Carlos Fernando Ceballos González Página 1

Desarrollo del Taller # 7

Cálculo II.

Ejercicios sugeridos:

1.

Primer bloque:

Ejercicio # 1:

Nos piden el área descrita entre y=x3 y y=x en el intervalo [0,1], para el cual

sabemos que la gráfica f(x)=x siempre está por encima de f(x)=x3, por lo tanto

haciendo uso de la segunda definición del Teorema Fundamental del Cálculo,

la integral definida para hallar aquella área está dada de la siguiente forma:

Como podemos ver, ahora solo nos resta hacer la evaluación respectiva

mediante la cual obtenemos la dimensión exacta del área descrita entre las dos

funciones en cuestión; como sigue:

Ejercicio # 4:

Nos piden el área descrita entre y=x2 y y=-1 en el intervalo [-1,2], y como

sabemos, la gráfica f(x)=x2 siempre está por encima de f(x)=-1 en cualquier

intervalo, por lo tanto haciendo uso de la segunda definición del Teorema

Fundamental del Cálculo, la integral definida para hallar aquella área está

dada de la siguiente forma:

Como podemos ver, ahora solo nos resta hacer la evaluación respectiva

mediante la cual obtenemos la dimensión exacta del área descrita entre las dos

funciones en cuestión; como sigue:

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Ejercicio # 7:

Ahora debemos hallar el área descrita entre las funciones de x=y2 y x=4, pero

esta vez teniendo en cuenta que ellas están en términos de y, por lo tanto

tomaremos esa variable como el eje de nuestro plano para poder así definir

cuál es la más exterior, es decir, cuál está más a la derecha y proceder así, a

hacer la integral definida, pero como vamos a tomar a y como el eje de nuestro

plano debemos hallar primeramente los valores en los cuales las dos funciones

se cortan, es decir, los ceros de esas dos funciones, los cuales determinamos

mediante una igualación de las mismas y despejando la variable y, de la

siguiente manera:

Como ya sabemos los valores en los cuales las funciones se cortan, entonces

procedemos a hallar la integral definida mediante el Teorema Fundamental del

Cálculo, la cual queda de la siguiente forma:

Por último realizamos la evaluación de los valores en la función, para obtener

de esta manera el valor exacto del área descrita entre las dos primeras

funciones:

Ejercicio # 8:

En este ejercicio como en el anterior no nos dan un intervalo en el cual hallar el

área, por lo cual debemos determinar los puntos en los cuales se cortan las dos

funciones siguientes, todo como sigue:

Teniendo ya los dos puntos en los cuales se cortan y sabiendo que f(x)=3x2 es

la función que está por encima, procedemos a dar forma a la integral definida

mediante el T.F.C, teniendo en cuenta que el área entre el I y IV cuadrante es

igual al área entre el II y III cuadrante, por lo que solo hallaremos una de las

dos áreas y al final multiplicaremos el resultado por 2 para poder así ahorrar

tiempo en un examen:

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Ahora, vamos a evaluar los valores en la función (sabiendo lo que acontece

cuando evaluamos el cero) y obtendremos el valor exacto del área en cuestión:

Segundo bloque:

En los siguientes ejercicios nos piden esquematizar las regiones acotadas

entre las curvas dadas, yo utilicé Geogebra Portable (quien no lo tenga lo dejé

en el blog del curso); y luego nos piden hallar el área acotada entre las curvas

dadas, vamos a ver que tal.

Ejercicio # 2:

Nos piden el área acotada entre las funciones de x=0 y x=16-y2, para lo cual

primero debemos tener en cuenta que nuestro eje va a ser y. La grafica es la

siguiente:

Ahora procedemos a hallar los puntos en los cuales las dos funciones se

cortan, que a simple vista podemos observar que son 4 y -4, más sin embargo

vamos a probarlo:

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Probados ya los puntos de corte, procedemos a estructurar la integral definida

del modo como lo hicimos en el ejercicio 8 del 1er bloque:

Ahora solo tenemos que evaluar los valores y obtenemos el valor del área en

cuestión, como sigue:

Ejercicio # 3:

Ahora las funciones a graficar son x=y2 y x=32-y2, las cuales son muy

parecidas a las del punto anterior (puntos de corte y simetría entre valores

positivos y negativos).

