Dinámica de la partícula
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Dinámica de la Dinámica de la partículapartícula
Ivana Devita
Alejandro Brusco
Federico Senattore
2008
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Índice
• Introducción
• Letra del problema
• Fundamento teórico
• Desarrollo de ideas
• Resolución del ejercicio
• Otros casos
• Gráficos
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Introducción
• Estudiaremos el movimiento de un sistema de 2 masas vinculadas por una cuerda. Por lo tanto, el movimiento de cada una, está relacionado con el movimiento de la otra. Resolveremos el ejercicio y luego procederemos a realizar algunos cambios, asignanado diferentes condiciones iniciales con el fin de ampliar el ejercicio. Estos cambios serán en cuánto a las aceleraciones, y la relación entre las masas.
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Bloque de masa M
Plataforma
Cuerda
Hombre parado sobre plataforma
Representación gráfica
Las flechas gruesas indican para dónde se mueve la cuerda en el primer caso
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¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
a) El bloque llega a la polea que cuelga del techo antes
que la plataforma.b) El bloque llega a la polea que cuelga del techo después
que la plataforma.c) El bloque y la plataforma llegan simultáneamente a la
polea que cuelga del techo.d) Sólo el bloque llega a la polea que cuelga del techo ya
que la plataforma permanece en su posición inicial.e) No es posible que el bloque o la plataforma lleguen
hasta la polea que cuelga del techo.”
Problema
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Plataforma
Comenzamos explicando porque tomar el sistema hombre-
plataforma como uno sólo y no por separado, estudiando en él las
fuerzas internas
j
T
HPF
gmH
.
PHF
gmP
.
j) T + FP->H – mH.g = mH.a
- FH->P – mP.g = mP.a
Por acción y reación (3era ley): FP->H = - FH->P
T – g.(mH + mP) = a.(mH + mP)
mH + mP = M Por hipótesis
T – g.M = M.a ---> Sistema hombre - plataforma
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Nos tomamos un sistema de referencia inercial, aplicando la primera ley de Newton, luego desarrollamos el diagrama de cuerpo libre para identificar por
separado las fuerzas existentes sobre cada objeto.
1 2gM.
T
T
gM.
k̂
Aplicando la Ley Horaria llegamos a la conclusión que las velocidades son iguales y por partir desde la misma altura, llegarán a
la polea a la vez.
Solución: Opción C
2da Ley de Newton
amF
21
22
11
aM
TMga
M
TMgaMaTMg
M
TMgaMaTMg
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¿Cómo reaccionaría el sistema en cada uno de estos casos?
• Caso 1: a1 > a2
• Caso 2: a1 < a2
• Caso 3: a1 = 0
• Caso 4: a2 = 0
• Variando las masas
Aplicando una fuerza
externa
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1 2
1111) amgmTM
2222 2) amgmTM
2
0)22(
)(
21
21
1
gaa
aggam
gamT
mmm 21
x1 x2
Para generar estas Para generar estas aceleraciones, es aceleraciones, es necesario ejercer necesario ejercer
una Fuerza (Tensión) una Fuerza (Tensión) externaexterna
k
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)1.2().1.2(..2
2. 2222
22
g
agagaaga
a
2
11.21
Aplicando ley horaria vemos que
v1>v2
M1 llega antes a la polea que M2
)..(
...
..
2
2
1
gamT
gmamT
gmamT
¿Qué tensión necesitamos para que esto ocurra?
Definimos α:21
2
1 .aaa
a
CasoCaso 1: ¿es posible que a1: ¿es posible que a11>a>a2 2 ??
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CasoCaso 2: ¿es posible que a2: ¿es posible que a11<a<a2 2 ??
)1.2().1.2(..2
2. 2222
22
g
agagaaga
a
Aplicando ley horaria vemos que
v1<v2
M2 llega antes a la polea que M1
)..(
...
..
2
2
1
gamT
gmamT
gmamT
¿Qué tensión necesitamos para que esto ocurra?
