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Razones trigonomtricas

En esta leccin

Conocers las razones trigonomtricas seno, cosenoy tangente

Usars las razones trigonomtricas para encontrar las longitudes lateralesdesconocidas en tringulos rectngulos

Usars las funciones trigonomtricas inversas para encontrar las medidasdesconocidas de ngulos en tringulos rectngulos

Lee hasta el Ejemplo A de tu libro. En tu libro se explica que en cualquiertringulo rectngulo con un ngulo agudo de una medida dada, la razn entre lalongitud del cateto opuesto al ngulo y la longitud del cateto adyacente al nguloes igual. La razn se llama la tangente del ngulo. En el Ejemplo A se usa elhecho de que tan 31 35 para resolver un problema. Lee el ejemplo atentamente.

Adems de la tangente, los matemticos han dado nombre a otras cinco razonesrelacionadas con las longitudes laterales de los tringulos rectngulos. En este

libro, trabajars con tres razones: el seno, el coseno y la tangente, abreviados sin,cos y tan. Estas razones se definen en las pginas 641642 de tu libro.

Investigacin: Tablas trigonomtricas

Mide las longitudes laterales de ABC, redondeandoal milmetro ms cercano. Despus usa las longitudeslaterales y las definiciones de seno, coseno ytangente para llenar la fila Primer de la tabla.Expresa las razones como decimales, redondeandoa la milsima ms cercana.

Ahora usa tu transportador para dibujar un tringulo rectngulo diferente ABC,con mA 20 y mC 70. Mide los lados redondeando a la milsima mscercana y llena la fila Segundo de la tabla.

Calcula el promedio de cada razn y anota los resultados en la ltima fila dela tabla. Busca patrones en tu tabla. Debes encontrar que sin 20 cos 70 y

sin70

cos 20. Tambin observa que tan 20

tan

1

70

y tan 70

tan

1

20

. Usalas definiciones de seno, coseno y tangente para explicar por qu existen estasrelaciones.

Puedes usar tu calculadora para encontrar el seno, coseno o tangente de cualquierngulo. Experimenta con tu calculadora hasta que lo logres. Despus usa tucalculadora para encontrar sin 20, cos 20, tan 20, sin 70, cos 70 y tan 70.Compara los resultados con las razones que encontraste midiendo los lados.

mA sinA cos A tan A mC sin C cos C tan CPrimer 20 70

Segundo 20 70

Promedio

B

C

A20

70

L E C C I N

12.1CONDENSADA

Discovering Geometry Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 12 161

(contina

2008 Kendall Hunt Publishing

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Leccin 12.1 Razones trigonomtricas (continuacin)

Puedes usar las razones trigonomtricas para encontrar longitudes lateralesdesconocidas de un tringulo rectngulo, dadas las medidas de cualquier lado ycualquier ngulo agudo. Lee el Ejemplo B de tu libro y despus lee el Ejemplo Aa continuacin.

EJEMPLO A Encuentra el valor de x.

Solucin Necesitas encontrar la longitud del cateto adyacente al ngulo de 42. Se te dala longitud de la hipotenusa. La razn trigonomtrica que relaciona el catetoadyacente con la hipotenusa es la razn coseno.

cos42 1x1

11 cos 42 x Multiplica ambos lados por 11.

8.17 x Usa tu calculadora para encontrar cos 42 y multiplica el resultado por 11.

El valor de xes aproximadamente 8.2 cm.

Si conoces las longitudes de cualesquier dos lados de un tringulo rectngulo,puedes usar las funciones trigonomtricas inversaspara encontrar las medidasde los ngulos. En el Ejemplo C de tu libro se muestra cmo usar la funcintangente inversa, o tan1. En el ejemplo siguiente se usa la funcin seno inverso,o sin1.

EJEMPLO B Encuentra la medida del ngulo opuesto al cateto de 32 pulgadas.

Solucin Se te dan las longitudes del cateto opuesto al ngulo y la hipotenusa. La raznque relaciona estas longitudes es la razn seno.

sin z 3724

sin1(sin z) sin13724 Saca el seno inverso de ambos lados.z sin13724 La funcin inversa del seno revierte la funcin del seno.z 25.6 Usa tu calculadora para encontrar sin137

24.

La medida del ngulo opuesto al lado de 32 pulgadas es aproximadamente 26.

