Prctica 1. Diseo de Filtros FIR e IIR en MATLAB

BENEMRITA UNIVERSIDAD AUTNOMA DE PUEBLA

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ELECTRNICAMateria:Procesamiento Digital de SealesInstructorHctor Santiago Ramrez Prctica 1Diseo de filtros FIR e IIREquipo:- Lira Ramos Francisco- Tern Bahena Erika Yazmin

Primavera 2012Prctica 1. Diseo de Filtros FIR e IIR en MATLAB

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Introduccin:

En el transcurso de las ltimas dcadas se han presentado grandes avances en el diseo computacional, dando prioridad a factores como la velocidad y la eficiencia. Estos factores han beneficiado diferentes reas como: el tratamiento, el almacenamiento, el estudio y la transmisin de informacin en forma digital. Por esta razn, el tratamiento digital de seales se ha convertido, hoy por hoy, en una de las herramientas ms utilizadas para dar solucin a un porcentaje considerable de problemas en la ingeniera.

El procesamiento digital de seales es una herramienta muy til en casos como la estimacin de parmetros y las caractersticas de sistemas y seales, eliminacin o reduccin de ruido e interferencias y la transformacin de la respuesta espectral de seales, entre otros. Su utilidad repercute en aplicaciones como el estudio de seales biomdicas para el diagnstico de enfermedades, la compresin de informacin para la transmisin de datos y el procesamiento de audio y video; ejemplos de algunas de las aplicaciones ms comunes que se encuentran hoy en da.

De lo anteriormente expuesto se logra vislumbrar parte de la importancia de los filtros digitales, al ser stos una de las herramientas ms utilizadas en el tratamiento digital de seales.Por tal motivo, en esta prctica se disearn filtros FIR (Respuesta finita al impulso) e IIR (Respuesta infinita al impulso) con la ayuda de MATLAB, se har uso de las instrucciones y herramientas que este software proporciona, las cuales permiten obtener el valor de los coeficientes de los polinomios que integran la funcin de trasferencia del filtro y que satisfacen los requerimientos de diseo, tambin se realizaran las grficas correspondiente a la respuesta en magnitud y fase de cada filtro FIR e IIR con el propsito de verificar el cumplimiento de las caractersticas requeridas.

Marco Terico:Filtros DigitalesUn filtro digital es un algoritmo matemtico que realiza ciertas operaciones en la seal de entrada, para obtener una seal deseada a la salida. Hay dos motivos para implementar un filtro digital:1. Mejorar la calidad de la seal de entrada2. Procesar u obtener cierta informacin de tal sealEn el primer caso, el filtro digital es un sistema que transforma las entradas de una manera especfica eliminando ciertas componentes no deseadas. Cuando esas componentes no deseadas se describen en funcin de sus contenidos de frecuencia, los filtros, se denominan filtros selectivos en frecuencia. El segundo caso es una caracterstica nica de los filtros digitales. Debido a que el filtro procesa matemticamente la informacin de entrada, es posible extraer datos que de otra manera permaneceran ocultos o disimulados, en la misma.En los ltimos aos, los filtros digitales han sustituido a los filtros analgicos en muchas aplicaciones debido a su mayor fiabilidad, mayor flexibilidad y superiores prestaciones.Por estas razones, ciertas aplicaciones en las que se desea filtrar una seal en tiempo continuo, un filtro analgico se emplea en su versin digital.Dado un conjunto de especificaciones, el diseo de un filtro digital consiste en obtener una expresin analtica a las caractersticas del filtro deseadas, en forma de una funcin de transferencia H(z).Las ventajas de los filtros digitales son: Caractersticas imposibles con los filtros analgicos (fase lineal) No cambian cualquiera que sea su entorno Procesamiento de varias seales con un nico filtro Posibilidad de almacenar datos Repetitividad Uso en aplicaciones de muy bajas frecuenciasEntre las desventajas de los filtros digitales se tiene: Limitacin de velocidad Efectos de longitud finita de las palabra Tiempos de diseo y desarrolloLos filtros digitales puede clasificarse en FIR e IIR, a continuacin se describen sus caractersticas y mtodos de diseo.Diseo de filtros FIRLos filtros FIR reciben este nombre ya que su salida depende nicamente de la entrada, de forma que el efecto de un impulso en la entrada se extingue en un tiempo finito. Un filtro FIR de longitud M con entrada x(n) y salida y(n) se describe mediante la ecuacin de diferencias:

