Desigualdades e Inecuaciones Lex

Á L G E B R A

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DESIGUALDADES E DESIGUALDADES E INECUACIONESINECUACIONES

DESIGUALDADES

DESIGUALDAD

Es la relación que establece que dos cantidadestienen diferente valor.

Los signos que se utilizan para designar desigual-dades son:

> se lee: “mayor que”

< se lee: “menor que”

� se lee: “mayor o igual que”

� se lee: “menor o igual que”

Toda cantidad positiva “a” se considera mayor quecero (a > 0) y toda cantidad negativa “b” es menorque cero (b < 0).

DEFINICIONES IMPORTANTES

1) Una cantidad “a” es mayor que otra cantidad“b”, si la diferencia (a - b) es positiva, es decir:

a > b si a - b > 0

2) Una cantidad “a” es menor que otra cantidad“b”, si la diferencia (a - b) es negativa, es decir:

a < b si a - b < 0

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

1º Si a ambos miembros de una desigualdad se sumao se resta una misma cantidad, el sentido de ladesigualdad no se altera.

Sea: a > b

se cumple que : a ± m > b ± m

2º Si los dos miembros de una desigualdad se multi-plica o divide por una misma cantidad positiva, elsentido de la desigualdad no varía.

Sea: a > b

se cumple que: am > bm

a bo: –– > ––

m m

m > 0

3º Si los dos miembros de una desigualdad se multi-plica o divide por una misma cantidad negativa elsentido de la desigualdad se invierte.

Sea: a > b

se cumple: am < bm

a bo: –– < ––

m m

m < 0

4º Si se suma miembro a miembro dos o variasdesigualdades del mismo sentido, el resultado esuna desigualdad del mismo sentido.

Sea: a > b, c > d

entonces:a + c > b + d

Algebra 27/7/05 16:51 Página 363

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5º Si se multiplica o divide miembro a miembro doso varias desigualdades del mismo sentido, cuyosmiembros son positivos, se obtiene una desigual-dad del mismo sentido.

Sea: a > b, y c > d.

Multiplicando:

ac > bd

Dividiendo:

a b–– > ––c d

a > 0, b > 0, c > 0, d > 0

6º Si a ambos miembros de una desigualdad se elevaa una misma potencia impar, el sentido de ladesigualdad no varía.

Sea: a > b

se tiene: a2m+1 > b2m+1

7º Si a ambos miembros de una desigualdad se elevaa una misma potencia par, siendo los dos miem-bros negativos, se obtiene una desigualdad designo contrario.

Sea: a > b

entonces : a2n < b2n

a < 0, b < 0

8º Si a ambos miembros de una desigualdad se leextrae una misma raíz de índice impar se obtieneuna desigualdad del mismo sentido.

Sea: a > b

entonces:

2m+1 ––– 2m+1 –––

√a > √b

EJERCICIOS SOBRE DESIGUALDADES

___a + b1.- Demostrar que ––––– > √ ab

2Solución:

Si a ≠ b

luego:

(a - b)2 > 0

(si a = b, no se cumple)

efectuando:

a2 - 2ab + b2 > 0

Sumando a ambos miembros 4ab:

a2 - 2ab + 4ab + b2 > 4ab

a2 + 2ab + b2 > 4ab

(a + b)2 > 4ab

si son positivos ambos:___

a + b > 2√ab

de donde:___

a + b∴ ––––– > √ab 2

2.- Demostrar que:

a3 + b3 + c3 > 3abc; a, b, c son positivos.

Solución:

Si a, b, c, son positivos, entonces:

a + b + c > 0 (1)

también:

(a - b)2 > 0

luego:

a2 + b2 - 2ab > 0 (2)

además:

(a - c)2 > 0

luego:

a2 + c2 - 2ac > 0 (3)

y:

(b - c)2 > 0

luego:

b2 + c2 - 2ab > 0 (4)

Sumando (2), (3) y (4):

2(a2 + b2 + c2) - 2(ab + ac + bc) > 0

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a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc > 0 (5)

Multiplicando (1) y (5):

(a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) > 0

El primer miembro es una identidad algebraica,luego:

a3 + b3 + c3 - 3abc > 0

∴ a3 + b3 + c3 > 3abc

3.- Demostrar que: ax + by < 1

Si: a2 + b2 = 1 ; x2 + y2 = 1

Donde a, b, x, y, son diferentes y positivos.

