Diferentes presentaciones de los polinomios de Bernoulli

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELAFACULTAD DE CIENCIAS

ESCUELA DE MATEMATICA

Diferentes presentaciones de

los polinomios de Bernoulli.

Trabajo Especial de Grado presenta-

do ante la ilustre Universidad Cen-

tral de Venezuela por el Br. Gabriel

Marquez para optar al tıtulo de Li-

cenciado en Matematica.

Tutor: Marisela Domınguez

Caracas, Venezuela

Mayo 2008

ii

Nosotros, los abajo firmantes, designados por la Universidad Central de Venezuela como

integrantes del Jurado Examinador del Trabajo Especial de Grado titulado

“Diferentes presentaciones de los polinomios de Bernoulli”, presentado por el Br.

Gabriel Marquez, titular de la Cedula de Identidad 16.332.768, certificamos que este

trabajo cumple con los requisitos exigidos por nuestra Magna Casa de Estudios para optar

al tıtulo de Licenciado en Matematica.

Marisela Domınguez

Tutor

Ramon Bruzual

Jurado

Manuel Maia

Jurado

iii

Agradecimiento

A todos aquellos que no creyeron en mi.

Tambien quisiera hacer un especial agradecimiento al Consejo de Desarrollo Cientıfico y

Humanıstico de la UCV por el apoyo en la impresion de este trabajo.

Indice general

Introduccion 1

Capıtulo 1. Preliminares. 3

1. Polinomios de Bernoulli. 3

2. Teorema de Taylor. 6

3. Teorema de la convergencia de las series de Fourier. 8

4. Calculo umbral. 9

Capıtulo 2. Solucion de la ecuacion funcional de Lehmer. 12

1. Existencia de la solucion de la ecuacion funcional de Lehmer. 12

2. Unicidad de la solucion de la ecuacion funcional de Lehmer. 15

Capıtulo 3. Polinomios de Bernoulli y ecuacion funcional de Lehmer. 17

1. Sucesiones de Appell 17

2. Calculo umbral 18

3. Formula de Bernoulli 19

4. Series de Fourier 21

5. Funcion generatriz 24

Bibliografıa 27

iv

Introduccion

Jacob Bernoulli (Basilea, Suiza 1654-1705) se intereso en el estudio del calculo integral,

y colaboro con su hermano Johan en las matematicas aplicadas. Entre los anos 1696 y 1701

hizo grandes aportes a los temas de las curvas transcendentales (estudio de la catenaria),

isometrıa, entre otros. Aparte desarrollo tecnicas para la solucion de ecuaciones diferenciales

separables y fue uno de los primeros matematicos en utilizar las coordenadas polares. Hasta

una curva lleva su nombre, la lemniscata de Bernoulli.

Una de sus obras mas destacadas es el “arte de las conjeturas”, publicado por su sobrino

Nicolas tras ocho anos de su muerte. Allı dejo plasmados grandes aportes para la teorıa

de probabilidades, como son la enumeracion de probabilidades de los riesgos de azar y su

representacion del teorema conocido como la ley de los grandes numeros. Algunos resultados

de este trabajo son los polinomios y numeros de Bernoulli. En 1705, mediante suma de

potencias, Bernoulli definio los polinomios que llevan su nombre.

Los polinomios de Bernoulli estan relacionados con el estudio de ciertas funciones espe-

ciales como la funcion zeta de Riemann y la funcion zeta de Hurwitz.

Appell en el ano de 1832 demostro que los polinomios de Bernoulli forman un tipo especial

de sucesion, que llevan el nombre de sucesion de Appell y dio una definicion alternativa de

estos polinomios. Al igual que Appell y el propio Bernoulli otros matematicos han dado

otras definiciones a estos polinomios, entre las que estan: Euler (1738) mediante la funcion

generatriz, Lucas (1891) mediante el calculo umbral y Hurtwitz (1890) mediante series de

Fourier.

Ahora bien, Lehmer en su publicacion “A new approach to Bernoulli polynomials”([9])

proporciono otra definicion de los polinomios de Bernoulli, mediante el teorema de la multi-

plicacion. El teorema de la multiplicacion es un tipo de identidad obedecida por la funcion

Gamma; la identidad viene dada por un producto de valores, de allı el nombre. Para los poli-

nomios de Bernoulli el teorema de la multiplicacion fue dado a conocer por el matematico

Josseph Ludwing Raabe en el ano de 1851.

1

INTRODUCCION 2

El objetivo de este trabajo es estudiar diferentes definiciones de los polinomios de

Bernoulli, relacionarlas con series de Taylor, series de Fourier, numeros de Bernoulli, fun-

ciones generatrices, calculo umbral y otras areas de las matematicas.

Se usara el artıculo “A new approach to Bernoulli polynomials”de Lehmer ([9]).

En el capıtulo uno de este trabajo se daran algunos resultados preliminares, entre ellos,

el teorema de Taylor, funcion suave a trozo, coeficientes de las series de fourier, teorema de

la convergencia de series de Fourier y algunos resultados del calculo umbral.

Luego en el capıtulo dos, se probara que las soluciones del teorema de la multiplicacion

son polinomios monicos y ademas estos son unicos.