Donde bk son los coeficientes del filtro, y su funcin de transferencia discreta es:

Por otra parte se puede expresar la salida del filtro y(n) como una convolucin de la entrada x(n) con la respuesta impulso del filtro h(n):

Las ecuaciones anteriores son idnticas, por lo tanto, los coeficientes bk =h(k) . Los filtros FIR son siempre estables y son capaces de tener una respuesta de fase que es lineal, lo que equivale a decir que su respuesta tiene un retraso constante. Se puede demostrar que la respuesta de un filtro FIR es de fase lineal si los coeficientes h(n) cumplen:

Es decir, los coeficientes tienen algn tipo de simetra. El mayor problema de los filtros FIR es que para cumplir con las mismas especificaciones de diseo que los filtros IIR, requieren un filtro de orden mucho mayor. Hay dos mtodos de diseo de filtros FIR:

Mtodo de diseo usando ventanas (windowing)Este mtodo consiste en la convolucin H D( )*W( ) indicada en la siguiente figura

Figura 1. Resultado del ventaneo de la respuesta impulso deseada en el dominio de la frecuencia. En la cual HD () es la respuesta impulso en el dominio de la frecuencia del filtro deseado (en este caso un filtro pasa banda) y W( ) es la ventana aplicada.

Proceso de Diseo de Filtros FIR por este mtodo: Normalizacin de frecuencias por la frecuencia de muestreo Truncamiento de la respuesta impulso de un filtro ideal h(n) a hD(n) Seleccin de una ventana W(n) de M puntos para obtener h(n)= h D(n)W(n), donde M es el orden del filtroTipos de Filtros para la funcin h(n) : Pasa bajo Pasa alto Pasa banda Rechaza bandaLos tipos de ventana ms comunes son: Rectangular Hanning Hamming Blackman KaiserEl mrito de esta solucin reside en su simplicidad, requiriendo comparativamente poco clculo, sin embargo, el diseo resultante no es usualmente el mejor.

Mtodo Iterativo basado en condiciones ptimas de diseoEn los ltimos aos el uso de tcnicas asistidas por computador para el diseo de filtros digitales se ha extendido de forma considerable, y han aparecido algunos paquetes de software para la realizacin de los diseos. Se han desarrollado tcnicas que, en general, requieren la minimizacin de una funcin de coste adecuadamente escogida.

En muchas ocasiones, en vez de minimizar la desviacin en todas las frecuencias, se puede escoger realizar la minimizacin solo en un nmero finito de frecuencias.

Tpicamente, el problema de minimizacin es bastante complejo y las ecuaciones resultantes no se pueden resolver analticamente. Generalmente se emplean procedimientos de bsqueda iterativa para determinar un conjunto ptimo de coeficientes del filtro. Se comienza con una seleccin inicial arbitraria de los coeficientes del filtro y se van modificando sucesivamente, de forma que la funcin de coste resultante se reduzca en cada paso.

El procedimiento se detiene cuando las modificaciones posteriores de los coeficientes no producen una reduccin de la funcin de coste. Hay disponibles varios algoritmos estndar y diversos paquetes de software para determinar los coeficientes ptimos del filtro.

Los coeficientes del filtro se escogen para minimizar el error con respecto a la respuesta deseada. Existen tambin programas de computador para determinar los coeficientes ptimos del filtro en este caso.

Diseo de filtros IIRSon sistemas cuya salida depende adems de salidas anteriores y que, estando en reposo, al ser estimulados con una entrada impulsional su salida no vuelve al reposo, de ah el calificativo de filtros de respuesta al impulso infinita (IIR). La ecuacin en diferencias general es de la forma

Donde el orden es igual al mximo de M y N, la funcin de transferencia en Z del filtro es:

Es importante mencionar que no todo sistema es IIR, adems un filtro IIR requiere un orden mucho menor para cumplir las especificaciones de diseo, sin embargo estos ltimos no pueden disearse para tener fase lineal. Existen tcnicas de compensacin de fase mediante la utilizacin de filtros pasa todo, sin embargo esto aumenta la longitud total del filtro. Si no es necesario que el sistema sea causal (no funcionar en tiempo real) se puede conseguir un filtro IIR de fase lineal realizando un filtrado bidireccional este consiste en filtrar la seal, invertir el orden de las muestran obtenidas y volver a filtrar de nuevo. (MATLAB Instruccin filt())Existen dos filosofas de diseo de filtros IIR.

