ING. MECANICAMATEMATICA III Chvez Huingo MarianoDERIVADAS PARCIALES

DEFINICION: una funcin f de dos variables es una regla que asigna a un par de nmeros reales de un conjunto D un numero real nico que se denota .El conjunto D es el dominio de f y su rango es el conjunto de valores que toma f .es decir,.Funcin de dos variables

DEFINICION: si f es una funcin de dos variables con dominio D, entonces la grafica de f es el conjunto de puntos en tal que y esta en D.Grficas

Curvas de nivel

DEFINICION: Son curvas cuya ecuaciones son , donde K es una constante. Tambin se define como el conjunto de todos los puntos en el dominio de f en el cual f toma un valor K.

DEFINICION: sea f una funcin de dos variables cuyo dominio D contiene, otros puntos arbitrariamente cercanos a , Entonces el limite de cuando tiende a es L por tanto: Si para todo hay un nmero correspondiente tal que; si y entonces *Si cuando a lo largo de una trayectoria y cuando en la trayectoria , donde , entonces no existe... .Lmites y continuidad

DEFINICION: una funcin de dos variables es continua en si: 1-- f est definida en

(Continua) (Discontinua)

DEFINICION: la derivada parcial de con respecto a y es: DEFINICION: la derivada parcial de con respecto a x es: Derivadas parciales

Notacin de derivadas parciales, si En particular En particular

Derivadas parciales de orden superior: Teorema de Clairaut ;las derivadas parciales cruzadas continuas son iguales.

Regla de la cadena Caso 1: sea ; donde son funciones de t diferenciables entonces: Caso 2: sea ; donde son funciones de s y t diferenciables entonces:

DEFINICION: la linealizacion de una funcin en un punto donde f es diferenciable, es: La aproximacin: * Es la aproximacin estndar de f en Aproximaciones lineales y diferenciales

DEFINICION: variacin de f en un punto: Cambio total (; al moverse de un punto a un punto cercano se define:

DERIVADAS DIRECCIONALES

DEFINICION: la derivada direccional de la en en la direccin de un vector unitario es: si existe el limite.TEOREMA: si f es una funcin diferenciable en x & y, entonces f tiene una derivada direccional en direccin de cualquier vector unitarioentonces:

DEFINICION: si f es una funcin de dos variables x & y, entonces el gradiente de f es la funcin vectorial definida por: TEOREMA: as de estas definiciones podemos redefinir la derivada direccional:

PROPIEDADES DE LA DERIVADA DIRECCIONAL 1- La funcin f crece rpidamente cuando , es decir cundo u es la direccin de de. Es decir, en cada punto P de su dominio, f crece ms rpidamente en la direccin del vector gradiente en P. La derivada en esta direccin ser: 2-De manera similar, f decrece ms rpidamente en la direccin de .Cuya derivada ser:

PLANOS TANGENES Y RECTAS NORMALES

DEFINICION: ecuacin del plano tangente a la superficie de nivel en el punto : Si consideramos; , en tal caso el plano tangente a la superficie en el punto queda definido como: *Ecuacin de la recta normal en p:

VALORES MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION

DEFINICION: sea una funcin de n variables as, derivable n veces, su matriz hessiana o hessiano (*D) queda determinado por:

DEFINICION: si cuando esta cerca de , entonces es un mximo relativo; por contrario si cuando esta cerca de , entonces es un mnimo relativo.Teorema: si f tiene un mximo relativo o un mnimo relativo en , y las derivadas parciales de primer orden existen all, entonces:

DEFINICION: prueba de la segunda derivada; : un hessiano de segundo orden. Si suponemos que existe un punto crtico tal que ; sea . Definimos: 1- Si y , entonces es un mximo relativo. 2- si y , entonces es un mnimo relativo. 3- si , entonces en existe un punto silla. 4-f podra tener un mximo o mnimo relativo, o tambin un punto silla.