DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGA UNIVERSIDAD NACIONAL DE QUILMES Roque Senz Pea 352 (B1876BXD) Bernal Buenos Aires Argentina Deteccin de seales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano1 TEORA DE LAS TELECOMUNICACIONES DETECCINDESEALESBINARIASENPRESENCIADERUIDOBLANCO GAUSSIANO Una vez que los smbolos digitales son transformados en seales elctricas, pueden ser transmitidosatravsdelcanal.DuranteunintervalodetiempoTunsistemabinario transmitirunadedosformasdeonda,indicadaspors1(t)ys2(t).Lasealtransmitida durante el intervalo (0, T) se puede representar como: =binario 0 el para0) (binario 1 el para0) () (21T t t sT t t st si Por ejemplo, un 1 puede ser representado por una tensin elctrica V que se mantiene constante durante un tiempo T, y un 0 por una tensin V que tambin se mantiene constante por igual duracin de tiempo. Esta seal puede ser transmitidadirectamente(transmisinen bandabase)obienpuedeserusadaparamodularunaportadora.Lasealrecibidaest afectada por el ruido y por lo tanto existe una cierta probabilidad de que el receptor cometa un erroraldecidirsisetransmitiun1oun0.Lasealrecibidaporelreceptor,r(t)sepuede representar por: T t t n t s t ri = + = 02; 1, i) ( ) ( ) (donden(t)eselruidoblancogaussianoaditivo,demediaceroyvarianza2,que interfiere sobre la seal que fue transmitida. Trataremosdeencontrarqucaractersticasdebetenernuestroreceptorparaque pueda hacer una deteccin lo ms fiel posible del bit que fue transmitido. El transmisor sabe quefuetransmitidoun1un0,perodebidoalefectodelruidoesassealeselctricasque representanal1yal0fuerondeformadasyesopuedeconfundiraldetectoralahorade dicernir qu seal se transmiti. Supongamosentoncesqueunasecuenciabinariaconsisteensealesdeniveles+Vy -V,osea,unasecuenciadepulsospositivosynegativosaleatorios.Realmentenointeresa conservarlaformadelasealenelreceptor,sinoqueloqueinteresasaberessienel intervalodebitTsetransmiti+VoV.Pero,comosedijoantes,conelruidopresente,el receptor ciertamente nunca va a detectar exactamente V. Supongamos que el ruido es Gaussiano. Debido a la simetra de la funcin de densidad de probabilidad que lo representa, la probabilidad de hacer aumentar el valor de la muestra de sealtomadaesigualalaprobabilidaddehacerladisminuir.Entonces,comoprimera aproximacin,esbastanterazonabledisearundetectorquetomeunamuestracadaT segundos,y,sielvalorespositivoasumirquetransmiti+V,mientrasquesielvalores negativo asumir que se transmiti V. Por supuesto, es posible que en el instante del muestreo la tensin de ruido pueda tener una magnitud mayor que V y de polaridad opuesta a la del bit transmitido en ese momento. En tal caso se producir un error en la deteccin. En la Figura 1 se puede ver este efecto. 2Deteccin de seales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano Figura 1. Efecto del ruido en una seal digital binaria de amplitud V y duracin T. Podemosreducirlaprobabilidaddeerrorprocesandolasealrecibidajuntoconel ruido, de manera tal de encontrar un instante de muestreo adecuado en donde la tensin de smbolo sea enfatizada frente a la tensin de ruido. Adems, intuitivamente se ve que es necesario agregar algo delante del muestreador, ya que con un esquema como el que hemos planteado como primera aproximacin indudablemente se est desperdiciando todo el tiempo debit.Esdecir,paraqutransmitirunbitconunaduracinTsifinalmenteseloest mirandoenunsoloinstante?Noseramejorqueelreceptorhagaunaobservacinde todoelbitpararecinluegoconcluirsifueun1fueun0?Tendremosquepensarenun esquema que aproveche todo el tiempo de bit. Entonces planteamos lo siguiente. Lasealtransmitidas(t)(representadaporunodesusdosestadosV),juntoconel ruidoGaussianon(t),selahacepasarporunintegradoryluegosesmuestreada.Estose puede hacer con un amplificador operacional con una resistencia de entrada R y un capacitor derealimentacinC,comosemuestraenlaFigura2.Porlotanto,lasalidadelintegrador produceunasealqueeslaintegraldelpulsoenviado,multiplicadaporunaconstante 1/RC = . Al final de cada tiempo de bit T, una llave en paralelo con el capacitor se cierra para descargarloyascomenzarlasiguienteintegracindesdecero.Alasalidadelintegradory justo al instante de tomar la muestra, tenemos: | | + = + =T T Tdt t n dt t s dt t n t s T v0 0 00) (1) (1) ( ) (1) ( (1) La muestra de tensin correspondiente slo a la seal es: VTVdt T sT= = 001) ( (2) obienconelsignoopuestocuandolaentradadelintegradoresV.Lamuestrade tensin correspondiente al ruido es: dt t n T nT=00) (1) ((3) Cabedestacarquen(t)esunprocesoaleatorio,mientrasqueno(T)esunavariable aleatoria. La varianza (potencia media) de n0(T) se expresa como: 20 202T N= (4) Deteccin de seales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano3 Adems n0(T) tiene una fdp que es Gaussiana. El valor N0/2 es la densidad espectral del ruido a la entrada del integrador. No demostraremos aqu la obtencin de la ltima ecuacin, pero la misma surge de plantear que: 2) ( ) ( ) ( f H f G f Gni no= (5) donde H(f) es la funcin de transferencia del integrador, Gni(f) es la densidad espectral deruidoala entrada del integrador y Gno(f)es ladensidad espectralde ruido alasalidadel integrador. Figura 2. Esquema propuesto inicialmente para mejorar la relacin senal a ruido, en el instante de muestreo, de la seal recibida. La salida del integrador es v0(t) = s0(t) + n0(t). La seal de salida s0(t) es una rampa paracadaintervalodetiempoT.Alfinaldelarampa,osea,alinstantedelmuestreoT,la seal s0(t) tiene un valor que es +VT/ o VT/, dependiendo de si el bit transmitido fue 1 0, respectivamente.Mientrasqueelruido,enelinstantedelmuestreo,tieneunvaloraleatorio n0(T). Ambas situaciones se muestran en la Figura 3. Finalmente, el voltaje total al momento del muestreo es: ) ( ) ( ) (0 0 0T n T s T v + = (6) Figura 3. Seal a la salida del integrador (a), y ruido a la salida del integrador (b). 4Deteccin de seales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano Naturalmente,buscamosquelatensincorrespondientealasealseamayorquela tensin de ruido para mejorar la performance de nuestro detector. Por lo tanto una figura de mrito para este caso es la relacin seal a ruido. Relacionando ambas potencias en el instante de muestreo nos queda el siguiente resultado: | || |22 22) () (0220022 2 22022020NT VT VNT NT VT NVTT nT s= = =||.|

