Dinamica

INFORME Nro 001 - 2013 - UNSCH - EFPIC/Gr.3

Al : Ing. CASTRO PEREZ, Cristian

De : CARDENAS MENDOZA, Kevin Edgard

CISNEROS ARROYO, Jean betener

CCONISLLA CHACMANA , Eber

SANCHEZ PALOMINO, Yonny

Asunto : Examen practico 01

Fecha : Ayacucho, 01/05/2014

Grupo 3 : Dia Miercoles

Ingeniera Civil Levantamiento Topografico

UNSCH i Ing. Civil

Contenido

Pagina

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Contenido

Introduccion

Chapter 1OBJETIVOS

Chapter 2ASPECTO TEORICO

2.1. GRADIENTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2. DIVERGENCIA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3. ROTACIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4. TEOREMA DE GREEN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.5. TEOREMA DE DIVERGENCIA DE GAUSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.6. TEOREMA DE STOKES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Chapter 3EJERCICIOS

3.1. Ejercicio n1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

UNSCH ii Ing. Civil


3.2. Ejercicio n2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3. Ejercicio n3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.4. Ejercicio n4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Chapter 4RECOMENDACIONES

Bibliography

UNSCH iii Ing. Civil

INTRODUCCION

adx

El grupo

Escuela Profesional de Ingeniera Civil

Universidad Nacional de San Cristobal de Huamanga

Ayacucho, 03 de mayo de 2014.

UNSCH 1 Ing. Civil

1 OBJETIVOS1 Encontrar las aplicaciones de analisis vectorial en Dinamica.

2 Encontrar la turbulencia, campo de velocidades, velocidad del fluido.

UNSCH 2 Ing. Civil

2 ASPECTO TEORICO2.1 GRADIENTE

Es un vector que indica en que direccion aumentan, en mayor grado, los valores del campo.

O sea que si te encuentras en un punto del espacio donde el campo tiene un valor cualquiera

x, el gradiente en ese punto te dice la direccion en la cual vas a encontrar valores mas altos.

Ojo, no senala hacia otro punto del espacio donde se encuentra el mayor valor de todos.

Senala la direccion hacia donde mas aumenta, teniendo solo en cuenta los valores que

rodean al punto dado. El modulo del gradiente dice cuanto aumenta en esa direccion. El

gradiente se aplica a campos escalares (no vectoriales) como la distribucion de temperaturas

en un cuerpo, y es siempre perpendicular a las lineas equipotenciales, como las isobaras o

las isotermas.

Figure 2.1: 1

UNSCH 3 Ing. Civil


Sea la funcion (x,y,z) definida y derivable en cada uno de los puntos (x,y,z) deuna cierta region del espacio ( define un campo escalar derivable). El gradiente de ,

representado por o grad, viene dado por

=(

xi+

yj +

zk

)=

(

xi+

yj +

zk

)

Observese que define un campo vectorial. La componente de en la direccion deun vector unitario a es igual a .a y se llama derivada de en la direccion de a, o bien,derivada de segun a.

Definicion

2.2 DIVERGENCIA

Se aplica exclusivamente a campos vectoriales. Es un vector que indica en que direccion

las lineas de campo se encuentran mas separadas entre s, o sea la direccion hacia donde

disminuye la densidad de lineas de campo por unidad de volumen. El modulo de la

divergencia indica cuanto disminuye dicha densidad. La divergencia puede ser alta aunque

el valor del campo sea muy bajo en ese punto. Una divergencia elevada indica que en esa

zona el campo se esta abriendo como los rayos de luz que emergen de una fuente puntual.

Una divergencia nula indica que en esa zona los rayos son paralelos, como las velocidades

de un fluido sin turbulencias dentro de un tubo, aunque el tubo sea curvo y todo el flujo

este rotando uniformemente.

