APLICACIÓN DE INTEGRALES EN LA INGENIERIA INDUSTRIAL Como parte del proceso de formación como futuros ingenieros el

conocimiento sobre cálculo integral y la aplicación de los ejercicios

matemáticos es de vital importancia para desarrollar habilidades y destrezas en

la solución de creativa de problemas. La finalidad de nuestra investigación

sobre las integrales indefinidas es: Comprender los conceptos básicos del

cálculo integral, como también el adquirir destreza en las técnicas de

integración.

Aunque no se trata de una herramienta de uso cotidiano del ingeniero, el

cálculo integral tiene aplicaciones en el desarrollo de algunos modelos

estocásticos para los cuales es indispensable la formulación de integrales. La

aplicación de estos modelos va dese la distribución de plantas, hasta la

planificación de compras y producción.

Ejemplos:

Ejemplo 1:

La integral sirve para sacar áreas bajo curvas. el odómetro del carro integra la

velocidad del carro y obtiene entonces la distancia recorrida x= int(0,t, v dt).

Ejemplo 2:

En el campo de las construcciones, los arquitectos, ingenieros y profesionales

de estas áreas usualmente emplean la integral para obtener el área de

superficies irregulares.

Ejemplo 3:

También la utilizan los administradores cuando trabajan con los costos de una

empresa. Al tener el costo marginal de producción de un producto, pueden

obtener la fórmula de costo total a través de integrales.

Ejemplo 4:

Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función

f ( x) = 4 − x2en el intervalo[ − 2;2], se utiliza la ecuación anterior, en este

caso: g ( x) = 0 entonces evaluando la integral, se obtiene:

El volumen en cerrado entre dos funciones también puede ser reducido al

cálculo de una integral, similar.

Aplicaciones de la integral. Hasta ahora “únicamente” hemos aprendido

a calcular integrales, sin plantearnos la utilidad que éstas pueden tener. Sin

embargo, la integral definida es un método rápido para calcular

áreas, volúmenes, longitudes, etc., lejos de los procesos lentos y laboriosos

que empleaban los griegos. En física, su empleo es constante, al estudiar el

movimiento, el trabajo, la electricidad. Ahora vamos a ilustrar las distintas

aplicaciones que tiene el cálculo integral

Objetivos del uso de integrales en la ingeniería industrial

Objetivo general

Identificar las principales aplicaciones de cálculo integral en el campo de acción

de la ingeniería industrial.

Objetivos Específicos1.Utilizar la integral en las aplicaciones geométricas elementales de cálculo de

áreas.

2. Analizar matemáticamente un problema en el ámbito de las ingenierías que

puede ser resuelto a través del uso de las integrales.

3. Reconocer las principales aplicaciones del cálculo integral, con el uso de las

integrales definidas como de las indefinidas.

4. Conocer el uso del cálculo integral en la ingeniería industrial .

Se comprobó que por medio de las integrales definidas se pueden resolver

problemas del ámbito cotidiano, además tiene amplio su campo de acción, es

decir se aplican en problemas de áreas, volúmenes, longitud; así mismo las

integrales indefinidas se pueden resolver varios métodos ya vistos, como

sustitución, por partes, entre otras.

-A través de la investigación se pudo concluir que las integrales tiene un campo

de acción muy amplio, ya que no solo son aplicables en las ingenierías sino

también en otras áreas como salud, tecnologías, química, biología, etc.

EJEMPLOS DE METODOS POR INTEGRALES:

El volumen se encuentra por la rotación de una figura plana (el área de la curva se hace girar en el eje de coordenadas). El eje de rotación bien puede estar ubicado, en el eje de coordenadas como en una recta cualquiera.Hay tres métodos para encontrar este volumen dependiendo de la ubicación del diferencial y el sólido.Volumen de un sólido con secciones paralelas de área conocida. Una sección de un sólido S es la región plana que se obtiene cortando el sólido S con un plano.

Imagen 8.

Queremos calcular el volumen de un sólido como el de esta figura. Para ello, suponemos que conocemos el área de cada una de las secciones paralelas que producimos en el sólido S. Denotaremos por A(x) al área de la sección correspondiente al punto x y consideramos una partición del intervalo [a, b] x0 = a < x1 < x2 <"< xn−1 < xn = b. Cortamos el sólido S en rodajas por planos paralelos

Pk perpendiculares al eje OX en los puntos xk de la partición. Observa la siguiente figura.

Imagen 9.

Ahora aproximaremos la rodaja entre los planos correspondientes a los puntos xk−1 y xk por un cilindro con área de la base A (xk). El volumen de la rodaja será aproximadamente igual al volumen del cilindro que es Vk = A (xk) (xk −xk−1).

Imagen 10.

Tenemos que: Volumen de la k –ésima rodaja ≈Vk =A (xk) (xk −xk−1). El volumen V del sólido S se puede aproximar por la suma de los volúmenes de los cilindros y n n obtenemos entonces la aproximación V ≈ ∑Vk = ∑ A (xk) (xk − xk−1). Esta aproximación es una k=1 k=1 suma de Riemann de la función A: x∈ [a, b] →A(x) ∈\ que determina el área de cada una de las secciones perpendiculares. Puesto que la aproximación del volumen mejorará cuando la norma de la partición que elegimos tienda a cero, definimos el volumen del sólido S como la integral de la función A en el intervalo [a, b].

DEFINICIÓN.Se define el volumen de un sólido S con secciones paralelas de área conocida, dada b por la función continua A: x∈ [a,b]→A(x)∈\, como la integral ∫ A(x)dx. A

EJEMPLO. Vamos a calcular el volumen de una cuña que se produce al cortar un cilindro de radio 3 por dos planos como se muestra en la siguiente figura. Uno de los planos es perpendicular al eje del cilindro y la otra forma con el primero un ángulo de 45º.

Imagen 11.

Las secciones paralelas perpendiculares al eje OX son rectángulos de altura x y base 2 9−x2. Entonces, la función que nos da el área de estas secciones es A: x∈ [0,3] ⊆\→ A(x) = 2x 9− x2 ∈\. Ahora calcularemos el volumen de sólidos de revolución que se obtienen al hacer girar la región plana A:={(x, y) ∈\2: a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)}, siendo f: x∈ [a, b] ⊆\→ f (x) ∈\ una función continua y positiva definida en el intervalo [a, b]. Veremos dos procedimientos: la fórmula de los discos y la fórmula de los tubos. Fórmula de los discos. Supongamos que la región A gira alrededor del eje OX. Entonces generamos un sólido S de forma que las secciones transversales por planos perpendiculares al eje OX son círculos de radio f (x). De aquí el nombre de fórmula de los discos. El área A(x) del disco producido por el corte correspondiente a x es, por tanto, A(x) =π (f (x))2 y, de acuerdo con la fórmula B de las secciones paralelas obtenemos que V =∫ π (f (x))2 dx.

DEFINICIÓN (FÓRMULA DE LOS DISCOS)Se define el volumen del sólido S que se obtiene al girar la b región A alrededor el eje OX como la integral V =π∫ (f (x))2 dx.Fórmula de los tubos. Supongamos que la región A se encuentra a la derecha de la recta vertical x = L. Suponemos entonces que a ≥ L.

Imagen 12

Generamos un sólido S al hacer girar esta alrededor de la recta x = L. Para calcular el volumen de este sólido consideramos una partición x0 = a < x1 < x2

<"< xn−1 < xn = b del intervalo [a, b] y sea 1ck := (xk−1 + xk ) el punto medio del subintervalo [xk−1, xk]. Aproximamos la región que gira por 2.Medio de rectángulos con base en los puntos de la partición con longitud de la base xk − xk−1 y altura f (ck). Si este rectángulo gira alrededor de la recta x = L genera un tubo cuyo volumen Vk viene dado por Vk = 2π (ck − L) f (ck) (xk − xk−1).

Imagen 13.

