Dinámica de un sistema de partículas

Momento lineal e impulso

Dinámica de un sistema de partículas

Conservación del momento lineal de un sistema de partículas

Colisiones

El centro de masa.

Energía de un sistema de partículas

 

Momento lineal e impulso

El momento lineal de una partícula de masa m que se mueve con una velocidad v se define como el producto de la masa por la velocidad

p=mv

Se define el vector fuerza, como la derivada del momento lineal respecto del tiempo

La segunda ley de Newton es un caso particular de la definición de fuerza, cuando la masa de la partícula es constante.

Despejando dp en la definición de fuerza e integrando

A la izquierda, tenemos la variación de momento lineal y a la derecha, la integral que se denomina impulso de la fuerza F en el intervalo que va de ti a tf.

Para el movimiento en una dimensión, cuando una partícula  se mueve bajo la acción de una fuerza F, la integral es el área sombreada bajo la curva fuerza-tiempo.

En muchas situaciones físicas se emplea la aproximación del impulso. En esta aproximación, se supone que una de las fuerzas que actúan sobre la partícula es muy grande pero de muy corta duración. Esta aproximación es de gran utilidad cuando se estudian los choques, por ejemplo, de una pelota con una raqueta o una pala. El tiempo de colisión es muy pequeño, del orden de centésimas o milésimas de segundo, y la fuerza promedio que ejerce la pala o la raqueta es de varios cientos o miles de newtons. Esta fuerza es mucho mayor que la gravedad, por lo que se puede utilizar la aproximación del impulso. Cuando se utiliza esta aproximación es importante recordar que los momentos lineales inicial y final se refieren al instante antes y después de la colisión, respectivamente.

 

Dinámica de un sistema de partículas

Sea un sistema de partículas. Sobre cada partícula actúan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interacción mutua entre las partículas del sistema. Supongamos un sistema formado por dos partículas. Sobre la partícula 1 actúa la fuerza exterior F1 y la fuerza que ejerce la partícula 2, F12. Sobre la partícula 2 actúa la fuerza exterior F2 y la fuerza que ejerce la partícula 1, F21.

Por ejemplo, si el sistema de partículas fuese el formado por la Tierra y la Luna: las fuerzas exteriores serían las que ejerce el Sol (y el resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna. Las fuerzas interiores serían la atracción mutua entre estos dos cuerpos celestes.

Para cada unas de las partículas se cumple que la razón de la variación del momento lineal con el tiempo es igual la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula considerada, es decir, el movimiento de cada partícula viene determinado por las fuerzas interiores y exteriores que actúan sobre dicha partícula.

Sumando miembro a miembro y teniendo en cuenta la tercera Ley de Newton, F12=-F21, tenemos que

Donde P es el momento lineal total del sistema y Fext es la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema de partículas. El movimiento del sistema de partículas viene determinado solamente por las fuerzas exteriores.

 

Conservación del momento lineal de un sistema de partículas

Considérese dos partículas que pueden interactuar entre sí pero que están aisladas de los alrededores. Las partículas se mueven bajo su interacción mutua pero no hay fuerzas exteriores al sistema.

La partícula 1 se mueve bajo la acción de la fuerza F12 que ejerce la partícula 2. La partícula 2 se mueve bajo la acción de la fuerza F21 que ejerce la partícula 1. La tercera ley de Newton o Principio de Acción y Reacción establece que ambas fuerzas tendrán que ser iguales y de signo contrario.

F12 +F21 =0

Aplicando la segunda ley de Newton a cada una de las partículas

El principio de conservación del momento lineal afirma que el momento lineal total del sistema de partículas permanece constante, si el sistema es aislado, es decir, si no actúan fuerzas exteriores sobre las partículas del sistema. El principio de conservación del momento lineal es independiente de la naturaleza de las fuerzas de interacción entre las partículas del sistema aislado

m1u1+m2u2=m1v1+m2v2

Donde u1 y u2 son las velocidades iniciales de las partículas 1 y 2 y v1 y v2 las velocidades finales de dichas partículas.