Solución:

De la condición del problema se escribe:

(a - x)2 > 0

∴ a2 + x2 > 2ax (1)

(y - b)2 > 0

∴ y2 + b2 > 2yb (2)

Sumando (1) y (2):

a2 + b2 + x2 + y2 > 2(ax + by)

Sustituyendo las condiciones en esta desigualdad:

1 + 1 > 2(ax + by)

∴ ax + by < 1

4.- Demostrar que:

(b + c)(a + c)(a + b) > 8abc

(a,b,c, son positivos)

Solución:

Siendo a, b, c, números positivos, se tiene:

a2 + b2 > 2ab (1)

c2 + b2 > 2bc (2)

a2 + c2 > 2ac (3)

Multiplicando (1) por c, (2) por a y (3) por b:

a2c + b2c > 2abc (4)

c2a + b2a > 2abc (5)

a2b+ c2b > 2abc (6)

Sumando miembro a miembro (4), (5) y (6):

a2c + b2c + c2a + b2a + a2b + c2b > 6abc

Sumando a ambos miembros 2abc:

(a2c + 2abc + b2c)+(c2a + c2b)+(a2b + ba2) > 8abc

factorizando:

c(a + b)2 + c2(a + b) + ab(a + b) > 8abc

(a + b)(ac + bc + c2 + ab) > 8abc

factorizando en el segundo paréntesis:

(a + b) [c(a + c) + b(a + c)] > 8abc

∴ (a + b)(a + c)(b + c) > 8abc

CLASES DE DESIGUALDADES

1.- DESIGUALDADES ABSOLUTAS.- Son aquellasque se verifican para cualquier valor o sistemasde valores, dado a sus letras.

Ejemplo:

(x - 5)2 + 7 > 0

2.- DESIGUALDAD RELATIVA O INECUACIÓN.-Son aquellas que se verifican para determina-dos valores o sistemas de valores, asignados asus letras.

Ejemplo:

3x - 7 > 14

sólo se satisface para x > 7

INECUACIONES DE PRIMER GRADOCON UNA INCOGNITA

Son aquellas que pueden reducirse a la forma:

ax ± b > 0

o:ax ± b < 0


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SOLUCIÓN A UNA INECUACIÓN

Es todo valor de la incógnita, o conjunto de valores delas incógnitas, que verifican la desigualdad.

Para expresar convenientemente las soluciones quese obtengan al resolver inecuaciones es necesariodefinir:

INTERVALO ABIERTO.- Es el conjunto de ele-mentos “x”, limitados en sus extremos por loselementos “a” y “b”; donde a < b, para los cualesse cumple que a < x < b. El intervalo abierto sedenota por ( a, b ).

Ejemplo:

Sea el intervalo (2, 5), según la definición se debetomar todos los números reales comprendidosentre 2 y 5, a excepeción de éstos.

INTERVALO CERRADO.- Es el conjunto de ele-mentos “x”, limitados en sus extremos por loselementos “a” y “b”, donde a < b, para los cualesse cumple que � a x � b. El intervalo cerrado serepresenta por [a,b].

Ejemplo:

Sea el intervalo [2,7], según la definición, los ele-mentos que forman este intervalo, son todos losnúmeros comprendidos entre 2 y 7, incluyendoéstos.

VALOR ABSOLUTO.- El valor absoluto de unnúmero real “x”, representado por | x | , se definepor la siguiente regla:

| x | = x si x > 0

| x | = -x si x < 0

Ejemplo:

i) | 7 | = 7

ii) | -2 | = -(-2) = 2

7 7 7iii) | - –– | = - (- ––) = ––5 5 5

EJERCICIOS RESUELTOS

1.- Resolver:

3x 7 x 1 7x––– - ––– - ––– > –– + –––5 10 20 5 20

Solución:

Multiplicando por 20:

12x - 14 - x > 4 + 7x

4x > 18

9x > ––2

En forma de intervalo será:

x ∈ (9/2, + ∞ ), que se lee: “x pertenece al inter-valo abierto comprendido entre 9/2 e infinito”.

2.- Resolver:

5 2x 7 x 5 2(6x - 2) –– - (1 - –––) –– < 4x + (–– - –––) ––8 3 3 2 12 3

Solución:

Realizando transformaciones:

5 7 1(3x - 1) –– - (3 - 2x) –– < 4x + (6x - 5) –––4 9 18

Multiplicando por 36:

45(3x - 1) - 28(3 - 2x) < 144x + 2(6x - 5)

135x - 45 - 84 + 56x < 144x + 12x - 10

135x + 56x - 144x - 12x < -10 + 84 + 45

35x < 119

119x < ––––35

17x < –––5

En forma de intervalo:

17x ∈ ( - ∞, –––)5

3.- Resolver 23x-5 > 42x-4

Solución:

Igualando las bases de las potencias: 23x-5 > 24x-8

Si una potencia es mayor que otra, en los expo-nentes también deben cumplir esta desigualdad,así:

3x -5 > 4x -8

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transponiendo y operando:

-x > -3

multiplicando por (-1):

x < 3

en forma de intervalo:

x ∈ ( - ∞,3 )

4.- Resolver:5 ––––––– 7 –––––––

5x + 13 8x + 1––––––– –––––––

2 4 √3 > √27

Solución:

Transformando, para que tenga la misma base:

5x + 13 8x + 1––––––– –––––––10 28 3 > (33)

5x + 13 24x + 3––––––– –––––––10 28 3 > 3

también:

5x + 13 24x + 3––––––– > –––––––

10 28

multiplicando por 280:

28(5x + 13) > (24x + 3)10

Operando, simplificando y despejando x:

x < 3,34


x ∈ ( - ∞, 3,34 )

INECUACIONES

SISTEMA DE INECUACIONES

1.- SISTEMA DE INECUACIONES CON UNAINCOGNITA

Para resolver un sistema de este tipo:

1º Se halla las soluciones de cada inecuación enforma separada.

2º Se comparan éstas para establecer las solu-ciones comunes a todas las inecuaciones.

3º Se grafica las soluciones en la recta numérica,para facilitar la solución.

2.- SISTEMAS DE INECUACIONES CON 2 ó MASINCOGNITAS

Para resolver este tipo de sistema, se trata de elimi-nar una incógnita, restando inecuaciones de senti-do contrario, procediendo de esta manera hastaobtener una inecuación con una sola incógnita.


1.- Resolver:

3x––– - 5 > 7 (1)4

x–– + 3 > x - 9 (2)2

Solución:

Resolviendo la inecuación (1), para lo cual semultiplica por 4:

3x - 20 > 28

3x > 48

x > 16

Resolviendo la inecuación (2), para lo cual semultiplica por 2:

x + 6 > 2x - 18

-x > -24

x < 24

Graficando las soluciones:

-∞ 0 16 24 +∞

La solución común es: 16 < x < 24

escribiendo como intervalo: x ∈ (16,24)

2.- Resolver el sistema:

x - 22x - 1 > ––––– (1)2

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3x x + 1––– - 2 > ––––– (2)5 10

2x - 7 3x - 1–––––– > –––––– (3)5 4

Solución:

Resolviendo cada inecuación:

(1) 6x - 3 > x - 2

6x - x > 1

1∴ x > ––5

(2) 6x - 20 > x + 1

6x - x > 21

21∴ x > –––5

(3) 8x + 28 > 15x - 5

8x - 15x > -5 - 28

33∴ x < –––7

Graficando:

-∞ 0 1 21 33 +∞–– ––– –––5 5 7

La solución es:

21 33––– < x < –––5 7


21 33x ∈ ( ––– , –––)5 7

3.- Resolver el sistema para valores enteros y posi-tivos:

5x - 3y > 2 (1)

2x + y < 11 (2)

y > 3 (3)

Solución:

Combinando las inecuaciones (1) y (2):

(1) por 2 : 10x - 6y > 4

(2) por -5: -10x - 5y > -55

Sumando miembro a miembro:

-11y > -51

51y < –––11

Combinando este resultado con la inecuación(3):

513 < y < –––11

El único valor entero y positivo para “y” com-prendido en este intervalo es y = 4.

