SEPARATA1

GEOMETRÍADELOSDESPLAZAMIENTOSPEQUEÑOS

DESPLAZAMIENTOS PEQUEÑOSEN SÓLIDOSRÍGIDOS

Desplazamientospequeños:

Sonmagnitudesdespreciables conrelación a lasdimensionesdelsólido.

Noafectan lageometríainicialdelsólido.

Desplazamiento y deformación:

SonproducidosporlasSOLICITACIONES(cargas,etc.)queactúansobreelcuer-po.

Desplazamiento:CambiodePOSICIÓN. .

A

Ejederotación

O

B = A

PuntoAtrayectoriacirc

ularPuntoOcentroderotación TRASLACIÓNPURA ROTACIÓNPURA

MOVIMIENTOGENERAL:TRASLACIÓN +ROTACIÓN

B B B

A A A

B

B B

A

A A

Consideracióngeométrica para desplazamientospequeñoS

Silosdesplazamientossonpequeñoslosgirostambiénsonpequeñoslosdes-

plazamientossonperpendicularesalalíneaqueunelapartículaconelcentroderotación.

Eje de rotación

o ø

A A’’

A

øtg(ø)

AA’=rø AA’ = AA’’

AA’’=rtg(ø)

Relaciónentrelosdesplazamientospequeñosdedospuntosdeunsólidorígido(Teoremade

Mohr)

Desplazamiento A = traslación + rotación

(desplazamientodeB) (giro entornoaB)

A’ A/B

A

A

B

A’’

A-B

A=B+A/B

A= B+(B – A)xø

ø

B B’ Propiedadequiproyectivadelosde

splazamientospequeños.-

A=B + (B – A)xø

Multiplicando por (B –A)

A(B –A)=B(B –A)+[(B – A)x ø] (B–A) AAB=BAB

Movimiento plano:todaslas partículasdelsólido se desplazanen

planosparalelos.Placaplana: seccióndelsólidoparalela alos

desplazamientosdesuspartículas.

B

A

Polo B A

Q

Eje de

PLACAPLANAen

planoQ//plano

Paraladeterminación delmovimientoplano deunsólidorígido, es

suficienteestudiar unaPLACAPLANA del mismo

Centrode rotaciónoPOLO

Punto deinterseccióndelejederotaciónconelplano de laplacaplana.Puede

estarcontenido o no en laplacaplana.

Elpolo NO tienedesplazamiento.

Determinacióngráfica: R

1. Se conocenAyø

L

2. Se conocenAyø

A B

C A B

R

A B

C

A B

A

C ø

A

Nota:Setrabajacondosescalasdistintas,unaparadesplazamientosyotraparadistancias

y longitudes.

CADENACINEMÁTICA

Unióndedosomásplacasplanasmediantevínculosrelativos(ExternosoInter-

nos).Enelcursoanalizaremoscadenasde1 gradodeLibertad.

GRADODE LIBERTAD: GDL =3N –(VE+ VI)

N :Número de PLACAS

VE: RestriccionesdeVínculosExternosVI

:RestriccionesdeVínculosInternos

N = 2

VI= 1 x2= 2

VE= 2x2 =4

GDL= 0

1 Articulación 2 Apoyos

A

B

ø

ø

B

A

A

C B

N = 4 VI=2x2+ 1 x1 = 5 VE= 1x2 + 2x1= 4 GDL =3

2Articulaciones

1ApoyofijoP

OLOSABSOLUTOS YRELATIVOS

Notación:

Oi=PoloAbsoluto dela

placaSiTienedesplazamient

ocero.

Oij=Polo Relativoentrelas placas SiySj

Sisefijaunsólido, elotrorotaalrededorde

Oij.Oijesunpunto“común”de ambossólidos.

TEOREMASDE LINEALIDAD

1.-Dadasdos placasSiySjdeuna cadena, Oi,OjyOijestánen unamismarecta.2.-

DadastresplacasSi,SjySkdeunacadena,Oij,OikyOjkestánenunamisma

recta.

O2

O12

S2

O23

S1 S3

O13

O1 O3

S2

S3 S4

S1

1 Biela 2 Apoyossimples

DETERMINACIÓNDEDESPLAZAMIENTOSPEQUEÑOSENCADENASCINE

MÁTICASDEUNGRADODELIBERTA

Paraconocereldesplazamientodelpunto P dela placaSi, serequiereconocer:

Laubicacióndelpoloabsoluto Oi

El girodela placai

La distancia entreelpunto Py elpolo Oi.

