DIKTAT ALJABAR LINEAR · 2017. 7. 27. · 1.4 Operasi Aljabar Pada Matriks. 1.5 Transpose Matriks....

1

DIKTAT

ALJABAR LINEAR( MKK 3003 )

Disusun Oleh:

I GUSTI NGURAH PUTU TENAYA, ST., MT.

PROGRAM STUDI TEKNIK MESINFAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS UDAYANA2017

2

KATA PENGANTAR

Suatu hal biasa jika terdengar ungkapan bahwa mata kuliah aljabar linear

adalah mata kuliah yang sulit. Ungkapan ini tidak selamanya benar karena mata

kuliah aljabar linear justru bisa menjadi mata kuliah yang mudah, menarik, dan

menantang kreativitas berpikir. Sulitnya mata kuliah aljabar linear sebenarnya

disebabkan oleh beberapa faktor, di antaranya cara penyajian. Cara penyajian baik

secara lisan maupun tulisan, sangat berpengaruh terhadap mudah atau tidaknya mata

kuliah aljabar linear diserap.

Belajar aljabar linear bukanlah beban yang harus dipikul mahasiswa, terutama

untuk menghafal rumus-rumusnya. Namun, belajar aljabar linear lebih ditekankan

pada pemahaman konsep-konsep, kelancaran berprosedur dan penalaran adaptif.

Berdasarkan hal tersebut, penulis mencoba mewujudkan pemikiran tentang

konsep penyajian mata kuliah aljabar linear yang mudah dan terarah dalam diktat

mata kuliah aljabar linear untuk mahasiswa Jurusan Teknik Mesin Fakultas Teknik

Universitas Udayana. Dengan demikian, diharapkan mahasiswa dapat dengan mudah

mempelajari aljabar linear dan menjadikan mata kuliah aljabar linear sebagai mata

kuliah favorit. Untuk mencapai tujuan ini, penulis menyajikan pelajaran secara

komunikatif yang mengacu pada fenomena mutakhir dan keseharian mahasiswa.

Materi pelajaran tersaji dengan bahasa yang sederhana dan dimulai dari materi yang

mudah hingga materi yang sulit. Tentu saja materi pelajaran disertai dengan contoh-

contoh soal yang disertai dengan penyelesaiannya dan tugas-tugas.

Materi pelajaran dalam diktat aljabar linear untuk mahasiswa Jurusan Teknik

Mesin Fakultas Teknik Universitas Udayana merupakan materi dasar yang akan

berguna untuk kita. Oleh karena itu, mahasiswa hendaknya benar-benar cermat

mempelajarinya karena merupakan kunci untuk mempermudah mempelajari mata

kuliah selanjutnya. Jadi, persiapkanlah diri sebaik mungkin dan buanglah perasaan

bahwa mata kuliah aljabar linear adalah mata kuliah yang sulit.

Akhir kata, penulis berharap diktat ini benar-benar berguna sebagai pemandu

mempelajari mata kuliah aljabar linear secara mudah. Aljabar linear akan bisa

dikuasai jika biasa belajar dan berlatih. Selamat belajar dan semoga berhasil.

3

Bukit Jimbaran, Maret 2017Jurusan Teknik Mesin FT UNUD

Penyusun,

4

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ......................................................................... ii

DAFTAR ISI ...................................................................................... iv

SILABUS ...................................................................................... vi

BAB I MATRIKS .............................................................................. 11.1 Pengertian Matriks…………………………………………. 11.2 Jenis-Jenis Matriks Khusus …….…………………......... 41.3 Kesamaan Dua Matriks …………………………….......... 91.4 Operasi Aljabar Pada Matriks …..……………………… 111.5 Transpose Matriks ……………………………………….. 191.6 Transformasi atau Operasi Elementer Pada Baris dan

Kolom Suatu Matriks .....………………………….......... 201.7 Matriks Ekivalen …………………………………………. 231.8 Latihan Soal- Soal ………………………………………. 25

BAB II DETERMINAN ........ ............................................................. 272.1 Pengertian Determinan ................................................ 272.2 Menentukan Harga Determinan ………………………… 272.3 Sifat-Sifat Determinan ……………..…………………… 362.4 Latihan Soa-Soal ….………………………………………. 40

BAB III INVERS MATRIKS .................... ......................................... 413.1 Pengertian Invers Matriks .............................................. 413.2 Menentukan Invers Matriks ........................................... . 413.3 Latihan Soal_Soal ..………………………………………. 49

BAB IV SISTEM PERSAMAAN LINIER …………………………… 514.1 Pengertian Sistem Persamaan Linear .............................. 514.2 Metode Eliminasi Gauss ................................................. 524.3 Metode Operasi Baris Elemen ........................................ 544.4 Metode Cramer .............................................................. 564.5 Metode Invers Matriks ................................................... 634.6 Latihan Soal-Soal .......................................................... 67

BAB V BILANGAN KOMPLEKS .................................................... . 695.1 Pegertian Bilangan Kompleks ....................................... .. 695.2 Gambar Bilangan Kompleks ........................................... 705.3 Operasi Hitung Pada Bilangan Kompleks ….................... 705.4 Bilangan Kompleks Dalam Bentuk Kutub ....................... 735.5 Latihan Soal Soal ….…………….................................. 78

5

BAB VI HITUNG VEKTOR .................................................... ......... 816.1 Definisi ....................................................................... .. 816.2 Gambar Vektor............................................................... 816.3 Operasi Hitung Vektor …................................................ 826.4 Sifat-Sifat Vektor............................................ ................ 856.5 Menyatakan Sebuah Vektor …………….......................... 866.6 Perkalian Dalam Aljabar Vektor ……………................... 896.7 Perkalian Silang ……………........................................... 926.8 Latihan Soal-Soal ……................................................. 96

DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………. 98

LAMPIRAN ………………………………………………………………… 99

6

SILABUS BERBASIS KOMPETENSI

Jurusan/PS : Teknik Mesin.Mata Kuliah : Aljabar Linear.Kode : MD. 3003.SKS : 3 (SKS).Semester : III (tiga).Prasyarat : Kalkulus I.

Kalkulus II.

Standar Kompotisi : dapat mengetahui, memahami dan menerapkanteorema–teorema (kaidah) dasar matematika seperti penggunaan matrik ,determinan dan nilai invers dalam penyelesaian sistem persamaan linear dll.

No Kompotensi Dasar Indikator Capaian Materi Pokok1 2 3 41 1. Dapat mengetahui dan

memahami teoremamatriks.

1. Dapat menjelaskan danmelakukan operasimatriks.

1.1 Pengertian Matriks.1.2 Jenis Matriks Khusus.1.3 Kesamaan Dua Matriks.1.4 Operasi Aljabar Pada

Matriks.1.5 Transpose Matriks.1.6 Transpormasi atau

Operasi Elementer PadaBaris dan kolom SuatuMatriks.

1.7 Matrik Ekivalen.1.8 Latihan Soal-Soal.

2 2. Dapat mengetahui,memahami determinan.

2. Dapat menjelaskan danmenentukan nilaideterminan.

2.1 Pengertian Determinan.2.2 Menentukan Harga

Determinan.2.3 Sifat-Sifat Determinan.2.4 Latihan Soal-Soal.

3 4. . Dapat mengetahui,memahami inversmatriks.

4. Dapat menjelaskan danmenentukan nilai inversmatriks.

3.1 Pengertian InversMatrik.

3.2 Menentukan InversMatriks.

3.3 Latihan Soal-Soal.

4 5. Dapat mengetahui danmemahami berbagaisistem persamaan linear.

4. Dapat menerapkanteorema matrik,transpormasi linier danteorema determinandalam penyelesaiansistem persamaan linier.

4.1 Pengertian SistemPersamaan Linear.

4.2 Metode Eleminasi Gauss.4.3 Metode Operasi Baris

Elemen.4.4 Metode Cramer.4.5 Metode Invers Matriks.4.6 Latihan Soal-Soal.

5 6. Dapat mengetehui danmemahami dasar daribilangan kompleks.

5. Dapat menjelaskan danmekakukan operasihitung pada bilangankompleks.

5.1 Pengertian BilanganKompleks.

5.2 Gambar BilanganKompleks.

5.3 Operasi Hitung PadaBilangan Kompleks.

5.4 Bilangan KomplekDalam Bentuk Kutub.

7

5.5 Latihan Soal-Soal.

6 7. Dapat mengetahui danmemahami tentangvektor.

6. Dapat menjelaskan danmekakukan operasihitung vektor.

6.1 Definisi .6.2 Gambar Vektor.6.3 Operasi Hitung Vektor.6.4 Sifat-Sifat Vektor.6.5 Menyatakan Sebuah

Vektor.6.6 Perkalian Dalam Aljabar

Vektor.6.7 Perkalian Silang.6.8 Latihan Soal-Soal.

8

SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP)

I. Identitas Mata Kuliah.Jurusan/PS : Teknik Mesin.Mata Kuliah : Aljabar LinearKode : MD. 3003.SKS : 3 (SKS).Semester : III (tiga).Prasyarat : Kalkulus I.

Kalkulus II.

II. Deskripsi Mata Kuliah.Mata kuliah ini membahas tentang matriks, transpormasi linearr,determinan, sistem persamaan linear, bilangan kompleks dan hitungvektor.

Mingguke

StandarKomptensi

KompetensiDasar

IndikatorCapaian

Materi Pokok PengalamanBelajar

AlokasiWaktu

Media/Sumber

1 2 3 4 5 6 7 8I 1. Pendahuluan.

2. KontrakPerkuliahan.

1x3x50menit

II, III,IV

1. Setelah satusemestermengikuti matakuliah inimahasiswasemester IIIProgramStudi TeknikMesin dapatmengetahui,memahamidanmenerapkanteorema-teorema(kaidah) dasarmatematikasepertipenggunaanmatrik ,determinandan inversdalampenyelesaiansystempersamaanlinear dll.

1 Dapatmengetahuidanmemahamiteoremamatriks.

1. Dapatmenjelaskandanmelakukanoperasimatriks.

1.1 PengertianMatriks.

1.2 JenisMatriksKhusus.

1.3 KesamaanDua Matriks.

1.4 OperasiAljabar PadaMatriks.

1.5 TransposeMatriks.

1.6Transpormasi atauOperasiElementerPada Barisdan KolomSuatuMatriks.

1.7 MatrikEkivalen.

1.8 LatihanSoal-Soal.

2x3x50menit

1, 3, 4, 10

V, VI 2. Dapatmengetahuidanmemahami

2. Dapatmenjelaskan danmenentukannilai

2.1 PengertianDeterminan.

2.2 MenentukanHargaDeterminan.

2x3x50menit

1, 3, 4

9

determinan.

determinan. 2.3 Sifat-SifatDeterminan.


VII 3. Dapatmengetahuidanmemahami inversmatriks.

3. Dapatmenjelaskan danmenentukannilai inversmatriks.

3.1 PengertianInversMatrik.

3.2 MenentukanInversMatriks.


VIII UTS I 1x3x50menit

IX, X,XI

4. Dapatmengetahui danmemahami berbagaisistempersamaan linear.

4. Dapatmenerapkanteoremamatrik,transpormasi linier danteoremadeterminandalampenyelesaian sistempersamaanlinear.

4.1 PengertianSistemPersamaanLinear.

4.2 MetodeEleminasiGauss.

4.3 MetodeOperasiBarisElemen.

4.4 MetodeCramer.

4.5 MetodeInversMatriks.


3x3x50menit

1, 3, 4, 7, 8

XII,XIII

5. Dapatmengetehui danmemahami dasardaribilangankompleks.

5. Dapatmenjelaskan danmekakukanoperasihitung padabilangankompleks

5.1 PengertianBilanganKompleks.

5.2 GambarBilanganKompleks.

5.3 OperasiHitung PadaBilanganKompleks.

5.4 BilanganKomplekDalamBentukKutub.


2x3x50menit

1, 4, 9

XIV,XV

6. Dapatmengetahui danmemahami tentangvektor.

6. Dapatmenjelaskan danmekakukanoperasihitungvektor.

6.1 Definisi6.2 Gambar

Vektor.6.3 Operasi

HitungVektor.