\||.|

\|=(7) Ntese que la relacin seal a ruido aumenta con el incremento de la duracin de bit T y que depende de V2T que es la energa normalizada de la seal. Es decir que para mejorar la relacinsealaruidosepuedeaumentareltiempodebitT(transmitiendomenosbitspor segundo, o sea, ms lentamente), o bien aumentar la tensin V de la seal. Este ltimo caso implicatransmitirconmayorpotencia,conlocualsenecesitaraunequipotransmisorms grande,fuentesdealimentacinmsgrandes,quizsdisipadoresmsgrandes,etc., aumentandoelcostoyeltamaodelsistema.Laprimeraalternativa,comosedijo,implica transmitir a menor velocidad. Esto puede verse, por ejemplo, en una comunicacin va modem (aunque en este caso no es bandabase sino una seal modulada, el ejemplo vale). Un modem quecumpleconlanormadecomunicacinV.90deberaconectarsenormalmentea56 Kbps. Sin embargo esto casi nunca ocurre, pues la lnea telefnica tiene un ruido mayor al esperado yparamantenerlarelacinsealaruidoenunnivelaceptableelmodemtransmitems lentamente.Otroejemplolomuestranlossatlitesqueseenvanalespacio(porejemplola NASA o la Agencia Espacial Europea) para tomar fotografas, hacer estudios, mediciones, etc. en diversos planetas. Debido a la gran distancia que separa al satlite de la antena terrestre, larelacinsealaruidoesrealmentemuybajacomoconsecuenciadelaatenuacindela sealtransmitida.Porlotanto,paramantenerunarelacinsealaruidorazonableenel receptor la alternativa es aumentar T. La conclusin es que la velocidad de transmisin es muy baja. Hemosvistoentonces, que,para el ejemplo anteriorde transmisinbinaria bipolar,el filtro que nos mejora la relacin seal a ruido es un integrador. Esto ha sido para este ejemplo. Enlosprrafossiguientestrataremosdeversiessteelmejorfiltroquepodemosponero existe uno mejor, y adems generalizar la situacin y tratarla no slo para la seal bipolar que se plante sino para cualquier seal binaria. EnlaFigura4semuestranlosdospasosqueseinvolucranenladeteccindeuna seal.Elprimerpasoconsisteenconvertirlasealrecibidar(t) = si(t) + n(t)enunnmero real z(t=T). Esta operacin se realiza por medio de un filtro lineal seguido de un muestreador. Al final de la duracin de smbolo T la salida del bloque 1 (despus de la llave de muestreo) da comoresultadolamuestraz(T).TambinpuededemostrarsequeunprocesoGaussianoque pasaporunfiltrolinealproducecomosalidaotroprocesoGaussiano.Entonces,lasalidadel bloque 1 da como resultado: 2 1, i ) ( ) ( ) (0= + = T n T a T zi(8) dondeai(T)eslacomponentedesealdez(T)provenientedesi(t),yn0(T)esla componentederuidoprovenienteden(t).Paraabreviarlanotacinpodemosescribir z = ai+ n0. La componente de ruido, n0, es una variable aleatoria Gaussiana de media cero. Por lo tanto, z(T) tambin es una variable aleatoria Gaussiana pero con media a1 o a2 (a1 y a2 son dosnmerosreales,obtenidosalasalidadelmuestreador),dependiendodeculdelosdos smbolos binarios fue enviado, (s1(t) o s2(t)). Si no existiese el ruido, z(T) sera un nmero real condosvaloresposibles.Lafuncindedensidaddeprobabilidad(fdp)delruidoaleatorio Gaussiano n0 puede expresarse como: Deteccin de seales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano5 (((

||.|

\| =2000021exp21) ( nn p (9) donde 20 eslavarianzadelruido.Lasfuncionesdedensidaddeprobabilidad condicional, p(z|s1) y p(z|s2) se pueden expresar como: (((