 

Colisiones

Se emplea el término de colisión para representar la situación en la que dos o más partículas interaccionan durante un tiempo muy corto. Se supone que las fuerzas impulsivas debidas a la colisión son mucho más grandes que cualquier otra fuerza externa presente.

El momento lineal total se conserva en las colisiones. Sin embargo, la energía cinética no se conserva debido a que parte de la energía cinética se transforma en energía térmica y en energía potencial elástica interna cuando los cuerpos se deforman durante la colisión.

Se define colisión inelástica como la colisión en la cual no se conserva la energía cinética. Cuando dos objetos que chocan se quedan juntos después del choque se dice que la colisión es perfectamente inelástica. Por ejemplo, un meteorito que choca con la Tierra.

En una colisión elástica la energía cinética se conserva. Por ejemplo, las colisiones entre bolas de billar son aproximadamente elásticas. A nivel atómico las colisiones pueden ser perfectamente elásticas.

La magnitud Q es la diferencia entre las energías cinéticas después y antes de la colisión. Q toma el valor de cero en las colisiones perfectamente elásticas, pero puede ser menor que cero si en el choque se pierde energía cinética como resultado de la deformación, o puede ser mayor que cero, si la energía cinética de las partículas después de la colisión es mayor que la inicial, por ejemplo, en la explosión de una granada o en la desintegración radiactiva, parte de la energía química o energía nuclear se convierte en energía cinética de los productos.

 

Coeficiente de restitución

Se ha encontrado experimentalmente que en una colisión frontal de dos esferas sólidas como las que experimentan las bolas de billar, las velocidades después del choque están relacionadas con las velocidades antes del choque, por la expresión

donde e es el coeficiente de restitución y tiene un valor entre 0 y 1. Esta relación fue propuesta por Newton y tiene validez solamente aproximada. El valor de uno es para un choque perfectamente elástico y el valor de cero para un choque perfectamente inelástico.

El coeficiente de restitución es la razón entre la velocidad relativa de alejamiento, y la velocidad relativa de acercamiento de las partículas.

 

El centro de masa.

El Sistema de Referencia del Centro de Masa (sistema-C) es especialmente útil para describir las colisiones comparado con el Sistema de Referencia del Laboratorio (sistema-L) tal como veremos en próximas páginas.

Movimiento del Centro de Masas

En la figura, tenemos dos partículas de masas m1 y m2, como m1 es mayor que m2, la posición del centro de masas del sistema de dos partículas estará cerca de la masa mayor.

En general, la posición rcm del centro de masa de un sistema de N partículas es

La velocidad del centro de masas vcm  se obtiene derivando con respecto del tiempo

En el numerador figura el momento lineal total y en el denominador la masa total del sistema de partículas.

De la dinámica de un sistema de partículas tenemos que

El centro de masas de un sistema de partículas se mueve como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema bajo la acción de la fuerza externa aplicada al sistema.

En un sistema aislado Fext=0 el centro de masas se mueve con velocidad constante vcm=cte.

El Sistema de Referencia del Centro de Masas

Para un sistema de dos partículas

La velocidad de la partícula 1 respecto del centro de masas es

La velocidad de la partícula 2 respecto del centro de masas es

En el sistema-C, las dos partículas se mueven en direcciones opuestas.

Momento lineal

Podemos comprobar fácilmente que el momento lineal de la partícula 1 respecto al sistema-C es igual y opuesto al momento lineal de la partícula 2 respecto del sistema-C

p1cm=m1v1cm

p2cm=m2v2cm

p1cm=-p2cm

Energía cinética

La relación entre las energías cinéticas medidas en el sistema-L y en el sistema-C es fácil de obtener

El primer término, es la energía cinética relativa al centro de masas. El segundo término, es la energía cinética de una partícula cuya masa sea igual a la del sistema moviéndose con la velocidad del centro de masa. A este último término, se le denomina energía cinética de traslación del sistema.

En un sistema de partículas podemos separar el movimiento del sistema en dos partes:

el movimiento de traslación con la velocidad del centro de masa el movimiento interno relativo al centro de masas.

En las siguientes páginas, mostraremos la importancia de centro de masas en la descripción del movimiento de un sistema de dos partículas que interactúan a través de un muelle elástico.