6.4 Sifat-SifatVektor.

2x3x50menit

1, 6, 9, 10

10

6.5 MenyatakanSebuahVektor.

6.6 PerkalianDalamAljabarVektor.

6.7 PerkalianSilang.


XVI UTS II 1x3x50menit

Daftar Pustaka:1. Anton, H. 1997. Aljabar Linear Elementer (terjemahan). Jakarta:

Erlangga. Edwin J2. Edwin J Purcell, dale varberg, “Kalkulus dan Geometri Analitis”, Jilid

I Edisi 4 Erlangga.3. Ismail Basari,”Matematika I”.4. N. Soemarjo, Dra . Prof, “Kalkulus Dasar”, Lembaga Penerbit

Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia.5. Purell, Edwin J, “Calculus With Analyti Geometry”, Prentie-Hall, Inc,

1984.6. Soehardjo, “Analisa Vektor”.7. Sucipto E, “Matematika Untuk Perguruan Tinggi”.8. Thomas, “Calculus and Analytic Geometri”.9. Yoewono Moekidam, “Matematika II”, Bahan Kuliah Matematika

Untuk Fakultas Teknologi.10. Yusuf Yahya, Suryadi HS, Agus S, “Matematika Dasar Untuk

Perguruan Tinggi”, Serial Matematika dan Komputer Aski, GhaliaIndonesia.

11

KONTRAK PERKULIAHAN

Nama mata kuliah : Aljabar Linear.Kode Mata Kuliah : MD 3203.Semester : III (tiga).Hari pertemuan/jam : Senin, 11.50 – 14.20 Wita.Tempat pertemuan : Ruang kuliah DE.2 Jurusan Teknik Mesin

Fakultas Teknik Universitas Udayana.Pengajar : Team Teaching Aljabar Linear

1. Manfaat mata kuliah

Mata kuliah ini bermanfaat sebagai dasar untuk mengetahui dan memahamiteorema–teorema (kaidah) dasar matematika.

2. Deskripsi mata kuliah

Mata kuliah ini membahas tentang matriks, transpormasi linear, determinan,invers matriks, sistem persamaan linear, bilangan kompleks dan hitungvektor.

3. Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar

Standar Kompetensi:Dapat mengetahui, memahami dan menerapkan teorema–teorema (kaidah)dasar matematika seperti penggunaan matriks, determinan dan invers matriksdalam penyelesaian sistem persamaan linear dll.

Kompetensi Dasar: Dapat mengetahui dan memahami teorema matriks. Dapat mengetahui dan memahami determinan. Dapat mengetahui dan memahami invers matriks. Dapat mengetahui dan memahami berbagai sistem persamaan linear. Dapat mengetehui dan memahami dasar dari bilangan kompleks. Dapat mengetahui dan memahami tentang vector

12

4. Organisasi materi

Materi perkuliahan terdiri dari :1. Matriks.

1.1 Pengertian Matriks.1.2 Jenis-Jenis Matriks Khusus.1.3 Kesamaan Dua Matriks.1.4 Operasi Aljabar Pada Matriks.1.5 Transpose Matriks.1.6 Transpormasi atau Operasi Elementer Pada baris dan Kolom SuatuMatriks.1.7 Matrik Ekivalen.1.8 Latihan Soal- Soal.

2. Determinan.3.1 Pendahuluan.3.2 Menentukan Harga Determinan.3.3 Sifat-Sifat Determinan.3.4 Latihan Soal-Soal.

3. Invers Matriks.3.1 Pengertian Invers Matriks.3.2 Menentukan Invers Matriks.3.3 Latihan Soal-Soal.

4. Sistem Persamaan Linear.

4.1 Pengertian Sistem Persamaan Linear.4.2 Metode Eleminasi Gauss.4.3 Metode Operasi Baris Elemen.4.4 Metode Cramer.4.5 Metode Invers Matriks.4.6 Latihan Soal-Soal.

5. Bilangan Kompleks.

5.1 Pegertian Bilangan Kompleks.5.2 Gambar Bilangan Kompleks.5.3 Operasi Hitung Pada Bilangan Kompleks.5.4 Bilangan Kompleks Dalam Bentuk Kutub.5.5 Latihan Soal-Soal.

6. Hitung Vektor.

6.1 Definisi.6.2 Gambar Vektor.

13

6.3 Operasi Hitung Vektor.6.4 Sifat-Sifat Vektor.6.5 Menyatakan Sebuah Vektor.6.6 Perkalian Dalam Aljabar Vektor.6.7 Perkalian Silang.6.8 Latihan Soal-Soal.

5. Strategi Perkuliahan

Strategi perkuliahan yang digunakan yaitu: Kuliah : 11.50 – 13.30 Wita. Diskusi : 13.30 – 14.20 Wita.

6. Materi/Bahan Bacaan Perkuliahan

Buku bacaan pokok dalam perkuliahan ini adalah:1. Anton, H. 1997. Aljabar Linear Elementer (terjemahan). Jakarta:

Erlangga. Edwin J2. Edwin J Purcell, dale varberg, “Kalkulus dan Geometri Analitis”, Jilid

I Edisi 4 Erlangga.3. Ismail Basari,”Matematika I”.4. N. Soemarjo, Dra . Prof, “Kalkulus Dasar”, Lembaga Penerbit

Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia.5. Purell, Edwin J, “Calculus With Analyti Geometry”, Prentie-Hall, Inc,

1984.6. Soehardjo, “Analisa Vektor”.7. Sucipto E, “Matematika Untuk Perguruan Tinggi”.8. Thomas, “Calculus and Analytic Geometri”.9. Yoewono Moekidam, “Matematika II”, Bahan Kuliah Matematika

Untuk Fakultas Teknologi.10. Yusuf Yahya, Suryadi HS, Agus S, “Matematika Dasar Untuk

Perguruan Tinggi”, Serial Matematika dan Komputer Aski, GhaliaIndonesia.

7. Tugas-Tugas

Tugas mandiri yang diberikan pada setiap akhir bab, agar dikerjakan dirumah danhasilnya dikumpulkan pada awal perkuliahan minggu berikutnya.

Tugas berkelompok akan diberikan dua minggu sebelum UTS I dan UAS, hasilnyadikumpulkan pada saat UTS I dan UAS.

14

8. Kriteria Penilaian

Kriteria Penilaian yang dipakai adalah: Kehadiran (min. 75%) : 5% Tugas : 15% Quis + Diskusi (Aktif) : 15% UTS : 30% UAS : 35%

9. Jadwal Perkuliahan

Jadwal perkuliahan mengikuti Satuan Acara Perkuliahan (SAP), kecuali padasaat hari perkuliahan merupakan hari libur (sesuai edaran dari Universitas),maka hari penggantinya akan ditentukan sesuai dengan kesepakatan antaradosen dan mahasiswa.

10. Aturan Umum

1. Mahasiswa wajib mengikuti kuliah > 75% dari pertemuan dosen.2. Mahasiswa tidak boleh terlambat > dari 15 menit.3. Mahasiswa wajib berpakaian rapi, sopan, serta menggunakan sepatu.4. Mahasiswa dilarang merokok di kelas saat kuliah berlangsung.5. Handphone, music player dan sejenisnya harus dimatikan saat kuliah

berlangsung.6. Tugas dikumpul sesuai perjanjian dan dikumpul paling lambat 10 menit

dari saat dosen masuk ruang kuliah atau mulai memberikan kuliah dantugas tidak bisa menyusul.

7. Pada saat Quis, UTS dan UAS mahasiswa dilarang bekerjasama.

11. Sanksi

1. Apabila aturan nomor 1 dilanggar, maka mahasiswa tidak diperkenankanmengikuti UAS.

2. Apabila aturan nomor 2 dilanggar, maka mahasiswa dianggap tidak hadir.3. Apabila aturan nomor 3 – 5 dilanggar, maka mahasiswa akan dikeluarkan

dari ruang kuliah dan dianggap tidak hadir kuliah.4. Apabila aturan nomor 6 dilanggar, maka mahasiswa dianggap tidak

mengumpulkan tugas.5. Apabila aturan nomor 7 dilanggar, maka nilai mahasiswa yang

bersangkutan akan dikurangi atau ujian dianggap batal.

15

Bukit Jimbaran, Maret 2017Dosen pengajar Koordinator mahasiswa

I Gusti Ngurah Putu Tenaya, ST, MT …………………………….NIP. 19680726 199603 1 001 NIM. ……………………

Mengetahui,Ketua Program Studi Teknik Mesin

Dr. Ir. I Ketut Gede Sugita, MTNIP. 19660414 199203 1 004

16

BAB I

MATRIKS

1.1 Pengertian Matriks

Banyak informasi yang sering disajikan dalam bentuk tabel, diantaranya

klasemen sementara dari kejuaraan, data rekening telepon, data tagihan

listrik, data tabungan, data harga penjualan barang, data absensi siswa dan

lain-lain. Sebagai ilustrasi awal untuk memahami pengertian matriks, pelajari

uraian berikut.

Diketahui data kunjungan wisatawan, baik domestik maupun asing di

suatu objek wisata selama empat bulan berturut-turut, disajikan dalam tabel

berikut (dalam ribuan).

Tabel 1.1. Jumlah kunjungan wisatawan domestik dan asing

Bulan

Wisatawan I II III IV

Domestik 7 6 8 6

Asing 1 2 1 3

Berdasarkan tabel 1.1, anda pasti memperhatikan setiap keterangan

yang ada yang terkait dengan jumlah wisatawan domestik maupun asing

dalam bentuk angka yang tertera pada tabel yang disusun letaknya

berdasarkan baris dan kolom. Tabel yang baru anda baca dapat

disederhanakan dengan menghilangkan keterangan-keterangan yang terdapat

pada tabel dan mengganti tabel dengan tanda kurung seperti berikut ini.

Kini data yang telah diubah bentuknya hanya terdiri atas bilangan-

bilangan yang disusun menurut baris dan kolom. Bentuk baru seperti inilah

yang dinamakan sebagai matriks. Jadi matriks merupakan kumpulan

17

bilangan yang tersusun menurut baris dan kolom sedemikian sehingga

tampak seperti bentuk sebuah persegi panjang atau bujur sangkar.

Sebuah matriks memuat tanda kurung sebagai pembatas. Tanda kurung

yang digunakan dapat berupa tanda kurung biasa ataupun tanda kurung siku.

Pada umumnya matriks diberi nama dengan memakai huruf kapital seperti A,

B, C. Bilangan-bilangan yang menyusun sebuah matriks dinamakan unsur

atau anggota dari matriks tersebut dan dinotasikan dengan huruf kecil

berindeks yang menyatakan letak dari unsur tersebut dalam matriks (baris

dan kolom). Perhatikan kembali matriks pada uraian sebelumnya. Misalkan

matriks tersebut adalah matriks A maka:

[A] =

Pada matriks A, yang dimaksud dengan adalah unsur dari matriks A

yang berada pada baris kedua dan kolom ketiga, yaitu 1. Jika kita perhatikan,

matriks A terdiri atas 2 buah baris dan 4 buah kolom. Banyaknya baris dan

kolom yang menyusun sebuah matriks dinamakan sebagai ordo atau ukuran

matriks. Sehingga matriks A disebut sebagai matriks berordo atau berukuran

2 × 4.

Secara umum, matriks dengan m baris dan n kolom dapat disajikan

sebagai berikut.

