Descomposición Factoral

Descomposición de un monomio

Los factores de un monomio se pueden halar por simple inspección.

Así, los factores de 15ab son 3,5, a y b. Por lo tanto, este monomio puede escribirse de la siguiente manera:

PROCESO DE FACTORIZACION /DESCOMPOSICIÓN

En la factorización de un polinomio dado, luego que se ha determinado el factor común, procedemos a encontrar el valor no común, para lo cual cada uno de los términos del polinomio dado, lo dividimos para el factor común.

Ejemplo:

Descomponer

18x2+12x4-15x5

18x2=2.32.x2

12x4=22.3.x4

15x5=3.5.x5

El divisor común máximo (dcm) es 3x2 , al cual se le denomina factor común

Por tanto:

18x2+12x4-15x5 = 3x2(6+4x2-5x3) Sol.

Descomponer

24x4+30x5-12x2-18x3

Elabore el ejercicio

Descomponer en factores

6x-12

4x-8y

24a-12ab

10x-15x2

14m2n+7mn

8a3 -6a2

14a-21b+35

b4-b3

4m2-20am

ax+bx+cx

4a3bx-4bx

20x-12xy-4xz

m3n2p4+m4n3p5+m6n4p4+m2n4p3

3ab+6ac-9ad

6x4-30x3+2x2

12m2n+24m3n2-36m4n3

 

DESCOMPOSICIÓN POR AGRUPAMIENTO

En ciertas expresiones algebraicas, no existe un factor común en todos los términos pero se puede asociar(agrupar )por partes y sacar un factor común simple, para luego volver a factorizar y obtener los factores de la expresión dada(polinomio).

Ejemplo 1:

Descomponer (Factorizar)

ax+bx+ay+by

Primero agrupamos los términos, considerando en cada paréntesis

(ax+bx)+(ay+by)

Luego encontramos el factor común simple en cada paréntesis

x(a+b)+y(a+b)

En estos dos términos existe el f.c.s (a+b), así que lo extraemos

(a+b)(x+y)

Por lo tanto ax+bx+ay+by = (a+b)(x+y)

Ejemplo 2:

Descomponer: x3-3x2+2x-6

Primera posibilidad: Segunda posibilidad:

x3-3x2+2x-6 = (x3-3x2)+(2x-6) x3-3x2+2x-6 = (x3+2x)-( 3x2+6)

x2 (x-3)+2(x-3) x(x2+2)-3(x2+2)

(x-3)( x2+2) Sol. ( x2+2) (x-3)Sol.

ACTIVIDAD

Elabore los ejercicios propuestos:

4x3-16x2+3x-12 3ax+2bx-x2-6ay-4by+2xy

5x3-10x2+2x-4 3a(x-y)+y-x

3x-ax+bx-3y+ay-by y4-y3-1+1

3y+12a2-4a2x3-yx3 40x2+16x+5xy+2y

X3+4x2+3x+12 x3+x2+x+1+y2+xy2

BINOMIOS

Descomponer binomios con término común

(x+a) (x+b)=x2+(a+b)x+ab

Ejemplo:

(x+3) (x+8)=x2+8x+3x+24=x2+11x+24

Actividad

Resolver:

(m+7)(m+5)

(x2+5) (x2-10)

(2a+4) (2a-3)

(5x2-4) (5x2+8)

Indique el proceso que debemos seguir para descomponer binomios con término común

BINOMIOS CON DIFERENCIA DE CUADRADOS

La diferencia de dos cuadrados es igual al producto de dos factores En el primero se escribe la suma y en el otro la diferencia de sus raíces cuadradas x2-y2=(x+y) (x-y)

Ejemplo

X2-25

X 5 = 5x

X -5 -5x

0 (x+5)(x-5)Sol.

Descomponer los binomios propuestos:

4a2-b2 36x2-25y2

4x4-9y2 x2-y4

(a-b)2-a2 x2-9

16x2-1 16x2-12125 49

a2-4 5x3-45x

BINOMIO CON SUMA DE CUBOS/DIFERENCIA DE CUBOSLa suma de cubos es igual al producto de dos factores. El primer factor es la suma de las raíces cubicas, mientras que el segundo factor es un trinomio con los signos alternados, el cual está formado por el cuadrado de la primera raíz menos el producto de las dos y más el cuadrado de la segunda.

X3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)

Obtenemos las raíces

Las diferencias de cubos es igual al producto de dos factores. El primer factor es la diferencia de las raíces cubicas, mientras que el segundo factor es un trinomio con todos los signos positivos; el cual esta está formado por el cuadrado de la primera raíz mas el producto de las dos y mas el cuadrado de la segunda.

m3-n3=(m-n)(m2+mn+n2)Factorize la suma o diferencia de cubosa3+b3 8x3+1 8a3+27 b6

125

27x3-8 x6-1 y9 8

Expresemos como un producto de dos factores, el perímetro del triangulo propuesto.

X3+8 x3+14

5-x3

X3+8y3 10x4-10x 4mx3-32my6

8-x3 b3+64b6 a3-125x3y6

X3y3-1 125x6-y9 5x6-5x3

2mx4-2mx 2x3-16y3 x3-y3

a3-8b3

BINOMIO DIFERENCIA DE POTENCIAS CON EXPONENTE IMPARLa diferencia de potencias con exponente impar es igual al producto de dos factores. En el primer factor se escribe la diferencia de sus respectivas raíces, mientras que en el otro factor se escribe un polinomio descendente de grado menor en una unidad con respecto del primer término y ascendente con respeto del segundo con todos los signos positivos

Factoricemos:

m5-32 =(m-2)(m4+m3.2+m222+m.23+24)(m-2)(m4+2m3+4m2+8m+16) Sol.

1-x7 =8x6-y3=32x5-y5=x3-y3=t5- 1 = 32BINOMIO SUMA DE POTENCIAS CON EXPONENTE IMPARLa suma de potencias con exponente impar, es igual al producto de dos factores. En el primer factor se escribe la suma de sus respectivas raíces, mientras que en el segundo factor se escribe un polinomio descendente de grado menor en unidad con respecto del primer término y ascendente con respecto del segundo, con signos alternados.Ejemplo: FactoricemosX5+y5= (x+y) (x4-x3y+x2y2-xy3+y4) Sol.

Raíz quinta=x suma de polinomio con Raíz quinta=y las raíces signos alternados

Ejercicios 32+a5= (x-1)5+1=X7+2187= x10+y5=243+x5y5=

TRINOMIO CUADRADO PERFECTOSe conocen como trinomios cuadrados perfectos, a los trinomios que cumplen con las siguientes características:

1. Dos de sus términos son cuadrados perfectos y positivos

2. El otro término es el doble producto de las raíces cuadradas de los términos cuadrados y puede ser positivo o negativo.

X2+8xy+16y2 4x2-20xy+25y2