 

Energía de un sistema de partículas

Supongamos que la partícula de masa m1 se desplaza dr1, y que la partícula de masa m2 se desplaza dr2, como consecuencia de las fuerzas que actúan sobre cada una de las partículas.

El trabajo realizado por la resultante de las  fuerzas que actúan sobre la primera partícula es igual al producto escalar

(F1+F12)·dr1

Del mismo modo, el trabajo realizado por la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m2 será

(F2+F21)·dr2

Teniendo en cuenta que el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula modifica la energía cinética de la partícula, es decir, la diferencia entre la energía cinética final y la inicial.

Sumando miembro a miembro, podemos escribir el trabajo como suma del trabajo de las fuerzas exteriores más el trabajo de las fuerza interiores o de interacción mutua. Se tiene en cuenta que las fuerzas interiores F12=-F21 son iguales y de sentido contrario

Las fuerzas interiores F12 y F21 realizan trabajo siempre que haya un desplazamiento relativo de la partícula 1 respecto de la 2, ya que dr1-dr2=d(r1-r2)=dr12

Normalmente, la fuerza F12 es conservativa (es de tipo gravitatorio, eléctrico, muelle elástico, etc.) El trabajo de una fuerza conservativa es igual a la diferencia entre la energía potencial inicial y final.

Denominando trabajo de las fuerzas exteriores a la suma

Tendremos

Entre paréntesis tenemos una cantidad que es la suma de la energía cinética de las dos partículas que forman el sistema y de la energía potencial que describe la interacción entre las dos partículas. A esta cantidad la denominamos energía U del sistema de partículas.

Wext=Uf-Ui

El trabajo de las fuerzas exteriores es igual a la diferencia entre la energía del sistema de partículas en el estado final y la energía del sistema de partículas en el estado inicial.

Para un sistema de dos partículas, hay una sola interacción de la partícula 1 con la 2 descrita por la fuerza interna  conservativa F12 o por la energía potencial Ep12. La energía del sistema U se escribe

Para un sistema formado por tres partículas hay tres interacciones, de la partícula 1 con la 2, la 1 con la 3 y la 2 con la 3, descritas por las fuerzas internas conservativas F12, F23, F13 o por sus correspondientes energías potenciales. La energía del sistema es

Sistema aislado

Para un sistema aislado, Fext=0, el trabajo Wext de las fuerzas exteriores es cero, la energía U del sistema de partículas se mantiene constante. Para un sistema de dos partículas cuya interacción mutua está descrita por la energía potencial Ep12.

La fuerza exterior Fext es conservativa

El trabajo de la fuerza exterior es igual a la diferencia entre de energía potencial inicial y la final

Wext=Epi-Epf

Tenemos por tanto que Ui+Epi=Uf+Epf=cte

Para un sistema de dos partículas bajo la acción de la fuerza conservativa peso, la conservación de la energía se escribirá

DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

Contenidos

2.1-Sistemas de partículas. Fuerzas exteriores e interiores

2.2-Momento lineal de un sistema y centro de masas

2.3-Teorema de conservación del momento lineal

2.4-Momento angular de un sistema de partículas

2.5-Teorema de conservación del momento angular

2.6-Energía cinética de un sistema de partículas

2.7-Teorema del trabajo y la energía cinética de un sistema

2.8-Energía potencial. Teorema de conservación

Enlaces de interés

Materiales informáticos y audiovisuales

Bibliografía

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2.1 Sistemas de partículas. fuerzas exteriores e interiores

Hemos utilizado, hasta este momento, el modelo de partícula o punto material para el estudio de la dinámica de los cuerpos de dimensiones finitas...¿qué ocurre cuando esta aproximación no es válida?, es decir ¿que pasa cuando haya que considerar las dimensiones del cuerpo en estudio?. Recordemos que la aproximación de p.m. era válida en todos los movimientos de traslación y en aquellos casos en los que la precisión en la localización del cuerpo fuera del orden de las dimensiones de éste aunque no fuere el movimiento de traslación. Evidentemente hemos de idear un nuevo modelo que nos permita abordar con garantía la evolución temporal de los cuerpos en los casos en que la aproximación anterior no sea válida. El siguiente modelo en complejidad es el modelo de sistemas de partículas. Observemos el siguiente recuadro.