Figure 2.2: 2

(1).png

UNSCH 4 Ing. Civil


Sea V (x,y,z) = V1i+ V2j + V3k una funcion definida y derivable en cada uno de lospuntos (x,y,z) de una cierta region del espacio (V define un campo vectorial derivable).La divergencia de V, representada por .V o divV y viene dad por

.V =(

xi+

yj +

zk

). (V1i+ V2j + V3k)

=V1x

+V2y

+V3z

Observese la analoga con el producto escalar A.B = A1B1 +A2B2 +A3B3. As mismo.V 6= V ..

Definicion

2.3 ROTACIONAL

O rotores un vector que indica cuan curvadas estan las lineas de campo o de fuerza en los

alrededores de un punto. Se aplica exclusivamente a campos vectoriales. Un rotacional igual

a cero en un punto dado, significa que en esa region las lineas de campo son rectas (aunque

no necesariamente paralelas, ya que pueden abrirse simetricamente si existe divergencia

en ese punto) Un rotacional no nulo indica que en los alrededores del punto, las lineas de

campo son arcos, o sea que es una region donde el campo se esta curvando. La direccion

del vector rotacional es perpendicular al plano de curvatura, y su intensidad indica el

grado de curvatura que sufre el campo.

Figure 2.3: 3

UNSCH 5 Ing. Civil


Si V (x,y,z) es un campo vectorial derivable. El rotacional de V , es representado por xVo rotV y viene dado por.

xV =(

xi+

yj +

zk

)x (V1i+ V2j + V3k)

=

i j kx

y

z

V1 V2 V3

=

(V3y V2

z

)i

(V3x V1

z

)j +

(V2x V1

y

)k

Observese que en el desarrollo del determinante, los operadores x ,y ,

z deben preceder

a V1,V2,V3.

Definicion

2.4 TEOREMA DE GREEN

El teorema de Green en el plano es un caso particular del teorema del rotacional de

Stokes. Tambien es interesante observar que el teorema de la divergencia de Gauss es

una generalizacion del teorema de Green en el plano, sustituyendo la region plana R y la

curva cerrada C que la limita, por la region V del espacio y la superficie cerrada cerrada

que la limita S, respectivamente. Po esta razon, el teorema de la divergencia de Gauss

se conoce tambien con el nombre de TeoremadeGreenenelespacio. El teorema de Green

en el plano se verifica asimismo, en el caso de regiones limitadas por un numero finito de

curvas simples cerradas que no se cortan.

UNSCH 6 Ing. Civil


Figure 2.4: 4

Sea R una region cerrada del plano xy limitada por una curva simple y cerrada C, M y N

dos funciones continuas de x e y con derivadas continuas en R; entonces:CMdx+Ndy =

R(N

x M

y)dxdy

Cuando C se recorre en el sentido positivo (contrario al de las agujas del reloj). Mientras

no se adviertan lo contrario supondremos que

significa que la integral se efectua en una

trayectoria cerrada que se recorre en sentido positivo.

Definicion

2.5 TEOREMA DE DIVERGENCIA DE GAUSS

Este importante teorema, lo relacionaremos en los espacios R3 Y R2, respectivamente. EnR3; el teorema relaciona el volumen de una region solida V R3 con la superficie S quelo encierra.

UNSCH 7 Ing. Civil


Figure 2.5: 5

Sean, V el volumen limitado por una superficie cerrado S y A una funcion vectorial de

posicion con derivadas continuas; entonces:V.AdV =

SA.ndS =

SA.dS

Siendo n la normal exterior a S (positiva).

Definicion

2.6 TEOREMA DE STOKES

Este importante teorema, lo enunciaremos para los espacios R3 Y R2, respectivamente:

1 EN R3: El teorema relaciona la integral de linea de un campo vectorial alrededor deuna curva cerrada simple C en R3, con la integral sobre una superficie S sobre lacual C es su frontera.

