DETERMINACION DE EXPONENTES CRITICOS EN EL …
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DETERMINACION DE EXPONENTES
CRITICOS EN EL SISTEMA DE LA
ALEACION MAGNETICA AMORFA
FeCrCuNbSiB
Ing. Físico
JUAN CARLOS HERNANDEZ PARRA
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales,
Grupo de Magnetismo y Materiales Avanzados
Manizales (Caldas), Colombia
2015
DETERMINACION DE EXPONENTES
CRITICOS EN EL SISTEMA DE LA
ALEACION MAGNETICA AMORFA
FeCrCuNbSiB
Ing. Físico
JUAN CARLOS HERNANDEZ PARRA
Tesis o trabajo de investigación presentada(o) como requisito
parcial para optar al título de:
Magister en Ciencias - Físicas
Director (a):
Ph.D. Andrés Rosales Rivera
Línea de Investigación:
Magnetismo Y Materiales Avanzados
Grupo de Investigación:
Grupo de Magnetismo y Materiales Avanzados
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales,
Grupo de Magnetismo y Materiales Avanzados
Manizales (Caldas), Colombia
2015
“La verdadera lógica de este mundo
está en el cálculo de las
probabilidades”
James Clerk Maxwell
A mis padres, a mi familia, a mis
amigos, y a todos los que contribuyeron
con este logro.
Agradecimientos
El autor quiere expresar su agradecimiento a las siguientes
personas por la contribución en el desarrollo de este trabajo:
A mi familia que me ha permitido iniciar este proyecto para
mi formación personal en las formas en que les ha sido
posible.
Al profesor Andrés Rosales que me ha iniciado en este camino
con sus ideas, las cuales hemos logrado desarrollar y que
nos han traído grandes beneficios y satisfacciones.
A la vida por permitirme conseguir los objetivos que con mi
esfuerzo he podido lograr.
A todas las personas que de una u otra forma han contribuido
para que haya podido lograr las metas propuestas
inicialmente y durante este trabajo.
IX
Resumen
La clase de universalidad del sistema de aleación amorfa
Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9. con x = 0, 2, 4, 6, 8, and 10 se estudió
mediante la determinación de los exponentes críticos β y ; y la determinación de las temperaturas críticas de cada una de las
muestras por medio de sus medidas de magnetización en función
temperatura. Los valores de β muestran una dependencia cuasi-
lineal con el contenido de Cromo en las muestras, además, se
observó que el sistema cambia de universalidad pasando de un
modelo Ising (muestra con x=0), XY (muestra con x=2) terminando
finalmente en el modelo de Heisenberg (muestra con x=4). Para las
muestras con alto contenido de cromo (muestras con x=6,8 y 10), el
sistema se aleja de cualquiera de las clases de universalidad
mencionadas anteriormente. Los valores encontrados para el
exponente fueron de 3.8 y 6.1. Así mismo se analizó los posibles mecanismos que conducen a las mencionadas clases de universidad
tales como: interacción espín-orbita, anisotropías de forma,
intercambio directo e itinerante.
Palabras Clave: Transiciones de Fase, Cintas Amorfos, Exponentes
Críticos, Vidrios Metálicos
X DETERMINACION DE EXPONENTES CRITICOS EN EL SISTEMA DE LA
ALEACION MAGNETICA AMORFA FeCrCuNbSiB
Determination of critical exponents on
FeCrNbCuSiB amorphous ribbons
Abstract
The universality classes of Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 amorphous alloy
system with x = 0, 2, 4, 6, 8, and 10 are studied by determining
the critical exponents β and and critical temperatures from
magnetization measurements. The β value shows a quasi-linear
dependence on the Chromium content and, interestingly it goes
through values that belong to the Ising (sample with x=0), XY
(sample with x = 2) and Heisenberg (sample with x = 4) models,
respectively, before finally deviating of any of these models in
the high x region (samples with x = 6, 8 and 10). The value found varies between 3.8 and 6.1. The possible mechanisms leading
to such universality classes including the spin-orbit interaction,
shape anisotropies, direct exchange and itinerant exchange was
analyzed.
Keywords: Metallic glasses, FeCrNbCuSiB amorphous ribbons, Curie
temperature, Critical exponents, Universality class, Phase
transitions
11
Contenido Pág.
Resumen ................................................................................................................................................................ IX
Lista de figuras .................................................................................................................................................... 13
Lista de tablas...................................................................................................................................................... 14
Lista de Símbolos y abreviaturas ................................................................................................................... 15
Introducción ........................................................................................................................................................ 16
1. Fundamento Teórico ................................................................................................................................ 18 1.1 Fenómenos Críticos ...................................... 18
1.1.1 Variables Críticas ................................. 18 1.1.2 Transiciones de Fase ............................... 18 1.1.3 Temperatura Crítica ................................ 19 1.1.4 Exponentes Críticos ................................ 19
1.2 Efecto Hall ............................................. 19 1.3 Interacción de Intercambio .............................. 19
1.3.1 Interacción Indirecta .............................. 20 1.3.2 Interacción Directa ................................ 20
1.4 Interacción Dipolar Magnética ........................... 21 1.5 Interacción Espín-Orbita ............................... 21 1.6 Formación de Dominio .................................... 21 1.7 Efecto Mössbauer ........................................ 21
2. Materiales y Método Experimental ...................................................................................................... 23 2.1 Método para determinar los Exponentes Críticos .......... 23 2.2 Algoritmo Seudocódigo para calcular los Exponentes
Críticos ..................................................... 24
3. Resultados y Discusión ............................................................................................................................ 25
4. Interpretación y Conclusiones .............................................................................................................. 37
5. El METODO ................................................................................................................................................. 39
5.1 Teoría Utilizada ...................... 39 5.2 Historia del Desarrollo ................................. 39
6. Recomendaciones ..................................................................................................................................... 42 6.1 Recomendaciones ......................................... 42
12 DETERMINACION DE EXPONENTES CRITICOS EN EL SISTEMA DE LA
ALEACION MAGNETICA AMORFA FeCrCuNbSiB
A. Anexo: Producción bibliográfica ........................................................................................................... 43
B. Anexo: Participación en Eventos ........................................................................................................... 43
C. Anexo: Código fuente usado en el método ......................................................................................... 45
Bibliografía ........................................................................................................................................................... 48
Contenido 13
Lista de figuras Pág.
Figura 1. (a,b) Resultado experimental (símbolo) y ajustado (línea) para
la magnetización en función de temperatura en el sistema Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 con x= 8 y 0 para diferentes campos. 25
Figura 2. (a) Gráfica de β como función del campo para el sistema Fe73.5-
xCrxCu1Nb3Si13.5B9 con x= 0, 4 y 8 para diferentes campos obtenidos del
ajuste individual de las Ec. 1 y 2 a los datos experimentales M(T). (b)
gráfica de la amplitud del parámetro m0 en la Ec. (1) normalizado por la
máxima magnetización Mmax obtenida en T = 300 K. 26
Figura 3. Resultado de β como función del contenido de Cromo en el sistema Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9. 28
Figura 4. Resultado de Taver como función del contenido de cromo en el
sistema Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 . La escala derecha corresponde al ajuste lineal
del campo Hiperfino medio en función del contenido de cromo para las
distribuciones <BHF>1 y <BHF>2 (véase el contenido principal en el texto). 31
Figura 5. Desviación Estándar de la distribución de Tc como función del
campo magnético en el sistema Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 . Con x=0,4 y 8 obtenidas
ajustando los datos experimentales M(T) a las ecuaciones (1) y (2); la
línea corresponde al juste por mínimos cuadrados de la Ec.(3). 33
Figura 6. Gráfico Logarítmico de la diferencia CT - 0
CT como función del
campo magnético en el sistema Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9. 0
CT Fue obtenido del
resultado del ajuste en la Ec.(3). 33
Figura 7. Espectro Mössbauer con temperatura ambiente en el sistema Fe73.5-
xCrxCu1Nb3Si13.5B9 con x=0,2,4,6,8 y 10. Grafica derecha. Distribuciones
correspondientes a fases amorfas a “alto” campo medio (línea azul) y
bajo campo medio (línea verde). Grafica izquierda se muestran las
distribuciones. 35
Figura 8. Tiempo de evolución del algoritmo para el cálculo de los
exponentes críticos para cuando se hacía una modificación buscando el
perfeccionamiento y optimización de la ejecución del código. 39
Figura 9. Tiempo de evolución del algoritmo para el cálculo de los
exponentes en función del tiempo usado en el desarrollo. 39
Figura 10. Comparación de los exponentes calculados por Matlab y Origin.
Inset: diferencia calculada en H = 3.5(kOe). 40
14 DETERMINACION DE EXPONENTES CRITICOS EN EL SISTEMA DE LA
ALEACION MAGNETICA AMORFA FeCrCuNbSiB
Lista de tablas Pág.
Tabla1. Comparación de los exponentes críticos para el sistema de aleación
Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 y los reportados para el Hierro puro de los modelos Ising,
X-Y y Heisenberg. También se incluyen las temperaturas críticas para este
sistema. 27
Tabla2 .Resultados obtenidos de los datos en las gráficas Mössbauer. 1 y 2
corresponden a los parámetros de las distribuciones amorfas. Los valores
fueron reportados. 35
Contenido 15
Lista de Símbolos y abreviaturas Esta sección se listará los símbolos usados para el desarrollo de
este trabajo.
Símbolos con letras latinas Símbolo Término Unidad SI Definición
m0 Parámetro proporcional de la
magnetización
Emu/g ver Ec.1
Taver Temperatura crítica promedio
sobre cada muestra
°𝐾 ver Ec.1
Tc Temperatura Critica de la
muestra
°K Ver Ec. 1
Off
Parámetro de corrección para el
ajuste a los datos
Experimentales
Emu/g Ver Ec. 1
a Constante universal para cada
muestra
1 Ver Ec. 3
Símbolos con letras griegas Símbolo Término Unidad SI Definición
βExponente Critico asociado a la
magnetización
1 Ver ec. 1
Exponente crítico asociado con
el campo magnético y la
temperatura
1 Ver ec. 3
Exponente Critico asociado a el
campo magnético y magnetización
1 Ver ec. 3
Subíndices Subíndice Término
aver Promedio
c Crítico
0 Proporcional de magnetización
Superíndices Superíndice Término
β Exponente, Característico del
material
0 Contribución Intrínseca
16 DETERMINACION DE EXPONENTES CRITICOS EN EL SISTEMA DE LA
ALEACION MAGNETICA AMORFA FeCrCuNbSiB
Introducción Las transiciones de fase ocurren en una amplia diversidad de
sistemas físicos, como lo son los materiales ferro-eléctricos,
líquidos, cristales, magnéticos, superconductores, superfluidos,
etc. [1,2,3]. Éstos se han convertido en objeto de interés general
en La Física de la Materia Condensada y en la Física Estadística.
Las transiciones de fase en el estado crítico han sido descritas
mediante diferentes métodos que incluyen el cálculo de exponentes
críticos, temperaturas críticas, hipótesis de escalamiento, y
técnicas de grupos de renormalización[2,3]. La temperatura crítica
Tc Desempeña un papel principal en la determinación de los
exponentes críticos asociados a las transiciones de fase.
Particularmente, para una transición de fase de un material
ferromagnético a uno paramagnético, la temperatura crítica ha
estado basada en los conocidos diagramas de Arrot y el método
Kouvel-Fisher [4,5]; estos métodos fueron introducidos a finales
de 1950 y a mediados de 1960, respectivamente. Dichos métodos
funcionan bien para materiales ferromagnéticos homogéneos, los
cuales pueden ser cuantificados en función de una sola temperatura
crítica TC. Sin embargo, existen dificultades cuando se quieren
aplicar estos métodos a materiales ferromagnéticos amorfos [2].
Por ejemplo, las heterogeneidades en los materiales amorfos
conducen a una variación de la Tc cambiando de esta forma el
comportamiento crítico, en algunos casos significativamente. La
Determinación de la temperatura crítica en materiales
ferromagnéticos amorfos y el conocimiento de sus efectos sobre el
comportamiento crítico que ocurre en ellos, son un notable
problema en Física de la Materia Condensada y a su vez se
convierte en un interrogante para las aplicaciones de los
materiales magnéticos. En las últimas tres décadas dos nuevas
aproximaciones para tratar este problema han sido propuestas. Una
es considerar la amorficidad del material como una distribución
Gaussiana del intercambio de interacciones [6] y otra es hacer uso
de la distribución de la temperatura crítica, que a su vez es
asociada a la heterogeneidad del sistema [7,8].
Las cintas de aleaciones de FeCuNbSiB han tenido un interés
tecnológico desde su introducción a finales de 1980 [9], debido a
su alta magnetización de saturación [10], a su alta
magnetostriccion constante [11-13], efecto Hall [14], proceso de
magnetización estructural y dominio de estructura [15-17], y
propiedades magnéticas a baja temperatura [16-18], y
comportamientos magnéticos a alta temperatura [19]. Recientes
estudios [19,20] en los que se analiza el efecto de sustituir el
átomo de Cromo por el átomo de Hierro en el sistema Fe73.5-
xCrxCu1Nb3Si13.5B9 indican que la temperatura de Curie Tca(x) en el
estado amorfo disminuye con el incremento del contenido de Cromo.
Contenido 17
Con este trabajo pretendo investigar qué cambios ocurren en el
sistema cuando es incrementando el contenido de cromo con x=
0,2,4,6,8 y 10, mediante la determinación de algunos de los
exponentes críticos a campo cero utilizando las medidas de
magnetización en función de temperatura. La presente investigación
reveló que el sistema Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 de aleación en estado
amorfo presenta los comportamientos Ising, XY y Heisenber
asociados a la magnetización con el incremento del contenido de
cromo, así como también, el cambio en la temperatura de transición
se ve afectado cuando se le incrementa el contenido de Cromo sobre
el sistema.
18 DETERMINACION DE EXPONENTES CRITICOS EN EL SISTEMA DE LA
ALEACION MAGNETICA AMORFA FeCrCuNbSiB
1. Fundamento Teórico
Más allá de ser un completo fundamento teórico, el cual está fuera
de los alcances de este trabajo, en esta sección del documento
introduciremos los principales conceptos mínimos requeridos e
involucrados para el entendimiento de la tesis. Es por tanto deber
del lector la consulta de los demás fundamentos que considere le
hagan falta para la mejor comprensión del trabajo.
1.1 Fenómenos Críticos
Las transiciones de fase donde las propiedades de los sistemas no
son analíticas cerca de un punto crítico son todos los llamados
fenómenos críticos.
1.1.1 Variables Críticas
Son todas las variables involucradas en la caracterización y
descripción de la singularidad de un determinado ensamble o
sistema cuando ocurre una transición de fase.
1.1.2 Transiciones de Fase
Las transiciones de fase son definidas como un punto en el
parámetro de espacio donde los potenciales termodinámicos pueden
ser no analíticos en el límite termodinámico, cuando se asume que
el sistema es un sistema infinito. El que sea no analítico surge
solamente en el límite termodinámico. Las transiciones que ocurren
en singularidades o abruptas son todas las transiciones de tipo
ideal. En un diagrama usual de presión vs temperatura se
encuentran los puntos críticos una para la temperatura y otro para
la presión.
Contenido 19
Fig(i). Diagrama típico de temperatura y presión del material. Igor Herbut – A modern aproach to critical phenomena pag.16
1.1.3 Temperatura Crítica
La temperatura crítica se definirá como la temperatura en la cual
el parámetro de orden, como ejemplo la magnetización en el caso de
un sistema magnético o como ejemplo la densidad en el caso de un
sistema líquido, cambia completamente sus dimensiones de forma
abrupta en este punto.
