Diapositivas Ec.diferenciales
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Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Matemáticas
Ecuaciones diferenciales
Salvador Sánchez-Pedreño Guillén
Departamento de Matemáticas
Universidad de Murcia
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Sánchez-Pedreño
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Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
1 Introducción a las ecuaciones diferencialesEjemplos de ecuaciones diferenciales en la naturaleza
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Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
1 Introducción a las ecuaciones diferencialesEjemplos de ecuaciones diferenciales en la naturaleza
2 Ecuaciones de primer ordenEcuaciones de variables separablesEcuaciones homogéneasEcuaciones lineales de primer orden
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ecuaciones
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Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Nociones generales
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Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Nociones generales
Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es unaecuación donde intervienen una variable x (“variableindependiente”), una función y = y(x) (“variabledependiente”) y algunas de sus primeras derivadas:
f (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n)) = 0
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Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Nociones generales
Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es unaecuación donde intervienen una variable x (“variableindependiente”), una función y = y(x) (“variabledependiente”) y algunas de sus primeras derivadas:
f (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n)) = 0
Se llama orden de una ecuación diferencial ordinaria alorden de la mayor derivada que aparece en la ecuación.
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Reacciones químicas deprimer orden
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Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Nociones generales
Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es unaecuación donde intervienen una variable x (“variableindependiente”), una función y = y(x) (“variabledependiente”) y algunas de sus primeras derivadas:
f (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n)) = 0
Se llama orden de una ecuación diferencial ordinaria alorden de la mayor derivada que aparece en la ecuación.
Resolver o integrar la ecuación es hallar las funcionesy(x) que cumplen la ecuación; es decir, la incógnita dela ecuación es la función y(x).
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Ecuaciones de primer
orden
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Ecuaciones lineales deprimer orden
Nociones generales
Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es unaecuación donde intervienen una variable x (“variableindependiente”), una función y = y(x) (“variabledependiente”) y algunas de sus primeras derivadas:
f (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n)) = 0
Se llama orden de una ecuación diferencial ordinaria alorden de la mayor derivada que aparece en la ecuación.
Resolver o integrar la ecuación es hallar las funcionesy(x) que cumplen la ecuación; es decir, la incógnita dela ecuación es la función y(x).
Aunque las ecuaciones diferenciales se puedan resolverpor métodos numéricos, algunos tipos de ecuacionestienen soluciones que se pueden expresar en términosde funciones elementales.
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Reacciones químicas deprimer orden
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Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Nociones generales
Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es unaecuación donde intervienen una variable x (“variableindependiente”), una función y = y(x) (“variabledependiente”) y algunas de sus primeras derivadas:
f (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n)) = 0
Se llama orden de una ecuación diferencial ordinaria alorden de la mayor derivada que aparece en la ecuación.
Resolver o integrar la ecuación es hallar las funcionesy(x) que cumplen la ecuación; es decir, la incógnita dela ecuación es la función y(x).
Aunque las ecuaciones diferenciales se puedan resolverpor métodos numéricos, algunos tipos de ecuacionestienen soluciones que se pueden expresar en términosde funciones elementales.
Las ecuaciones diferenciales más sencillas son las de laforma siguiente (cálculo de primitivas) y ′ = f (x)
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Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
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Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Encontrar todas las soluciones de la EDO de primer orden
y ′(x) = 4x + e2x . ¿Cuáles de ellas verifican y(0) = 1?
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orden
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Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Encontrar todas las soluciones de la EDO de primer orden
y ′(x) = 4x + e2x . ¿Cuáles de ellas verifican y(0) = 1?
Solución. Es una ecuación de primer orden.
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Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Encontrar todas las soluciones de la EDO de primer orden
y ′(x) = 4x + e2x . ¿Cuáles de ellas verifican y(0) = 1?
Solución. Es una ecuación de primer orden.Por la forma de la ecuación, las soluciones sonprecisamente las primitivas de la función 4x + e2x
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Ecuaciones de primer
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Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Encontrar todas las soluciones de la EDO de primer orden
y ′(x) = 4x + e2x . ¿Cuáles de ellas verifican y(0) = 1?
Solución. Es una ecuación de primer orden.Por la forma de la ecuación, las soluciones sonprecisamente las primitivas de la función 4x + e2x , que sepueden dar en términos de un parámetro C en la forma
y(x) = 2x2 +1
2e2x + C
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Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Encontrar todas las soluciones de la EDO de primer orden
y ′(x) = 4x + e2x . ¿Cuáles de ellas verifican y(0) = 1?
Solución. Es una ecuación de primer orden.Por la forma de la ecuación, las soluciones sonprecisamente las primitivas de la función 4x + e2x , que sepueden dar en términos de un parámetro C en la forma
y(x) = 2x2 +1
2e2x + C
Esta expresión corresponde a la denominada solucióngeneral de la ecuación.
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Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Encontrar todas las soluciones de la EDO de primer orden
y ′(x) = 4x + e2x . ¿Cuáles de ellas verifican y(0) = 1?
Solución. Es una ecuación de primer orden.Por la forma de la ecuación, las soluciones sonprecisamente las primitivas de la función 4x + e2x , que sepueden dar en términos de un parámetro C en la forma
y(x) = 2x2 +1
2e2x + C
Esta expresión corresponde a la denominada solucióngeneral de la ecuación.Si, ahora, exigimos la condición 1 = y(0) = 1
2+ C , lo que
se conoce como condición inicial de la ecuación
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Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Encontrar todas las soluciones de la EDO de primer orden
y ′(x) = 4x + e2x . ¿Cuáles de ellas verifican y(0) = 1?
Solución. Es una ecuación de primer orden.Por la forma de la ecuación, las soluciones sonprecisamente las primitivas de la función 4x + e2x , que sepueden dar en términos de un parámetro C en la forma
y(x) = 2x2 +1
2e2x + C
Esta expresión corresponde a la denominada solucióngeneral de la ecuación.Si, ahora, exigimos la condición 1 = y(0) = 1
2+ C , lo que
se conoce como condición inicial de la ecuación,entonces C = 1
2y por tanto la única solución que cumple
esa condición extra es
y(x) = 2x2 +1
2e2x +
1
2
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Ecuaciones de primer
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Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Encontrar todas las soluciones de la EDO
(1 + x2)2 y ′′(x) + 2x = 0. ¿Cuáles de ellas verifican
y(0) = 2 e y ′(0) = 0?
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Ecuaciones de primer
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Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Encontrar todas las soluciones de la EDO
(1 + x2)2 y ′′(x) + 2x = 0. ¿Cuáles de ellas verifican
y(0) = 2 e y ′(0) = 0?
Solución. Se trata de una ecuación de segundo orden.
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Ecuaciones de primer
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Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Encontrar todas las soluciones de la EDO
(1 + x2)2 y ′′(x) + 2x = 0. ¿Cuáles de ellas verifican
y(0) = 2 e y ′(0) = 0?
Solución. Se trata de una ecuación de segundo orden.La ecuación la podemos reescribir como
y ′′(x) = − 2x
(1 + x2)2
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Ejemplo
Encontrar todas las soluciones de la EDO
(1 + x2)2 y ′′(x) + 2x = 0. ¿Cuáles de ellas verifican
y(0) = 2 e y ′(0) = 0?
Solución. Se trata de una ecuación de segundo orden.La ecuación la podemos reescribir como
y ′′(x) = − 2x
(1 + x2)2
Si consideramos la nueva función u(x) = y ′(x)
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Ecuaciones de primer
orden
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Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Encontrar todas las soluciones de la EDO
(1 + x2)2 y ′′(x) + 2x = 0. ¿Cuáles de ellas verifican
y(0) = 2 e y ′(0) = 0?
Solución. Se trata de una ecuación de segundo orden.La ecuación la podemos reescribir como
y ′′(x) = − 2x
(1 + x2)2
Si consideramos la nueva función u(x) = y ′(x), laecuación se transforma en
u′(x) = − 2x
(1 + x2)2
y,así, u(x) es una primitiva de la función dada
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Ejemplo
Encontrar todas las soluciones de la EDO
(1 + x2)2 y ′′(x) + 2x = 0. ¿Cuáles de ellas verifican
y(0) = 2 e y ′(0) = 0?
Solución. Se trata de una ecuación de segundo orden.La ecuación la podemos reescribir como
y ′′(x) = − 2x
(1 + x2)2
Si consideramos la nueva función u(x) = y ′(x), laecuación se transforma en
u′(x) = − 2x
(1 + x2)2
y,así, u(x) es una primitiva de la función dada, es decir
y ′(x) = u(x) =1
1 + x2+ C
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Ejemplo
Encontrar todas las soluciones de la EDO
(1 + x2)2 y ′′(x) + 2x = 0. ¿Cuáles de ellas verifican
y(0) = 2 e y ′(0) = 0?
