Diagonalizacion

Matrices Semejantes y Diagonalizacin

Julio Csar Barraza Bernaola.

Universidad Nacional de Ingeniera (UNI)Lima - Per

Febrero 2013

Csar Barraza (Universidad Nacional de Ingeniera (UNI) Lima - Per)Matrices Semejantes y Diagonalizacin Febrero 2013 1 / 14

Definicin de Matrices Semejantes

DefinicinSean A y B dos matrices de orden n n con elementos sobre el campo F. Siexiste una matriz P de orden n n invertible tal que

B = P1AP

decimos que A y B son semejantes sobre el campo F


Matriz Diagonalizable

DefinicinUna matriz cuadrada A es diagonalizable si existe una matriz diagonal D delmismo orden tal que A es semejante a D

TeoremaUna matriz A de orden n es diagonalizable si y solo si A tiene n vectores propioslinealmente independientes

TeoremaUna matriz cuadrada A es diagonalizable si y solo si la multiplicidad aritmetica ygeomtrica de cada valor propio son iguales.


Polinomios Caractersticos de Matrices Semejantes

TeoremaDos matrices semejantes tienen el mismo polinomio caracteristico


Matrices Simtricas y Diagonalizacin Ortogonal

TeoremaSea A una matriz simtrica real de orden n. Entonces A tiene solo valores propiosreales

TeoremaSea A una matriz simtrica real. Si u, v son vectores propios correspondientes avalores propios diferentes 1 y 2. Entonces los vectores propios u, v son ortogonales.


Matrices Simtricas y Diagonalizacin Ortogonal

TeoremaSea A una matriz simetrica real. Entonces existe una matriz ortogonal P talqueD = PTAP es una matriz diagonal.


Clculo de la matriz que diagonaliza ortogonalmenteuna matriz simtrica

1 Encontrar una base para cada espacio propio de A

2 Ortonormalizar cada base utilizando el proceso de Gram-Schdmidt3 Formar la matriz P cuyas columnas son los vectores ortonormalizados en

el paso anterior.



1 Encontrar una base para cada espacio propio de A2 Ortonormalizar cada base utilizando el proceso de Gram-Schdmidt

3 Formar la matriz P cuyas columnas son los vectores ortonormalizados enel paso anterior.



1 Encontrar una base para cada espacio propio de A2 Ortonormalizar cada base utilizando el proceso de Gram-Schdmidt3 Formar la matriz P cuyas columnas son los vectores ortonormalizados en

el paso anterior.


Definicin de una ecuacin cuadratica

DefinicinUna ecuacin cuadrtica en dos variables x, y es una ecuacin de la forma

ax2 + 2bxy+ cy2 + dx+ ey+ f = 0

Nota1 f es el trmino constante

2 dx+ ey es el trmino lineal3 ax2 + 2bxy+ cy2 es la forma cuadrtica




ax2 + 2bxy+ cy2 + dx+ ey+ f = 0

Nota1 f es el trmino constante2 dx+ ey es el trmino lineal

3 ax2 + 2bxy+ cy2 es la forma cuadrtica




ax2 + 2bxy+ cy2 + dx+ ey+ f = 0

Nota1 f es el trmino constante2 dx+ ey es el trmino lineal3 ax2 + 2bxy+ cy2 es la forma cuadrtica


Expresin matricial de la forma cuadrtica

La forma cuadrticaax2 + 2bxy+ cy2

puede ser expresada como

x y

Axy

donde A es una matriz simtrica definida por

A =a bb c


Ecuacin Cuadrtica de n variables

DefinicinUna ecuacin de la forma

f (x) =n

i=1

n

j=1

aijxixj +n

i=1

bixi + c = 0

donde aij, bi, c son reales, es llamado una ecuacin cuadrtica de n variables

En forma matricial puede ser escrito como

f (x) = xTAx+ bTx+c = 0


Diagonalizacin de una forma cuadrtica

Empezaremos por resolver el problema

f (x) = xTAx+ c = 0

donde A es una matriz simetrica

Teorema

Sea xTAx una forma cuadrtica en x =x1 x2 xn

T donde A es unamatriz simtrica real. Entonces existe un cambio de coordenadasy = PTx =

y1 y2 yn

T tal quexTAx = yTDy =1y21 + 2y

22 + + ny2n

donde P es una matriz ortogonal y PTAP = D


Inercia de la matriz simtrica

DefinicinLa inercia de una matriz simtrica es una tripleta de enteros denotado porIn (A) = (p, q, r) donde

p : es el nmero de valores propios positivos de Aq : es el nmero de valores propios negativos de Ar : es el nmero de valores propios nulos de A


Determinacin de la seccin conica asociada a laforma cuadrtica

Considerando la ecuacin cuadrtica xTAx = c, para n = 2

In (A)(p, q, r) c > 0 c = 0(2, 0, 0) elipse un punto(1, 1, 0) hiprbola dos lineas intersectando en el origen(1, 0, 1) dos lineas paralelass una linea


Determinacin de la seccin conica asociada a laforma cuadrtica

Considerando la ecuacin cuadrtica xTAx = c, para n = 3

In (A)(p, q, r) c > 0 c = 0(3, 0, 0) elipsoide un punto(2, 1, 0) hiprboloide de una hoja cono eliptico(2, 0, 1) cilindro eliptico una linea(1, 2, 0) hiprboloide de dos hoja cono eliptico(1, 1, 1) cilindro hiperbolico dos planos que se intersectan(1, 0, 2) dos planos paralelos un plano


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