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Integral de Convolucion en pruebas de pozo Analisis Numerico para nucleos decrecientes a cero Ecuacion de flujo monofasico en derivadas fraccionarias Apendice. Calculo Fraccional
Difusion Fraccionaria y la Integral de Convolucion
an Analisis de Pruebas de Pozo
Miguel Angel Moreles VazquezCIMAT
Miguel Angel Moreles Vazquez CIMAT
Difusion Fraccionaria y la Integral de Convolucion an Analisis de Pruebas de Pozo
Integral de Convolucion en pruebas de pozo Analisis Numerico para nucleos decrecientes a cero Ecuacion de flujo monofasico en derivadas fraccionarias Apendice. Calculo Fraccional
CONTENIDO
1 Integral de Convolucion en pruebas de pozo
2 Analisis Numerico para nucleos decrecientes a cero.
3 Ecuacion de flujo monofasico en derivadas fraccionarias.
4 Calculo Fraccional
Miguel Angel Moreles Vazquez CIMAT
Difusion Fraccionaria y la Integral de Convolucion an Analisis de Pruebas de Pozo
Integral de Convolucion en pruebas de pozo Analisis Numerico para nucleos decrecientes a cero Ecuacion de flujo monofasico en derivadas fraccionarias Apendice. Calculo Fraccional
M. Cinar, D. Ilk, SPE, M. Onur, P.P Valko, T.A. Blasingame: AComparative Study of Recent Robust Deconvolution Algorithms forWell-Test and Production-Data Analysis. SPE 102575 (2008)
p0 − pm(t) =
� t
0qm(t− s)
dpu(s)
dsds
∆pm(t) = p0 − pm(t)qm(t) ≡ measured flow (production) ratepm(t) ≡ measured pressurep0 ≡ initial pressurepu(s) ≡ the constant-unit-rate pressure response of thewell/reservoir system if the well were produced at a constantunit-rate.
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Integral de Convolucion en pruebas de pozo Analisis Numerico para nucleos decrecientes a cero Ecuacion de flujo monofasico en derivadas fraccionarias Apendice. Calculo Fraccional
Algoritmos de deconvolucion:
1 von Schroeter et al. (2002, 2004)
2 Levitan (2005)
3 Ilk et al. (2005, 2006)
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Integral de Convolucion en pruebas de pozo Analisis Numerico para nucleos decrecientes a cero Ecuacion de flujo monofasico en derivadas fraccionarias Apendice. Calculo Fraccional
q(t) =
405,23− 736,79 exp (−t/5)
+368,39 exp (−t/20) 0 < t ≤ 60 (hr)
0 60 < t < 100
300 exp ((100− t) /100) 100 ≤ t ≤ 200
0 200 < t < 300
L,C,C, Mendes, M. Tygel, A.C. de Franca Corrba: A DeconvolutionAlgorithm for Analysis of Variable-Rate Well Test Pressure Data.SPE 19815 (1989)
q(t) = exp (−t)
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Nucleo truncado y ecuacion integral asociada
Propuesta de un metodo numerico para resolver la ecuacionintegral:
p(t) =
� T
0k(t, s)g(s) ds, 0 ≤ t ≤ T (1)
donde:k(t, s) = q(t− s)H(t− s)
D. D. French, C.W. Groetsch: Numerical Solution of a Class ofIntegral Equations Arising in a Biologial Laboratory Procedure.(2009)
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Nucleo truncado y ecuacion integral asociada
El nucleo k(t, s) tiene las siguientes propiedades:
1 k(t, s) → 0 cuando t → ∞.
2 Existe una constante positiva M tal que k(s+, s) � M para todo s.
3 k(t, s) es acotado en [0, T ]x[0, T ], positivo para t > s y k(t, s) ∈ C1
en t > s.
4 ∂tk < 0 < ∂sk.
5 k(t, s) es un nucleo Volterra.
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Nucleo truncado y ecuacion integral asociada
Lema 1
Sea 0 < � < k(0, 0). Entonces existe un unico τ(�) > 0 tal que
k(τ(�), 0) = �.
Ademas τ(�) es una funcion decreciente y τ(�) → T cuando � → 0.
Lema 2
Sea 0 < � < min{M,k(0, 0)}. Entonces para t ≥ τ(�) existe ununico s�(t) que satisface
k(t, s�(t)) = �.
Ademas, para cada � > 0, s�(·) es una funcion creciente ys�(·) → 0 cuando � → 0.
