DESCARTES: MECANICA Y OPTICA

Departamento de GEOMETRIA Y TOPOLOGIA

Universidad Complutense de Madrid

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Movimiento inercial

• Segun Aristoteles, el movimiento continuo de un proyectilrequiere una explicacion:

¿ Por que motivo un cuerpo “persiste“ en su movimiento una vez

alejado de un lanzador?

•Movimiento “no natural“, sino “violento“. †

• Un objeto lanzado se mueve debido a:1 reemplazo mutuo,

2 el aire “empujado“ a su vez impulsa el objeto con mayor

velocidad que la de locomocion del objeto.

†Aristotle’s Physics, Peripatetic Press, Des Moines, IA, 19802 /65

• Segun este principio, el medio actua simultaneamente parafrenar el objeto y perpetuar el movimiento.

• Crıticas a la interpretacion aristotelica:1 Johannes Philoponus [siglo VI]: aduce que el lanzador

imprime al objeto una “fuerza incorporea“.

2 Avicena [siglo X]: el proyectil tiene impresa una inclinacion o

tendencia proporcional al peso, cualidad permanente quemantiene el movimiento en ausencia de resistencia.

3 A. Barakhat [siglo XII]: tendencia disipativa. El movimiento

cesa incluso en el vacıo.

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4 Jean Buridan [siglo XIV]: El lanzador imprime un ımpetu al

objeto que actua para mantener el movimiento contra la

resistencia del medio. [Impetu medido en terminos de peso y

velocidad. Cantidad conservada].

• El argumento de Buridan no precisa de intervencion externapara imprimir movimiento.

• La nocion de ımpetu es central en Galileo [salvo por disipacion].• En los Dialogos se afirma una ley similar a la de inercia.†

• Diferencia esencial: movimiento perpetuo circular.• Indicaciones del principio de relatividad [de Galileo].

†Dialogo sobre los dosmaximos sistemas del mundo ptolemaico y copernicano,Alianza Editorial, Madrid, 1995.

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• Primera formulacion pre-newtoniana atribuida a Descartes.1 No se precisa mas accion para el movimiento que para el reposo.2 Movimiento y reposo son modos distintos del cuerpo movil.3 Primera ley: cada objeto persiste en el mismo estado, y aquelloque se mueva continuara en movimiento.

4 Segunda ley: todo movimiento es en sı mismo rectilıneo, y, portanto, el movimiento circular tiende a alejarse del centro de lacircunferencia que describe.

5 Tercera ley: Todo cuerpo que se encuentre con otro mas fuerte norenuncia a ninguna parte de su movimiento. De encontrarse conuno mas debil, le transfiere parte de su movimiento.

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• En sus Principios de Filosofıa (1644), Descartes anuncia unaidentificacion entre el estudio geometrico, el espacio y la materia.

• La materia esta exenta de atributos salvo aquelloscuantificables.

•Materia ' estructura articulable mediante la geometrıa[euclıdea]

• Logros de Descartes en la fısica:

1 Postulado en optica.

2 Movimiento inercial.

3 Conservacion del momento [colisiones].

4 Influencia del sistema cartesiano en Newton.

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• El propio enfoque esta en el origen de problemas conceptuales.• El “orden de las razones“ esta estructurado linealmente:

1 “sımplices→ “complejos“.

2 Cada complejo es un sımplice en alguna asociacion.

3 Cada iteracion tiene la finalidad de explicar la anterior, no de

ser extrapolada.

4 No se contempla la nocion de “multivalencia”.

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La caıda libre segun Galileo†

†Vease S. Drake. Galileo and the Law of Inertia, Amer. J. Phys. 32 (1964), 601-608.8 /65

• AB representa no la distancia, sino el tiempo de recorrido.• El diagrama contempla areas y un proceso de integracion:

1 Los trazos perpendiculares a AB representan velocidades.

2 El area de4AEB representa una distancia [segmento CD].

3 AEB es suma de momentos.

• Planteamiento inaceptable para Descartes[continuidad vs instante].

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• HI trayectoria espacial, AB tiempo dividido en intervalosiguales.

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• La distancia se interpreta dualmente: geometrica- ynumericamente.

• Idea central para el desarrollo del calculo infinitesimal [Leibniz,Newton].

• Idea conflictiva con la filosofıa cartesiana.

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Bases de la fısica cartesiana• Los sımplices son unidades de materia en movimientouniforme.

• La unidad de un cuerpo es el movimiento comun o el reposo desus partes.