Solución. Se trata de una ecuación de segundo orden.La ecuación la podemos reescribir como
y ′′(x) = − 2x
(1 + x2)2
Si consideramos la nueva función u(x) = y ′(x), laecuación se transforma en
u′(x) = − 2x
(1 + x2)2
y,así, u(x) es una primitiva de la función dada, es decir
y ′(x) = u(x) =1
1 + x2+ C
Tomando de nuevo primitivas obtenemos
y(x) = arctan(x) + Cx + D
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Si, ahora, exigimos que se cumplan las condicionesiniciales y(0) = 2 e y ′(0) = 0 se obtiene fácilmente D = 2y C = −1, por lo que la única solución que cumple esascondiciones iniciales es
y(x) = arctan(x)− x + 2
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Ecuaciones lineales deprimer orden
Si, ahora, exigimos que se cumplan las condicionesiniciales y(0) = 2 e y ′(0) = 0 se obtiene fácilmente D = 2y C = −1, por lo que la única solución que cumple esascondiciones iniciales es
y(x) = arctan(x)− x + 2
Como sugieren los ejemplos anteriores, una EDO de ordenn puede tener una infinidad de soluciones, que se expresanmediante n parámetros en la solución general de laecuación
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orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Si, ahora, exigimos que se cumplan las condicionesiniciales y(0) = 2 e y ′(0) = 0 se obtiene fácilmente D = 2y C = −1, por lo que la única solución que cumple esascondiciones iniciales es
y(x) = arctan(x)− x + 2
Como sugieren los ejemplos anteriores, una EDO de ordenn puede tener una infinidad de soluciones, que se expresanmediante n parámetros en la solución general de laecuación,Si se imponen n condiciones iniciales (por ejemplo, si sefijan los valores de y(x0), y
′(x0), y′′(x0), . . . , y
(n−1)(x0))entonces la ecuación tiene una única solución particularpara esas condiciones iniciales.
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Según Newton y Leibniz, los problemas físicos se puedenformular en términos de ecuaciones diferenciales.
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orden
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Ecuaciones lineales deprimer orden
Según Newton y Leibniz, los problemas físicos se puedenformular en términos de ecuaciones diferenciales.Veamos a continuación, a modo de ejemplo, cómo lasecuaciones diferenciales aparecen en el estudio defenómenos naturales.
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Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Caída libre
Supongamos que un cuerpo de masa m cae libremente,tan sólo bajo la acción de la gravedad, desde una posicióninicial y0 y con una velocidad inicial v0.
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Ecuaciones lineales deprimer orden
Caída libre
Supongamos que un cuerpo de masa m cae libremente,tan sólo bajo la acción de la gravedad, desde una posicióninicial y0 y con una velocidad inicial v0.En este caso, la única fuerza que actúa sobre el cuerpo esmg , donde g es la aceleración debida a la gravedadterrestre.
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Ecuaciones lineales deprimer orden
Caída libre
Supongamos que un cuerpo de masa m cae libremente,tan sólo bajo la acción de la gravedad, desde una posicióninicial y0 y con una velocidad inicial v0.En este caso, la única fuerza que actúa sobre el cuerpo esmg , donde g es la aceleración debida a la gravedadterrestre. Si y(t) mide la distancia hacia abajo del cuerpoen función del tiempo t, entonces su aceleración seráy ′′(t)
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Ecuaciones lineales deprimer orden
Caída libre
Supongamos que un cuerpo de masa m cae libremente,tan sólo bajo la acción de la gravedad, desde una posicióninicial y0 y con una velocidad inicial v0.En este caso, la única fuerza que actúa sobre el cuerpo esmg , donde g es la aceleración debida a la gravedadterrestre. Si y(t) mide la distancia hacia abajo del cuerpoen función del tiempo t, entonces su aceleración seráy ′′(t), y la segunda Ley de Newton nos da
my ′′(t) = mg o sea y ′′(t) = g
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Si llamamos v(t) = y ′(t) a la velocidad del cuerpo en elinstante t, la ecuación se transforma en v ′(t) = g
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Si llamamos v(t) = y ′(t) a la velocidad del cuerpo en elinstante t, la ecuación se transforma en v ′(t) = g y portanto
y ′(t) = v(t) = gt + C ,
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orden
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Ecuaciones lineales deprimer orden
Si llamamos v(t) = y ′(t) a la velocidad del cuerpo en elinstante t, la ecuación se transforma en v ′(t) = g y portanto
y ′(t) = v(t) = gt + C ,
de donde
y(t) =1
2gt2 + Ct + D
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orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Si llamamos v(t) = y ′(t) a la velocidad del cuerpo en elinstante t, la ecuación se transforma en v ′(t) = g y portanto
y ′(t) = v(t) = gt + C ,
de donde
y(t) =1
2gt2 + Ct + D
De la condición v(0) = v0 se deduce que C = v0 y dey(0) = y0 se deduce que D = y0.
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Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Si llamamos v(t) = y ′(t) a la velocidad del cuerpo en elinstante t, la ecuación se transforma en v ′(t) = g y portanto
y ′(t) = v(t) = gt + C ,
de donde
y(t) =1
2gt2 + Ct + D
De la condición v(0) = v0 se deduce que C = v0 y dey(0) = y0 se deduce que D = y0.Por tanto la posición del cuerpo en cada instante vienedada por
y(t) =1
2gt2 + v0t + y0
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Ecuaciones homogéneas
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Caída retardada
Supongamos ahora que el aire ejerce sobre el objeto unaresistencia a la caída que es, en cada instante,proporcional a la velocidad del cuerpo.
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Caída retardada
Supongamos ahora que el aire ejerce sobre el objeto unaresistencia a la caída que es, en cada instante,proporcional a la velocidad del cuerpo. Si k es laconstante de proporcionalidad de la resistencia del aire, lasegunda ley de Newton nos dice que
my ′′(t) = mg − k y ′(t) o sea y ′′(t) = g − a y ′(t)
(con a = k/m).
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Caída retardada
Supongamos ahora que el aire ejerce sobre el objeto unaresistencia a la caída que es, en cada instante,proporcional a la velocidad del cuerpo. Si k es laconstante de proporcionalidad de la resistencia del aire, lasegunda ley de Newton nos dice que
my ′′(t) = mg − k y ′(t) o sea y ′′(t) = g − a y ′(t)
(con a = k/m).Para integrar esta ecuación de segundoorden volvemos a hacer v = y ′(t),
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Caída retardada
Supongamos ahora que el aire ejerce sobre el objeto unaresistencia a la caída que es, en cada instante,proporcional a la velocidad del cuerpo. Si k es laconstante de proporcionalidad de la resistencia del aire, lasegunda ley de Newton nos dice que
my ′′(t) = mg − k y ′(t) o sea y ′′(t) = g − a y ′(t)
(con a = k/m).Para integrar esta ecuación de segundoorden volvemos a hacer v = y ′(t), que transforma laecuación en
v ′(t) = g − av(t) óv ′(t)
g − av(t)= 1
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Caída retardada
Supongamos ahora que el aire ejerce sobre el objeto unaresistencia a la caída que es, en cada instante,proporcional a la velocidad del cuerpo. Si k es laconstante de proporcionalidad de la resistencia del aire, lasegunda ley de Newton nos dice que
my ′′(t) = mg − k y ′(t) o sea y ′′(t) = g − a y ′(t)
(con a = k/m).Para integrar esta ecuación de segundoorden volvemos a hacer v = y ′(t), que transforma laecuación en
v ′(t) = g − av(t) óv ′(t)
g − av(t)= 1
Tomando primitivas obtenemos
−1
alog(g − av) = t + C
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orden
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Ecuaciones lineales deprimer orden
De donde,
g − av = e−at−aC = De−at ó v =1
a
(
g −De−at)
(con D = e−aC ).