Por ultimo en el capıtulo tres se verificara que las soluciones obtenidas son en efecto los

polinomios de Bernoulli, y que esta cumple las otras definiciones dadas hasta el momento de

la publicacion del artıculo de Lehmer.

CAPıTULO 1

Preliminares.

En este capıtulo se dara las diferentes presentaciones dadas para los polinomios de

Bernoulli, ası como tambien algunos resultados entre ellos el teorema de Taylor, funcion

suave a trozos, coeficientes de la serie de fourier, teorema de la convergencia de la serie de

Fourier y algunos resultados del calculo umbral.

1. Polinomios de Bernoulli.

Sea∏

n el conjunto de polinomios reales de grado igual a n.

Definicion 1.1. Los polinomios de Bernoulli, son una sucesion de polinomios {Bn}∞n=0

con Bn ∈∏

n que se definen en forma recurrente de la siguiente manera:

B0(x) = 1,

1

n

d

dxBn(x) = Bn−1(x),

∫ 1

0

Bn(x)dx = 0, n = 0, 1, 2, . . . .

Los numeros

Bn(0)

con n = 0, 1, · · · se llaman numeros de Bernoulli ([2])

Observacion 1.2. Todo polinomio de Bernoulli es monico.

Ejemplo 1.3. El polinomio de Bernoulli de grado n = 1 esta definido por

d

dxB1(x) = B0(x).

Integrando con respecto a x obtenemos lo siguiente

B1(x) =

∫B0(x)dx.

3

1. POLINOMIOS DE BERNOULLI. 4

Tomando en cuenta que B0(x) = 1, resulta

B1(x) =

∫dx,

B1(x) = x + c.

Como ∫ 1

0

B1(x)dx = 0,

se tiene que

0 =

∫ 1

0

x + c =

[x2

2+ cx

]1

0

=1

2+ c.

De donde

c = −1

2.

Por lo tanto

B1(x) = x− 1

2.

De manera analoga podemos hallar los siguientes polinomios de Bernoulli:

B2(x) = x2 − x +1

6,

B3(x) = x3 − 3

2x2 +

x

2,

B4(x) = x4 − 2x3 + x2 − 1

30,

B5(x) = x5 − 5x4

2+

5x3

3− x

6,

B6(x) = x6 − 3x5 +5x4

2− x2

2+

1

42.

Como se dijo en la introduccion, se han dado por lo menos cinco diferentes definiciones

para los polinomios de Bernoulli.

Observacion 1.4. Bernoulli (1705), por medio de suma de potencias de los primeros

numeros naturales hallo que los polinomios de Bernoulli satisfacen

m−1∑

k=0

kn−1 =1

n{Bn(m)−Bn(0)}.

1. POLINOMIOS DE BERNOULLI. 5

Observacion 1.5. Euler (1738), por medio de la funcion generatriz, probo que para los

polinomios de Bernoulli se tiene que

∞∑n=0

Bn(x)tn

n!=

text

et − 1, si |t| ≤ 2π.

Observacion 1.6. Lucas (1891) hallo una expresion para los polinomios de Bernoulli

por medio del calculo umbral. La expresion es la siguiente

Bn(x) = (b + x)n.

El calculo umbral es un tipo calculo con expresiones matematicas en la que los exponentes

del desarrollo binomial del polinomio se denotan como subındices (ver tambien Seccion 4).

Observacion 1.7. Appell (1832) demostro que los polinomios de Bernoulli forman un

tipo especial de sucesion que llevan su nombre. Es decir

Bn−1(x) =1

n

d

dxBn(x).

Observacion 1.8. Hurwitz (1890) hallo una expresion para los polinomios de Bernoulli,

usando series de Fourier. La expresion es la siguiente

Bn(x) =−n!

(2πi)n

∑

k 6=0

k−ne2πikx, si 0 < x < 1.

El desarrollo en series de Fourier es una herramienta matematica utilizada para analizar

funciones periodicas a traves de la descomposicion de dicha funcion en una suma infinitesimal

de funciones senoidales mucho mas simples.

Observacion 1.9. En 1851 Raabe demostro que los polinomios de Bernoulli verifican la

identidad1

m

m−1∑

k=0

Bn

(x +

k

m

)= m−nBn(mx).

Esta formula conocida como teorema de multiplicacion, puede ser interpretada como una

ecuacion funcional, cuya solucion son los polinomios de Bernoulli.

En el artıculo de Lehmer ([9]) se considera la ecuacion funcional asociada a la formu-

la anterior. Se consideran las soluciones y se prueba que estas soluciones cumplen ciertas

propiedades relacionadas con los resultados enunciados anteriormente.

2. TEOREMA DE TAYLOR. 6

En este trabajo desarrollaremos el artıculo de Lehmer, se probara que las soluciones de la

ecuacion funcional son polinomios (ver Capıtulo 2) y se verificara que estos son los polinomios

de Bernoulli (ver Capıtulo 3). Antes de hacer esto, se presentan algunos resultados, necesarios

para el desarrollo de este trabajo.

2. Teorema de Taylor.

Definicion 1.10. Sea f : R→ R una funcion infinitamente diferenciable en un entorno

de α ∈ R, el polinomio de Taylor de f centrado en α es la suma

P (x) =n−1∑n=0

f (n)(α)

n!(x− α)n.

Para funciones f : C→ C, se tiene una definicion similar.

