Descripción de los índices de información estadística utilizados enlas cartas de control y en los estudios estadísticos individuales I

Medidas de posición

  Ma

Media aritmètica es el cociente que se obtiene de dividir la suma de los valores de la variable por el nùmero de observaciones.  Ma = (x1 + x2 + x3 + x4 +........xn)/n

Ma = (Σxi)/n

Mp

Media aritmetica ponderada se utiliza para calcular la media aritmètica simple agupando previamente los datos en una tabla de frecuencia.

 Mp = x1y1 + x2y2 + x3y3 + x4y4......xnyn)/n

(x) = (Σxini)/n

  Me

Mediana es el valor de la variable que supera la mitad de las observaciones y a su vez es superado por la otra mitad de las observaciones. Me = (n+1)/2

Md

La Moda es aquel valor de la variable ò del atributo que presenta la mayor frecuencia.

 No existe fòrmula

Medidas de dispersiòn

  R

El Rango es la diferencia entre el valor màximo y el valor mìnimo.

R = nmàximo – nmìnimo

s2

La varianza es la media aritmètica de los cuadrados de las desviaciones respeco a la media aritmètica.

 s2 = Σ(xi – (x))2) )/n

σ

La desviaciòn estàndar ò tìpica es la raiz cuadrada de la varianza.

σ = Raiz(s2 )

Cv

El coeficiente de variaciòn es el resultado de dividir la desviaciòn estàndar por su media aritmètica, expresando el resultado en tèrminos porcentuales.

 Cv = s2/(x)

Da

La desviaciòn media es la media aritmètica de las desviaciones respecto a la media, tomadas en valor absoluto.

Da = Σ(xi – (x))/n

g2

La curtosis es la medida de altura de la curva y està dada por el cuarto momento respecto a la media, dividida por la varianza elevada al cuadrado.

 g2 = m4/(s2)2 = m4/s4

Descripción de los índices de información estadística utilizados enlas cartas de control y en los estudios estadísticos individuales II

  Cp

Índice de capacidad y habilidad del proceso calculado a partir de la desviación estándar estimada.  Cp = Tolerancia/Sigma estimada

Sigma estimada = Rango medio / d2

donde d2 es el factor de Tipett para el tamaño de subgrupo de la carta de control.      

Cpk

Índice de capacidad y habilidad del proceso calculado a partir de la desviación estándar normalizada mínima cuando se calcula para ambos límites en una condición de límites simétricos

 Cpk = Zmin/3

Este índice toma en cuenta la posición de la distribución de los datos con respecto a los límites de especificación y determina la posición crítica de la distribución con respecto a los límites de especificaciones.   

Pp

Índice de capacidad y habilidad del proceso potencial de desempeño. Se calcula de la siguiente manera:

 Pp = Tolerancia / 6 x Sigma  

Ppk

Índice de capacidad y habilidad del proceso potencial para la desviación estándar normalizada mínima calculado a partir de Sigma estimada:

 Ppk = Z min estimada / 3   

CR y PR

Son las Razones de Capacidad y Habilidad del proceso respectivamente, siendo los valores inversos de Cp y Pp:

 CR = 1/Cp     PR = 1/Pp   

ZLSE y ZLIE

Son las desviaciones estándar normalizadas calculadas a partir de la Sigma calculada de los datos individuales:

Z = |Lim - Media de proceso / Sigma   

CPS

Índice de capacidad y habilidad del proceso calculado a partir del límite superior de especificaciones y la sigma estimada     CPS = (L.S.E. – Ma) / (6 x Sigma estimada)

CPI

Índice de capacidad y habilidad del proceso calculado a partir del límite Inferior de especificaciones y la sigma estimada:    CPI = (Ma – L.I.E.) / (6 x Sigma estimada)

 

Grafico de Control por Atributos

Descripción de los índices de información estadística utilizados enlos gráficos de control x - R

  R

El Rango es la diferencia entre el valor màximo y el valor mìnimo.