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orden
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Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
De donde,
g − av = e−at−aC = De−at ó v =1
a
(
g −De−at)
(con D = e−aC ).Por tanto y(t) es un primitiva de esta última función, esdecir
y(t) =1
a
(
gt +1
aDe−at
)
+ E =g
at +
D
a2e−at + E
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Ecuaciones lineales deprimer orden
De donde,
g − av = e−at−aC = De−at ó v =1
a
(
g −De−at)
(con D = e−aC ).Por tanto y(t) es un primitiva de esta última función, esdecir
y(t) =1
a
(
gt +1
aDe−at
)
+ E =g
at +
D
a2e−at + E
La condición sobre la posición inicial nos dice que
y0 = y(0) =D
a2+ E ,
![Page 46: Diapositivas Ec.diferenciales](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051109/548606b9b4af9f7d0d8b4fa4/html5/thumbnails/46.jpg)
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De donde,
g − av = e−at−aC = De−at ó v =1
a
(
g −De−at)
(con D = e−aC ).Por tanto y(t) es un primitiva de esta última función, esdecir
y(t) =1
a
(
gt +1
aDe−at
)
+ E =g
at +
D
a2e−at + E
La condición sobre la posición inicial nos dice que
y0 = y(0) =D
a2+ E ,
y v0 = y ′(0) = g−Da
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Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
De donde,
g − av = e−at−aC = De−at ó v =1
a
(
g −De−at)
(con D = e−aC ).Por tanto y(t) es un primitiva de esta última función, esdecir
y(t) =1
a
(
gt +1
aDe−at
)
+ E =g
at +
D
a2e−at + E
La condición sobre la posición inicial nos dice que
y0 = y(0) =D
a2+ E ,
y v0 = y ′(0) = g−Da
, de donde
D = g − av0 y E = y0 −g − av0
a2
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Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
De donde,
g − av = e−at−aC = De−at ó v =1
a
(
g −De−at)
(con D = e−aC ).Por tanto y(t) es un primitiva de esta última función, esdecir
y(t) =1
a
(
gt +1
aDe−at
)
+ E =g
at +
D
a2e−at + E
La condición sobre la posición inicial nos dice que
y0 = y(0) =D
a2+ E ,
y v0 = y ′(0) = g−Da
, de donde
D = g − av0 y E = y0 −g − av0
a2
y así finalmente
y(t) = y0 +g
at +
g − av0
a2(e−at − 1)
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Reacciones químicas de primer orden
Son reacciones en las que una sustancia se descompone aun ritmo que es proporcional en cada instante a lacantidad de sustancia presente.
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orden
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Reacciones químicas de primer orden
Son reacciones en las que una sustancia se descompone aun ritmo que es proporcional en cada instante a lacantidad de sustancia presente.Si x = x(t) es la cantidad de sustancia presente en elinstante t (con cantidad inicial x(0) = x0)
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orden
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Ecuaciones homogéneas
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Reacciones químicas de primer orden
Son reacciones en las que una sustancia se descompone aun ritmo que es proporcional en cada instante a lacantidad de sustancia presente.Si x = x(t) es la cantidad de sustancia presente en elinstante t (con cantidad inicial x(0) = x0) y k > 0 es laconstante de proporcionalidad (o de rapidez), la ecuaciónque rige el proceso es
−dx
dt= kx ó
1
x
dx
dt= −k
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Son reacciones en las que una sustancia se descompone aun ritmo que es proporcional en cada instante a lacantidad de sustancia presente.Si x = x(t) es la cantidad de sustancia presente en elinstante t (con cantidad inicial x(0) = x0) y k > 0 es laconstante de proporcionalidad (o de rapidez), la ecuaciónque rige el proceso es
−dx
dt= kx ó
1
x
dx
dt= −k
(puesto que dx/dt es el índice de crecimiento de x ,−dx/dt nos da el índice de descomposición.)
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Reacciones químicas de primer orden
Son reacciones en las que una sustancia se descompone aun ritmo que es proporcional en cada instante a lacantidad de sustancia presente.Si x = x(t) es la cantidad de sustancia presente en elinstante t (con cantidad inicial x(0) = x0) y k > 0 es laconstante de proporcionalidad (o de rapidez), la ecuaciónque rige el proceso es
−dx
dt= kx ó
1
x
dx
dt= −k
(puesto que dx/dt es el índice de crecimiento de x ,−dx/dt nos da el índice de descomposición.)Tomando primitivas en ambos miembros
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Son reacciones en las que una sustancia se descompone aun ritmo que es proporcional en cada instante a lacantidad de sustancia presente.Si x = x(t) es la cantidad de sustancia presente en elinstante t (con cantidad inicial x(0) = x0) y k > 0 es laconstante de proporcionalidad (o de rapidez), la ecuaciónque rige el proceso es
−dx
dt= kx ó
1
x
dx
dt= −k
(puesto que dx/dt es el índice de crecimiento de x ,−dx/dt nos da el índice de descomposición.)Tomando primitivas en ambos miembros se tiene
log x = −kt + C ⇒ x = Ae−kt (con A = eC )
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Reacciones químicas de primer orden
Son reacciones en las que una sustancia se descompone aun ritmo que es proporcional en cada instante a lacantidad de sustancia presente.Si x = x(t) es la cantidad de sustancia presente en elinstante t (con cantidad inicial x(0) = x0) y k > 0 es laconstante de proporcionalidad (o de rapidez), la ecuaciónque rige el proceso es
−dx
dt= kx ó
1
x
dx
dt= −k
(puesto que dx/dt es el índice de crecimiento de x ,−dx/dt nos da el índice de descomposición.)Tomando primitivas en ambos miembros se tiene
log x = −kt + C ⇒ x = Ae−kt (con A = eC )
De la condición inicial x(0) = x0 se deduce que A = x0,de modo que
x(t) = x0e−kt
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Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Para controlar estas reacciones, basta con determinar elvalor de la constante de rapidez k
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Para controlar estas reacciones, basta con determinar elvalor de la constante de rapidez k , y esto se consiguemidiendo la vida media de la sustancia
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Para controlar estas reacciones, basta con determinar elvalor de la constante de rapidez k , y esto se consiguemidiendo la vida media de la sustancia, es decir, eltiempo T que tarda una cierta cantidad de sustancia enreducirse a la mitad.
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Para controlar estas reacciones, basta con determinar elvalor de la constante de rapidez k , y esto se consiguemidiendo la vida media de la sustancia, es decir, eltiempo T que tarda una cierta cantidad de sustancia enreducirse a la mitad.Para ese valor T se tiene x(T ) = x0/2
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Para controlar estas reacciones, basta con determinar elvalor de la constante de rapidez k , y esto se consiguemidiendo la vida media de la sustancia, es decir, eltiempo T que tarda una cierta cantidad de sustancia enreducirse a la mitad.Para ese valor T se tiene x(T ) = x0/2, lo que sustituidoen la ecuación da
x0
2= x0e
−kT o sea kT = log 2 ó k =log 2
T
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Ecuaciones lineales deprimer orden
Para controlar estas reacciones, basta con determinar elvalor de la constante de rapidez k , y esto se consiguemidiendo la vida media de la sustancia, es decir, eltiempo T que tarda una cierta cantidad de sustancia enreducirse a la mitad.Para ese valor T se tiene x(T ) = x0/2, lo que sustituidoen la ecuación da
x0
2= x0e
−kT o sea kT = log 2 ó k =log 2
T
Si la vida media es muy larga, como ocurre a menudo,basta con ver, por ejemplo, para qué valor T1 la cantidadinicial se reduce a sus 9 décimas partes
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Para controlar estas reacciones, basta con determinar elvalor de la constante de rapidez k , y esto se consiguemidiendo la vida media de la sustancia, es decir, eltiempo T que tarda una cierta cantidad de sustancia enreducirse a la mitad.Para ese valor T se tiene x(T ) = x0/2, lo que sustituidoen la ecuación da
x0
2= x0e
−kT o sea kT = log 2 ó k =log 2
T
Si la vida media es muy larga, como ocurre a menudo,basta con ver, por ejemplo, para qué valor T1 la cantidadinicial se reduce a sus 9 décimas partes, y entonces
k =log(10/9)
T1
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Ley de enfriamiento de Newton
La ley de enfriamiento de Newton establece que lavariación de temperatura de un cuerpo es proporcional encada instante a su diferencia de temperatura con elambiente.
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La ley de enfriamiento de Newton establece que lavariación de temperatura de un cuerpo es proporcional encada instante a su diferencia de temperatura con elambiente.Es decir, si x = x(t) mide la temperatura de un cuerpo enel instante t y TA es la temperatura ambiente
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La ley de enfriamiento de Newton establece que lavariación de temperatura de un cuerpo es proporcional encada instante a su diferencia de temperatura con elambiente.Es decir, si x = x(t) mide la temperatura de un cuerpo enel instante t y TA es la temperatura ambiente, se tiene
dx
dt= k (x − TA) ó
1
x − TA
dx
dt= k
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Ley de enfriamiento de Newton
La ley de enfriamiento de Newton establece que lavariación de temperatura de un cuerpo es proporcional encada instante a su diferencia de temperatura con elambiente.Es decir, si x = x(t) mide la temperatura de un cuerpo enel instante t y TA es la temperatura ambiente, se tiene
dx
dt= k (x − TA) ó
1
x − TA
dx
dt= k
para cierta constante k que depende del cuerpo.