||.|

\| =2010121exp21) | ( a zs z p (10) (((

||.|

\| =2020221exp21) | ( a zs z p (11) Figura 4. Esquema bsico de deteccin de una seal binaria. EstasfdpcondicionalessevenenlaFigura5.Lafdpdeladerecha,p(z|s1)ilustrala funcindedensidaddeprobabilidaddelasalidadeldetector,z(T),dadoques1(t)fue transmitido. De manera similar, la curva de la izquierda ilustra p(z|s2), la funcin de densidad deprobabilidaddez(T)dadoquesehatransmitidos2(t).Elejedelasabcisasrepresentael rango completo de valores posibles de z(T) que se pueden obtener a la salida del bloque 1 de la Figura 4. Se ve entonces, que, si no existiese el ruido, z(T) tendra slo dos valores posibles, a1ya2,dependiendodelasealtransmitida.Pero,debidoalefectodelruido,z(T)esen realidadunnmeroquesemueveenunentornodea1ya2,(unavezms,segnlaseal binaria transmitida), con una distribucin Gaussiana. Figura 5. Funciones de densidad de probabilidad condicional. 6Deteccin de seales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano Elsegundopasoenelprocesodedeteccinconsisteenhacerunacomparacin estadstica. Esto se representa en el bloque 2 de la Figura 4. Se compara z(T) contra un valor umbralparadeesamaneraestimarculvalorfuetransmitido,sis1(t)os2(t).Siz(T)es mayor que se decide por una seal, caso contrario se decide por la opuesta. Una vez que la seal recibida r(t) es convertida en un nmero z(T), ya no importa ms laverdaderaformadelaseal.Todaslasformasdeondaqueseantransformadasalmismo valor de z(T) son idnticas desde el punto de vista de la deteccin. Veremos ms adelante que un cierto tipo de filtro, llamado filtro adaptado, ubicado en el bloque 1, mapea las seales de igual energa en el mismo punto z(T). Por lo tanto, lo que importa en el proceso de deteccin noeslaformadeondadelasealsinosuenerga.Poreso,elanlisisparaelprocesode deteccinenbandabaseesigualqueparaelcasodepasabanda(severconabundante detalle en un captulo posterior). El paso final en el bloque 2 es tomar una decisin a partir de la siguiente comparacin: 12) (HHT z(12) donde H1 y H2 son las dos posibles hiptesis binarias. Elegir H1 es equivalente a decidir ques1(t)sehaenviado,yelegirH2esequivalenteadecidirques2(t)fueenviado.La desigualdad en la relacin anterior indica que si z(T) > entonces se elige H1. De lo contrario, seeligeH2.Paraelcasodelaigualdadladecisinesarbitrariayseajustaaldetectorde manera tal que elija una de las dos hiptesis al azar, como si tirara una moneda. Esta comparacin es similar a la que se hizo en el ejemplo al comienzo del texto. All, una vez tomada la muestra, se la comparaba con cero: si el nmero era positivo se decida por un 1 binario, caso contrario se decida por un 0 binario. Estructura de un receptor de mxima verosimilitud Qu valor debetener ? Hasta ahoranohemosdichonada acerca dequ valordebe tenerparaqueseaunnivelumbralapropiado.Uncriterioparaelegirsebasaenla minimizacin de la probabilidad de error. Es decir, se busca un valor tal de como para que el detector se equivoque lo menos posible en su toma de decisiones. Este valor ptimo de que hace mnima la probabilidad de error lo llamaremos 0. Parahallartalvalorpartimosdelasiguienterelacin,llamadatestderelacinde verosimilitud: ) () () | () | (122112s Ps Ps z ps z pHH(13) donde P(s1) y P(s2) son las probabilidades a priori de que s1(t) y s2(t), respectivamente, sean transmitidos, y H1 y H2 son las dos posibles hiptesis. Segn la regla de la ecuacin (13), paraminimizarlaprobabilidaddeerror,debemoselegirlahiptesisH1silarelacinde verosimilitudesesmayorquelarelacinentrelasprobabilidadesapriori.Casocontrariose elige la hiptesis H2. Esta ecuacin (13) surge de la teora de la probabilidad