Teorema 1.11 (Teorema de Taylor). Sea f : [a, b] → R tal que f′,f

′′,...,f (n+1) estan

definidas sobre [a, x] (n entero positivo).

Sean α y x puntos distintos del intervalo [a, b] y sea

P (x) =n−1∑

k=0

f (k)(α)

k!(x− α)k.

Entonces existe un punto c entre α y x tal que

f(x) = P (x) +f (n)(c)

n!(x− α)n

Demostracion. Sea

P (x) =n−1∑

k=0

f (k)(α)

k!(x− α)k.

Es decir

P (x) =f(α)

0!+

f ′(α)

1!(x− α) + · · ·+ · · ·+ f (n−1)(α)

(n− 1)!(x− α)n−1,

Tomando x = α tenemos que

P (α) = f(α).

Ademas

P (k)(α) = f (k)(α).

2. TEOREMA DE TAYLOR. 7

Consideremos a x como un punto fijo de R. Sea M el numero real, que depende de x,

dado por

M =f(x)− P (x)

(x− α)n,

entonces

f(x) = P (x) + M(x− α)n.

Sea g la funcion de variable t definida por

g(t) = f(t)− P (t)−M(t− α)n.

Como f(α) = P (α) se tiene que g(α) = 0. Derivando con respecto a t obtenemos que

g′(t) = f ′(t)− P ′(t)− nM(t− α)n−1.

Como P ′(α) = f ′(α) obtenemos que g′(α) = 0. Si seguimos derivando, obtenemos

g(k)(t) = f (k)(t)− P (k)(t)− n(n− 1).....(n− k + 1)M(t− α)n−k.

Usando que P (k)(α) = f (k)(α) para k = 0, 1, . . . , n− 1 obtenemos que

g(α) = g′(α) = · · · = g(n−1)(α) = 0.

Del teorema de Rolle se sigue que existe un x1, entre α y x, tal que

g′(x1) = 0.

Como g′(α) = 0, por el teorema de Rolle existe x2, entre α y x1, tal que

g′′(x2) = 0.

Despues de n pasos se concluye que

g(n)(xn) = 0,

para algun xn entre α y xn−1. Este punto xn tambien esta entre α y x.

Tomemos c = xn

Para a < t < b tenemos que

P (n)(t) = 0,

y por lo tanto

gn(t) = fn(t)− n!M.

3. TEOREMA DE LA CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER. 8

Luego

f (n)(c)− n! = 0.

De donde

M =f (n)(c)

n!.

Obtenemos lo siguientef (n)(c)

n!=

f(x)− P (x)

(x− α)n,

despejando f(x) nos queda que

f(x) = P (x) +fn(c)

n!(x− α)n.

¤

Definicion 1.12. Sea f : R→ R una funcion infinitamente diferenciable en un entorno

de α ∈ R. La serie de Taylor de f centrada en α es la serie de potencias

∞∑n=0

f (n)(α)

n!(x− α)n

Si α = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.

3. Teorema de la convergencia de las series de Fourier.

Antes de enunciar el teorema de la convergencia de la series de Fourier presentaremos

algunas definiciones.([4],[6])

Definicion 1.13. Sea f : R→ R. Se dice que f es suave a trozos en algun intervalo de

R, si el intervalo se puede dividir en subintervalos, tales que en cada uno de ellos la funcion

f es continua y su derivada f ′ tambien es continua.

Definicion 1.14. Sea f : R→ R una funcion de perıodo 2π e integrable en el intervalo

[0, 2π]. Los coeficientes de Fourier de f son:

an =1

π

∫ 2π

0

f(x) cos(nx)dx, para n = 0, 1 . . . ,

bn =1

π

∫ 2π

0

f(x) sen(nx)dx, para n = 1, 2 . . .

La serie de Fourier de f es la siguiente suma formal

a0

2+

∞∑n=1

an cos(nx) + bn sen(nx).

4. CALCULO UMBRAL. 9

Teorema 1.15. Si f es suave a trozos en el intervalo [0, 2π] y x ∈ [0, 2π], entonces la

serie de Fourier de f en x converge a:

(a) f(x) si x es un punto de continuidad de f ,

(b) la media de los lımites laterales

1

2[f(x+) + f(x−)],

si x es un punto de discontinuidad de salto de f .

4. Calculo umbral.

El calculo umbral del siglo XIX es un metodo notacional para derivar las identidades

que implican sucesiones puestas en un ındice de numeros, fingiendo que los ındices son

exponentes. Interpretado literalmente, es absurdo, pero es muy util. Las identidades que se

obtuvieron vıa el calculo umbral tambien se pueden derivar por metodos mas complicados,

que se pueden tomar literalmente sin dificultad logica.

El calculo umbral de terminos era una manera de expresar las semejanzas que existıan

entre las ecuaciones polinomicas y otra relacion matematica, las pruebas eran ciertas tecnicas

vagas. Estas tecnicas fueron introducidas por Juan Blissard en 1861 y se conocen como el

metodo simbolico de Blissard. Edouard Lucas y James Sylvester usaron esta tecnica exten-

sivamente, por esta razon a veces se les atribuye a ellos.

Entre los anos 1930 y los anos 1950, Eric Temple Bell intento dar unas bases mas rigurosas

para el calculo umbral.

