Derivadas en la vida cotidiana - Biblioteca de la ... · Máster universitario en Profesorado de...

Luisa Quesada Barrioseta

Clara Jiménez Gestal

Facultad de Letras y de la Educación

Máster universitario en Profesorado de ESO, Bachillerato, FP y Enseñanza de Idiomas

Matemáticas

2013/2014

Título

Director/es

Facultad

Titulación

Departamento

TRABAJO FIN DE ESTUDIOS

Curso Académico

Derivadas en la vida cotidiana

Autor/es

© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2014

publicaciones.unirioja.esE-mail: [email protected]

Derivadas en la vida cotidiana, trabajo fin de estudiosde Luisa Quesada Barrioseta, dirigido por Clara Jiménez Gestal (publicado por la

Universidad de La Rioja), se difunde bajo una LicenciaCreative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported.

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TRABAJO FIN DE MÁSTER

Derivadas en la vida cotidiana.

Máster en Profesorado

Especialidad de Matemáticas

Luisa Quesada Barrioseta

Tutora: Clara Jiménez Gestal

Curso: 2013/2014

TRABAJO FIN DE MÁSTER Master en profesorado Universidad de La Rioja Luisa Quesada Barrioseta

ÍNDICE

1. INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................... 3

2. MARCO TEÓRICO ................................................................................................................... 5

2.1. EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE .................................................................. 5

2.2. LA ADOLESCENCIA ......................................................................................................... 8

2.3. CONCLUSIONES ........................................................................................................... 11

3. MEMORIA DE PRÁCTICAS .................................................................................................... 12

3.1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 12

3.2. ANÁLISIS DEL CENTRO ...................................................................................................... 13

3.3. ESTUDIO DE LOS GRUPOS-CLASE ..................................................................................... 14

3.4. UNIDAD DIDÁCTICA 1º BACHILLERATO CIENCIAS NATURALES: DERIVADAS. APLICACIÓN DE DERIVADAS ......................................................................................................................... 17

3.4.1. INTRODUCCIÓN ......................................................................................................... 17

3.4.2. OBJETIVOS ................................................................................................................. 18

3.4.3. COMPETENCIAS ......................................................................................................... 19

3.4.4. CONTENIDOS ............................................................................................................. 21

3.4.5. METODOLOGÍA .......................................................................................................... 23

3.4.6. TEMPORALIZACIÓN ................................................................................................... 25

3.4.7. ACTIVIDADES ............................................................................................................. 33

3.4.8. EVALUACIÓN ............................................................................................................. 34

3.4.9. MATERIALES Y RECURSOS DE APOYO A LA DOCENCIA ............................................. 36

3.5. OTRAS ACTIVIDADES ........................................................................................................ 37

3.6. REFLEXIÓN Y CONCLUSIONES ........................................................................................... 38

4. PROYECTO DE INNOVACIÓN ................................................................................................... 40

4.1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 40

4.2. OBJETIVOS ........................................................................................................................ 42

4.3. MARCO TEÓRICO .............................................................................................................. 43

4.4. DESCRIPCIÓN DEL PROYECTO .......................................................................................... 47

4.5. TEMPORALIZACIÓN .......................................................................................................... 49

4.6. EVALUACIÓN .................................................................................................................... 52

4.7. MATERIALES ..................................................................................................................... 54

4.8. CONCLUSIONES ................................................................................................................ 54

1


5. REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................ 56

6. ANEXOS ............................................................................................................................... 58

Anexo I: Resumen Derivadas .................................................................................................. 58

Anexo II: Hojas de actividades de desarrollo y aprendizaje de derivadas .............................. 60

Anexo III: Actividades de refuerzo de derivadas .................................................................... 62

Anexo IV: Actividades de ampliación de derivadas ................................................................ 63

Anexo V: Examen de derivadas .............................................................................................. 64

2


1. INTRODUCCIÓN

El Máster en Profesorado de Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato,

Formación Profesional y Enseñanzas de Idiomas en la especialidad en Matemáticas está

dividido en dos bloques: el bloque teórico y el bloque práctico.

El bloque teórico está formado por tres asignaturas genéricas:

- Aprendizaje y desarrollo de la personalidad.

- Procesos y contextos educativos.

- Sociedad, familia y educación.

Y otras tres específicas:

- Aprendizaje y enseñanza de las matemáticas.

- Complementos para la formación disciplinar. Matemáticas.