Hallando los valores donde se cortan dichas funciones, tenemos:

Ahora utilizamos la 2da definición del T.F.C:

Por último, acabamos de utilizar el T.F.C evaluando los valores (obviando el

cero) y obtenemos el valor del área en cuestión:

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Ejercicio # 5:

En este punto la gráfica a realizar está dada por las funciones y=2x2 y y=5x-3,

y es la siguiente:

Para hallar los puntos de corte, procedemos a igualar las funciones,

despejando luego la variable x y aplicando la fórmula de la ecuación

cuadrática, de la siguiente manera:

De donde sabemos que:

Ahora vamos a aplicar el T.F.C para dar forma a la integral definida y

posteriormente hallar el valor del área correspondiente:

Ahora, haciendo la evaluación de los puntos donde se cortan las funciones

tenemos:

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Ejercicio # 6:

Este ejercicio es igual al anterior en cuanto al hallar los puntos de corte, por lo

tanto obviaremos esa parte, y entonces tenemos que las funciones de y=x2 y

y=3+5x-x2 se cortan en los puntos:

La siguiente es la gráfica correspondiente:

Y la integral definida que describe el valor del área comprendida entre esas dos

funciones es la siguiente:

Por último realizamos la evaluación correspondiente, la cual nos da el valor

exacto del área entre las dos curvas:

Ejercicio # 9:

Ahora nos piden hallar el área descrita entre las curvas y=x3 y y=2x-x2, la cual

está representada en la siguiente gráfica:

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Para hallar los puntos de corte simplemente igualaremos las funciones como

sigue y fácilmente (también para ahorrarnos trabajo) mediante el método de

ensayo y error los obtenemos, todo así:

Ahora haremos la integral definida desde -2 a 0 y desde 0 a 1, para luego

sumarlas y obtener el área total entre las dos curvas, teniendo en cuenta que lo

haremos debido a que en el I cuadrante se producen un cambio en la posición

de las mismas con respecto a su posición antes de cero; veamos:

Luego terminamos de aplicar la 2da definición del T.F.C y obtenemos las áreas por separado correspondientes a las dos regiones respectivamente según el gráfico, las cuales terminamos sumándolas para saber el valor total del área acotada entre las dos curvas, veamos:

Ejercicio # 11:

El último ejercicio de este primer punto de la tarea es hallar el área descrita

entre las tres curvas y=x3, y=x+6 y y=-x, la cuales están representadas en la

siguiente gráfica:

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Como podemos ver, en el II cuadrante solamente están presentes las funciones

y=x+6 y y=-x, y en I cuadrante únicamente intervienen las funciones y=x+6 y

y=x3, por lo tanto dividiremos la integral en dos partes para luego sumar los dos

valores obtenidos y conocer el valor total del área, pero primero hallaremos los

ceros del modo como lo hicimos en el anterior ejercicio (ensayo y error)

teniendo en cuenta la condición ya descrita, siendo estos x=-3 y x=2

respectivamente.

Ahora definiremos la estructura de la integral definida mediante a 2da definición

del T.F.C, la cual queda de la siguiente forma:

Seguidamente terminamos de aplicar el T.F.C (obviando los ceros) y sumamos

los valores correspondientes a las dos áreas, para obtener finalmente el valor

total del área descrita entre las curvas en cuestión:

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2.

Ahora haremos los ejercicios pedidos en la guía los cuales corresponden a las

páginas 74 y 75, en los cuales nos piden bosquejar los sólidos descritos sin

necesidad (según la guía) de hallar el volumen de los mismos.

Ejercicio # 1:

El siguiente es el sólido generado por y=x2, y=0 y x=1

Girándolo entorno al eje x obtendremos la boca de una trompeta, veamos

:

Ejercicio # 3:

El sólido que sigue es el descrito por y=Sen(x) en [0, π], y y=0,

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Ahora, haciéndole girar entorno al eje x obtendremos algo parecido a un

círculo, veamos:

Ejercicio # 6:

Por último tenemos que bosquejar la gráfica descrita entre y=1-x2 y y=0,

Ahora, haciéndolo girar sobre el eje x, obtenemos un sólido parecido al del

ejercicio anterior, aunque un poco más redondo:

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Por fin terminamos los ejercicios de la tarea, pero como última ayuda quiero

mostrar la fórmula con la cual se hace el primer punto de los Ejercicios

Adicionales de la guía correspondiente, el cual consta en hallar el valor

promedio de la función sobre el intervalo que ahí se da. La fórmula es la

siguiente: