Desarrollo de un Software Interactivo para el Análisis de...
Transcript of Desarrollo de un Software Interactivo para el Análisis de...
UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD DDEE LLOOSS AANNDDEESS
FFAACCUULLTTAADD DDEE IINNGGEENNIIEERRÍÍAA
EESSCCUUEELLAA DDEE IINNGGEENNIIEERRÍÍAA EELLÉÉCCTTRRIICCAA
MMÉÉRRIIDDAA -- VVEENNEEZZUUEELLAA
DDeessaarrrroolllloo ddee uunn SSooffttwwaarree IInntteerraaccttiivvoo ppaarraa eell AAnnáálliissiiss ddee
TTrraannssiittoorriiooss EElleeccttrroommaaggnnééttiiccooss eenn LLíínneeaass ddee TTrraannssmmiissiióónn
Br. Nerio José Suárez Quintero
Tutor: Dra. Marisol Dávila Calderón
MARZO, 2007
ºº RREESSUUMMEENN
i
RESUMEN
DDEESSAARRRROOLLLLOO DDEE UUNN SSOOFFTTWWAARREE IINNTTEERRAACCTTIIVVOO PPAARRAA EELL AANNÁÁLLIISSIISS DDEE TTRRAANNSSIITTOORRIIOOSS EELLEECCTTRROOMMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS EENN LLÍÍNNEEAASS DDEE TTRRAANNSSMMIISSIIÓÓNN
BBRR.. Nerio José Suárez Quintero TTUUTTOORR:: Dra. Marisol Dávila Calderón
En este trabajo se ha desarrollado un Software Interactivo para el Análisis de Transitorios Electromagnéticos en Líneas de Transmisión. Para la elaboración del programa solo se considera el análisis en líneas de transmisión monofásicas. El método de análisis está basado en la aplicación de diferencias finitas para la resolución de las ecuaciones de la línea, aplicando para ello el método de las características. Este programa, de manera general, permite determinar los voltajes y corrientes en cualquier punto de la línea de transmisión y de esa manera observar su comportamiento durante la presencia de un fenómeno transitorio, como lo es una descarga atmosférica. Para el desarrollo del software se empleó el programa Visual Basic , específicamente la versión Visual Basic 6.0 , por la facilidad que éste presenta para realizar un programa interactivo con el usuario a través de ventanas. El usuario puede introducir y variar los datos requeridos para el análisis que se quiere, en este caso corresponde al de una línea de transmisión. El programa fue validado con resultados obtenidos en [1]. Palabras Claves: Líneas de Transmisión, Método de las Características, Transitorios Electromagnéticos.
DDEEDDIICCAATTOORRIIAA
ii
DEDICATORIA
A mis Padres
AAGGRRAADDEECCIIMMIIEENNTTOO
iii
AGRADECIMIENTO
A mis padres por brindarme su amor, cariño, confianza y apoyo no existen palabras para agradecerles todo lo que me han dado e inculcado, no se si existan seres tan maravillosos y humildes en la vida como ustedes. Que Dios y la Virgen los llene de mucha salud para que podamos compartir las alegrías y los triunfos. A Evelyn gracias por estar y existir, eres un ser especial en mi vida, tu amor, apoyo y comprensión forman parte de este logro y me enseñan cada día lo maravilloso de compartir cada instante a tu lado. A la Prof. Marisol Dávila por su acertada colaboración y asesoramiento académico en la elaboración de este trabajo de grado, orientándome siempre a mejorar en todo momento, gracias por compartir tantas experiencias y brindarme su amistad. A los Profesores Jaime González, Maria angélica Salazar, Jaime Ramírez, Zulima Barboza, Juan Carlos Muñoz, Nelson Ballester, quienes colaboraron en todo momento cuando necesitaba de su ayuda, gracias por su amistad. A Franklin Gutiérrez con quien pude contar en aquellos momentos cuando más lo necesitaba proporcionándome sus conocimientos, gracias por su desinteresada colaboración y amistad. A Mariela, Yaneth, Ilba, Carmen y Yudith, por tantas experiencias y enseñanzas de vida compartidas. A Susislagua, Abelardo, Laura, Takasi, Erika, gracias por su amistad y compartir tantos momentos que perduran para siempre.
A todos, Gracias.
ÍÍNNDDIICCEE
iv
ÍNDICE
Resumen……………………………………………………………………... i
Dedicatoria……………………………………………………….................. ii
Agradecimiento……….………………………………………….................. iii
Índice…….…………….………………………………………….................. iv
Índice de Figuras.……….……………………………………….................. vii
Capítulo I.
Introducción…………………………………………………………………... 1
1.1 Antecedentes…………………………………………………….. 4
1.2 Planteamiento y Justificación del Problema………………….. 5
1.3 Objetivos 6
1.3.1 Objetivo General……………………………………….. 6
1.3.2 Objetivos Específicos………………………………….. 6
1.4 Metodología………………………………………………………. 7
Capítulo II. Marco Teórico
2.1 Concepto de Líneas de Transmisión………………………….. 8
2.2 Impedancia Característica de la línea…………………………. 9
2.3 Velocidad de Propagación de la Onda………………………... 10
2.4 Líneas Uniforme………………………………………................ 10
2.4.1 Parámetro Resistivo…………………………………… 11
2.4.2 Parámetro Capacitivo….………………………………. 13
2.4.3 Parámetro Inductivo….......……………………………. 13
2.5 Líneas No Uniforme………….………………………................ 14
2.5.1 Parámetro Capacitivo….………………………………. 14
2.5.2 Parámetro Inductivo….......……………………………. 14
ÍÍNNDDIICCEE
v
2.6 Modelado de Líneas de Transmisión………………………….. 15
2.6.1 Modelos de Líneas de Transmisión………………….. 15
2.6.1.1 Estudios en Régimen Permanente…………. 15
a.- Modelos de parámetros concentrados…...
a.1- Solución Exacta…………………… 15
a.2- Modelo de Líneas Cortas………… 16
a.3- Modelo circuito Pi-nominal……….. 17
a.3- Modelo circuito Pi-exacto……….... 18
2.6.1.2 Estudios en Régimen Transitorio..…………. 18
a.1- Modelo circuito Pi-exacto……….... 18
a.2- Modelo de parámetros Constante. 19
Líneas Monofásicas
Líneas Monofásicas sin perdidas…….. 19
Líneas Monofásicas con perdidas..….. 19
Líneas Polifásicas
Líneas Polifásicas Transpuestas……... 20
Líneas Polifásicas No – Transpuestas.. 20
a.3- Modelo de parámetros
dependientes de la frecuencia……………………………………………... 21
2.7 Propagación y reflexión de Ondas…………………………….. 22
2.7.1 Onda Incidente…………………………………………. 24
2.7.1 Onda Reflejada………………………………………… 24
2.7.1 Onda Refractada……………………………………….. 24
2.8 Líneas en Vació………………………………………………….. 24
2.9 Líneas en Corto Circuito.……………………………………….. 25
2.10 Líneas Adaptadas……………………………………………… 25
2.11 Método de la Características.………………………………… 25
Capítulo III.
3.1 Modelado de la Línea de Transmisión Monofásica usando el
Método de las Características……………………………………………… 32
ÍÍNNDDIICCEE
vi
3.2 Diagramas de Flujos del Software…………………………….. 39
3.2.1 Diagrama de Flujo para la Fuente Aplicada
(Escalón)……………………………………………………………………… 39
3.2.1 Diagrama de Flujo para la Función Aplicada (Doble
Exponencial)...……………..………………………………………………… 41
3.2.1 Diagrama de Flujo para la Función Aplicada (Doble
Rampa)...…….……………..………………………………………………… 43
3.3 Resultados………………………………………………………... 46
3.3.1 Función Escalón..…………..………………………….. 46
3.3.2 Función Doble Exponencial…………………………… 48
3.3.3 Función Doble Rampa………………………………… 51
Capítulo IV.