Sustituyendo este valor en (1) y (2):

En (1):

5x - 12 > 2

5x > 14

14x > –––5

En (2):

2x - 4 < 11

2x < 7

7x < ––2

para “x” se obtiene:

14 7––– < x < ––5 2

El único valor entero y positivo para “x” com-prendido en este intervalo es 3:

x = 3∴

y = 4

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4.- Resolver para valores enteros y positivos:

x + y + z > 8 (1)

x - y + z < 4 (2)

z - y > 0 (3)

z < 5 (4)

Solución:

De (3): z > y

Restando (1) - (2) se obtiene:

y > 2 (5)

De (3) y (5) se obtiene:

2 < y < z (6)

De (4) y (6):

2 < y < z < 5 (7)

Luego:

2 < y < 5

Los valores enteros que puede tomar “y” son”:

x = 3o:

y = 4

(1) para y = 4, en (7):

4 < z < 5

No hay valor entero para “z”.

(2) para y = 3, en (7):

3 < z < 5

El valor entero para z = 4

Sustituyendo estos valores en (1) y (2):

x + 3 + 4 > 8 → x > 1

x - 3 + 4 < 4 → x < 3

de estas 2 últimas ecuaciones:

1 < x < 3

El valor entero para x = 2:

∴ x = 2 , y = 3 , z = 4

5.- Un matrimonio dispone de S/.320 para ir al cinecon sus hijos. Si comprasen entradas de S/.50les faltaría dinero y si compraran de S/.40 lessobraría dinero. ¿Cuántos son los hijos?

Solución:

Sea el número de hijos “x”.

En el primer caso gastarían:

50x + 100

por la condición:

50x + 100 > 320

de donde: 22x > –––5

En el segundo caso gastarían:

40x + 80

Por la condición: 40x + 80 < 320

de donde: 240x < ––––40

x < 6

Luego: 22––– < x < 65

El valor que debe tomarse para “x” es un númeroentero y positivo, ya que representa el número dehijos, en este caso:

x = 5

6.- En un gallinero había cierto número de gallinas.Se duplicó el número y se vendió 27, quedandomenos de 54. Después se triplicó el número degallinas que había al principio y se vendió 78,quedando más de 39. ¿Cuántas gallinas habíanal principio?

Solución:

Suponiendo que sea “x” el número de gallinasque había al principio.

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Por datos del problema se puede escribir:

(1) 2x - 27 < 54

2x < 81

x < 40,5

(2) 3x - 78 > 39

3x > 117

x > 39

Luego:

39 < x < 40,5

es decir:

x = 40

Rpta.: inicialmente había 40 gallinas.

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Reciben este nombres las inecuaciones que, reduci-das, toman la forma:

ax2 + bx + c > 0o:

ax2 + bx + c < 0

Resolver una inecuación de segundo grado es hallarel intervalo en donde se encuentra la incógnita, demanera tal que se verifique la desigualdad. Se estudiatres casos:

1er. Caso: Cuando la inecuación es:

ax2 + bx + c > 0

Se factoriza el trinomio. Suponiendo que sepuede factorizar de la siguiente manera:

p(x - r1)(x - r2) > 0 (1)

siendo p > 0, dividiendo entre “p”:

(x - r1)(x - r2) > 0 (2)Para que se verifique esta desigualdad, es nece-sario que los dos factores sean o ambos positivoso ambos negativos.

Sea (1) : x - r1 > 0 ⇒ x > r1

x - r2 > 0 ⇒ x > r2

Sea (2): x - r1 < 0 ⇒ x < r1

x - r2 < 0 ⇒ x < r2

Analizando estos dos sistemas se llega a la solu-ción final.

2do. Caso.- Cuando la inecuación es

ax2 + bx + c < 0 (1)

En forma análoga a la anterior se llega a:

(x - r1)(x - r2) < 0 (2)

Para que se verifique esta desigualdad de los dosfactores, uno es positivo y el otro negativo, oviceversa:

Sea (1) : x - r1 > 0 ⇒ x > r1

x - r2 < 0 ⇒ x < r2

Si: r1 < r2

∴ r1 < x < r2

Sea (2): x - r1 < 0 ⇒ x < r1

x - r2 > 0 ⇒ x > r2

Si: r1 < r2

No hay solución.

3er. Caso.- Cuando la inecuación es ax2 + bx + c > 0y tiene sus raíces complejas, solamente se verificapara ese sentido, porque se trata de una desigualdadabsoluta. Véase el Ejercicio 4.


