Ley de Coulomb. Campo y potencial elctricos. Formulacin diferencial e integral de las ecuaciones del campo electrosttico. Ley de Gauss. Medios conductores y dielctricos. Desarrollo multipolar del potencial creado por una distribucin de carga. Dipolo elctrico.

Tema 2. El Campo electrosttico en el vaco.

Carga elctrica y ley de conservacin 1) La carga se presenta en dos variedades: positiva y negativa.

Las cargas positivas y negativas se presentan exactamente en las mismas cantidades

La unidad bsica de carga es la carga del electrn m = 9,108x10-31 kg, carga -e, e = 1.602 177 33(49) 1019 C

2) La carga est cuantizada

3) La carga se conserva Existe un principio de conservacin local que se puede expresar mediante una ecuacin de continuidad

S

dq ddt

= J SV S

La fuerza electrosttica/gravitatoria entre un electrn y un protn es ~1039

Cargas puntuales qi en ri 1

( ) ( )N

i ii

q=

= r r r

En QM: ( ) 2 2( ) , ( )

V

q Q q dV = = r r r

Dist

ribuc

ione

s de

carg

a ( ) , ( ) densidad de carga (de )dqdq dV volumen

dV= =r r

( )V

Q dV= rVolumen

- - -

- -

- -

-

- ( ) , ( ) densidad de carga dqdq dS superficial

dS= =r r

Superficie

- - - - - - - - ( ) , ( ) densidad de carga

dqdq dS linealdS

= =r r

Lnea

Ley de Coulomb La fuerza entre dos cuerpos cargados:

Vara en proporcin directa con la magnitud de cada una de las cargas.

Vara en razn inversa con el cuadrado de la distancia entre ambas.

Est dirigida a lo largo de la lnea que une las cargas Es atractiva si los cuerpos tienen cargas opuestas, y repulsiva si tienen el

mismo tipo de carga

1 12 13 1nF F F F= + + +

Si existieran n cargas, la fuerza total sobre q1 ser

Principio de superposicin

1 2 12 1 212 122 2

12 12 12

q q r q qF k k ur r r

= =

Ley de Coulomb

q2q1

1r

o2r

12r

12F

Coulomb 1785 Cavendish 1773

2

1qF r +

Crandall (1983) 3 icosaedros q 6 x 10-17 , m 8 x 10-48 g

Campo elctrico

( ) 304

q r rE rr r

=

112 2 12 2 122

12

qF q k u q Er

= =

( ) ( )F r q E r=

Interpretacin de las acciones em:

a distancia

mediadas por campo

r'r

'R r r=

O

P

( ) 20

14 R

qE rR

=

u

( )( ) F rE rq

=

Distribuciones continuas

dV

( )3C/m

r

P

r

r r

V

O

De volumen

( )( )3

0

'1( )4

V

r r r dVE r

r r

=

superficiales ( )( )

30

'1( )4

S

r r r dSE r

r r

=

( )( )3

0

'1( )4

L

r r r dlE r

r r

=

lineales

En estas ecuaciones est implcito el Principio de superposicin (el electromagnetismo es una teora lineal)

Ejemplo: campo creado por una lnea de carga con densidad

( )( )3

0

'1( )4

L

r r r dlE r

r r

=

20 0

0

12 sen4

x

y

E

E dxR

=

=

2 2 2 , sen dR x dR

= + =

P

d

E

02

=

E u

( ) ( )( )

( )

3/2 3/222 20 00 0

1/220 0

0

1 1 /2 2 / 1

/ 2 2/ 1

ydE dx d x d

dx d x d

x dd dx d

= =

+ +

= =

+

P

R d

x

y

Lneas de campo

Las lneas siempre nacen en las cargas positivas (fuentes) y mueren en las negativas (sumideros), o bien van al infinito.

E

El nmero de lneas por unidad de rea de seccin transversal se escoge proporcional al mdulo de . Donde el campo es ms intenso las lneas estn ms prximas que en aquellas regiones donde el campo es ms dbil.

La tangente a una lnea de campo en un punto da la direccin de en ese puno E

Importancia de las

simetras

x y z

dx dy dzE E E

= =

Formulacin diferencial e integral de las ecuaciones del campo

Divergencia de E 2

0

( ')1( ) '4

R

V

dVR

=

r uE r

20

1 ( ') '4

R

V

dVR

= uE r

4 =E

4 00

( )( ') ( ') 'V

dV = rr r r

2 32 2

1 1 1, 4 ( )R RR R RR R

= = = =

u u R

0

( ) =

rE

Las lneas de campo divergen o fluyen desde las fuentes

El campo elctrico en una regin del espacio vale en coordenadas esfricas. a)Halla la densidad de carga ; b) halla la carga total contenida en una esfera de radio R centrada en el origen. Comprueba el teorema de la divergencia

3rkr=E u

Ejercicio:

Flujo de E: Ley de Gauss

0

( ) =

rE

V S

dV d = E E S0 0 0

1 S V V

Qd dV dV = = E S =

0S

Qd = E S El flujo del campo a travs de una superficie cerrada es igual a la carga neta encerrada dentro, dividida por 0

El flujo de E a travs de una superficie mide el nmero de lneas que la atraviesan. Cuando la superficie es cerrada, ese flujo es proporcional a la fuente del campo, o sea a la carga interior.

Significado:

E

La carga exterior no influye, porque el flujo que entra, vuelve a salir

Q dS

dS

Otra forma de deduccin:

20

( )4 r

Qr

=

E r u

Q

dS n dS=

d

P r

2 2

cosr d dSdr r

= =u S

204

r

S S

Qd dr

=

uE S S

0 0 0

44 4S S

Q Q Qd d = = = E S

4 =

0 =

dS dS

Ejemplos de aplicacin de la ley de Gauss

2

0

4S S S

Qd E dS E dS E r = = = = E S

20

, ( )4 r

Q r Rr

= >E u

Para puntos fuera de la esfera, el campo es el mismo que el de una carga puntual situada en el centro.

: , calcular para puntos del interior para a) distribucin superficialde carga; b) distribucin uniforme en el volumen

r R

2) Campo creado por una lnea de carga con densidad lineal

Simetra El campo tendr el mismo valor sobre la superficie lateral de un cilindro de radio y ser radial

E

0

2S S S

Qd E dS E dS E L = = = = E S

siendo L la longitud del cilindro

0 02 2Q

L

= =

E u u

resultado que coincide con el obtenido anteriormente por superposicin

:

E calcular para el caso en que, en lugar de una lnea se tenga un cilindro de radio con una distribucin uniforme de carga, con densidad por unidad de volumen

REjercicio

3) Campo creado por un plano de carga con densidad superficial

En este caso escogemos como superficie gaussiana un cilindro de base S.

1 2 10

2 2S S S S

Qd d d E dS E S = + = = = E S E S E S

0 02 2x x

QS

= =

E u u

El campo es independiente de la distancia al plano. Es uniforme en ambos semiespacios

Simetra El campo tendr el mismo valor en todos los puntos a una misma distancia del plano y su direccin ser la horizontal, alejndose del plano S1 S2

Ex 0/ 2

0/ 2 x

Rotacional de E

20

( ')1( ) '4

R

V

dVR

=

r uE r

21RRR

=

u

0

1 1( ) ( ') '4 V

dVR

= E r r

0

1 1( ) ( ') ' 04 V

dVR

= = E r r

0 =E Las lneas de campo no tienen giros o rotaciones alrededor de un punto

0L

d = E l

De otra forma (para una carga puntual):

200

1( )44

q qRR

= = E r

0 0

1 1 14 4

b b

a ba a

q qd dR R R

= E l l =

T. del gradiente

0L

d = E l

Por superposicin puede aplicarse a cualquier distribucin de cargas

Circulacin de E

T. de Stokes

0,S L

d d = = E S E l

Forma diferencial Forma integral

Ecuaciones del campo: 0

( ) =

rE

0S

Qd = E S0

L

d = E l0 =E

Ecuaciones del campo electrosttico

Nmero de diapositiva 1Nmero de diapositiva 2Nmero de diapositiva 3Nmero de diapositiva 4Nmero de diapositiva 5Nmero de diapositiva 7Nmero de diapositiva 8Nmero de diapositiva 9Nmero de diapositiva 10Nmero de diapositiva 12Nmero de diapositiva 14Nmero de diapositiva 15Nmero de diapositiva 16Nmero de diapositiva 17Nmero de diapositiva 18Nmero de diapositiva 19Nmero de diapositiva 20Nmero de diapositiva 21Nmero de diapositiva 22