condicional. SiP(s1)=P(s2)ysilasfuncionesdedensidaddeprobabilidadp(z|si),(i=1,2)son simtricas la ecuacin (13) queda, luego de dividir (10) sobre (11): Deteccin de seales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano7 02 12) (12 =+ a aT zHH(14) dondea1eslacomponentedesealdez(T)cuandos1(t)estransmitido,ya2esla componentedez(T)cuandos2(t)estransmitido.Elnivelumbral0eselumbralptimoque minimizalaprobabilidaddetomarunadecisinincorrecta.Estaestrategiaesconocidacomo criterio del mnimo error. Para seales igualmente probables, el umbral ptimo 0 pasa atravs de la interseccin delasfuncionesdedensidaddeprobabilidad,comoseveenlaFigura5.Deestamanera, siempreseeligelahiptesisquepresentalamximaverosimilitud(mximaprobabilidad). Dicho en trminos de las funciones de densidad de probabilidad condicional, el detector elige, por ejemplo, s1(t) si: ) | ( ) | (2 1s z p s z pa a> (15) encasocontrario,eldetectoreliges2(t).Undetectorqueminimizalaprobabilidadde error(paraelcasoenqueambassealessonigualmenteprobables)esconocidoconel nombre de detector de mxima verosimilitud. Unavezms,volviendoanuestroejemplodelcomienzodeltexto,yparaelcaso particular del circuito integrador que se ha usado, a1 sera VT/, a2 sera VT/ y 0 sera 0. Obviamente, si las probabilidades a priori no son iguales (ambas igual a 0,5), entonces 0 se desplaza hacia la izquierda o hacia la derecha. SienlugardeunatransmisinbinariafueseunatransmisinM-aria,deberahaberM funciones de densidad de probabilidad representando a las M seales. La decisin de mxima verosimilitud debe ser hecha entonces segn el mximo valor de probabilidad de todas las fdp. Probabilidad de error Paraelcasodeunatransmisinbinaria,haydosmanerasporlascualessepuede producir un error. Un error e va a ocurrir cuando se enve una seal s1(t) y el ruido del canal resultetalqueelvalorz(T)seamenorqueelumbral0(unavezmslaFigura5sirvede ayuda). Dicha probabilidad se puede expresar como: ( ) = =01 1 2 1| ) | ( ) | (dz s z p s H P s e P (16) Enpalabrasestoes,laprobabilidaddequeseproduzcaunerror,sabiendoquese transmiti s1, o, la probabilidad de elegir la hiptesis H2 sabiendo que se transmiti s1. Esto se ilustra en la Figura 5 como el rea sombreada a la izquierda de 0. De manera similar, ocurre un error cuando s2(t) es enviado y debido al ruido del canal el valor de z(T) resulta mayor que el umbral 0. Esto se expresa como: = =0) | ( ) | ( ) | (2 2 1 2dz s z p s H P s e P (17) La probabilidad de error es la suma de las probabilidades de todas las maneras en que un error puede ocurrir. Para el caso binario, podemos expresar la probabilidad de error de bit PB de la siguiente manera: 8Deteccin de seales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano ==21) , (ii Bs e P P (18) Combinando las ecuaciones (16) a (18), tenemos: ) ( ) | ( ) ( ) | (2 2 1 1s P s e P s P s e P PB+ = (19) o equivalentemente, ) ( ) | ( ) ( ) | (2 2 1 1 1 2s P s H P s P s H P PB+ = (20) (Lasecuaciones(19)y(20)surgendelteoremadeBayes).Esdecir,dadoquefue transmitidos1(t),ocurreunerrorsiseeligelahiptesisH2;odadoquesetransmitis2(t), ocurreunerrorsifueelegidalahiptesisH1.Paraelcasoenquelasprobabilidadesapriori sean iguales, o sea, P(s1) = P(s2) = , ) | (21) | (212 1 1 2s H P s H P PB+ = (21) y por la simetra de las funciones de densidad de probabilidad: ) | ( ) | (2 1 1 2s H P s H P PB= = (22) La probabilidad de error de bit, PB, es numricamente igual al rea debajo de la curva fdpqueestdelladoincorrectodelumbral.Porlotanto,sepuedecalcularPBintegrando P(z|s1) entre los lmites - y 0 tambin integrando p(z|s2) entre los lmites 0 y : =0) | (2dz s z p PB(23) Si reemplazamos p(z|s2) por su equivalente distribucin Gaussiana, tenemos: (((

