Derivadas (volume 1).pdf · Derivadas | 5 AULA 2 Derivadas fundamentais Até agora vimos como...

www.matematicaemexercicios.com Derivadas | 1

http://www.matematicaemexercicios.com/


Índice

AULA 1 Introdução 3

AULA 2 Derivadas fundamentais 5

AULA 3 Derivada do produto e do quociente de funções 7

AULA 4 Regra da cadeia 9



AULA 1

Introdução

A derivada surgiu a partir de um problema conhecido como o problema da tangente, que consiste no seguinte:

Como traçar uma reta tangente a uma curva num dado ponto? A solução está em aproximar uma reta

secante até ela ficar tão próxima que pode ser considerada a tangente procurada. Observe a ilustração:

Temos um função f e queremos determinar a

reta tangente a essa função num dado ponto P,

fixo, de coordenadas (𝑥0 , 𝑓(𝑥0)). Para isso,

tomamos um outro ponto Q da função, de

coordenadas (𝑥 , 𝑓(𝑥)) e ligamos esses dois

pontos traçando a reta secante PQ. Note que a medida em que os valores de x

se aproximam do valor de 𝑥0, o ponto Q se

aproxima do ponto P, de modo que a secante fica cada vez mais próxima da tangente.

Dizemos então que a reta tangente a f(x) no ponto P é a posição limite da reta secante PQ quando Q desliza ao longo da curva em direção a P.

Taxa de variação de uma função

Taxa de variação média de uma função

A taxa de variação média de uma função

num determinado intervalo [𝑥0 , 𝑥] contido no

domínio da função, é a variação dos valores de f(x) dividido pela variação dos valores de x:

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)

𝑥 − 𝑥0

Esse quociente corresponde a inclinação da reta secante que passa por esses dois pontos

(𝑥0 , 𝑓(𝑥0)). e (𝑥 , 𝑓(𝑥)), como ilustrado no

gráfico a seguir:

A inclinação da reta secante é o seu

coeficiente angular cujo valor corresponde a

tangente do ângulo 𝛽, assim:

𝑚 = 𝑡𝑔 𝛽 =∆𝑦

∆𝑥=

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)

𝑥 − 𝑥0

Por exemplo, se uma determinada função f(x) apresenta f(3) = 5 e f(7) = 17, a taxa média de variação no intervalo [3,7] será de 12/4 = 3, significa que, em média, a cada unidade de x, f(x) variou 3 unidades, independentemente de qual função passa por esses pontos.

Ou seja, a taxa de variação média indica com que rapidez a função varia, isto é, ela se refere a um intervalo de valores de x, em que o valor de f(x) pode ter aumentado ou diminuído muito mais rapidamente do que o indicado pela taxa de variação média.

Taxa de variação instantânea

Taxa de variação instantânea é a taxa de

variação de uma função em um ponto

(𝑥0 , 𝑓(𝑥0)), ou seja, é a taxa de variação a

cada instante, corresponde ao coeficiente angular da reta tangente a função no ponto, que é a derivada da função nesse ponto.

Precisamos então, encontrar o coeficiente angular da reta tangente a uma função f(x) num

ponto (𝑥0 , 𝑓(𝑥0)). Para isso, basta lembrar o

problema inicial da aula, onde para traçar uma

tangente a uma função num ponto (𝑥0 , 𝑓(𝑥0))

tomamos um segundo ponto (𝑥 , 𝑓(𝑥)) e a

reta secante que liga esses dois pontos tende a

reta tangente a medida que ∆𝑥 tende a zero.

limite.



Logo, basta calcularmos o limite do coeficiente da reta secante que passa por (𝑥0 , 𝑓(𝑥0)) e (𝑥 , 𝑓(𝑥)) quando ∆𝑥 tende a

zero e teremos o coeficiente angular da reta tangente. O coeficiente angular da secanteé dado pela taxa de variação média da função no

intervalo [𝑥0 , 𝑥] como já vimos:

𝑚 =𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)

𝑥 − 𝑥0

=𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)

∆𝑥

Fazendo o limite, temos:

lim∆𝑥→0

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)

∆𝑥=

𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0)

∆𝑥

Chegamos assim na definição de derivada. O resultado desse limite, se existir e for finito, é a

derivada da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) no ponto onde

𝑥 = 𝑥0, e indica-se por 𝑓′(𝑥0).