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Nucleo truncado y ecuacion integral asociada
Sea k� la siguiente funcion:
k�(t, s) =
�0 si 0 < s < s�(t)
k(t, s) si s�(t) ≤ s < t
Definamos a g�(s) por:
p(t) =
� T
0k�(t, s)g�(s) ds := (K�g�)(t) (2)
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Nucleo truncado y ecuacion integral asociada
Metodo Numerico. Consideremos una aproximacion constantepor partes y colocacion en la ecuacion (2). Definimos una sucesionde puntos
sj = s(tj) donde k(tj , s(tj)) = �.
Sea
gd(s) =n�
j=1
gdjχ[sj ,sj+1)(s) (3)
donde χS denota la funcion caracterıstica del conjunto S. Alcolocar obtenemos::
p(tn+1−i) =
� T
0k�(tn+1−i, s)g
d(s) ds, i = 1, ..., n. (4)
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Nucleo truncado y ecuacion integral asociada
Teorema 1
Las ecuaciones (4) tienen una unica solucion de la forma (3).
El Teorema (1) determina de forma unica los gdj por unprocedimiento explıcito. De esta manera podemos definir unaecuacion matricial H�gd = �F donde
Hij =
�� sj+1
sjk�(ti, s) ds para i ≤ j
0 en otro caso
y Fi = p(ti).
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Resultados Numericos
Consideraremos datos de entrada p(ti) contaminados de ruido del 5por ciento.
Compararemos con los datos el metodo de regularizacion deTikhonov con eleccion de parametro de regularizacion por elmetodo de discrepancia de Morosov.
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Resultados Numericos
Figura: 1. Aproximacion a la funcion Lineal.
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Resultados Numericos
En la Figura 1 presentamos la comparacion entre los metodos conn = 10 y T =57.565 y en la siguiente tabla mostramos la salida:
Metodo Parametro Determinante de K Error relativoTIKHONOV α = 0. 0091 0. 26x10−5 0. 658
TRUNCACION � = 1. 0x10−5 0. 994 0. 064
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Resultados Numericos
Figura: 2. Aproximacion a la funcion Cuadratica.
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Resultados Numericos
En la Figura 2 presentamos la comparacion entre los metodos conn = 10 y T =57.565 y en la siguiente tabla mostramos la salida:
Metodo Parametro Determinante de K Error relativoTIKHONOV α = 0. 0057 0. 26x10−5 0. 690
TRUNCACION � = 1. 0x10−5 0. 994 0. 048
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Resultados Numericos
Figura: 3. Aproximacion a la funcion Cubica.
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Resultados Numericos
En la Figura 3 presentamos la comparacion entre los metodos conn = 10 y T =57.565 y en la siguiente tabla mostramos la salida:
Metodo Parametro Determinante de K Error relativoTIKHONOV α = 0. 005 0. 26x10−5 0. 694
TRUNCACION � = 1. 0x10−5 0. 994 0. 049
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Resultados Numericos
Figura: 4. Aproximacion a la funcion Periodica.
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Resultados Numericos
En la Figura 4 presentamos la comparacion entre los metodos conn = 20 y T =69.078 y en la siguiente tabla mostramos la salida:
Metodo Parametro Error relativoTIKHONOV α = 0. 019 0. 352
TRUNCACION � = 1. 0x10−3 0. 1829
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Analisis de error
Probaremos primero la unicidad de la solucion de (2).
Teorema 2
Sea g� ∈ L2(0, T ) solucion de la ecuacion de Fredholm de primertipo (2) y p ∈ H1(0, T ) entonces g� es una solucion de la ecuacionintegral
g�(t) =1
z(t)
d
dtp(t)+
�
z(t)s��(t)g�(s�(t))−
� t
s�(t)k(t, s)g�(s)ds, (5)
donde,
z(t) = k(t, t) y k(t, s) =1
z(t)∂1k(t, s).
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Analisis de error
La ecuacion integral de volterra de segundo tipo
g0(t) =1
z(t)
d
dtp(t)−
� t
s�(t)k(t, s)g0(s)ds, (6)
tiene solucion unica g0(t).
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Analisis de error
Teorema 3
Sea g0 solucion de (6) entonces existe �0 tal que para todo � ≤ �0se satisface la siguiente desigualdad
� g� − g0 �≤C
(1− �0C)� g0 � (7)
donde g� es la solucion de (5) y C constante positiva.
Corolario 1
N(K�) = {0}.
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Analisis de error
La convergencia de g� a g sera consecuencia del siguiente resultado
Lema
Si g� ∈ L2[0, T ] y {� g� �}�>0 es acotado, entonces
|� T
0k(t, s)(g(s)− g�(s))ds |= O(�).
Finalmente:
Teorema 5
Si N(K) = {0} y {� g� �}�>0 es acotado, entonces g� � g(convergencia debil) cuando � → 0.