INDIRECTA: Se basa en aplicar a filtros analgicos diseador previamente, transformaciones que los conviertan en digitales con las mismas caractersticas. Existen 3 metros fundamentales: Diseo por impulso invariante, Diseos por analoga o aproximacin de derivadas y Diseo por transformacin bilineal.

DIRECTA: Se propone el diseo de filtros digitales imponiendo una serie de condiciones a la respuesta para determinar los coeficientes. Dos mtodos simples son: Diseo por la aproximacin de Pad y Diseo de aproximacin de mnimos cuadrados.

La salida de los filtros IIR depende de las entradas actuales y pasadas, y adems de las salidas anteriores. Esto se consigue mediante el uso de realimentacin de la salida.

La estructura afecta a las caractersticas finales que presentar el filtro como la estabilidad, otros parmetros a tener en cuenta a la hora de elegir una estructura es el gasto computacional.

Este tipo de filtros puede ser inestables aunque cuando se diseen para ser estables.

Objetivo General:Al finalizar la prctica, el alumno adquirir el conocimiento sobre el uso de las herramientas disponibles en el software matemtico MATLAB, para el diseo y caracterizacin de filtros FIR e IIR.

Objetivo Particulares: Disear filtros FIR por distintos mtodos: Ventaneo, Muestreo en frecuencia, Mnimos Cuadrados. Disear filtros IIR a partir de prototipos analgicos tipo Butterworth, Chebyshev, Chebyshev inverso y Elptico. Disear filtros pasa-banda FIR e IIR. Caracterizar en frecuencia los filtros diseados. Comparar los distintos filtros pasa-banda diseados.Planteamiento del problemaSe desea disear distintos tipos de filtros FIR e IIR que satisfagan los requisitos de respuesta en magnitud mostrados en la figura, el detalle de los requisitos de diseo se muestra adicionalmente en la tabla.

Figura 2. Respuesta en magnitud de los filtros solicitados

Parmetro NombreValor

FsFrecuencia de muestreo8000 muestras/s

ApGanancia en la banda de paso0dB

AsRechazo mnimo en la banda de rechazo60dB

RpRizo mximo en la banda de paso1dB

Fp1Frecuencia de paso1.5kHz

Fp2Frecuencia de paso 22.5kHz

Fs1Frecuencia de rechazo 11.2kHz

Fs2Frecuencia de rechazo2.8kHz

Los filtros FIR sern diseados empleando las herramientas disponibles en MATLAB para el diseo de filtros FIR e IIR, mediante los siguientes mtodos: FIR: Ventaneo, Muestro en frecuencia y Diseo optimo IIR: Prototipo Analgicos tipos Butterworth, Chebyshev, Chebyshev Inverso y Elptico.Adems del diseo, los filtros sern caracterizados en frecuencia y comparados entre si.Desarrollo:Para el desarrollo de esta prctica realice los siguientes pasos:

Diseo Filtros FIR con MATLAB Normalice en frecuencia las especificaciones del filtro pasa-banda (de 0-1 Hz y de 0-rad/s). Esto servir para las funciones de MATLAB que requieran de estos datos de forma normalizada. Disee un filtro FIR de orden mnima empleando el mtodo de ventaneo ofrecido por la funcin fir1() de MATLAB. Disee un filtro FIR de orden mnima empleando el mtodo de muestro en frecuencia ofrecido por la funcin fir2() de MATLAB. Disee un filtro FIR de orden mnima empleando el mtodo de diseo ptimo ofrecido por las funciones firpmord() y firpm() de MATLAB. Integre en una sola grfica las respuestas en frecuencia de todos los filtros FIR diseados previamente.

Diseo de Filtros IIR con MATLAB Disee un filtro IIR de orden mnima del tipo Butterworth ofrecido por las funciones butter() y buttord() de MATLAB. Disee un filtro IIR de orden mnima del tipo Chebyshev ofrecido por las funciones cheby1() y cheb1ord() de MATLAB. Disee un filtro IIR de orden mnima del tipo Chebyshev Inverso ofrecido por las funciones cheby2() y cheb1ord() de MATLAB. Disee un filtro IIR de orden mnima del tipo Elptico ofrecido por las funciones ellip() y ellipord() de MATLAB. Integre en una sola grfica las respuestas en frecuencia de todos los filtros IIR diseados previamente.