Se puedeentonces aplicar la expresiónvectorial:P=ix (P–Oi)

Sinembargo,normalmenteserámásconvenienteutilizarexpresionesescalares,dadoques

etratademovimientoplano.Elvectorgiroseidentificamediantesumagnitudyelsentidoser

áhorariooantihorario.Losdesplazamientosdecadapuntotienenengeneraldoscomponent

es(x,y),referidosaalgúnorigenpredefinido.Así,tenemosque:

IIPII = II iIIII(P–Oi)I

P=(x, y)

IxPII(i) (distanciaen “y” entre Py

Oi)IIyPII(i) (distanciaen “x” entre P y Oi)I

i>0(Antihorario)o i<0(Horario)

Comosetratadecadenascinemáticasdegradodelibertad1,siseconoceeldes-

plazamientodeunpuntocualquieradeunadelasplacas,seráposiblehallareldesplazamiento

decualquierotropuntodelacadena,asícomolosgirosdetodaslasplacas.

Elprocedimientogeneraleselsiguiente:

1. Hallarelgrado delibertadde lacadenacinemática;si es iguala1,continuar.

2. Ubicarlos polosabsolutosy lospolosrelativosentreplacascontiguas. 3. ApartirdeldesplazamientoconocidodeunpuntodelaplacaSi,hallarelgirodelaplacaala

queperteneceestepuntoi(eldatotambiénpuedeserelgiro).

4. Hallar eldesplazamientodelpolorelativoentrelasplacas SiySj:Oij.

5. Con este desplazamientoOijsepuede calcularelgirode laplacaSj.

6. Continuarhastahallarelgirodelaplacaalaqueperteneceelpuntocuyodes-

plazamientoeslaincógnitayaplicarlaexpresiónvectorialolaexpresiónesca-

larparacalcularsudesplazamiento.

Enelcasodecollarines(ocorrederas),suelebuscarselarelaciónentreeldespla-

zamientorelativodelcollaríndentrodelabarraenlaquesedeslizaconlosdeotrospuntosdel

a cadena.

EldesplazamientoabsolutodelcollarínC(C2)puedeobtenersecomolasumavec-torialdeldesplazamientodeCcomointegrantedelabarraen laquesedesliza(S1)maseldesplazamientorelativode Cdentrodelabarra(paralelo a labarra).

1

Crelativoij=C2C1

C

S1

S2

A

30º 60º O12

O1

B

20 cm

O2

C2/1 C

C2

1

O1

S1

1

2

O2

2

O12

O12

Ejemplo:

HallarelgirodelabarraCE,silabarraABgira1x10-6radianesensentidohora-

rio. 200 kg

50cm

50cm

200 kg M

50cm

30cm

80cm 40cm40cm 50cm

: 25

71.565º C

50

45º 63.435º

B X

80

En S1: O1=AyB=O12En

S3:O3=EyC=O23

Por teoremadelinealidadhallamosO2

PorGeometríaarctg(100/50) =63.435º

O2

2

63.435º dC

2 O23

O12

S3

S2

100cm

3

dB

S1

1 dP

O3

63.435º

O1

80cm 40cm 40cm 50cm

Porgeometría

105

O2B=99cm O2X=78.26cm O2C=78.26–

50/(sen(63.435º))O2C=22.35

3=2.55x10–5/111.8 3=2.28x10-7rad

PRINCIPIODELTRABAJOVIRTUAL

Trabajodeunafuerza.-

ConsideramosunafuerzaF,aplicadasobreunapartículaqueexperimentaundesplazamiento

diferencialsalolargodesutrayectoria.

Eldiferencial detrabajoW producidopor F,esla cantidadescalar:

W=F.s

EnelsólidoS1: 1=1x10-6rad B=O1B1

O1B=802cm LuegoB=113.13 x10-6cm

EnelsólidoS2:2=B/(O2B)=113.13x10-6/99=1.14 x10-

6radLuegoC=O2C2=1.14 x10–5cm

EnelsólidoS3:3=C/(CO3) CO3= =111.80cm

W= Fscos

NOTA:Eltrabajorealizadoporlasfuerzasinternasesnulo,porserestasigualesdosadosenm

ódulo,direcciónysentidosopuestos.