• La colision es la unica interaccion admitida.• Los cambios de velocidad son instantaneos.• Conservan el momento [lineal]• Espacio =materia [no existe el vacıo]

• Hipotesis de los vortices.

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• La fısica cartesiana es competidora de la aristotelica.• Desventaja central: descarta procesos temporales y dinamicos.

1 Una curva solo aparece como trayectoria de unidades de

materia, pero sin relacion con la naturaleza de la misma o su

movimiento.

2 Las condiciones impuestas no determinan con exactitud la

trayectoria.

3 Excluye el movimiento lineal acelerado y curvilıneo.

4 Las fuerzas son estaticas temporalmente.

5 No hay transicion cinematica→ dinamica.• En vigor hasta la aparicion de los Principia de Newton.

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Conservacion de cantidad del movimiento• Una pelota impulsada desde A a B rebota en el suelo CBE.

• Se ignoran peso, forma y tamano de la pelota. El segmento CBEes plano.

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• Al contactar con el suelo, la bola es reflectada de su“determinacion“ de seguir hacia B.

• No interviene ninguna otra fuerza.• La pelota esta sujeta a dos “determinaciones“:

1 La primera la hace descender.

2 La segunda es el movimiento horizontal.

• El impacto en B altera la primera, pero no la segunda.• Este argumento se emplea en la Dioptrica para la ley de reflexion.

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Colision de cuerpos• Descartes formula las siguientes reglas:

1 Si dos cuerpos iguales chocan con la misma velocidad, ambos

retroceden con su misma velocidad.

2 Si el tamano de un cuerpo es mayor, el menor retrocede, y

ambos siguen la misma direccion con sus velocidades

iniciales.

3 Si dos cuerpos iguales chocan a diferente velocidad, el mas

lento sera arrastrado de forma que la velocidad comun es la

mitad de la suma de las velocidades iniciales.

4 Si un cuerpo esta en reposo y otro choca con el, este

retrocede sin comunicar movimiento.

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5 Si un cuerpo choca con otro en reposo y cuya masa sea

menor, este es arrastrado en la misma direccion que el mas

pesado con la misma velocidad.

6 Si un cuerpo C esta en reposo y otro B igual choca con C, Bempuja a C y, al mismo tiempo, C se refleja en B.

• La idea principal es la conservacion dem |v| en valor absoluto.• Casi todas la reglas son experimentalmente incorrectas.• Jouguet postula que esta deficiencia era sabida por Descartes,pero que supone un ajuste a los principios de su filosofıa.

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• Influencia

• Persistiran nociones inexactas [eter] debidas a cuestionesfilosoficas mas que fısicas [→ principio de equivalencia]

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Principios generales de optica

• Optica geometrica: estudio de la luz sin difraccion niinterferencias.

• Optica de primer orden: sistema opticos perfectos, carentes deaberraciones.

• Optica de tercer orden: incluye los efectos de aberraciones.Analisis de la calidad de imagen.

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• Indice de refraccion:

n =Velocidad de la luz en el vacıo

Velocidad de la luz en el medio=c

υ

c = 2,99× 108m/s

• Siguiendo una reflexion la luz se propaga de derecha aizquierda, con velocidad [considerada] negativa

• Relacion longitud de onda y frecuencia:

λ =υ

ν[en vacıo] λ =

c

ν

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• Camino optico OPL proporcional al tiempo requerido por la luzpara viajar entre dos puntos:

OPL =

∫ b

a

n(s)ds

• Frente de onda: superficies con OPL constante desde la fuente.• En un sistema optico perfecto [primer orden], los frentes deonda son esfericos o planos.

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• Ley de reflexion [observada por Aristoteles, Euclides]

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• Ley de refraccion [Snellius 1618]

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Principio de Huygens• Propagacion lineal de la luz.• Idea corpuscular de la luz: de acuerdo con la optica geometrica.• Comparacion de fronteras luz/sombra: desviacion leve de hacesluminosos.

• Huygens [1629− 1695] ofrece explicacion alternativa a ladifraccion.

1 La luz es representable como una oscilacion u onda de luz

durante su propagacion.

2 Cada punto de una onda de luz es el origen de una onda

secundaria.

3 El frente de onda en un tiempo dado es la superposicion de

las ondas secundarias.

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• Difraccion: Desviacion de las ondas al atravesar una abertura oal rodear el borde de una barrera. Las ondas difractadas

interfieren posteriormente, produciendo regiones de refuerzo o

debilitamiento. Observada por primera vez por Grimaldi

[1618− 1683].