La n rectángula de la partición. Entonces V ≈∑Vk = 2π∑ (ck − L) f (ck) (xk − xk−1), que es una k=1 k=1 suma de Riemann de la función (x− L) f (x). El límite de esta suma de Riemann cuando P → 0 b proporciona el volumen del sólido S como la integral V = 2π∫ (x− L) f (x) dx. DEFINICIÓN (FÓRMULA DE LOS TUBOS). Se define el volumen del sólido S que se obtiene al girar la región A alrededor de la recta x = L como la integral V 2 x L f (x) dx.

Tabla 1.

Cuadro comparativo de los métodos

                   Métodos

Características

Disco Arandela Capas

Figura Sólida Hueca Sólida o huecaDiferencial con

respecto al eje de rotación

Perpendicular Perpendicular Paralelo

El diferencial está acotado por

Una curva y el eje de rotación

Por dos curvas Por dos curvas (incluso un eje de

coordenadas)

MATERIALES Y METODOS

1. Método del disco

Es para figuras sólidas, por lo tanto el diferencial está acotado por una y el eje de rotación, el diferencial es perpendicular al eje de rotación. Para este tipo de ejercicios es de vital importancia la construcción correcta de las gráficas

Imagen 14.

El volumen de este disco es:

V= A e

Dónde: A = área

e= espesor del disco.

El espesor no sólo del disco sino también de los otros métodos es igual al diferencial El área corresponde:

El radio es la distancia que hay entre el eje de rotación y la figura.

Ejemplo:

Encontrar el volumen del sólido que se genera al rotar:

1. Rota alrededor del eje x

2. Rota alrededor de la recta x=4

La solución a este la daremos paso por paso

1. Paso: encontrar los puntos de intersección.

Despejando x2. Paso: encontrar la tabla de datos con los valores suministrados por el

ejercicioTabla 2.

Valores suministrados

x Y= √ x0 01 14 2

3. Paso: dibujar la curva.

Imagen 15. (editada en paint )

4. Paso: interpretación de la curva, calcular las distancias teniendo en cuenta que estas serán siempre en valores positivos al igual que el área y el volumen. La fórmula quedaría:

Como nos damos cuenta el área de la curva no varía por ende iniciamos con el paso 3

Imagen.16

Despejamos la variable X debido que en estos momentos se convierte en una diferencial de Y.

Donde R= 4 - Y 2 si se entiende que la distancia que se encuentra de cero al eje de rotación es 4 por ende se le debe restar la distancia de cero a la curva que es la función.

En estos ejercicios se debe poner plena atención la gráfica para de esta manera identificar las funciones que se van a plantear.

2. Método de la arandela

Es para figuras huecas, por lo tanto el diferencial esta acotado por dos curvas. El deferencial es perpendicular al eje de rotación.

Imagen.17

1. Radio exterior: distancia entre el eje de rotación y la parte externa de la figura.

2. Radio interior: distancia entre el eje de rotación y la parte interior, correspondiente al hueco.

3. Espesor: es una variación de x.

Se encuentra el volumen para una arandela. Al llevarla a una integral se encuentra el volumen de un sólido.

Encontrar el volumen de un sólido que se genera al rotar.

Donde Y= X Y= X2

1. Paso: puntos comunes

X=X2

0= X2 – X

0= X (X – 1)

Nos quedan los valores de X= 0 V X= 1

Tabla de valores.

X Y=X Y=X20 0 0

0,5 0,5 0,251 1 1

A continuación se procede a dibujar la curva.

Realizar el método de igualación de las curvas para encontrar los límites de integración

Se iguala la curva

Factor común

a. Se interpreta que la curva rota sobre el eje de las X

La ecuación quedaría

Y sobre el eje de la Y

Se debe trabajar con una diferencial de Y por lo que las funciones también.se interpreta la curva, en función de los radios de la figura.

3. Método de capas

Este método establece que el diferencial es paralelo al eje de rotación, lo que indica que este no lo acota, sino la o las curvas. Es factible su uso en figuras huecas o sólidas.

Imagen 19.

Imagen 18.

Para este ejercicio se toma una parte del cilindro y se recorta luego se extiende donde allí se determina lo siguiente.

Imagen 20.

BIBLIOGRAFIAS

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