Entre los anos 1970 y 1980, Steven Roman, Gian-Carlo Rota y otros desarrollaron el

calculo umbral por medio de funcionales lineales en espacios de polinomios. Actualmente,

por calculo umbral se entiende el estudio de las sucesiones de Sheffer, incluyendo sucesiones

polinomicas y de las sucesiones binomiales de Appell ([17]).

A continuacion se presentan los polinomios de Bernoulli y se prueba una proposicion

relativas a estas de dos maneras: primero de la manera tradicional y posteriormente usando

el calculo umbral.

Sea Bn el n-esimo polinomio de Bernoulli, para k = 0, . . . , n sean bn,k los coeficientes de

Bn, donde n denotara el grado del polinomio y k la posicion del coeficiente, es decir,

Bn(x) =n∑

k=0

(n

k

)b(n),n−kx

k


Proposicion 1.16.

b(n),k = b(n−1),k

para todo k = 0, . . . , n, para todo n ∈ N.

Demostracion. En primer lugar

Bn(x) = b(n),n +n∑

k=1

(n

k

)b(n),n−kx

k

luego, derivando

B′n(x) =

n∑

k=1

(n

k

)b(n),n−kkxk−1 =

n−1∑j=0

(n

j + 1

)b(n),n−j−1(j + 1)xj.

Por otro lado, para j = 0, · · · , n− 1, se tiene

B′n(x) = nBn−1(x) = n

n−1∑j=0

(n− 1

j

)b(n−1),n−1−jx

j.

De donde (n

j + 1

)b(n),n−j−1(j + 1) = n

(n− 1

j

)b(n−1),n−1−j.

Como se tiene(

n

j + 1

)(j + 1) =

n!(j + 1)

(j + 1)!(n− 1− j)!=

n(n− 1)!

j!(n− 1− j)!= n

(n− 1

j

),

resulta que

b(n),n−j−1 = b(n−1),n−j−1,

para j = 0, · · · , n− 1, Por lo tanto

b(n),k = b(n−1),k para k = 0, . . . , n− 1.

¤

Usando el calculo umbral se sustituye la demostracion anterior por el siguiente tipo de

razonamiento tambien conocido como prueba umbral.

Tomando en cuenta que

(xn)′ = nxn−1

es similar a

B′n(x) = nBn−1(x)


y tomando en cuenta que

(y + x)n =n∑

k=0

(n

k

)yn−kxk

es analoga an∑

k=0

(n

k

)b(n),n−k

se finge que el subındice n− k es un exponente. En realidad esto puede ser incorrecto, pero

se puede trabajar de todos modos.

Ası que se considera la expresion

Bn(x) =n∑

k=0

(n

k

)bn−k(n) xk.

La proposicion anterior se demuestra usando calculo umbral, de la siguiente manera:

Se tiene que

Bn(x) = (b(n) + x)n.

entonces

B′n(x) = n(b(n) + x)n−1.

Por otro lado

B′n(x) = nB(n−1)(x) = n(b(n−1) + x)n−1.

Por lo tanto

b(n) = b(n−1).

Finalmente

bk(n) = bk

(n−1) para k = 0, . . . , n− 1.

Observacion 1.17. Tomando en cuenta la proposicion anterior se tiene que existe

{bn} ⊆ R tal que

Bn(x) =n∑

k=0

(n

k

)bn−k xk

Ademas

bn = Bn(0),

En consecuencia, bn es el n-esimo numeros de Bernoulli.

CAPıTULO 2

Solucion de la ecuacion funcional de Lehmer.

La ecuacion funcional de Lehmer es la ecuacion

(2.1)1

m

m−1∑

k=0

f

(x +

k

m

)= m−nf(mx),

donde m y n son enteros positivos y f : R→ R.

En este capıtulo veremos primero la existencia de la solucion de la ecuacion funcional

de Lehmer. Mas precisamente, se probara que existe una unica familia de polinomios que

satisface esta ecuacion funcional.

1. Existencia de la solucion de la ecuacion funcional de Lehmer.

Lema 2.1 (Existencia). Sean n y m dos numeros enteros positivos. Entonces existen

polinomios de grado n en x que satisfacen la ecuacion funcional de Lehmer (2.1).

Demostracion. Si m = 1 entonces la ecuacion (2.1) se convierte en f(x) = f(x) de

modo que podemos asumir m > 1. Sea

(2.2) Pn(x) = b0xn + b1x

n−1 + · · ·+ bn, con b0 6= 0,

donde los coeficientes bk, k = 0, 1 . . . , n, son indeterminados.

Si f es solucion de (2.1) lo es tambien de cf donde c es cualquier constante. Por lo tanto

se puede elegir b0 = 1.

A continuacion se analizaran ambos lados de la ecuacion (2.1) cuando se reemplaza f

por el polinomio Pn.

12

1. EXISTENCIA DE LA SOLUCION DE LA ECUACION FUNCIONAL DE LEHMER. 13

Si se sustituye (2.2) en el lado izquierdo de la ecuacion (2.1) se obtiene

1

m

m−1∑

k=0

Pn

(x +

k

m

)=

1

m

m−1∑

k=0

n∑v=0

bv

(x +

k

m

)n−v

=1

m

m−1∑

k=0

n∑v=0

bv

n−v∑

λ=0

xn−v−λ

(k

m

)λ (n− v

λ

)

=n∑

v=0

bv

n−v∑

λ=0

xn−v−λ

(n− v

λ

)1

m

m−1∑

k=0

kλ

mλ

=n∑

v=0

bv

n−v∑

λ=0

xn−v−λ

(n− v

λ

) m−1∑

k=0

kλ

mλ+1.