- Innovación docente e iniciación a la investigación educativa. Matemáticas.

El bloque práctico que consta de ocho semanas de duración está formado por la

realización de prácticas en un instituto de secundaria.

De entre los motivos por los que es interesante la realización de este máster,

podemos destacar los siguientes:

- Capacitarnos para enseñar, de manera adecuada al nivel y a la formación

previa de los estudiantes, la materia de Educación Secundaria

correspondiente a la especialidad cursada, que en mi caso es Matemáticas,

tomando en consideración la diversidad en el aula.

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- Formarnos en habilidades que nos permitan actuar profesionalmente como

miembros de un equipo docente.

- Capacitarnos en aquellos conocimientos académicos, profesionales de

tutoría y orientación que permitan desarrollar de forma adecuada la labor

del docente y que faciliten conseguir una formación integral en los

estudiantes.

- Enseñarnos a adaptar nuestra actividad docente a las nociones de igualdad

entre hombres y mujeres, los principios de igualdad de oportunidades y

accesibilidad universal de las personas con discapacidad y los valores

democráticos y los que son propios de la cultura por la paz.

Este Trabajo fin de Máster consta de tres partes diferenciadas. Un primer bloque

teórico sobre los procesos de enseñanza aprendizaje, un segundo bloque en los que se

detallan los elementos fundamentales de la memoria de prácticas. En ella aparece un

breve y reflexivo análisis del PEC, estudio de cada uno de los grupo–clase, reflejo de los

procesos de enseñanza aprendizaje en el aula, una unidad didáctica completamente

desarrollada y una reflexión y conclusiones finales. Por último, un proyecto de

innovación educativa.

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2. MARCO TEÓRICO

2.1. EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE

Las actividades de enseñanza que realizan los profesores deben estar

íntimamente ligadas a los procesos de aprendizaje de los estudiantes.

El principal propósito del profesorado es que los estudiantes progresen

positivamente en el desarrollo integral de su persona y, en función de sus capacidades

y de sus circunstancias individuales, logren los aprendizajes previstos en la

programación del curso.

Enseñanza y aprendizaje forman parte de un único proceso que tiene como fin

la formación del estudiante, donde los profesores han de actuar de forma eficiente y

adaptarse a las necesidades de los estudiantes para que éstos aprendan de forma

adecuada.

La educación ha evolucionado a lo largo del tiempo. Ha pasado de estar centrada

en la enseñanza y el profesor a centrarse en el aprendizaje y el alumno.

Las teorías que estudian este concepto son:

• Teoría conductista

El conductismo es una teoría psicológica iniciada por John Watson que se

centra en lo que se puede observar. El aprendizaje se produce al interactuar

los estímulos y las respuestas. Dentro de esta teoría se pueden diferenciar

dos categorías:

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- El condicionamiento clásico: el aprendizaje se obtiene por detección de

regularidades o relaciones entre estímulos y no es necesario introducir un

refuerzo.

- El condicionamiento operante: está orientado a la consecución de un

resultado e incorpora un propósito y una intención y se introducen refuerzos.

El conductismo tiene como pilar fundamental al profesor y los alumnos son seres

pasivos que deben memorizar y aprender lo que el profesor les va enseñando. En esta

teoría no se tiene en cuenta las diferencias individuales de los estudiantes, ya que el

profesor transmite los conocimientos a todos por igual y su objetivo es que los

estudiantes memoricen y no que comprendan.

Esta teoría afirma que la educación ha evolucionado a lo largo del tiempo, ha

pasado de estar centrada en la enseñanza y el profesor a centrarse en el aprendizaje y el

alumno, de atender sobre todo a los productos, a considerar la importancia de los procesos.

• Teoría cognitivista

El cognitivismo es una teoría que se centra en el estudio de la mente humana

para comprender cómo interpreta, procesa y almacena la información en la memoria. Es

decir, el objetivo principal del cognitivismo es descubrir cómo la mente humana es capaz

de pensar y aprender.

Este modelo asume que el aprendizaje se produce a partir de la experiencia. El

ser humano es considerado un organismo que realiza una actividad basada

fundamentalmente en el procesamiento de la información, lo cual lo diferencia mucho

de la visión reactiva y simplista que hasta entonces había defendido y divulgado el

conductismo.