Anlisis de resultados:

Normalizacin en frecuenciaLas instrucciones proporcionadas por MATLAB requieren que los valores de las frecuencias de paso y rechazo normalizadas, por tal motivo se realizo una normalizacin en frecuencia obteniendo los siguientes valores:Frecuencia (KHz)Frecuencia Normalizada

1.50.375

2.50.625

1.20.3

2.80.7

Diseo Filtro FIR mediante fir1()Conociendo los valores de la frecuencia normalizada, se calculan los coeficientes del filtro por medio de la instruccin fir1(), la cual desarrolla el diseo a travs del mtodo de la ventana, sin embargo se tuvo que realizar modificaciones al orden del filtro y a las frecuencias de corte, debido a que, con los valores de las frecuencias calculadas no se cumpla con las especificaciones del filtro.

b=fir1(50,[0.37 0.63],'bandpass');%Diseo mtodo de la ventanafreqz(b%Respuesta en magnitud y fase

Figura 3.- Respuesta en magnitud y fase (Mtodo de la ventana)

Diseo Filtro FIR mediante fir2()Por medio de la instruccin fir2(), la cual desarrolla el diseo del filtro a travs del mtodo de muestreo en frecuencia, se calculan los coeficientes del filtro FIR pasa-banda, sin embargo al igual que en el caso anterior, se tuvo que realizar modificaciones al orden del filtro y a las frecuencias de corte, debido a que, con los valores de las frecuencias calculadas no se cumpla con los requerimientos establecidos.

b=fir2(60,[0,0.37,0.37,0.445,0.555,0.63,0.63,1],[0,0,1,1,1,1,0,0]);%Diseo mtodo muestreo en frecuenciafreqz(b)%Respuesta en magnitud y fase

Figura 4.- Respuesta en magnitud y fase (Mtodo muestreo en frecuencia)Diseo Filtro FIR mediante firpmord() y firpm()La instruccin firmord(), obtiene los parmetros necesarios para disear el filtro de manera optima, de acuerdo a los requerimientos establecidos en su diseo.

[N,fo,ao,W]=firpmord([1200,1500,2500,2800],[0,1,0],[0.001,0.1,0.001],8000);B=firpm(N,fo,ao,W);freqz(B)

Figura 5.- Respuesta en magnitud y fase (Mtodo diseo ptimo)

En la siguiente grfica se muestran las respuestas de magnitud y fase del filtro pasa-banda FIR, obtenidas a partir de los diferentes mtodos de diseo (mtodo de la ventana, muestreo en frecuencia y diseo ptimo) con la finalidad de realizar una comparacin entre los resultados generados.

Figura 6.- Comparacin de las respuesta en magnitud y fase de los filtros FIR diseados

Diseo Filtro IIR mediante buttord() y butter()

Para el diseo del filtro IIR utilizamos el siguiente algoritmo

%filtro butterword pasabanda[N1,wn1]=buttord([.3,.7],[.375 , .625],1,60) [A1,B1]=butter(N1,wn1)freqz(A1,B1)

El algoritmo anterior calcula el filtro Butterworth con las caractersticas solicitadas, donde la primera lnea calcula el orden del filtro que se pretende disear, la segunda lnea determina el valor de los coeficientes de los polinomios de la funcin de transferencia del filtro IIR y finalmente la tercera lnea sirve para realizar la grafica de la respuesta en magnitud y fase del filtro diseado de acuerdo a los resultados obtenidos.

Figura 7.- Respuesta en magnitud y fase (filtro Butterworth)

Diseo Filtro IIR mediante cheb1ord() y chevy1()

Para el diseo del filtro IIR utilizamos el siguiente algoritmo:%filtro chebyshev[N2,wn2]=cheb1ord([.375 , .625],[.3,.7],1,60)[A2,B2]=cheby1(N2,1,wn2)freqz(A2,B2)figure

El algoritmo anterior se utiliza para disear filtros Chebyshev, la primera lnea calcula el orden del filtro, la segunda lnea determina los coeficientes de los polinomios de la funcin de transferencia del filtro Chebyshev y finalmente la tercera lnea sirve para graficar la respuesta en magnitud y fase del filtro Chebyshev diseado.

