“Dimensionamiento de Redes Dinámicas WDM con … · Septiembre 2011 . ii Resumen . ... 1.3...

UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA

DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA

VALPARAISO – CHILE

“Dimensionamiento de Redes Dinámicas WDM con Contratos Flexibles en Calidad de Servicio”

Tesis de Grado de Magíster y Titulo presentado por:

DIEGO ANDRÉS ACEVEDO GIGLIO

Como requisito parcial para optar al título de

INGENIERO CIVIL TELEMÁTICO

y grado de

MAGÍSTER EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA TELEMÁTICA

PROFESOR GUÍA: DRA. ALEJANDRA BEGHELLI

Septiembre 2011

ii

Resumen

En esta tesis se desarrollan tres líneas de trabajo en el área de redes ópticas

WDM dinámicas: modelos matemáticos para la evaluación de la probabilidad de

bloqueo, dimensionamiento de la red bajo tráfico multi-hora y dimensionamiento de

la red bajo contratos flexibles en calidad de servicio. En los modelos matemáticos se

estudian los modelos y las correcciones a los modelos existentes en la literatura para

redes dinámicas WDM con capacidad de conversión de longitud de onda y ruteo fijo.

En base a este estudio, se generan nuevos métodos para evaluar la probabilidad de

bloqueo de la red, los cuales se comparan con los modelos existentes en la literatura.

En el dimensionamiento de la red bajo tráfico multi-hora se revisan las distintas

formas que existen en la literatura para distribuir los valores de las cargas de tráfico

en las matrices de tráfico. A partir de esta revisión se escogen tres formas de

distribución de valores, comparando su impacto en la cantidad de longitudes de ondas

requeridas al realizar el proceso de dimensionamiento de la red. En el

dimensionamiento de la red bajo contratos flexibles en calidad de servicio se compara

el efecto de utilizar contratos flexibles respecto a utilizar contratos estrictos en

calidad de servicio al dimensionar la red.

Conceptos Claves: Redes dinámicas WDM, contratos de calidad de servicio,

probabilidad de bloqueo, tráfico multi-hora.

iii

Abstract

This thesis focuses on three research lines in the area of dynamic optical

WDM networks: mathematical models for evaluating the network blocking

probability, network dimensioning with multi-hour traffic and dimensioning under

soft service level agreement specifications. In the research line of mathematical

models, the existing models and their corrections for dynamic WDM networks with

wavelength conversion capacity and fixed routing were studied. Based on this study

new methods for evaluating the blocking probability were generated and compared to

existing models. In dimensioning under multi-hour traffic, different methods for

traffic matrix generation were reviewed. From this review three types of distributions

were selected and the number of wavelengths required in the network to guarantee a

given blocking probability was calculated for each of them. Finally, in the research

line of network dimensioning under soft service level agreement specifications, the

effect of using soft constraints was compared to that of hard constraints.

Keywords: dynamic WDM networks, quality of service, probability of

blocking, multi-hour traffic.

iv

Índice

Capítulo 1: Introducción ........................................................................................................... 6

1.1 Trabajos Previos ...................................................................................................... 10

1.2 Propuesta ................................................................................................................ 13

1.3 Estructura de Tesis .................................................................................................. 13

Capítulo 2: Modelos ................................................................................................................ 15

2.1 Arquitectura de Red ................................................................................................ 15

2.2 Modelo de Red ........................................................................................................ 18

2.3 Modelo de tráfico ................................................................................................... 18

2.4 Algoritmos de asignación de rutas y longitudes de onda ....................................... 22

2.4.1 Algoritmo SP-FF (Shortest Path-First Fit) ........................................................ 23

2.4.2 Algoritmo Adaptive Unconstrained Routing-Exhaustive (AUR-E) ................... 25

2.5 Contratos de Calidad de Servicio (QoS) .................................................................. 26

2.6 Resumen ................................................................................................................. 28

Capítulo 3: Modelos Matemáticos .......................................................................................... 29

3.1 Introducción ............................................................................................................ 29

3.2 Modelo de bloqueo de enlaces ............................................................................... 39

3.2.1 Erlang-B ........................................................................................................... 39

3.2.2 Engset .............................................................................................................. 41

3.3 Bloqueo de conexiones: Modelo de independencia de enlaces ............................ 43

3.4 Correcciones al cálculo del bloqueo de conexiones ............................................... 45

3.4.1 Carga Reducida (Reduced Load) ...................................................................... 45

3.4.1.1 Aproximación de Carga Reducida [72] ....................................................... 47

3.4.1.2 Carga Reducida Generalizada (Generalised Reduced Load) ....................... 50

3.4.2 Efecto de Flujos en Línea (Streamline Effect) .................................................. 52

3.5 Resumen ................................................................................................................. 54

Capítulo 4: Propuesta.............................................................................................................. 55

4.1 Modelos Matemáticos ............................................................................................ 56

4.1.1. Engset y Corrección de Carga Reducida ................................................................ 56

v

4.1.2. Engset y Corrección de Carga Reducida con Efecto de Flujos en Línea ................ 59

4.2 Contratos flexibles de calidad de servicio ............................................................... 60

4.3 Resumen ................................................................................................................. 63

Capítulo 5: Resultados Numéricos .......................................................................................... 64

5.1 Modelos Matemáticos para Evaluación de Bloqueo .............................................. 65

5.1.1 Erlang-B vs Engset ........................................................................................... 68

5.1.2 Carga Reducida vs Carga Reducida Generalizada ........................................... 71

5.1.3 Engset vs correcciones vs combinación de correcciones ................................ 76

5.1.4 Modelo empírico ............................................................................................. 80

5.2 Matrices de tráfico lognormales ............................................................................. 86

5.2.1 SP-FF ................................................................................................................ 89

5.2.2 AUR-E .............................................................................................................. 91

5.2.3 SP ..................................................................................................................... 93

5.3 Contratos estrictos y flexibles ................................................................................. 96

5.3.1 SP-FF ................................................................................................................ 97

5.3.2 AUR-E .............................................................................................................. 99

5.3.3 SP ................................................................................................................... 101

5.4 Resumen ............................................................................................................... 103

Capítulo 6: Conclusiones y trabajos futuros ......................................................................... 106

6.1 Conclusiones ......................................................................................................... 106

6.2 Trabajos Futuros ................................................................................................... 110

Referencias ............................................................................................................................ 114

Anexo A ................................................................................................................................. 120

Anexo B ................................................................................................................................. 123

Anexo C ................................................................................................................................. 126

Anexo D ................................................................................................................................. 129

Anexo E ................................................................................................................................. 132

Anexo F ................................................................................................................................. 135

Anexo G ................................................................................................................................. 138

6

Capítulo 1

Introducción

Actualmente, las redes ópticas WDM (Wavelength Division Multiplexing)

son la mejor opción para atender la creciente demanda de ancho de banda en internet.

De hecho, en la actualidad, algunos laboratorios han reportado que con la tecnología

WDM es posible transmitir a una velocidad de 69,1 Tb/s [1].

Estas redes pueden operar de forma estática o de forma dinámica. Bajo

operación estática los recursos necesarios para la transmisión de información entre un

par de nodos se asignan de forma permanente. Para esto, todos los requerimientos de

conexión entre los distintos pares de nodos deben ser conocidos (o estimados) previos

al funcionamiento de la red [2]. Esto permite realizar una asignación óptima de los

recursos. Sin embargo, la asignación permanente de los recursos a pares de nodos que

Introducción

7

no transmiten información todo el tiempo (condición común en las redes actuales) no

es eficiente. Este problema se puede resolver con otro tipo de operación de red: la

dinámica. En las redes dinámicas, los recursos sólo se asignan cuando se solicita

establecer una conexión, lo cual permite reutilizar los canales de comunicación:

cuando un par de nodos no está transmitiendo información, otro par de nodos puede

re-utilizar los canales de comunicación para efectuar su transmisión de datos. De esta

manera, se requerirían menos recursos de red que en el caso estático. Sin embargo,

existe la posibilidad de que, al haber menos recursos y ser asignados éstos bajo

demanda, algunas conexiones no puedan establecerse debido a falta de recursos

disponibles. Tal hecho se conoce como la probabilidad de bloqueo de una solicitud de

conexión.

Un problema importante que se debe resolver en las redes dinámicas es

determinar la mínima capacidad de la red que permita asegurar que el bloqueo

máximo de las solicitudes de conexión no exceda un determinado umbral. Este

problema se conoce como dimensionamiento de la red. Existen diversos trabajos que

resuelven el problema de dimensionamiento en redes dinámicas, por ejemplo [3-8].

Sin embargo, tales trabajos suponen que el tráfico en la red no varía en el tiempo. El

análisis de matrices de tráfico reales indica que esta suposición no es correcta, ya que

el tráfico muestra variaciones significativas durante el día [9-11].

En el área de redes ópticas existen pocos trabajos que consideren la variación

diaria del tráfico (fenómeno también conocido como tráfico variante en el tiempo o

Introducción

8

tráfico multi-hora). En [12] se dimensiona una red considerando tráfico multi-hora y

se reporta que el período con la mayor carga de tráfico determina el

dimensionamiento de la red. Esto ocurre aún cuando este período sea una fracción

muy pequeña del tiempo de operación de la red, lo cual lleva a un

sobredimensionamiento de recursos. Una razón para este sobredimensionamiento

consiste en considerar contratos estrictos para la calidad de servicio. Es decir, se

exige que la probabilidad de bloqueo de las conexiones sea menor que un cierto valor

en todo momento. Sin embargo, si se relaja esta restricción dentro de márgenes

aceptables para los usuarios, se podría mitigar el impacto de la carga más alta en el

dimensionamiento. Por ejemplo, se puede diseñar la red de modo que la probabilidad

de bloqueo media de las conexiones sea menor a un cierto valor. Esta relajación

(conocida como contratos flexibles [13] en el área de servicios web) no ha sido

estudiada en el área de redes WDM.

En lo que respecta a los métodos disponibles para dimensionar una red, puede

utilizar un modelo matemático o simulación.

Una de las ventajas de contar con un método matemático es que acelera

significativamente el proceso de dimensionamiento de la red (respecto de utilizar

simulación). Algunos métodos matemáticos útiles para dimensionar redes dinámicas

WDM con conversión de longitud de onda y ruteo fijo [14] son el modelo de pérdidas

de Erlang-B y el de Engset [15], y las aproximaciones de Reduced Load [16] y

Streamline Effect [17]. Los dos primeros se utilizan para dimensionar un enlace de la

Introducción

9

red, de manera independiente del comportamiento de otros enlaces en la misma. Los

dos segundos se utilizan cuando se quiere modelar el hecho de que el bloqueo en un

enlace de la red afecta el bloqueo experimentado por otros enlaces. Debido a la

complejidad de esta situación de interdependencia entre enlaces, los métodos

propuestos son siempre aproximaciones.

En la literatura, la aproximación de Reduced Load se ha utilizado en conjunto

con el modelo de pérdidas de Erlang-B; mientras que la aproximación Streamline

Effect se ha utilizado con el modelo de Erlang-B y el de Engset. Sin embargo, el

cruce Engset con Reduced Load no ha sido estudiado en la literatura, como tampoco

ha sido estudiado el combinar varias aproximaciones, lo cual podría generar

resultados más precisos que los obtenidos por los modelos existentes.

Cuando no existe un método matemático que permita evaluar la capacidad de

la red con algún nivel de precisión aceptable, el dimensionamiento de la misma debe

hacerse por simulación. En este caso el proceso es tedioso y demanda mucho tiempo,

ya que se basa en prueba y error. A pesar de ello, existen trabajos previos que han

utilizado técnicas de simulación para realizar el dimensionamiento de redes

dinámicas WDM cuando no existen métodos matemáticos apropiados [12, 18]. En

esta tesis el método de simulación se empleará para el dimensionamiento de redes con

contratos flexibles en aquellos casos en que no se cuente con un método matemático

lo suficientemente preciso.

Introducción

10

1.1 Trabajos Previos

Los contratos flexibles de calidad de servicio en redes dinámicas WDM es un

área inexplorada hasta ahora. En el área de servicios Web, el concepto de contratos

flexibles es introducido por primera vez el año 2008 [13], en donde muestra cómo

generar y monitorear un contrato flexible para el caso particular de los tiempos de

respuesta de un servidor web. Posteriormente, en [19], el mismo autor extiende su

trabajo para parámetros generales de calidad de servicio.

En el caso de redes dinámicas WDM sometidas a tráfico multi-hora, el uso de

contratos flexible podría generar ahorros en términos de capacidad requerida. Sin

embargo, en el área de redes WDM esto aún no ha sido estudiado. Los trabajos con

tráfico multi-hora se han restringido al modelado de matrices de tráfico, el diseño de

topologías virtuales y el dimensionado con contratos estricto. En [10] se muestra las

variaciones de tráfico en el tiempo a partir de trazas reales de tráfico y se explica la

forma de generar matrices de tráfico de forma artificial en base a una distribución

lognormal. En [20] se resuelve el problema de encontrar una topología virtual estática

para tráfico multi-hora, por medio de MILP, considerando distintas formas de flujo y

ruteo de flujos. Además, se utiliza el concepto de dominación de matrices [21] para

reducir el número de matrices de tráfico consideradas reduciendo la complejidad del

problema. Posteriormente, en [22], el autor extiende el trabajo obteniendo límites

superiores e inferiores de tráfico por medio del concepto de dominación, reduciendo

aun más la complejidad del problema. Por otro lado, en [12], se realiza un estudio de

Introducción

11

dimensionamiento bajo tráfico multi-hora por medio de simulación y utilizando

contratos estrictos, mostrando que el período con la carga de tráfico más alta domina

el dimensionamiento de la red, aún cuando el período corresponda a una fracción de

tiempo muy pequeña.

Si bien la simulación utilizada en [12] es totalmente válida, es un método que

demanda mucho tiempo, ya que se basa en prueba y error. Una alternativa al

dimensionamiento por simulación es por medio de un modelo matemático que

relacione la probabilidad de bloqueo y la capacidad de la red. En el contexto de redes

dinámicas WDM con conversión de longitud de onda y ruteo fijo, un primer modelo

es presentado por [23], donde se evalúa la probabilidad de bloqueo de una longitud

de onda. Otro modelo es el utilizado por [24-26], donde se evalúa la probabilidad de

bloqueo de un enlace, considerando el modelo de pérdidas de Erlang-B [15] y la

aproximación de carga reducida (Reduced Load). La aproximación de carga reducida

realiza una corrección a la carga de tráfico que pasa por cada enlace. Para ello, se

analiza cada ruta en la red, y en cada enlace de una ruta se disminuye la carga de

tráfico que por ella pasa, por un factor dependiente de la probabilidad de bloqueo de

los demás enlaces de la misma ruta. En [27] se refina la aproximación de de carga

reducida, considerando además el estado del enlace al que se le está reduciendo la

carga de tráfico.

Un modelo distinto al de Erlang-B, utilizado en [28], es el modelo Engset

[15]. Se diferencia respecto al modelo de Erlang-B en el tamaño de la población.

Introducción

12

Mientras que en el modelo de Erlang-B se supone una población muy grande

(infinita) de usuarios respecto a los recursos, en el modelo de Engset se supone una

población finita. Otros trabajos que consideran el modelo de Engset en redes ópticas

son [29] en OCBS (Optical Composite Burst Switching), [30] en OBS (Optical Burst

Switching) y [31] en OPS (Optical Packet Switching).

Posteriormente, en [17], se utiliza el modelo Engset y se presenta una

aproximación distinta a la de carga reducida, llamada efecto de flujos en línea

(Streamline Effect). El efecto de flujos en línea es una aproximación relativamente

nueva en el área de redes WDM, siendo utilizada previamente por [32] y [33] para

redes OBS. Esta aproximación consiste en una corrección a la probabilidad de

bloqueo de los enlaces en un valor dependiente de la contención ocurrida en el enlace

previo al que se está corrigiendo.

Finalmente, aunque en el contexto de ruteo alternado, en [34], se realiza una

comparación entre las aproximaciones de carga reducida (sin la refinación propuesta

en [27]) y el efecto de flujos en línea. Los resultados muestran que el efecto de flujos

en línea aproxima de mejor manera la probabilidad de bloqueo de la red que la

aproximación de carga reducida.

Introducción

13

1.2 Propuesta

Existen tres líneas de desarrollo en este trabajo. En primer lugar, se propone

utilizar el modelo de pérdidas Engset en conjunto con la aproximación de carga

reducida, como también el combinar las aproximaciones de carga reducida con el de

efectos de flujos en línea para el caso de redes dinámicas WDM con conversión de

longitud de onda y ruteo fijo. Con estas combinaciones se espera generar un modelo

más preciso que los existentes. En segundo lugar, se estudiará el impacto de utilizar

matrices de tráfico más realistas en el dimensionamiento de la red, comparando la

capacidad requerida con el caso de matrices uniforme y quasi-uniformes. Los

resultados serán obtenidos mediante el uso de modelos matemáticos y simulación. En

tercer lugar, se estudiará el efecto de considerar contratos flexibles de calidad de

servicio, los cuales podrían mitigar el impacto de la carga de tráfico más alta

reportado en [12].

1.3 Estructura de Tesis

En el capítulo 2 se presenta el modo de funcionamiento de las redes dinámicas

WDM, mostrando la arquitectura de una red del tipo fin a fin, los modelos de tráficos,

los algoritmos de ruteo y los tipos de contratos de calidad de servicio. En el capítulo

3, se expondrá el estado del arte de los modelos matemáticos para redes con ruteo

fijo, profundizando en los modelos con conversión de longitud de onda. El capítulo 4

desarrolla la propuesta de tesis, mostrando dos combinaciones de modelos

matemáticos y el contrato flexible a utilizar, mientras que el capítulo 5 muestra los

Introducción

14

resultados obtenidos para cada línea de trabajo: en los modelos matemáticos se

comparan los distintos modelos de la literatura y los presentados en la propuesta; en

el uso de matrices de tráfico más realistas, se compara el dimensionamiento de la red

al utilizar matrices de tráfico uniformes, quasi-uniformes y lognormales para distintos

algoritmos de ruteo; en los contratos de calidad de servicio, se compara el

dimensionamiento de la red al utilizar contratos estrictos y flexibles. Finalmente, el

capítulo 6 presenta las conclusiones y las posibles extensiones del trabajo realizado.

15

Capítulo 2

Modelos

En este capítulo se describe la arquitectura de red, el modelo de tráfico, los

algoritmos de ruteo y los tipos de contratos que se usarán en esta tesis.

2.1 Arquitectura de Red

La arquitectura de red estudiada en esta tesis corresponde a una red dinámica

WDM con reservación de recursos fin a fin [35-37], ilustrada en la Figura 2.1. Este

tipo de red se compone de varios nodos conectados por enlaces de fibra óptica. Cada

nodo se compone de un enrutador (router) electrónico conectado de forma local a un

conmutador (switch) óptico. El conjunto de enrutadores electrónicos conforma la capa

electrónica mientras que el conjunto de conmutadores y enlaces ópticos conforman la

capa óptica.

Modelos

16

Figura 2.1: Esquemático de una red dinámica WDM con reservación de recursos fin a fin.

El proceso de transmisión de datos entre un nodo fuente y un nodo destino

comienza con la llegada de paquetes electrónicos a la capa electrónica (sección

superior izquierda de la Figura 2.1, denotada como “arribo paquetes”). Cada paquete

que llega a un enrutador es clasificado por éste de acuerdo al destino y se almacena

en el buffer correspondiente. Una vez que se han acumulado suficientes paquetes para

un mismo destino, el nodo fuente genera una solicitud de recursos (un lightpath1).

Ante la solicitud de un lightpath, se deben reservar los recursos necesarios en la capa

óptica. En una arquitectura con control centralizado [57] la reservación de recursos se

realiza mediante el envío de un paquete de control que viaja a través de la capa óptica

1 Lightpath: Se denomina a la conexión que se realiza a nivel de capa óptica entre un nodo fuente y

un nodo destino. Está definido por una ruta y una longitud de onda en dicha ruta.

Modelos

17

hacia el nodo central. El nodo central mantiene la información actualizada del estado

de la red, y es el encargado de buscar recursos disponibles para atender las solicitudes

de lightpath. Al recibir el paquete de control en la capa electrónica, el nodo central

determinará una ruta y una longitud de onda para la solicitud de conexión. Si no

existe ruta que posea suficientes recursos, se enviará un paquete de regreso al nodo

origen indicándole que no es posible establecer la conexión. Por otro lado, si existen

suficientes recursos en la red, el nodo central enviará un paquete de acknowledgement

(paquete ACK) de vuelta al nodo fuente, indicándole la ruta y longitud de onda

asignada para la transmisión de datos. Una vez recibido el paquete ACK por el nodo

fuente, se inicia la transmisión. Cuando la transmisión finaliza, los recursos utilizados

se liberan.

Existen también arquitecturas con control distribuido [42-45] (donde cada

nodo posee información parcial o total del estado de la red). Estas arquitecturas tienen

mayor tolerancia a fallas y permiten un mayor tamaño de la red respecto a las de

control centralizado, pero introducen mayor complejidad en los protocolos de

comunicación, un mayor retardo en establecer las conexiones y aumentan levemente

la probabilidad de bloqueo de las solicitudes de conexión. Por ello, no serán

consideradas en este trabajo.

Una característica importante en el desempeño de la red es la capacidad de

conversión de longitudes de onda. Si los nodos de la red no están equipados con la

capacidad de conversión de longitud de onda, entonces una conexión debe usar la

Modelos

18

misma longitud de onda (el mismo canal) en todos los enlaces de la ruta asignada. En

cambio, si la red cuenta con la capacidad de conversión de longitudes de onda, una

conexión puede usar distintas longitudes de onda en los enlaces de la ruta. Se ha

demostrado que las redes equipadas con conversión de longitud de onda se

desempeñan mejor en términos de probabilidad de bloqueo [58-60]. Sin embargo, la

tecnología de conversión de longitud de onda óptica no está completamente madura

aún [61]. En esta tesis se estudian ambos tipos de red.

2.2 Modelo de Red

La red se representa por un grafo , donde es el número de nodos

y es el conjunto de enlaces ópticos unidireccionales. Entre cada par de nodos

existen dos enlaces unidireccionales, uno en cada dirección. La cardinalidad de los

conjuntos y se denota por y respectivamente. La capacidad del enlace

, en número de longitudes de onda, se denota por .

2.3 Modelo de tráfico

En este trabajo, el tráfico multi-hora es modelado como en [12, 20]. Esto es, el

tiempo de operación de la red es divido en intervalos. La duración del -ésimo

intervalo es igual a unidades de tiempo. Cada intervalo tiene una matriz de tráfico

asociada, como se muestra en la Figura 2.2. Sea el conjunto de

matrices de tráfico que caracteriza la evolución de la demanda de tráfico durante el

tiempo de observación.

Modelos

19

Figura 2.2: Tráfico multi-hora.

La matriz es la matriz de tráfico correspondiente al intervalo . El

elemento corresponde a la carga de tráfico ofrecida a la red por el par

fuente-destino , denotado por . En esta tesis se supone que el tráfico

generado por un nodo fuente hacia un determinado nodo destino sigue el modelo ON-

OFF [38].

En el modelo ON-OFF, el nodo fuente alterna sucesivamente su estado entre

transmitir datos (estado ON) y no transmitir (estado OFF). Cuando el nodo transmite

datos, lo hace a la máxima velocidad permitida por una longitud de onda. El tiempo

medio que el nodo fuente permanece en estado ON transmitiendo datos al nodo

destino durante el -ésimo intervalo es . Análogamente, el tiempo medio

que permanece en estado OFF es . Entonces,

queda determinado por:

Modelos

20

Existen diversas formas de modelar la distribución de los valores de

en

una matriz . La distribución uniforme es la más utilizada a la fecha [46-49] y

consiste en asignar el mismo valor a todas las cargas de tráfico. Es decir,

. Si bien esta forma de asignación de valores es la más sencilla, no es

realista. Diversos estudios han mostrado que no todos los nodos de la red ofrecen la

misma carga de tráfico al mismo tiempo [9-11, 50-53]. Un modelo un poco más

realista es la distribución quasi-uniforme, utilizada en [12]. Este modelo asigna a cada

par una carga de tráfico que se distribuye uniformemente en el rango

, donde corresponde a algún valor medio de la carga de tráfico

ofrecida durante el intervalo k-ésimo. Sin embargo, esta aproximación sigue estando

distante de la realidad ya que, como se muestra en [10], los valores de las carga de

tráfico poseen mayores variaciones que los obtenidos por la distribución quasi-

uniforme. La distribución log-normal, sugerida por [10] en base a su estudio de trazas

de tráfico reales, genera una distribución de los valores de que parece ser más

realista que las anteriores. En este caso, los valores de la matriz se distribuyen según

una variable aleatoria log-normal de parámetros , determinados por:

Modelos

21

Donde y son el valor medio y la varianza de los valores de las cargas de

tráfico de la matriz , respectivamente.

En [49] se utiliza la distribución normal y la distribución bimodal para generar

los valores de una matriz de tráfico. En [56, 82] se utiliza el método Hot-Spot, el cual

asigna un alto porcentaje del tráfico total de la red a un pequeño porcentaje de los

nodos de la red de manera uniforme (los cuales forman el hot spot de la red); el

porcentaje restante de tráfico es asignado al porcentaje restante de nodos de forma

uniforme. Finalmente, el modelo gravitacional [50, 54, 55], el cual utiliza la misma

estructura de fórmula que la ley gravitacional de Newton (de ahí su nombre), calcula

los valores de carga de tráfico de la matriz en base a los volúmenes de tráficos

entrantes y salientes de cada nodo. En [11], se presenta una restricción para la

aplicación del modelo gravitacional, el cual requiere que el tráfico total entrante a la

red sea igual al tráfico total saliente de la red en cada periodo de tiempo. Esto

dificulta la generación de valores.

De todos estos métodos de generación de matrices de tráfico, en esta tesis se

considerarán tres: Uniforme, quasi-uniforme y log-normal. El primero se incluye por

su popularidad en la literatura. El segundo porque es el modelo de tráfico utilizado en

el único trabajo previo a la fecha en el tema de dimensionamiento de redes dinámicas

WDM con tráfico multi-hora [12]. El último se incluye porque, según el estudio

Modelos

22

comparativo realizado en [10], la distribución lognormal se ajusta de mejor forma a

los datos reales.

En la Figura 2.3 se ilustran de manera genérica los 3 tipos de distribuciones

mencionados para un determinado intervalo de tiempo k. El eje vertical en los

gráficos representa el valor de la carga de tráfico. Los ejes horizontales representan a

los distintos pares fuente-destino. Por lo tanto, un punto (s, d, ) en cualquiera de los

gráficos de la Figura 2.3 representa el valor de la carga de tráfico (coordenada

z) ofrecida a la red por el nodo fuente s (coordenada x) al transmitir datos al nodo

destino d (coordenada y) durante el intervalo k. La fisura diagonal que aparece en las

3 figuras, pero que se aprecia mejor en la figura izquierda, corresponde a los valores

de cuando . En este caso,

.

Figura 2.3: Esquemáticos de distribuciones de matrices de tráfico: a) Distribución Uniforme, b) Distribución Quasi-Uniforme, c) Distribución Lognormal.

2.4 Algoritmos de asignación de rutas y longitudes de onda

La solicitud de un lightpath activa la búsqueda de una ruta y una longitud de

onda disponible en dicha ruta. Para realizar esta búsqueda, existen diversas estrategias

Modelos

23

que varían en nivel de complejidad computacional y en eficiencia respecto a la

probabilidad de bloqueo. En el caso de redes con conversión de longitud de onda, el

problema se reduce simplemente a buscar una ruta con alguna longitud de onda

disponible en cada enlace (no necesariamente la misma). A continuación se presentan

los algoritmos de ruteamiento y de asignación de longitud de onda que serán usados

en capítulos posteriores.

2.4.1 Algoritmo SP-FF (Shortest Path-First Fit)

Este algoritmo desagrega el problema en dos etapas: ruteo primero y búsqueda

de una longitud de onda disponible después. Para el algoritmo de ruteo se utiliza el

algoritmo del camino más corto (SP, por sus siglas en inglés). Para la asignación de

longitud de onda, el algoritmo First-Fit.

El algoritmo SP pertenece a los algoritmos de ruteo fijo [14]. De los

algoritmos de ruteo propuestos a la fecha, es el que posee menor complejidad

computacional (es decir, el más rápido en ejecutarse), pero que exhibe el peor

desempeño en términos de probabilidad de bloqueo [40].

El algoritmo SP funciona de la siguiente manera. Previo al funcionamiento de

la red, se calculan las rutas más cortas para cada par de nodos fuente-destino. Estas

rutas son almacenadas en tablas en los routers electrónicos de la red. De esta manera,

cada router tiene información acerca de la ruta más corta que lo conecta a cualquier

otro nodo destino de la red. Cuando se busca una ruta entre un par (s,d), el tiempo de

Modelos

24

ejecución del algoritmo está determinado por el tiempo de búsqueda de la ruta

correspondiente en la memoria del nodo, es decir, O(1). Por otro lado, ya que la única

ruta que puede establecerse es la que está pre-calculada, si ante una solicitud de

conexión la ruta no posee suficientes recursos, la solicitud será rechazada aunque

existan otras rutas con capacidad suficiente para atenderla. Esto provoca un bajo

desempeño del algoritmo en términos de probabilidad de bloqueo.

Cuando la red no posee conversión de longitud de onda, este algoritmo de

ruteo debe ser acompañado por un algoritmo de asignación de longitudes de onda.

Existen diversas estrategias de asignación de longitudes de onda [14], que se

diferencian entre las que requieren información del estado de la red y las que no lo

requieren. De las estrategias que no requieren información del estado de la red, la que

muestra mejor desempeño en término de probabilidad de bloqueo es el algoritmo

First-Fit (FF).

El algoritmo First-Fit mantiene una lista ordenada de las longitudes de onda

existentes en la red. Cuando se procesa una solicitud de conexión, luego de

determinar la ruta que debe ser utilizada, se recorre la lista de manera ordenada. Al

recorrer la lista, la primera longitud de onda que esté disponible en todos los enlaces

de la ruta es escogida y asignada.

Modelos

25

Cuando la estrategia de Shortest Path (SP) para ruteo se utiliza en conjunto

con la de First-Fit (FF) para asignación de longitud de onda, el algoritmo se

denomina SP-FF.

2.4.2 Algoritmo Adaptive Unconstrained Routing-Exhaustive (AUR-E)

Este algoritmo pertenece a la clase de ruteo adaptivo [14] y posee el mejor

desempeño en términos de probabilidad de bloqueo a la fecha. Sin embargo, también

es el que posee mayor complejidad computacional y, por ello, es el más lento [41].

El algoritmo representa la red por varios grafos [39]: uno por cada longitud de

onda en la red. Cada grafo tiene los mismos nodos del grafo que representa a la red

original, pero los enlaces presentes en los distintos grafos son diferentes y varían con

el tiempo: el grafo correspondiente a la longitud de onda i-ésima tiene los mismos

enlaces de la red original, excepto aquellos donde la longitud de onda i-ésima se

encuentran utilizada por alguna conexión. Cuando se procesa una solicitud de

conexión, se ejecuta el algoritmo de Dijkstra en los diferentes grafos. De todas las

rutas generadas (una por grafo), se escoge la ruta de menor costo. Implícitamente, al

escoger la ruta de un grafo se está escogiendo la longitud de onda a usar. Los enlaces

de esta ruta se eliminan del grafo correspondiente y sólo se reinsertan cuando la

conexión termina.

Modelos

26

2.5 Contratos de Calidad de Servicio (QoS)

Al dimensionar una red, uno de los requerimientos que el operador debe

cumplir es el contrato de calidad de servicio acordado con el cliente. Este contrato

define los valores que deben tener determinados parámetros que miden la calidad del

servicio ofrecido. Por ejemplo, se puede exigir que el tiempo para establecer una

conexión no exceda un determinado valor, o que la probabilidad de bloqueo al

intentar transmitir información no exceda un umbral preestablecido.

En el área de servicios Web [13], se pueden encontrar dos tipos de contratos,

los cuales se diferencian en las exigencias impuestas sobre los parámetros de servicio:

el contrato estricto de calidad de servicio y el contrato flexible de calidad de servicio.

Un contrato estricto impone restricciones que deben ser cumplidas en todo

momento. Por ejemplo, una exigencia estricta sobre la probabilidad de bloqueo es que

ésta no puede superar un valor límite en ningún instante durante la operación de la

red. Como resultado de esta exigencia, es posible que gran parte del tiempo de

operación de la red ésta se encuentre sobredimensionada. Esto ocurre si la carga de

tráfico ofrecida a la red varía en el tiempo y alcanza un valor mucho más alto que el

promedio durante un pequeño intervalo de tiempo. Para cumplir el contrato de calidad

de servicio, el dimensionamiento de la red quedaría dominado por los momentos en

que exista mayor carga de tráfico. Durante el resto del tiempo se tendrá una capacidad

Modelos

27

ociosa destinada sólo a los momentos en que el tráfico aumente. Un ejemplo de esta

situación se encuentra en [12].

En cambio, el contrato flexible de calidad de servicio permite una holgura a

las restricciones impuestas. Por ejemplo, una exigencia flexible sobre la probabilidad

de bloqueo puede ser que ésta no supere un valor límite durante el 95% del tiempo

que opere la red. Esta holgura permite tolerar pequeños momentos en los cuales el

tráfico en la red aumente, evitando el sobredimensionamiento causado en el caso del

contrato estricto. En la Figura 2.4 se ilustra el potencial beneficio de operar con

contratos flexibles. En la imagen superior, los enlaces de la conexión poseen

capacidad W y con esta capacidad, el límite de probabilidad de bloqueo permitido se

supera durante una fracción del tiempo de operación. La imagen inferior izquierda

posee capacidad W+1, lo que permite disminuir la probabilidad de bloqueo pero

sobredimensiona los recursos para los periodos que cumplían con el límite

inicialmente. La imagen inferior derecha la capacidad es W, pero se aplica un

contrato flexible con lo cual no se requiere aumentar la capacidad.

Modelos

28

Figura 2.4: (a) Red con capacidad W y violación a contrato estricto, (b) red con capacidad W+1 y cumplimiento de contrato estricto (c) red con capacidad W y cumplimiento de contrato flexible.

2.6 Resumen

En este capítulo se describió el funcionamiento de una red dinámica WDM del

tipo fin a fin, introduciendo la notación que será utilizada en los capítulos siguientes.

Además se presentó el modelo de tráfico que se utilizará en este trabajo, como

también las distintas formas de distribución que pueden tener los valores de carga de

tráfico en una matriz. Por otro lado, se describieron dos algoritmos de ruteo y

asignación de longitudes de onda, los cuales son necesarios para determinar los

recursos que se asignan a las solicitudes de conexión. Finalmente, se introdujo el

concepto de calidad de servicio y las características de contratos estrictos y flexibles

de calidad de servicio, conceptos necesarios para formular, posteriormente, la

propuesta de tesis.

29

Capítulo 3

Modelos Matemáticos

En este capítulo se hace una revisión de la literatura en el tema de modelos

matemáticos para el cálculo de la probabilidad de bloqueo de las redes dinámicas

WDM con ruteo fijo, profundizando en los modelos para redes con capacidad de

conversión de longitud de onda. Estos modelos servirán de base para generar un

nuevo modelo matemático y resolver de manera analítica el problema del

dimensionamiento de redes WDM dinámicas bajo tráfico multi-hora (capítulo

siguiente) en los casos que dichos modelos sean aplicables.

3.1 Introducción

Respecto de la técnica de simulación, un modelo matemático permite evaluar

rápidamente la probabilidad de bloqueo de las conexiones. Esta rapidez es


30

particularmente relevante cuando se realiza el dimensionamiento de una red, que es

un proceso repetitivo de modificación de capacidad y evaluación de probabilidad de

bloqueo. Además, un modelo matemático tiene la ventaja de entregar expresiones

explícitas que pueden ser utilizadas para plantear problemas de optimización.

En la literatura especializada se han propuesto diversos modelos matemáticos

de evaluación de la probabilidad de bloqueo de redes ópticas. Estos se pueden

catalogar en base a las características de la red (si tiene o no capacidad de conversión

de longitud de onda) y el tipo de algoritmo de asignación de recursos (rutas y

longitudes de onda) empleado. La Figura 3.1 muestra una clasificación de los

distintos métodos existentes en el área, considerando redes con capacidad de

conversión de longitud de onda y ruteo fijo.

Figura 3.1: Modelos de probabilidad de bloqueo para redes con conversión de longitud de onda y ruteo fijo.


31

El esquema de clasificación de la Figura 3.1 muestra que la probabilidad de

bloqueo de una conexión se puede calcular por medio de dos modelos propuestos

hasta ahora: el modelo de independencia de enlaces o el método de Busy Wavelength.

El modelo de independencia de enlaces supone que los enlaces bloquean las

solicitudes de conexión de manera independiente. En base a esta suposición, para

obtener la probabilidad de bloqueo de una conexión se calcula la probabilidad de

bloqueo de cada enlace de la ruta de la conexión por separado. A su vez, la

probabilidad de bloqueo de los enlaces se puede calcular por medio de los modelos de

pérdida de Erlang-B y de Engset. Una explicación detallada de estos modelos de

pérdida en un contexto general se encuentra en [15]. El modelo de independencia de

enlaces ha sido ampliamente utilizado en la literatura dedicada al análisis de redes

ópticas [17, 24, 25, 27, 28].

El método de Busy Wavelength fue propuesto en [23] y consiste en calcular la

probabilidad de que una longitud de onda esté siendo usada en un enlace. Con la

probabilidad de uso de una longitud de onda en un enlace, se calcula la probabilidad

de bloqueo del enlace. Entonces se aplica el método de independencia de enlaces para

calcular la probabilidad de bloqueo de las conexiones.

Si bien el método de Busy Wavelength se podría clasificar como una forma

más para calcular la probabilidad de bloqueo de un enlace en el modelo de

independencia de enlaces, se prefiere clasificar en una categoría distinta debido a que


32

también se puede utilizar en el caso de redes con ruteo fijo y sin conversión de

longitud de onda. Al no existir conversión de longitud de onda, el modelo de

independencia de enlaces no se puede aplicar debido a que las longitudes de onda

están relacionadas a lo largo de una ruta y, por lo tanto, los bloqueos que ocurran en

un enlace afectarán fuertemente a los otros enlaces de una misma ruta. En cambio, el

método de Busy Wavelength se puede aplicar modificando la forma de calcular la

probabilidad de bloqueo de las conexiones, pero manteniendo el principio de usar la

probabilidad de uso de una longitud de onda en un enlace.

En general, las expresiones para calcular la probabilidad de bloqueo de las

conexiones en una red con conversión de longitud de onda no se pueden aplicar en

una red sin conversión de longitud de onda. Por lo tanto, para este último caso existe

otro conjunto de métodos, los que se clasifican según se muestra en la Figura 3.2. En

la Figura se clasifican sólo los métodos aplicables al caso de ruteo fijo.

Figura 3.2: Modelos de probabilidad de bloqueo para redes sin conversión de longitud de onda y ruteo fijo.


33

En la Figura 3.2, a diferencia del caso con conversión de longitud de onda, se

requiere definir el algoritmo de asignación de longitudes de onda que se utilizará

debido a que distintas políticas de asignación de longitudes de onda requerirán

análisis distintos. La clasificación realizada muestra los casos de asignación de

longitud de onda usando los algoritmos First-Fit y Random-Fit [14]. El algoritmo

First-Fit mantiene una lista ordenada de las longitudes de onda existentes en la red.

Cuando se procesa una solicitud de conexión, luego de determinar la ruta que debe

ser utilizada, se recorre la lista de manera ordenada. Al recorrer la lista, la primera

longitud de onda que esté disponible en todos los enlaces de la ruta se escoge como

longitud de onda a asignar a la conexión. En cambio, Random-Fit requiere primero

determinar que longitudes de onda están disponibles en la ruta seleccionada.

Entonces, se escoge y asigna de manera aleatoria alguna longitud de onda del

conjunto de longitudes de ondas disponibles.

En el caso que el algoritmo de asignación de longitudes de onda sea First-Fit,

existen tres grandes grupos de métodos de evaluación de la probabilidad de bloqueo

de la conexión: Object Independence [64, 69], Layered Graph [63, 66, 68, 70] y

Wavelength Usage [65]. El método Object Independence supone que existen dos

tipos de objetos en la red: un tipo corresponde a los “enlaces libres” los cuales son

enlaces que poseen capacidad disponible para atender nuevas solicitudes de conexión;

y el otro tipo corresponde a “rutas activas”, donde una ruta activa es el conjunto de

enlaces que componen la ruta y no son “enlaces libres” (es decir, ninguno de los

enlaces de la ruta posee capacidad para atender nuevas solicitudes de conexión). En


34

base a esta clasificación, se reemplaza la suposición de independencia de enlace por

independencia de objetos. En un principio este método se presentó para topologías

lineales, luego de lo cual se generalizó para cualquier topología [80]. Una explicación

detallada del método se encuentra en [69]. Por otro lado, el método Layered Graph

representa la red con tantos grafos (capas) como longitudes de onda posea el enlace

con el mayor número de longitudes de onda. Cada capa se analiza de manera

ordenada por separado. Para llevar a cabo el análisis de una capa a la siguiente, se

considera que el tráfico que se inyecta a la capa es igual al tráfico bloqueado en la

capa anterior, lo cual se conoce como Overflow Traffic [70]. Una forma de realizar el

análisis de cada capa es por medio de la probabilidad de que los enlaces posean una

longitud de onda libre en la capa analizada [68]. Otra forma para analizar una capa es

por medio de la descomposición de caminos (Path Decomposition), el cual consiste

en segmentar las rutas en rutas más pequeñas, las cuales son analizadas por medio de

cadenas de Markov [63, 66]. Finalmente, el método de Wavelength Usage separa los

enlaces en dos conjuntos: enlaces sin interferencia y enlaces con interferencia. La

interferencia se refiere al efecto que produce el estado de un enlace sobre otro cuando

se establecen rutas. Para ilustrar el concepto, considérese el siguiente ejemplo: se

tienen dos enlaces contiguos con capacidad máxima de dos longitudes de onda cada

uno. La longitud de onda número uno está siendo utilizada en el primer enlace y la

longitud de onda número dos está siendo utilizada en el segundo enlace. Si se solicita

una ruta que transite por estos dos enlaces, la solicitud será bloqueada a pesar de que

ambos enlaces poseen una longitud de onda libre, debido a que no existe conversión

de longitud de onda. En este caso, el primer enlace interfiere con el segundo y


35

viceversa. Para ambos tipos de enlaces, se calcula la probabilidad de que una longitud

de onda en particular esté siendo usada en el enlace analizado. En caso de enlaces sin

interferencia se utiliza el modelo de Erlang-B. En el caso de enlaces con interferencia,

se utiliza el resultado del caso sin interferencias en conjunto con la probabilidad de

que una ruta que utiliza un enlace previo al analizado continúe por el enlace

analizado. Luego, se separa las rutas en dos conjuntos: aquellas que nacen desde el

enlace analizado y las que no. En base a esta clasificación, en conjunto con las

probabilidades calculadas para los enlaces con interferencia, se calcula la

probabilidad de bloqueo de una conexión. Más detalles en [65].

En el caso del algoritmo de asignación de longitudes de onda Random-Fit, los

algoritmos para calcular la probabilidad de bloqueo de las conexiones realizan una

suposición adicional respecto a First-Fit, la cual consiste en suponer que todas las

longitudes de onda de un enlace están igualmente cargadas en tráfico. En base a esta

suposición, los métodos existentes para calcular la probabilidad de bloqueo son el

método de Busy Wavelength [23, 24], Path Decomposition [66] y Idle Wavelength

[25, 67, 71]. Los principios del método de Busy Wavelength son los mismos

explicados en el caso con conversión de longitudes de onda. La diferencia con ese

caso radica en que la probabilidad de uso de una longitud de onda en un enlace se

utiliza para calcular la probabilidad de uso de la longitud de onda en la ruta en vez de

la probabilidad de bloqueo del enlace. Luego, el análisis se extiende a las longitudes

de ondas restantes para finalmente obtener la probabilidad de bloqueo de la conexión.

El método de Path Decomposition pertenece a una sub-rama del método Layered


36

Graph presentado en First-Fit. Considerando una ruta como un sistema, la

descomposición de caminos consiste en fragmentar las rutas en subsistemas más

pequeños compuestos de uno o varios enlaces. Un sistema se analiza por medio de

una cadena de Markov cuya solución requiere del análisis de los subsistemas más

pequeños por medio de cadenas de Markov más pequeñas. Luego, los resultados

obtenidos en cada subsistema se combinan para obtener la probabilidad de bloqueo de

las conexiones [79]. Finalmente, el método de Idle Wavlength determina la

distribución de capacidad libre en un enlace por medio de un proceso de nacimiento y

muerte. En base a la distribución obtenida, se calcula la probabilidad que una longitud

de onda en particular esté libre en un enlace, la cual se utiliza para calcular la

probabilidad de que la longitud de onda este libre en una ruta. A partir de ello, se

obtiene la probabilidad de bloqueo de las conexiones.

Una suposición común en los métodos presentados en las Figuras 3.1 y 3.2 es

que el tráfico inyectado en una ruta se mantendrá igual en todos los enlaces de la

misma. Sin embargo, esto es incorrecto ya que, por ejemplo, si una fracción del

tráfico se bloquea en el primer enlace de la ruta, entonces esa fracción de tráfico

bloqueada no transitará por los enlaces siguientes de la misma ruta. Esto disminuirá el

tráfico efectivo ofrecido a los otros enlaces de la ruta. Para resolver este problema,

existen correcciones complementarias a los modelos presentados, las cuales son la

aproximación de carga reducida (Reduced Load [72]) y el efecto de flujos en línea

(Streamline Effect [32]).


37

Además, en el caso particular de los métodos para redes sin conversión de

longitud de onda, existe la suposición extra de independencia de longitudes de onda

para la mayoría de los métodos aquí presentados. Es decir, se considera que el estado

de las longitudes de onda de un enlace no afecta el estado de las longitudes de un

enlace adyacente o que el estado de una longitud de onda en un enlace no afecta el

estado de otras longitudes de onda en el mismo enlace. Sin embargo, esta suposición

no es realista. Considérese el siguiente ejemplo: una conexión utiliza la misma

longitud de onda en todos los enlaces de la ruta asignada. Por lo tanto, en una ruta

existe una dependencia en las longitudes de onda entre enlaces vecinos. Debido a

esto, algunos trabajos incluyen una corrección complementaria que permite modelar

la dependencia que existe entre longitudes de onda de distintos enlaces de una ruta

(Correlation Model, [23, 71]) o bien la dependencia entre longitudes de onda de un

mismo enlace (para el caso del algoritmo First-Fit, [65]).

En la Tabla 3.1 se presentan las principales ventajas y desventajas de cada uno

de los modelos matemáticos anteriormente descritos, considerando la dificultad de

implementación, la complejidad computacional y características particulares de cada

modelo:


38

Tabla 3.1: Ventajas y desventajas de los modelos matemáticos para ruteo fijo.

elo Ventajas Desventajas

Independencia

de enlaces

- Fácil de implementar

- Baja complejidad computacional

- Suposición valida solo en redes con

conversión de longitud de onda

- Baja precisión en topologías de anillo.

Busy

Wavelength


- El concepto que involucra el

método se puede aplicar en redes con

y sin capacidad de conversión de

longitud de onda.

- En redes sin conversión, alta complejidad

computacional

- En redes con conversión de longitud de

onda, si se sigue el esquema de [Barry95]

se agrega un paso extra al modelo de

independencia de enlaces.

Object

Independence


- Baja complejidad computacional,

similar a la del modelo de

independencia de enlaces

- Buen desempeño en topologías de

anillo y malla

- La generalización para cualquier

topología solo funciona en redes con

capacidad de una longitud de onda

Layered Graph

- Incluye modelos de correlación de

longitud de ondas al realizar el

análisis por capas

- Se puede usar en Random-Fit y en

First-Fit

- Difícil de implementar

- Alta complejidad computacional

Wavelength

Usage

- Incluye interferencia entre enlaces

- Se muestra como incluir la

correlación de longitudes de onda

- Difícil de implementar.

- Alta complejidad computacional.

- Solo se presentan resultados para

topologías tipo torus. Desempeño medio.

Idle Wavelength


- Baja complejidad computacional

- Modelo aplicable sólo con Random-Fit

En las secciones siguientes se profundizará el estudio de los modelos

matemáticos para el caso de redes con conversión de longitud de onda. En particular,

se profundizará en los modelos de Erlang-B y Engset en el cálculo del bloqueo de

enlaces, el modelo de independencia de enlaces en el cálculo del bloqueo de

conexiones, y las aproximaciones de carga reducida y de efecto de flujos en línea. El


39

modelo de longitudes de onda usadas no será considerado debido a su bajo uso en la

literatura especializada.

3.2 Modelo de bloqueo de enlaces

3.2.1 Erlang-B

El modelo de pérdidas de Erlang-B permite calcular la probabilidad de

bloqueo de un enlace modelando el estado del mismo mediante una cadena de

Markov (Figura 3.3).

Figura 3.3: Cadena de Markov que modela el proceso de ocupación de canales en un enlace con capacidad y población infinita.

Cada nodo de la Figura 3.3 representa la cantidad de canales (en este caso,

longitudes de onda) utilizados en un enlace, mientras que las flechas indican las

transiciones posibles entre estados. La tasa de llegada promedio de solicitudes de

establecimiento de conexión al enlace es representada por , mientras que el tiempo

medio que una conexión usa el enlace se denota por . representa la capacidad

máxima (longitudes de onda) del enlace .


40

El modelo Erlang-B supone que el tráfico de la red es homogéneo, es decir,

cada par de nodos cursará la misma cantidad de tráfico en la red. También, el modelo

supone una cantidad de usuarios muy grande respecto a los recursos existentes en el

sistema analizado. Debido a esto, se puede aproximar la tasa de llegada a un valor

constante. Por ejemplo, suponga que existen 10000 usuarios, 10 longitudes de onda y

que la tasa de generación de solicitudes de establecimiento de conexión por usuario es

de 1 . Cuando el enlace se encuentra en el estado 0

(ninguna conexión establecida), la tasa de llegada de solicitudes de establecimiento

de conexión al enlace es de 10000 . Cuando el enlace

se encuentra en el estado 1 (una longitud de onda ocupada por una conexión), la tasa

de llegada de solicitudes de establecimiento de conexión al enlace es de

9999 . Cuando el enlace se encuentra en el estado 10

(todas las longitudes de onda ocupadas), la tasa de llegada de solicitudes de

establecimiento de conexión al enlace es de 9991. Dado que la variación entre la

menor y mayor tasa de llegada de solicitudes de conexión no es significativa, el

análisis se simplifica al considerar que la tasa de llegada en todos los estados es igual

al valor inicial 10000.

Al evaluar la probabilidad de que cuando una solicitud de conexión llegue

encuentre todas las longitudes de onda ocupadas, se obtiene la siguiente expresión

para la probabilidad de bloqueo del enlace , :


41

Donde es la carga de tráfico total ofrecida al enlace , medida en Erlangs.

El modelo de pérdidas de Erlang-B es ampliamente utilizado en el análisis y

diseño de las redes tradicionales de conmutación de circuitos y por lo tanto es natural

que se utilicen también en redes WDM [24, 25, 27, 32, 63, 66, 70].

3.2.2 Engset

El modelo Engset es similar al modelo de pérdidas Erlang-B, diferenciándose

en la suposición del tamaño de la población. Mientras que Erlang-B considera una

población infinita de usuarios, el modelo Engset supone una población finita, donde

cada fuente genera tráfico de acuerdo a un modelo ON-OFF. Esto lleva a modelar el

sistema con una cadena de Markov con valores de tasas de llegada distintas del caso

del modelo Erlang-B (Figura 3.4). Una explicación más detalla de las diferencias

entre el modelo Erlang-B y Engset se encuentra en [81].


42

Figura 3.4: Cadena de Markov modela el proceso de ocupación de canales en un enlace con capacidad y población finita.

En la Figura 3.4, representa el número de pares fuente-destino cuyas rutas

usan el enlace , mientras que es la tasa de llegada de solicitudes de conexión de un

par fuente-destino (a diferencia del caso de la fórmula Erlang B, donde representa

la tasa de llegada de solictudes de conexión de la población completa) y es la tasa

de atención de una conexión.

Al evaluar la probabilidad de que cuando una solicitud de conexión llegue

encuentre todas las longitudes de onda ocupadas, se obtiene la siguiente expresión

para la probabilidad de bloqueo del enlace l, [15]:

Donde es la carga de tráfico ofrecida por una fuente al enlace .


43

Una forma alternativa para calcular es por medio de los valores de carga de

tráfico. Para esto se deben encontrar expresiones alternativas para los valores de las

tasas de (3.4). Las expresiones (3.5) y (3.6) corresponden a las definiciones de y

respectivamente, mientras que la definición de se encuentra en la expresión (2.1).

Debido a la suposición de trafico homogéneo, se omite el índice de ruta en . La

expresión (3.7) muestra los pasos para obtener la equivalencia entre las tasas y la

carga de tráfico. La expresión (3.8) es el valor de utilizando los valores de carga de

tráfico.

El modelo de pérdidas Engset se ha utilizado en algunos trabajos en el área de

redes WDM como [17, 28-31].

3.3 Bloqueo de conexiones: Modelo de independencia de enlaces

Este modelo supone que cada enlace de una ruta experimenta un nivel de

bloqueo que no depende del nivel de bloqueo experimentando por los otros enlaces de

la misma. Es decir, supone que cada enlace es un sistema aislado respecto a los otros.


44

Si bien esta suposición es válida en redes donde todas las rutas se componen de un

único enlace, en la mayoría de los casos esto no es así.

Al hacer esta suposición, el cálculo de bloqueo de cada enlace de una

conexión se realiza independientemente del resto de la red, aplicando los métodos de

la sección 3.2. Como resultado, la expresión para el bloqueo de una conexión entre un

par de nodos , está dada por:

La fórmula (3.9) muestra que una conexión no se bloqueará cuando cada

enlace de la ruta posea al menos una longitud de onda libre. La probabilidad de que

un enlace posea al menos una longitud de onda libre es igual al complemento de la

probabilidad de bloqueo del enlace ( ).

Al obtener la probabilidad de bloqueo de cada conexión, se puede obtener la

probabilidad de bloqueo de la red, Bnet, por medio de (3.10).


45

Si todas las tasas de atención de las conexiones son iguales entonces Bnet

también se puede obtener por medio de las cargas de tráfico. Para ello, tanto el

numerador como el denominador de (3.10) deben ser divididos por , luego de lo

cual se aplica la equivalencia de (3.7). La expresión (3.11) es el valor de

utilizando los valores de carga de tráfico.

3.4 Correcciones al cálculo del bloqueo de conexiones

Los modelos de carga reducida y de efecto de flujos en línea (streamline

effect) son aproximaciones que se orientan a disminuir el impacto de la suposición de

la independencia entre enlaces en el cálculo de la probabilidad de bloqueo de las

conexiones. Estos modelos se describen a continuación.

3.4.1 Carga Reducida (Reduced Load)

La aproximación de carga reducida corrige la suposición de independencia de

bloqueo entre enlaces por medio de correcciones a la carga de tráfico ofrecida a los

enlaces de una ruta. Las correcciones al tráfico en un enlace dependerán de la

probabilidad de bloqueo de los otros enlaces de la ruta. Sin embargo, la probabilidad

de bloqueo de los enlaces depende a su vez del valor de la carga de tráfico. Para

resolver esta dependencia entre expresiones, se utiliza un proceso iterativo de punto


46

fijo. Es decir, se debe iniciar el cálculo suponiendo algún valor para la probabilidad

de bloqueo de los enlaces (típicamente, este valor se supone igual a cero) a partir del

cual se evalúa el valor de la carga de tráfico. Con este valor de carga de tráfico se

calcula el valor de la probabilidad de bloqueo. Si este valor resulta igual al valor

inicialmente supuesto, el proceso se detiene. De lo contrario, este nuevo valor de

bloqueo se utiliza para realizar todo el proceso de nuevo. El proceso termina cuando

los valores convergen o existe un error aceptable entre los valores de dos iteraciones

consecutivas.

En la literatura, cuando se utiliza esta corrección con modelos de bloqueo de

enlaces, siempre se utiliza el modelo de Erlang-B. El autor de esta tesis es de la

opinión que el motivo principal de este hecho se debe a que la corrección genera que

cada ruta aporte carga de tráfico de distinto valor al enlace, lo cual impide utilizar

directamente el modelo Engset que requiere un valor único de tráfico para todas las

rutas. Debido a que el modelo utilizado siempre es el de Erlang-B, esta corrección

también se conoce con el nombre de “ecuación de Erlang de punto fijo” (Erlang

fixed-point equation [70]).

Existen dos versiones de esta aproximación: Carga Reducida (Reduced Load),

presentada en [72], y Carga Reducida Generalizada (Generalised Reduced Load),

introducida recientemente en [27]. En las sub-secciones siguientes se describe cada

una de estas versiones.


47

3.4.1.1 Aproximación de Carga Reducida [72]

La corrección modifica la forma en que se calcula la carga de tráfico total

ofrecida a un enlace. Para esto, se considera la probabilidad de bloqueo de todos los

enlaces de la ruta excepto el enlace analizado. Esto queda reflejado en la fórmula

(3.13) [72], la cual corrige el cálculo de la carga de tráfico ofrecida al enlace (Al)

dado por la fórmula 3.2 (de la sección 3.2.1) en el modelo Erlang-B.

En donde y son las tasa de llegada y la tasa de atención de la

conexión respectivamente.

es la carga de tráfico ofrecida a un enlace

debido a la ruta . La expresión en el límite de la pilatoria de la

ecuación (3.12) significa “todos los enlace de la ruta excepto el enlace l”,

mientras que la expresión en el límite de la sumatoria de la ecuación

(3.13) significa “todos los pares de nodos cuyas rutas usen el enlace l”.

Una interrogante que puede surgir de la expresión (3.12) es por qué se

consideran tanto los enlaces previos como los posteriores al enlace analizado y no

sólo los enlaces que están antes (“aguas arriba”) del enlace bajo análisis. En el caso

de los enlaces previos al enlace analizado, es claro que si alguno de ellos bloquea la


48

solicitud de conexión es imposible que circule tráfico por un enlace posterior. En el

caso de los enlaces posteriores, se consideran debido a que si alguno de ellos bloquea

la solicitud de conexión, como la red es del tipo fin a fin la ruta no se establecerá,

siendo nuevamente imposible que circule tráfico por el enlace bajo análisis.

La expresión (3.12) requiere las probabilidades de bloqueo de todos los

enlaces excepto del enlace analizado para su uso. Una forma distinta de escribir la

expresión (3.12) es la siguiente [16, 25]:

La ecuación (3.14) se obtiene al reemplazar la expresión

de la ecuación (3.12) por

. La equivalencia entre ambas expresiones se

demuestra en las ecuaciones (3.15) y (3.16).

Las expresiones (3.12) y (3.14) se encuentran en la literatura. Sin embargo, la

expresión (3.14) posee la ventaja de ser computacionalmente menos compleja que la


49

expresión (3.12), debido a que se puede reutilizar el valor de la probabilidad de

bloqueo de una conexión en varios enlaces.

Para ilustrar el uso de la aproximación de carga reducida, se calculará el valor

de la carga de tráfico ofrecida al enlace 2 de la Figura 3.5. Esta figura muestra una

ruta de 3 enlaces en la cual una conexión que ofrece tráfico a la red se inicia en el

nodo 0 y finaliza en el nodo 3 pasando por los 3 enlaces de la figura. Las tasas de

llegada y atención son iguales a 1, por lo que

. Supóngase que las

probabilidades de bloqueo de los enlaces son (estos valores son

ilustrativos para el ejemplo y no necesariamente coinciden con los obtenidos por el

modelo de Erlang-B).

Figura 3.5: Ruta de 3 enlaces.

Sin la corrección de carga reducida el valor de la carga de tráfico ofrecida al

enlace 2 sería (fórmula 3.2), lo que equivale a la carga ofrecida por la

conexión a la ruta. Sin embargo, esto no es correcto debido a que, cuando el enlace 1

o el enlace 3 no posean suficientes recursos, la solicitud de conexión será bloqueada y

en tales casos no se ofrecerá tráfico en el enlace 2. En cambio, la corrección si


50

considera esta situación y, al aplicar la fórmula (3.13) la carga de tráfico ofrecida al

enlace 2 queda .

Esta versión de la corrección fue presentada en [16] y es ampliamente

utilizada en la literatura [24, 25, 63, 66, 68, 71, 73, 74].

3.4.1.2 Carga Reducida Generalizada (Generalised Reduced Load)

Presentada en [27], ésta corrección extiende la aproximación de carga

reducida presentada en la sección 3.4.1.1 al considerar también el estado del enlace a

analizar. Un enlace recibirá tráfico de una ruta cuando se pueda establecer la

conexión asociada a la ruta (en donde circulará tráfico por el enlace) o bien cuando es

el enlace mismo el que provoca el bloqueo de la conexión (si bien no circula tráfico

en este caso, al enlace sí le llegan solicitudes de conexión las cuales deben ser

consideradas). Este último caso es el que hace la diferencia con respecto a la

aproximación de carga reducida, lo cual puede observarse al descomponer la

expresión (3.12) mostrada en (3.17). El segundo sumando (el de la derecha)

representa la diferencia con la aproximación de carga reducida generalizada debido a

que en la expresión (3.17), cuando el enlace bajo análisis bloquea la conexión, sólo

considera el tráfico si los otros enlaces de la ruta no bloquean la conexión.


51

La carga de tráfico ofrecida a un enlace debido a la ruta con la

corrección de carga reducida generalizada queda determinada por (3.18). Para

calcular la carga de tráfico total sobre el enlace , se utiliza (3.19).

Por ejemplo, considerando el mismo caso presentado en la sección 3.4.1.1, el

factor de corrección es la probabilidad de que la ruta no se bloquee más la

probabilidad de que el enlace 2 se bloquee (fórmula 3.19), lo que da una carga

ofrecida al enlace 2 de . Este valor de

carga de tráfico es mayor que el obtenido en la aproximación de carga reducida

debido a que se consideran los casos en los que, cuando el enlace 2 bloquea la

conexión, los enlaces 1 y 3 puedan estar bloqueando o no bloqueando la conexión (a

diferencia de la aproximación de carga reducida, en la cual solo se consideran los

casos en los que los enlaces 1 y 3 no están bloqueando la conexión).

En la literatura no es posible encontrar una comparación entre la

aproximación de carga reducida y carga reducida generalizada. Debido a esto, una

contribución adicional de este trabajo será efectuar una comparación entre estos

métodos, la cual se realizará en el Capitulo 5.


52

3.4.2 Efecto de Flujos en Línea (Streamline Effect)

Esta corrección consiste en ajustar la carga de tráfico ofrecida a un enlace

considerando los efectos de la contención que ocurre en los enlaces previos al

analizado. Por ejemplo, en la Figura 3.6 se tienen los enlaces A y B, por los cuales

transita tráfico proveniente de distintas conexiones las cuales siempre están activas

(es decir, para todas las conexiones). Todas las conexiones utilizan el enlace B.

La capacidad de cada enlace es 2 longitudes de onda. Se desea analizar la carga de

tráfico en el enlace B.

Figura 3.6: Ejemplo de contención de tráfico en enlaces que reciben un número de conexiones mayor al número de canales.

Sin utilizar la corrección, el análisis de probabilidad de bloqueo para el enlace

B se realiza considerando las 4 cargas de tráfico (las 3 provenientes del enlace A y la

que ingresa por el nodo 1, de color café). En cambio, al considerar el efecto

Streamline, la carga de tráfico ofrecida sobre el enlace B será menor debido a que la

contención en el enlace A bloqueará una parte de la carga de tráfico. Para usar la


53

corrección sobre el enlace B, se debe analizar los enlaces predecesores que puedan

provocar contención. En este caso, en el enlace A existen 3 cargas de tráfico que

compiten por los recursos del enlace, de los cuales sólo dos podrán continuar su

camino. Por lo tanto, el análisis de probabilidad de bloqueo sobre el enlace B se debe

realizar con 3 cargas de tráfico (2 provenientes del enlace A más la de color café).

La carga de tráfico bloqueada ( ) y la probabilidad de bloqueo corregida

( ) se presentan en las fórmulas (3.20) y (3.21) respectivamente [17].

En donde es la lista de enlaces inmediatamente anteriores al

enlace de todas las rutas que pasan por el enlace y es la carga de tráfico total

ofrecida al enlace .

El efecto de flujos en línea se presentó por primera vez en el área de redes

WDM en [32], aplicándolo en redes OBS en conjunto con el modelo de Erlang-B.

Luego, el autor continúo usando esta corrección en [33] y [75]. Posteriormente, en

[17] se adapta la corrección para utilizar en redes fin a fin con tráfico ON-OFF en

conjunto con el modelo Engset.


54

3.5 Resumen

En este capítulo se presentaron distintos modelos matemáticos para redes

dinámicas WDM con ruteo fijo, profundizando en los modelos para redes con

capacidad de conversión de longitud de onda. Además, se presentaron las

correcciones para las cargas de tráfico que permiten mejorar la precisión para calcular

la probabilidad de bloqueo de las conexiones, indicando como introducirlas en los

modelos en base a lo expuesto en la literatura especializada.

En el capitulo siguiente, los modelos y correcciones presentados se utilizarán

para la generación de nuevos modelos a partir de combinaciones no realizadas en la

literatura.

55

Capítulo 4

Propuesta

En este capítulo se presenta la propuesta de tesis. Se comienza con el

desarrollo de la combinación de modelos matemáticos, describiendo las distintas

combinaciones consideradas. Posteriormente, se expone el contrato flexible de

calidad de servicio considerado.

Si bien el tema de utilizar modelos más realistas para la generación de

matrices de tráfico fue parte del trabajo de tesis, no requiere mayor extensión que la

entregada en el capítulo 2, por lo que no será abordado en este capítulo.

Propuesta

56

4.1 Modelos Matemáticos

4.1.1. Engset y Corrección de Carga Reducida

La primera integración que se propone es utilizar el modelo de pérdidas

Engset presentado en la sección 3.2.2 del Capítulo 3 con la corrección de carga

reducida presentada en la sección 3.4.1 del mismo Capítulo (por corrección de carga

reducida se hace referencia tanto a la aproximación de carga reducida como a la

aproximación de carga reducida generalizada). Hasta ahora, los modelos de carga

reducida sólo se han aplicado en combinación con el modelo de pérdidas Erlang-B.