||.|

\| =0202021exp21 dza zPB(24) ycomoyasabemos, 2o eslavarianzadelruidoalasalidadelcorrelador.Haciendo u = (z-a2)/0 tenemos: 01=dzdu Por lo tanto, du dz0 =Enlaecuacin(24)lavariabledeintegracinesz,quevaraentre0e.Pero0es (a1 + a2)/2. Por lo tanto, el lmite de integracin inferior, en funcin de u es: 02 12 02 =+= + =a aa u zDeteccin de seales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano9 02 10202 122 10222 a aua a auaa au=+=+= Entonces, reemplazando u en la ecuacin (24) nos queda: = =||.|

\| =||.|

\| =ua a uBa aQ duuP0 2 12 / ) (02 122 2exp21 (25) dondeQ(x)sellamafuncincomplementariadeerrorofuncindeco-error.Q(x)se define como ||.|

\| =xduux Q2exp21) (2(26) La variable de integracin es u, siendo el lmite inferior u = x y el lmite superior u = . Q(x) no puede ser evaluada en forma cerrada y sus valores se presentan en forma de tablas. Si se observa bien, Q(x) no es otra cosa que P(X x) para una fdp Gaussiana normalizada (es decir, con media cero y varianza 1). De aqu se ve que para minimizar la probabilidad de error, x debe ser lo ms grande posible (o sea, lo ms a la derecha posible debajo de la curva de Gauss). Para el ejemplo visto al comienzo de esta exposicin habamos visto que a la salida del filtro integrador, en el instante de muestreo, obtenamos los siguientes valores de a1 y a2: VTaVTa==21 y 20era: 20020 202 2 T N T N= =Teniendoencuentaestoentonces,elclculodelaprobabilidaddeerrordebitnos conduce a: ||.|

\| =02 12a aQ PB |||||.|

\|+=2022 T NVT VTQ PB 10Deteccin de seales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano ||.|