Figura 8.- Respuesta en magnitud y fase (filtro Chebyshev)

Diseo Filtro IIR mediante cheb2ord() y chevy2()

Para el diseo del filtro IIR utilizamos el siguiente algoritmo:

%filtro chevyshev inverso[N3,wn3]=cheb2ord([.375 , .625],[.3,.7],1,60)[A3,B3]=cheby2(N2,60,wn2)freqz(A3,B3)

El algoritmo anterior se utiliza para disear filtros Chebyshev inversos, la primera lnea calcula el orden del filtro, la segunda lnea determina los coeficientes de los polinomios de la funcin de transferencia del filtro Chebyshev inverso y finalmente la tercera lnea sirve para graficar la respuesta en magnitud y fase del filtro Chebyshev inverso diseado.

Figura 9.- Respuesta en magnitud y fase (filtro Chebyshev inverso)

Diseo Filtro IIR mediante ellipord() y ellip()

Para el diseo del filtro IIR utilizamos el siguiente algoritmo:

%filtro elptico[N4,wn4]=ellipord([.375 , .625],[.3,.7],1,60)[A4,B4]=ellip(N4,1,60,wn4)freqz(A4,B4)

El algoritmo anterior se utiliza para disear filtros Elpticos, la primera lnea calcula el orden del filtro, la segunda lnea determina los coeficientes de los polinomios de la funcin de transferencia del filtro elptico y finalmente la tercera lnea sirve para graficar la respuesta en magnitud y fase del filtro elptico diseado.

Figura 10.- Respuesta en magnitud y fase (filtro elptico)

En la siguiente grfica se muestran las respuestas de magnitud y fase del filtro pasa-banda IIR, obtenidas a partir del diseo de diferentes filtros analgicos (filtro Butterworth, Chevyshev, Chevyshev inverso y elptico) con la finalidad de realizar una comparacin entre los resultados generados.

Figura 11.- Comparacin de las respuesta en magnitud y fase de los filtros FIR diseados

FiltroOrdenCumple las especificaciones?Posee fase lineal?Comentarios

FIR fir1()50Si las cumpleSiSe requiri de hacer un ajuste a los valores de las frecuencias de corte y al orden del filtro hasta obtener la respuesta en magnitud deseadaPosee una fase linealEl orden del filtro es grande, lo cual implicara mayor consumo de recursos computacionales.

FIR fir2()60Si las cumpleSiSe requiri de hacer un ajuste a los valores de las frecuencias de corte y al orden del filtro hasta obtener la respuesta en magnitud deseadaPosee una fase linealEl orden del filtro es grande

FIR firpm ()48Si las cumpleSiNo se requiri hacer ajustes en las frecuencias de corte y en el orden del filtro, debido a que la instruccin firmord() proporciona los valores ptimos para el diseo del mismo.Posee una fase linealEl orden de este filtro es menor en comparacin al orden de los filtros diseados por los otros mtodos.

IIR butter()14NoSe utilizaron las herramientas de MATLAB buttord( ) este sirve para calcular el orden del filtro y butter( ) sirve para calcular los coeficientes del filtro.No posee fase linealEl orden del filtro a comparacin de los filtros FIR es pequeo, por lo tanto es mas fcil de implementar

IIRCheby1()8NoSe utilizaron las herramientas de MATLAB cheb1ord( ) este sirve para calcular el orden del filtro y cheby1( ) sirve para calcular los coeficientes del filtro.Posee fase no linealTiene rizado en la banda de paso

IIR Cheby2()8NoSe utilizaron las herramientas de MATLAB che2ord( ) este sirve para calcular el orden del filtro y cheby2( ) sirve para calcular los coeficientes del filtro.Posee fase no linealTiene rizado en la banda de rechazo

IIR ellip()5NoSe utilizaron las herramientas de MATLAB ellipord( ) este sirve para calcular el orden del filtro y ellip( ) sirve para calcular los coeficientes del filtro.Posee fase no linealDe todos los filtros diseados es el de menor orden