Así, el modelo de un sistema discreto de partículas lo utilizaremos cuando consideremos el cuerpo formado por un nº finito de partículas. Dentro de este modelo podemos considerar los sistemas indeformables (la distancia relativa entre las partículas del sistema permanece inalterable en el tiempo) y los deformables, en estos puede cambiar la distancia relativa entre las partículas.

A nivel macroscópico, un cuerpo puede considerarse formado por una distribución continua de materia (llenando todo el espacio que ocupa...-esta consideración no es cierta a nivel microscópico, todos sabemos de la discontinuidad de la materia-), sistemas continuos. En este modelo también consideramos los deformables y los indeformables (sólidos rígidos).

Resulta conveniente en estos modelos clasificar las fuerzas que intervienen (ya que las partículas del sistema no sólo están interaccionando entre sí sino con otras partículas que no pertenecen al sistema en estudio) en fuerzas interiores y en fuerzas exteriores. Fuerzas interiores son las que están aplicadas en las partículas del sistema debidas a otras partículas del mismo sistema y fuerzas exteriores son las que están aplicadas a partículas del sistema debidas a partículas que no pertenecen al sistema. Para fijar ideas fijémonos en la fig. 1

En el primer caso, si consideramos el sistema formado por las partículas A, B y C serán fuerzas interiores: fAB, fBA, fBC y fCB y las exteriores: F, PA, PB, PC, fAS, fBS, y fCS. En el segundo caso las f. interiores son: fAB y fBA siendo las f. exteriores:PA, PB y fAS.

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2.2-Momento lineal de un sistema y centro de masas

Consideremos un sistema discreto formado por n partículas que evoluciona en el tiempo...

Si nos planteásemos el estudio dinámico del sistema, respecto de un referencial inercial, bien podríamos hacerlo aplicando a cada partícula la ecuación fundamental de la dinámica...

Si ahora sumamos miembro a miembro las n ecuaciones obtenemos:

(2.1)

Si el primer término lo denotamos por Fext (representa la suma de las fuerzas exteriores aplicadas al sistema de partículas), el segundo término es cero (representa la suma de todas las fuerzas interiores aplicadas al sistema) y sabiendo que el producto mivi es el momento lineal (pi) de la partícula "i", la expresión anterior queda como sigue:

(2.2)

Si definimos al momento lineal de un sistema de partículas como la suma de los momentos lineales individuales de cada una de las partículas, nos quedará la expresión que sigue para un sistema discreto de partículas...

(2.3) Teorema del momento lineal de un sistema

"las fuerzas exteriores aplicadas a un sistema coinciden con la variación temporal del momento lineal del sistema de partículas. Como podemos observar esta expresión es formalmente análoga a la obtenida para una partícula (F=dp/dt) Siguiendo con esta analogía podríamos definir una partícula en la que estuvieran aplicadas todas las fuerzas exteriores y concentrada toda la masa del sistema. Es el centro de masas (c.d.m.), la ecuación fundamental de la dinámica (teniendo en cuenta que F=Fext y P=MVcdm) para este punto sería:

(2.4)

Donde, como vemos, hemos obtenido la velocidad del c.d.m. en función de las velocidades de cada una de las partículas respecto de un referencial (sistema de referencia) inercial. La posición del c.d.m. (Rcdm) la obtendríamos integrando la velocidad y la aceleración (Acdm) la obtendremos si derivamos con el tiempo dicha velocidad...

(2.5)

El haber definido este nuevo punto nos servirá para estudiar dinamicamente un sistema de partículas...¿queda perfectamente estudiado un sistema si se conoce la dinámica del c.d.m.?. Muchos sistemas, que evolucionan en el tiempo, quedarán estudiados con sólo estudiar la dinámica del c.d.m. (hasta ahora habíamos estado haciendo esto para la traslación de los sólidos) y en aquellos donde esto no ocurra podemos hacer un estudio posterior de la dinámica de las partículas del sistema respecto de un referencial situado en el c.d.m. que por comodidad haremos que sus ejes sean siempre paralelos a los del referencial inercial. Para fijar ideas observemos la figura adjunta.