• El principio de Huygens proporciona una explicacionsatisfactoria de la difraccion: las ondas secundarias se originan

exteriormente al obstaculo.

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Principio de Fermat

Figura: Refraccion y camino optico.

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• Considerando los angulos que forma el rayo con la superficieantes y despues de la refraccion,

sin ε =y − y0√

(y − y0)2

+ z20

, sin ε′ =y0 − y′√

(y′ − y0)2

+ z20

, (1)

y, por tanto

d (l)

dy0= −n sin ε+ n′ sin ε′. (2)

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La ley de refraccion de Snellius implica la identidad

d (l)

dy0= 0. (3)

Esta ecuacion establece que la trayectoria entre los dos puntos es

un extremo.

Principio de Fermat: El camino optico de un rayo de luz que pasapor los dos puntos P1 y P2 es extremo comparado con

trayectorias proximas que unen dichos puntos:

δ (l) = δ

∫ P2

P1

nds = 0. (4)

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La dioptrica de Descartes

• Publicada en 1637 como parte del Discurso, se divide[esencialmente] en dos partes

1 Derivacion de la ley de refraccion.

2 Tratamiento de la vision [optica oftalmologica].†

• Considerado como ensayo fundamental del proyecto cartesianode “maestrıa y posesion”de la naturaleza.

†A. I. Sabra. Theories of Light from Descartes to Newton (Cambridge Univ. Press,1981), N. Maull 1978 Review Methaphys. 32, 253-273, P. Costabel. La refraction de lalumiere et la Dioptrique de Descartes dans Demarches originales de Descartes savant(Vrin, Paris, 1987)

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• Primer contacto con la optica 1625− 1628 [Mersenne, Mydorge]

• Objetivos centrales:

1 Establecer una ley de refraccion [Snellius 1618]

2 Determinacion de la curva anaclastica.†

• Influencia de las obras de Bacon, Della Porta y Kepler.

†Anotacion de Beeckman [1628]35 /65

• Principales crıticos de la Dioptrica: Fermat y Hobbes.Fermat : Un objeto geometrico carece de entidad fısica. Si es una

proyeccion, no puede implicar ninguna accion. Si

corresponden a movimientos reales, el comportamiento del

cuerpo difiere del deducido por Descartes.

Hobbes : Fundamentos logicos. Diferencias entre el movimiento

determinado y la determinacion del movimiento.

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Figura: Modelo del “cono doble“ de Kepler.

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• Un objetivo central de la obra es determinar la forma de lentes yun metodo optimo para su fabricacion.

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• Imagen detallada para la vision perfecta.• El tamano y detalle de la imagen en la retina se debe a

1 distancia entre el objeto y el punto de interseccion de los

rayos de luz que emite.

2 distancia de este punto a la retina.

3 refraccion de la luz.

• El procedimiento se basa en la [incorrecta] hipotesis de que larefraccion juega un papel menor.

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Modos de incrementar/reducir el tamano de imagen:

1 uso de lentes para disminuir la distancia del objeto al punto

de interseccion de rayos de luz.

2 Aumentar la distancia de este a la retina.

• Postula la posibilidad de aumentos infinitos [→ telescopio]• Establece una analogıa entre organos naturales y “artificiales“ ysu equivalencia.

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• La discusion cualitativa de lentes da lugar a la teorıa matematicade su accion.

• Objetivo: justificar matematicamente la forma optima de lentes.• Por razones practicas [manufactura, coste, etc], solo trata elcaso de lentes de tipo elıptico e hiperbolico.

• Se demuestra que estos tipos son anaclasticos.

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Figura: Superficies anaclasticas.

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• Combinaciones de estos tipos de lente.

• Estudio del eje optico de una lente y su proyeccion en otropunto del eje.

• Analisis cualitativo de ambos tipos de lente.†

• Posibilidad de combinacion en una pieza.

†O. Darrigol. A History of Optics, Oxford University Press, Oxford, 2012.44 /65

Figura: Propiedades de refraccion en combinacion.

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• Condiciones incompatibles sin instrumentos opticos:

1 Ver “mejor“.

2 Ver “mas“.

• Intento de mejora del diseno natural optico: el telescopio de trestubos .

• Cuestion filosofica no abordada en la Dioptrica: razon por la cualla vision natural es imperfecta.

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Figura: Telescopio de tres tubos.

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El arcoiris segun Descartes

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Superficies opticas de Descartes

• Del principio de Fermat en medios homogeneos δ∑

j njdl = 0 se

obtiene la definicion de superficie aplanatica.

