D E T E R M I N A N T E S

En esta seccin definiremos qu es el determinante de una matriz cuadrada y analizaremos algunas

de sus propiedades ms importantes. Para arribar a una definicin genrica relativamente simple,

haremos primero un listado de conceptos previos, como los de matriz complementaria, menor

complementario y adjunto. No presentaremos en este apartado las demostraciones de todas las

propiedades, algunas de ellas sern pedidas como ejercicios y otras las aceptaremos, de todos

modos, en la bibliografa podr encontrarlas.

Matriz complementaria

Se llama matriz complementaria del elemento ija de una matriz cuadrada

nnA x =

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

, con 1n , a la submatriz que se obtiene de eliminar la fila i y la

columna j de A

Notacin ijM

Ejemplos:

A=

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

de donde 23M =

444241

343231

141211

aaa

aaa

aaa

A=

739

352

920

de donde

39

5213M

Definicin

El determinante de una matriz cuadrada A es un nmero real al que representaremos A tal que

1111 1

1121

122111

1111

111

nMaMaMaA

aAA

nn

nn

Observacin: Se puede dar una definicin anloga por una fila en lugar de por una columna

Ejemplos:

4A 4A

42

11A 624112411

42

11 1211

A

Menor complementario

Se llama menor complementario del elemento ija , de una matriz cuadrada de orden mayor que 1, al

determinante de la matriz complementaria ijM : ijM

Ejemplo:

42

11A 1122 M

Adjunto

Se llama adjunto del elemento ija , de una matriz cuadrada de orden mayor que 1, al menor

complementario de ija multiplicado por ji1 , o sea

jiijA

1 ijM

Ejemplo:

42

11A

44.11 1111

11

MA

11.11 2112

21

MA

22.11 1221

12

MA

Por lo cual la definicin de determinante quedara as:

11121211111

11111

nAaAaAaA

aaAA

nnn

A partir de la definicin vamos a ver encontrar formas rpidas de calcular determinantes de

orden 2, 3, etc.

1) Orden 2

122122112112

211111

112221

1211.1..1.11 aaaaMaMa

aa

aaA

Conclusin

122122112221

1211aaaa

aa

aa

Ejemplo:

2712156.23.532

65

2) Orden 3

3113

312112

211111

11

333231

232221

131211

111 MaMaMa

aaa

aaa

aaa

A

2322

131231

3332

131221

3332

232211

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaaA

221331231231321321331221322311332211 aaaaaaaaaaaaaaaqaa

402432.25.63.21367.2235

62.1

73

622

73

350

731

352

620

Formas alternativas de calcular los de orden 3

Regla de Sarrus

Solo para calcular determinantes de orden 3

Se repiten las dos primeras filas abajo (o columnas a la derecha)

232221

131211

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

A

Se multiplican los elementos de las diagonales y se suman los resultados y se multiplican los

elementos de las diagonales y se restan los resultados.

211233113223312213231231133221332211 aaaaaaaaaaaaaaaqaa

Ejemplo:

021

102

521

031

102

= 2.3.5+1.2.1+ 1 .0.0 -1.3.(-1) -0.2.2 -5.0.1 = 30+2+3 = 35

http://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)

Otra forma de plantearlo (la llamada forma de la estrella).

En este ltimo caso, para acordarnos de todos los productos posibles y sus correspondientes signos

en lugar de usar la Regla de Sarrus, usamos el esquema grfico siguiente, en el cual algunos

productos mantendrn su signo (sealados como productos positivos) y los otros cambian de

signo (a los que llamamos en el esquema productos negativos):

896

213

162

61722716)6)(2(6)1.(9.38.1.2

896

213

162

1141443668.6.39).2(2)6.(1).1(

de donde

896

213

162

= 61 114 = - 53

3) Orden 4

Desarrollamos por una fila o columna (alternando el signo).

En este caso desarrollaremos por la primera columna:

123

050

120

.2

031

050

120

0

031

123

120

.2

031

123

050

.1

0312

1230

0502

1201

contrario

signosignocontrario

signosigno

Usando el mtodo para calcular determinantes de orden 3 resulta 730185

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/biografias/pfsarrus.html

Otra forma: podramos primero aplicar propiedades de los determinantes para lograr 0 en una fila o

columna:

(-2) (2)

de donde

7

271

123

290

.1

2710

1230

2900

1201

0312

1230

0502

12011

.

columna

pordesarr

0312

1230

0502

1201

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

Todas las propiedades enunciadas a continuacin para filas valen para columnas

1) Si dos matrices tienen todas sus filas iguales menos una, la suma de sus determinantes es otro

determinante que tiene las mismas filas iguales a la de los sumandos y la fila distinta se obtiene

sumando los elementos correspondientes de los sumandos.