R = nmàximo – nmìnimo

s2

La varianza es la media aritmètica de los cuadrados de las desviaciones respeco a la media aritmètica.

 s2 = Σ(xi – (x))2) )/n

σ

La desviaciòn estàndar ò tìpica es la raiz cuadrada de la varianza.

σ = Raiz(s2 )

Cv

El coeficiente de variaciòn es el resultado de dividir la desviaciòn estàndar por su media aritmètica, expresando el resultado en tèrminos porcentuales.

 Cv = s2/(x)

Da

La desviaciòn media es la media aritmètica de las desviaciones respecto a la media, tomadas en valor absoluto.

Da = Σ(xi – (x))/n

g2

La curtosis es la medida de altura de la curva y està dada por el cuarto momento respecto a la media, dividida por la varianza elevada al cuadrado.

 g2 = m4/(s2)2 = m4/s4

Factores Gráficos x - R

Estimación de σ a partir de (R) ò σ

n

Factor Factorpara estimar a para estimar apartir de (R) partir de (σ)d2 = (R)/σ c2 = (σ)/σ

2 1,128 0,56423 1,693 0,72364 2,059 0,79795 2,326 0,84076 2,534 0,86867 2,704 0,88828 2,847 0,90279 2,970 0,913910 3,078 0,922711 3,173 0,930012 3,258 0,935913 3,336 0,941014 3,407 0,945315 3,472 0,949016 3,532 0,952317 3,588 0,955118 3,640 0,957619 3,689 0,959920 3,735 0,961921 3,778 0,963822 3,819 0,965523 3,895 0,967024 3,895 0,968425 3,931 0,969630 4,086 0,974835 4,213 0,981140 4,220 0,981145 4,415 0,983250 4,498 0,984955 4,572 0,986360 4,639 0,987465 4,699 0,988470 4,755 0,989275 4,806 0,990080 4,854 0,990685 4,898 0,991290 4,939 0,991695 4,978 0,9921100 5,015 0,9925

Factores para determinar los Límites de Control de 3 σ a partir de R para gráficas x - R

n

Factor FactoresGráfica x Gráfica R

A2L.I.C. L.S.C.

D3 D42 1,880 0,000 3,2703 1,020 0,000 2,5704 0,730 0,000 2,2805 0,580 0,000 2,1106 0,480 0,000 2,0007 0,420 0,080 1,9208 0,370 0,140 1,8609 0,340 0,180 1,82010 0,310 0,220 1,78011 0,290 0,260 1,74012 0,270 0,280 1,72013 0,250 0,310 1,69014 0,240 0,330 1,67015 0,220 0,350 1,65016 0,210 0,360 1,64017 0,200 0,380 1,62018 0,190 0,390 1,61019 0,185 0,400 1,60020 0,180 0,410 1,590

Factores para determinar los Límites de Control de 3 σ a partir de σ para gráficas x - σ

n

FactorGráfica x

FactoresGráfica σ

A1L.I.C. L.S.C.

B3 B42 3,760 0,000 3,2703 2,390 0,000 2,5704 1,880 0,000 2,2705 1,600 0,000 2,0906 1,410 0,030 1,9707 1,280 0,120 1,8808 1,170 0,190 1,8109 1,090 0,240 1,76010 1,030 0,280 1,72011 0,970 0,320 1,68012 0,930 0,350 1,65013 0,880 0,380 1,62014 0,850 0,410 1,59015 0,820 0,430 1,57016 0,790 0,450 1,55017 0,760 0,470 1,53018 0,740 0,485 1,52019 0,720 0,500 1,50020 0,700 0,510 1,49021 0,680 0,520 1,48022 0,660 0,530 1,47023 0,650 0,540 1,46024 0,630 0,550 1,45025 0,62 0,560 1,44030 0,56 0,600 1,40035 0,52 0,630 1,37040 0,48 0,660 1,34045 0,45 0,680 1,32050 0,43 0,700 1,30055 0,41 0,710 1,29060 0,39 0,720 1,28065 0,38 0,730 1,27070 0,36 0,740 1,26075 0,35 0,750 1,25080 0,34 0,760 1,24085 0,33 0,770 1,23090 0,32 0,775 1,25595 0,31 0,780 1,220100 0,30 0,790 1,210