 

Con la finalidad de simplificar, sin que por ello se pierda rigor, hemos supuesto un sistema discreto formado por dos partículas, siendo r'1 la posición de la partícula 1 respecto del referencial situado en el c.d.m. y r'2 la posición de 2 respecto de dicho referencial. Por otra parte, r1, r2 y Rcdm son las posiciones de 1,2 y c.d.m. respectivamente, respecto del referencial inercial (O). Las relaciones entre ellas son las que siguen:

(2.6)

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2.3-Teorema de conservación del momento lineal

Hemos comprobado anteriormente que las fuerzas interiores no afectan al momento lineal de un sistema (P=MVcdm-coincide con el momento lineal del c.d.m.-), es decir, las fuerzas exteriores son las que causan una variación del momento lineal y si la resultante de aquellas es nula, el momento lineal del sistema se conserva...

(2.7)

Vemos que si un sistema está aislado (Fext=0), la cantidad de movimiento de las partículas individuales puede variar, pero la suma ha de permanecer constante. Si la resultante de las fuerzas exteriores es cero la velocidad del c.d.m. permanece constante.

Hay situaciones en las que no siendo nulas las fuerzas exteriores puede considerarse constante el momento lineal. Tales situaciones se dan en aquellos fenómenos en los que intervienen fuerzas impulsivas (son un tipo de fuerzas interiores de corta duración y de elevado rango, tanto que pueden considerarse, en el intervalo de actuación, nulas el resto de las fuerzas que están actuando y por tanto también las exteriores). Podemos citar como ejemplos de este tipo de fenómenos, las explosiones, los choques...(-Téngase en cuenta que la conservación en estos casos sólo ocurre en el corto intervalo de tiempo en el que intervienen las fuerzas impulsivas-,-léase tiempo de duración de la explosión, choque,...-).

(2.8)

 

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2.4-Momento angular de un sistema de partículas

El momento angular (LO) de un sistema discreto de partículas respecto de un referencial inercial (O) se define como la suma de los momentos angulares individuales de cada partícula respecto del observador O (lio)...

(2.9)

Nos conviene relacionar el momento angular o cinético respecto del referencial inercial (LO) y el momento cinético respecto al referencial situado en el c.d.m. (Lcdm)...

Donde, como vemos, el momento angular respecto a O podemos estudiarlo como suma de dos términos; uno de ellos representa el momento angular del sistema respecto al referencial situado en el c.d.m. y el otro representa el momento angular del c.d.m. respecto del referencial inercial (O), -Rcdm MVcdm-. Así en los sistemas (discretos) indeformables que sólo rotan (Vcdm=0) -*- el momento angular del sistema respecto a O coincide con el momento angular del sistema respecto al referencial sito en el c.d.m.; y si el sistema sólo traslada (v'i=0) -**-

el momento angular del sistema respecto a O coincide con el momento angular del c.d.m. respecto al mismo punto.

Hemos visto que la cantidad de movimiento de un sistema solamente se modifica debido a las fuerzas exteriores. Veamos ahora quién modifica el momento angular o cinético del sistema, para fijar ideas concretamos a uno compuesto por dos partículas.

Si estudiamos la variación de la expresión (2.9) con el tiempo,...

Sabiendo que la velocidad y el momento lineal de una partícula poseen la misma dirección y que por tanto su producto vectorial es cero, nos queda para la expresión anterior:

Hemos hecho uso del teorema del momento lineal para una partícula. El último término de la expresión se ha obtenido haciendo el cambio f21=-f12. Este término es nulo debido a que el producto vectorial de dos vectores con la misma dirección lo es y teniendo en cuenta que el producto vectorial de la posición de una partícula por la fuerza aplicada es la denominación del momento de una fuerza respecto del referencial (O)...

(2.11)

El momento de las fuerzas exteriores de un sistema de partículas respecto a O coincide con la variación temporal del momento angular del sistema respecto al mismo punto .