Por lo tanto

1

m

m−1∑

k=0

Pn

(x +

k

m

)=

n∑v=0

bv

n−v∑

λ=0

xn−v−λm−λ−1

(n− v

λ

)Sλ(m),

donde

Sλ(m) =m−1∑

k=0

kλ.

Haciendo el cambio de variable r = λ + v se obtiene

1

m

m−1∑

k=0

Pn

(x +

k

m

)=

n∑v=0

bv

n∑r=v

xn−rmv−r−1

(n− v

r − v

)Sr−v(m).

Intercambiando las dos sumas convenientemente se obtiene

(2.3)1

m

m−1∑

k=0

Pn

(x +

k

m

)=

n∑r=0

r∑v=0

bv xn−r mv−r−1

(n− v

r − v

)Sr−v(m).

Por otro lado, tomando la expresion dada para Pn(x) en (2.2) y sustituyendola en el lado

derecho de la ecuacion (2.1) se obtiene

m−nPn(mx) = m−n

n∑r=0

br(xm)n−r

= m−n

n∑r=0

brxn−rmn−r

=n∑

r=0

brxn−rmn−r−n.

1. EXISTENCIA DE LA SOLUCION DE LA ECUACION FUNCIONAL DE LEHMER. 14

De donde

m−nPn(mx) =n∑

r=0

xn−r br m−r.(2.4)

Si Pn fuese solucion de la ecuacion funcional se tendra que

1

m

m−1∑

k=0

Pn

(x +

k

m

)= m−nPn(mx).

Identificando los coeficientes de xn−r en (2.3) y (2.4) se sigue que

brm−r =

r∑v=0

bv

(n− v

r − v

)mv−r−1Sr−v(m).

Luego

br =r∑

v=0

bv

(n− v

r − v

)mv−1Sr−v(m).

para r = 1 se tiene que

b1 = bo

(n

1

)m−1S1(m) + b1

(n− 1

0

)m0S0(m)

b1 = bon

m

(m− 1)

2m + b1m

b1 − b1m = b0n(m− 1)

2

b1(1−m) = b0n(m− 1)

2

b1 = b0n(m− 1)

2

1

(1−m)

b1 = −b0n

2

como b0 = 1 se obtiene que

b1 = −n

2

Luego

br =r∑

v=0

bv

(n− v

r − v

)mv−1Sr−v(m) = brm

r−1 +r−1∑v=0

bv

(n− v

r − v

)mv−1Sr−v(m).

2. UNICIDAD DE LA SOLUCION DE LA ECUACION FUNCIONAL DE LEHMER. 15

Por lo tanto

(2.5) (mr−1 − 1)br = −r−1∑v=0

bv

(n− v

r − v

)mv−1Sr−v(m).

Como m > 1 y r > 1 se obtiene que

br = − 1

mr−1 − 1

r−1∑v=0

bv

(n− v

r − v

)mv−1Sr−v(m).

En general si se han determinado los valores b1, b2, . . . , br−1, la formula (2.5) sirve para

determinar br.

Esto demuestra la existencia del polinomio. ¤

2. Unicidad de la solucion de la ecuacion funcional de Lehmer.

Lema 2.2 (Unicidad). Sea n un numero entero positivo entonces existe un unico poli-

nomio monico de grado n que satisface la ecuacion funcional de Lehmer

(2.6)1

m

m−1∑

k=0

f

(x +

k

m

)= m−nf(mx) (m > 1).

Demostracion. Sean Pn y Qn dos polinomios monicos diferentes de grado n que satis-

facen la ecuacion (2.6). Supongase que

Pn(x)−Qn(x) = 4d(x) = A0xd + A1x

d−1 + · · ·

=d∑

j=0

Ajxd−j,(2.7)

donde d < n y A0 6= 0. Sustituyendo en (2.6) se tiene

(2.8)1

m

m−1∑

k=0

4d

(x +

k

m

)= m−n 4d (mx).

2. UNICIDAD DE LA SOLUCION DE LA ECUACION FUNCIONAL DE LEHMER. 16

Se estudiara el lado izquierdo de la ecuacion (2.8) para buscar el coeficiente de xd.

1

m

m−1∑

k=0

4d

(x +

k

m

)=

1

m

m−1∑

k=0

d∑j=0

Aj

(x +

k

m

)d−j

=1

m

m−1∑

k=0

[A0

(x +

k

m

)d

+ A1

(x +

k

m

)d−1

+ · · ·+ Ad

]

=1

m

m−1∑

k=0

[A0

d∑w=0

(d

w

)(k

m

)d−w

xw + A1

d−1∑w=0

(d− 1

w

)(k

m

)d−1−w

xw + · · ·+ Ad

].