\|=202 2 22T NT VQ PB ||.|

\|=2 /02NT VQ PB Hasta aqu hemos optimizado el valor del umbral haciendo mnima la probabilidad de errorPByhallandounaexpresinparaelclculodedichaprobabilidaddeerror.Ahora veremos cmo debe ser el filtro que, a la salida del muestreador, maximiza la relacin seal a ruido, y cmo puede usrselo para que maximice el argumento de la funcin Q(x) a fin de quelaprobabilidaddeerrorseamnima(esdecir,mnimanoenfuncindelumbralde deteccin 0 sino en funcin del valor z(T) que entrega el filtro en el instante de muestreo). Filtro adaptado Unfiltroadaptadoesunfiltrolineal,diseadoparaquepuedadar,asusalida,la mxima relacinseal a ruido paraunadeterminadaforma deondadelsmbolo transmitido. Supongamos que una seal conocida s(t) ms RBGA n(t) se presenta a la entrada de un filtro linealeinvarianteeneltiempo,seguidosteporunmuestreador,comosemuestraenla Figura 4. En el tiempo t = T la salida z(T) del receptor consiste en una componente de seal ai yunacomponentederuidon0.Lavarianzadelruidodesalida(potenciamediaderuido)se denota por 20 , de manera que la relacin entre la potencia de la seal y la potencia media de ruido, (S/N)T en el tiempo t = T, a la salida del receptor del bloque 1 es: 202iTaNS= |.|

\|(27) Lo que queremos hacer ahora es encontrar qu caracterstica debe tener nuestro filtro. Culdebesersufuncindetransferencia.Paraello,debemoshallarlafuncinH0(f)que maximice la ecuacin (27). Podemos expresar la seal a(t), a la salida del filtro, en trminos de la funcin de transferencia H(f) (antes de su optimizacin) y de la transformada de Fourier de la seal de entrada: = df e f S f H t aft j 2) ( ) ( ) ( (28) dondeS(f)eslatransformadadeFourierdelasealdeentradas(t).Siladensidad espectral del ruido de entrada es N0/2 watts/hertz, podemos expresar la potencia de ruido a la salida como: = df f HN 20 20) (2 (29) Recordar que (29) surge de plantear: = df f H f G df f Gni no2) ( ) ( ) (y adems 2) (0Nf Gni=Deteccin de seales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano11 Combinando ecuaciones, podemos expresar la relacin seal a ruido como sigue: = |.|

\|df f H Ndf e f S f HNSfT jT2022) ( 2 /) ( ) ((30) Ahora tenemos que hallar un valor tal H(f) = H0(f) para el cual la relacin seal a ruido (S/N)Tsehacemxima.ParaellousaremosladesigualdaddeSchwarzqueexpresalo siguiente: dx x f dx x f dx x f x f222122 1) ( ) ( ) ( ) ( (31) Eltrminodelaizquierdaesmenoroigualaltrminodeladerecha.Laigualdadse cumplecuando) ( ) (2 1x kf x f= ,dondekesunaconstantearbitrariayelasteriscoindica complejo conjugado. Si identificamos H(f) con f1(x) y S(f)ej2fT con f2(x), podemos escribir: df f S df f H df e f S f HfT j2 222) ( ) ( ) ( ) ((32) luego |.|