Factores para determinar los Límites de Control de 3 σ a partir de σ para gráficas x – R y σ

n

FactorGráfica x

FactoresGráfica R

FactoresGráfica σ

AL.I.C. L.S.C. L.I.C. L.S.C.

D1 D2 B1 B22 2,120 0,000 3,690 0,000 1,8403 1,730 0,000 4,360 0,000 0,8254 1,500 0,000 4,700 0,000 1,8105 1,340 0,000 4,920 0,000 1,7606 1,220 0,200 5,080 0,030 1,7107 1,130 0,390 5,200 0,100 1,6708 1,060 0,550 5,310 0,170 1,6409 1,000 0,690 5,390 0,220 1,610

10 0,950 0,810 5,470 0,260 1,58011 0,900 0,920 5,530 0,300 1,56012 0,870 1,030 5,590 0,330 1,54013 0,830 1,120 5,650 0,360 1,52014 0,800 1,210 5,740 0,375 1,51015 0,770 1,280 5,780 0,410 1,49016 0,750 1,360 5,820 0,425 1,48017 0,730 1,430 5,850 0,440 1,46518 0,710 1,490 5,890 0,455 1,45019 0,690 1,550 5,920 0,480 1,44020 0,670 0,490 1,43021 0,650 0,500 1,42022 0,640 0,520 1,41023 0,630 0,530 1,40524 0,610 0,540 1,40025 0,600 0,550 1,39030 0,550 0,590 1,36035 0,510 0,620 1,33040 0,470 0,650 1,31045 0,450 0,670 1,30050 0,420 0,680 1,28055 0,400 0,700 1,27060 0,390 0,710 1,26065 0,370 0,725 1,25070 0,360 0,740 1,24075 0,350 0,750 1,23080 0,340 0,755 1,22585 0,330 0,760 1,22090 0,320 0,770 1,21595 0,310 0,775 1,210

100 0,300 0,780 1,200

Área bajo la curva normal tipificada de 0 a Z

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,03590,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,07540,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,11410,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,15700,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,18790,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,22240,6 0,2258 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2518 0,25490,7 0,2580 0,2612 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,28520,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2996 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,31330,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,33891,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3511 0,3554 0,3577 0,3599 0,36211,1 0,3643 0,3665 0,3860 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,38301,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,40151,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,41771,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,43191,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,44411,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,45451,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,46331,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,47061,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,47672,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,48172,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4843 0,4846 0,4850 0,4854 0,48572,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,48902,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,49162,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,49362,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,49522,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,49642,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,49742,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,49812,9 0,4981 0,4882 0,4982 0,4983 0,4954 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,49863,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,49903,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,49933,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,49953,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,49973,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,49983,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,49983,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000

Descripción de los índices de información estadística utilizados enlas cartas de control p

  R

El Rango es la diferencia entre el valor màximo y el valor mìnimo.

R = nmàximo – nmìnimo

s2

La varianza es la media aritmètica de los cuadrados de las desviaciones respeco a la media aritmètica.

 s2 = Σ(xi – (x))2) )/n

σ

La desviaciòn estàndar ò tìpica es la raiz cuadrada de la varianza.

σ = Raiz(s2 )

Cv

El coeficiente de variaciòn es el resultado de dividir la desviaciòn estàndar por su media aritmètica, expresando el resultado en tèrminos porcentuales.

 Cv = s2/(x)

Da

La desviaciòn media es la media aritmètica de las desviaciones respecto a la media, tomadas en valor absoluto.