A derivada como uma função Já sabemos o que é a derivada de uma

função f(x) em um número 𝑥0, mas e se

quisermos encontrar a derivada para qualquer

número x? É só deixar esse 𝑥0 variar, trocando

ele por uma variável x, assim encontramos uma nova função para calcular a derivada em qualquer número onde ela exista, essa nova função é chamada de derivada da função f e é dada por:

𝑓′(𝑥) = lim∆𝑥→0

𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)

∆𝑥

Essa função derivada pode ser indicada por

𝑓′(𝑥) ou 𝑦′ ou ainda 𝜕𝑦

𝜕𝑥 𝑜𝑢

𝜕𝑓

𝜕𝑥.

Derivadas de ordem superior

Como vimos, se 𝑓 é uma função

diferenciável então sua derivada 𝑓′ também é

uma função, de modo que pode ter a sua

própria derivada, denotada por 𝑓′′. Esta nova

função é chamada de segunda derivada ou

derivada de ordem 2 de 𝑓. A terceira derivada

de 𝑓 é a derivada de 𝑓′′, representada por 𝑓′′′, a quarta derivada de f é a derivada de 𝑓′′′ usualmente denotada por 𝑓(4) e assim por

diante. De maneira geral, a n-ésima derivada de

f é denotada por 𝑓(𝑛) e obtida a partir de f, derivando n vezes.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1) Mostre que toda função f: R⟶R, definida por

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 tem como derivada

𝑓′(𝑥) = 𝑎.

2) Determine a derivada da função

𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 utilizando a definição,

em seguida, calcule o valor da derivada quando

𝑥 = 3.

EXERCÍCIOS

1 – Aplicando a definição, calcule a derivada da

função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 para:

a) 𝑥 = 3 b) 𝑥 = −2

2 – Dada a função

𝑓(𝑥) =2 + 𝑥

3 − 𝑥,

determine a derivada de f(x) no ponto x = 1. 3 a 10 - Encontre a derivada da função dada usando a definição.

3) 𝑓(𝑥) =1

2𝑥 −

1

3 4) 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏

5) 𝑓(𝑡) = −9𝑡2 6) 𝑓(𝑥) = 1,5𝑥2 − 𝑥

7) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 5 8) 𝑔(𝑥) = 𝑥 + √𝑥

9) 𝑓(𝑥) = 𝑥3

2⁄ 10) 𝑓(𝑥) = 𝑥4

GABARITO

1) a) 𝑓′(3) = 7 b) 𝑓′(−2) = −3

2) 𝑓′(1) = 54⁄ 3) 𝑓′(𝑥) = 1

2⁄

4) 𝑓′(𝑥) = 𝑚 5) 𝑓′(𝑡) = −18𝑡

6) 𝑓′(𝑥) = 3𝑥 − 1 7) 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 3

8) 𝑔′(𝑥) =1

2√𝑥+ 1 9) 𝑓′(𝑥) =

3√𝑥

2

10) 𝑓′(𝑥) = 4𝑥3



AULA 2

Derivadas fundamentais

Até agora vimos como calcular a derivada de uma função f(x) por meio da definição. Mas esse processo é trabalhoso e nada prático, então estudaremos algumas regras (que vamos admitir sem demonstração) que permitem calcular mais facilmente a derivada de uma função f(x). Vejamos as derivadas fundamentais:

Derivada da função constante

Se 𝑘 é uma constante e 𝑓(𝑥) = 𝑘, então

𝑓′(𝑥) = 0. Exemplos:

𝑓(𝑥) = 5 𝑓′(𝑥) = 0

𝑓(𝑥) = −√3/5 𝑓′(𝑥) = 0

Derivada da função potência

Se 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛, com 𝑛 ∈ 𝑅, então

𝑓′(𝑥) = 𝑛 ∙ 𝑥𝑛−1. Exemplos:

𝑓(𝑥) = 𝑥7

𝑓′(𝑥) = 7𝑥7−1 = 7𝑥6

𝑓(𝑥) = √𝑥 = 𝑥1

2⁄

𝑓′(𝑥) = 12⁄ ∙ 𝑥

12⁄ −1 =

𝑥−12⁄

2

Derivada do produto de uma constante por uma função

Se 𝑔(𝑥) = 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥), sendo 𝑘 uma

constante e f(x) derivável, então

𝑔′(𝑥) = 𝑘 ∙ 𝑓′(𝑥). Exemplos:

𝑓(𝑥) = 5𝑥3

𝑓′(𝑥) = 5 ∙ 3𝑥3−1 = 15𝑥2

𝑓(𝑥) = 4𝑥3⁄ = 4𝑥−3

𝑓′(𝑥) = 4(−3)𝑥−3−1 = −12𝑥−4

Derivada da soma ou diferença de funções

Seja 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) ± 𝑣(𝑥). Se as funções

u(x) e v(x) são deriváveis, a derivada da soma ou da diferença é igual a soma ou diferença das derivadas. Ou seja:

𝑦 = 𝑢 ± 𝑣 ⇒ 𝑦′ = 𝑢′ ± 𝑣′

Exemplo:

𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥2 + 4𝑥 − 6 𝑓′(𝑥) = 3 ∙ 2𝑥3−1 − 2 ∙ 3𝑥2−1 + 1 ∙ 4𝑥1−1

𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 − 6𝑥 + 4


1 – Encontre a derivada da função

𝑓(𝑥) =𝑥5

2− 3𝑥3 + 𝑥−2 + 1

2 - Derive a função

𝑓(𝑥) =1

√2𝑥23

3 – Encontre a equação da reta tangente à

curva 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 𝑥3 no ponto (1, 2).

EXERCÍCIOS

1 a 8 – Derive a função.

1) 𝑓(𝑥) = 186,5

2) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 1

3) 𝑓(𝑥) = √30

4) 𝑓(𝑥) = −4𝑥10

5) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥 + 6

6) 𝑓(𝑥) = 𝑥2,4 + 𝑒2,4

7) 𝑓(𝑥) = ln (𝑒) ∙ 𝑥−25⁄

8) 𝑓(𝑥) =2

√𝑥23



9 e 10 – Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado.

9) 𝑓(𝑥) = √𝑥4

no ponto (1, 1).

10) 𝑓(𝑥) = 5𝑥3 − 2𝑥2 + 3 no ponto (1, 6).

GABARITO

1) 𝑓′(𝑥) = 0

2) 𝑓′(𝑥) = 5

3) 𝑓′(𝑥) = 0

4) 𝑓′(𝑥) = −40𝑥9

5) 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 4

6) 𝑓′(𝑥) = 2,4𝑥1,4

7) 𝑓′(𝑥) = −ln (𝑒) ∙ 25⁄ ∙ 𝑥−7

5⁄

8) 𝑓′(𝑥) = − 43⁄ ∙ 𝑥−5

3⁄

9) 𝑦 = 𝑥4⁄ + 3

4⁄

10) 𝑦 = 11𝑥 − 5

ANOTAÇÕES



AULA 3

Derivada do produto e do quociente de funções Regra do produto

Sejam as funções 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥), ambas

deriváveis, então a derivada de

ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) é dada por:

ℎ′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥)

Exemplo:

𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 2𝑥)(3 + 5𝑥)

𝑓′(𝑥) = (2𝑥 − 2)(3 + 5𝑥) + (𝑥2 − 2𝑥)(5)

𝑓′(𝑥) = 6𝑥 + 10𝑥2 − 6 − 10𝑥 + 5𝑥2 − 10𝑥

𝑓′(𝑥) = 15𝑥2 − 14𝑥 − 6

Regra do quociente

Sejam as funções 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥), ambas

deriváveis, então a derivada de

ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

é dada por:

ℎ′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥)

[𝑔(𝑥)]2

Exemplo:

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1𝑥 − 3⁄

𝑓′(𝑥) = (2𝑥)(𝑥 − 3) − (𝑥2 + 1)(1)

(𝑥 − 3)2

𝑓′(𝑥) = 2𝑥2 − 6𝑥 − 𝑥2 − 1

𝑥2 − 6𝑥 + 9

𝑓′(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 − 1

𝑥2 − 6𝑥 + 9

Derivada das funções trigonométricas

A derivada da função 𝑠𝑒𝑛(𝑥) é dada por

𝑐𝑜𝑠(𝑥) e a derivada da função 𝑐𝑜𝑠(𝑥) é

– 𝑠𝑒𝑛(𝑥). Com essas duas derivadas

fundamentais, utilizamos a regra do quociente e encontramos a derivada de todas as funções trigonométricas, que estão indicadas a seguir:

𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑓′(𝑥) = cos (𝑥)

𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑓′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 (𝑥)

𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥) 𝑓′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐2 (𝑥)

𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) 𝑓′(𝑥) = −cossec (𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐(𝑥) 𝑓′(𝑥) = sec(𝑥) ∙ 𝑡𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) 𝑓′(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2 (𝑥)


1 – Derive a função

𝑓(𝑥) = 𝑥2(3𝑥 − 1)𝑠𝑒𝑛(𝑥)

2 - Sabendo que a derivada de 𝑠𝑒𝑛(𝑥) é

𝑐𝑜𝑠(𝑥) e que a derivada de 𝑐𝑜𝑠(𝑥) é

– 𝑠𝑒𝑛(𝑥), demonstre que:

a) Se 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥) então

𝑓′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)

b) Se 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) então

𝑓′(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥)𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)

c) Se 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐(𝑥) então

𝑓′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐(𝑥)𝑡𝑔(𝑥)

3 - Derive a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑡𝑔(𝑥)

ANOTAÇÕES



EXERCÍCIOS

1 a 10 - Derive.

1) 𝑓(𝑥) = (𝑥3 − 7)(2𝑥2 + 3)

2) 𝑓(𝑥) = 4𝑥(3𝑥 − 1)(2𝑥 + 3)

3) 𝑓(𝑥) = √𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

4) 𝑔(𝑡) = 𝑡3 ∙ cos (𝑡)

5) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)cos (𝑥)

6) 𝑓(𝑥) =𝑥

2 − 𝑡𝑔(𝑥)

7) 𝑓(𝑥) =cos (𝑥)

1 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

8) 𝑓(𝑥) =1 − sec (𝑥)

𝑡𝑔(𝑥)

9) 𝑓(𝑥) =sec (𝑥)

1 + sec (𝑥)

10) 𝑦 =𝑡 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑡)

1 + 𝑡

GABARITO

1) 𝑓′(𝑥) = 10𝑥4 + 9𝑥2 − 28𝑥

2) 𝑓′(𝑥) = 72𝑥2 + 56𝑥 − 12

3) 𝑓′(𝑥) =𝑠𝑒𝑛(𝑥)

2√2+ √𝑥 ∙ cos (𝑥)

4) 𝑔′(𝑡) = 3𝑡2𝑐𝑜𝑠(𝑡) − 𝑡3𝑠𝑒𝑛(𝑡)

5) 𝑓′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)

6) 𝑓′(𝑥) =2 − 𝑡𝑔(𝑥) + 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)

[2 − 𝑡𝑔(𝑥)]2

7) 𝑓′(𝑥) =−𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 1

[1 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)]2

8) 𝑓′(𝑥) =−𝑡𝑔2(𝑥) + sec(𝑥) − 1

𝑡𝑔2(𝑥)

9) 𝑓′(𝑥) =sec(𝑥) 𝑡𝑔(𝑥)

[1 − 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)]2

10) 𝑦′ =(𝑡2 + 𝑡) cos(𝑡) + 𝑠𝑒𝑛(𝑡)

(1 + 𝑡)2

ANOTAÇÕES



AULA 4

Regra da cadeia

A derivada da função composta, mais conhecida como regra da cadeia, permite o cálculo da derivada de uma função do tipo

ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)). Se existirem as derivadas

𝑓′(𝑔(𝑥)) e 𝑔′(𝑥), a derivada de ℎ(𝑥) é dada

por:

ℎ′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥)

Exemplos:

Calcule a derivada da função

𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 1)4

Essa função é da forma 𝑓(𝑔(𝑥)), quando

consideramos 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 1 e

𝑓(𝑔(𝑥)) = [𝑔(𝑥)]4.

Como 𝑔′(𝑥) = 2𝑥 e 𝑓′(𝑔(𝑥)) = 4[𝑔(𝑥)]3 temos:

𝑓′(𝑥) = 4(𝑥2 + 1)3 ∙ 2𝑥

𝑓′(𝑥) = 8𝑥(𝑥2 + 1)3

Calcule a derivada de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)

𝑔(𝑥) = 3𝑥 e 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑠𝑒𝑛(𝑔(𝑥)).

Logo, 𝑔′(𝑥) = 3 e 𝑓′(𝑔(𝑥)) = cos(𝑔(𝑥)).

Assim, 𝑦′ = 3 ∙ cos (3𝑥).


1 a 5 – Derive a função.

1) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠2(2𝑥) 2) 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑥3)

3) 𝑦 = 2𝑥2

4) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡𝑔(2𝑥))

5) 𝑦 = 𝑒𝑡∙𝑠𝑒𝑛(2𝑡)

EXERCÍCIOS

1 a 10 - Encontre a derivada da função.

1) 𝑓(𝑥) = (𝑥4 + 3𝑥2 − 2)5

2) 𝑓(𝑥) = √1 + 2𝑥 + 𝑥34

3) 𝑔(𝑡) =1

(𝑡4 + 1)3

4) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑎3 + 𝑥3)

5) 𝑦 = (2𝑥 − 3)4(𝑥2 + 𝑥 + 1)5

6) 𝑦 = (𝑥2 + 1

𝑥2 − 1)

3

7) 𝑦 = 5−1𝑥⁄

8) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥2)

9) 𝑦 = 𝑥𝑒−𝑘𝑥

10) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑠𝑒𝑛(3𝑥))

GABARITO

1) 𝑓′(𝑥) = 10𝑥(𝑥4 + 3𝑥2 − 2)4(2𝑥2 + 3)

2) 𝑓′(𝑥) =2 + 3𝑥2

4(1 + 2𝑥 + 𝑥3)3

4⁄

3) 𝑔′(𝑡) = −12𝑡3

(𝑡4 + 1)4

4) 𝑦′ = −3𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑎3 + 𝑥3)

5) 𝑦′ = (2𝑥 + 3)3(𝑥2 + 𝑥 + 1)4(28𝑥2 − 12𝑥 − 7)

6) 𝑦′ =−12𝑥(𝑥2 + 1)2

(𝑥2 − 1)4

7) 𝑦′ = 5−1𝑥⁄ (ln 5)/𝑥2

8) 𝑦′ = −2𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥2)

9) 𝑦′ = 𝑒−𝑘𝑥(−𝑘𝑥 + 1)

10) 𝑦′ = 3𝑐𝑜𝑠(𝑠𝑒𝑛(3𝑥))cos (3𝑥)



REFERÊNCIAS

GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática completa, vol. 3. 2a. ed. São Paulo, FTD. STEWART, James. Cálculo, vol.1. 7a. ed. São Paulo, Cengage Learning.


Derivadas (volume 1).pdf · Derivadas | 5 AULA 2 Derivadas fundamentais Até agora vimos como...

Documents

Transcript of Derivadas (volume 1).pdf · Derivadas | 5 AULA 2 Derivadas fundamentais Até agora vimos como...