En la integración de métodos, para calcular la probabilidad de bloqueo de un enlace

se utiliza la expresión (3.3), correspondiente a la fórmula del modelo Engset. Para ,

la carga de tráfico ofrecida al enlace l por una fuente cualquiera, las expresiones

entregadas por la aproximación de carga reducida y carga reducida generalizada

(expresiones 3.12 y 3.18 respectivamente) no se pueden usar directamente en el

modelo de pérdidas debido a que el modelo Engset supone que todas las fuentes

ofrecen la misma carga de tráfico al enlace mientras que la corrección de carga

reducida provoca que el valor corregido de las cargas de tráfico ofrecidas por cada

fuente al enlace analizado sean, en general, distintas. Por lo tanto, surge el problema

de qué valor de carga de tráfico se debe entregar al modelo de pérdidas de Engset.

La solución utilizada en este trabajo consiste en tomar el valor promedio de

todas las cargas de tráfico ofrecidas al enlace analizado. Entonces, la carga de tráfico

Propuesta

57

ofrecido por una fuente al enlace (fórmula 3.8) se corrige utilizando la siguiente

expresión:

El término se calcula por medio de (3.13) para la aproximación de carga

reducida, o bien por medio de (3.19) para la aproximación de carga reducida

generalizada. La expresión en el límite de la sumatoria del denominador

de la ecuación (4.1) significa “todos los pares de nodos cuyas rutas usen el enlace l”.

Este problema no ocurre en la combinación tradicional de Erlang-B con carga

reducida debido a que Erlang-B trabaja con la totalidad del tráfico, sumando todas las

cargas de tráfico ofrecidas al enlace.

En la Figura 4.1 se presenta el diagrama de flujo del algoritmo de punto fijo

que calcula la probabilidad de bloqueo de cada conexión utilizando la combinación

propuesta (Engset + Corrección de carga reducida).

Propuesta

58

Figura 4.1: Combinación de modelo de pérdidas Engset con corrección de carga reducida.

Como se aprecia en el diagrama de flujo, primero se asigna un valor de

probabilidad de bloqueo arbitrario a cada conexión (bloque 1 del diagrama de flujo).

Luego, se calculan los valores de carga de tráfico por medio de la corrección de carga

reducida utilizando este valor arbitrario inicial (bloque 2). Estos valores de carga de

tráfico se utilizan posteriormente para obtener los valores de probabilidad de bloqueo

de los enlaces por medio del modelo de pérdidas Engset (bloque 3). Estos nuevos

valores de probabilidad de bloqueo se utilizan para obtener nuevos valores de carga

de tráfico utilizando la corrección de carga reducida. El ciclo de ejecución de la

corrección de carga reducida y cálculo de probabilidad de bloqueo con el modelo

Engset se detendrá cuando la diferencia de los valores de probabilidad de bloqueo de

cada conexión de las dos últimas iteraciones (respecto del valor de la penúltima

iteración) sea menor a un valor preestablecido (bloque 4).

Propuesta

59

4.1.2. Engset y Corrección de Carga Reducida con Efecto de Flujos en Línea

La segunda integración que se propone es combinar la corrección de carga

reducida y el efecto de flujos en línea usando el modelo de perdidas Engset, con la

finalidad de generar una aproximación más precisa ya que, mientras la corrección de

carga reducida maneja el problema de dependencia entre enlaces de una misma ruta,

la aproximación de efectos de flujos en línea maneja el problema de dependencia

entre rutas que utilizarán un mismo enlace.

En la Figura 4.2 se presenta el diagrama de flujo del algoritmo de punto fijo

que calcula la probabilidad de bloqueo de cada conexión mediante la combinación

descrita. La sección encerrada con línea segmentada corresponde al mismo algoritmo

de la sección anterior.

Figura 4.2: Combinación de correcciones de carga reducida y efecto de flujos en línea.

Propuesta

60

Como se aprecia en el diagrama de flujo, primero se aplica el mismo

algoritmo descrito en la sección anterior. Cuando el algoritmo de la sección anterior

termina (i.e. los valores de probabilidad de bloqueo cumplan la condición del bloque

4), se aplicará la aproximación de flujos en línea a los valores de cargas de tráfico y

probabilidades de bloqueo obtenidos en el algoritmo de punto fijo (bloque 6).

Los resultados obtenidos con las dos combinaciones aquí descritas se

presentan en el Capítulo 5.

4.2 Contratos flexibles de calidad de servicio

En este trabajo se propone usar un contrato flexible de calidad de servicio en

el que se exige que la probabilidad de bloqueo promedio de cada conexión no supere

un valor límite. Al solicitar que el valor promedio y no el valor instantáneo de la

probabilidad de cada conexión no exceda un límite, se flexibiliza el requerimiento de

calidad de servicio ofrecido a la conexión. Para calcular el valor promedio de la

probabilidad de bloqueo de la conexión se utiliza la fórmula 4.2.

Siendo la probabilidad de bloqueo de la conexión en el intervalo , la

tasa de llegada de la conexión en el intervalo y la duración del intervalo .

Propuesta

61

Con la expresión (4.2) se obtiene el valor promedio de la probabilidad de

bloqueo de la conexión desde el punto de vista del usuario. Es decir, el valor de

probabilidad de bloqueo representa lo que efectivamente un usuario experimenta al

usar esa conexión, incluyendo la intensidad del tráfico de cada periodo. Otra forma de

obtener el valor promedio de probabilidad de bloqueo es por medio de la expresión

(4.3), la cual representa el punto de vista de quien ofrece el servicio.

Debido a que interesa dar una calidad de servicio al usuario, se dimensionará

utilizando la expresión (4.2).

Para determinar el dimensionamiento de una red dinámica con capacidad

homogénea (es decir, a todos los enlaces se les asigna el mismo número de canales)

bajo las exigencias del contrato flexible, se programó el algoritmo cuyo diagrama de

flujo se presenta en la figura 4.3.

Propuesta

62

Figura 4.3: Dimensionamiento con capacidad homogénea.

El primer paso que se ejecuta con este algoritmo consiste en establecer la

capacidad de todos los enlaces de la red igual a 1 canal (longitud de onda). Luego, se

evalúa la probabilidad de bloqueo media de cada conexión durante el total del tiempo

de observación. En este paso, el valor de la probabilidad de bloqueo de cada periodo

se puede obtener por medio de simulación o por modelos matemáticos. Si se realiza

por simulación se utiliza el modelo de tráfico presentado en la sección 2.3 del

Capítulo 2. Si se realiza por medio de un modelo matemático se utiliza alguno de los

modelos presentados en el Capitulo 3 para el caso de ruteo fijo con conversión de

longitud de onda. También se puede utilizar alguno de los modelos presentados como

propuesta en la sección anterior de este capítulo, si obtienen mejores resultados que

los modelos de la literatura. Posteriormente, se verifica que la probabilidad de

bloqueo media de cada conexión se encuentre por debajo del valor límite . Si

alguna conexión supera el valor límite, se aumenta la capacidad de la red en un canal

por enlace y se vuelve a evaluar. En caso contrario, significa que se encontró la

capacidad mínima que cumple el requerimiento del contrato y el algoritmo termina.

Propuesta

63

Este algoritmo se aplica en el Capítulo 5 para determinar el dimensionamiento

de redes dinámicas fin a fin bajo tráfico variante en el tiempo con contrato flexible.

4.3 Resumen

En este capítulo se desarrolló la propuesta de tesis en el área de modelos

matemáticos y en contratos de calidad de servicio. En el área de modelos

matemáticos, se describieron 2 combinaciones de aproximaciones para el cálculo de

la probabilidad de bloqueo, mostrando los problemas que aparecen al combinar los

métodos y entregando las soluciones utilizadas para resolverlos. En el área de

contratos flexibles, se definió la exigencia de calidad de servicio que se utilizará. En

base a esta exigencia, se generó un algoritmo de dimensionamiento para el caso de

redes con capacidad homogénea. El área de modelos más realistas para la generación

de matrices de tráfico no fue abordado en este capítulo a pesar de ser parte de la

propuesta, debido a que no requiere mayor extensión que la entregada en el capítulo

2.

El capitulo siguiente mostrará los resultados obtenidos al utilizar la propuesta

y serán comparados con los resultados obtenidos en la literatura.

Resultados Numéricos

64

Capítulo 5


En este capítulo se presentan los resultados obtenidos para cada línea de

trabajo: modelos matemáticos de evaluación de bloqueo y dimensionamiento de

redes dinámicas con tráfico multi-hora con contratos estrictos y flexibles.

En la primera sección se presentan los resultados obtenidos al comparar los

modelos matemáticos de evaluación de bloqueo propuestos en la literatura para redes

con conversión de longitud de onda y ruteo fijo con las dos propuestas presentadas en

el capítulo 4 de esta tesis.

En la segunda sección se presentan los resultados del dimensionamiento de

una red dinámica con reservación de recursos fin-a-fin para tráfico multi-hora con

contratos estrictos. Para esto se consideran matrices de tráfico más realistas (con


65

distribución log-normal) que las usadas en trabajos previos, los cuales utilizan

matrices de tráfico con distribuciones uniformes y quasi-uniformes.

Finalmente, en la última sección se presentan los resultados del

dimensionamiento de la red utilizando contratos flexibles de calidad de servicio,

comparándolos con el caso de contratos estrictos.

5.1 Modelos Matemáticos para Evaluación de Bloqueo

Los modelos matemáticos propuestos en el Capítulo 4 (secciones 4.1.1 y

4.1.2) se evaluaron en 6 topologías de malla (ARPANet, EON, Eurocore, Eurolarge,

NSFNet y UKNet) y 2 topologías de anillo (12 y 16 nodos), mostradas en las Figuras

5.1 y 5.2 respectivamente.


66

Figura 5.1: Topologías de malla.

Figura 5.2: Topologías de anillo.

Para determinar qué método entrega mejores resultados, se compararon las

probabilidades de bloqueo obtenidas por los modelos matemáticos con resultados

obtenidos por simulación. Un modelo será considerado mejor que otro cuando los

valores que entregue sean más cercanos a los valores obtenidos por simulación.


67

El simulador de eventos discretos desarrollado genera una cantidad de eventos

igual al número de conexiones de la red amplificado por 10.000. Es decir, 104∙N∙(N-

1) solicitudes de conexión por simulación. Por ejemplo, la topología NSFNet posee

14 nodos, lo cual implica que existen 182 conexiones (pares de nodos). Entonces,

para esa red, se generan 1.820.000 eventos por simulación. Un evento en la

simulación corresponde a una solicitud de conexión entre un determinado par de

nodos.

Los periodos ON y OFF se generaron por medio de una distribución

exponencial. El tiempo medio de duración en estado ON se fijó en mientras

que el tiempo medio del estado OFF se ajustó para obtener cargas de tráfico con

valores entre en intervalos de , según la fórmula (2.1). Los valores de

los elementos de la matriz de tráfico (i.e. los valores de las cargas de tráfico de los

distintos pares de nodos de la red) se distribuyen de manera uniforme y se mantienen

constantes durante la simulación.

Se realizaron 20 simulaciones por cada punto graficado, con un intervalo de

confianza de un . Para este nivel de confianza, los resultados obtenidos para

probabilidades de bloqueo mayores a presentaron una diferencia máxima de un

respecto a la media de las 20 simulaciones. En el caso de probabilidades de

bloqueo menores a la diferencia máxima respecto a la media aumentó

considerablemente, por lo que no serán considerados.


68

En las siguientes secciones se compara el rendimiento de los distintos

modelos matemáticos en términos de su probabilidad de bloqueo. Se presentan

primero los resultados obtenidos con los modelos de pérdida clásicos de Erlang-B y

Engset, luego se comparan los resultados obtenidos utilizando las aproximaciones de

carga reducida y carga reducida generalizada. Posteriormente, los resultados del

mejor modelo de pérdidas con la mejor aproximación de carga reducida se comparan

con los de la aproximación de flujos en línea y los modelos propuestos en el Capitulo

4 (secciones 4.1.1 y 4.1.2).

5.1.1 Erlang-B vs Engset

La primera comparación se efectúa entre los modelos de pérdidas Erlang-B y

Engset, suponiendo independencia de enlaces para el bloqueo de conexiones. Note

que la comparación se lleva a cabo a pesar de que ambos modelos se aplican bajo

suposiciones distintas, con el objeto de confirmar o refutar el uso de uno u otro

modelo en redes dinámicas fin a fin.

La Figura 5.3 muestra los valores del bloqueo promedio de la red para 2

topologías de malla (EON y NSFNET) y las 2 topologías de anillo. Los resultados

para las otras topologías, que exhiben resultados similares, se encuentran en el

Anexo A.


69

Figura 5.3: Probabilidad de bloqueo de red en función de la carga de tráfico

obtenidas mediante simulación, y los modelos Erlang-B y Engset.

En las gráficas de la Figura 5.3, el eje vertical indica la probabilidad de

bloqueo de la red en escala logarítmica, mientras que el eje horizontal indica la carga

de tráfico de las conexiones en escala lineal. En el título del gráfico se indica la

topología utilizada y la capacidad asignada a cada enlace de la red (por ejemplo, la

red EON está equipada con 8 longitudes de onda por enlace). Para una mayor

facilidad de lectura, se han trazado líneas continuas en los gráficos, aunque los

valores obtenidos sólo son los puntos correspondientes a los símbolos de las líneas.

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico

Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico

EON - W8

Simulación Erlang-B Engset

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


NSFNet - W7


1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


Anillo 12 nodos - W14


1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico





70

A partir de las gráficas se observa que el modelo de pérdidas Engset genera

resultados más precisos que el modelo Erlang-B. Esto se debe a que el supuesto de

población infinita del modelo Erlang-B no es válido en una red WDM con

reservación de recursos fin a fin, debido a que el número de pares de nodos que

generan tráfico no es significativamente mayor que el número de longitudes de onda

por enlace. Por ejemplo, en la topología Eurolarge, el mayor número de pares de

nodos que utilizan un enlace es de 89, mientras que la capacidad del enlace también

se encuentra en las decenas. Estos resultados se repiten en las topologías no

mostradas: el modelo Engset siempre genera mejores resultados que el modelo de

Erlang-B en este tipo de red.

Un aspecto a destacar es la diferencia del error obtenido por el modelo Engset

entre topologías de malla y topologías de anillo. Mientras que en las topologías de

malla el mayor error registrado es de un en la topología Eurolarge con una

carga de tráfico de y capacidad de longitudes de onda (ver resultados en

Anexo A); en las topologías de anillo se registró un error máximo de un en

el anillo de 16 nodos con una carga de tráfico de y capacidad de 27 longitudes de

onda (ver resultados en Anexo A). Esto se debe a que en las topologías anillo la

suposición de independencia entre los enlaces es menos válida que en las topologías

de malla, por lo que la genera resultados menos precisos en el caso de topologías

anillo.


71

5.1.2 Carga Reducida vs Carga Reducida Generalizada

La siguiente comparación se realiza entre las distintas versiones de la

corrección de carga reducida. Para obtener la probabilidad de bloqueo de los enlaces

se utiliza el modelo Engset debido a que entrega mejores resultados como se mostró

en la sección 5.1.1. Debido a la combinación Engset – Carga reducida, esta sección

también representa parte de la propuesta de tesis.

Como se describió en la sección 4.1.1 del Capítulo 4, para obtener los valores

de probabilidad de bloqueo, las aproximaciones de carga reducida y carga reducida

generalizada utilizan un algoritmo iterativo de punto fijo, el cual se detiene cuando

los valores convergen o cuando la diferencia entre los valores de dos iteraciones

sucesivas es menor que un cierto valor establecido. En este trabajo, el algoritmo se

detiene cuando la diferencia entre el valor de la probabilidad de bloqueo de una

iteración es de no más de un respecto al valor de probabilidad de bloqueo de la

iteración anterior. Existen también algunos casos en los cuales el algoritmo no

converge a un único valor y queda iterando entre dos valores fijos distantes. Debido a

esto, también se estableció un límite de iteraciones permitidas. El límite de

iteraciones se fijó en 200, debido a que se comprobó empíricamente que el algoritmo,

cuando converge, lo realiza a lo más en 100 iteraciones (normalmente converge en

menos de 30 iteraciones). En los casos en que se sobrepasa el límite de iteraciones, se

revisan los valores de probabilidad de bloqueo de red de cada caso y se conserva

aquel valor que es mayor al valor obtenido para la carga de tráfico anterior. Por

ejemplo, para la aproximación de carga reducida, en el anillo de 12 nodos para una


72

carga de tráfico y capacidad de 15 longitudes de onda no se obtiene convergencia.

En este caso, los dos valores de probabilidad de bloqueo de red sobre los cuales el

algoritmo permaneció iterando fueron y . Debido a que la

probabilidad de bloqueo de la red para una carga de tráfico de es de ,

entonces se conserva el valor de para la carga de tráfico de .