[A] =Baris 1Baris 2

Baris 3

Baris m

klm1

klm 3 klmn

Baris 1

18

Masing-masing n-triple horisontal seperti: [ , , , ……, ],

[ , , , ……, ], [ , , , ……, ], ...................................

dan [ , , , ……, ], disebut baris matriks, sedangkan m-triple

vertical seperti:

……..

disebut kolom-kolom matriks.

Secara sederhana, matriks di atas ditulis [A] = [ ]. Matriks di atas

mempunyai m buah baris dan n buah kolom, dikatakan ukuran matriks

tersebut adalah (m x n). Apabila m = n, maka matriks itu disebut matriks

bujur sangkar.

Contoh:

Diketahui matriks:

[B] =

Tentukan:

a. ordo [B].

b. b12 dan b23.

c. banyaknya elemen pada [B].

Jawab:

a. Ordo dari [B] adalah 2 × 3 karena [B] terdiri dari 2 baris dan 3

kolom.

b. b12 artinya unsur [B] yang terletak pada baris ke-1 dan kolom ke-2

sehingga b12 = – 4.

b23 artinya unsur [B] yang terletak pada baris ke-2 dan kolom ke-3

sehingga b23 = – 2.

c. [B] memiliki 6 elemen yaitu 2, – 4, 3, 5, 1 dan – 2.

19

1.2 Jenis-Jenis Matriks Khusus

Agar anda lebih memahami mengenai jenis matriks tersebut perhatikan

uraian materi berikut.

a. Matriks Nol

Matriks nol ialah matriks yang semua elemennya bernilai nol.

Contoh:

[A] = , [B] = , [C] =

Semua unsur pada [A], [B], dan [C] adalah angka 0, sehingga disebut

sebagai matriks nol.

Sifat-sifat matriks nol :

a. [A] + [0] = [A] bila ukuran [A] = ukuran [0]

b. [A][0] = [0]; [0][A] = [0] kalau syarat-syarat perkalian

terpenuhi

b. Matriks Baris

Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satu baris saja.

Contoh:

[D] = [E] = [F] =

[D] berordo 1 × 2, [E] berordo 1 × 3, dan [F] berordo 1 × 4. [D],

[E], dan [F] di atas hanya memiliki satu baris saja sehingga disebut

sebagai matriks baris.

c. Matriks Kolom

Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri atas satu kolom

saja.

20

Contoh:

[G] = [H] = [I] =

[G] berordo 2 × 1, [H] berordo 3 × 1, dan [I] berordo 4 × 1. [G],

[H], dan [I] di atas hanya memiliki satu kolom saja sehingga disebut

sebagai matriks kolom.

d. Matriks Persegi atau Matriks Bujur Sangkar

Matriks persegi atau matriks bujur sangkar adalah matriks yang banyak

barisnya sama dengan banyak kolomnya.

Contoh:

[J] = [K] =

[J] berordo 2 × 2 dan [K] berordo 3 × 3.

Karena [J] dan [K] banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya,

maka [J]dan [K] disebut sebagai matriks persegi atau matriks bujur

sangkar.

e. Matriks Segitiga Atas

Matriks segitiga atas adalah matriks bujur sangkar yang semua

elemen di bawah diagonal utamanya sama dengan 0. Dengan

perkataan lain [A] adalah matriks segitiga atas bila aij = 0 untuk i >

j.

Contoh:

[L] = [M] =

21

Matriks Segitiga Bawah

Matriks segitiga bawah adalah matriks bujur sangkar yang semua

elemen diatas diagonal utamanya sama dengan 0. Dengan perkataan

lain [A] adalah matriks segitiga atas bila = 0 untuk i < j.

Contoh:

[N] = [O] =

f.Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar

diagonal utamanya sama dengan nol. Dengan perkataan lain [A] adalah

matriks diagonal bila = 0 untuk i j.

Contoh :

[P] = [Q] =

g. Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matriks diagonal yang elemen-elemen

diagonal utamanya sama dengan 1, dengan perkataan lain [A] adalah

matriks identitas bila = 1 untuk i = j, dan 0 bila i j.

Matriks identitas biasa ditulis [I].

Contoh :

[I] = [I] =

Sifat matriks identitas adalah seperti bilangan 1 (satu) dalam operasi -

operasi dengan bilangan biasa, yaitu :

22

[A] [I] = [I] [A] = [A] (bila syarat-syarat perkalian terpenuhi).

h. Matriks Skalar

Matriks skalar ialah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal

utamanya sama dengan k. Matriks I adalah bentuk khusus dari

matriks skalar, dengan k = 1

Contoh :

[T] = [U] =

adalah matriks skalar, dapat dituliskan pula sebagai 4[I] =

4

i. Matrik Invers

Kalau [A] dan [B] matriks-matriks bujur sangkar berordo m x n dan

berlaku [A][B] = [B][A] = [I] maka dikatakan [B] invers dari [A] dan

ditulis [B] = [A-1], sebaliknya [A] adalah invers dari [B], dan ditulis

[A] = [B-1]

Contoh :

[A] = Mempunyai [A-1] =

Karena [A][A-1] = [A-1][A] =

23

j.Matriks Simetris

Matriks simetris adalah matriks bujur sangkar yang transposenya sama

dengan dirinya sendiri. Dengan perkataan lain bila [A] = [AT] atau =

untuk semua i dan j.

Contoh :

[A] dan [AT] =

Karena [A] = [AT] maka [A] adalah matriks simetris.

k. Matriks Antisimetris

Matriks antisimetris adalah matriks yang transposenya adalah

negatifnya. Dengan perkataan lain bila [AT] = -[A] atau = -

untuk semua i dan j. Mudah dipahami bahwa semua elemen diagonal

utama matriks antisimetris adalah = 0

Contoh :

[A] [AT] = -[A]

l.Matriks Komutatif

Kalau [A] dan [B] adalah matriks bujur sangkar dan berlaku [A][B] =

[B][A], maka [A] dan [B] dikatakan berkomutatif satu sama lain.

Jelas bahwa setiap matriks bujur sangkar berkomutatif dengan [I]

(yang ukurannya sama) dan dengan inversnya (bila ada).

Kalau [A][B] = -[B][A], dikatakan antikomutatif.

Contoh :

[A] dan [B] dikatakan berkomotatif karena

[A][B] = = , sedangkan

24

[B][A] = =

TUGAS 1.

Diskusikan dengan teman anda.

1. Apakah matriks persegi merupakan matriks diagonal?, berikan

alasannya.

2. Apakah matriks diagonal merupakan matriks persegi?, berikan

alasannya.

1.3 Kesamaan Dua Matriks

Dalam matriks dikenal adanya kesamaan dua matriks yang didefinisikan

sebagai berikut. Dua matriks dikatakan sama jika ordo yang dimiliki

keduanya sama, dan elemen-elemen yang bersesuaian (seletak) sama.

Cantoh:

Diketahui matriks-matriks sebagai berikut:

[A] [B] [C] [D]

Tentukan apakah:

a. [A] = [B],

b. [A] = [C],

c. [A] = [D].

Jawab:

a. [A] ≠ [B] karena ordo [A] tidak sama dengan ordo [B].

b. [A] = [C] karena ordo [A] sama dengan ordo [C] dan elemen-elemen

yang bersesuaian pada [A] sama dengan elemen-elemen pada [C].

25

c. [A] ≠ [D] karena ordo [A] memang sama dengan ordo [D] tetapi

elemen-elemen yang bersesuaian pada kedua matriks tersebut ada yang

tidak sama, yaitu ≠ .

Contoh

Diketahui persamaan matriks:

[A] dan [B]

Apabila [A] = [B] maka tentukan nilai x, y, z dan w.

Jawab:

[A] = [B]

maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi 4 buah persamaan:x + y = 3, 2x + w = 5x – y = 1; z – w = 4

dan bila diselesaikan menghasilkan x = 2, y = 1, z = 3 dan w = -1.

1.4 Operasi Aljabar Pada Matriks

Pada sub bab sebelumnya, telah dipelajari mengenai pengertian, jenis-

jenis dan kesamaan dari suatu matriks. Pelajaran selanjutnya pada sub bab ini

adalah operasi aljabar pada matriks. Jadi sama seperti pada bilangan, pada

matriks pun berlaku sifat-sifat operasi aljabar.

a. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Dua buah matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan apabila ordo

dari kedua matriks tersebut sama. Operasi penjumlahan dan

pengurangan pada matriks dilakukan dengan cara menjumlahkan atau

mengurangkan elemen-elemen yang bersesuaian (seletak).

Jika [A] = (aij) dan [B] = (bij) matriks-matriks berukuran sama, maka

[A] + [B] adalah suatu matriks [C] = (cij) dimana cij = aij + bij, untuk

setiap i dan j.

atau [A] + [B] = (aij + bij)

26

Contoh:

1. Diketahui:

[A] = dan [B] =

Maka:

[A] + [B] = + = =

[A] – [B] = – = =

2. Diketahui:

[A] = , [B] = , [C] =

Maka:

[A] + [C] =

[A] – [B] pada [A] dan [B] tidak dapat dilakukan operasi

pengurangan atau penjumlahan karena ordo matriks [A]

tidak sama dengan ordo [B].

TUGAS 2.


[A] = , [B] = dan [C] =

Hitung:

a. [A] + [B]

b. [B] + [A]

c. [A] – [B]

d. [B] – [A]

27

e. [B] + [C]

f. {[A] + [B]} + [C]

g. [A] + {[B] + [C]}

Dari hasil yang anda peroleh, apa yang dapat anda simpulkan?

b. Perkalian Skalar Terhadap Matriks

Jika [A] adalah suatu matriks dan k adalah bilangan riil maka k [A]

adalah matriks baru yang elemen-elemennya diperoleh dari hasil

perkalian k dengan setiap elemen pada matriks [A].

Contoh;

Diketahui:

[B] = ,

Maka:

3 [B] = 3 = =

½ [B] = ½ =

TUGAS 3.


[A] = , [B] = , p = 2 dan q = 3

Hitung:

a. (p + q) [A]

28

b. p[A] + q[A]

c. p{[A] + [B]}

d. p[A] + p[B]

e. p{q[A]}

f. {pq}[A]


c. Perkalian Matriks

Pada perkalian [A][B], dimana [A] kita sebut sebagai matriks

pertama dan [B] kita sebut sebagai matriks kedua.

Syarat perkalian matriks adalah banyaknya kolom matriks pertama

sama dengan banyaknya baris matriks kedua.

Elemen-elemen pada [A][B] diperoleh dari penjumlahan hasil kali

elemen baris pada [A] dengan elemen kolom pada [B].

Definisi:

Pandangan [A] = (aij) berukuran (p x q) dan [B] = (bij) berukuran (q

x r). Maka perkalian [A][B] adalah suatu [C] = (cij) berukuran (p x r)

dimana:

cij = ai1b1j + ai2b2j + ........ + aiqbqj

untuk setiap i = 1, 2, 3, ...., p dan j = 1, 2, 3, ...., r.

Sebagai contoh diberikan [A] dan [B] sebagai berikut:

[A] = dan [B] =

Maka [A] [B] =

29

=

Dimana:

c11 = elemen baris pertama dan kolom pertama dari perkalian [A]

dengan [B].

= semua elemen baris pertama [A] dikalikan dengan semua

elemen kolom pertama [B].

=

=

c12 = elemen baris pertama dan kolom kedua dari perkalian [A]

dengan [B]


elemen kolom kedua [B].

=

=

c1r = elemen baris pertama dan kolom ke-r dari perkalian [A]

dengan [B].


elemen kolom ke-r [B].

30

=

=

Sehingga dengan cara yang sama, maka:

Contoh

Diketahui:

[P] = , [Q] = dan [R] =

Tentukan:

a. [P] [Q]

b. [Q] [P]

c. [P] [R]

d. [R] [P]

31

Jawab:

a. [P] [Q] = =

=

=

b. [Q] [P] = =

=

c. [P] [R] = =

=

d. [R][P] = tidak ada karena banyaknya kolom pada [R] tidak sama dengan

banyaknya baris pada [P].