4.1 Manual de Usuario.….…………………………………………... 54
4.1.1 Fuente Aplicada (Escalón)……………………………. 58
4.1.2 Fuente Aplicada (Doble Exponencial)……………….. 64
4.1.3 Fuente Aplicada (Doble Rampa)……………………... 66
4.1.4 Fuente Aplicada (Seno)……………………………….. 68
4.1.5 Ayuda del Sistema……………………………………... 70
Conclusiones y Recomendaciones……………..……………………… 71
Referencia Bibliográficas………………………………………………… 73
ÍÍNNDDIICCEE DDEE FFIIGGUURRAASS
vii
ÍNDICE DE FIGURAS
Fig. 2.1 Variación de la resistencia con la temperatura…………………. 12
Fig. 2.2 Modelo para solución exacta……………………………………... 15
Fig. 2.3 Modelo para parámetros concentrados……..…………………... 16
Fig. 2.4 Modelo pi-nominal……………………………..…………………... 17
Fig. 2.5 Modelo pi-exacto..……………………………..…………………... 18
Fig. 2.6 Modelo en régimen permanente para líneas monofásicas sin
perdidas………………………………………………………………………. 19
Fig. 2.7 Modelo en régimen permanente para líneas monofásicas con
perdidas………………………………………………………………………. 20
Fig. 2.8 Modelo en régimen permanente para líneas de parámetros
dependientes de la frecuencia……………………………………………... 21
Fig. 2.9 Curvas características iniciales…………………………………... 29
Fig. 2.10 Curvas sobre los puntos P y Q tomados sobre la línea para
t=0……………………………………………………………………………... 31
Fig. 3.1 Curvas Características…………………………………………….. 34
Fig.3.2 Malla de discretización en los puntos intermedios de la línea… 35
Fig. 3.3 Malla de discretización en los puntos de las fronteras………… 38
Fig. 3.4 (a) Diagrama de flujo para la fuente aplicada escalón………… 39
Fig. 3.4 (b) Diagrama de flujo para la fuente aplicada escalón………… 40
Fig. 3.5 (a) Diagrama de flujo para la fuente aplicada doble
exponencial…………………………………………………………….......... 41
Fig. 3.5 (b) Diagrama de flujo para la fuente aplicada doble
exponencial…………………………………………………………………... 42
Fig. 3.6 (a) Diagrama de flujo para la fuente aplicada doble rampa…… 43
Fig. 3.6 (b) Diagrama de flujo para la fuente aplicada doble rampa…… 44
ÍÍNNDDIICCEE DDEE FFIIGGUURRAASS
viii
Fig. 3.6 (c) Diagrama de flujo para la fuente aplicada doble rampa…… 45
Fig. 3.7 (a) Gráfica voltaje de entrada respecto al tiempo obtenida del
software para transitorios electromagnéticos de una función escalón… 46
Fig. 3.7 (b) Voltaje de entrada respecto al tiempo obtenida de la
simulación en MATLAB de una función escalón…………………………. 47
Fig. 3.8 (a) Gráfica voltaje de salida respecto al tiempo obtenida del
software para transitorios electromagnéticos de una función escalón… 47
Fig. 3.8 (b) Voltaje de salida respecto al tiempo obtenida de la
simulación en MATLAB de una función escalón…………………………. 48
Fig. 3.9 (a) Gráfica voltaje de entrada respecto al tiempo obtenida del
software para transitorios electromagnéticos de una función doble
exponencial…………………………………………………………………... 48
Fig. 3.9 (b) Voltaje de entrada respecto al tiempo obtenida de la
simulación en MATLAB de una función doble exponencial…………….. 49
Fig. 3.10 (a) Gráfica voltaje de salida respecto al tiempo obtenido del
software para transitorios electromagnéticos de una función doble
exponencial…………………………………………………………………... 50
Fig. 3.10 (b) Voltaje de salida respecto al tiempo obtenido de la
simulación en MATLAB de una función doble exponencial…………….. 50
Fig. 3.11 (a) Gráfica voltaje de entrada respecto al tiempo obtenido
del software para transitorios electromagnéticos de una función doble
rampa…………………………………………………………………………. 51
Fig. 3.11 (b) Voltaje de entrada respecto al tiempo obtenido de la
simulación en MATLAB de una función doble rampa…………………… 51
Fig. 3.12 (a) Gráfica voltaje de salida respecto al tiempo obtenida del
software para transitorios electromagnéticos de una función doble
rampa…………………………………………………………………………. 52
Fig. 3.12 (b) Voltaje de salida respecto al tiempo obtenido de la
simulación en MATLAB de una función doble rampa………..………….. 52
Fig. 4.1 Icono del sistema en la barra del menú Inicio de Windows…… 54
ÍÍNNDDIICCEE DDEE FFIIGGUURRAASS
ix
Fig. 4.2 Pantalla de Presentación del Software………………………….. 55
Fig. 4.3 Ventana del Modulo de la Fuente aplicada (escalón)……….... 56
Fig. 4.4 Modulo de fuente aplicada (escalón)……………………………. 58
Fig. 4.5 Resultados luego de Procesar…………………………………… 61
Fig. 4.6 Gráficas y Tablas de valores de VL respecto al tiempo para
∆X determinados por el usuario…………………………………………… 62
Fig. 4.7 Gráficas y Tablas de valores de IM e IH respecto al tiempo….. 63
Fig. 4.8 Coordenadas de un punto determinado de la gráfica………..... 63
Fig. 4.9 Resultados de VM y VH del método: Fuente aplicada (doble
exponencial)………………………………………………………………….. 64
Fig. 4.10 Gráficas y tablas de valores para VL respecto al tiempo,
para NX determinado por el usuario………………………………………. 65
Fig. 4.11 Gráficas y tablas de valores para IM e IH respectivamente al
tiempo…………………………………………………………………………. 65
Fig. 4.12 Resultados de VM y VH del método: Fuente aplicada (doble
rampa)………………………………………………………………………… 66
Fig. 4.13 Resultados de VL respecto al tiempo para NX determinados
por el usuario………………………………………………………………… 67
Fig. 4.14 Resultados de IM e IH respecto al tiempo……………………. 67
Fig. 4.15 Resultados de VM y VH del método: Fuente aplicada (Seno). 68
Fig. 4.16 Resultados de VL respecto al tiempo para NX determinados
por el usuario………………………………………………………………… 69
Fig. 4.17 Resultados de IM e IH respecto al tiempo……………………. 69
Fig. 4.18 Ayuda del Sistema………………………………………………. 70
CCAAPPÍÍTTUULLOO II
1
CAPÍTULO I
INTRODUCCIÓN
Con el advenimiento de los avances tecnológicos hoy en día son muchas las
nuevas técnicas que pueden ser empleadas para incrementar la estimulación
durante el proceso de aprendizaje. Una de estas técnicas es el uso de
computadoras, equipos versátiles que por su amplia y diversa aplicabilidad
permiten incluir animaciones, sonidos y elementos visuales que se unen para
generar un flujo de información dinámica a los estudiantes que culmina con
el aprendizaje eficaz de los conocimientos suministrados.
Se tomó la iniciativa de elaborar un software que permite analizar las
variables más importantes de la línea de transmisión, tales como el voltaje y
corrientes, partiendo de la introducción de los parámetros del conductor así
como de las características de mismo, altura del montaje, conductividad,
permeabilidad y resistividad del medio.
Generalmente en el estudio de los transitorios electromagnéticos en líneas
de transmisión se supone que éstas son uniformes, es decir, que sus
parámetros como lo son; Resistencia, Capacitancia, Inductancia y
Conductancia, se mantienen constantes a lo largo de su longitud. A pesar de
que en una línea real los parámetros son función de la distancia, de la
frecuencia y de otros fenómenos, aquí solo se considerará la línea uniforme
como punto de partida a otros trabajos futuros que puedan incorporarse. El
CCAAPPÍÍTTUULLOO II
2
considerar el modelo de línea uniforme es de mayor utilidad sobretodo
cuando se analizan fenómenos transitorios debidos a maniobras.
Considerando las ventajas mencionadas anteriormente se desarrolla una
aplicación, para el Análisis de Transitorios Electromagnéticos en Líneas de
Transmisión Monofásicas Uniformes. De manera general se pretendió
simular una línea de transmisión bajo la influencia de un fenómeno
transitorio y para ello se modelaron las principales fuentes con que se
representan estos fenómenos en un sistema real, estas fuentes son: el
Escalón, Doble Exponencial, Doble rampa, y se creó un módulo
independiente para cada una de estas fuentes. Cada uno de estos módulos
funciona de manera similar, y poseen cuadros de entrada de datos para los
valores iniciales necesarios, con las variaciones correspondientes a cada
variante. Las salidas (tablas de resultados y gráficas) son iguales para cada
módulo, ya que los resultados deseados son iguales para cada variante.
Se dividió el problema en tres grandes procesos generales:
Entrada: consiste en todos aquellos valores que el sistema debería conocer
inicialmente para la posterior ejecución de todos los cálculos. Estos valores
iniciales son, para cada una de las variantes de la fuente aplicada:
RL = Resistencia de Carga [Ω]
R = Resistencia [Ω/m]
LONG = Longitud de la línea [m]
N = Número de muestras
Y dependiendo del caso, si el usuario dispone de los valores de entrada
siguientes:
CCAAPPÍÍTTUULLOO II
3
C = Capacitancia [F/m]
L = Inductancia [H/m]
De lo contrario el sistema los calculará en base a la entrada de los siguientes
valores:
r = Radio del Conductor [m]
h = Altura del Conductor [m]
rmg = Radio medio geométrico [m]
Proceso: consiste en todos los cálculos y procesos necesarios para la
obtención de los resultados, en base al algoritmo para cada una de las
variantes de la fuente aplicada.
Exportar Datos: Al ejecutarse la opción del menú principal Exportar datos, el
sistema se comunica con una Hoja de Cálculo (Microsoft Excel) y pega en
ella todos los valores de voltajes y corrientes, tanto en los extremos de la
línea (VH, IH, VM, IM) como en los diferentes puntos a lo largo de ella (VL1 y
VL2) y comunica al usuario del éxito de la operación.
Ayuda: Para la creación de la ayuda del sistema, se guardó el documento de
Word con el manual del usuario, como página web (formato html).
Salida: constituye la muestra de los resultados en las tablas de resultados y
sus gráficas correspondientes.
Para la creación del software, se utilizó el lenguaje de programación visual
llamado Visual Basic , específicamente la versión Visual Basic 6.0 . La
programación que se desarrolló a través de este paquete es denominada
programación orientada a eventos, debido a que los programas creados bajo
CCAAPPÍÍTTUULLOO II
4
esta modalidad pasan la mayor parte de su tiempo de ejecución esperando
las órdenes del usuario (eventos). Esto le atribuye las características
suficientes para su utilización en el desarrollo del paquete de información y
cálculo interactivo. Además Visual Basic 6.0 brinda las facilidades para la
creación de aplicaciones potentes y manejables bajo el ambiente Windows.
Para la interfaz con el usuario se buscó la mayor amigabilidad y facilidad de
uso posible. Se agruparon los datos de entrada en marcos (Frames), uno
para los valores iniciales necesarios en cada fuente, y otro con dos pestañas:
una para los valores de C y L cuando se disponen, y otra para introducir los
valores r, h y rmg, necesarios para el cálculo de C y L. Cada uno de los
valores de entrada se introduce en cuadros de texto. Para determinar si se
disponen o no de los Parámetros iniciales (C y L), se utilizan dos cuadros de
opción, de los cuales, solo uno puede estar seleccionado en determinado
momento.
Para los gráficos, se utilizaron los controles de cuadros de imagen
(PictureBox), debido a la posibilidad que permiten de determinar su escala y
ubicación de los puntos mayores para cada eje; lo cual facilita la
programación de las gráficas de resultados.
Para las tablas de valores de resultados, se utilizó el control MsFlexGrid, el
cual consiste en una malla o rejilla compuesta por celdas, dispuestas en filas
y columnas; que facilita la visualización de datos en forma de matriz.
1.1 ANTECEDENTES
Desde hace más de cien años se estudia el comportamiento de la línea de
transmisión y hasta hoy en día estos estudios sigue siendo un campo activo
CCAAPPÍÍTTUULLOO II
5
Para el análisis de la línea de transmisión a sido a través de las ecuaciones
del telegrafista, mestas ecuaciones están basadas en el parámetro
distribuido de la línea como son la resistencia serie, Impedancia serie,
capacitancia en derivación y conductancia en derivación.
La representación matemática de una línea de transmisión se remota a
finales del siglo XIX, se tenia la solución analítica de ella, esta fue planteada
por D´ Alembert, mas adelante surgieron desarrollo por Bewley, el cual
consideraba los famosos diagrama de Lattice, en lo años 60 se desarrollaron
programas para líneas de transmisión utilizado en el dominio de la frecuencia
y otros en el dominio del tiempo, se a encontrado que los métodos en el
dominio de la frecuencia son mas analizados para dispersión lineal, mientras
que en el dominio del tiempo son mas adecuadas para resolver líneas con
parámetros no lineales no uniforme.
En el dominio del tiempo uno de los métodos mas utilizados es el de
Bergeron, otro de los métodos utilizados en el dominio del tiempo es son
aquellos desarrollado por Radulet a través de las ecuaciones del telegrafista
el cual va hacer utilizado en este trabajo. Las expresiones matemáticas
utilizadas se basan en las Ecuaciones del Telegrafista para línea de
transmisión. En el análisis de líneas uniformes, se estudia la solución para
ecuaciones diferenciales hiperbólicas por el método de las características,
aplicado al método de diferencias finitas, teniendo como base el trabajo
previo presentado en [1].
1.2 PLANTEAMIENTO Y JUSTIFICACIÓN DEL PROBLEMA
Los fenómenos transitorios en líneas de transmisión aparecen en mayor
proporción de la que se pueda imaginar, por tal razón un estudio adecuado
CCAAPPÍÍTTUULLOO II
6
de ellos es una herramienta poderosa para el diseño dichas líneas. Para
realizar el estudio de estos fenómenos transitorios es necesario tener
herramientas de cómputo adecuadas que permitan de manera fácil y sencilla
obtener los resultados más próximos a lo que ocurre realmente en un
sistema. En la actualidad se cuenta con numerosos programas
mundialmente utilizados para realizar estos análisis como lo son el EMTP,
ATP, Microtran, PSCAD entre otros, los cuales son bastante poderosos pero
no de fácil acceso, por lo cual con este proyecto se plantea crear un
programa de simulación de fenómenos transitorios en líneas de transmisión
que pueda ser utilizado por los estudiantes, especialmente en la materia
sistemas de transmisión y que les permita simular una línea de transmisión
bajo diferentes condiciones de operación. Este programa de análisis será
realizado utilizando el Método de las Características de la teoría de las
Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP).
1.3 OBJETIVOS
1.3.1 General
Desarrollar un software interactivo para el análisis de transitorios
electromagnéticos en líneas de transmisión.
1.3.2 Específicos
Entender el problema de los fenómenos transitorios en líneas de
transmisión.
Estudiar diferentes métodos numéricos que permitan simular
transitorios en líneas de transmisión.
CCAAPPÍÍTTUULLOO II
7
Estudiar el método de las características y su aplicación al análisis de
líneas de transmisión.
1.4 METODOLOGÍA
El desarrollo del software interactivo para el análisis de transitorios
electromagnéticos en líneas de transmisión monofásica constó de búsqueda,
recopilación, selección de material, aprendizaje en el manejo del software a
emplear y finalmente la creación de software de cálculo.
Los fundamentos teóricos para el desarrollo del programa fueron obtenidos
de referencias bibliográficas relacionadas con el análisis de transitorios
electromagnéticas.
La información fue seleccionada y estructurada de tal manera que le permita
al usuario el entendimiento rápido y fácil de cada uno los temas incluidos en
el programa desarrollado
La plataforma utilizada para la elaboración del programa es el Visual Basic,
el cual es un lenguaje de programación visual, denominado también lenguaje
de 4ta generación, en donde gran parte de las actividades son realizadas sin
codificación y las tareas se llevan a cabo mediante simples operaciones
gráficas a través de la pantalla del computador.
Para la validación de los resultados arrojados por el programa se comparan
con aquellos obtenidos en trabajos previos [1].
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIII
8
CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO
2.1 CONCEPTO DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN
La línea de transmisión constituye el medio de transporte para llevar la
energía generada hacia los centros de consumo. Las líneas de transmisión
deben de ser capaces de transmitir la energía eléctrica de un punto a otro de
manera confiable y económica. Teniendo en cuenta sus parámetros como lo
son; Resistencia, Capacitancia, Inductancia, y Conductancia permitiendo
modelar una línea mediante un circuito eléctrico.
Las líneas de transmisión están constituidas por conductores eléctricos
soportados por torres o estructuras mediante cadenas de aisladores. Estos
conductores pueden ser; de fase, que es el encargado de la transmisión de
energía y el cable de guarda cuya función es proteger a los conductores de
fase contra la descarga de atmosféricas [2]. También es posible la
transmisión de energía eléctrica mediante líneas subterráneas
Desde el punto de vista de transmisión de información, la transmisión de
información es por medio de ondas electromagnéticas, estas ondas son las
formas más rápidas de transmitir información. Al aumentar el uso de las
ondas electromagnéticas para transmitir información, también han
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIII
9
aumentado los requisitos; la transmisión debe ser segura y eficiente y la
información debe llegar a su destino sin distorsión.
Una línea de transmisión, que por lo pronto se considera como cualquier
sistema de dos o más conductores, que incluyen al cable de dos polos
paralelos, al coaxial y al par trenzado, se puede modelar por la combinación
de elementos tales como R. L, C y G [10].
En las aplicaciones de la transmisión de energía eléctrica en las
comunicaciones; las frecuencias utilizadas son del orden de los cientos de
KHz o del orden de los MHz. Para estas frecuencias se utiliza comúnmente el
cable coaxial [2].
2.2 IMPEDANCIA CARACTERÍSTICA DE LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN
La impedancia característica de una línea tiene las dimensiones de una
resistencia, por lo que se designara indistintamente como impedancia o
resistencia característica [3],
Para una línea sin pérdidas se puede escribir:
CLZ = (2.1)
La impedancia característica para comunicaciones es relevante para lograr la
mejor adaptación entre la carga y la línea de transmisión y conseguir la
máxima transferencia de potencia a la frecuencia de operación [2].
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIII
10
2.3 VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN DE LA ONDA
Es aquella a la cual se transmite la perturbación. Coincide con la velocidad a
la que se propaga la fase a lo largo de la línea de transmisión [3]. En una
línea de transmisión la velocidad de propagación viene expresada en función
de los parámetros de dicha línea mediante la siguiente ecuación:
LCv 1= (2.2)
2.4 LÍNEAS UNIFORME
Se entiende por línea uniforme aquella en la que sus parámetros R [Ω/m], C
[F/m], L [H/m] y G [Ω-1/m] permanecen constantes a lo largo de su recorrido.
Para el modelado de la línea de transmisión, se comienza por determinar las
relaciones entre voltajes y corrientes a lo largo de su recorrido, en función de
los parámetros de la línea, para ello las ecuaciones mayormente utilizadas
son las Ecuaciones Modificadas del Telegrafista dadas como sigue [1]
Primera Ecuación del Telegrafista.
tiLRi
xv
∂∂
+=∂∂
− (2.3)
Segunda Ecuación del Telegrafista.
tvcgv
xi
∂∂
+=∂∂
− (2.4)
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIII
11
Donde:
v e i son los valores de voltaje y corriente a lo largo de la línea y R [Ω/m], L
[H/m], G [Ω-1/m] y C [F/m] son los parámetros eléctricos de la misma.
Para el cálculo de los parámetros antes mencionados se lleva a cabo el
siguiente procedimiento:
2.4.1 Parámetro Resistivo
La resistencia de un conductor es función del material, geometría, longitud,
temperatura y de la distribución de corriente dentro del conductor.
De manera general para determinar la resistencia del conductor se usa la
expresión [2]
SlR ×= ρ (2.5)
Donde:
ρ: es el valor de la resistividad con que se caracteriza el material la cual
viene expresada en [ ]m−Ω
l : Longitud del Conductor [ ]m
S : Área efectiva de la Sección Transversal del Conductor [ ]2m
En la actualidad el material utilizado para los conductores en líneas aéreas
es el aluminio ó aleaciones de este material. La temperatura afecta el valor
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIII
12
de resistividad del material incrementándola en la medida que sube la
temperatura del material, siendo esta relación lineal dentro del rango de
temperatura.
[ ])(1 11 oo ttRR −+= α (2.6)
Donde:
:oR Resistencia a la temperatura ot .
:1R Resistencia a la temperatura 1t .
α : Coeficiente de temperatura correspondiente a ot .
En forma equivalente, la ecuación 2.4 puede escribirse como:
oo
o
o tTtT
RR
++
=1 (2.7)
Donde:
:oT Es la temperatura para la cual la resistencia sería nula si se considera
una variación lineal para toda la temperatura.
Gráficamente se tiene:
Fig. 2.1 Variación de la resistencia con la temperatura.
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIII
13
2.4.2 Parámetro Capacitivo
Para modelar el efecto capacitivo de una línea monofásico se debe tener
presente que la altura es mucho mayor que el radio de los conductores, que
la longitud de los conductores es mucho mayor que la distancia que lo
separa, que éstos son paralelos entre si y al plano del terreno, además ellos
se encuentran en un medio dieléctrico, homogéneo, semi-infinito de
conductividad cero y constante dieléctrica ε igual a la del espacio libre [2], [3].
[ ]mF
rhLn
C⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ×
××=
)2()2( επ
(2.8)
Donde:
h: Altura del conductor medida desde el suelo [m]
r: Radio del conductor [m]
ε: Permitividad del medio dieléctrico [F/m]
2.4.3 Parámetro Inductivo
El parámetro inductivo viene a representar en gran parte el efecto magnético
de las líneas de transmisión, para ello se asume que la corriente se distribuye
uniformemente en la sección transversal del conductor, que todos los
conductores son cilíndricos, paralelos entre si y al plano tierra, que están en
un medio dieléctrico homogéneo, semi-infinito de conductividad nula y el
terreno se considera como un medio conductor homogéneo, semi-infinito, de
resistividad ρ y permeabilidad magnética igual a la del espacio libre [2], [3].
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIII
14
[ ]mH
rmghLnL ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ××⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×
=)2(
)2( πµ (2.9)
Donde:
:rmg Radio medio geométrico del conductor [m]
:µ Permeabilidad del medio dieléctrico [H/m]
2.5 LÍNEAS NO UNIFORME
La línea no uniforme se describe como aquella en la que sus parámetros
varían con la distancia [2], [3].
2.5.1 Parámetro Capacitivo
[ ]mF
rxhLn
xC⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ×
××=
))(2()2()( επ
(2.10)
2.5.2 Parámetro Inductivo
[ ]mH
rmgxhLnxL ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ××⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×
=))(2(
)2()(
πµ (2.11)
En este trabajo se considerara solamente el caso de líneas uniforme donde
la altura a lo largo de las líneas es constante, además tampoco se toma en
cuenta la variación de los parámetros respecto a la frecuencia.
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIII
15
2.6 MODELADO DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN
Las líneas de transmisión son elementos muy importantes en un sistema de
potencia, por ello la mayoría de los estudios que se realizan para dichos
sistemas, requieren que éstas de alguna manera sean modeladas. En
general, señales de corriente y voltaje en una línea de transmisión, dependen
de la localización de la línea, como también de la frecuencia de la fuente
principal del sistema. Dependiendo del tipo de estudio, pueden utilizarse
modelos de líneas de transmisión simplificados [2], [3].
2.6.1 Modelos de Líneas de Transmisión
Se describen los modelos básicos de las líneas de transmisión tanto en
régimen permanente como en régimen transitorios.
2.6.1.1 Estudios en Régimen Permanente:
La clasificación de las líneas según su longitud se hace en base a las
aproximaciones admitidas al operar con sus parámetros. Esta clasificación se
hace para líneas cortas hasta 80km, líneas medias entre 80km y 240km y
líneas largas de más de 240km [9]. Los modelos para solución de una línea
son los siguientes:
a.- Modelos de parámetros concentrados
a.1.- Solución exacta
Fig. 2.2 Modelo para solución exacta.
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIII
16
´´´´
jwCGjwLRZC +
+= (2.12)
( )( )´´´´ jwCGjwLR +=γ (2.13)
( )( )
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡00
cosh1cosh
IV
ddsenhZ
dsenhZd
dIdV
C
C
γγ
γγ(2.14)
Donde:
Zc= Impedancia características
γ = Constante de propagación
a.2 - Modelo de Líneas cortas: En las líneas cortas se desprecia la
capacitancia en paralelo y se toma en cuenta solamente la resistencia y la
inductancia en serie en forma concentrada. [2], [9], [11].
Fig. 2.3 Modelo de parámetros concentrados.
V1 y V2 son los voltajes al comienzo y al final de la línea respectivamente. La
relación entre estos voltaje es:
JXIRIVV ++= 21 (2.15)
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIII
17
a.3 - Modelo circuito PI-nominal: En las líneas de longitud media, además de
los parámetros resistencia e inductancia en serie, se toma en cuenta la
capacitancia en paralelo. Muy a menudo se utilaza el circuito nominal π en
donde se representa la admitancia total (Y), debido a la capacitancia total (C)
de la línea, dividida en dos partes iguales y colocadas en ambas extremos de
la líneas. [2], [9], [11].
Fig. 2.4 Modelo pi-nominal.
( ) rre VZIIV ++= π2 (2.16)
re IIII ++= 21 (2.17)
eVYI π=1 (2.18)
rVYI π=2 (2.19)
ZlZ =π (2.20)
2YlY =π (2.21)
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
r
r
e
e
IV
ZYYZYZZY
IV
πππππ
πππ
121
(2.22)
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIII
18
a.4 - Modelo circuito PI-exacto: Las líneas de longitud largas necesitan una
mejor representación que las líneas anteriores. Se consideran los efectos
exactos de resistencias inductancia y capacitancia su forma incremental a lo
largo de la línea. Esto lleva siempre a soluciones en forma de funciones
hiperbólicas. [2], [9], [11].
( )glSenhZZ 0=π (2.23)
( )( )glSenhZ
glCoshY0
1−=π (2.24)
( ) ( )( ) ( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
r
r
e
e
IV
glCoshZo
glSenhglZoSenhglCosh
IV
(2.25)
2.6.1.2 Estudios en Régimen Transitorio:
Los modelos utilizados en régimen transitorio se describen a continuación:
a.1 - Modelo circuito PI-exacto [11]
Fig. 2.5 Modelo pi-exacto.
( ) ( )( ) ( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
r
r
e
e
IV
glCoshZo
glSenhglZoSenhglCosh
IV
(2.26)
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIII
19
a.2 - Modelo de parámetros constantes [11]
Líneas Monofásicas
Líneas monofásicas sin pérdidas
Fig. 2.6 Modelo en régimen permanente para líneas monofásicas sin pérdidas.
LCv 1= (2.27)
vd
=τ (2.28)
CLZ = (2.29)
Donde:
v = Velocidad de propagación de la onda
τ = tiempo de propagación de la onda
Z = Impedancia característica de la línea
Líneas monofásicas con pérdidas
Las limitaciones principales son:
Las pérdidas no son continuamente distribuidas
Las pérdidas en las líneas varían significativamente con la frecuencia
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIII
20
Fig. 2.7 Modelo en régimen permanente para líneas monofásicas con pérdidas.
Líneas Polifásicas
Líneas Polifásicas Transpuestas
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⇒
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
l
l
ZZ
gZ
pZmZmZmZpZmZmZmZpZ
´000´000´
´´´´´´´´´
(2.30)
NZgZ
mZ l´´´
−= (2.31)
( )N
ZlNgZpZ l´´
´−+
= (2.32)
( ) mZlNpZgZ ´´´ −= (2.33)
ZmpZZ l −= ´´ (2.34)
Líneas Polifásicas No - Transpuestas
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⇒
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
l
l
ZZ
gZ
ZZZZZZZZZ
´000´000´
´´´´´´´´´
333231
232221
131211
(2.35)
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIII
21
Se debe calcular la matriz necesaria para realizar la transformación del
dominio de las fases hacia el dominio modal
a.3 - Modelo de parámetros dependientes de la frecuencia [14]
Fig. 2.8 Modelo en régimen permanente para líneas de parámetros dependientes de la
frecuencia.
Para analizar líneas de transmisión con parámetros dependientes de la
frecuencia, unos de los métodos mayormente utilizados es la representación
de la línea utilizando las ecuaciones del telegrafista propuestas por Radulet,
et.al., [12] :
0)()('0
=−∂∂
+∂∂
+∂∂
∫t
G ditrtt
iLxv τττ (2.36)
0)()(')(0
=−∂∂
+∂∂
+∂∂
∫t
dvtgtt
vvCxi τττ
(2.37)
donde r’(t) es una función del tiempo denominada resistencia transitoria y
g’(t) es otra función denominada conductancia transitoria. Dichos parámetros
transitorios incluyen las dependencias frecuenciales de la línea.
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIII
22
2.7 PROPAGACIÓN Y REFLEXIÓN DE ONDAS
La relación entre ondas de tensión y de corriente es la impedancia
característica de la línea, siendo esta relación positiva para ondas que se
desplazan en un sentido, y negativo para ondas que se desplazan en sentido
contrario. La existencia de ondas que se propagan en ambos sentidos es
debida a los puntos de discontinuidad que puede haber en una línea. El
principio físico de esto puede resumirse de la siguiente forma [3]:
Cuando una línea es energizada se inicia la propagación de una onda
de tensión y de una onda de corriente, estando ambas relacionadas
por la impedancia característica.
La propagación de ambas ondas se realiza sin distorsión ni atenuación
y sólo sufrirá un cambio cuando se encuentre una discontinuidad en el
medio de propagación.
Cuando una onda de tensión o de corriente, se encuentra con un
medio de características distintas a las del medio en el que se propaga
se origina una nueva onda, conocida como onda reflejada, que se
superpone a la onda incidente.