6

http://www.monografias.com/trabajos14/cognitivismo/cognitivismo.shtml


El alumno es un sujeto activo procesador de información, que posee

competencia cognitiva para aprender y solucionar problemas. El papel del profesor es

transmitir la información mientras que el de los alumnos es aprender conocimientos.

• Teoría constructivista

La teoría constructivista está fundamentada en que cada alumno es diferente y

por tanto asimila los conocimientos de formas diferentes. Por tanto, el alumno ya no es

un mero receptor de conocimientos, sino que tiene que construir su propio aprendizaje

relacionándolo con experiencias y conocimientos previos.

Esta teoría tiene como pilar fundamental al alumno y no al profesor como en las

teorías anteriores. El profesor pasa de ser un mero transmisor de conocimientos a guiar

a los alumnos para que ellos mismos sean quienes construyan el suyo propio. Por tanto,

el profesor debe enseñar a aprender.

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2.2. LA ADOLESCENCIA

El Máster está orientado a la formación de futuros profesores de Secundaria y

Bachillerato. Los alumnos correspondientes a dichos cursos pertenecen a la a la etapa

de la adolescencia, que es una época de la vida que transcurre entre la infancia y la

adultez y que abarca desde los 11 a los 20 años dependiendo de cada persona. Teniendo

en cuenta que vamos a tratar con alumnos de este tipo, deberemos conocer las

características más relevantes de esta etapa.

La adolescencia está caracterizada por múltiples cambios que ocurren tanto a

nivel físico y hormonal como en las esferas social y cognitiva en el inicio de la etapa y

cambios de tipo psic –social en el final.

Se producen una serie de cambios físicos y madurativos debido a cambios

hormonales y en este período se alcanza la madurez sexual. Dicha madurez es diferente

en función del sexo.

Se desarrollan también las operaciones formales que producen cambios como la

capacidad de pensar en abstracto, la capacidad para formular hipótesis, la capacidad

para concebir lo posible, el uso de la combinatoria y el uso de la lógica proposicional.

Los rasgos cognitivos característicos de los adolescentes son:

- Idealismo: el adolescente empieza a concebir lo que “podría ser” además de

lo que “es”. El pensamiento no parte de lo real y lo concreto sino de lo

posible y hasta lo ideal. El adolescente se vuelve idealista porque ya puede

concebir cómo podrían ser las cosas o cómo le gustaría que fuesen, y puede

comparar su visión ideal con la real.

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- Tendencia a discutir e indecisión: el adolescente busca de manera constante

las oportunidades de razonamiento.

- Egocentrismo: el adolescente puede adoptar otros puntos de vista distintos

al suyo pero no lo consigue, lo que le lleva a centrarse en sí mismo. Se suele

sentir incomprendido por los adultos.

- Audiencia imaginaria: el adolescente se siente el centro de atención y cree

que existe una audiencia imaginaria ante la que hay que actuar. Por tanto

están muy preocupados por lo que los demás piensan y se sienten

observados creyendo que su apariencia es lo que más interesa a los demás.

- Fábula personal: los adolescentes piensan que son seres únicos,

excepcionales e irrepetibles. Se consideran diferentes a los demás y creen

que lo que viven es algo excepcional y único, que nadie más ha vivido y que

nadie más puede comprender.

- Fábula de invencibilidad: los adolescentes piensan que ellos no pueden ser

víctimas de conductas peligrosas. Por eso asumen todo tipo de riesgos y no

toman las precauciones necesarias. Conocen los riesgos pero piensan que

ellos no pueden ser víctimas.

También tienen un desarrollo socio–emocional, donde el autoestima es muy

importante y la apariencia física les resulta fundamental. Para ellos es muy importante

la familia y sentirse protegidos aunque existan muchos conflictos entre ellos y se apoyen

en los amigos, a los que ven como iguales. En esta época es cuando surge la verdadera

amistad y comienzan a tener relaciones de pareja.

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Nosotros como docentes tendremos que tener presentes todas estas

características en todo momento para poder abordar las posibles dificultades cuando se

nos presenten.

Además, existen otros factores que pueden modificar la conducta en el aula

como son las capacidades de los alumnos, los conocimientos que éstos presenten o la

motivación. Hoy en día, en las aulas se pueden encontrar alumnos muy distintos y

nosotros como docentes deberemos saber atender la diversidad que se nos presente.