1.1.4 Exponentes Críticos
También llamados índices críticos son números constantes
universales que describen la singularidad de un sistema cuando
ocurre una transición de fase y que conformarían una constante
universal para el sistema estudiado.
1.2 Efecto Hall
Conocido efecto que ocurre cuando se aplica un voltaje en un
material en presencia de un campo magnético y que da lugar a un
voltaje conocido como voltaje Hall que es perpendicular al voltaje
aplicado.
1.3 Interacción de Intercambio
Conocido fenómeno que ocurre cuando los electrones se solapan sus
funciones de onda cuando están muy próximos y está relacionado con
la repulsión a corto alcance entre átomos o moléculas, y que
impide que la materia colapse. Este fenómeno esta descrito por la
mecánica cuántica, en esencia, es la energía de los electrones o
20 DETERMINACION DE EXPONENTES CRITICOS EN EL SISTEMA DE LA
ALEACION MAGNETICA AMORFA FeCrCuNbSiB
iones cuando estos se encuentran muy cercanos y depende de la
simetría de sus orbitales, de su distribución en el espacio, y por
tanto de la orientación relativa de sus espines, y de sus momentos
angulares intrínsecos.
Aunque existen varios tipos de interacciones de intercambio en
este documento recordaremos algunas, que consideramos pertinentes
y que se involucran en la explicación de los resultados obtenidos
en este trabajo.
1.3.1 Interacción Indirecta
También conocida como la Interacción RKKY, es un mecanismo de
acoplamiento de momento angular entre momentos magnéticos fijos a
través de electrones deslocalizados, es una manera de establecer
un canje indirecto entre núcleos alejados entre sí por una
distancia conocida y que se puede describir mediante un
Hamiltoniano específico.
𝐽(𝑟) ≈ 𝐹(2𝑘𝑓𝑟) 𝐹(𝑥) =−𝑥 cos 𝑥+ sin 𝑥
𝑥4 (i)
1.3.2 Interacción Directa
Cuando la dinámica interna de un proceso no se conoce bien, o
cuando es demasiado compleja como para tratarla explícitamente, es
muy habitual el uso de hamiltonianos de modelos aproximados, que
se basan en una mecánica ficticia y simplificada para, reproducir
los valores de interés. Entre estos modelos tenemos: el
hamiltoniano para el modelo Ising, Heisenberg y Modelo XY.
�̂� = − ∑ 𝐽𝑖𝑗𝑠𝑖 𝑠𝑗 − 𝐵 ∑ 𝑠𝑖𝑁𝑖
𝑁𝑖,𝑗 (ii)
𝑠𝑖= valor espín en el i-ésimo sitio en la red. 𝑠𝑗: j-ésimo sitio
del vecino más próximo con el que se interactúa. 𝐽𝑖𝑗 Constante de
intercambio entre i-ésimo sitio con j-ésimo vecino. 𝐵= cantidad proporcional a la intensidad del campo Magnético del i-ésimo
sitio.
Tomando s como un vector para el modelo de Ising: s = s[si],
solamente posee una sola componente. Para el modelo XY s posee dos
componentes y sus posibles combinaciones: s = s[sx , sy]; y para el
modelo Heisenberg s posee tres componentes y sus posibles
combinaciones s= s[sx sy sz].
Contenido 21
1.4 Interacción Dipolar Magnética
Una de las interacciones que puede desempeñar un papel importante
en las interacciones de largo alcance es la interacción dipolar
magnética. Ésta se presenta cuando tenemos dos momentos de dipolo
magnético 𝝁𝟏 y 𝝁𝟐 separados por una distancia r donde tenemos
que la energía será igual a:
𝑬 =𝝁𝟎
𝟒𝝅𝒓𝟑[𝝁𝟏 ∙ 𝝁𝟐 −
𝟑
𝒓𝟐(𝝁𝟏 ∙ 𝒓)(𝝁𝟏𝟐 ∙ 𝒓)] (iii)
1.5 Interacción Espín-Orbita
Es la interacción magnética (cuántica) entre un momento magnético
de espín y un momento magnético orbital. Uno de los efectos que
tiene es diferenciar la energía de los estados internos del átomo,
por ejemplo de espín alineado o anti alineado con el movimiento
orbital, que de otra forma serían idénticos en energía. Esta
interacción es responsable de muchos detalles de la estructura
atómica. La interacción espín-órbita así considerada está
directamente relacionada con el desdoblamiento a campo nulo y con
el factor g de Landé.
1.6 Formación de Dominio
La formación de dominios en los materiales, aunque tiene un costo
energético, está asociada principalmente con el ahorro de energía
asociada a los campos dipolares, ya que 𝛁 ∙ 𝐇 = −𝛁 ∙ 𝐌, luego siempre
que M se detiene o se inicia, el campo magnético diverge y esto
produce campos desmagnetizantes que llenan este vacío y que tiene
un costo energético por metro cúbico de 𝑩𝟐
𝟐𝝁𝟎⁄ .
1.7 Efecto Mössbauer
El efecto ocurre cuando los rayos gamma son producto de
transiciones nucleares: entre un estado inestable de alta energía,
a un estado de menor energía. La energía del rayo gamma emitido
corresponde a la energía de la transición nuclear, menos la
cantidad de energía que se pierde en el retroceso (o
desplazamiento) del átomo que la emite. Si la "energía de
22 DETERMINACION DE EXPONENTES CRITICOS EN EL SISTEMA DE LA
ALEACION MAGNETICA AMORFA FeCrCuNbSiB
retroceso" que se pierde es pequeña comparada con el ancho de la
energía de la transición nuclear, entonces la energía del rayo
gamma todavía se corresponde con la energía de la transición
nuclear, y el rayo gamma puede ser absorbido por un segundo átomo
del mismo tipo que el primero.
De esta forma es posible obtener información acerca de la energía
de las interacciones magnéticas o de otro tipo que resultan cuando
se hace incidir un rayo sobre la muestra a estudiar y
posteriormente se recolecta la información en un espectro para su
análisis.
Contenido 23
2. Materiales y Método Experimental
Las muestras bajo estudio fueron cintas preparadas amorfas
(aproximadamente 30 µm de espesor) de Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 con x=
0,2,4,6,8 y 10 crecidas por la técnica del melt spinning. El
estado amorfo de cada muestra fue corroborado mediante difracción
de rayos X (XRD) usando un difractómetro Rigaku Miniflex II con
una radiación CuKα (λ= 1.5405 A°) en un rango entre 20° y 100°
(20º ≤2ϴ ≤ 100º) y pasos de 0.02 s^-1. La magnetización como
función de la temperatura de cada muestra fue obtenida mediante un
magnetómetro de muestra vibrante (VSM- VersaLab by Quantum Desing)
fijando campos magnéticos externos (H). H fue aplicado paralelo a
la dirección longitudinal de las cintas en un rango de 20 Oe – 10
kOe. El rango usado de temperatura para la medición fue de 300 –
950K, abarcando de esta forma un rango de temperaturas más amplio
que el ancho de la distribución de las temperaturas propuesto por
el modelo dentro de cada muestra. Los Datos fueron obtenidos en
pasos consecutivos de temperatura con una precisión de ± 2 mK.
Adicionalmente se realizó una espectroscopia Mössbauer a
temperatura ambiente mediante un sistema MOSSDAQ[21]. La fuente
radiactiva usada fue 𝐶𝑜57 en una matriz Rh con 5 mCi. El análisis
espectral fue realizado con el software NORMOS.