32 pulg74 pulg

z

42

11 cm

x

162 CHAPTER 12 Discovering Geometry Condensed Lessons in Spanish


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Resolucin de problemas contringulos rectngulos

En esta leccin

Usars la trigonometra para resolver problemas que incluyen tringulosrectngulos

La trigonometra de los tringulos rectangulos seutiliza frecuentamente para encontrar la altura deun objeto alto de manera indirecta. Para resolverun problema de este tipo, mide el ngulo desde lahorizontal hasta tu recta de visin, cuando veas laparte superior o inferior del objeto.

Si miras hacia arriba, medirs el ngulo de elevacin.Si miras hacia abajo, medirs el ngulo de depresin.

En el ejemplo de tu libro se usa el ngulo de elevacinpara encontrar una distancia de manera indirecta. Lee el ejemplo atentamente.

Intenta resolver el problema por tu cuenta, antes de leer la solucin. Despus tratade resolver los problemas de los ejemplos siguientes. El Ejemplo A es el Ejercicio 13en tu libro y tiene que ver con un ngulo de depresin.

EJEMPLO A El sonar de un barco de salvamento localiza los restos de un naufragio en unngulo de depresin de 12. Un buzo es bajado 40 metros hasta el fondo delmar. Cunto necesita avanzar el buzo por el fondo para encontrar los restosdel naufragio?

Solucin Haz un dibujo para ilustrar la situacin.Observa que como el fondo del mar es

paralelo a la superficie del agua, el ngulode elevacin desde los restos del naufragiohasta el barco es igual al ngulo dedepresin desde el barco hasta los restosdel naufragio (segn la conjetura AIA).

La distancia que el buzo es bajado (40 m) es la longitud del cateto opuesto alngulo de 12. La distancia que el buzo necesita avanzar es la longitud delcateto adyacente al ngulo de 12. Establece la razn tangente.

tan12 4d0

dtan 12 40

dtan40

12

d 188.19

El buzo necesita avanzar aproximadamente 188 metros para llegar a los restos delnaufragio.

12

12

ngulo de depresin

40 m

d

Horizontal

Horizontal

ngulo de depresin

ngulo de elevacinA

B

L E C C I N

12.2CONDENSADA


(contina


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Leccin 12.2 Resolucin de problemas con tringulos rectngulos (continuacin)

EJEMPLO B Un rbol de hoja perenne est sostenido por un alambre que se extiende desde1.5 pies debajo de la parte superior del rbol hasta una estaca en el suelo. Elalambre mide 24 pies de largo y forma un ngulo de 58 con el suelo. Qualtura tiene el rbol?

Solucin Haz un dibujo para ilustrar la situacin.

La longitud de la hipotenusa est dada, y la distancia desconocida es la longituddel lado opuesto al ngulo de 58. Establece la razn seno.

sin 58 2x4

24 sin 58 x

20.4 x

La distancia desde el suelo hasta el punto donde el alambre se sujeta al rbol esaproximadamente 20.4 pies. Como el alambre se sujeta a 1.5 pies debajo de laparte superior del rbol, la altura es aproximadamente 20.4 1.5, 21.9 pies.

x

1.5 pies

24 pies

58



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La Ley de los senos

En esta leccin

Encontrars el rea de un tringulo cuando conoces las longitudes de doslados y la medida del ngulo incluido

Derivars la Ley de los senos, que relaciona las longitudes laterales de untringulo con los senos de las medidas de los ngulos

Usars la Ley de los senos para encontrar una longitud lateral desconocidade un tringulo cuando conoces las medidas de dos ngulos y un lado, opara encontrar una medida desconocida de un ngulo agudo, cuandoconoces las medidas de dos lados y un ngulo

Has usado la trigonometra para resolver problemas que tienen que ver con lostringulos rectngulos. En las siguientes dos lecciones vers que puedes usar latrigonometra con cualquiertringulo.

En el Ejemplo A de tu libro, se dan las longitudes de dos lados de un tringulo

y la medida del ngulo incluido, y se muestra cmo encontrar el rea. Lee elejemplo atentamente. En la siguiente investigacin generalizars el mtodo usadoen el ejemplo.