1.- Resolver : x2 - 7x + 12 > 0

Solución:

Factorizando el trinomio:

(x - 4) (x - 3) > 0

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Estudiando los dos casos:

a) x - 4 > 0 x > 4∴ x > 4

x - 3 > 0 x > 3

b) x - 4 < 0 x < 4∴ x < 3

x - 3 < 0 x < 3

La solución general es:

x > 4o:

x < 3


x ∈ (-∞, 3) ∪ (4, ∞)

3.- Resolver: x2 - 9x + 18 < 0

Solución:

Factorizando el trinomio:

(x - 6) (x - 3) < 0

Analizando los 2 casos:

1) x - 6 > 0 ⇒ x > 6 } No hay solucióncomún

x - 3 < 0 ⇒ x < 3

2) x - 6 < 0 ⇒ x < 6 } La solución es3 < x < 6

x - 3 > 0 ⇒ x > 3

En forma de intervalo: x ∈ (3,6)

3.- Resolver el sistema:

x2 - 12x + 32 > 0 (I)

x2 - 13x + 22 < 0 (II)

Solución:

Resolviendo cada inecuación separadamente:

(I) (x - 4)(x - 8) > 0

cuya solución es:

x > 8o:

x < 4

(II) (x - 11)(x - 2) < 0

cuya solución es:

2 < x < 11

Graficando la solución obtenida:

-∞ 2 4 8 11 +∞

la solución común es:

x ∈ (2,4) ∪ (8,11)

4.- Resolver x2 + x + 1 > 0

Solución:

Como no es posible factorizar se plantea:

x2 + x + 1 = 0

donde:______

-1 ± √1 - 4x = ––––––––––––2

entonces:___ ___

- 1 + √3 i - 1 - √3 ix = –––––––––– y = –––––––––2 2

Nótese que las raíces son complejas luego se tratadel 3er. caso de inecuaciones.

y se puede escribir:

___ ___-1 + √3 i - 1 - √3 i[x -(–––––––––)][x -(––––––––––)] > 0

2 2

o también:

__ __1 √3 1 √3 [(x + ––) - –––– i][(x + ––) + –––– i] > 02 2 2 2

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α αefectuando:

2__

21 √3 (x + ––) - (–––– i) > 0 2 2

21 3(x + ––) + –– > 02 4

Se observa que cuando las raíces son complejas,la relación de mayor es cierta y en el caso con-trario no se cumple.

INECUACIONES IRRACIONALES

Son aquellas en las que las incógnitas se hallan afec-tadas por radicales.


1.- Resolver: _____

√x - 2 - 3 < 0

Solución:

Transponiendo:

_____√x - 2 - 3 (I)

La expresión subradical debe ser positiva, paraque exista dentro del campor real, ésto es:

x - 2 > 0

x > 2 (A)

Elevando al cuadrado (I):

x - 2 < 9

x < 11 (B)

La solución es:

2 < x < 11o:

x ∈ (2,11)

2.- Resolver:___________

2x - 5 > √x2 - 2x + 10

Solución:

Se debe cumplir que:

x2 - 2x + 10 > 0

Elevando al cuadrado la inecuación original:

4x2 - 20x + 25 > x2 - 2x + 10

3x2 - 18x + 15 > 0

x2 - 6x + 5 > 0factorizando:

(x - 5)(x - 1) > 0

de donde:

x > 5 o x < 1asi:

__________√x2 - 2x + 10 > 0

2x - 5 > 0

x > 2,5

Notar que x < 1 no es solución.

-∞ -2 2 2,5 3 5 +∞

La solución común es: x > 5 en forma deintervalo:

x ∈ (5,+∞)


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EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Hallar los valores enteros y positivos que satis-facen la inecuación.

3 ––––––– –––––––5x + 1 3(x + 1)

––––––– –––––––2 5 √3 < √9

a) 2 b) 3 c) 1 d) 5 e) 6

2. Hallar el número de valores enteros y positivosque verifican:

5 3 2x 4 x 5(x - ––) –– + ––– - –– < –– - (2x - 1) ––2 2 3 5 2 6

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3. Hallar el número de valores enteros y positivosque verifican:

__2 33√2

8x-1> 4x - ––

4

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2x + 1 2 - x 4. Resolver: –––––– - –––––– > 15 3

a) x < 2 b) x > 3 c) x < 3

d) x > 2 e) x < 1

5x - 1 3x - 13 5x + 15. Resolver: –––––– - ––––––– > ––––––4 10 3

a) x > 7 b) x < 7 c) x > 4

d) x < 4 e) x >2

6. Resolver: | 3x - 5 | < 3

2 8 2 5a) x ∈ < –– , –– > b) x ∈ < –– , –– >3 3 3 3

2 8 2 5c) x ∈ < - –– , –– > d) x ∈ < - –– , –– >3 3 3 3

2 11e) x ∈ < –– , ––– >3 3

1_(x6 - 2x3+ 1) 2 1-x

1 1 7. Resolver: (––) < (––)2 2

a) x > -1 b) x > 1 c) x > 0

d) x < 2 e) x < -2

x28. Resolver: ––––– < x + 6

x - 2

a) x ∈ < -∞ ,2 > b) x ∈ < 3 ,∞ >

c) x ∈ < -∞ ,2 > ∪ < 3 ,∞ > d) x ∈ < -∞ ,3 >

e) x ∈ < 2,∞ >

9. Hallar “a” en |x - a| < b si es equivalente a:2 < x < 4.

a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5

10.- Calcular:

|5x - 20| - |3x - 20|E = –––––––––––––––– si x ∈ < -3, -2 >

x

a) 2 b) 1 c) 3 d) -2 e) 5

11. Para qué valores de “a” se verifica la desigualdad:

3a + 101 < ––––––– < 2a + 7

3 3a) a ∈ < –– , 4 > b) a ∈ < - ––, 4 >2 2

1 1c) a ∈ < –– , 4 > d) a ∈ < - ––, 4 >2 2

5e) a ∈ < –– , 4 >2

12. Para qué valores de “m” el sistema de ecua-ciones:

9x + 7y > m

3x + 5y < 13

tiene soluciones positivas?


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- 374 -

α

α α91 26 26 91a) m < ––– b) m > ––– c) ––– < m < –––5 3 3 5

2 9 1 7d) –– < m < –– e) –– < m < ––3 7 5 5

13.- Resolver para valores enteros y dar el valor de “y”:

5x - 3y + 2z > 7

2x + y + z > 14

3y + x < 15

y < 3

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

14.- Resolver para valores enteros y positivos y darel valor de “y”:

-x + 2y > 2

x - y > -2

4x + y < 7

a) 1 b) -4 c) 3 d) 5 e) 2

15. Resolver el sistema para valores enteros y posi-tivos y dar el valor de z:

2y < x

4y > 7z

x < 2x + 4

a) 5 b) 2 c) 1 d) 3 e) 4

16. Se sabe que el cuádruplo del número de mon-edas que hay dentro de un bolso es tal, que dis-minuído en 5, no puede exceder de 31, y que elquíntuplo del mismo número de monedasaumentado en 8, no es menor que 52. ¿Cuál esdicho número?

a) 7 b) 12 c) 10 d) 9 e) 7

17. Un comerciante adquirió un cierto número deespecies de las que vendió 70 y le quedaron másde la mitad. Al día siguiente le devolvieron seis,pero logró vender 36, después de lo cual lequedan menos de 42. ¿Cuántas especies forma-ban el lote?

a) 140 b) 141 c) 142 d) 143 e) 144

3 518. Si x ∈ < –– , –– >, 2 2

determinar el menor número M tal que:

x + 4|–––––– | < Mx - 4

1 13 11 12a) 13 b) –– c) ––– d) ––– e) –––

3 3 3 5

19. Para qué valores de “a” se satisface el sistema dedesigualdes:

x2 + ax - 2- 3 < ––––––––– < 2x2 - x + 1

a) x ∈ < -1,3 > b) x ∈ < -1,5 >

c) x ∈ < -1,7 > d) x ∈ < -1,2 >

e) x ∈ < -1,6 >

x2 - 7x + 10 20. Resolver: ––––––––––– > 0

x2 - 9x + 8

a) x ∈ < 2,5 > b) x ∈ < 1,8 >

c) x ∈ < -∞,1 > d) x ∈ < 8,+∞ >

e) x ∈ < 2,8 >

CLAVE DE RESPUESTAS

1) C 2) A 3) C 4) D 5) B

6) A 7) B 8) C 9) B 10) D

11) B 12) C 13) D 14) E 15) C

16) D 17) B 18) C 19) A 20) A


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Desigualdades e Inecuaciones Lex

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