Los resultados de la comparación de ambas aproximaciones se presentan en

las Figura 5.4 para 2 topologías de malla (EON y Eurolarge), y las topologías de

anillo. Los resultados para las otras topologías, que exhiben resultados similares, se

encuentran en el Anexo B.

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


EON - W8

Simulación RL GRL

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


Eurolarge - W20

Simulación RL GRL


73

Figura 5.4: Probabilidad de bloqueo de red calculada por simulación, utilizando la

aproximación carga reducida (RL) y la de carga reducida generalizada (GRL) en

función de la carga de tráfico.

En la Figura 5.4, la aproximación de carga reducida se indica por la sigla RL

(Reduced Load) mientras que la carga reducida generalizada por la sigla GRL

(Generalised Reduced Load).

Sólo la aproximación de carga reducida obtuvo casos en los que no se logra

converger a un único valor. Estos casos ocurrieron con una carga de tráfico de en

las 2 topologías de anillo y en la topología Eurolarge.

Es posible apreciar que las dos aproximaciones generan valores muy cercanos

a los valores de simulación. Debido a esto las curvas parecen superpuestas como se

ve en la topología EON. Esta situación se mantiene para todas las topologías de malla

excepto en la Eurolarge, en la cual la aproximación de carga reducida se diferencia de

la curva de simulación en las cargas de tráfico entre y . En la Figura 5.5 se

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico



Simulación RL GRL

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico



Simulación RL GRL


74

realiza un acercamiento al gráfico para los resultados de la topología EON de la

Figura 5.4 para facilitar la distinción entre los valores obtenidos por los dos métodos.

Figura 5.5: Probabilidad de bloqueo para la topología EON para aproximaciones de

carga reducida y carga reducida generalizada.

En las topologías de malla, la aproximación de carga reducida alcanza un

error máximo de un en la topología Eurolarge con carga de tráfico de y

capacidad de longitudes de onda (ver resultados en Anexo B), mientras que en las

topologías anillo se registra un error máximo de un en el anillo de 16 nodos

con carga de tráfico de y capacidad de longitudes de onda. En el caso de la

aproximación de carga reducida generalizada, el error máximo en topologías de malla

es de un en la topología Eurolarge con carga de tráfico de y capacidad de

longitudes de onda; mientras que en topologías de anillo el error máximo es de un

en el anillo de 16 nodos con carga de tráfico de y capacidad de

1,00E-01

1,00E+00

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


EON - W8

Simulación RL GRL


75

longitudes de onda. Por lo tanto, tomando como parámetro de comparación el error

máximo registrado, la aproximación de carga reducida generalizada es mejor que la

aproximación de carga reducida. Sin embargo, comparar en base al máximo error

puede no ser una medida totalmente confiable debido a que puede ser sólo una

singularidad la que provocó el máximo error y, en promedio, puede ser que la

aproximación de carga reducida sea mejor. Por lo tanto, se comparará también en

base al error promedio.

En el caso de la aproximación de carga reducida, de todas las topologías de

malla el máximo error promedio registrado es de un en la topología Eurolarge

con capacidad de longitudes de onda; en topologías anillo, el error alcanza un

en el anillo de 16 nodos con capacidad de longitudes de onda. En el caso

de la aproximación de carga reducida generalizada, el error en topologías de malla es

de un en la topología EON con capacidad de 7 longitudes de onda, mientras

que en topologías de anillo el error alcanza un en el anillo de 16 nodos con

capacidad de longitudes de onda. Por lo tanto, con este segundo criterio de

comparación se confirma que la aproximación de carga reducida generalizada entrega

mejores resultados que la aproximación de carga reducida.

El motivo por el cual la aproximación de carga reducida generalizada entrega

mejores resultados se debe a que considera el estado del enlace analizado. Un enlace

recibirá tráfico de una ruta cuando se pueda establecer la conexión asociada a la ruta


76

(en donde circulará tráfico por el enlace) o bien cuando es el enlace mismo el que

provoca el bloqueo de la conexión (si bien no circula tráfico en este caso, al enlace sí

le llegan solicitudes de conexión las cuales deben ser consideradas). Este último caso

no es considerado en la aproximación de carga reducida lo cual genera una menor

precisión en el método.

5.1.3 Engset vs correcciones vs combinación de correcciones

La tercera comparación se realiza entre 4 modelos: el modelo Engset (el cual

demostró entregar mejores resultados que Erlang-B en la sección 5.1.1) sin

combinarlo con ninguna corrección de carga; la propuesta de utilizar el modelo

Engset en conjunto con la aproximación de carga reducida generalizada (propuesta

descrita en la sección 4.1.1 del Capítulo 4), debido a que entrega mejores resultados

que la aproxima de carga reducida como se mostró en la sección 5.1.2; el uso del

modelo Engset con la aproximación de efecto de flujos en línea; y la propuesta de

usar el modelo Engset y una combinación de las aproximaciones de carga reducida

generalizada y de efectos de flujos en línea (propuesta descrita en la sección 4.1.2 del

Capítuo 4). En la Figura 5.6 se presentan los resultados para 2 topologías de malla

(Eurolarge y NSFNet) y las topologías de anillo. Los resultados para las otras

topologías, que exhiben resultados similares, se encuentran en el Anexo C.


77

Figura 5.6: Comparación entre Engset (Eng), Engset más carga reducida

generalizada (GRL), Engset más efecto de flujos en línea (SE) y Engset más

combinación de aproximaciones (GRLSE).

En la Figura 5.6, se presentan los resultados obtenidos por medio del modelo

de pérdidas Engset sin aplicar ninguna corrección, Engset más la aproximación de

carga reducida generalizada (GRL), Engset más la aproximación de efecto de flujos

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


Eurolarge - W20

Simulación Engset GRL

SE GRLSE

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


NSFNet - W7


SE GRLSE

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico




SE GRLSE

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico




SE GRLSE


78

en línea (SE, Streamline Effect) y Engset más la combinación de aproximaciones

(GRLSE, Generalised Reduced Load- Streamline Effect). Las siglas GRL y GRLSE

corresponden a las propuestas descritas en esta tesis (secciones 4.1.1 y 4.1.2 del

Capítulo 4, respectivamente).

En general, los valores obtenidos por los modelos son cercanos unos a otros,

excepto en casos particulares como en las topologías de anillo con el modelo Engset.

Debido al gran número de modelos a comparar, para facilitar el análisis a

continuación se muestran gráficos resumen con los porcentajes de error promedio y

máximo para cada método en cada topología con distintas capacidades. Los gráficos

se presentan en la Figura 5.7.

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%

Error promedio

Engset

GRL

SE

GRLSE 0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

Error promedio

Engset

GRL

SE

GRLSE


79

Figura 5.7: Errores promedio y máximo de cada modelo matemático en cada

topología de red con distintas capacidades.

De la Figura 5.7 se observa que el modelo Engset sin correcciones es el que

genera los mayores errores respecto a utilizar el modelo en conjunto con alguna

corrección. Este error es particularmente alto en el caso de topologías anillo, debido a

que en esas topologías existe una fuerte dependencia entre los enlaces. En el caso de

las correcciones, combinar el efecto de flujos en línea con la aproximación de carga

reducida generalizada (propuesta de la sección 4.1.2 del Capítulo 4) produce los

peores resultados entre las correcciones. Una razón para este comportamiento podría

ser el hecho de que la aproximación de efectos de flujos en línea no genera resultados

muy cercanos a los de simulación por sí solo lo cual, al combinar las aproximaciones,

deteriora los resultados de la aproximación de carga reducida en vez de mejorarlos.

Finalmente, la aproximación de carga reducida generalizada (propuesta de la sección

4.1.1 del Capítulo 4) genera mejores resultados que el efecto de flujos en línea, lo

cual la coloca como la mejor aproximación. En el caso de topologías de malla, el

error de la aproximación de carga reducida generalizada no supera el en

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

140%

Error máximo

Engset

GRL

SE

GRLSE 0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

140%

Error máximo

Engset

GRL

SE

GRLSE


80

comparación con el efecto de flujos en línea que alcanza un máximo de un . En

el caso de topologías anillo en cambio, los errores máximos entre las aproximaciones

de carga reducida generalizada y efecto de flujos en línea son similares ( y

respectivamente). Esto indica que en topologías de malla la corrección entre

enlaces de una misma ruta (aproximación de carga reducida generalizada) es más

fuerte que la corrección entre rutas que transitan por un mismo enlace (efecto de

flujos en línea). Sin embargo, en topologías de anillo ambas correcciones poseen

igual importancia, lo cual indica que puede existir una forma distinta al método

GRLSE para combinar las aproximaciones, en donde se asigne un grado de

importancia distinto a cada aproximación dependiendo de las características de la

topología de red. Esta observación será investigada en la siguiente sección.

5.1.4 Modelo empírico

Al realizar la comparación de resultados entre la aproximación de efecto de

flujos en línea y la aproximación de carga reducida generalizada aparecen dos

observaciones importantes. Una observación es que el error que poseen ambas

aproximaciones en topologías anillo es casi el mismo, como se vio en la sección

5.1.3. La otra observación es que, en general, la aproximación de carga reducida

generalizada genera valores mayores a los valores obtenidos por simulación, mientras

que la aproximación de flujos en línea siempre genera valores menores a los de

simulación (el único caso registrado en donde esto no se cumple es en la topología

Eurocore con capacidad de 2 longitudes de onda, en donde ambas aproximaciones


81

generan valores mayores a los de simulación). Esto ocurre tanto en topologías de

malla como en topologías de anillo. En la Figura 5.8 se presenta esta última

observación.

Figura 5.8: Los valores de simulación siempre quedan entre los valores obtenidos

por las aproximaciones.

En base a estas dos observaciones se plantea un nuevo método para calcular la

probabilidad de bloqueo a nivel de red, el cual consiste en realizar un promedio

ponderado entre ambas aproximaciones. La expresión para utilizar este método se

presenta en la fórmula (5.1).

En donde es la probabilidad de bloqueo de la red, y son las

probabilidades de bloqueo obtenidas por la aproximación de flujos en línea y carga

reducida generalizada respectivamente, y es un factor de peso que varía entre 0 y 1.

1,00E-01

1,00E+00

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


NSFNet - W6

Simulación GRL SE

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico



Simulación GRL SE


82

Para obtener el valor de , se utilizarán dos métodos: uno basado en el valor

de la conectividad de la red y otro basado en el inverso del grado nodal máximo de la

red.

La conectividad de la red es la proporción entre la cantidad de enlaces

existentes en la red y el total de enlaces que podrían existir en la red. Una

conectividad de 1 indica que existe un enlace entre cada par de nodos. La fórmula

(5.2) permite calcular la conectividad de la red.

El grado nodal máximo de la red es el máximo número de enlaces

bidireccionales que posee algún nodo. Por ejemplo, si existe un nodo que posea 3

enlaces y todo los demás nodos de la red poseen 2 enlaces, entonces el grado nodal

máximo será 3. Debido a que varía entre 0 y 1, se utilizará el inverso del grado

nodal máximo. En el caso del ejemplo .

Los resultados del nuevo método se comparan con los obtenidos por la

aproximación de carga reducida generalizada para 2 topologías de malla (EON y

Eurolarge) y las topologías de anillo en la Figura 5.9. Los resultados para las otras

topologías, que exhiben resultados similares, se encuentran en el Anexo D.


83

Figura 5.9: Comparación entre carga reducida generalizada (GRL), inverso del grado

nodal máximo (G°) y conectividad (Alpha).

En la Figura 5.9 la aproximación de carga reducida generalizada se indica por

las siglas “GRL”, el nuevo método utilizando como peso el inverso del grado nodal

máximo se indica por “G°” y utilizando como peso la conectividad por “Alpha”.

Los valores obtenidos por los métodos son muy cercanos entre sí. Al igual que

en la sección 5.1.3, debido a que se quiere comparar los 3 métodos a la vez, se

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


EON - W7

Simulación GRL G° Alpha

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


Eurolarge - W19


1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico




1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico





84

presentan gráficos resumen con los errores promedio y máximo para los 3 métodos

para cada topología de red con distintas capacidades en la Figura 5.10.

Figura 5.10: Errores promedio y máximo de cada método en cada topología de red

con distintas capacidades.

En la Figura 5.10 se observa que en topologías de anillo el nuevo método

genera los mejores resultados al utilizar como peso el inverso del grado nodal. Esto

ocurre debido a que las aproximaciones de carga reducida generalizada y el efecto de

flujos en línea poseen errores similares en las topologías de anillo, los cuales se

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

Error promedio

GRL

G°

Alpha 0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

Error promedio

GRL

G°

Alpha

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

Error máximo

GRL

G°

Alpha 0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

Error máximo

GRL

G°

Alpha


85

compensan al promediarse (el grado nodal en una topología anillo siempre es 2, por

lo que se produce un promedio aritmético entre las aproximaciones). En el caso de

topologías de malla, en algunos casos se obtienen mejores resultados con el nuevo

método utilizando como peso el grado nodal (2 de 12 casos), en otros casos es mejor

el nuevo método utilizando como peso la conectividad (7 de 12 casos) y en otros es

mejor la aproximación de carga reducida generalizada (3 de 12 casos). Si se

promedian los errores promedio de todas las topologías de malla, se obtienen errores

de un , y para la aproximación de carga reducida generalizada,

el nuevo método con el inverso del grado nodal como peso y el nuevo método con la

conectividad de peso respectivamente.

Por lo tanto, el nuevo método empírico obtiene mejores resultados que la

aproximación de carga reducida generalizada. En el caso de topologías anillo, el peso

se debe ajustar en base al inverso del grado nodal. En el caso de topologías de malla,

el peso se debe ajustar en base a la conectividad de la red. Si se desea utilizar un

único peso independiente de la topología, se sugiere utilizar el inverso del grado

nodal, debido a que no existe gran diferencia entre los errores obtenidos por ambos

pesos para el caso de topologías de malla, mientras que en topologías de anillo

utilizar de peso la conectividad genera grandes errores.


86

5.2 Matrices de tráfico lognormales

En esta sección se presentan los resultados obtenidos para el

dimensionamiento de una red dinámica con tráfico multi-hora y distintos modelos de

matrices de tráfico. Específicamente, se estudiaron 3 formas de distribución de

valores de carga de tráfico de las matrices de tráfico que fueron presentadas en la

sección 2.3 del Capítulo 2: uniforme, quasi-uniforme y lognormal. Los resultados se

obtuvieron por medio de simulación considerando una capacidad de red homogénea

(i.e. cada enlace de la red posee la misma cantidad de longitudes de onda) para los

algoritmos de ruteo SP, SP-FF y AUR-E presentados en el Capitulo 2 y en las

topologías de malla ARPANet, EON y NSFNet mostradas en la Figura 5.1.

El simulador desarrollado dimensiona la red para cumplir con una

probabilidad de bloqueo por conexión menor a en cualquier instante. Es decir,

en cualquier momento en que se evalúe la probabilidad de bloqueo de una conexión,

la razón entre el número de solicitudes bloqueadas y el número de solicitudes totales

debe ser menor a . El simulador genera una cantidad de eventos igual al número

de conexiones de la red amplificado por 10.000. Un evento en la simulación

corresponde a una solicitud de conexión entre un determinado par de nodos.

Para estudiar el impacto del tráfico multi-hora en el dimensionamiento, se

definieron 5 conjuntos de matrices de tráfico (S1-S5), presentados en la Tabla 5.1. Un

conjunto de matrices de tráfico contiene 2 o más matrices de tráfico, las cuales rigen


87

el comportamiento del tráfico de la red durante distintos periodos de tiempo (la

fracción de tiempo durante la cual una determinada matriz rige el comportamiento del

tráfico de la red se muestra en la fila de la Tabla 5.1). La carga de tráfico media

de una matriz queda determinada por el valor que se muestra en la fila . Por

ejemplo, el conjunto de matrices S1 posee 2 matrices de tráfico. La primera matriz se

aplica durante el 90% del tiempo total de la simulación, con una carga de tráfico

media de 0,35. Durante el 10% de tiempo restante, se cambia la matriz de tráfico por

una nueva matriz cuyo valor medio de carga de tráfico es de 0,67.

Tabla 5.1: Conjuntos de matrices de tráficos utilizadas en las simulaciones.