Investigacin 1: rea de un tringulo

En el Paso 1 se dan tres tringulos con las longitudes de dos lados y la medida delngulo incluido rotulada. Usa el Ejemplo A como gua para encontrar el rea decada tringulo. He aqu una solucin de la parte b.

b. Primero encuentra h.

sin72 2h1

21 sin72 h

Ahora encuentra el rea.

A 0.5bh

A 0.5(38.5)(21 sin72)

A 384.46

El rea es aproximadamente 384 cm2.

Despus usa el tringulo que se muestra en el Paso 2 para derivar una frmula

general. La conjetura siguiente resume los resultados.

Conjetura SAS del rea de un tringulo El rea de un tringulo est dadapor la frmula A 1

2ab sin C, donde ay bson las longitudes de dos lados y

Ces el ngulo entre ellos.

L E C C I N

12.3CONDENSADA


(contina

C-100


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Leccin 12.3 La Ley de los senos (continuacin)

Puedes usar lo que has aprendido para derivar la propiedad que se llama la Leyde los senos.

Investigacin 2: La Ley de los senos

Completa los Pasos 13 de tu libro. A continuacin se muestran los resultadosque debes encontrar.

Paso 1 sin B ha, de manera que h asin B

Paso 2 sin A hb, de manera queh bsin A

Paso 3 Como ambos bsin A y asin Bson iguales a h, puedes igualarlos.

bsin A asin B

bsainb

A

asainb

B Divide ambos lados entre ab.

sina

A

sinb

B Simplifica.

Ahora completa los Pasos 46. Combina los Pasos 3 y 6 para obtener esta

conjetura.

Ley de los senos Dado un tringulo con ngulos A, By Cy lados delongitudes a, b y c(aopuesto a A, b opuesto a By copuesto a C),

sina

A

sinb

B

sinc

C.

El Ejemplo B de tu libro muestra cmo usar la Ley de los senos para encontrarlas longitudes laterales de un tringulo cuando conoces la longitud de un lado

y las medidas de dos ngulos. Intenta resolver el problema por tu cuenta, antesde leer la solucin.

Lee el texto anterior al Ejemplo C, donde se explica que puedes usar la Ley delos senos para encontrar la medida de un ngulo faltante solamente si sabes si elngulo es agudo u obtuso. Slo se te pedir que encuentres medidas de ngulosagudos. En el Ejemplo C se muestra cmo hacer esto. He aqu otro ejemplo.

EJEMPLO Encuentra la medida del ngulo agudo C.

Solucin Usa la Ley de los senos.

sina

A

sinc

C

sin Cc si

a

n A

sin C48 s

6in0

72

C sin148 s6in0 72C 49.54

La medida de Ces aproximadamente 50.

A B

C

72

60 cm

48 cm


C-101


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La Ley de los cosenos

En esta leccin

Usars la Ley de los cosenos para encontrar las longitudes laterales y lasmedidas de los ngulos en un tringulo

Has resuelto muchos problemas usando el Teorema de Pitgoras. El Teorema dePitgoras es una herramienta muy poderosa para resolver problemas, pero estlimitada a los tringulos rectngulos. Hay una relacin ms general que se aplica atodos los tringulos.

Piensa en un ngulo recto formado por una bisagra con dos catetos de longitudfija como lados. Qu le ocurre a la longitud del tercer lado (la hipotenusacuando el ngulo mide 90) y a la relacin pitagrica a medida que la bisagra secierra hasta ser menor que un ngulo rectngulo o se abre ms que un ngulorectngulo? Para explorar esta pregunta, observa los tringulos en la partesuperior de la pgina 661 y lee los siguientes prrafos, incluyendo la Ley de los

cosenos. Agrega la Ley de los cosenos a tu lista de conjeturas.La Ley de los cosenos funciona para los tringulos agudos y obtusos. Lee laderivacin de la Ley de los cosenos para los tringulos agudos en la pgina 662 detu libro. En el Ejemplo A, la Ley de los cosenos se usa para hallar la longitud deltercer lado de un tringulo cuando se te dan las longitudes de dos lados y lamedida de su ngulo incluido. Lee el Ejemplo A de tu libro. Luego completa lospasos del Ejemplo A siguiente.

EJEMPLO A Encuentra m, la longitud del lado NLen el LMNacutngulo.

Solucin Usa la Ley de los cosenos y resuelve para m.

c2 a2 b2 2abcos C La Ley de los cosenos.

m2 962 842 2(96)(84)(cos 77) Sustituye cpor m, apor 96,bpor 84 y Cpor 77.

m 962 842 2(96)(84)(cos 77) Saca la raz cuadrada positiva de ambos lados.

m 112.45 Halla el valor numrico.

La longitud del lado NL

es aproximadamente 112 cm.

M

m

N

L

77

96 cm

84 cm

L E C C I N

12.4CONDENSADA


(contina


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Leccin 12.4 La Ley de los cosenos (continuacin)

En el Ejemplo B de tu libro se usa la Ley de los cosenos para encontrar unamedida de ngulo. He aqu otro ejemplo. Resuelve el problema por tu cuentaantes de leer la solucin.

EJEMPLO B Encuentra la medida de Ien TRI.

Solucin Usa la Ley de los cosenos y resuelve para I.

c2 a2 b2 2abcos C La Ley de los cosenos.

452 512 422 2(51)(42)(cos I) Sustituye cpor 45,apor 51,bpor 42 y Cpor I.

cos I

45

22(5511)

2

(424)2

2

Resuelve para cosI.

I cos1452

2(5511)

2

(

424)

22 Saca el coseno inverso de ambos lados.

I 56.89 Halla el valor numrico.

La medida de Ies aproximadamente 57.

T R

I

51 cm

45 cm

42 cm



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Resolucin de problemascon trigonometra

En esta leccin

Usars la trigonometra para resolver problemas, incluso aquellos que tienenque ver con los vectores

Algunas de las aplicaciones prcticas de la trigonometra tienen que ver con losvectores. En actividades vectoriales previas, usaste una regla y un transportadorpara medir el tamao del vector resultante y el ngulo entre los vectores. Ahorapodrs calcular los vectores resultantes usando la Ley de los senos y la Ley de loscosenos.

En el ejemplo de tu libro, se usa la Ley de los cosenos para encontrar la longitudde un vector resultante y la Ley de los senos para encontrar su direccin. Lee elejemplo y asegrate de que comprendes cada paso.

El ejemplo siguiente es el Ejercicio 5 de tu libro. Intenta resolver el problema portu cuenta, antes de leer la solucin.

EJEMPLO Annie y Sashi estn acampando en la Sierra Nevada. Caminan 8 km desde sucampamento base, con un rumbo de 42. Despus del almuerzo, cambian dedireccin con un rumbo de 137 y caminan otros 5 km.

a. A qu distancia estn Annie y Sashi de su campamento base?

b. Con qu rumbo deben caminar Sashi y Annie para regresar a sucampamento base?

Solucin a. Dibuja un diagrama para ilustrar lasituacin. (Recuerda que un rumbo se

mide en el sentido de las manecillas delreloj, desde el norte.) Aqu la distanciadesde el campamento base es r. Paraencontrar r, puedes encontrar el valorde y luego usar la Ley de los cosenos.

Considera como formada por dos partes,la parte a la izquierda de la vertical y laparte a la derecha. Usando la conjeturaAIA, la parte a la izquierda tiene unamedida de 42. Como la parte a la derecha

y el ngulo de 137 son un par lineal, la parte a la derecha tiene una medida de

43. Por lo tanto, la medida de es 42

43, u 85. Ahora usa la Ley de loscosenos.

r2 82 52 2(8)(5)(cos 85)

r82 52 2(8)(5)(cos 85)

r 9.06

Sashi y Annie estn aproximadamente a 9.1 km de su campamento base.

8 km

NN

E

5 km

42

137

r

Campamentobase

L E C C I N

12.5CONDENSADA


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Leccin 12.5 Resolucin de problemas con trigonometra (continuacin)

b. Aade al diagrama la informacin que encontraste en la parte a.

El diagrama indica que el rumbo que Sashi y Annie deben tomar para regresaral campamento base es 360 (43 ). Para encontrar , usa la Ley de lossenos.

sin8si9

n.0865

sin8 s

9in.06

85

sin18 s9in.0685 61.6

es aproximadamente 62, as que el rumbo es aproximadamente360 (43 62), 255.

8 km

9.06 km

N

5 km

42

42 43

43Rumbo pararegresar alcampamento base

137

N

Campamentobase

N

E



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