Definimos β: 12
1 a
a
01 2 a
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CasoCaso 3: a3: a11=0 --> a=0 --> a2 2 =g=g
M1 queda quieto porque su velocidad inicial y aceleración, valen 0. En cambio M2 sube por tener velocidad positiva. Sólo cuando M2 llega a la polea, M1 comienza a subir. Conclusión, M2 llega antes a la polea que M1.
mggmmT
gmamT
.0.
.. 1¿Qué tensión necesitamos para que esto ocurra?
gagaga
a
222
1 02
0
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CasoCaso 4: a4: a22=0 --> a=0 --> a11=(-g/2)=(-g/2)
2.
2.
.. 1mg
gmg
mT
gmamT
¿Qué tensión necesitamos para que esto ocurra?
22
00 112
ga
gaa
Aplicando ley horaria vemos que
v1<0
Entonces M1 y M2 nunca llegan a la polea.
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¿Qué pasa con el sistema si ¿Qué pasa con el sistema si variamos las masas?variamos las masas?
222111
111222
2222222
1111111
22
222
2)
)
aMgMaMgM
aMgMaMgM
aMgMTaMgMTM
aMgMTaMgMTM
Diagrama de cuerpo libre
2
1
M
M
1
22121 2
)2(
M
MaMMga
2
22221 2
)2(
M
MaMMga
2
)21( 21
aga
2
21222
2
11212
2)2(2)2(
M
MaMMga
M
MaMMga
12 2)12( aga
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Gráficosa1 como función de la relación m1/m2
-20
0
20
40
60
80
100
0,1
0,5
0,9
1,3
1,7
2,1
a1 para a2=3
a1 para a2=-3
a1 para a2=9,8
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a1 como función de la relación m1/m2
-20
0
20
40
60
80
100
0,1
0,5
0,9
1,3
1,7
2,1
a1 para a2=3
a1 para a2=-3
a1 para a2=9,8
De ésta gráfica podemos concluir que cuando la a2=g, y gamma=1 (o sea que m1=m2), a1=0. Además, otra curiosidad es que cuánto mayor es gamma (o sea que cuánto mayor es m1 con respecto a m2), la a1 es cada vez menor. Concluimos entonces, que la relación entre m1 y m2, es inversamente proporcional a a1.
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Aquí observamos que el menor valor que toman las 3 funciones es -9,8 (-g) para cuando gamma toma un valor tendiendo a ∞.Conclusión:Cuando m1/m2 tiende a 0, a1 tiende a +∞.Cuando m1/m2 tiende a +∞, a1 tiende a –g.Cuando m1/m2=1 y a2=g, a1=0.
a1 como función de la relación m1/m2
-20
0
20
40
60
80
100
0,1
0,5
0,9
1,3
1,7
2,1
2,5
2,9
3,3
3,7
4,1
4,5
4,9
a1 para a2=3
a1 para a2=-3
a1 para a2=9,8
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a2 como función de la relación m1/m2
-50
0
50
100
150
200
0,1
0,5
0,9
1,3
1,7
2,1
2,5
2,9
3,3
3,7
4,1
4,5
4,9
a2 para a1=9,8
a2 para a1=-3
a2 para a1=3
Según la gráfica, ésta función es uniformemente continua en el intervalo (0,+∞). Cuando gamma tiende a 0, la función (a2) tiende a -g. Y cuando gamma tiende a +∞, la función (a2) tiende a +∞.La función es una recta, esto significa que es a2 es linealmente proporcional a gamma. Entonces se corresponde con una ecuación de 1er grado.
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a2 como función de la relación m1/m2
-5E+300
0
5E+300
1E+301
1,5E+301
2E+301
2,5E+301
3E+301
3,5E+301
4E+301
4,5E+301
1,00E-300 1,00E+300
a2 para a1=9,8
a2 para a1=-3
a2 para a1=3
Al observar la segunda gráfica con únicamente puntos extremos (gamma=1,00x10-300 y gamma=1,00x10300), comprobamos que el codominio de la función es el intervalo [g,+∞).