TUGAS 4.


[A] = , [B] = dan [C] =

Hitung:

a. [A] [B] dan [B] [A]

b. {[A][B]}[C] dan [A]{[B][C]}

32

c. [A]{[B] + [C]} dan [A][B] + [A][C]

d. {[A] + [B]}[C] dan [A][C] + [B][C]


d. Perpangkatan Matriks Persegi

Sifat perpangkatan pada matriks, sama halnya seperti sifat

perpangkatan pada bilangan-bilangan.

Untuk setiap bilangan riil (a), berlaku:

a2 = a x a

a3 = a x a x a

dst

Pada matriks persegi juga berlaku hal yang sama seperti:

[A]2 = [A][A]

[A]3 = [A][A][A] = [A]2 [A] = [A][A]2

dst

Contoh:

Diketahui:

[B] = ,

Tentukan:

a. [B]2

b. [B]3

33

Jawab:

a. [B]2 = [B][B] = =

b. [B]3 = [B] [B]2 = =

= [B]2 [B] = =

1.5 Transpose Matriks

Dalam sebuah [A] dimana [A] = . Setiap baris dari [A]

dapat diubah menjadi kolom dan juga sebaliknya setiap kolom dari [A]

menjadi baris dari suatu matriks yang baru misalnya [B], maka [B] disebut

transpose dari [A], ditulis:

[B] = [A]T =

Cantoh:

Diketahui:

[A] = dan [B] =

Tentukan:

a. [A]T

b. [B]T

Jawab:

a. [A]T =

b. [B]T =

34

Beberapa sifat matriks transpose yaitu:

a. {[A] + [B]}T = [A]T + [B]T

b. {[A]T}T = [A]

c. k[A]T = [kA]T

d. {[A][B]}T = [B]T [A]T

1.6 Transformasi atau Operasi Elementer Pada Baris dan Kolom Suatu

Matriks

Yang dimaksud dengan transformasi atau operasi elementer pada baris

dan kolom suatu matriks adalah sebagai berikut:

a. Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j dari [A]. Atau baris ke-i

dijadikan baris ke-j dan baris ke-j dijadikan baris ke-I dari [A].

Ditulis : Hij [A]

b. Penukaran tempat kolom ke-i dan kolom ke-j dari [A]. Atau kolom ke-i

dijadikan kolom ke-j dan baris ke-j dijadikan baris ke-I dari [A].

Ditulis : Kij [A]

c. Memperkalikan baris ke-i dari [A] dengan skalar λ 0.

Ditulis : Hi(λ) [A]

d. Memperkalikan kolom ke-i dari [A] dengan skalar λ 0.

Ditulis : Ki(λ) [A]

e. Menambah baris ke-i dengan λ kali baris ke-j dari [B].

Ditulis : Hij(λ)[B]

f.Menambah kolom ke-i dengan λ kali kolom ke-j dari [B].

Ditulis : Kij(λ)[B]

g. Menambah λ1 kali baris ke-i dengan λ2 kali baris ke-j dari [A].

35

Ditulis : Hi(λ1)

j(λ2) [A]

h. Menambah λ1 kali kolom ke-i dengan λ2 kali kolom ke-j dari [A].

Ditulis : Ki(λ1)

j(λ2) [A]

Contoh:

Diketahui:

[A] = dan [B] =

Maka:

a. H23[A] = dan H12[B] =

b. K13 [A] = dan K23 [B] =

c. H2(-2) [A] = dan H1

(1/2) [B] =

d. K3(2) [A] = dan K1

(-1) [B] =

e. H31(1) [A] = dan H23

(-1) [A] =

36

f. K23(-2) [A] = dan K21

(2) [B] =

g. H2(2)

3(1) [A] =

h. K2(2)

3(3) [A] =

Misalnya kita telah mengetahui [B] sebagai hasil transformasi

elementer dari [A]. Kita dapat mencari [A] dengan cara mencari invers dari

transformasi elementer tersebut.

Contoh :

Misalkan: [B] = H31(1) ([A] =

Maka: [A] = H31(1)-1 [B]

Jadi:

Invers suatu transformasi elementer juga suatu transformasi elementer.

Dapat dirumuskan sebagai berikut:

a. [A] = Hij1 [B] = Hij [B]

b. [A] = Kij-1 [B] = Kij [B]

c. [A] = Hj(λ) 1

[B] = Hj(1/λ) [B]

d. [A] = Ki(λ) 1

[B] = Ki(1/λ) [B]

e. [A] = Hij(λ) 1

[B] = Hij(-λ) [B]

37

f. [A] = Kij(λ) 1

[B] = Kij(-λ) [B]

Contoh:

a. Kalau [B] = H23(1) [A] =

maka [A] = H23(1)

1

[B] = H23(-1) [B] =

b. Kalau [A] = H3(4) [B] =

maka [B] = H3(4)

1[A] = H3

(1/4) [A] =

1.7 Matriks Ekivalen

Dua [A] dan [B] disebut ekivalen [A]~[B] apabila salah satunya dapat

diperoleh dari yang lain dengan transformasi-transformasi elementer

terhadap baris dan atau kolom. Kalau transformasi-transformasi

elementernya hanya pada baris saja, dikatakan ekivalen baris, Kalau

transformasi-transformasi elementernya hanya pada kolom saja, dikatakan

ekivalen kolom.

Contoh :

a. [A] = dan [B] =

[A] adalah ekivalen baris dengan [B]

Karena : [B] = H12 [A]

b. [A] = dan [B] =

38

[A] adalah ekivalen dengan [B]

Karena:

[A] = = K12(-1) ’

= K42(-2) =

H12 = H12 [B]

1.8 Latihan Soal

Kerjakan soal-soal berikut:

1. Diketahui matriks sebagai berikut.

[A] =

Tentukan:

a. Ordo [A]

b. Elemen-elemen pada kolom ketiga [A]

c. Nilai dari a21 dan a34

2. Diketahui:

[A] = dan [B] =

Jika [A] =[B], tentukan nilai p + q

3. Diketahui kesamaan matriks berikut:

=

Tentukan nilai a + b + c

4. Tentukan matriks transpose dari matrik-matrik berikut.

a. [D] =

39

b. [Q] =

5. Diketahui.

[K] = dan [L] =

Jika [K] = [L]T , tentukan nilai x dan y yang memenuhi persamaan berikut.

6. Diketahui.

[A] = dan [B] =

Tentukan:

a. 3[A] c. 3[A] – [B]

b. [A] + 2[B] d. 3[B] – 2[A]

7. Diketahui.

[A] = dan [B] =

Tentukan:

a. [A][B] f. H12 [A]

b. [A]T g. K23 [B]

c. [B]T h. H23(-2) [B]

d. {[A][B]}T i. K3(-1) [A]

e. [B]T [A]T j. H3(2)

2(-1) [B]

8. Carilah harga x, y, z dan u bila:

3 = +

40

BAB II

DETERMINAN

2.1 Pengertian Determinan

Determinan adalah sekumpulan elemen-elemen atau bilangan-bilangan

yang disusun dalam deretan baris dan deretan kolom dimana banyakya

deretan baris sama dengan banyaknya deretan kolom dan mempunyai suatu

harga.

Dan biasanya dilambangkan dengan dua buah garis tegak.

Contoh:

=

Dimana:- Elemen-elemen yang mendatar adalah elemen baris sedangkan elemen-

elemen vertikal adalah elemen kolom.

- Jika banyaknya elemen baris m buah, banyaknya elemen kolom n buah

maka determinan A dikatakan berderajat m x n (berordo m x n).

- = elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j

- = elemen pada baris ke-1 dan kolom ke-2

2.2 Menentukan Harga Determinan

a. Determinan matriks berordo 2 x 2

Misalkan [A] adalah matriks persegi berordo 2 x 2 sebagai berikut:

[A] =

41

Determinan dari [A] didefinisikan sebagai selisih antara hasil kali

elemen-elemen pada diagonal utama dengan hasil kali elemen-

elemen pada diagonal sekunder.

Determinan dari [A] dinotasikan dengan det A atau . Berdasarkan

definisi determinan, diperoleh determinan dari [A] sebagai berikut.

Det A = =

= ( x ) – ( x )

Contoh:

Tentukan nilai determinan dari matriks-matriks berikut.

[A] = dan [B] =

Jawab:

det A = =

= (1 x 8) – (2 x 3)

= 8 – 6

= 2

det B = =

= (4 x (– 4)) – (2 x (– 7))

= – 16 – (– 14)

= – 2

42

b. Determinan matriks berordo 3 x 3


[A] =

Untuk mencari nilai determinan dari [A] yang berordo 3 × 3,

digunakan Metode Sarrus. Adapun langkah-langkah Metode Sarrus

adalah sebagai berikut:

1) Salin kembali kolom pertama dan kolom kedua dari matriks A kemudian

diletakkan di sebelah kanan kolom ketiga,

Atau salin kembali kolom kedua dan kolom ketiga dari matriks A

kemudian diletakkan di sebelah kiri kolom pertama.

Atau salin kembali baris pertama dan baris kedua dari matriks A

kemudian diletakkan di sebelah bawah baris ketiga,

Atau salin kembali baris kedua dan baris ketiga dari matriks A kemudian

diletakkan di sebelah atas baris pertama.

2) Hitung jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dan

diagonal lain yang sejajar dengan diagonal utama. Nyatakan jumlah

tersebut sebagai D1.

3) Hitung jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder dan

diagonal lain yang sejajar dengan diagonal sekunder. Nyatakan jumlah

tersebut sebagai D2.

4) Determinan dari matriks A adalah pengurangan D1 oleh D2, maka:

det A = D1 – D2

43

Berdasarkan langkah-langkah Metode Sarrus, diperoleh determinan

dari [A] sebagai berikut:

det A = =

=

= D1 – D2

Dimana:

D1 = ( . ) + ( . ) + ( . )

D2 = ( . ) + ( . ) + ( . )

Sehingga:

det A = = D1 – D2

= [ ( . ) + ( . ) + ( . ) ] –

[ ( . ) + ( . ) + ( . ) ]

= ( . ) + ( . ) + ( . ) –

( . ) – ( . ) – ( . )

44

Contoh:

Tentukan nilai determinan dari matriks berikut.

[A] =

Jawab:

det A = =

=

= [((–1) x (–3) x 3) + (2 x 1 x 0) + (5 x 4 x 2)] –

[(5 x (–3) x 0) + ((–1) x 1 x 2) + (2 x 4 x 3)]

= [ 9 + 0 + 40 ] – [– 0 – 2 + 24 ]

= 49 – 22

= 27

c. Determinan matriks berordo lebih besar atau sama dengan 3 x 3(> 3 x 3)

Untuk menghitung determinan matriks berordo lebih besar atau

sama dengan 3 x 3 (> 3 x 3) dipergunakan ekspansi atau pembubaran

menurut elemen baris atau elemen kolom.

1) Jika ekspansi atau pembubaran menurut elemen baris maka:

45

=jin

j

1

)1( . Mij

2) Jika ekspansi atau pembubaran menurut elemen kolom maka:

=jim

i

1

)1( Mij

Dimana:

= elemen dari matriks A yang terletak pada baris ke-i

dan kolom ke-j

Mij = minor (determinan sisa apabila baris ke-i dan kolom

ke-j dihilangkan).