Da = Σ(xi – (x))/n

g2

La curtosis es la medida de altura de la curva y està dada por el cuarto momento respecto a la media, dividida por la varianza elevada al cuadrado.

 g2 = m4/(s2)2 = m4/s4

Ejemplo Gráfico de Control p

 No.

muestra

UnidadesRevisadas

n

No. DeDefectos (x)

x

Fracciòndefectuosa

p = x/n

% Defecuoso100p

 

  

Raiz(n)

 Varianza

 

1DesviaciónEstándar

3DesviaciónEstándar L.S.C

L.I.C

1 8686 1015 0,11685 11,685% 93,199 0,1032 0,0036 0,0109 0,143139 0,121331

2 4683 768 0,16400 16,400% 68,432 0,1371 0,0050 0,0149 0,147085 0,117384

3 10957 1271 0,11600 11,600% 104,676 0,1025 0,0032 0,0097 0,141943 0,122526

4 8023 1091 0,13598 13,598% 89,571 0,1175 0,0038 0,0113 0,143580 0,120889

5 7463 965 0,12930 12,930% 86,389 0,1126 0,0039 0,0118 0,143998 0,120471

6 6541 940 0,14371 14,371% 80,876 0,1231 0,0042 0,0126 0,144800 0,119669

7 8174 1081 0,13225 13,225% 90,410 0,1148 0,0037 0,0112 0,143475 0,120994

8 3156 458 0,14512 14,512% 56,178 0,1241 0,0060 0,0181 0,150324 0,114145

9 3199 569 0,17787 17,787% 56,560 0,1462 0,0060 0,0180 0,150202 0,114267

10 10059 1258 0,12506 12,506% 100,295 0,1094 0,0034 0,0101 0,142367 0,122102

11 9808 1146 0,11684 11,684% 99,035 0,1032 0,0034 0,0103 0,142496 0,121973

12 5630 1335 0,23712 23,712% 75,033 0,1809 0,0045 0,0135 0,145778 0,118691

13 9271 1261 0,13602 13,602% 96,286 0,1175 0,0035 0,0106 0,142789 0,121680

14 7459 917 0,12294 12,294% 86,366 0,1078 0,0039 0,0118 0,144001 0,120468

15 7690 1105 0,14369 14,369% 87,693 0,1230 0,0039 0,0116 0,143823 0,120646

16 4407 566 0,12843 12,843% 66,385 0,1119 0,0051 0,0153 0,147543 0,116926

17 3157 537 0,17010 17,010% 56,187 0,1412 0,0060 0,0181 0,150321 0,114148

18 6864 760 0,11072 11,072% 82,849 0,0985 0,0041 0,0123 0,144501 0,119969

19 9197 1292 0,14048 14,048% 95,901 0,1207 0,0035 0,0106 0,142831 0,121638

20 7615 873 0,11464 11,464% 87,264 0,1015 0,0039 0,0116 0,143880 0,120589

21 1423 142 0,09979 9,979% 37,723 0,0898 0,0090 0,0269 0,159174 0,105295

22 7077 1110 0,15685 15,685% 84,125 0,1322 0,0040 0,0121 0,144315 0,120155

23 6864 918 0,13374 13,374% 82,849 0,1159 0,0041 0,0123 0,144501 0,119969

24 7765 971 0,12505 12,505% 88,119 0,1094 0,0038 0,0115 0,143767 0,120702

25 8063 829 0,10282 10,282% 89,794 0,0922 0,0038 0,0113 0,143552 0,120917

26 7671 943 0,12293 12,293% 87,584 0,1078 0,0039 0,0116 0,143838 0,120632

27 6468 856 0,13234 13,234% 80,424 0,1148 0,0042 0,0126 0,144871 0,119599

28 2497 342 0,13696 13,696% 49,970 0,1182 0,0068 0,0203 0,152572 0,111898

29 7343 759 0,10336 10,336% 85,691 0,0927 0,0040 0,0119 0,144094 0,120375

Totales: 197210 26078

Promedios: 6800,34 899,24 0,13223 80,892 0,145502 0,118967

Desviaciones σ: 3

Promedio (p):26.078 / 197.210 = 0,13223Varianza: 0,13223 x (1 – 0,13223) = 0,1147Promedio revisado:192.210 / 29 = 6,800,34Raiz (n): Raiz(6.800,34) = 82,464Desviaciòn estandar: Raiz(0,1147) = 0,00413 Desviaciones estandar: 0,0041 x 3 = 0,0123% Coeficiente de variación: (0,041 x 100) / 0,1322 = 3,110L.S.C.: 0,1322 + 0,0123 = 0,1446L.I.C.: 0.1322 – 0,0123 = 0,1199

