de puntas

β0 = γ

[θ0

8

(1+ µ

2)+

θ1

10

(1+

5

6µ2

)+

µ

6θ1s −

λ

6

]θ1c −β1s =

43 µβ0

1+ 12 µ2

θ1s +β1c +θ1sµ2

1− 12 µ2

=− 8

3 µ(θ0 + 3

4θ1− 34λ)

1− 12 µ2

Estas expresiones permiten obtener la orientación del plano de puntascon respecto al plano de control. A partir de las ecuaciones delequilibrado del helicóptero (por ejemplo el momento de alabeo y decabeceo proporcionarían β1s y β1c) y dada una condición de vuelo sepuede obtener la orientación del plano de puntas y a partir de lasanteriores expresiones se puede determinar la orientación del plano decontrol. Por tanto se puede determinar el control de paso cíclico paraesa condición de vuelo.

Helicópteros () Dinámica Batimiento 27 / 30

Solución estacionaria IV

β0 y β1c tienen valores de unos pocos grados, β1s es bastante máspequeño.

Solución en vuelo axial

β0 = γ

[θ0

8+

θ1

10+−λ

6

]θ1c −β1s = 0

θ1s + β1c = 0

Implica que el plano de puntas y el de control se sitúan paralelos. Elplano de puntas corresponde a un cono sin inclinación ni lateral nilongitudinal.

Helicópteros () Dinámica Batimiento 28 / 30

Solución estacionaria V

Rotor en el vacío (sin fuerzas aerodinámicas) β = β1c cosψ + β1s sinψ

(solución de β ′′+ β = 0). Signica que el plano de puntas adquiereuna orientación en el espacio arbitraria pero ja ya que β1c y β1s estánindeterminados. En otras palabras ya que no hay fuerzasaerodinámicas no hay medios por los que el el paso de la pala puedaproducir momentos sobre el disco.

Rotor en aire (con fuerzas aerodinámicas) tiene la capacidad deproducir un momento debido al paso y por tanto controlar suorientación en el espacio. Si la inuencia aerodinámica sólo fuera através de este momento, el rotor respondería al momento del paso conuna velocidad de inclinación constante. Sin embargo, el momentoasociado a la velocidad de batimiento equilibra el momento de paso.

Helicópteros () Dinámica Batimiento 29 / 30

Expresiones trigonométricas empleadas

sin2 ψ =1− cos2ψ

2

cos2 ψ =1+ cos2ψ

2

cosnψ cosmψ =cos(n+m)ψ + cos(n−m)ψ

2

sinnψ sinmψ =cos(n−m)ψ− cos(n+m)ψ

2

cosnψ sinmψ =sin(n+m)ψ− sin(n−m)ψ

2

Helicópteros () Dinámica Batimiento 30 / 30