Para que se produzca un aprendizaje más significativo, es muy importante que

los alumnos estén motivados y nuestro objetivo será alcanzarlo. Algunos estudiantes

vienen motivados a clase de forma natural y otros, por el contrario necesitan estímulos

que les ayuden. La motivación puede ser:

- Intrínseca: el alumno fija su interés por el estudio o trabajo, demostrando

siempre superación y responsabilidad en la consecución de sus metas.

Realiza una actividad por el placer y satisfacción que le produce aprender.

- Extrínseca: el alumno sólo trata de aprender no tanto porque le gusta la

asignatura sino por las ventajas que ésta le ofrece. La conducta es regulada a

través de medios externos como premios y castigos.

Se pueden seguir una serie de líneas generales a la hora de dar una clase como, por

ejemplo, despertar la curiosidad del alumno, mostrar la relevancia específica del

contenido o actividad, procurar que su interés se mantenga, interactuar con ellos, etc.

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2.3. CONCLUSIONES

Hasta ahora hemos analizado las cuestiones que a mi modo de ver son más

importantes a la hora de enfrentarnos en una clase. Lo ideal sería seguir el enfoque de

la teoría constructivista ya que el aprendizaje que los alumnos obtienen es el más

significativo, pero es muy difícil llevarla por completo a la práctica hoy en día por el

insuficiente tiempo. Por tanto habrá que desarrollar una combinación del enfoque

conductista con el constructivista. También se necesita una alta participación del

alumno y no siempre se va a presentar esta circunstancia, por ello mi principal objetivo

será fomentar la motivación del alumnado como uno de los pilares fundamentales del

aprendizaje.

11


3. MEMORIA DE PRÁCTICAS

3.1. INTRODUCCIÓN

El desarrollo de las prácticas es fundamental para la formación del futuro

profesor, ya que se podrán poner en práctica los conocimientos adquiridos y aprender

nuevos.

Realicé las prácticas en el Instituto de Educación Secundaria Francisco Tomás y

Valiente, un centro de la red pública, del 24 de febrero al 16 de abril de 2014. Mi tutora

en dicho centro fue Margarita Bañuelos Palacios y en la universidad Clara Jiménez

Gestal.

Durante este periodo he podido conocer la realidad de un Centro Educativo y

comprobar cómo es el trabajo diario de un docente y el trato con los alumnos. Mi tutora

impartía clases en 1º ESO, 1º Taller de Matemáticas, 3º ESO y 1º Bachillerato de Ciencias

Naturales.

12


3.2. ANÁLISIS DEL CENTRO

El I.E.S Francisco Tomás y Valiente está ubicado en Fuenmayor, y el alumnado

que cursa estudios en el instituto proviene de los colegios de Navarrete, Cenicero,

Medrano y Fuenmayor. Comenzó su andadura en el curso 1997/1998, por lo que es un

centro relativamente nuevo con instalaciones en buen estado, y está bien equipado con

ordenadores y proyector en todas las aulas, pizarra digital en algunas de ellas y cuenta

con una biblioteca, polideportivo, aulas de informática y laboratorios. Cuentan con el

proyecto RACIMA, un proyecto informático diseñado para la gestión académica de los

centros educativos de La Rioja.

La oferta educativa del instituto se compone de la Educación Secundaria

Obligatoria, el Bachillerato y un Programa de Cualificación Profesional Inicial (PCPI) de

“Operario de viveros, jardines y parques”. Además consta de otros proyectos como el

Proyecto de Calidad (EFQM), el Proyecto de Innovación Lingüística (PILC), la

colaboración con la Escuela Oficial de Idiomas (EOI) y el Programa de Refuerzo,

Orientación y Apoyo (PROA).

Es un centro muy familiar, compuesto por 42 profesores y 412 alumnos, en el

que se imparten diariamente seis clases de 50 minutos y hay dos recreos de 20 minutos.

La situación socio-cultural de los alumnos es muy compleja y muy heterogénea.

En el centro hay un 11% de alumnos inmigrantes. En el conjunto de la zona la tasa de

paro es aproximadamente del 20% de la población activa, siendo mayor entre el

colectivo de las mujeres. Se está produciendo un crecimiento industrial en la zona, y los

rendimientos agrícolas son elevados, sobre todo los vitivinícolas.

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3.3. ESTUDIO DE LOS GRUPOS-CLASE

Durante el desarrollo de las prácticas, trabajé con la tutora en los grupos de 1ºA,

1ºB, Taller de Matemáticas en 1ºB, 3ºB y 1º de Bachillerato de Ciencias Naturales.