2 EN R2: El teorema de STOKES es el teorema de Green.

UNSCH 8 Ing. Civil


Figure 2.6: 6

Sean S una superficie abierta de dos caras, C una curva cerrada simple situada sobre la

superficie anterior y A una funcion vectorial con derivadas continuas:CA.dr =

S(xA).ndS =

S(xA)dS

En donde C se recorre en el sentido positivo. El sentido de circulacion de C es positivo

cuando un observador que recorra la periferia de de S en dicho sentido y con su cabeza

apuntando hacia la normal exterior a S, deja la superficie en cuestion a su izquierda.

Definicion

UNSCH 9 Ing. Civil

3 EJERCICIOS3.1 Ejercicio n1

. Problema N 01 Encontrar el campo vectorial de la velocidad adquirida porlas partculas del fluido.

f(x,y,z) = x y2 + y

...

...

UNSCH 10 Ing. Civil


1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%Representacion del campo de velocidades,

%la velocidad adquirida por las particulas

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%f(x,y,z)=x*y^2+y una funcion escalar

clc

%calculo de la gradiente = velocidad

syms x y z, f=x*y^2+y;

grad=jacobian(f)% velocidad= gradiente(V=grad)

pretty(grad)

dh=0.05;

a=1:dh:3;

b=0:dh:2;

[x,y]=meshgrid(a,b);% matriz de coordenada (x y)

Vx=y^2;

Vy=2*x*y+1;

quiver(x,y,Vx,Vy), hold on%dibuja el campo vectorial

axis([1.5,2,1,1.5]);

view(2)%para ver en 2; 3D

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%comprobando la incompresibilidad del flujo

% provando la rotacional del flujo

syms x y z

V=[y^2,2*x*y+1,0]

u=y^2;

v=2*x*y+1;

w=0;

div=simplify(diff(u,x)+diff(v,y));

[div,rot]=operadores(V);

[div]=operadores(V);

div=simplify(div)

Rpt1=como div no es cero;=> el fluido es compresible

Rpt2=como rot es cero;=> el flujo es sin turbulencia

pseudocodigo

NotaRepresenta el flujo de cada una de las partculas del fluido en una misma direccion

Ademas presenta compresibilidad, porque su divergencia es diferente del cero, y a la

ves es un flujo laminar o esta rotando uniformemente.

UNSCH 11 Ing. Civil


3.2 Ejercicio n2

. Problema N 02 Sea el campo f(x,y,z) = x2i+ xyj + 2zk, y S es el cubo delprimer octante limitado por los planos

X = 1,y= 1,z= 1 Halle el flujo de f a traves de S , mediante el teorema de divergenciade Gauss

...

...

UNSCH 12 Ing. Civil


clc

%$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

%calculo del flujo a traves de la superficie s del cubo,

% en el primer octante; mediante el teorema de

% de divergencia de Gauss.

%$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

x=1;% variable para graficar cubo

y=1;%variable para graficar cubo

z=1;%variable para graficar cubo

F=[x^2,x*y,2*z]

plot3(x,y,z), hold on %graficando el cubo

[x,y]=meshgrid(-1:0.6:1);z=-x*y; %enmallado

U=x^2;

V=x*y;

W=2*z;

quiver3(x,y,z,U,V,W), hold on

syms x y z

F=[x^2,x*y,2*z]

[div]=operadores(F);

div=simplify(div)

F=int(int(int(div,x,0,1),y,0,1),z,0,1),el flujo es:F;

V=V=7/2m^3/s, con cierta turbulencia

title(V)

pseudocodigo

NotaDel resultado se concluye que; el fluido resorre la superficie cubica con una velocidad

de 72 m3

s , con turbulencia

xdx

3.3 Ejercicio n3

UNSCH 13 Ing. Civil


. Problema N 03 Un objeto se mueve en el campo de fuerzasF = (y2,2(2x+ 1)y) en sentido contrario a las agujas del reloj, desde el punto (2,0)hasta (-2,0), sobre el camino elptico x2 + 4y2 = 4 y luego vuelve al punto (2,0)moviendose sobre el eje OX. Cual es el trabajo realizado por el campo de fuerzas

sobre el objeto?