\|df f SN NST20) (2(33) o 22max0 0NENENST= = |.|

\|(34) donde E es la energa de la seal si(t): = df f S E2) ( (35) De esta manera vemos que el mximo para (S/N)T depende de la energa de la sealynodelaformadeondaqueseuse.Yparaquesecumplalaigualdadenla ecuacin (34) debemos hacer: ) ( ) ( ) (02f H e f kS f HfT j= = (36) o bien, aplicando la antitransformada de Fourier, podemos hallar la respuesta impulsiva del filtro: { }fT je f kS t h 2 1) ( ) ( = (37) podemos escribir para h(t): =valor otro cualquierpara00 ) () (T t t T kst h (38) 12Deteccin de seales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano Osea,larespuestaimpulsivadeestefiltroquetieneasusalidalamximarelacin sealaruido,eslaimageninvertidadelaseals(t),retardadaenuntiempoTqueesla duracin de smbolo. En la Figura 6 se puede ver un ejemplo de composicin de h(t). Figura 6. Respuesta impulsiva de un filtro adaptado. Eltrminofiltroadaptadotambinesusadoconelnombredeproductointegradoro correlador. Lapropiedadbsicadel filtro adaptado es: surespuestaimpulsiva esunaversin retardada y rotada sobre el eje de las abcisas, de la seal de entrada o forma de onda. Por lo tanto,silasealdeentradaess(t),laimagenoespejoess(-t),yalavezestaltima retardada es s(T-t). La salida z(t) del filtro (es decir, seal ms ruido), puede escribirse en el dominio del tiempo como la convolucin entre la seal recibida r(t) y la respuesta impulsiva del filtro: = =td t h r t h t r t z0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (39) Sustituyendo la (38) en la (39) y tomando arbitrariamente k = 1 obtenemos: ( ) | |( )+ = =ttd t T s rd t T s r t z00) () ( ) ( (40) Finalmente, cuando acta el muestreador que se encuentra a continuacin del filtro z(t) se convierte en =Td s r T z0) ( ) ( ) ( (41) La operacin descripta por la ecuacin (41) es la integracin del producto entre la seal recibida r(t) y una rplica de la forma de onda transmitida s(t) sobre el intervalo de un tiempo de smbolo T. Esta operacin se la conoce como correlacin entre r(t) ys(t). Aplicacin del filtro adaptado Anteriormente,aldeterminarelumbraldedecisinptimohemosvistoqueparatal caso la probabilidad de error es PB = Q[(a1-a2)/20]. El hecho de encontrar un umbral ptimo no es suficiente para optimizar el proceso de deteccin. Para minimizar PB necesitamos elegir un filtro tal que maximice el argumento de Q(x). Es decir, un filtro que maximice (a1-a2)/20, o equivalentemente que maximice ( )2022 1a a(42) Deteccin de seales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano13 donde(a1-a2)esladiferenciadelascomponentesdesealalasalidadelfiltroenel tiempot = T, y el cuadrado de esta diferencia es la potencia instantnea de la diferencia de seales. Hemos visto que un filtro adaptado es aquel que maximiza la relacin seal a ruido a la salida del mismo. Consideremos un filtro que est adaptado a la diferencia de las seales de entrada, o sea, adaptado a s1(t)-s2(t). La relacin de potencias instantneas entre la seal y el ruido, a la salida del filtro y en el instante T, se puede expresar como: ( )02022 12NE a aNSdT== |.|

\|(43) dondeN0/2esladensidadespectraldepotenciadelruidoyEdeslaenergadela diferencia entre las seales s1(t) y s2(t) a la entrada del filtro: | | =Tddt t s t s E022 1) ( ) ( (44) Finalmente, usando la funcin complementaria de error, la probabilidad de error de bit es: ||.|

\|=02NEQ PdB(45) AqusevequesiaumentaEdentoncesdisminuyelaprobabilidaddeerror,comose puedededucirintuitivamente.Deigualmanera,laprobabilidaddeerrordisminuyesi disminuye la potencia de ruido, representada por el valor de N0. Figura 7. Equivalencia entre (a) filtro adaptado y (b) correlador. Porlotanto,delanlisishechoenesteapartado,concluimosqueelfiltroqueseusa previo al muestreo de la seal en un esquema de deteccin binaria, es un filtro adaptado a la diferenciaentrelassealess1(t)ys2(t)osuequivalenteimplementadoconuncorrelador. Ambos casos se muestran en la Figura 7. Probabilidad de error en sistemas binarios Sealizacin unipolar. Una seal unipolar se puede representar matemticamente como: 14Deteccin de seales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano binario 0 el para 0 0 ) (binario 1 el para 0 ) (21T t t sT t A t s = =(46) donde A > 0 es la amplitud de la seal s1(t). Supongamos que esta seal unipolar, ms ruidoblancoGaussiano,sepresentaalaentradadeunfiltroadaptado,contiempode muestreot=T.ElcorreladorparadetectarestetipodesealsemuestraenlaFigura8.El correladormultiplicaeintegralasealquellega,r(t),conladiferenciadelasseales prototipo, [s1(t) s2(t)] = A, y luego del tiempo T compara el valor obtenido z(T) con el valor umbral 0. El valor del umbral ptimo en este caso es 0 = (a1 + a2)/2 = ()A2T. Si la salida delcorreladoresmayorque0entoncessedeclaraqueserecibis1(t);casocontrariose declara s2(t). Figura 8. Seal unipolar y esquema de deteccin. Aplicandola(44)laenergadeladiferenciaentresealesesA2T.Entonces,la probabilidad de error de bit para este esquema unipolar es ||.|