Analizando los grupos de primero de E.S.O. en los que he realizado prácticas,

cabe destacar la gran diferencia existente entre ellos. Los dos grupos son muy amplios,

de 28 y 26 alumnos, respectivamente. El grupo de 1º A, a pesar de estar formado por

más alumnos, es un grupo con muy buenos resultados en general. Sin embargo, el grupo

de 1º B obtiene muy malos resultados, le falta mucha motivación. En este caso hay dos

alumnos A.C.N.E.E. que en la asignatura de matemáticas acuden con un profesor

especial.

3º de la E.S.O. es un grupo de alumnos equilibrado, con un buen comportamiento

y una predisposición generalmente buena al trabajo. La clase está formada por 24

alumnos.

Los alumnos presentan unas capacidades físicas y psíquicas convencionales, sin

tener ningún alumno que requiera educación especial.

En este grupo encontramos bastante diversidad, existen alumnos muy

trabajadores y atentos en las clases, y otros más pasivos. El ambiente de aula suele ser

agradable y distendido, preguntando dudas en las clases de ejercicios y problemas, y

estando generalmente atentos en las explicaciones, aunque son muy habladores.

En la clase, existe una alumna cuya capacidad es menor a las del resto del grupo,

la alumna se esfuerza tanto en clase como en casa, realiza la tarea diariamente saliendo

como voluntaria para la corrección a la pizarra y se esfuerza por seguir las explicaciones.

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También existen otros alumnos que no prestan atención durante las

exposiciones y que en las horas de ejercicios toman una actitud pasiva. A todo este grupo

de alumnos a los que les cuesta más realizar los ejercicios y las tareas, ya sea por unos

motivos u otros, son a los que se les debe prestar mayor atención, para que se consiga

por medio de la motivación, un ritmo de aprendizaje lo más similar posible en todo el

grupo y un mayor número de alumnos con resultados satisfactorios.

En este grupo también existen alumnos más aventajados que el resto, a los que

hay que tener en cuenta sobre todo en las horas de clase dedicados a ejercicios y

problemas, ya que llevan un ritmo más acelerado que el resto del grupo y se deben

atender sus necesidades.

En el grupo de 3º de E.S.O. hay varios alumnos extranjeros, los cuales en su

mayoría están integrados con el resto de la clase.

La clase de 1º de Bachillerato de Ciencias Naturales es un grupo muy reducido ya

que está formado por 10 alumnos, de los cuales solamente uno es repetidor. Dado que

no es obligatorio cursar Bachillerato, nos encontraremos en estas aulas únicamente a

los alumnos que tienen interés por continuar su formación. En las clases existe un

ambiente excelente de trabajo y compañerismo, con mucha participación e interés por

conseguir buenas calificaciones.

El grupo de alumnos de 1º de Bachillerato está muy interesado en la materia y

trabajan cada día tanto en el aula, como en casa. Durante la explicación del profesor

todos están atentos y en las clases de ejercicios y problemas realizan los ejercicios

individualmente o por parejas preguntando dudas al profesor.

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Este grupo es bastante más homogéneo que el anterior, todos los alumnos llevan

un ritmo de aprendizaje bastante similar y la atención a la diversidad en este nivel no es

tan necesaria. Existe una alumna más aventajada que el resto aunque la diferencia que

se aprecia no es elevada.

En el grupo de Bachillerato no se ha apreciado ningún tipo de condicionamiento

sociocultural.

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3.4. UNIDAD DIDÁCTICA 1º BACHILLERATO CIENCIAS NATURALES: DERIVADAS. APLICACIÓN DE DERIVADAS

3.4.1. INTRODUCCIÓN

La confección de la unidad didáctica se ha desarrollado conforme al material

impartido en el Máster de Profesorado. Atendiendo a todos sus puntos y en función de

las directrices marcadas por los profesores. La temporalización llevada a cabo será la

siguiente:

Tiempo aproximado: 3 semanas.

3ª Evaluación

Unidad didáctica anterior: Funciones. Límite y Continuidad.

Unidad didáctica posterior: No hay.

El concepto de límite, estudiado en la unidad anterior, permite introducir el

concepto de derivada, que supone uno de los instrumentos más potentes de la

matemática, con aplicaciones en muy diversos campos.

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3.4.2. OBJETIVOS

Utilizar la variación media de una función para interpretar situaciones de la

vida cotidiana.