nnnn

inii

n

nnnn

inii

n

aaa

bbb

aaa

aaa

aaa

aaa

21

21

11211

21

21

11211

nnnn

ininiiii

n

aaa

bababa

aaa

21

2211

11211

Ejemplo:

250

871

321

A

250

945

321

B entonces

250

17114

321

BA

2) Si en una matriz se intercambian 2 filas entre s, el determinante cambia de signo

nnn

jnj

ini

n

aa

aa

aa

aa

A

1

1

1

111

nnn

ini

jnj

n

aa

aa

aa

aa

B

1

1

1

111

BA

Ejemplo:

321

032

540

540

032

321

3) una matriz con dos filas iguales tiene determinante nulo

Dem:

Si cambio las dos filas de la matriz el determinante cambia de digno por propiedad anterior. Pero

como las filas son iguales, las matrices son iguales y tienen es el mismo determinante

O sea 002

AA

BA

y

BA

Ejemplo:

0

549

321

321

4) Si en una matriz multiplicamos todos los elementos de una fila por un nmero, su determinante

queda multiplicado por ese nmero.

Ejemplo:

2

540

694

642

540

694

321

5) Si matriz tiene todos los elementos de una fila 0, su determinante es 0

Dem:

)1

21

11211

21

11211

000

nnnn

n

nnnn

n

aaa

bbbbbb

aaa

aaa

aaa

4

21

11211

21

11211

nnnn

n

nnnn

n

aaa

bbb

aaa

aaa

bbb

aaa

0

21

11211

21

11211

nnnn

n

nnnn

n

aaa

bbb

aaa

aaa

bbb

aaa

Ejemplo:

0

540

000

321

6) Si una matriz tiene una fila que es combinacin lineal de las otras filas entonces su determinante

es 0.

Ejemplo:

0

0132

694

321

pues 2F1+ F2= F3

7) El determinante de una matriz no vara al sumar a una fila otra multiplicada por un nmero real

nnn

jnj

ini

n

aa

aa

aa

aa

A

1

1

1

111

)1

1

11

1

111

nnn

injnij

ini

n

aa

paapaa

aa

aa

B

nnn

jnj

ini

n

aa

aa

aa

aa

1

1

1

111

+ )4

1

1

1

111

nnn

ini

ini

n

aa

papa

aa

aa

nnn

jnj

ini

n

aa

aa

aa

aa

1

1

1

111

+ )3

1

1

1

111

nnn

ini

ini

n

aa

aa

aa

aa

p

nnn

jnj

ini

n

aa

aa

aa

aa

1

1

1

111

0p = A

aa

aa

aa

aa

nnn

jnj

ini

n

1

1

1

111

Ejemplo:

2

614

741

412

A

1430

741

412

8) El determinante de una matriz no vara al sumar a una fila una combinacin lineal de las

restantes.

Ejemplo:

2

1

614

741

412

A

2460

741

412

9) determinante de una matriz es igual al de su transpuesta

TAA

Ejemplo:

615

741

412

=

674

1.41

512

10) El producto de los determinantes de 2 matrices es igual al determinante del producto de las

matrices

ABBA

Ejemplo:

60123

2042

24

01

33

12

24

01

33

12

69

26

-9.(-2) = 36-18

18 =18

11) TTT ABAB

12) invertible es A det( 0A

Por lo tanto para que exista la inversa de una matriz su determinante debe ser distinto de 0

Ejemplo:

Sea

43

21A como 02

43

21A entonces existe .1A Calcularla

Aplicacin:

Una aplicacin importante de los determinantes es a la solucin de sistemas de ecuaciones lineales

en las cuales el nmero de ecuaciones es igual al nmero de las incgnitas. De hecho, el concepto

de determinante se origin en el estudio de tales sistemas de ecuaciones. El resultado principal,

conocido como regla de Cramer, se establece en el teorema (para sistemas de 3cuaciones, pero es

vlido para sistemas de n ecuaciones):

3333

2222

1111

kzcybxa

kzcybxa

kzcybxa

Sea

333

222

111

cba

cba

cba

el determinante de los coeficientes y sean

333

222

111

1

cbk

cbk

cbk

,

333

222

111

2

cka

cka

cka

y

333

222

111

3

kba

kba

kba

Entonces si 0 , el sistema dado tiene la solucin nica dada por

1x

2y

3z

Si 0 no puede afirmarse nada

Ejemplo:

42

52

123

zyx

zyx

zyx

018

121

112

213

,

18

124

115

211

1

, 36

141

152

213

2

, 18

421

512

113

3

Entonces 118

18x , 2

18

36y y 1

18

18

z

Ejercicios de Determinantes

Prxima Seccin: Espacios Vectoriales Volver al inicio.

ejer_determinantes.pdf