Berdasarkan langkah-langkah diatas diperoleh determinan dari [A]

sebagai berikut:


[A] =

Jika ekspansi atau pembubaran menurut elemen baris pertama maka:

=jin

j

1

)1( Mij

=j

j

14

1

)1( M1j

46

= (– 1)1+1 . M11 + (– 1)1+2 . . M12 +

(– 1)1+3 . . M13 + (– 1)1+4 . . M14

= . M11 – . M12 + . M13 – . M14

Dimana:

M11 = M12 =

M13 = M14 =

Jika ekspansi atau pembubaran menurut elemen kolom kedua maka:

=jim

i

1

)1( Mij

=24

1

)1(

i

i

Mi2

= (– 1)1+2 . . M12 + (– 1)2+2 . . M22 +

(– 1)3+2 . . M32 + (– 1)4+2 . . M42

= – . M12 + . M22 – . M32 + . M42

47

Dimana:

M12 = M22 =

M32 = M42 =

Contoh :

a. Tentukan nilai determinan dari matriks berikut.

[A] =

Jawab:

Jika ekspansi atau pembubaran menurut elemen baris pertama maka:

=jin

j

1

)1( Mij

=j

j

14

1

)1( M1j

= (– 1)1+1 . . M11 + (– 1)1+2. M12 + (– 1)1+3. .M13

= . M11 – . M12 + . M13

= – 1 – 2 + 5

48

= – 1 ( – 9 – 2 ) – 2 ( 12 – 0 ) + 5 ( 8 – 0 )

= – 1 ( – 11 ) – 2 ( 12 ) + 5 ( 8 )

= 11 – 24 + 40

= 27

b. Tentukan nilai determinan dari matriks berikut.

[A] =

Jawab:

Jika ekspansi atau pembubaran menurut elemen kolom keempat

maka:

=jim

i

1

)1( Mij

=44

1

)1(

i

i

Mi4

= (– 1)1+4 . M14 + (– 1)2+4 . . M24 +

(– 1)3+4 . . M34 + (– 1)4+4 . . M44

= – . M14 + . M24 – . M34 + . M44

49

= – 5 + 1 – 8 +

5

= – 5 ( 32 ) + 1 (– 272 ) – 8 ( 48 ) + 5 ( 208 )

= – 160 – 272 – 384 + 1040

= 224

2.3. Sifat – Sifat Determinan.

1) Jika suatu determinan salah satu elemen baris atau elemen kolomnya

mempunyai elemen nol semua, maka harga determinannya sama dengan

nol.

Contoh :

[A] =

Maka:

= . M11 – . M12 + . M13

= 0. M11 – 0. M12 + 0. M13

= 0

2) Jika suatu determinan elemen – elemen barisnya ditukarkan menjadi elemen

kolom yang bersesuaian atau ditransposkan maka harga determinannya

tidak berubah.

Contoh :

50

[A] = dan [A]T =

Maka:

= . M11 – . M12 + . M13

= – +

= ( – ) – ( – ) +

( – )

= . M11 – . M12 + . M13

= – +

= ( – ) – ( – ) +

( – )

=

3) Jika dalam suatu determinan dua baris atau dua kolom ditukar

tempatnya maka harga determinan baru sama dengan negatip harga

determinan yang lama.

4) Jika dua baris atau kolom dalam satu determinan mempunyai elemen-

elemen yang sama (identik) maka harga determinannya sama dengan

nol.

51

5) Bila setiap elemen dari satu baris atau kolom dalam satu determinan

digandakan dengan suatu konstanta k, maka harga determinan baru

sama dengan k kali harga determinan lama.

6) Bila elemen – elemen yang bersesuaian dari 2 baris atau kolom dalam

satu determinan adalah sebanding maka harga determinannya sama

dengan nol.

7) Bila setiap elemen dari suatu baris atau kolom dalam suatu

determinan merupakan penjumlahan dua suku maka bentuk

determinan baru dapat dinyatakan dalam penjumlahan dua determinan

yang elemen-elemennya merupakan pemisah dari dua suku pada baris

atau kolom tersebut, sedangkan elemen-elemennya sama dengan

elemen determinan semula.

Contoh :

[B] = =

Maka :

= = – 16 – (– 14) = – 2

=

= +

= [ – 8 – (– 16) ] + [ – 8 – 2 ]

= [ 8 ] + [– 10 ]

= – 2

52

8) Bila setiap elemen dari suatu baris atau kolom setelah digandakan

dengan konstanta k, kemudian ditambahkan pada tiap baris atau

kolom yang lain dalam determinan itu maka harga determinannya

tidak berubah.

TUGAS 1.


1. Coba buktikan sifat-sifat determinan nomor 3, 4, 5, 6 dan 8.

2. Diketahui:

[A] = , [B] =

[C] = [D] =

Hitung:

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k.

l.


53

2.4 Latihan Soal.

Tentukan determinan dari matriks dibawah ini:

1. [A] =

2. [B] =

3. [C] =

4. [D] =

5. [E] =

54

BAB III

INVERS MATRIKS

3.1 Pengertian Invers Matriks

Pada aljabar bilangan, kita telah mengenal bahwa jika suatu bilangan

dikalikan dengan inversnya maka akan diperoleh unsur identitas. Begitu pula

dalam matriks, jika suatu matriks apabila dikalikan dengan inversnya maka

akan diperoleh matriks identitas. Supaya kita lebih memahami pernyataan

tersebut, pelajari ilustrasi berikut.

Misalkan:

[A] dan [B]

Maka:

[A] [B] = = =

Karena perkalian antara matriks A dengan matriks B menghasilkan

matriks identitas [I] maka dapat kita simpulkan bahwa matriks A dan matriks

B saling invers. Hal ini berarti matriks B merupakan matriks invers dari

matriks A ditulis [B] = [A-1] atau sebaliknya matriks A merupakan matriks

invers dari matriks B ditulis [A] = [B-1]. Dengan demikian kita dapat

menyatakan sebagai berikut:

Jika [A] dan [B] adalah dua matriks persegi yang berordo sama dan

memenuhi persamaan [A] [B] = [B] [A] = [I] maka matriks A adalah matriks

invers dari matriks B atau matriks B adalah matriks invers dari matriks A.

3.2 Menentukan Invers Matriks

Sebelum kita mempelajari invers matriks ada konsep yang harus kita

pahami terlebih dahulu yaitu matriks minor, matriks kofaktor dan adjoin

matriks.

55

d. Matriks Minor

Misalkan diketahui suatu matriks A sebagai berikut:

[A] =

Di bab 2 kita sudah mempelajari cara mencari minor suatu matriks.

Sehingga matriks minor dari matriks A adalah sebagai berikut:

[M] =

e. Matriks Kofaktor

Jika Mij merupakan minor ke-ij dari matriks A maka kofaktor (Kij) adalah

hasil perkalian (–1)i+j dengan elemen minor Mij.

Dengan demikian, Kij = (–1)i+j . Mij

Sehingga matriks kofaktor dari matriks A adalah sebagai berikut:

[K] =

56

f.Adjoin Matriks

Jika matriks kofaktor dari matriks A tersebut di transposkan, maka didapat

matriks baru yang disebut sebagai adjoin matriks A.

Sehingga adjoin matriks A adalah sebagai berikut:

Adj [A] = [K]T =

Setelah kita mempelajari matriks minor, matriks kofaktor dan adjoin

matriks, mari kita sekarang menentukan invers matriks. Invers matriks dapat

ditentukan dengan cara:

1. Dengan rumus yaitu:

[A-1] =

Dimana:

[A-1] = invers matriks A

adj [A] = adjoin matriks A

= determinan matriks A

≠ 0

Contoh:

Tentukan invers matriks dibawah:

a. [A]

b. [B]

57

Jawab:

a. [A]

[A-1] =

Dimana:

[M] = =

[K] = = =

adj [A] = [KT] = =

= 9 – 8 = 1

Sehingga:

[A-1] =

=

=

58

b. [B]

[B-1] =

Dimana:

[M] = =

[K] = =

=

adj [B] = [K] T =

= (– 20 – 9 + 24) – (24 – 18 – 10)

= (– 5) – (– 4)

= – 1

Sehingga:

[B-1] =

=

=

59

2. Dengan Metode Transpormasi atau Operasi Elementer Pada Baris atau

Kolom Matriks

Menyelesaikan invers matriks dengan metode transpormasi dilakukan

dengan cara yaitu:

a) Buat matriks yang akan dicari inversnya.

b) Buat matriks identitas dengan ukuran yang sama dengan matriks yang

akan dicari inversnya di sebelah kanannya.

c) Kenakan transpormasi matriks pada matriks yang akan dicari

inversnya dan pada matriks identitas yang dibuat tadi sampai pada

matriks yang akan dicari inversnya menjadi matriks identitas.

d) Kalau matriks yang kita akan cari inversnya sudah menjadi matriks

identitas maka matriks identitas yang disebelah kanan tadi setelah

dikenakan transpormasi matriks itu merupakan invers dari matriks

yang kita cari.

Untuk lebih jelasnya tentukan invers matriks dibawah:

1. [A]

2. [B]

Jawab:

1. [A]

Mencari inversnya atau [A-1] = ……… ?

60

Langkah:


b) Buat matriks identitas dikanannya.

c) Kenakan transpormasi matriks seperti:

1. H1(1/3) →

2. H21(- 4) →

3. H2(3) →

4. H12(- 2/3) →

d) Jadi invers matriksnya:

[A-1] =

2. [B]

Mencari inversnya atau [B-1] = ……….. ?

Langkah:


61

b) Buat matriks identitas dikanannya.

c) Kenakan transpormasi matriks seperti:

1. H1(1/1) →

2. H21(- 2) →

3. H31(- 3) →

4. H2(1/2) →

5. H32(-3) →

6. H3(-2) →

7. H12(-1) →

8. H13(-11/2) →

9. H23(7/2) →

62

d) Jadi invers matriksnya:

[B-1] =

3.3 Latihan Soal

1. Tentukan apakah matriks-matriks dibawah ini memiliki invers:

a. [A]

b. [B]

c. [C]

d. [D] =

2. Tentukan invers dari matriks dibawah ini:

a. [E]

b. [F] =

c. [G] =

d. [H] =

63

e. [J] =

64

BAB IV

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

4.1 Pengertian Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linear adalah suatu sistem persamaan yang peubah-

peubahnya atau variabel-variabelnya berpangkat satu. Sistem persamaan

linear dapat terdiri dari dua atau lebih variabel.

Bentuk umum dari sistem persamaan linear dengan tiga persamaan dan tiga

variabel yang belum diketahui adalah sebagai berikut:

dengan a, b, c dan k ϵ R

Dalam sistem persamaan linear besarnya variabel yang belum diketahui

bisa dicari dengan syarat banyaknya variabel yang belum diketahui harus

sama dengan jumlah persamaan linearnya.

Sehingga sistem persamaan linear dengan n buah persamaan dan n buah

bilangan yang belum diketahui bisa diselesaikan dengan berbagai metode

seperti: metode grafik, metode eleminasi, metode substitusi, metode

eleminasi Gauss, metode operasi baris elemen, metode Cramer (determinan)

dan metode invers.

Pada pembahasan kali ini kita akan menggunakan empat metode untuk

menentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear yaitu metode

eleminasi Gauss, metode operasi baris elemen, metode Cramer (determinan)

dan metode invers matriks.

4.2 Metode Eliminasi Gauss

Metode ini lebih dikenal dengan metode substitusi balik (back substitution).

Metode ini memecahkan sistem persamaan linear dengan mereduksi matriks yang

diperbesar menjadi bentuk eselon baris.

65

Sehingga langkah-langkah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

dengan metode eleminasi Gauss adalah:

e) Rubah ke dalam bentuk matriks yang diperbesar.

f) Lakukan transformasi atau operasi elementer pada baris dan kolom dari

matriks diperbesar tadi sampai terbentuk matriks segi tiga atas atau matriks

segitiga bawah.

g) Kembalikan dalam bentuk matriks.

h) Kembalikan ke dalam bentuk sistem persamaan linear.

i)Substitusikan nilai variabel yang telah didapat ke persamaan liniar yang

lainnya.