Para cumplir con las especificaciones de los filtros FIR se tuvo que ajustar el valor del orden del filtro y moverse en la frecuencia hasta cumplir con lo que se solicitaba en la prctica. Las funciones que proporciona MATLAB para el diseo de Filtros IIR satisfacen los requisitos de diseo, siempre y cuando se introduzcan adecuadamente los valores de las frecuencias de corte y ganancia para cada banda. No se requiere de un proceso de reajuste como en los filtros FIR.El orden de los filtros FIR es mucho mayor en comparacin con el orden de los filtros IIR, esto implica un mayor consumo en recursos computacionales para su implementacin sin embargo ofrecen la ventaja de ser estables y poseer una fase lineal, caracterstica que los filtros IIR carecen.Conclusiones:

Erika Yazmin Tern BahenaLos filtros FIR tiene la caracterstica especial de ser estables y poseer una fase lineal, situacin que nos permite procesar una seal sin distorsionar su fase (estos filtros son ideales para aplicaciones de audio, debido a que todas las componentes frecuenciales de la seal de audio atraviesan el filtro con un retraso constante no vindose modificada su fase), sin embargo, para poder llevar a cabo la implementacin de un filtro FIR se requiere de una mayor cantidad de recursos debido a que son filtros de un orden mucho mayor en comparacin de los filtros IIR, los cuales tienen la desventaja de poseer una fase no lineal pero cuya implementacin es mas sencilla al requerir menor cantidad de recursos. El desarrollo de esta prctica nos permiti conocer los mtodos de diseo de filtros digitales FIR e IIR as como las herramientas que nos proporciona MATLAB para facilitar el calculo de los coeficientes de los polinomios que conforman la funcin de transferencia del filtro a disear as como para el anlisis de las repuestas de magnitud y fase.

Francisco Lira RamosDurante el diseo de los filtros FIR es notable que para cumplir las caractersticas deseadas se necesita de un orden mayor, podemos decir que la fase de un filtro FIR es lineal y que para cumplir las caractersticas deseadas es necesario moverse en frecuencia y orden y as obtener un ajuste optimo, otro detalle muy importante es que manejamos los mtodos de ventaneo, muestreo en la frecuencia y de mnimos cuadrados, con la finalidad de ver sus ventajas y desventajas existentes de cada uno.

Mientras que en el Diseo de filtros IIR a diferencia de los FIR, para cumplir las caractersticas deseadas el filtro IIR el orden es menor y la fase no es lineal, esto hace que el sistema se vuelva inestable debido a su fase, para volverlo lineal en fase se puede arreglar con un pasa todo y de esa forma de vuelve lineal; o en otro caso utilizar algunas de las tcnicas de compensacin ya conocidas.

Bibliografa: Seales y Sistemas Alan V. Oppenheim - Pretince Hall 2da. Edicin. Introduccin al Procesamiento de Seales Digitales Juan Vignolo Barchiesi Ediciones Universitarias Valparaiso. Procesamiento Digital de Seales Jhon G. Proakis Dimitris G. Manolakis Tercera Edicin.Apndice

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%FILTROS FIR%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%Filtro pasa-banda FIR (Mtodo de la ventana fir1)b = fir1(50,[0.37 0.63],'bandpass');freqz(b) %Filtro pasa-banda FIR (Muestreo en frecuencia fir2)b = fir2(60,[0 0.37 0.37 0.445 0.555 0.63 0.63 1],[0 0 1 1 1 1 0 0]);hold onfreqz(b) %Filtro pasa-banda FIR (Diseo ptimo firpmod,firpm)[N,fo,ao,W]=firpmord([1200,1500,2500,2800],[0,1,0],[0.001,0.1,0.001],8000);B=firpm(N,fo,ao,W);hold onfreqz(B) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%FILTROS IIR%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %Filtro Butterworth pasa-banda[N1,WP1]=buttord([0.375 0.625],[0.3 0.7],1,60);[A1,B1]=butter(N1,WP1);freqz(A1,B1)

%Filtro Chevyshev pasa-bansa[N2,WP2]=cheb1ord([0.375 0.625],[0.3 0.7],1,60);[A2,B2]=cheby1(N2,1,WP2);hold onfreqz(A2,B2)

%Filtro Chevyshev inverso pasa-banda[N3,WP3]=cheb2ord([0.375 0.625],[0.3 0.7],1,60);[A3,B3]=cheby2(N3,60,WP3);hold onfreqz(A3,B3)

%Filtro Elptico[N4,WP4]=ellipord([0.375 0.625],[0.3 0.7],1,60);[A4,B4]=ellip(N4,1,60,WP4);hold onfreqz(A4,B4)