...

SOLUCION:

El trabajo W , es:

W =R(N

x M

y)dxdy

W =R(2(2x+ 1)y

x y

2

y)dxdy

1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%Calculo del trabajo realizado por un objeto sobre el

camino elptico x^2+4y^2=4

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%F=y^2+2(x+1)y es el campo vectorial

clc

>> syms x y, %sean las variables

M=y^2 ;

N=2*(2*x+1)*y;

f=diff(N,x)-diff(M,y)%calculando el integrando

%Aplicando el teorema de Green

W=int(int(f,y,0,sqrt((4-x^2)/4)),x,-2,2)

f =2*y

W =8/3

pseudocodigo

GRAFICANDO EL CAMPO VECTORIAL

UNSCH 14 Ing. Civil


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

[x,y]=meshgrid(-2:.5:2)

u=y^2; v=2*(2*x+1)

quiver(u,v), axis square

legend(CAMPO VECTORIAL F)

pseudocodigo

Figure 3.1: ?

Nota

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

3.4 Ejercicio n4

. Problema N 04

Sea la temperatura de un punto en R3 dado por:T (x,y,z) = 3x2 + 3z2. Calcular el flujo de calor a traves de la superficie x2 + z2 = 2,06 y 6 2, si k = 1.

...

UNSCH 15 Ing. Civil


Figure 3.2: ?

SOLUCION:

Se pide calcular:

SF .dS

donde:

F=K.TF=

(Tx ,

Ty ,

Tz

)F = (6x,0,6Z)

APLICANDO EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA DE GAUSS

V.F dV =

SF .ndS

UNSCH 16 Ing. Civil


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

clc

%calculando la divergencia

syms x y z, u=-6*x; v=0 ;w=-6*z;

div=diff(u,x)+diff(v,y)+diff(w,z)

div =

-12

%aplicando el teorema de la divergencia de gauss

syms r t

Flujo=int(int(int(div*r,y,0,2),r,0,sqrt(2)),t,0,2*pi)

Flujo =

-48*pi

pseudocodigo

Nota

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

UNSCH 17 Ing. Civil

4 RECOMENDACIONES* Es favorable ubicar los puntos de la poligonal de apoyo en puntos visibles, los cuales

permitan ubicar un mayor numero de detalles para um mejor trabajo de campo.

* Todo trabajo de campo debe realizarse de manera cuidadosa, para realizar con toda

seguridad un levantamiento libre de equivocaciones.

* Es recomendable realizar la numeracion preliminar de la poligonal comenzando por

la ubicada en el lugar mas apropiado de la manzana.

* Se debe tener en cuenta el mantenimiento y respectivo cuidado de todos los in-

strumentos con las cuales se cuenta hasta ahora, ya que al trascurrir el tiempo se

presentan mas defectuosas y mal calibradas.

UNSCH 18 Ing. Civil

Bibliography

[1] Samuel Mora Quinones TOPOGRAFIA PRACTICA . Ed. M-Co-1990 Lima/Peru

[2] Juan Arias Canales TOPOGRAFIA GENERAL. 1983

[3] Nabor Ballesteros Tena TOPOGRAFIA. Ed. Limusa Mexico-1995

[4] Jorge Mendoza Duenas TOPOGRAFIA TECNICAS MODERNAS. Primera Edicion

2012

[5] ING. LUCIO DURAN CELIS APUNTES DE TOPOGRAFIA Paraninfo. Madrid

1986

[6] URL: www.monografias.com

[7] URL: www.es.wikipedia.org/wiki/Topografa

[8] URL: www.clubdeexploradores.org/bytcurvas.htm

UNSCH 19 Ing. Civil

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