Contoh:

Tentukan besarnya nilai x, y dan z dari sistem persamaan linear:

x + y + 2z = 9

2x + 4y – 3z = 1

3x + 6y – 5z = 0

Langkah:

a) Rubah dalam bentuk matriks yang diperbesar.

=

b) Lakukan transformasi atau operasi elementer pada baris dan kolom dari

matriks diperbesar tadi sampai terbentuk matriks segi tiga atas.

66

1. H1(1/1) →

2. H21(-2) →

3. H31(-3) →

4. H2(1/2) →

5. H32(-3) →

6. H3(-2) →

c) Kembalikan dalam bentuk matriks.

=

d) Kembalikan dalam bentuk sistem persamaan linear.

x + y + 2z = 9

y – 7/2z = – 17/2

z = 3

e) Substitusikan nilai variabel yang telah didapat ke persamaan linear yang

lainnya.

Dengan mensubstitusikan nilai z = 3 maka nilai y = 2 dan x = 1

67

4.3 Metode Eliminasi Gauss Jordan

Metode ini agak mirip dengan metode eleminasi Gauss, namun transpormasi

pada baris dan kolom sampai terbentuk matriks identitas.

Sehingga langkah-langkah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan

metode operasi baris elemen adalah:

a) Rubah ke dalam bentuk matriks yang diperbesar.


matriks diperbesar tadi sampai terbentuk matriks identitas.


d) Kembalikan ke dalam bentuk sistem persamaan linear.

e) Tentukan nilai variabel.

Contoh:


x + y + 2z = 9

2x + 4y – 3z = 1

3x + 6y – 5z = 0

Langkah:

a) Rubah dalam bentuk matriks yang diperbesar.

=


matriks diperbesar tadi sampai terbentuk matriks identitas.

1. H1(1/1) →

68

2. H21(-2) →

3. H31(-3) →

4. H2(1/2) →

5. H32(-3) →

6. H3(-2) →

7. H12(-1) →

8. H23(7/2) →

9. H13(-11/2) →


=

69

d) Kembalikan dalam bentuk sistem persamaan linear.

x = 1

y = 2

z = 3

e) Tentukan nilai variabel.

Maka nilai x = 1, y = 2 dan z = 3.

4.4 Metode Cramer

Metode ini sering disebut dengan metode determinan. Metode ini bisa

dipergunakan untuk mencari variabel yang belum diketahui dalam sistem

persamaan linear dengan n buah persamaan dan n buah variabel yang belum

diketahui.

Misal:

Sistem persamaan linear dengan tiga persamaan dan tiga variabel yang

belum diketahui adalah sebagai berikut:

Rubah sistem persamaan linear tersebut dalam bentuk matriks:

=

=

Dimana:

=

70

=

=

Pandang:

=

Maka:

=

Sesuai dengan sifat determinan no 5 (lihat sifat-sifat determinan pada Bab II)

yaitu, bila setiap elemen dari satu baris atau kolom dalam satu determinan

digandakan dengan suatu konstanta k atau , maka harga determinan baru sama

dengan kali harga determinan lama.

Maka:

=

Sesuai dengan sifat determinan no 8 yaitu, bila setiap elemen dari suatu

baris atau kolom setelah digandakan dengan konstanta atau kemudian

ditambahkan pada tiap baris atau kolom yang lain dalam determinan itu maka

harga determinannya tidak berubah.

Maka:

71

=

=

=

=

=

Dengan cara yang sama akan diperoleh:

= dan =

Dengan:

= =

= =

Sehingga untuk sistem persamaan linear dengan n buah persamaan dan

n buah variabel yang belum diketahui, dengan metode Cramer dapat di

dirumuskan:

72

= dengan i = 1,2,3, ………., n

Contoh :

Tentukan besarnya nilai w, x, y dan z dari sistem persamaan linear:

1. 2x + 3y = 28

3y + 4z = 46

4z + 5x = 53

2. 4w – 2x + 3y + 5z = 25

w – 3y + z = 14

9w + 10x + 2y + 8z = 101

4w + 2x – 3y + 5z = 53

Jawab:

1. 2x + 3y = 28

3y + 4z = 46

4z + 5x = 53

Sempurnakan sistem persamaan linearnya:

2x + 3y + 0 = 28

0 + 3y + 4z = 46

5x + 0 + 4z = 53


=

=

Dimana:

=

73

=

=

Pandang:

=

Maka:

= = (24 + 60 + 0) – (0 + 0 + 0) = 84

= = (336 + 636 + 0) – (0 + 0 + 552) =

420

= = (368 + 560 + 0) – (0 + 424 + 0) =

504

= = (318 + 690 + 0) – (420 + 0 + 0) =

558

Maka :

= = = 5

= = = 6

= = = 7

74

2. 4w – 2x + 3y + 5z = 25

w – 3y + z = 14

9w + 10x + 2y + 8z = 101

4w + 2x – 3y + 5z = 53

Sempurnakan sistem persamaan linearnya:

4w – 2x + 3y + 5z = 25

w + 0 – 3y + z = 14

9w + 10x + 2y + 8z = 101

4w + 2x – 3y + 5z = 53


=

=

Dimana:

=

=

=

75

Pandang:

=

Maka:

= = 4(68) + 2(38) + 3(12) –5(32) = 224

= = 25(68) + 2(310) + 3(148) – 5(508) =

224

= = 4(310) – 25(38) + 3(–28) – 5(–138) =

896

= = 4(–148) + 2(–28) + 25(12) –5(20) = –

448

= = 4(508) + 2(138) + 3(20) –25(32) =

1568

Maka :

= = = 1

76

= = = 4

= = = – 2

= = = 7

4.5 Metode Invers Matriks

Metode ini bisa dipergunakan untuk mencari variabel yang belum

diketahui dalam sistem persamaan linear dengan n buah persamaan dan n

buah variabel yang belum diketahui.

Misal:

Sistem persamaan linear dengan tiga persamaan dan tiga variabel yang

belum diketahui adalah sebagai berikut:


=

=

Ruas kiri dan ruas kanan sama-sama dikalikan dengan invers matrik A, maka:

=

=

=

77

Sehingga dengan metode invers matriks dapat dirumuskan:

=

Dimana:

=

=

=

= invers matrik A

= matrik identitas, dengan ukuran sama dengan matriks A

Contoh :


1. 3x + 2y = 20

4x + 3y = 25

2. x + y + 2z = 9

2x + 4y – 3z = 1

3x + 6y – 5z = 0

Jawab:

1. 3x + 2y = 20

4x + 3y = 25

78


=

=

Dengan metode invers matriks dapat dirumuskan:

=

Dimana:

=

=

= = =

=

Sehingga:

=

=

=

=

79

2. x + y + 2z = 9

2x + 4y – 3z = 1

3x + 6y – 5z = 0


=

=

Dengan metode invers matriks dapat dirumuskan:

=

Dimana:

=

=

= = =

=

Sehingga:

=

=

80

=

=

4.6 Latihan Soal

Selesaikan sistem persamaan linear di bawah ini dengan metode

eleminasi Gauss, operasi baris elemen, metode Cramer dan invers

matriks.

1) 3x + 5y – 2z = 5

10x – 3y – 2z = 11

4x + 2y + 3z = 19

2) 5X1 + 2X2 – 3X4 = 1

X1 – X2 + X3 = 6

2X1 + 2X2 + 3X3 – 3X4 = – 5

– 3X1 – X2 + 4X3 + X4 = – 1

3) 3y + 9x = – 12

x + y = – 8

4) X + Y + Z = 0

X + 3Z + Y = 2

2X – 3Y – 5Z = 8

81

5) 2y – 3x – 2z – 10 = 0

3z – 2y + 12 = – 5x

7x + 4y – 7 = 20 – 5z

6) Diketahui:

= dan =

Tentukan sehingga =

82

BAB V

BILANGAN KOMPLEKS

5.1 Pegertian Bilangan Kompleks

Sebuah bilangan kompleks adalah sebuah bilangan yang dapat dinyatakan

dalam bentuk .

Jadi

Disini dan adalah bilangan nyata, sedangkan satuan bilangan khayal yang

didefinisikan sebagai :

atau

Pada , disebut bagian nyata dan biasa dinyatakan dengan lambang

, sedangkan bi disebut bilangan khayal, dinyatakan dengan lambang .

Jika maka adalah bilangan nyata, jika maka adalah bilangan

khayal. Jika dan maka disebut khayal murni.

Secara umum akar genap suatu bilangan negatif akan berupa bilangan khayal,

dan selalu dapat dinyatakan dengan satuan bilangan khayal . Khususnya akar kedua

bilangan negative, misalnya :

Dari definisi satuan bilangan khayal i didapat :

83

Nampaklah bahwa pangkat-pangkat menghasilkan bilangan-bilangan:

dan saja, dan nampak pula bahwa dengan sembarang pangkat tidak

berubah nilainya jika pangkatnya ditambah atau dikurangi 4.

Dua bilangan kompleks dan , yang hanya berbeda tanda

tanda bagian khayalnya, disebut sekawan (conjugate). Dua definisi berikut ini

menyangkut kesamaan bilangan kompleks:

1) Dua bilangan kompleks dan dikatakan sama

jika dan hanya jika:

Jadi jika bagian nyata kedua bilangan itu sama dan bagian khayal

keduanya juga sama.

2) Suatu bilangan kompleks adalah nol jika dan hanya jika:

dan

5.2 Gambar Bilangan Kompleks

Setiap bilangan kompleks dapat disajikan pada bidang sebagai

titik . Sebaliknya setiap titik pada bidang itu dapat dianggap sebagai

bilangan kompleks .

Bidang tempat menggambarkan bilangan-bilangan kompleks itu disebut bidang

kompleks. Pada bidang kompleks, titik-titik pada sumbu menggambarkan bilangan

yang nyata . Titik pada sumbu menyatakan bilangan khayal murni, karena

. Dengan alasan itulah maka sumbu disebut sumbu nyata , dan sumbu

disebut sumbu khayal murni. (Gambar 5.1)

5.3 Operasi Hitung Pada Bilangan Kompleks

a. Penjumlahan.

Jumlah dua bilangan kompleks dan ialah bilangan

kompleks yang diperoleh dengan cara berikut :

84

Cara menjumlahkan seperti itu disebut cara analitis. Menjumlahkan

dapat juga dilakukan secara grafis, yaitu dengan melukiskan sebuah jajaran

genjang. Dua titik yang menyatakan kedua bilangan yang dijumlahkan

merupakan dua titik sudut yang berhadapan, sedangkan pangkal sumbu

merupakan titik sudut ketiga. Dengan demikian titik sudut yang keempat

menyatakan jumlah kedua bilangan itu. (Gambar 5.2)

10-1-2-3 2 3 4

i

2i

3i

-3 +2

-i

-2i

-3i

4 + 1

-2 – 3i

Y

X

0

Y

X

Gambar 5.2

85

b. Pengurangan

Selisih dua bilangan kompleks dan ialah suatu bilangan kompleks yang

bila ditambahkan pada menghasilkan . Secara analitis mudah dilihat, jika

, maka :

Secara grafis selisih dua bilangan kompleks diperoleh dengan mula-mula

mengubah tanda pengurangannya, baru kemudian menjumlahkannya. Perhatikan

bahwa secara grafis lawan suatu bilangan kompleks ialah titik yang simetris

dengannya terhadap pangkal sumbu. (Gambar 5.3)

c. Perkalian

Hasil kali dua bilangan kompleks dan ialah suatu

bilangan kompleks yang diperoleh dengan cara memperkalikan secara aljabar kedua

bilangan itu, dengan mengingat bila timbul harus diganti dengan .