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Difusion radial
A.F. Van Everdingen, W. Hurst:.The application of the Laplacetransform to flow problems in reservoirs; AIME Annual Meeting inSan Francisco. (1949)
El modelo fundamental es la ecuacion de difusion en geometrıaradial
∂2p
∂r2+
1
r
∂p
∂r=
φµctk
∂p
∂t
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Difusion radial
El medio esta contenido entre el radio del pozo, rw, y el radio delyacimiento, re, el cual puede ser infinito.En variables adimensionales:
rd =r
rw, td =
kt
φµctr2w
Pd(rd, td) =Pi − p(r, t)
Pi − Pwfqd(td) =
q(t)µ
2πkh(Pi − Pwf )
Donde Pwf es la presion en la base del pozo (flowing bottomholepressure).
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Difusion radial
∂Pd
∂t=
∂2Pd
∂r2+
1
r
∂Pd
∂r
Siguiendo Van Everdingen & Hurst, es suficiente considerar laecuacion en dos configuraciones base:
1 Presion terminal constante (Constant terminal pressure).
Pd(r, 0) = 1. Pd(1, t) = 0.
2 Gasto terminal constante (Constant terminal rate)
Pd(r, 0) = 0,
�∂Pd
∂rd
�����rd=1
= −1.
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Difusion radial
El problema con valores iniciales y a la frontera se completaagregando condiciones en la frontera exterior. Si el yacimiento esfinito se consideran los casos de presion constante,y fronteracerrada, i.e., flujo cero. Para el yacimiento infinito se supone que lapresion tiende a cero con r.De Van Everdingen & Hurst obtenemos le ecuacion de convolucionpostulada anteriormente:
p0 − pm(t) =
� t
0qm(t− s)
dpu(s)
dsds
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Difusion radial
En lo que sigue removemos los subındices de P, t, rSi Q(t) es el gasto total en entonces se sigue en el dominio deLaplace:
P Q =1
s3
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Subdifusion
Flujo fractal
∆P vs tν
ν una fraccion.La ecuacion de Metzler-Glokle-Nonnenmacher
∂αP
∂tα=
1
rβ+θ
∂
∂r
�rβ
∂P
∂r
�
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Subdifusion
sαP =1
rβ+θ
∂
∂r
�rβ
∂P
∂r
�
x =2
θ + 2sα/2r
θ+22
P = xνy(x), ν =1− β
θ + 2
Se obtiene la ecuacion de Bessel modificada
x2y��(x) + xy�(x)−�x2 + ν2
�y(x) = 0
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Subdifusion
P = a sνα/2rνΘKv
�sα/2rΘ/Θ
�+ b sνα/2rνΘIν
�sα/2rΘ/Θ
�
Θ =θ + 2
2
Tambien
P Q =1
s3
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La Integral de Riemann-Liouville
El Teorema fundamental del Calculo
f(x) = f(0) +
� x
0f �(t) dt.
El Teorema de Taylor con residuo
f(x) = f(0) +f �(0)
1!x+
f (2)(0)
2!+ . . .+
f (n−1)(0)
(n− 1)!+Rn(x)
Rn(x) =1
(n− 1)!
� x
0(x− t)n−1 f (n)(t) dt
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La Integral de Riemann-Liouville
La funcion Gamma de Euler
Γ(p) =
� ∞
0xp−1e−x dx, p > 0.
Γ(p+ 1) = pΓ(p), p > 0 ⇒ Γ(n) = (n− 1)!
Γ(n) = (n− 1)!
Rn(x) =1
Γ(n)
� x
0(x− t)n−1 f (n)(t) dt
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La Integral de Riemann-Liouville
La Integral de Riemann-Liouville ≡ Integral Fraccionaria deOrden ν
Iνf(x) =1
Γ(ν)
� x
0(x− t)ν−1 f(t) dt, ν > 0.
Entre las muchas propiedades:
IµIν = Iµ+ν
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Derivadas Fraccionarias
ν > 0, n = [ν] , α = ν − n.
Supongamos
f(0) = f �(0) = f (2)(0) = . . . = f (n−1)(0) = 0.
La derivada fraccional de Caputo Dνc f
Dνc f(x) = I1−αD
n+1f(x).
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Derivadas Fraccionarias
La derivada fraccional de Riemann-Liouville DνRL
DνRLf(x) = Dn+1I1−αf(x).
La derivada fraccional de Canavati Dνc
Dνc f(x) = DI1−αD
nf(x).
El caso 0 < ν < 1 : n = 0, ν = α.
Dα ≡ DαRL ≡ Dα
c
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