Un cambio en el medio de propagación puede producirse en muchas
situaciones, como es el cambio en el valor de la impedancia característica del
medio
Se tiene una línea ideal por la que se propaga una onda incidente, que
alcanza el extremo en el que se ha instalado una resistencia
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIII
23
En final de la línea se tienen las siguientes relaciones entre las ondas de
tensión y de corriente
rif vvv += (2.38)
rif iii += (2.39)
Donde los subíndices i, r y f se usan para designar ondas incidente,
reflejadas y refractada
Las ondas de tensión y de corriente están relacionadas según las siguientes
expresiones:
fff iRv = (2.40)
iCi iZv = (2.41)
rCr iZv −= (2.42)
Que sustituidas en las anteriores expresiones permiten obtener
ifr vrv = (2.43)
ifr iri −= (2.44)
Siendo
Cf
Cff ZR
ZRr
+
−= (2.45)
El coeficiente de reflexión de ondas en final de línea
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIII
24
Las ondas de tensión y corriente en final de línea son el resultado de sumar
las ondas incidentes y reflejadas. Si se tiene en cuenta la relación entre
ambas resulta
( ) iff vrv += 1 (2.46)
( ) iff iri += 1 (2.47)
2.7.1 Onda incidente: Es la onda que disminuye en magnitud a medida que
se aleja del extremo emisor de la línea de transmisión [3].
2.7.2 Onda reflejada: por su parte se origina a partir de la discontinuidad de
la línea de transmisión, la misma se desplaza en sentido contrario a la onda
incidente y su magnitud disminuye a medida de que se aleja de su extremo
receptor [3].
2.7.3 Onda refractada: es la suma de la onda incidente y la onda reflejada
[3].
2.8 LÍNEAS EN VACIÓ
Cuando una onda alcanza un terminal de línea en circuito abierto
(Impedancia de valor infinito) la onda de refractada de tensión alcanza un
valor de dos veces la tensión incidente, lo que puede generar
sobretensiones, es decir que el voltaje de salida es el doble del voltaje de
entrada, mientras que la onda se corriente se anula [3].
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIII
25
2.9 LÍNEAS EN CORTOCIRCUITO
Cuando una onda alcanza un terminal de línea en cortocircuito (Impedancia
de valor cero) la onda de corriente se dobla lo que origina sobrecorriente,
mientras que la onda de tensión se anula [3].
2.10 LÍNEAS ADAPTADAS
Se dice que una línea esta adaptada cuando la impedancia equivalente
instalada en su terminal es igual a la impedancia característica, cuando una
onda alcanza un terminal de línea adaptada no se origina ninguna reflexión
de ondas, esta no genera sobretensiones ni sobrecorrientes, el
comportamiento del voltaje de salida es igual al voltaje de entrada [3].
2.11 MÉTODO DE LAS CARACTERÍSTICAS
Existen muchos métodos para análisis de transitorios en líneas de
transmisión, en el presente Trabajo de Grado se estudia el Método de las
características, el cual permite pasar las ecuaciones diferenciales parciales a
ecuaciones diferenciales ordinarias, este método se describe a continuación:
La solución de la ecuación de onda se analiza al considerar las curvas
características, Esto también permitirá extender el método numérico a
ecuaciones hiperbólicas [4], [5].
Considérese la ecuación diferencial de segundo orden en dos variables x, t.
0=+++ ecubuau ttxtxx (2.48)
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIII
26
Utilizando la descripción de los subíndices para representar las derivadas
parciales, los coeficientes a, b, c y e pueden ser funciones de x, t, ux, ut, u.
xuxup =∂∂
= (2.49)
tutuq =∂∂
= (2.50)
De las ecuaciones (2.49) y (2.50) se pueden escribir los diferenciales de p y q
dtudxudttpdx
xpp xtxx +=
∂∂
+∂∂
=∂ (2.51)
dtudxudttqdx
xqq ttxt +=
∂∂
+∂∂
=∂ (2.52)
Despejando de la ecuación (2.51) xxu y de la ecuación (2.52) ttu se tiene
dxdtu
dxdp
dxdtudp
u xtxt
xx −=−
= (2.53)
dtdxu
dtdq
dtdxudq
u xtxt
tt −=−
= (2.54)
Sustituyen (2.53) y (2.54) en (2.48)
0
0
=+−−++−
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
edtdxuc
dtdqcbu
dxdtau
dxdpa
edtdxu
dtdqcbu
dxdtu
dxdpa
xtxtxt
xtxtxt(2.55)
(2.56)
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIII
27
Reordenado la ecuación (2.56) se obtiene:
0=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +++⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −+− e
dtdqc
dxdpa
dtdxcd
dxdtauxt (2.57)
Multiplicando la ecuación (2.57) por dxdt
−
0=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +−
dxdte
dxdt
dtdqc
dxdt
dxdpa
dxdt
dtdxc
dxdtd
dxdt
dxdtauxt (2.58)
Agrupando términos iguales de la ecuación (2.58)
02
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
dxdte
dxdqc
dxdt
dxdpac
dxdtd
dxdtauxt (2.59)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ c
dxdtd
dxdta
2
(2.60a)
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++
dxdte
dxdqc
dxdt
dxdpa (2.60b)
De la ecuación (2.59), supóngase que en el plano x, t se proyectan las
curvas, la ecuación diferencial original es equivalente a hacer que la primera
expresión (2.60a) y la, segunda expresión (2.60b) sean igualadas a cero.
02
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ c
dxdtd
dxdta (2.61)
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIII
28
0=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++
dxdte
dxdqc
dxdt
dxdpa (2.62)
Haciendo un cambio de variables donde dxdtm = en cuanto a las ecuaciones
(2.61) y (2.62) obteniéndose
02 =+− cbmam (2.63)
0=++ edtcdqamdp (2.64)
Del problema original, el cual es una ecuación diferencial parcial de segundo
orden, escribiéndose la ecuación (2.64) en forma diferencial, esto se reduce
a resolver un par de ecuaciones de primer orden.
Las curvas cuyas pendientes m vienen dadas por la ecuación (2.63) son
llamadas características de la ecuación diferencial, puesto que la ecuación es
una ecuación cuadrática, se puede tener una, dos o ninguna solución real,
dependiendo del valor de acb 42 − . El valor de este discriminante es la base
usual para la clasificación de las ecuaciones diferenciales parciales. Si
042 <− acb Elíptica
042 =− acb Parabólica
042 >− acb Hiperbólicas
De la ecuación elíptica no hay características reales, de la ecuación
parabólica solo hay una sola característica en cualquier punto y de las
hiperbólicas en cada punto habrá un par de curvas características cuyas
pendientes vienen dadas por dos raíces reales distintas, el presente estudio
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIII
29
sólo considera este tipo de ecuación, por la naturaleza de las ecuaciones de
la línea.
Se presentará un método para resolver las ecuaciones de la forma de la
ecuación (2.48) por integración numérica a lo largo de las características,
Visualizando las condiciones iniciales como especificas de la función u en
alguna curva del plano t, x. Considérese dos puntos P y Q sobre la curva
inicial (Fig 2.9).
Cuando la ecuación (2.48) es hiperbólica hay dos curvas características a
través de cada punto. La curva del extremo derecho a través de P se
intercepta con la curva del extremo izquierdo a través de Q, estas curvas son
tales que sus pendientes vienen dadas por las raíces apropiadas de la
ecuación (2.63), llámense m+ los valores de la pendiente en la curva PR, y
m- los valores de la misma sobre la curva QR.
Estas curvas son características, las solución al problema se encuentran
resolviendo la ecuación (2.64) a lo largo de ellas.
La resolución del problema será primero encontrar un punto R
Fig. 2.9 Curvas características iniciales
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIII
30
xmt
xdxdtt
prom
prom
∆=∆
∆⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=∆
(2.65a)
(2.65b)
Resolviendo la ecuación aplicada sobre los arcos PR y QR. Cuando dt/dx es
una función de x o t, es posible integrar la ecuación (2.65b). Cuando dt/dx
varia con u, se utilizará el procedimiento de Euler, tomando en cuenta mprom
bien en m+ en P o m- en Q para iniciar la solución, utilizándose el promedio
aritmético de m en los puntos extremos de cada arco, tan pronto como el
valor de m en R pueda ser evaluado.
Entonces haciendo las sustituciones en la ecuación (2.64) de esta forma
comenzando primero por P y luego Q, utilizando valores apropiados para m.
esto estimara valores en R a través de los puntos P y Q.
0=∆+∆+∆ teqcpma promprompromprom (2.66)
Evaluando la función u en R a partir de
dttudx
xudu
∂∂
+∂∂
= (2.67)
De la ecuación (2.67), y además tomando en cuenta las ecuaciones (2.49) y
(2.50) se puede utilizar de la forma
tqxpu promprom ∆+∆=∆ (2.68)
La ecuación para u∆ puede ser aplicada a cualquier cambio a lo largo de P,
Q, R, los cálculos se repiten en un segundo punto y luego continua de igual
manera a través del plano x, t.
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIII
31
Para la ecuación de onda sencilla
xxtt ucu 2= (2.69)
Las pendientes de las curvas características son
cm 1
±= (2.70)
Y las características son las líneas
( )ixxc
t −±=1 (2.71)
Las curvas de los puntos P y Q, tomados sobre la línea para T=0 en
condiciones iniciales. La red de puntos utilizada en el método de diferencias
finitas se ve en la intersección de las características a través de pares de
puntos espaciados x∆2 . El método de diferencias finitas con
( ) ( ) 122 =∆∆ twxTg (2.72)
Se encontrará que es equivalente a integrar a lo largo de las características,
dando más apoyo a la posibilidad de dar respuestas exactas.
Fig. 2.10 Curvas sobre los puntos P y Q tomados sobre la línea para t=0
CCAAPPIITTUULLOO IIIIII
32
CAPÍTULO III
3.1 MODELADO DE LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN MONOFÁSICA USANDO EL MÉTODO DE LAS CARACTERÍSTICAS
Para realizar el modelado de una línea de transmisión se parte de la
determinación de sus parámetros y de los voltajes y corrientes que se
obtienen a lo largo de ella. La forma mas convencional de relacionar estos
elementos es utilizando las ecuaciones modificadas del telegrafista
mostradas en el capitulo II (ec. 2.3 y 2.4) [1].
Agrupando las ecuaciones (2.3 y 2.4) en forma matricial se obtiene:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
00
00
00
iv
GR
iv
tCL
iv
x(3.1)
Usualmente para análisis en líneas aéreas G se desprecia.
Haciendo un cambio de variables en las matrices donde
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
000
;0
0;
RB
CL
Aiv
U
Donde los valores propios de la matriz A son
CCAAPPIITTUULLOO IIIIII
33
CL×+=1λ (3.2a)
CL×−=2λ (3.2b)
Los vectores propios izquierdos y derechos de la matriz A son
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
W
WL Z
ZE
11
(3.3a)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
WWR YY
E11
(3.3b)
Donde:
CLZW = (3.4a)
LCYW = (3.4b)
Debido a que λ1 y λ2 son reales y la matriz A tiene un conjunto completo de
vectores propios, siendo este sistema hiperbólico, y tal como se describió en
el capítulo II este se representa por las curvas características que
proporcionan un sistema de coordenadas alternativo al cartesiano x-t.
Esas dos familias de curvas características que se derivan de las ecuaciones
del telegrafista están definidas por las siguientes ecuaciones diferenciales
parciales
1λ=dxdt (3.5a)
CCAAPPIITTUULLOO IIIIII
34
2λ=dxdt (3.5b)
En la figura 3.1 se ilustran las dos familias de curvas características
obtenidas como soluciones de (3.5a) y (3.5b) para una línea con parámetros
constante. La pendiente de cada familia corresponde al inverso de la
velocidad de propagación en la línea
Fig. 3.1 Curvas Características
Haciendo un procedimiento como el explicado en el capitulo II se puede
resolver el sistema de ecuaciones diferenciales parciales presentado
anteriormente.
Para ello en este caso se premultiplica la ecuación (3.1) por su matriz de
valores propios izquierdo (3.3a)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
0
0
22
11
Riitx
Zvtx
Riitx
Zvtx
W
W
λλ
λλ(3.6)
Haciendo cambio de variables en la ecuación (3.6), en cualquiera de las
curvas características definidas por (3.5a) y (3.5b)
CCAAPPIITTUULLOO IIIIII
35
dxd
tx⇔⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
1λ (3.7a)
dxd
tx⇔⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
2λ (3.7b)
Aplicando el cambio de variables a la ecuación (3.6) se tiene
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+−++
00
RidxdiZdvRidxdiZdv
W
W (3.8)
Para la solución numérica de las ecuaciones de líneas uniforme la expresión
(3.8) representa un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias. Para
la solución numérica de la ecuación (3.8) considérese la malla de diferencias
finitas definida por las siguientes aproximaciones discretas de las ecuaciones
(3.5a) y (3.5b)
1λ=∆∆xt (3.9a)
2λ=∆∆xt (3.9b)
La figura 3.2 ilustra la malla de diferencias finitas basado en coordenadas
características
Fig.3.2 Malla de discretización en los puntos intermedios de la línea
CCAAPPIITTUULLOO IIIIII
36
Haciendo un cambio de variables a la ecuación (3.8) se obtiene
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∆+∆−∆∆+∆+∆
00
xRiiZvxRiiZv
W
W (3.10)
En la malla de diferencias finitas los valores de v e i son conocidos en los
puntos “Q” y “G”, permitiendo la extensión de la expresión (3.10)
( ) ( ) ( ) 02
=∆++−+− xiiRiiZVV LQQLWQL (3.11a)
( ) ( ) ( ) 02
=∆++−−− xiiRiiZVV LGGLWGL (3.11b)
Reagrupando para termino de iL, iQ de las ecuaciones (3.11 a,b)
022
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ∆
−−−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ∆
++ QWQLWL ixRZVixRZV (3.12a)
022
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ∆
−+−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ∆
+− GWGLWL ixRZVixRZV (3.12b)
De los argumentos que acompaña a iL e iQ se hace un cambio de variables
de la siguiente forma
21xRZZ WW
∆+= (3.13a)
22xRZZ WW
∆−= (3.13b)
Sustituyendo el cambio de variables de las ecuaciones (3.13 a,b) en (3.12
a,b) quedando las ecuaciones aún más simplificadas
CCAAPPIITTUULLOO IIIIII
37
021 =−−+ QWQLWL iZViZV (3.14a)
021 =+−− GWGLWL iZViZV (3.14b)
Se tiene dos ecuaciones con dos incógnitas y haciendo las operaciones
necesarias se obtienen las ecuaciones de v e i en el punto “L”
( )[ ]GQWGQW
L iiZVVZ
i ++−= 212
1 (3.15)
( )[ ]GQWGQL iiZVVV −++= 221 (3.16)
En la condición de frontera inicial de la línea se aplica un fuente ideal de
voltaje quedando esta representada por el punto H (VH=f(t)), adaptando la
ecuación (3.14b) a esta condición quedando de de la siguiente manera
021 =+−− QWQHWH iZViZV (3.17)
De la ecuación (3.17) se despeja iH obteniéndose la corriente de frontera
inicial
[ ]QWQW
H iZVtfZ
i 21
)(1+−= (3.18)
Para la condición de frontera final, en x=L se supone una carga resistiva pura
cuya relación entre voltaje y corriente final quedando esta representada por
el punto M
L
MM R
Vi = (3.19)
CCAAPPIITTUULLOO IIIIII
38
De la ecuación (3.14a) se adapta la ecuación para condición de frontera final
de la línea
021 =−−+ PWPMWM iZViZV (3.20)
Despejando de la ecuación (3.20) Vm
MWPPWM iZViZV 12 −+= (3.21)
Obtenida la ecuación (3.21) y sustituyendo esta en la ecuación (3.19) se
tiene que
1
2
WL
PPWM ZR
ViZI
++
= (3.22)
Para el voltaje de frontera final
LMM RIV = (3.23)
Sustituyendo la ecuación (3.24) en la ecuación (3.25) y así obteniendo los
valores de voltaje en la frontera final
( )PWPWL
LM iZV
ZRR
V 21
++
= (3.24)
Fig. 3.3 Malla de discretización en los puntos de las fronteras
CCAAPPIITTUULLOO IIIIII
42
J = Dift
¿J > Tobs?Si
No
VH(J) = -A * (Exp-tα1 - Exp-tα2)IH(J) = (VH(J) - VQ + (z2 * IQ)) / z1VQ(0, J) = aVH(J)IQ(0, J) = aIH(J)
¿i > Long?Si
No
i = Difx
¿i = Difx?Si No
IQ(i, J) = (VH(J) - VQ(i + Difx, J - 1) + z2 * (IH(J - 1) + IQ(i + Difx, J - 1))) / (2 * z1)VQ(i, J) = (VH(J) + VQ(i + Difx, J - 1) + z2 * (IH(J - 1) - IQ(i + Difx, J - 1))) / 2
IQ(i, J) = (VQ(i-Difx, J-1) - VQ(i + Difx, J - 1) + z2 * (IH(J - 1) + IQ(i + Difx, J - 1))) / (2 * z1)VQ(i, J) = (VQ(i-Difx, J-1) + VQ(i + Difx, J - 1) + z2 * (IH(J - 1) - IQ(i + Difx, J - 1))) / 2
¿i >= Difx1
VM(J) = (RL / (RL + z1)) * (VQ(i - Difx, J - 1) + z2 * IQ(i - Difx, J - 1))IM(J) = VM(J) / RLVQ(i, J) = VM(J)IQ(i, J) = IM(J)
i = i +1
Si No
J = J +1
Fig. 3.5 (b) Diagrama de flujo para la fuente aplicada doble exponencial
CCAAPPIITTUULLOO IIIIII
45
Resultados
FIN
A
i = i +1
J = J +1
¿i >= Difx1
VM(J) = (RL / (RL + z1)) * (VQ(i - Difx, J - 1) + z2 * IQ(i - Difx, J - 1))IM(J) = VM(J) / RLVQ(i, J) = VM(J)IQ(i, J) = IM(J)
Si No
B
CD
E
Fig. 3.6 (c) Diagrama de flujo para la fuente aplicada doble rampa
CCAAPPIITTUULLOO IIIIII
46
3.3 RESULTADOS
A continuación se muestran los resultados en graficas para cada una de las
fuentes aplicadas obtenidos en el programa de Visual Basic, las cuales son
comparadas con las gráficas de MatLab para su validación y análisis de su
comportamiento.
3.3.1 Función escalón.
Fig. 3.7 (a) Gráfica voltaje de entrada respecto al tiempo obtenida del software para
transitorios electromagnéticos de una función escalón
Para simular el comportamiento de una fuente aplicada (escalón) se trabajó
con los parámetros definidos y constantes de R=0,02174[Ω], C=8.3421E-12
[F/m] y L=1.3369E-6 [H/m] a lo largo de una línea de 2185m de longitud, con
un número de muestras de 150 y un tiempo de observación de 15E-6 [s]. Una
vez obtenida la gráfica por medio del software para transitorios
electromagnéticos se puede observar que presenta el mismo
comportamiento que las obtenidas a través de la simulación en matlab [1], es
decir una función escalón unitario (Vh=1V, t>0s), lo que demuestra que el
programa desarrollado es confiable ya que se observa gran concordancia en
ambas simulaciones
CCAAPPIITTUULLOO IIIIII
47
0 0.5 1 1.5
x 10-5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tiempo (s)
Vol
taje
(V)
Fig. 3.7 (b) Voltaje de entrada respecto al tiempo obtenida de la simulación en MATLAB de
una función escalón
Fig. 3.8 (a) Gráfica voltaje de salida respecto al tiempo obtenida del software para
transitorios electromagnéticos de una función escalón Para la simulación de voltaje de salida de la línea (VM voltaje de frontera
final), tomando en cuenta una impedancia de carga resistiva muy grande
simulando un circuito abierto, RL=1E8 [Ω], se observa que en ambas gráficas
CCAAPPIITTUULLOO IIIIII
48
el voltaje de salida es aproximadamente el doble del voltaje aplicado (Voltaje
de frontera inicial) y se obtiene el mismo valor del tiempo en el cual ocurre el
transitorio.
0 0.5 1 1.5
x 10-5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Tiempo (s)
Vol
atje
(V)
Fig. 3.8 (b) Voltaje de salida respecto al tiempo obtenida de la simulación en MATLAB de
una función escalón
3.3.2 Función doble exponencial
Fig. 3.9 (a) Gráfica voltaje de entrada respecto al tiempo obtenida del software para
transitorios electromagnéticos de una función doble exponencial
CCAAPPIITTUULLOO IIIIII
49
0 0.5 1 1.5
x 10-5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Voltajes en diferentes puntos de la línea
Tiempo en segundos
Vol
taje
en
V
Fig. 3.9 (b) Voltaje de entrada respecto al tiempo obtenida de la simulación en MATLAB de
una función doble exponencial
De la función doble exponencial expresada como
))]exp(-t())exp(-t[( 21 αα −×−= AVH y trabajando con los valores de
parámetros constantes de R [Ω/m], L [H/m], y C [F/m], igual número de
muestras, tiempo de observación y longitud de la línea que para la función
escalón, amplitud de la onda, A=1 y las constantes matemáticas del modelo
del rayo siendo α1 y α2 de 1000000 y 50000 respectivamente y así
obteniéndose el comportamiento transitorio del mismo, se aprecia que el
comportamiento en las graficas de voltajes de entradas y salidas respecto al
tiempo es el mismo, tanto para la simulación en MATLAB [1] como para el
software desarrollado, igualmente se observa que para la impedancia de
carga resistiva el voltaje de salida es aproximadamente el doble que el
voltaje aplicado a la línea, de igual manera se observa el tiempo en el cual
ocurre el transitorio.
CCAAPPIITTUULLOO IIIIII
50
Fig. 3.10 (a) Gráfica voltaje de salida respecto al tiempo obtenido del software para
transitorios electromagnéticos de una función doble exponencial
0 0.5 1 1.5
x 10-5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Tiempo (s)
Vol
atje
(s9
Fig. 3.10 (b) Voltaje de salida respecto al tiempo obtenido de la simulación en MATLAB de
una función doble exponencial
CCAAPPIITTUULLOO IIIIII
51
3.3.3 Función doble rampa
Fig. 3.11 (a) Gráfica voltaje de entrada respecto al tiempo obtenido del software para
transitorios electromagnéticos de una función doble rampa
0 0.5 1 1.5
x 10-5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tiempo (T)
Vol
taje
(V)
Fig. 3.11 (b) Voltaje de entrada respecto al tiempo obtenido de la simulación en MATLAB de
una función doble rampa
CCAAPPIITTUULLOO IIIIII
52
Fig. 3.12 (a) Gráfica voltaje de salida respecto al tiempo obtenida del software para
transitorios electromagnéticos de una función doble rampa
0 0.5 1 1.5
x 10-5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Tiempo (s)
Voltaje (V
)
Fig. 3.12 (b) Voltaje de salida respecto al tiempo obtenido de la simulación en MATLAB de
una función doble rampa
Para la función doble rampa, viene expresada por tres funciones de Vs que
dependen cada una de ellas de la amplitud, tao, tiempo, tiempo de
observación que es igual al tao máximo, cada una de estas funciones tiene
unas condiciones para la aplicación en el tiempo, la primera condición para
CCAAPPIITTUULLOO IIIIII
53
Vs es t≤ tao, ( ) ttaoAVs ×= / , la segunda condición para t>tao y maxtaot ≤ se
tiene que ))max/())((( taotaotaotAAVs −−×−= , y para la tercera condición
t>taomax se aplica que Vs=0, teniendo en cuenta el comportamiento de las
funciones en el tiempo y trabajando con los valores de parámetros
constantes de R [Ω/m], L [H/m], y C [F/m], igual número de muestras, tiempo
de observación y longitud de la línea que para la función escalón, amplitud de
la onda, A=1, se aprecia que el comportamiento en las graficas de voltajes de
entradas y salidas respecto al tiempo es el mismo, tanto para la simulación
en MATLAB [1] como para el software desarrollado, igualmente se observa
que para la impedancia de carga resistiva el voltaje de salida es
aproximadamente el doble que el voltaje aplicado a la línea, de igual manera
se observa el tiempo en el cual ocurre el transitorio.
ºº
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIVV
54
CAPÍTULO IV
4.1 MANUAL DE USUARIO Programa para el Análisis de Transitorios Electromagnéticos en Líneas
de Transmisión Monofásicas. Ejecución y presentación inicial del Sistema: para ejecutar el programa,
basta con hacer clic sobre el icono creado por el programa de instalación en
el menú Inicio de Windows, tal como aparece en la Fig. 4.1
Fig. 4.1 Icono del sistema en la barra del menú Inicio de Windows
ºº
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIVV
55
Al abrir la aplicación cargará la pantalla de presentación mostrada a
continuación:
Fig. 4.2 Pantalla de Presentación del Software
Al hacer clic sobre la imagen de esta pantalla, o al haber transcurrido 3
segundos, se cerrará y se cargará la ventana correspondiente al primer
modulo de aplicación que contempla el sistema:
ºº
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIVV
56
Fig. 4.3 Ventana del Modulo de la Fuente aplicada (escalón)
Cada una de las ventanas correspondiente a cada modulo, posee un Menú
compuesto por las siguientes opciones:
Método: este menú contiene las 4 opciones de métodos que ofrece el
sistema para ser usados:
- Fuente aplicada (escalón)
- Fuente aplicada (doble exponencial)
- Fuente aplicada (doble rampa)
- Fuente aplicada (seno)
Nuevo: permite realizar un nuevo ejercicio con el método cargado
actualmente.
ºº
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIVV
57
Procesar: con esta opción se le indica al programa que ejecute el
método con los valores que se han introducido para el mismo.
Exportar Datos: Al ejecutarse la opción del menú principal Exportar
datos, el sistema se comunica con dicha Hoja de Cálculo (Microsoft
Excel) y pega en ella, todos los valores de VM, VH, IM, IH, VL1 y VL2
del presente ejercicio, y comunica al usuario del éxito de la operación.
Salir: al presionar en esta opción el sistema pregunta si se desea salir
del sistema, si se selecciona Sí se termina su ejecución. Seguidamente se explicará cada una de las ventanas correspondientes a
cada uno de los métodos.
VH , IH = Voltaje y Corriente de entrada
VM , IM = Voltaje y Corriente de salida
VL= Voltaje en cualquier punto de la línea
ºº
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIVV
58
Fuente aplicada (escalón)
Fig. 4.4 Modulo de fuente aplicada (escalón)
Como ya se mencionó anteriormente, al hacer clic en el menú Nuevo, se le
indica al sistema que se desea trabajar con un nuevo ejercicio, con los
valores que el usuario determine. Para ello, el usuario dispone de toda un
conjunto de cuadros de texto correspondientes a cada uno de los valores que
son necesarios, a fin de que el sistema realice los cálculos del método y
muestre los resultados del mismo.
En esta ventana tenemos los siguientes cuadros de entrada de dato:
Primer Grupo con el título de:
ºº
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIVV
59
Valores Iniciales:
RL = Resistencia de Carga
R = Resistencia
LONG = Longitud de la línea
N = Número de muestras
El segundo grupo de cuadros de entrada de dato, está compuesto por 2
pestañas, las cuales se habilitarán dependiendo de la selección que haga el
usuario entre las opciones que tienen por título:
Parámetros Definidos
Cálculo de Parámetros
Parámetros Definidos: habilita los cuadros de texto de la primera pestaña:
C = Capacitancia
L = Inductancia
Cálculo de Parámetros: habilita los cuadros de texto de la segunda
pestaña:
r = Radio del Conductor
h = Altura del Conductor
rmg = Radio medio geométrico
Es preciso indicar, que se seleccionará la opción de Parámetros Definidos
cuando se disponga de los valores de C (Capacitancia) y L (Inductancia)
para el ejercicio, de lo contrario; se utilizará el Cálculo de Parámetros, con el
ºº
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIVV
60
fin de que el sistema los calcule en base a los datos que solicita del usuario
en la pestaña correspondiente.
Existe también un marco o cuadro en esta ventana, donde se muestran las
condiciones iniciales del método:
t = 0 VH = 0
t > 0 VH = Se le solicita al usuario este valor
y como se puede observar, en el cuadro de texto VH el usuario indica al
sistema, cual será el valor de VH cuando t (tiempo) sea mayor a cero (0).
Una vez que se han introducido todos los valores necesarios, se debe hacer
clic en la opción del Menú principal de la ventana: Procesar. Con ello, el
sistema realizará todos los cálculos, almacenará cada uno de los valores
resultantes de VH, IH, VL, IL, VM e IM en memoria, y los mostrará en las
diversas tablas de valores que se mencionan más adelante junto con sus
gráficas correspondientes en relación al tiempo.