Gambar 5.3

Y

X

86

Contoh :

Kalikan dengan

Perhatikan bahwa hasil kali dua bilangan kompleks sekawan berupa bilangan

nyata, yaitu :

d. Pembagian

Pembagian pada bilangan kompleks didefinisikan sebagai kebalikan perkalian.

Didalam pelaksanaannya pembagian dilakukan dengan menggunakan sifat hasil kali

dua bilangan kompleks sekawan.

Contoh :

Bagilah dengan

5.4 Bilangan Kompleks Dalam Bentuk Kutub

Pada Gambar 7.4 titik menyatakan bilangan . Jarak dari

pangkal sumbu ke titik dinyatakan dengan , dan sudut dari sumbu nyata

positif ke segmen jarak ini dinamakan jarak yang selalu nonnegative

disebut nilai mutlak atau modulus bilangan kompleks itu.

87

Sudut disebut amplitudo atau argument bilangan kompleks. Dari

gambar itu terlihat hubungan-hubungan :

dan ……(1)

Selanjutnya Nampak bahwa :

dan …………(2)

Sehingga :

……… (3)

Bangun pada ruas kanan (3) itu disebut bentuk kutub bilangan

kompleks.

Sudut θ didalam bentuk kutub itu dapat diganti dengan sembarang

kelipatan bulat atau , tanpa mengubah nilai sinus atau kosinus

sudutnya. Demikianlah maka suatu bilangan kompleks dapat dinyatakan

dalam bentuk kutub yang lebih umum sebagai berikut:

Disini sembarang bilangan bulat. Nanti akan ternyata betapa

pentingnya bentuk bilangan kompleks seperti ini.

Dengan hubungan (1), (2), dan atau (3) diatas, maka sebuah bilangan

kompleks dalam bentuk dapat diubah menjadi bentuk kutub, dan

sebaliknya. Tetapi didalam menggunakan bangunan (1), untuk menentukan

nilai 0, hendaknyalah dipilih dengan kuadran tempat bilangan kompleks yang

bersangkutan.

0

Y

XGambar 5.4

88

Contoh:

Gambar bilangan dan ubah kedalam bentuk kutub!.

Penyelesaian : (Gambar 3.5)

Titik ( ) menyatakan bilangan tersebut. Sekarang kita hitung

modulus dan argumennya.

Tangen sudut terletak dikuadran II.

Demikianlah maka :

Y

X-2

θ

Gambar 5.5

89

Contoh :

Gambarkanlah bilangan dan buah ke dalam bentuk

.

Penyelesaian : (Gambar 7.6)

Titik yang menyatakan bilangan ini mudah digambarkan dengan

membuat sudut dengan sumbunya positif sebagai salah satu kakinya dan

dengan arah putar mengiri. Kemudian ukurkan 5 satuan panjang, sepanjang

kaki sudut yang baru ini. Dari hubungan (2) dan dari gambarnya didapat:

Sehingga :

Hasil kali dan hasil bagi dua bilangan kompleks dapat mempercepat

dengan cepat jika bilangan yang dikerjakan ditulis dalam bentuk kutub.

Misalnya kita akan mengalikan dua bilangan:

dan

Maka kita kalikan secara biasa, dan dengan menggunakan sifat-sifat

pada trigonometri didapat:

0

Y

X

Gambar 5.6

90

Dengan kata-kata dapatlah dirumuskan teorema:

Teorema 1.

Modulus hasil kali dua bilangan kompleks sama dengan hasil kali

modulus kedua bilangan itu argumennya sama dengan jumlah bangunan

masing-masing bilangan itu. Aturan tentang perkalian itu dapat dipergunakan

berkali-kali untuk mendapatkan hasil kali lebih dari dua bilangan kompleks

jadi untuk tiga bilangan misalnya, kita dapatkan:

(ditulis dalam bentuk singkat)

Kita nyatakan rumus untuk hasil bagi dua bilangan kompleks ini dengan

teorema sebagai berikut:

Teorema 2.

Modulus hasil bagi kedua bilangan kompleks sama dengan hasil bagi

modulus kedua bilangan. Argumennya sama dengan argument binagi

dikurangi argumen pembagi.

91

Contoh:

Nyatakan bilangan dan dalam bentuk kutub dan tentukan

hasil kalinya.

Penyelesaian :

Maka :

5.5 Latihan Soal

1. Termasuk golongan manakah bilangan kompleks dibawah ini, bilangan

nyata, khayal, ataukah khayal murni:

2. Tuliskan bilangan dibawah ini dalam bentuk :

a.

b.

c.

d.

92

3. Selesaikan dan berikan hasilnya dalam bentuk :

a.

b.

c.

d.

4. Tuliskan kawan (conjugate) bilangan kompleks dibawah ini. Gambarkan

beserta sekawannya.

a.

b.

c.

d.

Kerjakan secara grafis dan secara analitis.

5. Gambarkan bilangan-bilangan dibawah ini dan tuliskan bentuk kutubnya :

a.

b.

c.

d.

e.

f.

6. Ubah ke dalam bentuk :

a.

b.

c.

d.

e.

f.

93

7. Tentukan hasil dalam bentuk

a.

b.

c.

d.

8. Nyatakan bilangan bilangan dibawah ini dengan bentuk kutub dan hitung

hasilnya :

a.

b.

c.

d.

e.

f.

94

BAB VI

HITUNG VEKTOR

6.1 Definisi

Sebagai entites (ujud) matematika murni, vector merupakan suatu

segmen garis berarah, sehingga biasa di gambarkan sebagai sepotong

ruasgaris dengan tanda panah pada salah satu titik ujungnya. Jelas vector

disini mempunyai dua unsure besar dan arah. Dengan demikian setiap entitas

yang memiliki kedua unsure ini dapat dinyatakan dengan vector, misalnya:

gaya, kecepatan, percepatan, dan geseran. Entitas seperti: massa, panjang,

suhu, bukanlah vector, karena hanya memiliki besar, tidak mempunyai arah.

Entitas-entitas seperti ini disebut scalar. Bilangan-bilangan didalam aljabar

pun termasuk scalar.

6.2 Gambar Vektor

Besar suatu vektor dinyatakan dengan panjang ruas garisnya. Jadi untuk

bisa membandingkan besar suatu vector dengan vector lainya, kita tentukan

dulu satuan panjang yang kita pakai.

Arah vektor dinyatakan dengan letak ujung panah pada ruas garisnya.

Untuk membedakan suatu vektor dengan suatu skalar, didalam

menuliskan suatu vektor kita gunakan sebuah huruf dengan garis datar

diatasnya. Misalkan: dan menyatakan vektor, sedangkan A dan a adalah

scalar. Didalam media cetak vektor dinyatakan dengan huruf tebal. Vektor

yang berpengaruh di titik A dan berujung di B ditulis dengan , jadi

dengan anak panah di atasnya (gambar 8.1).

Untuk meyatakan panjang vektor dipakai tanda nilai mutlak : / /,

atau dutulis saja A tanpa garis di atasnya.

A B

Gambar 6.1

95

Definisi kesamaan, dua vector dikatakan sama baik panjang maupun arahnya

sama.

Dari definisi ini tersirat bahwa vektor yang kita bicarakan di sini adalah

vector bebas, artinya : sebuah vektor dapat dipindahkan dari suatu tempat ke

tempat yang lain asal panjang dan arahnya tidak berubah, dan kita anggap

vektor yang dimiliki tidak mengalami perubahan.

Sebuah garis yang berimpit dengan sebuah vektor disebut garis pemutar

vektor tersebut.

Definisi kesejajaran. Dua vector dinyatakan sejajar jika garis -garis

pemutarannya sejajar.

Di dalam definisi ini tidak dibicarakan arah vektor. Dua vektor yang

bersekutu garis pemuat dikatakan sejajar pula.

Jika sebuah garis L sejajar atau berimpit dengan garis pemuat sebuah

vector , maka vector ini disebut vector arah garis L. Sebagai vector arah

ini sembarang saja. Dengan kata lain sembarang vector dapat dipakai sebagai

vector arah garis L, asal sejajar dengan

6.3 Oprasi Hitung Vektor

Definisi penjumlahan.

Dua vektor atau lebih dapat dijumlahkan dengan apa yang disebut

aturan polygon, Pada ujung sebuah vektor diimpitkan pangkal kedua, pada

ujung vector kedua ini diimpit vector ketiga, demikian seterusnya. Jumlah

vector-vektor ini ialah: vector yang ditarik dari pangkal vector yang pertama

ke ujung vector yang terakhir, jadi vector yang melengkapi atau menutup

poligonya.

A+B+C C

B

A

Gambar 6.2

Perhatikan bahwa polygon ini bias “terpuntir”, artinya tidak harus terletak

pada sebuah bidang datar.

96

Pada gambar 6.3 terlihat : + = 2 adalah sebuah vector yang

searah dengan vector dan panjangnya dua kali panjang vector . Secara

umum K dengan K suatu scalar ialah vector yang panjangnya /k/ kali

vector , dan searah dengan:

2

-

Gambar 6.3

Vector jika k positif, tetapi berlawanan arah jika k negatif. Kita

dapatkan suatu sifat:

Jika dua vector sejajar, maka vector yang satu dapat ditulis sebagai suatu

scalar k kali vector yang lainnya, sebaliknya, jika suatu vector dapat

dinyatakan sebagai suatu scalar kali vector lain, maka vector itu sejajar.

Definisi pengurangan.

- ialah vector yang bila ditambahkan pada menghasilkan .

-

-

Gambar 6.4 Gambar 6.5

Menurut definisi ini, dan mengingat definisi penjumlahan, jelas bahwa

- ialah vector dari ujung ke ujung , setelah dan diperimpitkan

pangkalnya (lihat gambar 6.4).

Cara lain untuk mengurangi dengan ialah dengan menambah -

pada (gambar 6.5). Cara ini lebih cocok untuk menyelesaikan misalnya:

3A-2B+4C-2D.

97

Vector nol pada penjumlahan,

Apabila vector-vektor yang dijumlahkan kebetulan telah menutup

poligonya, maka pangkal vector yang pertama berimpit dengan ujung vector

terakhir. Jadi jumlahnya merupakan vector yang panjangnya nol. Vector

semacam ini disebut vector nol dan ditulis 0.

Jadi pada gmabar 6.6.

Gambar 6.6

+ + + = 0

Jika suatu vector dijumlahkan dengan vector lawanny, maka hasilnya

pun berupa vector nol. Jadi + - = 0. Demikinalah, jika = - , maka +

=0.

Cara lain menjumlahkan dua vector A dan B ialah dengan membentuk

jajaran genjang dengan kedua vector itu. Yaitu dengan memperimpitkan

pangkal kedua vector itu. Vector diagonal yang bersatu pangkal dengan

dan itulah jumlahnya, atau resultan vector dan (gambar 8.7).

hasilnya tentu sama dengan yang diperoleh dengan cara yang disebutkan

dalam defenisi penjumlahan.

6.4 Sifat-Sifat Vector

Kesamaan-kesamaan di bawah ini sudah dibuktikan kebenaranya:

a. ) (sifat komulatif).

b. (sifat asosiatif).

c. m(n ) = (mn) (sifat asosiatif untuk perkalian dengan

bilangan skalar).

98

d. (m+n) = m + n (sifat distributif)

e. m( = m + m (sifat distributif terhadap

penjumlahan vektor-vektornya).

6.5 Menyatakan Sebuah Vektor

Pandangan dua titik P1 (x1, y1, z1) dan P2 (x2, y2, z2) : (Gambar 8.7)

Z

0 Y

X

Gambar 6.7

Vektor posisi OP1 dan OP2 dapat dinyatakan sebagai :

Maka sesuai dengan definisi pengurangan didapat: ,

sehingga:

Rumus ini memberikan cara menyatakan vektor yang berpangkal di P1

dan berujung di P2. Ungkapan untuk mengingat rumus tersebut ialah

Koordinat ujung dikurangi koordinat pangkal. Dari rumus tersebut didapat

rumus untuk panjang vektor atau jarak antara P1 dan P2, yaitu :

P1 (x1, y1, z1)

P2 (x2, y2, z2)

99

Di dalam dwimatra rumus ini menjadi :

Contoh : Nyatakan vektor dari A (-2,1) ke B (2,4), dan hitung panjangnya.

Penyelesaian

Vektor dapat pula dipergunakan untuk menentukan koordinat titik yang

terletak di antara dua titik yang diketahui dengan perbandingan jarak yang

ditentukan.

Contoh.

Diketahui:

Titik P (2,3,1) dan Q (4,-2,3). Tentukan titik R yang membagi ruas garis PQ

menjadi dua bagian yang berbanding sebagai 3 : 5 (Gambar 6.8)

Penyelesaian:

Andaikan R ialah R (x,y,z). Dibentuk vektor PR dan RQ. Menurut

syaratnya, maka . Karena kedua vektor ini segaris, maka

dpatlah ditulis : .

Dengan kaidah “Koordinat ujung dikurangi koordinat pangkal” maka :

P (2,3,1)

R (x,y,z)

Q (4,-2,3)

Gambar 6.8

100

Sehingga :

Suatu vektor hanya dapat dinyatakan secara tunggal sebagai kombinasi

linier i, j, dan k, sehingga haruslah :

x-2 = 3/5 (4-x) x = 11/4

y-3 = 3/5 (-2-y) y = 9/8

z-1 = 3/5 (3-z) z = 7/4

Jadi koordinat titik R ialah R (11/4,9/8,7/4)

Secara umum, koordinat titik R yang membagi ruas garis yang

menghubungkan

P (x1, y1, z1) dan Q (x2, y2, z2) dengan perbandingan m : n, dapat ditentukan

dengan rumus yang diturunkan dengan cara seperti di atas :

n

m

P (X1, Y1, Z1)

R(X,Y,Z)

Q (X2, Y2,Z2)

Gambar 6.9

101

Jika R membagi dua sama ruas garis PQ, maka rumusnya menjadi :

6.6 Perkalian Dalam Aljabar Vektor

Di dalam hitung vektor dibicarakan dua macam perkalian antar vektor,

yaitu : perkalian titik dan perkalian silang.

Perkalian titik dua vektor Adan b, ditulis : A.B, didefinisikan sebagai :

Disini ialah sudut antara dalam selang 00 1800. Nampak

bahwa hasil perkalian perkalian titik berupa skalar. Itulah sebabnya perkalian

ini lebih sering disebutsebagai perkalian skalar.

Dari definisi terlihat bahwa perkalian skalar bersifat komutatif :

Pada gambar 6.10 terlihat :

dan

berasatu pangkal. Maka :

Gambar 6.10

102

Pada segitiga vektor itu, dengan aturan kosinus, kita dapat :

,

sehingga :

Dengan demikian kita peroleh :

Ternyatalah bahwa hasil perkalian skalar dua vektor dapat dinyatakan

sebagai jumlah hasil kali bilangan-bilangan arah yang bersesuaian.

Karena Cos 00 = 1, maka :

Dua vektor yang saling tegak lurus membentuk sudut 900 yang

kosinusnya = 0, sehingga hasil perkalian skalarnya = 0.

Maka terdapatlah sifat: Dua vektor yang saling tegak lurus jika dan hanya

perkalian skalarnya sama dengan nol.

Contoh 1.

Dengan dua titik A (1,-2,2) dan B (6,3,-2) tentukan hasil perkalian skalar dua

vektor posisi yang berujung pada A dan B, dan tentukan bear sudut antara

kedua vektor itu.

Penyelesaian:

0A= i-2j-2k dan OB = 6i + 3j-2k.

Maka

OA.OB = (1) (6) + (-2) (3) + (-2) (-2) = 4

Cos 21/44936441

4

///

.

OBOA

OBOA

Jadi sudut antara kedua vektor itu ialah:

arc cos 4/21 = 79°

103

Contoh 2.

Periksalah, apakah vektor A = 3i + 4j + k dan B = 2i-j + 6 k saling tegak

lurus.

Penyelesaian:

A.B = (2) (3) + (4) (-3) + (1) (6) = 0, Jadi kedua vektor itu saling tegak

lurus.

Cacatan : karena vektor-vektor satuan i.j + k dan B = 2i-j + 6 k saling tegak

lurus.

Penyelesaian:

A.B = (2) (3) + (4) (-3) + (1) (6) = 0, Jadi kedua vektor itu saling tegak

lurus.

Cacatan : karena vektor-vektor satuan i.j, dan k saling tegak lurus, maka, 1.j

= j.k = k.i =0

6.7 Perkalian Silang

,BxA dibaca A dan B , adalah perkalian silang vektor A dan B , yang

didefinisikana sebagai berikut:

Dengan ialah sudut antara A dan B yang berselang 0 ≤ 0 ≤x, sedang

n ialah vektor satuan dengan arah majunya sekrup yang diputar dari A ke B.

Karena hasil perkalian silang berupa sebuah vektor, maka perkalian ini

juga mempunyai sebutkan : perkaliana vektor.

Dari definisinyaa nampak bahwa / A X B = /A//B/sin , dan ini

merupakan luas jajaran genjanga yang dibentuk oleh vektor A dan B yang

berhimpitan pangkalnya (gambar 6.11).

nBABXA sin////

104

Perkalian vektor pada i , j

dan k, memberikan:

i x i = j x j = k x k = 0

i x j = k, j x k = i , k x i = j

Gambar 6.11

Cara mengingat-ingat yanag terakhir

Cara mengingat-ingat yang terakhir ini ialah dengan menempatkan i,j

dan k dengan urutan seperti itu pada keliling sebuah lingkaran.

Mengingat definisinya maka A x B = - (B x A). jadi pada perkalian

silang tidak berlaku hukum komutatif.

Menggunakan sifat distributif pada perkalian silang terhadap

penjumlahan (lihat Thomas, halaman 509) dapat diperhatikan bahwa

perkalian silang dua vektor dapat duliskan dalam bentuk determinan, yaitu

jika:

A = a1 i + a2 j + a3 k dan B = b1 i + b2 j + b3 k

Maka A X B =

321

321

1

bbb

aaa

kj

Bukti :

A X B = (a1 i + a2 j + a3k) X (b1i + b1 j + b3 k O)

= (a1 i + (b2 i + b2 j + b3k) + a2j X (b1i + b1 j +a3k) + a3 k X (b1i + b2 j +

b3 k )

Bt = /B/sin

j

Ik

k

ji

105

= (a1 b2 k - a3 b3 j ) + (a2 b1 k + a2 b3 i ) + (a3b1j = a3b2)

= (a2b3-a3b2) i - (a1b3-) j + (a1b2-a2b1) k

= D (Determinana di atas)

Beberapa contoh:

1) Jika C = 3 i -2 j + 4 k dan D = 4 i -3 j - k , maka:

Maka D X C =

423

134

1

kj

= -14 i -19 j + k

Sedang D X C = 14 i -19 j + k (berlawanan arah dengan D X C ).

2) Hitung luas segitiga yang titik sudutnya : A (1,-1,0). B (2,1,-1), dan

C (-1,1,2).

Penyelesaian:

Dua sisi segitiga itu ialah vektor:

A B = (2-1) i + (1 + 1) j + (-1-0) k = i + 2 j - k dan

A C = (-1-1) i + (1 + 1) j + (2-0) k = 2 i + 2 j -2 k dan

Vektor n = A B x A C =

222

121

1

kj

/ n / = 263636

/ n / adalah luas jajaran genjang yang dibentuk oleh kedua vektor

tersebut. Jadi luas segitiga yang ditanyakan adalah separuhnya,

yaitu 23

3) Tentukan vektor satuan yanag tegak lurus pada kedua vektor:

a = 2 i + j - k dan b = i + j -2 k

Penyelesaian

106

n = a = b tegaklurus pada a dan b . Vektor satuan yang ditanyakan

dipeorleh dengan membagi n dengan panjangnya.

n =

211

112

1

kj

= i + 5 j -3 k

/ n / = ,359251 sehingga vektor satuan yang ditanyakan

ialah u = ±35

35 kji

6.8 Latihan Soal

1. Hitung panjang vektor berikut:

a. 2 i + j -2 k

b. 3 i + 6 j -2 k

2. Diketahui : A (-3,2) dan B (5,4) gambarkan garis Ab dan tentukan:

a. Jarak AB

b. Titik tengahnya

c. Vektor BA

d. Titik pada AB yang jarak ke A tiga kali B

3. Buktikan:

a. A .( B + C ) = A . B + A . C

b. ( A . B ) . C = A . C + B . C

4. Diketahui tiga titik : A (4,7,11), B (-3,1,4), dan C (2,3,-3)

a. Tentukan besar sudut-sudut segitiga ABC

b. Buktikan bahwa vektor : 14 i -21 j + 4 k tegak lurus pada bidang

segitiga ABC.

107

5. Buktikan bahwa sudut antara dua vektor dapat juga dihitung dengan

rumus: Cos = cos ∞1 cos ∞2 + cos β1 cos β2 + cos δ1 cos δ2

6. Diketahui tiga titik : A (3,1), B (5,-2) dan (6,3)

a) Tentukan besar sudut-sudut segitiga ABC

b) Hitung luas segitiga ABC (untuk menghitung tingginya, ingat :

sin = 2

cos1

7. Buktikan bahwa : A x B =- B x A , tetapi A . B = B . A

8. Buktikan bahwa:

a. A . (= A x B = 0, dan B . (= A x B = 0, dengan dua

cara

i. dengan menghitungkan,

ii. dengan mengingat sifat A x B.

b.Secara umum A. (B x C) dapat ditulis sebagai diterminana

berordo 3 dari bilangan-bilangan arahnya :

321

321

321

ccc

aab

aaa

ini membuktikan lagi soal (a). Mengapa juga ini membuktikan

bahwa: A. (B x C) = B. (C x A) = C. (A x B) mengapa?.

9. Hitung luas segitiga yang titik sudutnya : A (1, 2, 3), B (2, -1, 1)

dan C (-2, 1, -1).

10. Hitung volume balok yang rusuknya ialah OA, OB, dan OC, dengan:

A (1, 2, 3), B (1, 1, 2) dan C (2, 1, 1).

108

DAFTAR PUSTAKA

Anton, H. 1997. Aljabar Linear Elementer (terjemahan). Jakarta: Erlangga.Edwin J

Purcell, dale varberg, “Kalkulus dan Geometri Analitis”, Jilid I Edisi 4Erlangga.

Ismail Basari,”Matematika I”.

N. Soemarjo, Dra . Prof, “Kalkulus Dasar”, Lembaga Penerbit FakultasEkonomi Universitas Indonesia.

Purell, Edwin J, “Calculus With Analyti Geometry”, Prentie-Hall, Inc, 1984.

Soehardjo, “Analisa Vektor”.

Sucipto E, “Matematika Untuk Perguruan Tinggi”.

Thomas, “Calculus and Analytic Geometri”.

Yoewono Moekidam, “Matematika II”, Bahan Kuliah Matematika UntukFakultas Teknologi.

Yusuf Yahya, Suryadi HS, Agus S, “Matematika Dasar Untuk PerguruanTinggi”, Serial Matematika dan Komputer Aski, Ghalia Indonesia .

DIKTAT ALJABAR LINEAR · 2017. 7. 27. · 1.4 Operasi Aljabar Pada Matriks. 1.5 Transpose Matriks....

Documents

Transcript of DIKTAT ALJABAR LINEAR · 2017. 7. 27. · 1.4 Operasi Aljabar Pada Matriks. 1.5 Transpose Matriks....