![Page 67: Diapositivas Ec.diferenciales](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051109/548606b9b4af9f7d0d8b4fa4/html5/thumbnails/67.jpg)
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orden
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Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ley de enfriamiento de Newton
La ley de enfriamiento de Newton establece que lavariación de temperatura de un cuerpo es proporcional encada instante a su diferencia de temperatura con elambiente.Es decir, si x = x(t) mide la temperatura de un cuerpo enel instante t y TA es la temperatura ambiente, se tiene
dx
dt= k (x − TA) ó
1
x − TA
dx
dt= k
para cierta constante k que depende del cuerpo.Tomando primitivas en ambos miembros de la segundaexpresión se tiene
log(x−TA) = kt+C ó x(t) = TA+Bekt (con B = eC )
![Page 68: Diapositivas Ec.diferenciales](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051109/548606b9b4af9f7d0d8b4fa4/html5/thumbnails/68.jpg)
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La ley de enfriamiento de Newton establece que lavariación de temperatura de un cuerpo es proporcional encada instante a su diferencia de temperatura con elambiente.Es decir, si x = x(t) mide la temperatura de un cuerpo enel instante t y TA es la temperatura ambiente, se tiene
dx
dt= k (x − TA) ó
1
x − TA
dx
dt= k
para cierta constante k que depende del cuerpo.Tomando primitivas en ambos miembros de la segundaexpresión se tiene
log(x−TA) = kt+C ó x(t) = TA+Bekt (con B = eC )
Si la temperatura inicial (t = 0) es x0
![Page 69: Diapositivas Ec.diferenciales](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051109/548606b9b4af9f7d0d8b4fa4/html5/thumbnails/69.jpg)
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La ley de enfriamiento de Newton establece que lavariación de temperatura de un cuerpo es proporcional encada instante a su diferencia de temperatura con elambiente.Es decir, si x = x(t) mide la temperatura de un cuerpo enel instante t y TA es la temperatura ambiente, se tiene
dx
dt= k (x − TA) ó
1
x − TA
dx
dt= k
para cierta constante k que depende del cuerpo.Tomando primitivas en ambos miembros de la segundaexpresión se tiene
log(x−TA) = kt+C ó x(t) = TA+Bekt (con B = eC )
Si la temperatura inicial (t = 0) es x0 entoncesx0 = x(0) = TA + B
![Page 70: Diapositivas Ec.diferenciales](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051109/548606b9b4af9f7d0d8b4fa4/html5/thumbnails/70.jpg)
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La ley de enfriamiento de Newton establece que lavariación de temperatura de un cuerpo es proporcional encada instante a su diferencia de temperatura con elambiente.Es decir, si x = x(t) mide la temperatura de un cuerpo enel instante t y TA es la temperatura ambiente, se tiene
dx
dt= k (x − TA) ó
1
x − TA
dx
dt= k
para cierta constante k que depende del cuerpo.Tomando primitivas en ambos miembros de la segundaexpresión se tiene
log(x−TA) = kt+C ó x(t) = TA+Bekt (con B = eC )
Si la temperatura inicial (t = 0) es x0 entoncesx0 = x(0) = TA + B , o sea B = x0 − TA
![Page 71: Diapositivas Ec.diferenciales](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051109/548606b9b4af9f7d0d8b4fa4/html5/thumbnails/71.jpg)
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orden
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Ecuaciones lineales deprimer orden
Ley de enfriamiento de Newton
La ley de enfriamiento de Newton establece que lavariación de temperatura de un cuerpo es proporcional encada instante a su diferencia de temperatura con elambiente.Es decir, si x = x(t) mide la temperatura de un cuerpo enel instante t y TA es la temperatura ambiente, se tiene
dx
dt= k (x − TA) ó
1
x − TA
dx
dt= k
para cierta constante k que depende del cuerpo.Tomando primitivas en ambos miembros de la segundaexpresión se tiene
log(x−TA) = kt+C ó x(t) = TA+Bekt (con B = eC )
Si la temperatura inicial (t = 0) es x0 entoncesx0 = x(0) = TA + B , o sea B = x0 − TA y así finalmente
x(t) = TA + (x0 − TA)ekt
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orden
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Ejemplo
Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,
donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después
marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál
era la temperatura en la habitación?
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Ejemplo
Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,
donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después
marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál
era la temperatura en la habitación?
Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados
![Page 74: Diapositivas Ec.diferenciales](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051109/548606b9b4af9f7d0d8b4fa4/html5/thumbnails/74.jpg)
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orden
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Ejemplo
Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,
donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después
marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál
era la temperatura en la habitación?
Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados, y empezando a contarel tiempo al sacar el termómetro
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Ejemplo
Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,
donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después
marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál
era la temperatura en la habitación?
Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados, y empezando a contarel tiempo al sacar el termómetro, los datos nos dicen queTA = 10, x(1) = 22 y x(2) = 16
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Ejemplo
Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,
donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después
marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál
era la temperatura en la habitación?
Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados, y empezando a contarel tiempo al sacar el termómetro, los datos nos dicen queTA = 10, x(1) = 22 y x(2) = 16 y nos están pidiendox(0).
![Page 77: Diapositivas Ec.diferenciales](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051109/548606b9b4af9f7d0d8b4fa4/html5/thumbnails/77.jpg)
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orden
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Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,
donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después
marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál
era la temperatura en la habitación?
Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados, y empezando a contarel tiempo al sacar el termómetro, los datos nos dicen queTA = 10, x(1) = 22 y x(2) = 16 y nos están pidiendox(0). Al sustituir los datos en la ecuación tenemos
22 = 10 + (x0 − TA)ek ó 12 = (x0 − TA)e
k
![Page 78: Diapositivas Ec.diferenciales](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051109/548606b9b4af9f7d0d8b4fa4/html5/thumbnails/78.jpg)
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orden
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Ejemplo
Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,
donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después
marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál
era la temperatura en la habitación?
Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados, y empezando a contarel tiempo al sacar el termómetro, los datos nos dicen queTA = 10, x(1) = 22 y x(2) = 16 y nos están pidiendox(0). Al sustituir los datos en la ecuación tenemos
22 = 10 + (x0 − TA)ek ó 12 = (x0 − TA)e
k
16 = 10 + (x0 − TA)e2k ó 6 = (x0 − TA)e
2k
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Ejemplo
Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,
donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después
marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál
era la temperatura en la habitación?
Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados, y empezando a contarel tiempo al sacar el termómetro, los datos nos dicen queTA = 10, x(1) = 22 y x(2) = 16 y nos están pidiendox(0). Al sustituir los datos en la ecuación tenemos
22 = 10 + (x0 − TA)ek ó 12 = (x0 − TA)e
k
16 = 10 + (x0 − TA)e2k ó 6 = (x0 − TA)e
2k
Dividiendo 6 = (x0 − TA)e2k entre 12 = (x0 − TA)e
k ,
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orden
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Ejemplo
Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,
donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después
marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál
era la temperatura en la habitación?
Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados, y empezando a contarel tiempo al sacar el termómetro, los datos nos dicen queTA = 10, x(1) = 22 y x(2) = 16 y nos están pidiendox(0). Al sustituir los datos en la ecuación tenemos
22 = 10 + (x0 − TA)ek ó 12 = (x0 − TA)e
k
16 = 10 + (x0 − TA)e2k ó 6 = (x0 − TA)e
2k
Dividiendo 6 = (x0 − TA)e2k entre 12 = (x0 − TA)e
k , seobtiene ek = 1/2
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Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,
donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después
marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál
era la temperatura en la habitación?
Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados, y empezando a contarel tiempo al sacar el termómetro, los datos nos dicen queTA = 10, x(1) = 22 y x(2) = 16 y nos están pidiendox(0). Al sustituir los datos en la ecuación tenemos
22 = 10 + (x0 − TA)ek ó 12 = (x0 − TA)e
k
16 = 10 + (x0 − TA)e2k ó 6 = (x0 − TA)e
2k
Dividiendo 6 = (x0 − TA)e2k entre 12 = (x0 − TA)e
k , seobtiene ek = 1/2 y entonces12 = (x0 − TA)e
k = (x0 − TA)/2
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Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,
donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después
marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál
era la temperatura en la habitación?
Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados, y empezando a contarel tiempo al sacar el termómetro, los datos nos dicen queTA = 10, x(1) = 22 y x(2) = 16 y nos están pidiendox(0). Al sustituir los datos en la ecuación tenemos
22 = 10 + (x0 − TA)ek ó 12 = (x0 − TA)e
k
16 = 10 + (x0 − TA)e2k ó 6 = (x0 − TA)e
2k
Dividiendo 6 = (x0 − TA)e2k entre 12 = (x0 − TA)e
k , seobtiene ek = 1/2 y entonces12 = (x0 − TA)e
k = (x0 − TA)/2, de donde(x0 − TA) = 24 y así x(0) = 34
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Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,
donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después
marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál
era la temperatura en la habitación?
Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados, y empezando a contarel tiempo al sacar el termómetro, los datos nos dicen queTA = 10, x(1) = 22 y x(2) = 16 y nos están pidiendox(0). Al sustituir los datos en la ecuación tenemos
22 = 10 + (x0 − TA)ek ó 12 = (x0 − TA)e
k
16 = 10 + (x0 − TA)e2k ó 6 = (x0 − TA)e
2k
Dividiendo 6 = (x0 − TA)e2k entre 12 = (x0 − TA)e
k , seobtiene ek = 1/2 y entonces12 = (x0 − TA)e
k = (x0 − TA)/2, de donde(x0 − TA) = 24 y así x(0) = 34, es decir, la temperaturaen la habitación era de 34oC.
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orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ecuaciones de primer orden
Las ecuaciones de primer orden son ecuaciones del tipo
f (x , y , y ′) = 0
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Reacciones químicas deprimer orden
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Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ecuaciones de primer orden
Las ecuaciones de primer orden son ecuaciones del tipo
f (x , y , y ′) = 0
Diremos que está escrita de forma explícita, o con laderivada despejada, si se escribe en la forma
y ′ = g(x , y)
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Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ecuaciones de primer orden
Las ecuaciones de primer orden son ecuaciones del tipo
f (x , y , y ′) = 0
Diremos que está escrita de forma explícita, o con laderivada despejada, si se escribe en la forma
y ′ = g(x , y)
Veamos cómo se integran en algunos casos sencillos.
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orden
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Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ecuaciones de variables separables
Llamamos ecuación de variables separables a una quepuede llevarse a la forma
y ′ = g(y)f (x)
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orden
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Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ecuaciones de variables separables
Llamamos ecuación de variables separables a una quepuede llevarse a la forma
y ′ = g(y)f (x)
Algunos de los ejemplos eran de este tipo. Basta contomar primitivas en ambos miembros:
∫
y ′(x)
g(y(x))dx = C +
∫
f (x) dx
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Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ecuaciones de variables separables
Llamamos ecuación de variables separables a una quepuede llevarse a la forma
y ′ = g(y)f (x)
Algunos de los ejemplos eran de este tipo. Basta contomar primitivas en ambos miembros:
∫
y ′(x)
g(y(x))dx = C +
∫
f (x) dx
(las dos constantes de integración se reúnen en C ).
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orden
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Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ecuaciones de variables separables
Llamamos ecuación de variables separables a una quepuede llevarse a la forma
y ′ = g(y)f (x)
Algunos de los ejemplos eran de este tipo. Basta contomar primitivas en ambos miembros:
∫
y ′(x)
g(y(x))dx = C +
∫
f (x) dx
(las dos constantes de integración se reúnen en C ).Una vez calculadas las primitivas, tenemos la solucióngeneral de la ecuación.
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orden
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Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ecuaciones de variables separables
Llamamos ecuación de variables separables a una quepuede llevarse a la forma
y ′ = g(y)f (x)
Algunos de los ejemplos eran de este tipo. Basta contomar primitivas en ambos miembros:
∫
y ′(x)
g(y(x))dx = C +
∫
f (x) dx
(las dos constantes de integración se reúnen en C ).Una vez calculadas las primitivas, tenemos la solucióngeneral de la ecuación. En principio tenemos y(x) dadade forma implícita, en una expresión de la formaG (y(x)) = F (x)
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orden
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Llamamos ecuación de variables separables a una quepuede llevarse a la forma
y ′ = g(y)f (x)
Algunos de los ejemplos eran de este tipo. Basta contomar primitivas en ambos miembros:
∫
y ′(x)
g(y(x))dx = C +
∫
f (x) dx
(las dos constantes de integración se reúnen en C ).Una vez calculadas las primitivas, tenemos la solucióngeneral de la ecuación. En principio tenemos y(x) dadade forma implícita, en una expresión de la formaG (y(x)) = F (x); pero en muchos casos es posibledespejarla.
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orden
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Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ecuaciones de variables separables
Llamamos ecuación de variables separables a una quepuede llevarse a la forma
y ′ = g(y)f (x)
Algunos de los ejemplos eran de este tipo. Basta contomar primitivas en ambos miembros:
∫
y ′(x)
g(y(x))dx = C +
∫
f (x) dx
(las dos constantes de integración se reúnen en C ).Una vez calculadas las primitivas, tenemos la solucióngeneral de la ecuación. En principio tenemos y(x) dadade forma implícita, en una expresión de la formaG (y(x)) = F (x); pero en muchos casos es posibledespejarla.Si queremos obtener la solución particular para una ciertacondición inicial y(x0) = y0, basta con sustituirla en lasolución general para determinar el valor de C en ese caso.
![Page 94: Diapositivas Ec.diferenciales](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051109/548606b9b4af9f7d0d8b4fa4/html5/thumbnails/94.jpg)
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Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Obtener la solución general de la ecuación y ′ = xex−y .
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Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Obtener la solución general de la ecuación y ′ = xex−y .
Solución. Separando las variables
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Ecuaciones de primer
orden
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Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Obtener la solución general de la ecuación y ′ = xex−y .
Solución. Separando las variables y tomando luegoprimitivas se obtiene
dy
dx= xex−y = xexe−y ⇒
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Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Obtener la solución general de la ecuación y ′ = xex−y .
Solución. Separando las variables y tomando luegoprimitivas se obtiene
dy
dx= xex−y = xexe−y ⇒
⇒ eydy = xexdx ⇒ ey = (x − 1) ex + C
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orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Obtener la solución general de la ecuación y ′ = xex−y .
Solución. Separando las variables y tomando luegoprimitivas se obtiene
dy
dx= xex−y = xexe−y ⇒
⇒ eydy = xexdx ⇒ ey = (x − 1) ex + C
(la segunda primitiva se calcula fácilmente por partes).
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Ecuaciones de primer
orden
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Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Obtener la solución general de la ecuación y ′ = xex−y .
Solución. Separando las variables y tomando luegoprimitivas se obtiene
dy
dx= xex−y = xexe−y ⇒
⇒ eydy = xexdx ⇒ ey = (x − 1) ex + C
(la segunda primitiva se calcula fácilmente por partes).Despejando y en función de x obtenemos
y = log ((x − 1)ex + C )
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Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Hallar la solución particular de (1 + ex )yy ′ = ex con
y(x0) = y0.
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Ejemplo
Hallar la solución particular de (1 + ex )yy ′ = ex con
y(x0) = y0.
Solución. Separando las variables, tomando primitivas ydespejando y
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Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Hallar la solución particular de (1 + ex )yy ′ = ex con
y(x0) = y0.
Solución. Separando las variables, tomando primitivas ydespejando y se obtiene
yy ′ =ex
1 + ex⇒ y2
2= log(1 + ex ) + C ⇒
⇒ y(x) =√
2 log(1 + ex ) + D
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Ecuaciones de primer
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Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Hallar la solución particular de (1 + ex )yy ′ = ex con
y(x0) = y0.
Solución. Separando las variables, tomando primitivas ydespejando y se obtiene
yy ′ =ex
1 + ex⇒ y2
2= log(1 + ex ) + C ⇒
⇒ y(x) =√
2 log(1 + ex ) + D
que es la solución general.
![Page 104: Diapositivas Ec.diferenciales](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051109/548606b9b4af9f7d0d8b4fa4/html5/thumbnails/104.jpg)
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orden
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Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Hallar la solución particular de (1 + ex )yy ′ = ex con
y(x0) = y0.
Solución. Separando las variables, tomando primitivas ydespejando y se obtiene
yy ′ =ex
1 + ex⇒ y2
2= log(1 + ex ) + C ⇒
⇒ y(x) =√
2 log(1 + ex ) + D
que es la solución general. La condición inicial implica que
y0 = y(x0) =√
2 log(1 + ex0) + D ⇒⇒ D = y2
0 − 2 log(1 + ex0)
![Page 105: Diapositivas Ec.diferenciales](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051109/548606b9b4af9f7d0d8b4fa4/html5/thumbnails/105.jpg)
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Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Hallar la solución particular de (1 + ex )yy ′ = ex con
y(x0) = y0.
Solución. Separando las variables, tomando primitivas ydespejando y se obtiene
yy ′ =ex
1 + ex⇒ y2
2= log(1 + ex ) + C ⇒
⇒ y(x) =√
2 log(1 + ex ) + D
que es la solución general. La condición inicial implica que
y0 = y(x0) =√
2 log(1 + ex0) + D ⇒⇒ D = y2
0 − 2 log(1 + ex0)
y sustituyendo este valor de D en la solución general
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Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Hallar la solución particular de (1 + ex )yy ′ = ex con
y(x0) = y0.
Solución. Separando las variables, tomando primitivas ydespejando y se obtiene
yy ′ =ex
1 + ex⇒ y2
2= log(1 + ex ) + C ⇒
⇒ y(x) =√
2 log(1 + ex ) + D
que es la solución general. La condición inicial implica que
y0 = y(x0) =√
2 log(1 + ex0) + D ⇒⇒ D = y2
0 − 2 log(1 + ex0)
y sustituyendo este valor de D en la solución generalobtenemos la solución particular
y(x) =
√
y20 + 2 log
(
1 + ex
1 + ex0
)
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orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Funciones homogéneas
Una función f (x , y) es homogénea si verifica
f (tx , ty) = f (x , y) para cualquier t > 0
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Funciones homogéneas
Una función f (x , y) es homogénea si verifica
f (tx , ty) = f (x , y) para cualquier t > 0
Por ejemplo:
f (x , y) = xey no es homogénea pues txety 6= xey .
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Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Funciones homogéneas
Una función f (x , y) es homogénea si verifica
f (tx , ty) = f (x , y) para cualquier t > 0
Por ejemplo:
f (x , y) = xey no es homogénea pues txety 6= xey .
f (x , y) =x2 + y2
x + yno es homogénea pues
f (tx , ty) = (tx)2+(ty)2
tx+ty= t f (x , y) 6= f (x , y).
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orden
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Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Funciones homogéneas
Una función f (x , y) es homogénea si verifica
f (tx , ty) = f (x , y) para cualquier t > 0
Por ejemplo:
f (x , y) = xey no es homogénea pues txety 6= xey .
f (x , y) =x2 + y2
x + yno es homogénea pues
f (tx , ty) = (tx)2+(ty)2
tx+ty= t f (x , y) 6= f (x , y).
f (x , y) =
√
x2 + y2
x + ysí es homogénea pues
f (tx , ty) =
√(tx)2+(ty)2
tx+ty= f (x , y).
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Funciones homogéneas
Una función f (x , y) es homogénea si verifica
f (tx , ty) = f (x , y) para cualquier t > 0
Por ejemplo:
f (x , y) = xey no es homogénea pues txety 6= xey .
f (x , y) =x2 + y2
x + yno es homogénea pues
f (tx , ty) = (tx)2+(ty)2
tx+ty= t f (x , y) 6= f (x , y).
f (x , y) =
√
x2 + y2
x + ysí es homogénea pues
f (tx , ty) =
√(tx)2+(ty)2
tx+ty= f (x , y).
f (x , y) =2x5 − 7x4y + 29x2y3 + xy4
x5 + 2x2y2 − xy4 + 6y5sí es
homogénea, pues en f (tx , ty) aparece t5 como factorcomún en el numerador y en el denominador.
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Ecuaciones lineales deprimer orden
Ecuaciones diferenciales homogéneas
Una EDO de primer orden es homogénea si podemosllevarla a la forma y ′ = f (x , y) donde f (x , y) es unafunción homogénea.
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Ecuaciones lineales deprimer orden
Ecuaciones diferenciales homogéneas
Una EDO de primer orden es homogénea si podemosllevarla a la forma y ′ = f (x , y) donde f (x , y) es unafunción homogénea.Para integrarla, basta con hacer el cambio de variableu = y/x , que la convierte en una ecuación de variablesseparables.
![Page 114: Diapositivas Ec.diferenciales](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051109/548606b9b4af9f7d0d8b4fa4/html5/thumbnails/114.jpg)
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Una EDO de primer orden es homogénea si podemosllevarla a la forma y ′ = f (x , y) donde f (x , y) es unafunción homogénea.Para integrarla, basta con hacer el cambio de variableu = y/x , que la convierte en una ecuación de variablesseparables.En efecto: y = ux , nos da y ′ = u′x + u (observemos queu es la nueva variable independiente).
![Page 115: Diapositivas Ec.diferenciales](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051109/548606b9b4af9f7d0d8b4fa4/html5/thumbnails/115.jpg)
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Una EDO de primer orden es homogénea si podemosllevarla a la forma y ′ = f (x , y) donde f (x , y) es unafunción homogénea.Para integrarla, basta con hacer el cambio de variableu = y/x , que la convierte en una ecuación de variablesseparables.En efecto: y = ux , nos da y ′ = u′x + u (observemos queu es la nueva variable independiente).Entonces
u′x + u = f (x , ux) = f (1, u)
![Page 116: Diapositivas Ec.diferenciales](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051109/548606b9b4af9f7d0d8b4fa4/html5/thumbnails/116.jpg)
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Una EDO de primer orden es homogénea si podemosllevarla a la forma y ′ = f (x , y) donde f (x , y) es unafunción homogénea.Para integrarla, basta con hacer el cambio de variableu = y/x , que la convierte en una ecuación de variablesseparables.En efecto: y = ux , nos da y ′ = u′x + u (observemos queu es la nueva variable independiente).Entonces
u′x + u = f (x , ux) = f (1, u)
luego
u′ =f (1, u) − u
x
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Ejemplo
Resolver la ecuación diferencial xy ′ − y =√
x2 + y2.
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Ejemplo
Resolver la ecuación diferencial xy ′ − y =√
x2 + y2.
Solución. Despejando y ′ queda
y ′ =y +
√
x2 + y2
x= f (x , y)
![Page 119: Diapositivas Ec.diferenciales](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051109/548606b9b4af9f7d0d8b4fa4/html5/thumbnails/119.jpg)
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Ejemplo
Resolver la ecuación diferencial xy ′ − y =√
x2 + y2.
Solución. Despejando y ′ queda
y ′ =y +
√
x2 + y2
x= f (x , y)
que es homogénea pues
f (tx , ty) =ty +
√
t2x2 + t2y2
tx=
ty + t√
x2 + y2
tx= f (x , y)
![Page 120: Diapositivas Ec.diferenciales](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051109/548606b9b4af9f7d0d8b4fa4/html5/thumbnails/120.jpg)
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Ejemplo
Resolver la ecuación diferencial xy ′ − y =√
x2 + y2.
Solución. Despejando y ′ queda
y ′ =y +
√
x2 + y2
x= f (x , y)
que es homogénea pues
f (tx , ty) =ty +
√
t2x2 + t2y2
tx=
ty + t√
x2 + y2
tx= f (x , y)
Haciendo el cambio de variable indicado y sustituyendo enla ecuación
![Page 121: Diapositivas Ec.diferenciales](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051109/548606b9b4af9f7d0d8b4fa4/html5/thumbnails/121.jpg)
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Ejemplo
Resolver la ecuación diferencial xy ′ − y =√
x2 + y2.
Solución. Despejando y ′ queda
y ′ =y +
√
x2 + y2
x= f (x , y)
que es homogénea pues
f (tx , ty) =ty +
√
t2x2 + t2y2
tx=
ty + t√
x2 + y2
tx= f (x , y)
Haciendo el cambio de variable indicado y sustituyendo enla ecuación obtenemos
u + u′x =ux +
√x2 + u2x2
x= u +
√
1 + u2 ⇒
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Ejemplo
Resolver la ecuación diferencial xy ′ − y =√
x2 + y2.
Solución. Despejando y ′ queda
y ′ =y +
√
x2 + y2
x= f (x , y)
que es homogénea pues
f (tx , ty) =ty +
√
t2x2 + t2y2
tx=
ty + t√
x2 + y2
tx= f (x , y)
Haciendo el cambio de variable indicado y sustituyendo enla ecuación obtenemos
u + u′x =ux +
√x2 + u2x2
x= u +
√
1 + u2 ⇒
⇒ du
dx= u′ =
√1 + u2
x⇒ du√
1 + u2=
dx
x⇒
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Ejemplo
Resolver la ecuación diferencial xy ′ − y =√
x2 + y2.
Solución. Despejando y ′ queda
y ′ =y +
√
x2 + y2
x= f (x , y)
que es homogénea pues
f (tx , ty) =ty +
√
t2x2 + t2y2
tx=
ty + t√
x2 + y2
tx= f (x , y)
Haciendo el cambio de variable indicado y sustituyendo enla ecuación obtenemos
u + u′x =ux +
√x2 + u2x2
x= u +
√
1 + u2 ⇒
⇒ du
dx= u′ =
√1 + u2
x⇒ du√
1 + u2=
dx
x⇒
⇒ arg senh(u) = log x + C
![Page 124: Diapositivas Ec.diferenciales](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051109/548606b9b4af9f7d0d8b4fa4/html5/thumbnails/124.jpg)
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Entonces
u = senh(log x + C ) =e log x+C − e− log x−C
2=
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Entonces
u = senh(log x + C ) =e log x+C − e− log x−C
2=
u =xeC − 1
xeC
2=
xK − 1xK
2
donde hemos llamado K = eC .
![Page 126: Diapositivas Ec.diferenciales](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051109/548606b9b4af9f7d0d8b4fa4/html5/thumbnails/126.jpg)
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Entonces
u = senh(log x + C ) =e log x+C − e− log x−C
2=
u =xeC − 1
xeC
2=
xK − 1xK
2
donde hemos llamado K = eC .Por último, deshacemos el cambio para recuperar lavariable y = ux :
![Page 127: Diapositivas Ec.diferenciales](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051109/548606b9b4af9f7d0d8b4fa4/html5/thumbnails/127.jpg)
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Entonces
u = senh(log x + C ) =e log x+C − e− log x−C
2=
u =xeC − 1
xeC
2=
xK − 1xK
2
donde hemos llamado K = eC .Por último, deshacemos el cambio para recuperar lavariable y = ux :
y = ux = xxK − 1
xK
2=
K
2x2 − 1
2K
![Page 128: Diapositivas Ec.diferenciales](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051109/548606b9b4af9f7d0d8b4fa4/html5/thumbnails/128.jpg)
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Ecuaciones lineales de primer orden
Llamamos ecuaciones lineales de primer orden a las dela forma
y ′ + f (x)y = g(x) (†)
donde f (x), g(x) son funciones arbitrarias.
![Page 129: Diapositivas Ec.diferenciales](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051109/548606b9b4af9f7d0d8b4fa4/html5/thumbnails/129.jpg)
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Llamamos ecuaciones lineales de primer orden a las dela forma
y ′ + f (x)y = g(x) (†)
donde f (x), g(x) son funciones arbitrarias.Un caso especialmente sencillo se produce cuandog(x) = 0.
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Llamamos ecuaciones lineales de primer orden a las dela forma
y ′ + f (x)y = g(x) (†)
donde f (x), g(x) son funciones arbitrarias.Un caso especialmente sencillo se produce cuandog(x) = 0. Entonces la ecuación
y ′ + f (x) y = 0 (‡)
(que se llama ecuación lineal homogénea asociada a (†))es de variables separables
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Llamamos ecuaciones lineales de primer orden a las dela forma
y ′ + f (x)y = g(x) (†)
donde f (x), g(x) son funciones arbitrarias.Un caso especialmente sencillo se produce cuandog(x) = 0. Entonces la ecuación
y ′ + f (x) y = 0 (‡)
(que se llama ecuación lineal homogénea asociada a (†))es de variables separables:
y ′ = −f (x)y ⇒ y ′
y= −f (x)
![Page 132: Diapositivas Ec.diferenciales](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051109/548606b9b4af9f7d0d8b4fa4/html5/thumbnails/132.jpg)
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Si F (x) es una primitiva de f (x) entonces
log(y) = −F (x) + C ,
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Si F (x) es una primitiva de f (x) entonces
log(y) = −F (x) + C ,
y si ponemos K = eC la solución general de la ecuaciónlineal homogénea (‡) es
y(x) = Ke−F (x)
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Si F (x) es una primitiva de f (x) entonces
log(y) = −F (x) + C ,
y si ponemos K = eC la solución general de la ecuaciónlineal homogénea (‡) es
y(x) = Ke−F (x)
Este caso sencillo (‡) nos da la clave para resolver el casogeneral (†)
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Si F (x) es una primitiva de f (x) entonces
log(y) = −F (x) + C ,
y si ponemos K = eC la solución general de la ecuaciónlineal homogénea (‡) es
y(x) = Ke−F (x)
Este caso sencillo (‡) nos da la clave para resolver el casogeneral (†), pues se tiene:Método de variación de las constantes
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Si F (x) es una primitiva de f (x) entonces
log(y) = −F (x) + C ,
y si ponemos K = eC la solución general de la ecuaciónlineal homogénea (‡) es
y(x) = Ke−F (x)
Este caso sencillo (‡) nos da la clave para resolver el casogeneral (†), pues se tiene:Método de variación de las constantesCon las notaciones anteriores, la solución general de unaecuación lineal de primer orden (†) es
y(x) = K (x) e−F (x)
donde la función K (x) se obtiene sustituyendo esaexpresión en la ecuación lineal homogénea (†).
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Reacciones químicas deprimer orden
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Ecuaciones de primer
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Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Si F (x) es una primitiva de f (x) entonces
log(y) = −F (x) + C ,
y si ponemos K = eC la solución general de la ecuaciónlineal homogénea (‡) es
y(x) = Ke−F (x)
Este caso sencillo (‡) nos da la clave para resolver el casogeneral (†), pues se tiene:Método de variación de las constantesCon las notaciones anteriores, la solución general de unaecuación lineal de primer orden (†) es
y(x) = K (x) e−F (x)
donde la función K (x) se obtiene sustituyendo esaexpresión en la ecuación lineal homogénea (†). Es decir, lasolución general de (†) es como la de (‡) pero cambiandola constante K por una función K (x), cuyo valor hay quedeterminar.
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Queremos que K (x) e−F (x) sea solución dey ′ + f (x)y = g(x), siendo F ′(x) = f (x).
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Queremos que K (x) e−F (x) sea solución dey ′ + f (x)y = g(x), siendo F ′(x) = f (x).La derivada de y(x) = K (x) e−F (x) es
y ′(x) = K ′(x) e−F (x) + K (x) e−F (x)(−f (x)) =
= K ′(x) e−F (x) − f (x) y(x)
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Queremos que K (x) e−F (x) sea solución dey ′ + f (x)y = g(x), siendo F ′(x) = f (x).La derivada de y(x) = K (x) e−F (x) es
y ′(x) = K ′(x) e−F (x) + K (x) e−F (x)(−f (x)) =
= K ′(x) e−F (x) − f (x) y(x)
y al sustituir estas expresiones en (†) se obtiene
g(x) = y ′(x) + f (x) y(x) = K ′(x) e−F (x) ⇒
⇒ K ′(x) = g(x) eF (x)
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Queremos que K (x) e−F (x) sea solución dey ′ + f (x)y = g(x), siendo F ′(x) = f (x).La derivada de y(x) = K (x) e−F (x) es
y ′(x) = K ′(x) e−F (x) + K (x) e−F (x)(−f (x)) =
= K ′(x) e−F (x) − f (x) y(x)
y al sustituir estas expresiones en (†) se obtiene
g(x) = y ′(x) + f (x) y(x) = K ′(x) e−F (x) ⇒
⇒ K ′(x) = g(x) eF (x)
Por tanto K (x) es una primitiva de g(x) eF (x)
![Page 142: Diapositivas Ec.diferenciales](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051109/548606b9b4af9f7d0d8b4fa4/html5/thumbnails/142.jpg)
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Queremos que K (x) e−F (x) sea solución dey ′ + f (x)y = g(x), siendo F ′(x) = f (x).La derivada de y(x) = K (x) e−F (x) es
y ′(x) = K ′(x) e−F (x) + K (x) e−F (x)(−f (x)) =
= K ′(x) e−F (x) − f (x) y(x)
y al sustituir estas expresiones en (†) se obtiene
g(x) = y ′(x) + f (x) y(x) = K ′(x) e−F (x) ⇒
⇒ K ′(x) = g(x) eF (x)
Por tanto K (x) es una primitiva de g(x) eF (x), por lo quefinalmente
y(x) =
(∫
g(x) eF (x) dx + C
)
e−F (x)
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Esta es una fórmula general para resolver (†), pero no essencilla de recordar.
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Esta es una fórmula general para resolver (†), pero no essencilla de recordar. En los ejemplos repetiremos estospasos:
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Esta es una fórmula general para resolver (†), pero no essencilla de recordar. En los ejemplos repetiremos estospasos:
Obtener la solución general de y ′ + f (x)y = 0 entérminos de una constante K .
![Page 146: Diapositivas Ec.diferenciales](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051109/548606b9b4af9f7d0d8b4fa4/html5/thumbnails/146.jpg)
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Esta es una fórmula general para resolver (†), pero no essencilla de recordar. En los ejemplos repetiremos estospasos:
Obtener la solución general de y ′ + f (x)y = 0 entérminos de una constante K .
Buscar la solución general de y ′ + f (x)y = g(x)cambiando la constante K por una función K (x) ysustituyendo en la ecuación para determinar quién esK (x).
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Ejemplo
Hallar la solución particular de la ecuación y ′ = ex + y
con y(1) = 5e.
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Ejemplo
Hallar la solución particular de la ecuación y ′ = ex + y
con y(1) = 5e.
Solución. La ecuación es lineal, pues podemos reescribirlacomo y ′ − y = ex .
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Hallar la solución particular de la ecuación y ′ = ex + y
con y(1) = 5e.
Solución. La ecuación es lineal, pues podemos reescribirlacomo y ′ − y = ex . Primero resolvemos la correspondienteecuación homogénea y ′ − y = 0 separando las variables
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Hallar la solución particular de la ecuación y ′ = ex + y
con y(1) = 5e.
Solución. La ecuación es lineal, pues podemos reescribirlacomo y ′ − y = ex . Primero resolvemos la correspondienteecuación homogénea y ′ − y = 0 separando las variables:
dy
dx= y ⇒ dy
y= dx ⇒ log y = x+C ⇒ y = Kex
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Hallar la solución particular de la ecuación y ′ = ex + y
con y(1) = 5e.
Solución. La ecuación es lineal, pues podemos reescribirlacomo y ′ − y = ex . Primero resolvemos la correspondienteecuación homogénea y ′ − y = 0 separando las variables:
dy
dx= y ⇒ dy
y= dx ⇒ log y = x+C ⇒ y = Kex
Buscamos entonces la solución general de la formay = K (x) ex .
![Page 152: Diapositivas Ec.diferenciales](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051109/548606b9b4af9f7d0d8b4fa4/html5/thumbnails/152.jpg)
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Hallar la solución particular de la ecuación y ′ = ex + y
con y(1) = 5e.
Solución. La ecuación es lineal, pues podemos reescribirlacomo y ′ − y = ex . Primero resolvemos la correspondienteecuación homogénea y ′ − y = 0 separando las variables:
dy
dx= y ⇒ dy
y= dx ⇒ log y = x+C ⇒ y = Kex
Buscamos entonces la solución general de la formay = K (x) ex . Derivando y sustituyendo en la ecuación seobtiene:
ex = y ′−y = K ′(x) ex+K (x) ex−K (x) ex = K ′(x) ex ⇒⇒ K ′(x) = 1 ⇒ K (x) = x + C
![Page 153: Diapositivas Ec.diferenciales](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051109/548606b9b4af9f7d0d8b4fa4/html5/thumbnails/153.jpg)
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Hallar la solución particular de la ecuación y ′ = ex + y
con y(1) = 5e.
Solución. La ecuación es lineal, pues podemos reescribirlacomo y ′ − y = ex . Primero resolvemos la correspondienteecuación homogénea y ′ − y = 0 separando las variables:
dy
dx= y ⇒ dy
y= dx ⇒ log y = x+C ⇒ y = Kex
Buscamos entonces la solución general de la formay = K (x) ex . Derivando y sustituyendo en la ecuación seobtiene:
ex = y ′−y = K ′(x) ex+K (x) ex−K (x) ex = K ′(x) ex ⇒⇒ K ′(x) = 1 ⇒ K (x) = x + C
y por tanto la solución general es y(x) = (x + C ) ex
![Page 154: Diapositivas Ec.diferenciales](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051109/548606b9b4af9f7d0d8b4fa4/html5/thumbnails/154.jpg)
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Hallar la solución particular de la ecuación y ′ = ex + y
con y(1) = 5e.
Solución. La ecuación es lineal, pues podemos reescribirlacomo y ′ − y = ex . Primero resolvemos la correspondienteecuación homogénea y ′ − y = 0 separando las variables:
dy
dx= y ⇒ dy
y= dx ⇒ log y = x+C ⇒ y = Kex
Buscamos entonces la solución general de la formay = K (x) ex . Derivando y sustituyendo en la ecuación seobtiene:
ex = y ′−y = K ′(x) ex+K (x) ex−K (x) ex = K ′(x) ex ⇒⇒ K ′(x) = 1 ⇒ K (x) = x + C
y por tanto la solución general es y(x) = (x + C ) ex
Sustituyendo ahora la condición inicial5e = y(1) = (1 + C ) e
![Page 155: Diapositivas Ec.diferenciales](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051109/548606b9b4af9f7d0d8b4fa4/html5/thumbnails/155.jpg)
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Hallar la solución particular de la ecuación y ′ = ex + y
con y(1) = 5e.
Solución. La ecuación es lineal, pues podemos reescribirlacomo y ′ − y = ex . Primero resolvemos la correspondienteecuación homogénea y ′ − y = 0 separando las variables:
dy
dx= y ⇒ dy
y= dx ⇒ log y = x+C ⇒ y = Kex
Buscamos entonces la solución general de la formay = K (x) ex . Derivando y sustituyendo en la ecuación seobtiene:
ex = y ′−y = K ′(x) ex+K (x) ex−K (x) ex = K ′(x) ex ⇒⇒ K ′(x) = 1 ⇒ K (x) = x + C
y por tanto la solución general es y(x) = (x + C ) ex
Sustituyendo ahora la condición inicial5e = y(1) = (1 + C ) e, obtenemos C = 4
![Page 156: Diapositivas Ec.diferenciales](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051109/548606b9b4af9f7d0d8b4fa4/html5/thumbnails/156.jpg)
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Ejemplo
Hallar la solución particular de la ecuación y ′ = ex + y
con y(1) = 5e.
Solución. La ecuación es lineal, pues podemos reescribirlacomo y ′ − y = ex . Primero resolvemos la correspondienteecuación homogénea y ′ − y = 0 separando las variables:
dy
dx= y ⇒ dy
y= dx ⇒ log y = x+C ⇒ y = Kex
Buscamos entonces la solución general de la formay = K (x) ex . Derivando y sustituyendo en la ecuación seobtiene:
ex = y ′−y = K ′(x) ex+K (x) ex−K (x) ex = K ′(x) ex ⇒⇒ K ′(x) = 1 ⇒ K (x) = x + C
y por tanto la solución general es y(x) = (x + C ) ex
Sustituyendo ahora la condición inicial5e = y(1) = (1 + C ) e, obtenemos C = 4, luego lasolución pedida es y(x) = (x + 4) ex .
![Page 157: Diapositivas Ec.diferenciales](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051109/548606b9b4af9f7d0d8b4fa4/html5/thumbnails/157.jpg)
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Ejemplo
Hallar la solución general de la ecuación y ′ = 2x (y + ex2
).
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Ejemplo
Hallar la solución general de la ecuación y ′ = 2x (y + ex2
).
Solución. La ecuación es lineal, pues podemosreescribirla como y ′ − 2xy = 2xex
2
.
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Ejemplo
Hallar la solución general de la ecuación y ′ = 2x (y + ex2
).
Solución. La ecuación es lineal, pues podemosreescribirla como y ′ − 2xy = 2xex
2
. Comenzamosresolviendo y ′ − 2xy = 0 separando las variables
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Ejemplo
Hallar la solución general de la ecuación y ′ = 2x (y + ex2
).
Solución. La ecuación es lineal, pues podemosreescribirla como y ′ − 2xy = 2xex
2
. Comenzamosresolviendo y ′ − 2xy = 0 separando las variables:
dy
dx= 2xy ⇒ dy
y= 2x dx ⇒ log y = x2 + C
⇒ y = Kex2
![Page 161: Diapositivas Ec.diferenciales](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051109/548606b9b4af9f7d0d8b4fa4/html5/thumbnails/161.jpg)
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Ejemplo
Hallar la solución general de la ecuación y ′ = 2x (y + ex2
).
Solución. La ecuación es lineal, pues podemosreescribirla como y ′ − 2xy = 2xex
2
. Comenzamosresolviendo y ′ − 2xy = 0 separando las variables:
dy
dx= 2xy ⇒ dy
y= 2x dx ⇒ log y = x2 + C
⇒ y = Kex2
Buscamos entonces la solución general de la formay = K (x) ex
2
.
![Page 162: Diapositivas Ec.diferenciales](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051109/548606b9b4af9f7d0d8b4fa4/html5/thumbnails/162.jpg)
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Ejemplo
Hallar la solución general de la ecuación y ′ = 2x (y + ex2
).
Solución. La ecuación es lineal, pues podemosreescribirla como y ′ − 2xy = 2xex
2
. Comenzamosresolviendo y ′ − 2xy = 0 separando las variables:
dy
dx= 2xy ⇒ dy
y= 2x dx ⇒ log y = x2 + C
⇒ y = Kex2
Buscamos entonces la solución general de la formay = K (x) ex
2
. Derivando y sustituyendo en la ecuación seobtiene:
2x ex2
= y ′−2xy = K ′(x) ex2
+K (x) ex2
2x−2x K (x) ex2
=
= K ′(x) ex2
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Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Hallar la solución general de la ecuación y ′ = 2x (y + ex2
).
Solución. La ecuación es lineal, pues podemosreescribirla como y ′ − 2xy = 2xex
2
. Comenzamosresolviendo y ′ − 2xy = 0 separando las variables:
dy
dx= 2xy ⇒ dy
y= 2x dx ⇒ log y = x2 + C
⇒ y = Kex2
Buscamos entonces la solución general de la formay = K (x) ex
2
. Derivando y sustituyendo en la ecuación seobtiene:
2x ex2
= y ′−2xy = K ′(x) ex2
+K (x) ex2
2x−2x K (x) ex2
=
= K ′(x) ex2
luego K ′(x) = 2x y así K (x) = x2 + C
![Page 164: Diapositivas Ec.diferenciales](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022051109/548606b9b4af9f7d0d8b4fa4/html5/thumbnails/164.jpg)
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Salvador
Sánchez-Pedreño
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Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Hallar la solución general de la ecuación y ′ = 2x (y + ex2
).
Solución. La ecuación es lineal, pues podemosreescribirla como y ′ − 2xy = 2xex
2
. Comenzamosresolviendo y ′ − 2xy = 0 separando las variables:
dy
dx= 2xy ⇒ dy
y= 2x dx ⇒ log y = x2 + C
⇒ y = Kex2
Buscamos entonces la solución general de la formay = K (x) ex
2
. Derivando y sustituyendo en la ecuación seobtiene:
2x ex2
= y ′−2xy = K ′(x) ex2
+K (x) ex2
2x−2x K (x) ex2
=
= K ′(x) ex2
luego K ′(x) = 2x y así K (x) = x2 + C , de modo que lasolución general es
y(x) = (x2 + C ) ex2