El sistema realiza antes de ejecutar todos los cálculos las siguientes
validaciones, las cuales se deben cumplir, de lo contrario el sistema
informará al usuario mediante el mensaje correspondiente:
Todos los valores introducidos por el usuario deben ser numéricos.
No puede faltar algún valor.
Una vez validados los datos, el sistema calcula el valor de c (velocidad de
propagación), la cual debe estar comprendida en el siguiente rango: [(2,9 x
ºº
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIVV
61
108), (3,0 x 108)], es decir cercana a la velocidad de la luz. Si dicho resultado
no llega a estar en ese rango, el sistema informa que los valores de C y/o L
no son apropiados para el desarrollo del ejercicio.
Fig. 4.5 Resultados luego de Procesar
Como se puede observar en la figura anterior, existen tres (3) pestañas para
mostrar los resultados del método.
Gráfica VM – T: muestra las gráficas y tablas de valores de VM y VH
respecto al tiempo (Figura 3.17).
Gráfica VL – T: muestra las gráficas y tablas de valores de VL
respecto al tiempo para un NX introducido por el usuario. Existe la
posibilidad de introducir dos (2) NX diferentes en los cuadros de texto
para tal fin, pudiéndose así comparar los resultados entre ellos.
ºº
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIVV
62
Los valores de NX que introduce el usuario son validados por el sistema, de
manera tal, que solo admitirá valores dentro del rango desde cero (0) hasta
la longitud utilizada en el ejercicio, además de ser un número múltiplo del
Diferencial de X (∆x) calculado. Dicho valor de Diferencial de X (∆x) es
mostrado mediante una etiqueta para cada uno de los ejercicios que se
ejecuten.
Fig. 4.6 Gráficas y Tablas de valores de VL respecto al tiempo para ∆X determinados por el
usuario
Gráfica IM – T: muestra las gráficas y tablas de valores de IM y IH
respecto al tiempo.
ºº
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIVV
63
Fig. 4.7 Gráficas y Tablas de valores de IM e IH respecto al tiempo
Es necesario indicar, que en cada una de las gráficas del sistema, con hacer
clic en cualquier punto dentro de la misma, serán mostradas las coordenadas
exactas de dicho punto mediante una etiqueta, tal como se muestra en la
figura siguiente.
ºº
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIVV
64
Fig. 4.8 Coordenadas de un punto determinado de la gráfica
ºº
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIVV
65
Fuente aplicada (doble exponencial)
Esta ventana funciona de manera similar al método anterior, con la diferencia
que requiere adicionalmente de los siguientes parámetros:
A = Amplitud
α1 = constante del rayo
α2 = constante del rayo
Para cada uno de estos parámetros existe un cuadro de texto en el primer
grupo: Valores Iniciales.
Fig. 4.9 Resultados de VM y VH del método: Fuente aplicada (doble exponencial)
ºº
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIVV
66
Para este método existen igualmente, las dos (2) pestañas siguientes y con
el mismo funcionamiento que en la fuente aplicada (escalón), que muestran
los valores de VL, IM e IH respecto al tiempo, tal como se muestra en las
figuras siguientes:
Fig. 4.10 Gráficas y tablas de valores para VL respecto al tiempo, para NX determinados por el usuario
ºº
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIVV
67
Fig. 4.11 Gráficas y tablas de valores para IM e IH respecto al tiempo
ºº
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIVV
68
Fuente aplicada (doble rampa)
Este método no requiere de los parámetros iniciales de α1 y α2, solo de la
Amplitud en comparación con el método anterior. En la figura anterior se
observan los resultados y las gráficas para VM y VH respecto al tiempo. Esta
ventana, igualmente posee las dos pestañas en la cual se observa el
comportamiento a lo largo de la línea en diferentes puntos de la misma y las
graficas de IM e IH respectivamente
Fig. 4.12 Resultados de VM y VH del método: Fuente aplicada (doble exponencial)
ºº
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIVV
69
Fig. 4.13 Resultados de VL respecto al tiempo para NX determinados por el usuario
ºº
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIVV
70
Fig. 4.14 Resultados de IM e IH respecto al tiempo
Fuente aplicada (Seno)
Se realiza un cuarto módulo, aplicado a una fuente senoidal, los cálculos de
la fuente aplicada requiere también de los parámetros de la línea y de los
valores para el diseño de la misma, integrando un parámetro llamado
frecuencia (f), esta aplicación funciona de igual manera que las anteriores.
ºº
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIVV
71
Fig. 4.15 Resultados de VM y VH del método: Fuente aplicada (Sinusoidal)
ºº
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIVV
72
Fig. 4.16 Resultados de VL respecto al tiempo para NX determinados por el usuario
Fig. 4.17 Resultados de IM e IH respecto al tiempo
ºº
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIVV
73
Ayuda del Sistema
Para activar la ayuda del sistema, desde cualquier módulo, al presionar la
tecla de función F1 se abrirá la siguiente ventana con el Manual de Usuario
en línea:
Fig. 4.18 Ayuda del Sistema
También se podrá utilizar el menú presente en cada módulo con el título:
Ayuda para el mismo fin.
ºº
CCOONNCCLLUUSSIIOONNEESS YY RREECCOOMMEENNDDAACCIIOONNEESS
71
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Al desarrollar el software para el Análisis de Transitorios Electromagnéticos
en Líneas de Transmisión Monofásicas con parámetros constantes,
considerando la aplicación de cuatro formas distintas de ondas de entrada,
que representan las fuentes transitorias mas comunes, se da una
herramienta al usuario que le permite entender de manera rápida y sencilla a
través de los resultados (gráficas) el comportamiento de la línea cuando
ocurre un fenómeno transitorio.
El lenguaje de programación Visual Basic, es una herramienta idónea para
este tipo de cálculos y procesos; dada su potencia, versatilidad y facilidad de
adaptación a una amplia variedad de problemas.
Las dificultades presentadas durante el desarrollo del software fueron
solucionadas sin mayor dificultad, gracias a la útil y completa ayuda que
ofrece Visual Basic al programador.
Es necesario, antes de emprender la codificación de un sistema como éste,
un cuidadoso análisis y división del problema en pasos de menor
complejidad para su resolución. Siendo necesaria la formulación de un
algoritmo lógico para tal fin.
ºº
CCOONNCCLLUUSSIIOONNEESS YY RREECCOOMMEENNDDAACCIIOONNEESS
72
Dadas las facilidades que presenta el sistema desarrollado, se recomienda
altamente la utilización del lenguaje Visual Basic para la simulación y
resolución de problemas similares, que requieran de una agradable y
amigable interfaz para el usuario, y la posibilidad de mostrar los resultados
no solo en forma tabular sino incluso gráfica, como se logró con el presente
trabajo. El sistema podría mejorarse si se logra desarrollar las gráficas, de
manera tal, que permita su exportación a otra aplicación como Microsoft
Excel.
En cuanto al método numérico utilizado se puede decir que el método de las
características representa una herramienta bastante útil en el modelado de
una línea de transmisión pues además de permitir observar el
comportamiento de voltaje y corrientes tanto de entrada y salida de la línea,
también permite determinar las formas de ondas en los puntos intermedios a
lo largo de la línea de transmisión en estudio.
Esto resultados fueron validados con obtenidos de la simulación en MATLAB
con el programa desarrollado en [1], los cuales resultaron ser idénticos.
Dadas todas las ventajas anteriormente señaladas es recomendable
extender el desarrollo del software considerando otras condiciones de
operación de la línea, como lo es la línea no uniforme y la línea dispersiva,
tanto para línea monofásica como multiconductora.
RREEFFEERREENNCCIIAASS BBIIBBLLIIOOGGRRÁÁFFIICCAASS
73
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] M. Dávila, “Análisis de Transitorios Electromagnético en Líneas de
Transmisión Considerando Dependencia Frecuencial y no Uniformidades”.
Tesis de maestría, Guadalajara, 2002.
[2] H. Briceño, “Teoría de las Líneas Aéreas de Transmisión de Potencia
Eléctrica”, Mérida, Venezuela, Universidad de los Andes, 1995.
[3] A. Gómez Expósito, “Análisis y Operación de Sistema de Energía
Eléctrica”, Primera edición en español. McGraw-Hill, España, 2002.
[4] Curtis F, Gerald, “Análisis Numérico”, Segunda edición. Alfaomega,
Colombia, 1991.
[5] Richard L, Burden, J. Douglas Faires “Análisis Numérico”, Séptima
edición. THOMSON-LEARNING, México, 2002.
[6] Cornell, Gary, “Visual Basic 6.0 – Manual de Referencia”, Primera edición
en español. Osborne – McGraw-Hill, España 1999.
[7] Donald G. Fink / H. Wayne Beaty, “Manual de Ingeniería Eléctrica”,
Decimotercera edición. McGraw-Hill, México 2000.
[8] DOMMEL, H. W, “EMTP Theory Book”, BPA, Pórtland, 1986.
RREEFFEERREENNCCIIAASS BBIIBBLLIIOOGGRRÁÁFFIICCAASS
74
[9] M. Rodríguez, “Análisis de Sistema de Potencia”, Segunda edición.
EDILUZ, Maracaibo – Venezuela 1992.
[10] R. Murphi Arteaga “Teoría Electromagnética”, Primera edición. Editorial
Trillas, México – 2001.
[11] Modelos de Líneas de transmisión (Documento en línea), Disponible en
www.cpdee.ufmg.br
[12] R. Radulet, Al. Timotin, A Tugulea, A Nica, “The Transient Response of
the Electric lines Base don the Equations with Transient Line Parameters”
Rev Roum. Sci. Techn. Vol.23, No. 1, pp.3-1978.