S1 S2 S3 S4 S5

M1 M2 M1 M2 M1 M2 M1 M2 M1 M2 M3

tk/t 0,9 0,1 0,1 0,9 0,1 0,9 0,9 0,1 0,8 0,15 0,05

k 0,35 0,67 0,35 0,67 0,67 0,35 0,67 0,35 0,2 0,5 0,8

En el caso de matrices de tráfico con distribución uniforme, cada elemento de

la matriz tiene el mismo valor que el valor medio . En el caso de matrices de tráfico

con distribución quasi-uniforme, cada elemento de la matriz toma un valor igual a

, donde corresponde a una variable aleatoria

distribuida uniformemente en el intervalo . Finalmente, en el caso de

matrices de tráfico lognormales, cada elemento de la matriz toma un valor igual a

, donde corresponde a una variable aleatoria lognormal con media


88

y varianza . Los valores de y se calculan a partir de y (el valor

medio y la varianza de los valores de las cargas de tráfico de la matriz de tráfico,

respectivamente) en base a las ecuaciones (2.2) y (2.3). El valor de requerido por

la expresión (2.2) corresponde al menor valor real que permite que el valor de

calculado por medio de (2.3) sea real.

Los periodos ON y OFF del tráfico generado por la fuente de un determinado

par de nodos se generaron por medio de una distribución exponencial. El tiempo

medio de duración en estado ON se fijó en mientras que el tiempo medio del

estado OFF se ajustó según la fórmula (2.1). Cada resultado presentado corresponde

al promedio de 20 simulaciones.

En las siguientes secciones se compara la capacidad requerida para

dimensionar la red entre las distintas formas de distribución de los valores de carga de

tráfico para cada algoritmo de ruteo. Se presentan primero los resultados para el caso

de redes sin conversión de longitud de onda, utilizando el algoritmo de asignación de

caminos ópticos SP-FF y luego el algoritmo AUR-E. Finalmente, se presentan los

resultados del caso de redes con conversión de longitud de onda utilizando el

algoritmo de ruteo SP.


89

5.2.1 SP-FF

Los resultados de la capacidad requerida en cada enlace de la red para los

conjuntos de matrices de tráfico descritos en la Tabla 5.1 cuando el algoritmo de

ruteo y asignación de longitudes de onda utilizado es SP-FF se presentan en la Figura

5.11.

Figura 5.11: Capacidad requerida por enlace (promedio de 20 simulaciones) para

cada conjunto de matrices de tráfico con el algoritmo SP-FF.

13

14

15

16

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce

Conjunto de matrices de tráfico

Capacidad requerida por enlace

NSFNet

uniforme quasi-uniforme lognormal

19

20

21

22

23

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



EON


28

29

30

31

32

33

34

35

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



ARPANet



90

En los gráficos de la Figura 5.11, la barra izquierda corresponde a los

resultados para la distribución uniforme; la barra del centro representa a la

distribución quasi-uniforme y la barra de la derecha a la distribución lognormal.

De los gráficos se observa que la distribución lognormal es la que requiere

menor capacidad por enlace de las 3 distribuciones, mientras que las distribuciones

uniforme y quasi-uniforme requieren capacidades similares.

En el caso de la distribución lognormal, la capacidad requerida es menor que

las otras distribuciones debido a que existen pares de nodos con una menor carga de

tráfico que la carga de tráfico promedio. Esto permite disminuir la congestión en

algunos enlaces de la red, dejando capacidad libre que es utilizada por las conexiones

que poseen una mayor carga de tráfico.

En el caso de la distribución quasi-uniforme, a pesar de existir pares de nodos

con una menor carga de tráfico que la carga de tráfico promedio no se obtiene el

mismo efecto que el descrito en la distribución lognormal, debido a que en la

distribución quasi-uniforme la cantidad de pares de nodos que poseen una carga de

tráfico menor que el promedio es similar a la cantidad de pares de nodos con carga de

tráfico mayor al promedio. Esto provoca un efecto de compensación en el cual la

disminución de la congestión generada por los pares de nodos con carga de tráfico

menor que el promedio es contrarrestado por el aumento de congestión generado por


91

los pares de nodos con carga de tráfico mayor al promedio, atenuando los beneficios

de utilizar tráfico heterogéneo como en el caso de la distribución lognormal.

En términos cuantitativos, el uso de la distribución lognormal resulta en una

disminución de la capacidad requerida por enlace en a lo más una longitud de onda

respecto a la distribución uniforme y quasi-uniforme. Siendo la distribución

lognormal un modelo más realista del comportamiento de las matrices de tráfico,

estos resultados indicarían que el uso de matrices uniformes o quasi-uniformes en el

dimensionamiento de una red resulta en un sobredimensionamiento de la misma.

5.2.2 AUR-E

Los resultados del dimensionamiento de la red para el algoritmo de ruteo y

asignación de longitudes de onda AUR-E se presentan en la Figura 5.12.

11

12

13

14

15

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



NSFNet


15

16

17

18

19

20

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



EON



92


cada conjunto de matrices de tráfico con el algoritmo AUR-E.

En los gráficos de la Figura 5.12 se observa el mismo comportamiento

descrito para el algoritmo SP-FF en la sección 5.2.1: la distribución lognormal es la

que requiere menor capacidad por enlace, mientras que las distribuciones uniforme y

quasi-uniforme requieren capacidades similares.

La capacidad requerida por enlace con el algoritmo AUR-E es menor que la

requerida por el algoritmo SP-FF debido a que el algoritmo AUR-E no se limita a

buscar recursos para establecer una conexión en una única ruta como en SP-FF, sino

que realiza una búsqueda exhaustiva de recursos por todas las rutas. Esto disminuye

la probabilidad de bloqueo con el costo de un mayor tiempo de procesamiento.

24

25

26

27

28

29

30

31

32

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



ARPANet



93

5.2.3 SP

El algoritmo SP pertenece a los algoritmos de ruteo para redes con conversión

de longitud de onda. Debido a que la red posee capacidad de conversión de longitud

de onda y se utiliza el algoritmo SP, considerar la misma cantidad de longitudes de

onda por enlace (capacidad homogénea) sobredimensiona la red, ya que un enlace

que es utilizado por X cantidad de rutas no requiere más de X longitudes de onda de

capacidad. Para evitar este sobredimensionamiento se puede utilizar

dimensionamiento heterogéneo, en donde los enlaces pueden poseer distintas

cantidades de longitudes de onda. Sin embargo, el dimensionamiento heterogéneo

posee el problema de cómo obtener la capacidad requerida por cada enlace, ya que

cada enlace puede aumentar o disminuir su capacidad de manera independiente

respecto a los otros enlaces generando un enorme espacio de búsqueda. Debido a este

problema del dimensionamiento heterogéneo, por simplicidad se usará

dimensionamiento homogéneo, en donde la capacidad requerida para el

dimensionamiento equivale a la capacidad requerida por el enlace que es utilizado por

el mayor número de rutas. Los resultados del algoritmo SP se presentan en la Figura

5.13.


94


cada conjunto de matrices de tráfico con el algoritmo SP.

En los gráficos de la Figura 5.13 se observa que el comportamiento de los

requerimientos de longitudes de onda varía con respecto a la topología y la

distribución de valores de las matrices de tráfico. En el caso de la topología NSFNet y

EON, la capacidad de red requerida resulta ser independiente del tipo de distribución

de la matriz de tráfico. En el caso de la topología ARPANet, existe mayor variación

en los resultados, repitiéndose el patrón de las secciones 5.2.1 y 5.2.2 en donde la

12

13

14

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



NSFNet


16

17

18

19

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



EON


25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



ARPANet



95

distribución lognormal es la que requiere la menor capacidad. Esta dependencia

puede deberse a la cantidad de longitudes de onda que se utilizan en cada topología

por el dimensionamiento homogéneo. En las topologías que requieren un mayor

número de longitudes de onda la disminución de una longitud de onda no aumenta

significativamente la probabilidad de bloqueo. Además, la disminución de una

longitud de onda afectará solo unos pocos enlaces debido a que no todos los enlaces

usan la máxima capacidad de longitudes de onda asignada a la red (debido a que se

está trabajando en una red con conversión de longitud de onda y dimensionamiento

homogéneo).

Una interrogante que puede surgir del gráfico de la topología ARPANet es por

qué los conjuntos de matrices S3 y S4 no poseen resultados similares a los conjuntos

de matrices S1 y S2 respectivamente. Esto se debe a que los conjuntos de matrices S1

y S2 comienzan con una carga baja de tráfico, lo que permite aumentar el número de

conexiones cursadas (i.e. no bloqueadas) en la red durante el periodo de carga baja en

la simulación. De esta forma, cuando comienza el periodo de carga alta y se

comiencen a bloquear las conexiones con mayor frecuencia, existirá un “saldo a

favor” en términos de bloqueo, heredado del periodo anterior. En cambio, los

conjuntos de matrices S3 y S4 comienzan con cargas altas por lo que no existe el

“saldo a favor” que poseen los conjuntos de matrices S1 y S2, con lo cual se

incumple inmediatamente el contrato estricto y se debe aumentar la capacidad de la

red.


96

5.3 Contratos estrictos y flexibles

En esta sección se evalúa el impacto de la utilización de contratos estrictos y

flexibles en el dimensionamiento de una red con tráfico multi-hora. Para esto, el

dimensionamiento de la red para cada tipo de contrato se realizó para las mismas 3

formas de distribución de valores de carga de tráfico de las matrices de tráfico de la

sección anterior: uniforme, quasi-uniforme y lognormal. Los resultados se obtuvieron

por medio de simulación considerando una capacidad de red homogénea (i.e. cada

enlace de la red posee la misma cantidad de longitudes de onda) para los algoritmos

de ruteo SP, SP-FF y AUR-E presentados en el Capitulo 2 y en las topologías de

malla ARPANet, EON y NSFNet mostradas en la Figura 5.1. Se utilizaron los

mismos conjuntos de matrices de tráfico definidos en la Tabla 5.1.

Para el dimensionamiento de la red con contratos flexibles, se utilizó el mismo

simulador desarrollado para la sección 5.2, pero cambiando la condición que debe

cumplir la red. Es decir, en vez de cumplir con una probabilidad de bloqueo por

conexión menor a en cualquier instante, solo se debe cumplir con que la

probabilidad de bloqueo por conexión sea menor a al finalizar la simulación.

Además, para acelerar el proceso de simulación, en vez de comenzar todas las

simulaciones de un mismo caso con una capacidad de red de 1 longitud de onda por

enlace (como se indica en la Figura 4.3 del Capítulo 4) solo la primera simulación

comienza desde una capacidad de 1 longitud de onda por enlace y desde la segunda se

comienza con una capacidad por enlace igual a dos unidades menos que la encontrada


97

en la primera simulación. Por ejemplo, si en la primera simulación se obtiene que la

capacidad requerida para el caso del algoritmo SP-FF en la topología NSFNet con

distribución de valores lognormales para el conjunto de matrices S2 es de 14

longitudes de onda por enlace, entonces todas las otras simulaciones para el mismo

caso comenzarán desde 12 longitudes de onda por enlace.

Para el dimensionamiento de la red con contratos estrictos se utilizan los

resultados obtenidos en la sección 5.2, debido a que la condición que debe cumplir el

dimensionamiento pertenece a la categoría de un contrato estricto.

En las siguientes secciones se compara la capacidad requerida para

dimensionar la red con contratos estrictos y flexibles para cada algoritmo de ruteo. Se

presentan primero los resultados para el algoritmo de ruteo SP-FF, luego para AUR-E

y finalmente para el algoritmo SP.

5.3.1 SP-FF


asignación de longitudes de onda SP-FF se presentan en la Figura 5.14.


98


cada conjunto de matrices de tráfico con el algoritmo SP-FF.

En la Figura 5.14 solo se presenta la comparación entre contratos para la

topología NSFNet con valores de matrices de tráfico distribuidas de manera uniforme

debido a que en las otras topologías y en los otros tipos de distribuciones de valores

se obtiene el mismo comportamiento (más resultados en el Anexo E). En el gráfico,

los resultados para el contrato estricto se indica por “uniforme-estricto” y los

resultados para el contrato flexible se indica por “uniforme-flexible”.

A partir del gráfico se observa que utilizar el contrato flexible no genera

ningún tipo de beneficio respecto a utilizar el contrato estricto. Esto se debe a que la

condición impuesta en el contrato flexible aún es muy estricta, ya que es suficiente

con que una conexión supere la probabilidad de bloqueo permitida para que toda la

red deba aumentar su capacidad. Una condición diferente de contrato flexible se

presentó en [83], en donde la probabilidad de bloqueo media de la red (no de cada

13

14

15

16

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



NSFNet

uniforme-estricto uniforme-flexible


99

conexión, como se estudia aquí) debe mantenerse bajo un cierto valor. Esto permite

ahorrar longitudes de onda en la red, ya que algunas conexiones pueden superar el

valor umbral. En la Figura 5.15 se extiende la comparación de la Figura 5.14 para

incluir parte de los resultados presentados en [83], indicados en la figura por

“uniforme-flexible [83]”.

Figura 5.15: Extensión de la Figura 5.14 incluyendo los resultados de [83].

5.3.2 AUR-E


asignación de longitudes de onda AUR-E se presentan en la Figura 5.16.

12

13

14

15

16

S1 S2 S3 S4

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



NSFNet

uniforme-estricto uniforme-flexible uniforme-flexible [83]


100


cada conjunto de matrices de tráfico con el algoritmo AUR-E.

En la Figura 5.16 solo se presenta la comparación entre contratos para la

topología NSFNet con valores de matrices de tráfico distribuidas de manera

lognormal debido a que en las otras topologías y en los otros tipos de distribuciones

de valores se obtiene el mismo comportamiento (más resultados en el Anexo F).

Al igual que en el caso de SP-FF de la sección 5.3.1, no existen beneficios en

utilizar el contrato flexible respecto a utilizar el contrato estricto. Utilizar condiciones

más flexibles como en [83] si permite obtener ahorros de longitudes de onda en la

red. En la Figura 5.17 se extiende la comparación de la Figura 5.16 para incluir parte

de los resultados presentados en [83], indicados en la figura por “lognormal-flexible

[83]”.

11

12

13

14

15

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



NSFNet

lognormal-estricto lognormal-flexible


101

Figura 5.17: Extensión de la Figura 5.16 incluyendo los resultados de [83].

5.3.3 SP

Los resultados del dimensionamiento de la red para el algoritmo SP se

presentan en la Figura 5.18.

10

11

12

13

14

S1 S2 S3 S4

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



NSFNet

lognormal-estricto lognormal-flexible lognormal-flexible [83]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



NSFNet


16

17

18

19

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



EON



102


cada conjunto de matrices de tráfico con el algoritmo SP.

En la Figura 5.18 solo se muestran los gráficos para la distribución lognormal

debido a que las otras distribuciones mantienen el mismo patrón (más resultados en el

Anexo G).

En los gráficos se observa que utilizar contratos flexibles permite eliminar el

efecto de no poseer un “saldo a favor” de bloqueo en los conjuntos de matrices S3 y

S4. Esto se debe a que el contrato flexible utilizado exige que la probabilidad de

bloqueo de las conexiones sea menor que un límite solo al final del último periodo y

no en cualquier instante como en el caso del contrato estricto. Esto elimina el efecto

de “saldo a favor” expuesto en la sección 5.2.3 y permite que el dimensionamiento de

la red en los casos de los conjuntos S3 y S4 disminuya.

25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



ARPANet



103

Finalmente, el contrato flexible utilizado permite disminuir la capacidad de la

red respecto a utilizar contratos estrictos (sin considerar el efecto de “saldo a favor”)

solo en el conjunto de matrices S2 en la topología ARPANet. Esto se debe a que en el

caso del contrato estricto, el dimensionamiento es sensible a ráfagas de bloqueo. Es

decir, si en el periodo de caga alta una conexión sufre varios bloqueos seguidos los

cuales aumentan la probabilidad de bloqueo al nivel de incumplir el contrato estricto,

entonces la capacidad de la red es insuficiente y se debe aumentar, a pesar de que

posterior a la ráfaga de bloqueos la conexión no vuelva a bloquearse y la probabilidad

de bloqueo vuelva a quedar en niveles aceptables. En cambio, el contrato flexible

utilizado no es sensible a estas ráfagas, lo que permite disminuir los requerimientos

de la red.

5.4 Resumen

En este capítulo se presentaron los resultados para cada línea de trabajo:

modelos matemáticos de evaluación de la probabilidad de bloqueo de las conexiones,

impacto de la distribución de carga utilizada para las matrices de tráfico (uniforme,

quasi-uniforme y lognormal) en el dimensionamiento de la red con tráfico multi-hora

e impacto del uso de contratos flexibles en el dimensionamiento de una red con

tráfico multi-hora.

En el caso de los modelos matemáticos para redes con conversión de longitud

de onda y ruteo fijo, se realizó una comparación entre los modelos existentes en la


104

literatura, una comparación entre las correcciones de la literatura y una comparación

entre los modelos y correcciones de la literatura con la propuesta de trabajo,

obteniendo los mejores resultados el modelo Engset incluyendo la corrección de

carga reducida generalizada. Además, se incorporó una nueva propuesta que nace de

dos observaciones obtenidas en los resultados, la cual entrega mejores resultados que

el modelo Engset con la corrección de carga reducida generalizada.

En el análisis del impacto del tipo de matriz de tráfico, se realizó una

comparación del dimensionamiento de la red utilizando distribuciones uniforme,

quasi-uniforme y lognormal para los algoritmos SP-FF, AUR-E y SP. En la mayoría

de los casos la distribución lognormal permite disminuir los requerimientos de la red

respecto a utilizar una distribución uniforme o quasi-uniforme.

Finalmente se realizó una comparación entre la capacidad de red requerida

cuando se utilizan contratos estrictos y flexibles para los algoritmos SP-FF, AUR-E y

SP. De manera inesperada, en los algoritmos SP-FF y AUR-E no se obtuvieron

beneficios al utilizar contrato flexible. En ambos algoritmos se esperaba obtener una

disminución en los requerimientos de longitudes de onda en la red debido a que se

relajaba la condición de dimensionamiento. Sin embargo, la relajación realizada a la

condición de dimensionamiento no fue suficiente para generar ahorros a diferencia de

lo presentado en [83], en donde existe un mayor grado de relajación y si existen

ahorros en longitudes de onda. En el caso del algoritmo SP, se obtuvieron dos

beneficios. Un beneficio es que el contrato flexible permite eliminar el efecto de


105

“saldo a favor” presentado en la sección 5.2.3. El otro beneficio es que permite

disminuir los requerimientos de la red en los casos que existan ráfagas de bloqueo en

las conexiones.

En el capitulo siguiente, se presentan las conclusiones y posibles extensiones

al trabajo presentado.

Conclusiones y trabajos futuros

106

Capítulo 6


En este capítulo se presentan las conclusiones del trabajo realizado y sus

posibles extensiones.

6.1 Conclusiones

En este trabajo se han desarrollado tres líneas de investigación: modelos

matemáticos para la evaluación de la probabilidad de bloqueo de conexiones en una

red óptica WDM dinámica con reservación de recursos fin a fin, análisis del impacto

de distintos modelos de matrices de tráfico en el dimensionamiento de una red bajo

tráfico multi-hora y análisis del impacto de distintos tipos de contrato de calidad de

servicio en el dimensionamiento de una red bajo tráfico multi-hora.


107

En el estudio y propuesta de modelos matemáticos, inicialmente el autor de

esta tesis propuso dos algoritmos para calcular la probabilidad de bloqueo en redes

del tipo fin a fin con capacidad de conversión de longitud de onda y ruteo fijo. El

primero de ellos consistía de aplicar la corrección de carga reducida al modelo de

perdidas Engset, mientras que el segundo consistía en combinar la corrección de

carga reducida con la corrección del efecto de flujos en línea para generar una

corrección más precisa. Posteriormente, producto de los resultados obtenidos, se

propuso un tercer modelo que combinaba de una forma distinta (respecto a la 2°

combinación) las correcciones de carga reducida y el efecto de flujos en línea.

Se realizaron diferentes comparaciones entre los modelos matemáticos

existentes en la literatura y las propuestas para 8 topologías de red (6 topologías de

malla y 2 topologías de anillo). Las principales conclusiones obtenidas fueron:

- para redes del tipo fin a fin el modelo de pérdidas Engset genera

resultados más cercanos a los de simulación respecto al modelo Erlang-B.

Sin embargo, en las topologías de tipo anillo los resultados obtenidos con

el modelo Engset poseen diferencias de hasta un 127,2%. Esta diferencia

radica principalmente en la suposición de independencia de bloqueo entre

enlaces utilizada.

- la aproximación de carga reducida generalizada produce resultados más

cercanos a la simulación (con una diferencia máxima de un 34,8% en

topologías anillo) respecto a la aproximación de carga reducida (que posee

una diferencia máxima de un 87,8% en las topologías de anillo).


108

- Entre las alternativas: modelo de pérdidas Engset sin correcciones, modelo

Engset con la aproximación de carga reducida generalizada (primer

algoritmo de la propuesta), modelo Engset con la corrección de efecto de

flujos en línea y modelo Engset con la combinación de las correcciones

(segundo algoritmo de la propuesta), se obtuvo que el método con

resultados más cercanos a los de simulación es el modelo Engset con la

aproximación de carga reducida generalizada (primer algoritmo de la

propuesta), con una diferencia máxima de un 10% y un 34,8% en

topologías de malla y anillo respectivamente. A continuación le sigue el

modelo Engset con la corrección del efecto de flujos en línea con

diferencias máximas de un 35,4% y un 34,4% en topologías de malla y

anillo respectivamente. Le sigue el modelo Engset con la combinación de

correcciones (segundo algoritmo de la propuesta) y por último el modelo

Engset sin correcciones, el cual obtuvo las mayores diferencias con los

resultados de simulación.

- Se propuso una nueva forma de combinación entre las correcciones (tercer

algoritmo de la propuesta) que pondera los resultados obtenidos por cada

corrección para generar los resultados finales. Esta propuesta obtuvo los

resultados más cercanos a los de simulación respecto a los obtenidos con

el modelo Engset con la corrección de carga reducida, lo cual sitúa a la

tercera propuesta como el método que entrega los resultados más cercanos

a los de simulación.


109

Por lo tanto, para redes del tipo fin a fin se debe utilizar el modelo de pérdidas

Engset en conjunto con alguna corrección que permita atenuar la suposición de

independencia de bloqueo entre enlaces. En los casos que se utilice la corrección de

carga reducida, se debe utilizar la aproximación de carga reducida generalizada la

cual posee un mejor desempeño (i.e. genera valores más cercanos a los obtenidos por

simulación) que la aproximación de carga reducida. En orden de desempeño, primero

se ubica el tercer algoritmo de la propuesta, luego el primer algoritmo de la propuesta

y, finalmente, el efecto de flujos en línea.

Respecto del uso de matrices de tráfico más reales, se comparó el impacto de

utilizar las distribuciones uniforme, quasi-uniforme y lognormal en el

dimensionamiento de una red dinámica WDM con los algoritmos de ruteo SP-FF,

AUR-E y SP en 3 topologías de malla. Por medio de simulación se mostró que el

utilizar matrices de tráfico lognormales disminuye los requerimientos de longitudes

de onda de la red respecto a utilizar matrices de tráfico con distribución uniforme o

quasi-uniforme.

La cantidad de recursos ahorrados con la distribución lognormal respecto a la

distribución uniforme y quasi-uniforme depende de la topología de red. Los mayores

ahorros se registran en la topología ARPANet (la más grande de las 3 topologías

estudiadas) mientras que los menores ahorros se registran en la topología NSFNet (la

más pequeña de las 3 topologías).


110

Finalmente, en los contratos de calidad de servicio, se comparó los recursos

requeridos al dimensionar una red cuando se utiliza un contrato estricto y un contrato

flexible. La comparación se efectuó bajo las mismas condiciones que la comparación

anterior de matrices de tráfico más reales.

Un resultado inesperado fue el obtenido para los algoritmos de ruteo SP-FF y

AUR-E, en donde se obtuvo los mismos requerimientos de capacidad para ambos

tipos de contratos. Esto se debe a que el contrato flexible utilizado aún es muy

estricto (ya que exige rendimiento a nivel de conexión), lo cual impide obtener

ahorros. Un contrato más flexible fue utilizado en [83], en donde sí se obtuvieron

ahorros de longitudes de onda respecto al contrato estricto al establecer las

condiciones del contrato a nivel de red. En el caso del algoritmo SP, el contrato

flexible permite eliminar el efecto de “saldo” de las simulaciones, otorga tolerancia a

ráfagas de bloqueo en las conexiones y permite disminuir la capacidad requerida en la

red respecto al contrato estricto.

6.2 Trabajos Futuros

Cada línea de trabajo presentada posee posibles extensiones que pueden ser

investigadas.

En los modelos matemáticos, el modelo de combinación de correcciones por

medio de ponderación (tercer algoritmo de la propuesta) es un modelo que surgió a


111

partir del análisis de los resultados. Debido a esto, no existe un fundamento

matemático que explique por qué el modelo funciona. Además, pueden existir otras

formas de calcular el peso de las ponderaciones que puedan entregar mejores

resultados que los presentados. Una línea de investigación a seguir es justificar

matemáticamente el funcionamiento de este nuevo modelo, mientras que otra línea de

investigación puede buscar la proporción óptima en la que deban combinarse los

valores de las aproximaciones.

Por otro lado, los modelos matemáticos propuestos pertenecen al área de

algoritmos de ruteo fijo en redes con conversión de longitud de onda. Otra línea de

investigación es extender los modelos propuestos para algoritmos de ruteo alternado

y adaptivo, como también para redes sin conversión de longitud de onda.

En el área de matrices de tráfico más reales, el estudio se realizó para 3

topologías de malla y para dimensionamiento homogéneo. Una extensión al trabajo

realizado sería aumentar el número de topologías en las cuales se efectúan las

comparaciones, mientras que otra extensión a seguir es realizar la comparación bajo

dimensionamiento heterogéneo. Una tercera extensión a esta línea es comparar los

requerimientos del modelo lognormal con otros modelos de distribución de valores de

tráfico, como los presentados en el Capítulo 2 pero que no fueron considerados en

este trabajo.


112

En el caso de los contratos de calidad de servicio, el análisis se realizó para un

solo tipo de contrato flexible. Una línea de investigación es dimensionar la red con

otros tipos de contratos flexibles. Otra línea de investigación es el utilizar diferentes

clases para diferentes conexiones, en donde algunas conexiones pertenecerán a la

clase regida por un contrato flexible mientras que otras conexiones pertenecerán a la

clase regida por un contrato estricto. Una tercera línea de investigación es realizar la

comparación entre contratos para dimensionamiento heterogéneo. En este caso, se

debe modificar el algoritmo presentado en el diagrama 4.3, generar un nuevo

algoritmo o plantear un modelo de optimización. En el caso del modelo de

optimización para un modelo multi-hora de períodos, a continuación se plantea una

propuesta para redes con conversión de longitud de onda y ruteo fijo considerando el

contrato flexible utilizado en este trabajo:


113

En donde es la capacidad del enlace , es el máximo valor para un

conjunto de posibles valores para longitudes de onda , es una variable

de decisión binaria que toma el valor 1 si el enlace posee longitudes de onda y 0

en otro caso, es el valor de la probabilidad de bloqueo del enlace en el periodo

cuando posee una capacidad , y es el valor límite permitido del enlace, el cual

se determina a partir del valor límite permitido de la conexión por medio de la

fórmula 6.5 [84].

Donde es el número de saltos de la ruta más larga que utiliza el enlace .

Esta formulación tiene por objetivo minimizar el número de longitudes de

onda instaladas en la red (ecuación (6.1)), sujeto a la condición de que la probabilidad

de bloqueo promedio de cada conexión sea menor a un valor límite

(ecuaciones (6.4) y (6.5)). La ecuación (6.4) representa la condición de que la

probabilidad de bloqueo promedio de cada enlace sea menor a un valor límite

mientras que la ecuación (6.5) permite relacionar los valores límites de las conexiones

y los enlaces ( y respectivamente). La ecuación (6.3) exige que cada enlace

debe poseer una cantidad determinada de longitudes de onda (i.e. un enlace no puede

poseer dos capacidades distintas simultáneamente) mientras que la ecuación (6.2)

determina la cantidad de longitudes de onda de cada enlace.

114

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algorithm for end-to-end optical burst switching networks with ON-OFF traffic

model”, 11th

International IFIP Conference, Optical Network Design and

Modeling, ONDM 2007, Atenas, Grecia, Mayo 2007

120

Anexo A

En este anexo se presentan los resultados de la comparación entre el modelo

de pérdidas Erlang-B y el modelo de pérdidas Engset para cada topología de red

presentada en la Figura 5.1 y 5.2 del Capítulo 5.

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico




1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico




1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico




1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico




Anexo A

121

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


Arpanet - W10


1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


Arpanet - W11


1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


EON - W7


1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


EON - W8


1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


Eurocore - W2


1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


Eurocore - W3


Anexo A

122

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


Eurolarge - W19


1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


Eurolarge - W20


1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


NSFNet - W6


1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


NSFNet - W7


1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


UKNet - W10


1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


UKNet - W11


123

Anexo B

En este anexo se presentan los resultados de la comparación entre la

aproximación de carga reducida y carga reducida generalizada para cada topología de

red presentada en la Figura 5.1 y 5.2 del Capítulo 5.

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico



Simulación RL GRL

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico



Simulación RL GRL

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico



Simulación RL GRL

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico



Simulación RL GRL

Anexo B

124

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


Arpanet - W10

Simulación RL GRL

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


Arpanet - W11

Simulación RL GRL

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


EON - W7

Simulación RL GRL

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


EON - W8

Simulación RL GRL

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


Eurocore - W2

Simulación RL GRL

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


Eurocore - W3

Simulación RL Engset

Anexo B

125

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


Eurolarge - W19

Simulación RL GRL

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


Eurolarge - W20

Simulación RL GRL

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


NSFNet - W6

Simulación RL GRL

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


NSFNet - W7

Simulación RL GRL

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


UKNet - W10

Simulación RL GRL

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


UKNet - W11

Simulación RL Engset

126

Anexo C


de pérdidas Engset sin corrección, el modelo Engset con la corrección de carga

reducida generalizada, el modelo Engset con la corrección del efecto de flujos en

línea y el modelo Engset con la combinación de aproximaciones para cada topología

de red presentada en la Figura 5.1 y 5.2 del Capítulo 5.

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico




SE GRLSE

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico




SE GRLSE

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico




SE GRLSE

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico




SE GRLSE

Anexo C

127

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


Arpanet - W10


SE GRLSE

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


Arpanet - W11


SE GRLSE

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


EON - W7


SE GRLSE

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


EON - W8


SE GRLSE

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


Eurocore - W2


SE GRLSE

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


Eurocore - W3


SE GRLSE

Anexo C

128

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


Eurolarge - W19


SE GRLSE

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


Eurolarge - W20


SE GRLSE

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


NSFNet - W6


SE GRLSE

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


NSFNet - W7


SE GRLSE

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


UKNet - W10


SE GRLSE

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


UKNet - W11


SE GRLSE

129

Anexo D


Engset con la corrección de carga reducida generalizada, el modelo empírico

utilizando de peso el inverso del grado nodal y el modelo empírico utilizando de peso

la conectividad para cada topología de red presentada en la Figura 5.1 y 5.2 del

Capítulo 5.

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico




1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico




1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico




1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico




Anexo D

130

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


Arpanet - W10


1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


Arpanet - W11


1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


EON - W7


1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


EON - W8


1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


Eurocore - W2


1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


Eurocore - W3


Anexo D

131

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


Eurolarge - W19


1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


Eurolarge - W20


1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


NSFNet - W6


1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


NSFNet - W7


1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


UKNet - W10


1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Pro

ba

bil

idad

de b

loq

ueo

Carga de tráfico


UKNet - W11


132

Anexo E

En este anexo se presentan los resultados de la comparación entre el contrato

estricto y el contrato flexible para el algoritmo de ruteo y asignación de longitudes de

onda SP-FF para las topologías NSFNet, EON y ARPANet presentadas en la Figura

5.1.

13

14

15

16

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



NSFNet


20

21

22

23

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



EON


29

30

31

32

33

34

35

36

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



ARPANet


Anexo E

133

13

14

15

16

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



NSFNet

quasi-uniforme-estricto quasi-uniforme-flexible

20

21

22

23

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



EON


29

30

31

32

33

34

35

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



ARPANet


Anexo E

134

13

14

15

16

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



NSFNet


18

19

20

21

22

23

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



EON


28

29

30

31

32

33

34

35

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



ARPANet


135

Anexo F


estricto y el contrato flexible para el algoritmo de ruteo y asignación de longitudes de

onda AUR-E para las topologías NSFNet, EON y ARPANet presentadas en la Figura

5.1.

11

12

13

14

15

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



NSFNet


16

17

18

19

20

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



EON


26

27

28

29

30

31

32

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



ARPANet


Anexo F

136

11

12

13

14

15

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



NSFNet


16

17

18

19

20

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



EON


26

27

28

29

30

31

32

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



ARPANet


Anexo F

137

11

12

13

14

15

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



NSFNet


15

16

17

18

19

20

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



EON


24

25

26

27

28

29

30

31

32

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



ARPANet


138

Anexo G


estricto y el contrato flexible para el algoritmo de ruteo SP para las topologías

NSFNet, EON y ARPANet presentadas en la Figura 5.1.

12

13

14

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



NSFNet


16

17

18

19

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



EON


27

28

29

30

31

32

33

34

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



ARPANet


Anexo G

139

12

13

14

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



NSFNet


16

17

18

19

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



EON


27

28

29

30

31

32

33

34

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



ARPANet


Anexo G

140

12

13

14

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



NSFNet


16

17

18

19

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



EON


25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

S1 S2 S3 S4 S5

Lo

ng

itu

des

de o

nd

a

pro

med

io p

or e

nla

ce



ARPANet


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