1002502

ajodeunpar

Setieneelpardefuerzas

F1yF2T

alesque

F1=-F2 W=F1r1+F2r2

_ _

Pero: r2=r1+r2/1

Reemplazando _ _ _ _ _

W=F1 r1+F2 (r1+r2/1) _ _ _ _

W=(F1+ F2) r1+F2r2/1

-------

escero

_ _

W= F2r2/1 ademásr2/1=r_ _

W= M PositivosiMy tienenelmismosentido

NegativosiMy tienensentidocontrario

PrincipiodeTrabajoVirtual(PTV)

“Siunapartícula,sólidorígido o unsistema desólidosrígidosconectadosentre sies-

tánenequilibrio,eltrabajovirtualrealizadoporlasfuerzasyparesexteriores,du-

ranteundesplazamientovirtualcompatibleconlasrestriccionesovínculos,esnulo”.Esteprin

cipioesun métodoalternativoalasecuacionesdeequilibrio.

Trab

CASOS

SisetieneunsistemadeGDL=1,conunaincógnitatalcomounafuerzaomo-

mentoexternooundatogeométrico(cotaoángulo),seaplicaelPTVpararesol-verla.

Sisedesea calcular alguna componentedereacción externa enunsistema

deGDLiguala0,se“libera”elGDLrestringidopordichacomponenteyseaplicaelPTVparar

esolverla.

Ejemplo:

¿CuáldebeserelvalordelparMparaqueelsistemaseencuentreen equilibrio?

200 kg

50cm

50cm

200 kg M

50cm

30cm

80cm 40cm40cm 50cm

200kg

O2

2

63.435º dC

2 O23

50cm

45º

S1

200 kg

1

O12

dP

S3

M

S2

100cm

3

dB

O3

63.435º

O1

80cm 40cm 40cm 50cm

Porgeometría: O2

105

105/(sen(71.565º))=O2(X)/(sen(45))=O2(B)/(sen(63.435º))

O2B=99cm O2X=78.26cm O2C=78.26–

50/(sen(63.435º))O2C=22.35 B=O12 C=O23

PorlinealidadO2

25

71.565º C

50

45º 63.435º

B X

80

SuponemosenelsólidoS1que1

LuegodB=O2B1 OB=802cm

dB=113.131 dB=dB(cos45º,cos45º) dP=O1P1

O1P=502cm dP=70.711

dP=dP(cos45º,cos45º)EnelsólidoS2

dB=O2B2=992=113.1312=1.141

dC=O2C2=22.35(1.141)=25.481

dC=dC(sen63.435º,cos63.435º)

2=1.141k

Enelsistematenemos:

F1=200 kgienP M=M kenS2

F2=200kgj enCLasreaccionesenlosapoyosfijosnohacentrabajo.

PorelP.T.V.eltrabajoesnulo:F1xdP

+F2xdC+Mx2=0

200(70.711)cos45º+200(25.481)cos63.435º+(M)(1.141)=0

M= 10772kgxcm

Ejemplo:Si =45°,hallar la componente dereacciónhorizontal enelapoyo C.

B

0.6m 0.7m

200N

º

A C

LiberamoselGDLrestringidoporCx,lacualseconvierteenfuerza externa.

Enel ABC,porleydesenos:

sen/0.6=sen45º/ 0.7=37.307º

elánguloABC=180–45–=97.693º

senABC/AC=sen45º/0.7 AC=0.981m

EnCsuponemosquesedesplaza()EnS

1:A=O1 B=O12

O2seencuentraenlainterseccióndeO1O12ylaperpendicularac=(-xc,0)EnS2:

2=xc/ O2Cxc=0.9812

=BO2 BO2=AO2–

ABAO20.98121.387m

BO2=7.87 m=0.787 2

O2

2

B

2

O12

1

0.981

Ax 45º

O1

0.981

Cx

xC C

Cy

B

0.6m 0.7m

200 N

º Cx

A

EnS1:

2=xc/ O2Cxc=0.9812

=AB

sen45º,cos45º)

PorelP.T.V.

(0,200)x+Cxxc=0

0=200(0.7872)cos45º+Cx(0.9812)Cx=113.45N