Tomando el primer termino de la igualdad (2.9) y desarrollando queda que

A0

d∑w=0

(d

w

)(k

m

)d−w

xw = A0

[(k

m

)d

+

(d

1

)(k

m

)d−1

x + · · ·+(

d

d− 1

)(k

m

)xd−1 + xd

]

Por otro lado si se reemplaza 4d(x) por su representacion dada en (2.7) se tiene que

m−n 4d (mx) = m−n[A0(mx)d + A1(mx)d−1 + . . . + Ad]

= md−nA0xd + md−1−nA1x

d−1 + . . . + Ad.

Identificando los coeficientes de xd en ambos lados se obtiene

A0 = md−nA0

Como d < n y m > 1 entonces md−n 6= 0, por lo tanto A0 = 0 lo cual contradice la hipotesis.

Por lo tanto existe un unico polinomio monico que satisface la ecuacion de Lehmer (2.1) ¤

CAPıTULO 3

Polinomios de Bernoulli y ecuacion funcional de Lehmer.

Teorema 3.1. La sucesion de soluciones de la ecuacion funcional de Lehmer es la suce-

sion de polinomios de Bernoulli.

Demostracion. Por el resultado de Raabe (ver Observacion 1.9) se tiene que los poli-

nomios de Bernoulli son soluciones de la ecuacion funcional de Lehmer. Por lo probado en

el Capıtulo 2 la solucion es unica, por lo tanto tienen que coincidir. ¤

Por esta razon en su artıculo Lehmer define los polinomios de Bernoullli como la solucion

de la ecuacion funcional (2.1).

A continuacion, a partir de la ecuacion funcional de Lehmer, se probara que esta sucesion

{Bn} es una sucesion de Appell, se dara la expresion de Lucas usando calculo umbral, se

hallara la formula de Bernoulli mediante sumas de potencias, se obtendra la formula de

Hurwitz mediante series de Fourier y finalmente se demostrara la formula de Euler por

medio de la funcion generatriz. Se usara Bn para indicar el polinomio de Bernoulli de grado

n.

1. Sucesiones de Appell

Definicion 3.2. Sea {fn} una sucesion de funciones se dice que {fn} es una sucesion de

Appell si

fn−1(x) =1

n

d

dxfn(x)

para todo n ≥ 1.

En esta seccion se vera que la familia de polinomios que es solucion de la ecuacion

funcional (2.1) tambien es una sucesion de Appell.

Teorema 3.3. Si Bn es solucion de la ecuacion funcional de Lehmer, entonces {Bn}∞n=0

es una sucesion de Appell, es decir, verifica

Bn−1(x) =1

n

d

dxBn(x), para n = 1, 2, . . .

17

2. CALCULO UMBRAL 18

Demostracion. Dado un numero entero positivo n sea Bn el unico polinomio monico

de grado n que satisface la ecuacion funcional de Lehmer.

Si se deriva a ambos lados de la ecuacion funcional de Lehmer (ver ecuacion 2.1) se

obtiene que

(3.1)1

m

m−1∑

k=0

B′n

(x +

k

m

)= m−n+1B

′n(mx).

Multiplicando por 1n

en ambos lados de la ecuacion (3.1) se tiene que

1

m

m−1∑

k=0

(1

nB′n

(x +

k

m

))= m−n+1

(1

nB′n(mx)

).

Por otro lado para el polinomio de grado n− 1 que es solucion de la ecuacion funcional

de Lehmer se tiene que

1

m

m−1∑

k=0

Bn−1

(x +

k

m

)= m−n+1Bn−1(mx).

Como 1nB′

n(x) y Bn−1 satisfacen la ecuacion (2.1) por la unicidad (ver Lema 2.2) se tiene

que

Bn−1 =1

nB′n.

¤

2. Calculo umbral

A continuacion veremos la relacion entre el calculo umbral y la ecuacion (2.1).

Teorema 3.4. Si Bn es solucion de la ecuacion funcional de Lehmer, entonces

Bn(x) =n∑

k=0

(n

k

)bn−kx

k,

donde bn = Bn(0), es el n-esimo numero de Bernoulli.

Demostracion. Por el Teorema 3.3 se tiene que {Bn} es una sucesion de Appell, es

decir verifica

Bn−1(x) =1

n

d

dxBn(x)

Derivando k-veces se obtiene(

d

dx

)k

Bn(x) = k!

(n

k

)Bn−k(x).

3. FORMULA DE BERNOULLI 19

Considerando la expansion de Maclaurin de Bn(x)

Bn(x) =n∑

k=0

xk

k!

(d

dx

)k

Bn(0)

=n∑

k=0

xk

(n

k

)Bn−k(0)

=n∑

k=0

xk

(n

k

)bn−k.

lo cual demuestra el teorema. ¤

Se ha demostrado que las definiciones dadas por Lehmer y Lucas (ver Observacion 1.6)

son equivalentes.

3. Formula de Bernoulli

En esta seccion se vera que la definicion dada por Lehmer es equivalente a la dada por

Bernoulli mediante sumas de potencias.


Bn(x + 1)−Bn(x) = n xn−1.

Demostracion. Se hara por induccion.

Se vera que es cierto para n = 1. Por el Teorema 3.4 se tiene que

B1(x) = b1 + b0x.

Luego

B1(x + 1)−B1(x) = b1 + b0(x + 1)− b1 − b0x

= b0x + b0 − b0x

= B0(0)

= 1.

Supongase que el resultado es cierto para n = k, esto es,

Bk(x + 1)−Bk(x) = kxk−1.

3. FORMULA DE BERNOULLI 20

Integrando se consigue

∫ x

0

[Bk(t + 1)−Bk(t)] dt =

∫ x

0

ktk−1dt.

Por lo tanto

(3.2)

∫ x

0

Bk(t + 1)dt−∫ x

0

Bk(t)dt = xk.

Por otro lado, por el Teorema 3.3,

(3.3) (k + 1)

∫ x

0

Bk(t)dt =

∫ x

0

B′k+1(t)dt = Bk+1(x)−Bk+1(0).

De (3.3) y (3.2) se sigue que

1

k + 1[Bk+1(x + 1)−Bk+1(0)−Bk+1(x) + Bk+1(0)] = xk.

De donde

1

(k + 1)[Bk+1(x + 1)−Bk+1(x)] = xk.

Por lo tanto el resultado es cierto para n = k + 1. Esto demuestra el teorema. ¤

Corolario 3.6. Si Bn es solucion de la ecuacion funcional de Lehmer entonces

m−1∑

k=0

kn−1 =1

n(Bn(m)−Bn(0))

Demostracion. Del teorema anterior se sigue que si Bn es solucion de la ecuacion

funcional de Lehmer entonces

Bn(k + 1)−Bn(k) = n kn−1.

Por lo tanto

m−1∑

k=0

kn−1 =1

n

m−1∑

k=0

Bn(k + 1)−Bn(k) =1

n(Bn(m)−Bn(0)).

¤

La formula que aparece en este corolario es la formula probada originalmente por

Bernoulli (ver Observacion 1.4).

4. SERIES DE FOURIER 21

4. Series de Fourier

En esta seccion se vera que la definicion de los polinomios de Bernoulli dada por Euler

mediante series de Fourier es equivalente a la definicion dada por Lehmer. Pero antes se

daran algunos resultados que se usaran en la demostracion.

Proposicion 3.7. Sea f : [−π, π] → R dada por

f(t) =t

2π.

Entonces

f(t) =∞∑

n=1

(−1)n−1

nπsen(nt).

Demostracion. La funcion f es continua e integrable en [−π, π]. A continuacion se

calcularan los coeficientes de Fourier de f .

Para n = 0, 1, 2 . . .

an =1

2π2

∫ π

−π

t cos(nt)dt

=1

2π2

[1

nsen(nt)t

∣∣π−π− 1

n

∫ π

−π

sen(nt)dt

]

=1

2π2

[1

nsen(nt)t

∣∣π−π− 1

n2cos(nt)

∣∣π−π

].

Entonces

an =1

2π2

[π

nsen(tπ)− π

nsen(tπ)− 1

n2cos(tπ) +

1

n2cos(tπ)

]= 0.

Para n = 1, 2, 3 . . .

bn =1

2π2

∫ π

−π

t sen(nt)dt

=1

2π2

[− t

ncos(nt)

∣∣π−π

+1

n

∫ π

−π

cos(nt)dt

]

=1

2π2

[− t

ncos(nt)

∣∣π−π

+1

n2sen(nt)

∣∣π−π

].


Entonces

bn =1

2π2

[−π

ncos(nπ)−

(−

(−π

n

)cos(n(−π))

)+

π

n2sen(nπ)− π

n2sen(n(−π))

]

=1

2π2

[−2π

ncos(nπ)

]

=(−1)n−1

nπ.

Como f es continua, por el Teorema 1.15 nos dice que

f(t) = a0 +∞∑

n=1

(an cos(nt) + bn sen(nt)).

De donde

f(t) =∞∑

n=1

(−1)n−1

nπsen(nt).

¤

Proposicion 3.8. Si 0 < x < 1, entonces

x− 1

2=−1

π

∞∑n=1

sen(2πnx)

n=−1

2πi

∞∑

r 6=0

1

re2πirx.

Demostracion. Sea x ∈ (0, 1). Tomando

t = 2π

(x− 1

2

).

Entonces t ∈ [−π, π]. Por la Proposicion 3.7 se tiene que

x− 1

2=

t

2π=

∞∑n=1

(−1)n−1

nπsen nt =

−1

π

∞∑n=1

sen(2πnx)

n.

Como

e2πirx = cos(2πrx) + i sen(2πrx) = cos(2π(−r)x)− i sen(2π(−r)x),

se obtiene la ultima igualdad del enunciado de la proposicion. ¤

El siguiente teorema demostrara que la definicion de los polinomios de Bernoulli dada

por Euler es equivalente a la dada por Lehmer (ver Observacion 1.8).



Bn(x) =−n!

(2πi)n

∑

r 6=0

e2πirx

rn

para 0 < x < 1.

Demostracion. Sea

Qn(x) =−n!

(2πi)n

∑

r 6=0

e2πirx

rn,

entonces

Qn−1(x) =−(n− 1)!

(2πi)n−1

∑

r 6=0

e2πirx

rn−1,

Derivando Qn se tiene que

d

dxQn(x) =

−n!2πir

(2πi)n

∑

r 6=0

e2πirx

rn

=−n!

(2πi)n−1

∑

r 6=0

e2πirx

rn−1.

ahora multiplicando por 1n

se obtiene que

1

n

d

dxQn(x) =

−(n− 1)!

(2πi)n−1

∑

r 6=0

e2πirx

rn−1.