\|=||.|

\|=||.|

\|=0 0202 2 NEQNT AQNEQ Pb dB(47) donde la energa media por bit es Eb = A2T/2. Sealizacin bipolar. Una forma de onda bipolar se puede expresar matemticamente como: binario 0 el para 0 ) (binario 1 el para 0 ) (21T t A t sT t A t s = + =(48) Cuandolassealessoncomolodescribela(48)sellamansealesantipodalesyse puedeverenlaFigura9(a).Ladeteccindelasealsepuedehacermediantedos correladores como se ve en la Figura 9(b). Un correlador multiplica e integra la seal r(t) con elprototipodeseals1(t)yelsegundocorreladormultiplicaeintegrar(t)cons2(t).Un correladorentregaunasalidaz1(T)yelotrounasalidaz2(T).Elpuntoz(T)enelespaciode decisin est formado por: Deteccin de seales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano15 ) ( ) ( ) (2 1T z T z T z =Para seales antipodales resulta ser a1 = -a2, por lo tanto el umbral de decisin ptimo es0 = 0.Deestamanera,sieltestestadsticoz(T)espositivosedecidepors1(t);caso contrario se decide por s2(t). Figura 9. Seal bipolar y esquema de deteccin. La energa de la diferencia entre seales es Ed = (2A)2T, por lo tanto, la probabilidad de error de bit para este esquema bipolar es: ||.|

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\|=0 022 2NEQNT AQ PbB(49) donde la energa media por bit es Eb = A2T. Comparandoambosesquemas,conelbipolarsepuedetenerunarelacinEb/N03 dB inferior al esquema unipolar y sin embargo tener la misma probabilidad de error de bit. Cadaesquemadesealizacintienesupropiaperformancedeerrordebitquese describemedianteunacurvatipocascadacomolaquesemuestraenlaFigura10. Normalmente se habla de BER, tasa de error de bit (Bit Error Rate en Ingls). Propiedades del filtro adaptado El filtro adaptado presenta ciertas propiedades interesantes, que pueden resultar tiles deaplicar(quizsparacomprendermejoralgunosotrostemas)yquedescribiremosa continuacin. 16Deteccin de seales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano Figura 10. Performance de error de bit para sealizacin unipolar y bipolar. 1.El espectro de la seal de salida de un filtro adaptado, que tiene como entrada a su seal adaptada, es proporcional (salvo un factor de retardo) a la densidad espectral de energa de la seal de entrada. Si So(f) es la transformada de Fourier de la salida del filtro, so(t), entonces, ) 2 exp( ) () 2 exp( ) ( ) () ( ) ( ) (2*fT j f SfT j f S f Sf S f H f So o = = =(50) Como So(f) es el espectro de la seal de salida, y el cuadrado del mdulo de S(f) es la densidad espectral de energa de s(t), la propiedad queda demostrada. 2.La seal de salida de un filtro adaptado es proporcional a una versin desplazada de la funcin de autocorrelacin de la seal de entrada a la cual el filtro est adaptado. Estapropiedadsurgedelaanterior,teniendoencuentaquelafuncinde autocorrelacin y la densidad espectral de energa forman un par transformado. Por lo tanto, aplicandolatransformadainversadeFourieralaltimaexpresindela(50),sepuede expresar la salida el filtro adaptado como: ( ) T t R t sx o = ) ( (51) donde Rx() es la funcin de autocorrelacin de la seal s(t). Ntese que para t = T se tiene: E R T sx o= = ) 0 ( ) ( (52) Deteccin de seales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano17 dondeEeslaenergadelaseal.Estoes,enausenciaderuido,elmximovalor obtenido a la salida de un filtro adaptado, en el tiempo t = T, es proporcional a la energa de la seal. 3.La relacin seal a ruido a la salida de un filtro adaptado depende slo de la relacin entre la energa de la seal y la densidad espectral de potencia del ruido blanco a la entrada del filtro. La potencia media de ruido, a la salida del filtro ptimo es: { } = df f HNt n E200 2) (2) (Teniendo en cuenta la igualdad expresada por la (36) y haciendo arbitrariamente k =1, la anterior ecuacin queda: { } = = ENdf f SNt n E2) (2) (020 2(53) Teniendo en cuenta la propiedad 2 (mximo valor de energa de la seal, en el tiempo t = T),elmximovalordeSNR(siempresonpotenciasnormalizadas...)alasalidadelfiltro es: ( )0 02max ,22 / NEE NESNRO= = (54) Aqu se ve que la SNR a la salida del filtro no depende de la forma de onda de la seal de entrada.