• Tomando una unica superficie, el principio equivale a la ecuacion

n1d1 + n2d2 = K

• Equivale al problema geometrico de hallar una superficie cuyasdistancias a una fuente e imagen satisfagan la relacion

n1r1 + n2r2 = K

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• Tomando puntos fijos O, I con

OI = c, OP = r1, IP = r2, OC = a, IC = b, ∠IOP = θ

resulta r22 = r21 + c2 − 2cr1 cos θ. Sea K = n0c.

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• Resulta la ecuacion polar

r21 − 2cr1

(n0n1 − n22 cos θ

n21 − n22

)+ c2

n20 − n22n21 − n22

= r21 − 2Ωr1 + Φ = 0

• Las raıces son r1 = Ω±√

Ω2 − Φ y existen dos ramas.

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Casos en optica

• Reflexion: n2 + n1 = 0. Por tanto

n0 =an1 − bn1a+ b

=

(a− ba+ b

)n1

• La expresion simplifica a

r1 ((a+ b)) cos θ + (b− a)) = 0

• a codifica la distancia del punto a la superficie [anterior].• b codifica la distancia del punto imagen a la superficie [posterior]

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Caso 1: a = b. Superficie r1 = a/ cos θ [recta]. Plano especular

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Caso 2: a = −b. Superficie r1 = a [circunferencia]. O esta en elcentro de curvatura.

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Caso 3: a± b 6= 0. Reescribiendo la relacion “radio-angulo“ seobtiene

r1 =2ab

a− b

(a+ b

a− bcos θ − 1

)−1• Ecuacion polar de una conica con respecto a un foco. Sea

e =a+ b

a− b

la excentricidad de la conica.

• Da lugar a tres subcasos.

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Caso 3a: e > 1 [a, b del mismo signo]. La superficie es unahiperbola.

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Caso 3b: 0 < e < 1 [a, b de distinto signo]. La superficie es unaelipse.

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Caso 3c: e = 1. La relacion se reformula como

r1

((ab

+ 1)

cos θ −(ab− 1))− 2a = 0

Para b→∞, se obtiene una parabola.

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• Refraccion: La ecuacion pertinente es(n21 − n22)

r21b− 2r1

(an21b

+ n1n2 −(ab

+ 1)n22 cos θ

)+

(n21 − n22)a2

b+ 2an2(n1 − n2) = 0

Para b→∞, se obtiene

r1 = a

(n2n1− 1

)(n2n1

cos θ − 1

)−1

• Da lugar a una elipse o hiperbola con e = n2

n1.

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Caso elıptico: n2 < n1

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Caso hiperbolico: n2 > n1

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Caso esferico: n2 = −abn1. La relacion se expresa mediante

r21 − 2r1(a+ b)a2

a2 − b2cos θ = −a

2(a+ b)2

a2 − b2

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Otras soluciones: Cuando n0 coincide con n1 o n2 en magnitud. Sin0 = −n2,

r1 =a2 (1− cos θ) + 2ab

2b= a

[n1

n1 + n2+n2 cos θ

n1 + n2

]

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Referencias adicionales1 G. Buchdahl. Methodological aspects of Kepler’s theory of

refraction, Studies in the History and Philosophy of Science 3(1972), 265-298.

2 D. G. Burnett. Descartes the Hyperbolic Quest: Lens Making

Machines and their Significance in the XV II Century, Amer.Phil. Soc., Philadelphia, 2005.

3 O. Darrigol. The analogy between light and sound in the

history of optics from the ancient Greeks to Isaak Newton,

Centaurus 52 (2010), 117-155; 206-257.4 R. Dugas. A History of Mechanics, Dover Publishers Inc., New

York, 1988.

5 E. J. Dijksterhuits. The Mechanization of the World Picture.

Pythagoras to Newton, Oxford Univ. Press, Oxford, 1961.

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6 D. Garber. Descartes’Metaphysical Physics, Chicago Univ.

Press, Chicago, 1992.

7 W. R. Laird. The Scope of Renaissance Mechanics, Osiris 2(1986), 43-68.

8 E. Mach. Die Prinzipien der physikalischen Optik. Historisch

und erkenntnispsychologisch entwickelt, Barth, Leipzig, 1921.

9 A. I. Sabra. Theories of Light from Descartes to Newton,

Oldbourne, London, 1967.

10 R. Westfall. Circular Motion in the Seventeenth Century, Isis 63(1972), 184-189.

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