2.1 Método para determinar los Exponentes Críticos
Para determinar los exponentes críticos β, y la temperatura
crítica TC de los materiales estudiados empleamos el método
introducido por las referencias [7, 8]. Este método está basado en
la teoría de superposición lineal. La principal suposición en este
método es que la magnetización como función de la temperatura
puede ser descrita como una distribución en una ley de potencias
centradas en la temperatura critica TC.
CCCT
C
C dTTTTT
TTmTM
C
0
(1)
Donde 0m es un factor proporcional a la magnetización de
saturación, β es el exponente crítico asociado a la magnetización
espontanea. θ(x) es la conocida función Heaviside, la cual
garantiza que valores de magnetización por encima de la
temperatura critica sean anulados (M=0, T > TC). Además, ρ(TC)
es considerado una función específica de distribución para cada
muestra en donde se asume que dicha función es una función
Gaussiana de la forma:
24 DETERMINACION DE EXPONENTES CRITICOS EN EL SISTEMA DE LA
ALEACION MAGNETICA AMORFA FeCrCuNbSiB
2
2
2
1exp
2
1,,
C
averC
C
CaverCT
TT
TTTT
(2)
Donde Taver es considerada como la temperatura de Curie promediada
sobre la muestra y TC es la desviación estándar de la
distribución de TC. Otro modelo importante asumido es, considerar
la variación de la temperatura crítica en función del campo, bajo
la suposición del siguiente modelo:
1
0 aHTHT CC (3)
Donde a es una constante no universal dependiente de la muestra y
= · donde es el exponente crítico isotérmico dado en la relación M(TC, H) ~ H1/. En la expresión (3), el primer término representa la contribución magnética intrínseca del material, que
es independiente del campo, y que está asociado a la variación de
temperatura crítica; lo cual es atribuido a las heterogeneidades
presentes en el material. El segundo término representa el
comportamiento del campo magnético cerca de la transición de fase.
Sintetizando se ha encontrado ref. [7, 8, 22] que este método
permite obtener verdaderos valores de los exponentes críticos
tanto β como y determinar la desviación estándar TC de la
distribución de la temperatura crítica TC de materiales
ferromagnéticos heterogéneos mediante la combinación de diferentes
parámetros ajustables: m0, β, TaverTC.
2.2 Algoritmo Seudocódigo para calcular los Exponentes Críticos
Se debe primero ingresar los valores experimentales en forma
apropiada para el programa que vaya a ser usado en el
regresión no lineal de la Ec.(1).
Se debe crear la o las funciones necesarias que representen
completamente la dinámica de la Ec. (1) y Ec.(3).
Se deben indexar los parámetros iniciales para la búsqueda
de los mejores parámetros finales que mejor ajusten la Ec.
(1) a los datos Experimentales.
Se grafican los datos experimentales con los valores
encontrados y se extraen todos los parámetros del ajuste.
Contenido 25
3. Resultados y Discusión
Ajustando las ecuaciones (1), (2) y (3) a los datos experimentales
de magnetización en función de temperatura M(T) para diferentes
campos, se obtuvieron los parámetros m0, β, Taver,TC y . Los resultados experimentales y numéricos de la magnetización como función de la
temperatura en las muestras con x= 0 y x=8 son presentados en las
figuras 1(a) y (b), respectivamente. El ajuste obtenido de los
respectivos métodos numéricos a los datos experimentales resulta
de tal precisión que su parámetro estadístico, que mide la calidad
del ajuste (R-square), es de un valor de 0.99 como mínimo para
cada una de las muestras. Como se aprecia es claro que cuando la
temperatura incrementa, la magnetización disminuye a cero a través
de una pequeña curvatura en una temperatura crítica no está
definida (un rango de temperaturas); temperaturas en la cual el
sistema presenta una transición de fase ferromagnética –
paramagnética, y es aquí donde nos hemos enfocado en determinar
los exponentes críticos β y asociados con esta transición.
Figura 1. (a,b) Resultado experimental (símbolo) y ajustado
(línea) para la magnetización en función de temperatura en el
sistema Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 con x= 8 y 0 para diferentes campos.
Temperatura (K)
26 DETERMINACION DE EXPONENTES CRITICOS EN EL SISTEMA DE LA
ALEACION MAGNETICA AMORFA FeCrCuNbSiB
Figura 2. (a) Gráfica de β como función del campo
magnético para el sistema Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 con x= 0, 4 y 8 para diferentes campos obtenidos del ajuste
individual de las Ec. 1 y 2 a los datos experimentales
M(T). (b) gráfica de la amplitud del parámetro m0 en
la Ec.(1) normalizado por la máxima magnetización Mmax
obtenida en T = 300 K.
Campo Magnético (kOe)
Contenido 27
Tabla 1. Comparación de los exponentes críticos para el sistema de aleación
Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 y los reportados para el Hierro puro de los modelos Ising, X-Y y
Heisenberg. También se incluyen las temperaturas críticas para este sistema.
Material = · Taver
(K) Refs. Fe
73.5Cu
1Nb
3Si
13.5B
9 0.337 0.010 2.062
0.363
6.12 0.27
613.76 21.50
Aquí
Fe71.5
Cr2Cu
1Nb
3Si
13.5B
9 0.352 0.005 1.967
0.219
5.59 0.01
567.82 22.90
Aquí
Fe69.5
Cr4Cu
1Nb
3Si
13.5B
9 0.365 0.005 1.550
0.533
4.25 0.44 543.48 22.70
Aquí
Fe67.5
Cr6Cu
1Nb
3Si
13.5B
9 0.388 0.005 1.481
0.267
3.82 0.10
500.27 25.36
Aquí
Fe65.5
Cr8Cu
1Nb
3Si
13.5B
9 0.401 0.003 1.836
0.270
4.58 0.13
460.71 24.60
Aquí
Fe63.5
Cr10
Cu1Nb
3Si
13.5B
9 0.423 0.052 1.932
0.454
4.57 0.40
388.95 26.46
Aquí
Fe 0.33 0.015 4.22 0.1 23 0.363 ± 0.004 4.66 0.15
a 1045.86 0.02
24
0.389 ± 0.005 4.35 0.05 1044 0.20 25 3-d Ising 0.32648
0.00018
4.82 0.01a
26
0.3258
0.0014 27
3-d X-Y 0.345 28 3-d Heisenberg 0.3645
0.0025 4.80 0.04
a 29
a Valores obtenidos de la relación de las leyes de escala δ = 1 + /β
Los resultados obtenidos para β y m0/Mmax como función del campo magnético en las muestras con x=0, x=4, y x=8, se muestran en las
figuras 2(a) y 2(b), respectivamente; donde Mmax será la máxima
magnetización usada en todo el rango del ajuste. Todas las curvas
exhiben una tendencia similar. Cuanto más se incrementa el campo,
los valores de β y m0/Mmax,, muestran al inicio una notable
dependencia con el campo hasta cierto valor Hlow (aproximadamente
hasta 800 Oe en cada muestra). Por encima de este valor, esta
dependencia resulta muy pequeña obteniendo un valor cuasi -
constante de β y δ como función del campo. Este comportamiento para altos campos resulta consistente, dentro de la precisión
limitada experimentalmente con las suposiciones teóricas
involucradas en el desarrollo de las ecuaciones (1) y (2) en las
28 DETERMINACION DE EXPONENTES CRITICOS EN EL SISTEMA DE LA
ALEACION MAGNETICA AMORFA FeCrCuNbSiB
cuales, para β y m0/Mmax no presentan dependencia con el campo. Por otra parte, este resultado no serviría para campos bajos ya que
este comportamiento difiere de estas suposiciones. Este
comportamiento puede ser asociado al hecho en el cual cuando un
material magnético está en presencia de un campo magnético bajo,
no todos los dominios están completamente alineados con el campo.
Como fue primero señalado por Kouvel [4] y posteriormente
corroborado por Aharony [6] donde una condición esencial para
determinar los exponentes críticos en materiales ferromagnéticos
es que todos sus dominios están alineados con el campo aplicado.
Esta condición también es experimentada por nuestras muestras,
debido su naturaleza de muestras amorfas, ya que a campos bajos
los valores de magnetización que existe en la muestra localmente
no implican que estén totalmente influenciados por el campo
aplicado. De acuerdo con esto, los valores de β que hemos
determinado han sido mediante la extrapolación hacia campo cero
de curvas β vs H en las regiones de campo alto (H > Hlow). Los
valores de β obtenidos de esta forma son presentados en la tabla (1) al igual que los valores de = · obtenidos usando la Eq.(3). Los valores para Hierro puro también se anexan para su
comparación.
El efecto del contenido de cromo en las cintas se percibe en el
cambio notable sobre los valores del exponente crítico como se
aprecia en la figura (3).
Los valores de β exhiben una dependencia casi lineal con el
contenido de Cromo, e interesantemente, estos valores pertenecen
a los valores de los modelos de Ising (muestra con x=0), XY
(muestra con x=2) y Heisenberg (muestra con x=4); y para las
muestras con alto contenido de cromo (muestras con x=6,8, y 10),
estas muestras se alejan de las clases de universalidad
mencionadas anteriormente. Los valores encontrados para el
exponente fueron de 3.8 y 6.12, indicándonos que están en el rango de valores determinados experimentalmente (3-6) ref. [1].
Contenido 29
Figura 3. Resultado de β como función del contenido de cromo en el sistema Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 .
Los resultados de β para x=0 son principalmente comparables al modelo de Ising obtenidos teóricamente (0.32648 ± 0.00018) [26],
mediante simulaciones Montecarlo (0.3258 ± 0.0014) [27], y a los
reportados para el hierro (0.33 ± 0.015) [23]; mientras tanto
para las muestras con x=2, dichos valores de β, son muy cercanos con los valores calculados teóricamente (de 0.345) para el modelo
3-d XY [28]. También se obtuvo valores de 0.3645 ± 0.0025 [29]
para la muestra x=4, asociados al modelo 3-d Heisenberg. En el
caso de x=4, el valor también es comparable con el calculado
experimentalmente por N. Stüsser para el Fe (0.363 ± 0.004) ref.
[24]. Al igual que los resultados de β con x=6 y x=8 con los valores de Fe( 0.389 ± 0.005), pero difieren significativamente
con los valores teóricos del modelo 3-d Heisenberg isotrópicos de
próximos vecinos. Ref. [29]. Los resultados para β con x=10 se alejan ampliamente de cualquiera de las universalidad de clases
mencionadas anteriormente. De los resultados obtenidos se concluye
que el sistema de aleación amorfa Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 posee varias
clases de universalidad y que estas cambian cuando se incrementa
el contenido de cromo sobre la muestra. Esto nos ha llevado a
pensar que existen varias interacciones magnéticas presentes en
las cintas pero que aún no es muy claro cuál y como las
interacciones cambian la clase de universalidad.
Primero introduciremos algunos hechos que pueden ser asociados y
nos pueden brindar un entendimiento a este comportamiento del
Contenido Cr (%)
30 DETERMINACION DE EXPONENTES CRITICOS EN EL SISTEMA DE LA
ALEACION MAGNETICA AMORFA FeCrCuNbSiB
sistema de aleación estudiada. En materiales blandos magnéticos
amorfos, la anisotropía varia aleatoriamente de un sitio a otro,
tal como aparece en el modelo conocido como modelo anisotrópico
aleatorio (random anisotropy model) y que se ha tenido en cuenta
[10]. Por otra parte, es conocido que el Hierro posee anisotropía
de ion único (single-ion anisotropy) [30] y exhibe efecto Hall
[31]. Otro hecho es el de la interacción espín – orbita y la
presencia de momentos magnéticos localizados que desempeña un
importante papel en el surgimiento del efecto Hall extraordinario
en materiales magnéticos. Además, normalmente se ha considerado
que el Hierro posee comportamiento magnético cuasi – localizado
[1], mientras que el cromo es un ejemplo de un metal de transición
con un notable carácter magnético itinerante. De esta forma,
anticipamos aquí que los recientes experimentos de efecto Hall
[14] en las mismas muestras usadas en este trabajo, indican la
presencia de efecto Hall extraordinario. Basándonos en los
anteriores hechos podemos considerar que la interacción espín –
orbita está presente en el sistema Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 y que ésta
interacción junto con la anisotropía de ion único o interacciones
con anisotropías de intercambio, incluyendo interacciones cuasi
dipolo o una combinación de ambas, pudieran dar el comportamiento
crítico de naturaleza Ising de la muestra con x=0. La anisotropía
magnética puede también estar relacionada con la anisotropía
magneto – elástica y anisotropías de forma provenientes de la
microestructura, inhomogeneidad, geometría y rugosidad de la
superficie de las cintas. También se puede decir que la forma
anisotrópica puede ser de importancia en este caso ya que las
cintas poseen un espesor pequeño comparado con las dimensiones
lineales (cada cinta tiene dimensión de 4mm de largo con 2mm de
ancho y 30µm de espesor).
Por otra parte, los cambios en los alrededores, y el cambio local
de los átomos de hierro en las distancias interatómicas debido a
la sustitución de átomos de hierro por átomos de cromo, causan un
debilitamiento de la fuerza total de intercambio(que incluyen
interacciones espín – orbita, posible activación de interacciones
isotrópicas como intercambio directo e intercambio itinerante
(Interacción RKKY, JRKKY ∞ COS(2KFr/r 3))), la cual comienza a dominar
sobre las interacciones mencionadas, proporcionando así, la
naturaleza Heisenberg del comportamiento crítico de la muestra con
x=4. Teniendo en cuenta todas estas consideraciones sin embargo,
el intercambio directo es improbable en Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 ya que
éste es débil y puede no ser suficiente la superposición directa
entre los átomos magnéticos más cercanos. En cambio, La
Contenido 31
interacción RKKY puede ser lo suficientemente amplia e isotrópica y
convertirse en un mecanismo importante en la muestra con x=4
debido a que pudieron ocurrir cambios en las distancias
interatómicas como se explicó anteriormente. Este hecho puede ser
explicado por el comportamiento decreciente de los valores del
campo hiperfino medio para los átomos de Fe en el sistema Fe73.5-
xCrxCu1Nb3Si13.5B9, como se observa en espectroscopia Mössbauer sobre
este sistema(ver figura 7). Por otra parte, un balance entre las
interacciones isotrópicas y anisotropicas pudieran dar la
naturaleza 3-d XY al comportamiento crítico para la muestra x=2,
donde esta muestra puede ser un buen ejemplo de un material
magnético que pertenece al modelo 3-d XY, para el cual muy pocos
materiales magnéticos son conocidos. Además, el incremento del
contenido de cromo por encima de x=4, nos produce un fuerte
carácter itinerante del sistema desviando el comportamiento del
sistema de los modelos XY, Heisenberg, e Ising, como ocurren en
las muestras para x= 6, 8, 10. En este caso, el magnetismo del
sistema pudiera principalmente provenir de la itinenrancia en los
electrones cercanos a la superficie de Fermi. Esta interpretación
concuerda con los recientes resultados de los experimentos de
efecto Hall [14], realizados en la misma muestra de Fe73.5-
xCrxCu1Nb3Si13.5B9 en el cual, se encuentra que la contribución del
efecto Hall extraordinario disminuye con el incremento del
contenido de cromo sobre la muestra y que el signo del coeficiente
Hall es positivo en este caso. Es importante recordar que aunque
se han determinado los valores de β y y que esto, no es
suficiente para caracterizar las clases de universalidad de la
muestra. Otro exponente crítico en campo cero es la
susceptibilidad a temperatura constante que nos permitiría
caracterizar más a fondo este sistema pero que aquí no se calcula.
Analizando la discusión mencionada, es importante obtener
información acerca de los parámetros del sistema estudiado. Para
esto, determinamos la temperatura de Curie promediada sobre cada
muestra Taver, ya que la temperatura de Curie está relacionada con
la fuerza de las interacciones de intercambio entre los átomos
magnéticos ya sea para materiales cristalinos o amorfos. Como se
explicó anteriormente Taver y c son parámetros que pueden ser
determinados mediante el ajuste de las Ec. (1) y (2) a los datos
experimentales para cada cinta extrayendo las curvas M(T). Los
resultados para Taver en función del contenido de Cromo se muestran
en la figura (4) y también están incluidos en la Tabla 1. En
general los valores encontrados de Taver para el sistema Fe73.5-
xCrxCu1Nb3Si13.5B9 concuerdan con los reportados en la literatura para
32 DETERMINACION DE EXPONENTES CRITICOS EN EL SISTEMA DE LA
ALEACION MAGNETICA AMORFA FeCrCuNbSiB
el Fe (dentro del error experimental) teniendo en cuenta que esta
aleación es un material metaestable[9].
Figura 4. Resultado de Taver como función del contenido de cromo en el sistema Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 . La escala derecha corresponde
al ajuste lineal del campo medio Hiperfino en función del
contenido de cromo para las distribuciones <BHF>1 y <BHF>2
(véase el contenido principal en el texto).
El decrecimiento de Taver refleja el debilitamiento de la
interacción total de intercambio (incluido la interacción espin-
orbita) con el incremento del contenido de Cromo como se explicó
anteriormente. Este debilitamiento puede interpretarse como el de
la fuerza de interacción entre los momentos de Fe JFe-Fe, y la
aparición de otras interacciones de intercambio entre los momentos
de Fe y los momentos de Cr JFe-Cr; y entre los momentos solo de
Cromo JCr-Cr. Esta interpretación coincide también con los recientes
estudios [32] de la influencia del orden de corto alcance sobre el
magnetismo de las aleaciones Fe-Cr (hecho mediante simulaciones de
estructuras cuasi – aleatorias especiales de Zunger y simulaciones
Montecarlo), las cuales, indican que las energías de intercambio
magnético muestran una dependencia con el contenido de los átomos
magnéticos y la interacción JFe-Fe domina sobre las interacciones
JFe-Cr y JCr-Cr. En este caso las interacciones JFe-Fe son
ferromagnéticas mientras las interacciones JFe-Cr y JCr -Cr son
antiferromagnéticas, tal como en los vidrios de espín que están
asociados con las competencias de interacciones y que se pueden
esperar para las muestras con un alto contenido de Cromo. Estos
hechos pueden también explicar las desviaciones de la clase de
universalidad que son objeto de estudio todavía en el sistema Fe73.5-
xCrxCu1Nb3Si13.5B9 para las muestras con mayor contenido de cromo.
Como se menciona anteriormente la Eq.(3) involucra una
contribución de la inhomogeneidad de la muestra y una contribución
Contenido Cr (%)
Contenido 33
del campo magnético con la variación en la Tc, luego mediante esta
ecuación es posible determinar c0 y . El comportamiento de c
como función del campo magnético para las muestras x=0,4y8 se
muestran en la fig. 5. Cuanto más se incrementa el campo la
variación c se vuelve mayor, hecho esperado debido al efecto del
campo en la transición de fase. En todas las muestras c0 resulta
siendo una fracción del 5% de la temperatura de Curie, Taver,
siendo proporcional a su naturaleza amorfa de la muestra.
Adicionalmente, verificamos la validez de la suposición de la ley
de potencias en la Eq.(3). Usando una gráfica en escalas
logarítmicas de c - c0 como función del campo (ver figura 6),
donde se nota que los datos pertenecen a una línea recta, dentro
de un error experimental para campos superiores a Hmin(superior a
800 Oe para cada muestra), mostrando así, que nuestra suposición
de la ley de potencias es válida para todas las muestras.
Figura 5. Desviación Estándar de la distribución de Tc como
función del campo magnético en el sistema Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 .
Con x=0,4 y 8 obtenidas ajustando los datos experimentales
M(T) a las ecuaciones (1) y (2); la línea corresponde al
juste por mínimos cuadrados de la Ec.(3).
Campo Magnético (kOe)
34 DETERMINACION DE EXPONENTES CRITICOS EN EL SISTEMA DE LA
ALEACION MAGNETICA AMORFA FeCrCuNbSiB
Figura 6. Grafico Logarítmico de la diferencia CT - 0
CT
como función del campo magnético en el sistema
Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9. 0
CT Fue obtenido del resultado del ajuste
en la Ec.(3).
En la figura 7 se muestran los espectros Mössbauer para todas las
muestras y sus correspondientes ajustes. Se ha usado para el
ajuste un modelo con dos distribuciones correspondientes a sondas 57Fe en fase amorfa. Los dos diferentes ambientes para los átomos
de Fe pueden ser atribuidos, a la separación de fase observada en
vidrios metálicos basados en hierro, durante el rápido proceso de
solidificación [33]. La Tabla 2 contiene los parámetros hiperfinos
y proporción relativa involucrada en nuestros ajustes. Como el
contenido de Cromo incrementa se observa una disminución gradual
en el campo hiperfino medio y un incremento en el contenido de la
fase cristalina junto con una variación de las proporciones
relativas para ambas distribuciones amorfas. Los correspondientes
ajustes lineales para el campo hiperfino medio como función del
contenido de cromo para ambas distribuciones se muestran en la
figura 4 (escala a la derecha).
Campo Magnético (kOe)
Contenido 35
Tabla 2 .Resultados obtenidos de los datos en las gráficas Mössbauer. 1 y 2
corresponden a los parámetros de las distribuciones amorfas. Los valores fueron
reportados.
Material <BHF
>1 (T)
< d >1
(mm/s) at.%
probe
<BHF
>2
(T)
< d >2
(mm/s)
at.%
probe
< d >3
(mm/s)
at.%
probe
x = 0 20.4 0.09 65.5 11.9 0.08 33.7 0.06 0.6
x = 2 19.6 0.08 63.0 11.3 0.07 36.4 0.06 0.7
x = 4 19.2 0.08 45.8 10.8 0.07 53.0 0.07 1.2
x = 6 18.6 0.08 41.2 10.2 0.07 57.3 0.07 1.5
x = 8 17.7 0.09 35.7 9.5 0.04 61.1 0.06 3.2
x = 10 17 0.08 21.3 10.3 0.05 74.8 0.04 3.9
36 DETERMINACION DE EXPONENTES CRITICOS EN EL SISTEMA DE LA
ALEACION MAGNETICA AMORFA FeCrCuNbSiB
Figura 7. Espectro Mösbauer a temperatura ambiente en el sistema Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9
con x=0,2,4,6,8 y 10. Grafica derecha. Distribuciones correspondientes a fases
amorfas a alto campo medio (línea azul) y bajo campo medio (línea verde).
Grafica izquierda se muestran las distribuciones de las composiciones de los
átomos.
Contenido 37
4. Interpretación y Conclusiones
Mediante el uso de medidas de magnetización y en conjunto con un
método propuesto se pueden extraer verdaderos valores de
exponentes críticos (β,δ) y determinar la desviación estándar de
la distribución c de la Tc para materiales ferromagnéticos
heterogéneos y además hemos presentado varias características del
comportamiento magnético del sistema de aleación amorfa
Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 para 0≤x≤10. Se ha encontrado también que el
sistema de aleación anterior puede pertenecer a la clase de
universalidad de los modelos magnéticos Ising, XY, y Heisenberg y
que muestran un desplazamiento del comportamiento pasando del
modelo Ising a XY y a Heisenberg. Este desplazamiento es debido a
la competencia entre interacciones anisotrópicas e isotrópicas
introducidas por la presencia del átomo de Cromo. Este sistema
muestra también un alejamiento del comportamiento crítico de las
clases de universalidad para muestras con alto contenido de Cromo.
Este hecho indica que los cambios en la clase de universalidad de
sistema de aleación amorfa Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 esta acompañado, en
cierta forma, por la naturaleza magnética de los átomos de Hierro
y Cromo. De esta forma parece razonable pensar que la presencia
del Cromo puede introducir interacciones de largo alcance debido a
la naturaleza itinerante de sus electrones magnéticos los cuales
pueden explicar el desplazamiento de los comportamientos
magnéticos desde Ising hacia XY y Heisenberg; asi como también, al
alejamiento de estos modelos para las muestras con mayor contenido
de cromo. De hecho cualquier itinerancia (en este caso debida
principalmente a el átomo de Cromo) así fuese débil, introduciría
a amplias desviaciones de las clases de universalidades discutidas
anteriormente. Todos estos hechos sugieren que el magnetismo de
este sistema de aleación proviene de los momentos cuasi-
localizados de los electrones itinerantes cerca de las superficies
de fermi tanto para bajo contenido de cromo (0≤x≤4) como para alto
contenido de cromo (x>4). Esta interpretación es acompañada por
los resultados del signo positivo en las medidas de efecto Hall y
la disminución del efecto Hall extraordinario con el incremento
del contenido de cromo sobre la muestra bajo estudio. Los
resultados de magnetización y Mösbauer indican que el sistema Fe73.5-
xCrxCu1Nb3Si13.5B9 ostenta un arreglo ferromagnético predominante a
temperaturas ambiente exceptuando a la muestra con x=10. Este
hecho en conjunto con los altos valores de β hacen incierta la transición ferromagnética – paramagnética para la muestra con
38 DETERMINACION DE EXPONENTES CRITICOS EN EL SISTEMA DE LA
ALEACION MAGNETICA AMORFA FeCrCuNbSiB
x=10. Este comportamiento puede ser asociado con las interacciones
RKKY, que pudieran ser, ferromagnéticas o antiferromagneticas,
dependiendo de las distancias entre los momentos magnéticos. Luego
de esto, diferentes órdenes magnéticos tales como vidrios de espin
y cluster de espín, asociados con la competencia de interacciones,
se esperarían estén presentes en el sistema Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9 para
altos contenidos de cromo.
En conclusión, el átomo de cromo desempeña un papel central en el
comportamiento magnético del sistema Fe73.5-xCrxCu1Nb3Si13.5B9. Como el
contenido de cromo haya sido incrementado, habrá también un
incremento en el carácter itinerante del sistema y un incremento
en el valor del exponente crítico β; a su vez, se esperará una disminución de la temperatura crítica y del valor de campo
Hiperfino medio como se observó anteriormente en la figura 7.
Para cuando el sistema presenta un bajo contenido de Cromo el
comportamiento de estos vidrios metálicos parece ser más
consistente con modelos de momentos localizados; mientras para
cuando la muestra presenta un alto contenido de cromo, la muestra
pudiera ser explicada mediante modelos de electrón itinerante.
Entender el cruzamiento de este sistema cuando pasa por los
comportamientos Ising, XY y Heisenberg ha sido interesante y un
tema poco explorado. Esperamos que este trabajo pueda incentivar
el estudio del comportamiento crítico magnético de los vidrios
metálicos el cual es poco conocido y poco explorado.
Contenido 39
5. El METODO
5.1 Teoría Utilizada
El método usa la teoría de métodos numéricos para regresiones no
lineales por medio del método de mínimos cuadrados; donde el
principal objetivos es el de encontrar la menor diferencia entre
la curva analítica y la curva experimental.
𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝛽) 𝑟𝑖 = 𝑦𝑖 − 𝑓(𝑥𝑖, 𝛽) 𝑆 = ∑ 𝑟2
Donde 𝑓(𝑥, 𝛽)= la curva teórica generada según los parámetros
𝛽(parámetros del ajuste)
𝑦𝑖 = M(T)= magnetización experimental obtenida por el equipo
S = residuo de restar mínimos cuadrados ambas curvas (teórica -
experimental).
5.2 Historia del Desarrollo
El método se empezó a desarrollar primero con las funciones
básicas de programación como lo son ciclos “for” y con las
secuencias condicionales “If” desarrolladas todas las
instrucciones en el lenguaje de programación Matlab.
Posteriormente se fueron optimizando ciclos redundantes que
después de un análisis detallado concluimos que alargaba el
tiempo de ejecución del programa y que de esta manera podíamos
optimizarlo cada vez más. Finalmente luego de varias pruebas y
ensayos encontramos la forma más óptima para la ejecución del
código que nos arrojara unos datos confiables y reproducibles. La
evolución del código generado se muestra en la siguiente gráfica:
40 DETERMINACION DE EXPONENTES CRITICOS EN EL SISTEMA DE LA
ALEACION MAGNETICA AMORFA FeCrCuNbSiB
0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Tie
mp
o S
olu
cio
n (
ho
ras)
Version Codigo
Figura 8. Tiempo de evolución del algoritmo para el cálculo de
los exponentes en función de la versión del código.
10 8 6 4 2 0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Tie
mp
o S
olu
cio
n (
ho
ras)
Tiempo (Semanas)
Figura 9. Tiempo de evolución del algoritmo para el cálculo de
los exponentes en función del tiempo usado en el desarrollo.
Además del tiempo usado en la ejecución del algoritmo la gráfica
número 9 se aprecia el tiempo utilizado para la optimización y las
diferentes comparaciones que se le realizaron al código para su
versión final. Esta grafica demuestra lo difícil que era en un
inicio el cálculo de los exponentes debido al tiempo que se
tardaba para la ejecución del cálculo, lo cual se fue
gradualmente mejorando hasta obtener casi siempre los mismos
tiempos mínimos en la ejecución del algoritmo.
En el software “matlab” se usaron las siguientes librerías que
permiten realizar una regresión no-lineal mediante el método de
mínimos cuadrados (funciones “nlinfit” y “Nolinearmodel.fit”).
Contenido 41
Después se crearon las funciones que me representaban
perfectamente la dinámica de la ecuación (1) y de la ecuación (3).
Una vez conocidas la dinámica de las ecuaciones involucradas en el
desarrollo de la metodología para la obtención de los exponentes
críticos, se procedió también de igual manera, para obtener los
resultados en otros diferentes softwares, entre ellos esta:
Comsol(Software de análisis Elementos Finitos y desarrollo de
ecuaciones en general), Origin (Software principalmente
tratamiento de datos y gráficos, donde también se incluye la
posibilidad de programación en su propio lenguaje.). Los
resultados obtenidos en los diferentes programas se incluyen en la
siguiente gráfica:
0 1 2 3 4 5 6 7 80,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
Matlab
Origin
H(kOe)
3,496 3,498 3,500 3,502 3,504
0,38533
0,38544
0,38555
Figura 10. Comparación de los exponentes calculados por Matlab
y Origin. Inset: diferencia calculada en H = 3.5(kOe).
Como se puede apreciar en el inset de la figura 10, la diferencia
en los exponentes calculados desde los dos diferentes programas es
del orden de 10-5 lo que nos indica la precisión en ambos programas
para calcular los mismos exponentes y su poca variación que no
incide con la exactitud de los resultados que finalmente se
usaron; con esto se podía optar por cualquiera de los programas
mencionados para efectuar el cálculo.
42 DETERMINACION DE EXPONENTES CRITICOS EN EL SISTEMA DE LA
ALEACION MAGNETICA AMORFA FeCrCuNbSiB
6. Recomendaciones
6.1 Recomendaciones
Como todo método experimental es de gran importancia fijar bien
los parámetros iniciales en la búsqueda de los parámetros finales,
ya que el ingreso de parámetros demasiado desviados de los
esperados provocará unos resultados erróneos que no corresponde
con los valores esperados o apropiados.
Sin importar el programa que se use en el ajuste, los valores
siempre deberán tener la misma tendencia variando a partir del
orden de 10-5 para que se conviertan en resultados aceptables,
repetibles y confiables.
La rigidez del ajuste se puede variar tanto como se quiera pero se
encontró que existe un punto donde a mayor rigidez no se obtienen
valores más precisos ni cambios significativos.
Ser rigurosos con la metodología utilizada para el cálculo
propuesto, el no hacerlo puede conllevar a errores en el cálculo y
en el momento de la interpretación del resultado obtenido.
Contenido 43
A. Anexo: Producción bibliográfica
El siguiente artículo titulado “Influence of Chromium on the
Critical Exponents in the FeCrCuNbSiB Metallic Glass” se realizó
durante el desarrollo de la tesis, encuentra en revisión para su
publicación. Journal of Magnetism and Magnetic Materials.
B. Anexo: Participación en Eventos
Este trabajo ha sido presentado en los siguientes eventos:
“21st International Symposium on Metastable, Amorphous and
Nanostructured Materials - ISMANAM 2014” Determination of Critical
Exponents in a Metallic Glass: FeCrCuNbSiB, Cancún, México
“2da Escuela Internacional de Física Estadística
Noviembre 2014, Bogotá, Colombia” Ising and Heisenberg Model
Critical Behavior in an Amorphous Soft Magnetic Alloy System:
FeCrCuNbSiB, Bogotá, Colombia
44 DETERMINACION DE EXPONENTES CRITICOS EN EL SISTEMA DE LA
ALEACION MAGNETICA AMORFA FeCrCuNbSiB
“20th International Conference on Magnetism - ICM 2015”
Determination of Critical Exponents in a Metallic Glass:
FeCrCuNbSiB, Barcelona, España.
“XXIV IMRC – 2015 IN CANCUN, MEXICO- IMRC 2015” Determination of
Critical Exponents in a Metallic Glass: FeCrCuNbSiB, Cancún,
Mexico.
“XXVI CONGRESO NACIONAL DE FÍSICA COLOMBIANO 2015 ” Determination
of Critical Exponents in a Metallic Glass: FeCrCuNbSiB, Manizales,
Colombia.
Este trabajo ha contribuido con la presentación de los siguientes
trabajos:
“21st International Symposium on Metastable, Amorphous and
Nanostructured Materials - ISMANAM 2014” TH.C-P128 - Critical
Exponents and Hall Effect in Iron- and Cobalt-based Metallic
Glasses, Cancún, México.
“XXIV IMRC – 2015 IN CANCUN, MEXICO- IMRC 2015” Critical Exponents
and Hall Effect in Iron- and Cobalt-based Metallic Glasses,
Cancún, México.
“20th International Conference on Magnetism - ICM 2015” Critical
Exponents and Hall Effect in Iron- and Cobalt-based Metallic
Glasses, Barcelona, España.
Contenido 45
C. Anexo: Código fuente usado en el método
Coodigo usado para la ajustar la ec.(1)
General Information]
Function Name = ajuste2
Brief Description =
Function Source = N/A
Number Of Parameters = 5
Function Type = User-Defined
Function Form = Expression
Path =
Number Of Independent Variables = 1
Number Of Dependent Variables = 1
Function Model = Explicit
[Fitting Parameters]
Names = mo,b,DTc,off,Tave
Initial Values = 0.0005(V),0.35(V),20(V),1e-005(V),280(V)
Meanings = ?,?,?,?,?
Lower Bounds = --(I, Off),--(I, Off),--(I, Off),--(I, Off),--(I,
Off)
Upper Bounds = --(I, Off),--(I, Off),--(I, Off),--(I, Off),--(I,
Off)
Naming Method = User-Defined
Number Of Significant Digits = 0,0,0,0,0
Unit = ,,,,
Format = --,--,--,--,--
CustomDisplay = --,--,--,--,--
[Independent Variables]
x =
[Dependent Variables]
y =
[Formula]
integral(integrando, 240 ,360 ,x ,mo ,b ,DTc ,Tave) + off
[Constraints]
[Initializations][After Fitting]
[Constants]
[Controls]
General Linear Constraints = 0
Initialization Scripts = 0
Scripts After Fitting = 0
Number Of Duplicates = N/A
Duplicate Offset = N/A
Duplicate Unit = N/A
Generate Curves After Fitting = 1
Curve Point Spacing = Uniform on X-Axis Scale
Generate Peaks After Fitting = 1
Generate Peaks During Fitting = 1
Generate Peaks with Baseline = 1
Paste Parameters to Plot After Fitting = 1
46 DETERMINACION DE EXPONENTES CRITICOS EN EL SISTEMA DE LA
ALEACION MAGNETICA AMORFA FeCrCuNbSiB
Paste Parameters to Notes Window After Fitting = 1
Generate Residuals After Fitting = 0
Keep Parameters = 0
Compile On Param Change Script = 1
Enable Parameters Initialization = 1
Treat All Numbers As Double = 1
[Compile Function]
Compile = 0
Compile Parameters Initialization = 0
OnParamChangeScriptsEnabled = 0.
[Parameters Initialization]
//Code to be executed to initialize parameters
[Origin C Function Header]
[Origin C Parameter Initialization Header]
[Derived Parameter Settings]
Unit =
Names =
Meanings =
[LabTalk Functions Definition and Initializations]
[QuickCheck]
x=280
mo=5E-4
b=0,35
DTc=20
off=1E-5
Tave=280
CODIGO USADO PARA EL AJUSTE DE LA EC. (3)
[General Information]
Function Name = delta
Brief Description =
Function Source = N/A
Number Of Parameters = 3
Function Type = User-Defined
Function Form = Expression
Path =
Number Of Independent Variables = 1
Number Of Dependent Variables = 1
Function Model = Explicit
Analytical Derivatives for User-Defined = 0
[Fitting Parameters]
Names = DTcO,a,eta
Initial Values = 1(V),1(V),1(V)
Meanings = ?,?,?
Lower Bounds = --(I, Off),--(I, Off),--(I, Off)
Upper Bounds = --(I, Off),--(I, Off),--(I, Off)
Naming Method = User-Defined
Number Of Significant Digits = 0,0,0
Unit = ,,
Format = --,--,--
Contenido 47
CustomDisplay = --,--,--
[Independent Variables]
x =
[Dependent Variables]
y =
[Formula]
DTcO + a * x ^(1/eta)
[Constraints]
[Initializations]
[After Fitting]
[Constants]
[Controls]
General Linear Constraints = 0
Initialization Scripts = 0
Scripts After Fitting = 0
Number Of Duplicates = N/A
Duplicate Offset = N/A
Duplicate Unit = N/A
Generate Curves After Fitting = 1
Curve Point Spacing = Uniform on X-Axis Scale
Generate Peaks After Fitting = 1
Generate Peaks During Fitting = 1
Generate Peaks with Baseline = 1
Paste Parameters to Plot After Fitting = 1
Paste Parameters to Notes Window After Fitting = 1
Generate Residuals After Fitting = 0
Keep Parameters = 0
Compile On Param Change Script = 1
Enable Parameters Initialization = 1
Treat All Numbers As Double = 1
[Compile Function]
Compile = 0
Compile Parameters Initialization = 1
OnParamChangeScriptsEnabled = 0
[Parameters Initialization]
//Code to be executed to initialize parameters
[Origin C Function Header]
[Origin C Parameter Initialization Header]
[Derived Parameter Settings]
Unit =
Names =
Meanings =
[QuickCheck]x=1;DTcO=1;a=1;eta=1
48 DETERMINACION DE EXPONENTES CRITICOS EN EL SISTEMA DE LA
ALEACION MAGNETICA AMORFA FeCrCuNbSiB
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8853(01)01180-5; M. Knobel, M. Vázquez and L. Krauss, in: Handbook
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