(2.12)

De la misma forma el momento de las fuerzas exteriores de un sistema respecto del c.d.m. coincide con la variación temporal del momento angular respecto del c.d.m. Hemos de hacer notar la analogía de esta última expresión con la obtenida para el teorema del momento lineal de un sistema de partículas. El papel que juegan las fuerzas exteriores en la dinámica de traslación lo juegan el momento de estas fuerzas en la dinámica de rotación. Así, pues, la dinámica de los sistemas discretos indeformables puede atacarse con las siguientes ecuaciones fundamentales...

(2.13)

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2.5 Teorema de conservación del momento angular

Si el momento de las fuerzas exteriores respecto del c.d.m. es nulo (Mext cdm=0), el momento angular del sistema respecto del c.d.m. permanece constante (Lcdm=cte.).

(2.14)

Ejemplos que pueden estudiarse como ejercicios de aplicación bien pudieran ser el caso de la Tierra y el caso del átomo, en los que el momento de las fuerzas exteriores se hace nulo al ser perpendicular aquélla a la posición.

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2.6- Energía cinética de un sistema de partículas

La energía cinética de un sistema de partículas respecto de un referencial inercial (O) coincide con la suma de las energías cinéticas individuales de cada partícula respecto de O.

(2.15)

Hemos obtenido, también, la expresión que relaciona la energía cinética de un sistema respecto a O con la suma de la energía cinética del sistema respecto del c.d.m. y la energía del c.d.m. respecto a O. Al primer término se le suele llamar energía cinética interna del sistema y al segundo energía cinética de traslación del sistema.

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2.7- Teorema del trabajo y la energía cinética de un sistema

 

Continuando con el sistema discreto de dos partículas es fácil deducir el teorema sin más que aplicar las ecuaciones fundamentales a cada partícula...

El segundo par de ecuaciones la hemos obtenido multiplicando por dr1 y dr2 respectivamente. Asociando términos y haciendo las sustituciones adecuadas (léase f21=-f12 ,dv1/dt=a1 ...) nos queda,

(2.16)

Donde los dos primeros términos representan el trabajo elemental realizado por las fuerzas exteriores el tercer término representa el trabajo elemental realizado por las fuerzas interiores (hágase notar que dr1 -dr2 =dr12 es el desplazamiento elemental de la partícula 1 respecto de la partícula 2 y no necesariamente éste es nulo, a no ser que el sistema fuera indeformable, por otra parte cada pareja de partículas aporta un término de este tipo) y los términos del segundo miembro representan la suma de las energías cinéticas elementales de las partículas individuales. Si integramos la expresión tendremos:

(2.17)

El trabajo realizado por las fuerzas exteriores más el realizado por las interiores coincide con la variación de la energía cinética del sistema de partículas.

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2.8-Energía potencial. Teorema de conservación

Si las fuerzas interiores que realizan trabajo son conservativas, el segundo término del primer miembro puede ponerse como la variación negativa de la energía potencial interna...

(2.18)

El trabajo realizado por las fuerzas exteriores sobre un sistema de partículas es igual a la variación de energía propia del sistema.

¿Qué ocurre si el trabajo realizado por las fuerzas exteriores es nulo?... ocurrirá que se conserva la energía propia del sistema. Los fenómenos que nos servirán de nuevo como ejercicios de aplicación para este teorema serán los choques. Así tenemos, pues, una doble conservación en los choques.

(2.19)

Hay un tipo especial de choques donde, además, se conserva la energía cinética. Estos se denominan perfectamente elásticos. Trabajaremos también con otro tipo de choques, los completamente inelásticos (en éstos no se da la conservación de la energía cinética).

Volviendo a la expresión del teorema del trabajo y la energía propia, podemos hacer ahora que las fuerzas que realicen trabajo sean conservativas, entonces...

A la suma de estos tres términos se denomina energía total del sistema. Así, si además las fuerzas exteriores que realizan trabajo son conservativas, la energía total del sistema se conserva.

Por último, si las fuerzas exteriores que realizan trabajo son conservativas y no conservativas se obtiene el teorema que sigue: