AREAS

Definición: una región poligonal es la unión de un polígono y su interior.

Definición: una región circular es la unión de una circunferencia y su interior.

Definición: una región es:

(1) La unión de un número finito de regiones poligonales o circulares, o bien:(2) La intersección de un número finito de regiones poligonales y circulares con la intersección de sus interiores no vacía, o bien:(3) La unión de un número finito de combinaciones de los tipos (1) o (2).

Postulados de áreas de regiones

P1: A cada región le corresponde un único número real positivo.

P2: Si dos triángulos son congruentes, entonces la regiones determinados por ellos tienen la misma área.

P3: Si la intersección de los interiores de dos regiones es vacía, entonces el área de la unión de las dos regiones es igual a la suma de las áreas de cada una de ellas.

R a la región R se le puede asociar un único número real positivo a(R) llamado área de la región R.

T1 T2 T1 T2 a(T1) = a (T2)

P4: El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de su lado.

R2 int(R1)int(R2) = a(R1R2) = a(R1)+ a(R2) R1

C C cuadrado con lado de longitud l a(C) = l2

l

Cálculo de áreas de ciertas regiones poligonales

Demostración:Indicación Formalizar la siguiente idea:Armar un “rompecabezas “ mediante regiones yuxtapuestas como en la figura adjunta, usar los postulados sobre áreas y el cuadrado de un binomio.

A B

CD

a

b

a

b

TeoremaEl área de una región rectangular es el producto de las longitudes de los lados del rectángulo que la delimitan.

A B

CDDado: ABCD rectángulo que delimita región R AB = a BC = bDemostrar: área(R) =ab

a

bR

Cálculo de áreas de ciertas regiones poligonales

Teorema:El área de una región delimitada por un paralelogramo es el producto de las longitudes de un lado y de la altura correspondiente a dicho lado.

Demostración:Indicación Formalizar la siguiente idea:Si se traza el segmento CF perpendicular al prolongación del lado AB se obtiene un triángulo rectángulo CFB congruente con AED y un rectángulo EFCD de área ah , luego por el problema 24 de la página 199…

A B

CD Dado: ABCD paralelogramo que delimita región P AB = a DE AB DE = hDemostrar: área(P) =ah

a

PE

h

A B

CD

ah P

E F

Cálculo de áreas de ciertas regiones poligonales

Teorema:El área de una región delimitada por un triángulo es el semiproducto de las longitudes de un lado y de la altura correspondiente a dicho lado.

Demostración:Indicación Formalizar la siguiente idea:Por el vértice B se traza recta paralela al lado AC y por el vértice C una recta paralela al lado AB. Se forma así un paralelogramo ABEC, y dos triángulos congruentes ABC y ECB.

T

Dado: ABC triángulo que delimita la región T AB = c CD AB CD = hDemostrar: área(T) =ch/2 D

c

A B

C

hT

D

c

A B

C

hT

E

Cálculo de áreas de ciertas regiones poligonales

Corolario 1:El área de una región poligonal regular es el semiproducto de su apotema lateral por su perímetro.

Corolario 2:Todos los triángulos que tienen respectivamente congruentes un lado y la altura correspondiente a dicho lado tienen la misma área.

Indicaciones:(1)Escriba, haciendo referencia a una figura, lo dado y lo que debe demostrarse(2)Visualice y formalice la siguiente idea: si el polígono regular tiene n lados, uniendo el centro con cada uno de los vértices del polígono se forman n triángulos con “base” cada lado y altura la apotema.

Indicaciones:(1)Escriba, haciendo referencia a una figura, lo dado y lo que debe demostrarse.(2)Aplique la fórmula que permite calcular el área de una región triangular.

Cálculo de áreas de ciertas regiones poligonales

DefiniciónLa altura de un trapezoide es el segmento perpendicular a las bases del trapezoide y con sus extremos en dichas bases. Teorema:El área de una región trapezoidal es el semiproducto entre la longitud de la altura y la suma de las longitudes de sus bases.

Dado: ABCD trapecio AB || CD AB = b1 , CD = b2

DE AB , DE = hDemostrar: a(T) = h(b1+b2)/2

Demostración:Trace una diagonal del trapecio, por ejemplo CA, obteniendo dos triángulos ABC y ACD con bases b1 y b2 y altura común h

A B

CD

E

b1

b2

hT

A B

CD

E

b1

b2

h

Cálculo de áreas de ciertas regiones poligonales

Teorema:Si dos triángulos son semejantes, entonces la razón de sus áreas es igual a la razón entre los cuadrados de las longitudes entre dos lados correspondientes o igual a la razón entre los cuadrados de dos alturas correspondientes cualesquiera.

Dado: ABC PQR BD y QS alturas correspondientes Demostrar: a( ABC)/a( PQR)=AC2/PR2=BD2/QS2

4. Sustituyendo convenientemente (*) en (**) se tiene la tesis.

Demostración: (Indicaciones)1.Los triángulos BDC y QSR son semejantes ¿Por qué?

(*)PR

AC

QR

BC

QS

BD2. Luego se tiene, por ejemplo:

(**)QSPR

BDAC

2

QSPR2

BDAC

)PQRΔ(a

)ABCΔ(a

3.