Por lo tanto1

n

d

dxQn(x) = Qn−1(x)

Derivando n veces se tiene que

1

n!

dn−1

dxn−1Qn(x) = Q1(x) = x− 1

2.

Por lo tanto Qn es un polinomio monico de grado n.

Ahora se vera que los polinomios Qn satisfacen la ecuacion funcional de Lehmer.

1

m

m−1∑

k=0

Qn

(x +

k

m

)=

m−1∑

k=0

−n!

m(2πi)n

∑

r 6=0

e2πir(x+ km

)

rn

=m−1∑

k=0

−n!

m(2πi)n

∑

r 6=0

e2πirxe2πir km

rn

=−n!

m(2πi)n

∑

r 6=0

e2πirx

rn

m−1∑

k=0

e2πirk/m

5. FUNCION GENERATRIZ 24

Para r ∈ Z, r 6= 0, se analizara la siguiente suma

m−1∑

k=0

e2πirk/m.

Caso 1: (r no es multiplo de m). Para todo h se tiene que r 6= mh y la suma geometrica. Sea

w = e2πirk/m y

Sm = 1 + w + · · ·+ wm−1

entonces

Sm =wm − 1

w − 1=

e2πirk − 1

e2πirk/m − 1=

1− 1

e2πirk/m − 1= 0.

Caso 2: (r es multiplo de m). Es decir r = mh para un entero h. Se sigue que

m−1∑

k=0

e2πimhk/m =m−1∑

k=0

e2πihk =m−1∑

k=0

1 = m.

Por lo tanto si r = mh, se tiene que

1

m

m−1∑

k=0

Qn

(x +

k

m

)=

−n!

m(2πi)n

∑

h6=0

1

(mh)ne2πihmxm

= m−n −n!

(2πi)n

∑

h6=0

e2πihmx

(h)n

= m−nQn(mx).

De donde Qn es una solucion de la ecuacion funcional de Lehmer.

Por la unicidad del Lema (2.2)

Qn(x) = Bn(x).

¤

5. Funcion generatriz

Usando la funcion generatriz se probara la expresion de Euler para los polinomios de

Bernoulli (ver Observacion 1.5).


∞∑n=0

Bn(x)tn

n!=

text

(et − 1).


Demostracion. Sea F la funcion dada por

(3.4) F (x, t) =text

(et − 1).

F es infinitamente diferenciable como funcion de la segunda variable, por lo tanto existen

funciones Ψn tales que

(3.5) F (x, t) =∞∑

n=0

Ψn(x)tn

n!.

Supongase que

Ψn(x) = A(n)0 xn + A

(n)1 xn−1 + · · ·+ A(n)

n .

De (3.4) y (3.5) se obtiene

F

(1

y, ty

)=

tyet

(ety − 1)=

∞∑n=o

ynΨn( 1

y)tn

n!,(3.6)

Por un lado

lımy→0

F

(1

y, ty

)= lım

y→0

tyet

(ety − 1)= et.

Por otro lado se tiene que

lımy→0

yn Ψn(1/y)tn

n!= lım

y→0yn

[A

(n)0

1

yn+ A

(n)1

1

yn−1+ · · ·+ A(n)

n

]tn

n!

= lımy→0

[A(n)0 + A

(n)1 y + · · ·+ A(n)

n yn]tn

n!= A

(n)0

tn

n!,

Por lo tanto

lımy→0

∞∑n=0

yn Ψn(1/y)tn

n!=

∞∑n=0

lımy→0

yn Ψn(1/y)tn

n!=

∞∑n=0

A(n)0

tn

n!.

En consecuencia

∞∑n=0

A(n)0

tn

n!= et =

∞∑n=0

tn

n!.

De donde A(n)0 = 1. Luego Ψn es un polinomio monico.


De la ecuacion (3.4) se sigue que

1

m

m−1∑

k=0

F

(x +

k

m, t

)=

1

m

m−1∑

k=0

te(x+ km

)t

et − 1

=t

m(et − 1)

m−1∑

k=0

e(x+ km

)t

=text

m(et − 1)

m−1∑

k=0

e( km

)t

=text

m(et − 1)

(et − 1

etm − 1

)

=( t

m)ext

(etm − 1)

.(3.7)

Por otro lado de la ecuacion (3.5) se tiene que

F

(x +

k

m, t

)=

∞∑n=0

Ψn

(x +

k

m

)tn

n!.

Luego

1

m

m−1∑

k=0

F

(x +

k

m, t

)=

1

m

m−1∑

k=0

∞∑n=0

Ψn

(x +

k

m

)tn

n!

=∞∑

n=0

1

m

m−1∑

k=0

Ψn

(x +

k

m

)tn

n!.(3.8)

De (3.4) y (3.5) se obtiene

(3.9) F

(mx,

t

m

)=

∞∑n=o

1

mn

tn

n!Ψn(mx) =

( tm

)ext

(etm − 1)

.

Identificando los coeficientes de tn

n!en (3.8) y (3.9) se concluye que Ψn satisface la ecuacion

funcional

1

m

m−1∑

k=0

Ψn

(x +

k

m

)= m−nΨn(mx).

Como Ψn es monico se concluye por el Lema 2 que Ψn(x) = Bn(x). ¤

Bibliografıa

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27

Diferentes presentaciones de los polinomios de Bernoulli

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