Descripción de los índices de información estadística utilizados enlas cartas de control pn

  R

El Rango es la diferencia entre el valor màximo y el valor mìnimo.

R = nmàximo – nmìnimo

s2

La varianza es la media aritmètica de los cuadrados de las desviaciones respeco a la media aritmètica.

 s2 = Σ(xi – (x))2) )/n

σ

La desviaciòn estàndar ò tìpica es la raiz cuadrada de la varianza.

σ = Raiz(s2 )

Cv

El coeficiente de variaciòn es el resultado de dividir la desviaciòn estàndar por su media aritmètica, expresando el resultado en tèrminos porcentuales.

 Cv = s2/(x)

Da

La desviaciòn media es la media aritmètica de las desviaciones respecto a la media, tomadas en valor absoluto.

Da = Σ(xi – (x))/n

g2

La curtosis es la medida de altura de la curva y està dada por el cuarto momento respecto a la media, dividida por la varianza elevada al cuadrado.

 g2 = m4/(s2)2 = m4/s4

Descripción de los índices de información estadística utilizados enlas cartas de control c

  R

El Rango es la diferencia entre el valor màximo y el valor mìnimo.

R = nmàximo – nmìnimo

s2

La varianza es la media aritmètica de los cuadrados de las desviaciones respeco a la media aritmètica.

 s2 = Σ(xi – (x))2) )/n

σ

La desviaciòn estàndar ò tìpica es la raiz cuadrada de la varianza.

σ = Raiz(s2 )

Cv

El coeficiente de variaciòn es el resultado de dividir la desviaciòn estàndar por su media aritmètica, expresando el resultado en tèrminos porcentuales.

 Cv = s2/(x)

Da

La desviaciòn media es la media aritmètica de las desviaciones respecto a la media, tomadas en valor absoluto.

Da = Σ(xi – (x))/n

g2

La curtosis es la medida de altura de la curva y està dada por el cuarto momento respecto a la media, dividida por la varianza elevada al cuadrado.

 g2 = m4/(s2)2 = m4/s4

Descripción de los índices de información estadística utilizados enlas cartas de control u

  R

El Rango es la diferencia entre el valor màximo y el valor mìnimo.

R = nmàximo – nmìnimo

s2

La varianza es la media aritmètica de los cuadrados de las desviaciones respeco a la media aritmètica.

 s2 = Σ(xi – (x))2) )/n

σ

La desviaciòn estàndar ò tìpica es la raiz cuadrada de la varianza.

σ = Raiz(s2 )

Cv

El coeficiente de variaciòn es el resultado de dividir la desviaciòn estàndar por su media aritmètica, expresando el resultado en tèrminos porcentuales.

 Cv = s2/(x)

Da

La desviaciòn media es la media aritmètica de las desviaciones respecto a la media, tomadas en valor absoluto.

Da = Σ(xi – (x))/n

g2

La curtosis es la medida de altura de la curva y està dada por el cuarto momento respecto a la media, dividida por la varianza elevada al cuadrado.

 g2 = m4/(s2)2 = m4/s4

José Luis Blanco PonsTecnólogo IndustrialE-mail: manufacturing.systems@live.com