Saber interpretar geométricamente el concepto de derivada de una función

en un punto.

Calcular la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto.

Obtener la derivada de una función en un punto y la función derivada de una

función dada, así como sus derivadas laterales.

Calcular derivadas usando las reglas de derivación.

Obtener derivadas de operaciones con funciones.

Aplicar la regla de la cadena al cálculo de la derivada de una función

compuesta.

Utilizar la tabla de derivadas para hallar la función derivada de una función

cualquiera.

Calcular derivadas sucesivas.

Saber determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una

función derivable, así como los intervalos de concavidad y convexidad.

Resolver problemas de optimización.

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3.4.3. COMPETENCIAS

Competencias Básicas Teóricas

La LOE define ocho competencias básicas que se consideran necesarias para

todas las personas en la sociedad del conocimiento y que se deben trabajar en todas las

materias del currículo:

Competencia en comunicación lingüística (C1). Se refiere a la utilización del

lenguaje como instrumento de comunicación oral y escrita.

Competencia matemática (C2). Consiste en la habilidad para utilizar y

relacionar los números, sus operaciones básicas, los símbolos y las formas de

razonamiento matemático.

Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico (C3). Es

la habilidad para interactuar con el mundo físico, tanto en sus aspectos

naturales como en los generados por la acción humana. También se relaciona

con el uso del método científico.

Tratamiento de la información y competencia digital (C4). Comprende las

habilidades para buscar, obtener, procesar y comunicar información, y la

utilización de las nuevas tecnologías para esta labor.

Competencia social y ciudadana (C5). Hace posible comprender la realidad

social en que se vive, cooperar, convivir y ejercer la ciudadanía democrática

en una sociedad plural, así como participar en su mejora.

Competencia cultural y artística (C6). Supone comprender, apreciar y valorar

críticamente diferentes manifestaciones culturales y artísticas.

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Competencia para aprender a aprender (C7). Implica disponer de habilidades

para iniciarse en el aprendizaje y ser capaz de continuar aprendiendo de

manera cada vez más eficaz y autónoma, de acuerdo a los propios objetivos

y necesidades.

Autonomía e iniciativa personal (C8). Supone ser capaz de imaginar,

emprender desarrollar y evaluar acciones o proyectos individuales o

colectivos con creatividad, confianza, responsabilidad y sentido crítico.

Competencias Básicas Aplicadas a la Unidad Didáctica

A continuación se muestran las competencias básicas que se desarrollan y

trabajan a lo largo de la Unidad Didáctica programada, en función de los objetivos que

nos hemos marcado:

Utilizar la derivada de una función, asociada a cierto fenómeno social o

natural, en un punto para extraer y elaborar conclusiones sobre el

comportamiento de dicha función en las proximidades de ese punto. (C1, C2,

C3, C5, C8)

Conocer la evolución histórica del problema del cálculo de la tangente a una

curva en un punto. (C2, C6, C7)

Distinguir entre propiedades globales y puntuales, variaciones medias en un

intervalo y variación instantánea, y utilizarlo en el análisis crítico del

comportamiento de ciertos fenómenos. (C2, C4)

Utilizar las nuevas tecnologías para representar y analizar el comportamiento

local y global de las funciones. (C2, C4, C7, C8)

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3.4.4. CONTENIDOS

Variación media de una función en un intervalo.

Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica. Función

derivada.

Ecuación de la recta tangente a una función en un punto.

Derivadas laterales.

Derivadas de las funciones elementales.

Derivadas de operaciones con funciones. Regla de la cadena.

Derivadas sucesivas.

Monotonía y concavidad.

Optimización.

Cálculo de la variación media de una función en un intervalo.

Obtención de la derivada de una función en un punto.

Obtención de la ecuación de la recta tangente a una función en un punto.

Utilización de la interpretación geométrica de la derivada para resolver

problemas.

Obtención de las derivadas laterales de una función en un punto.

Determinación de la función derivada asociada a esa función.

Determinación de la función derivada de las funciones elementales.

Cálculo de derivadas de operaciones con funciones, y aplicación de la regla

de la cadena para hallar derivadas de funciones compuestas.

Cálculo de las derivadas sucesivas de una función.

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Utilización de la relación entre la derivabilidad y el crecimiento de una

función para resolver problemas.

Determinación de los intervalos de crecimiento y decrecimiento y concavidad

y convexidad de una función.

Resolución de problemas de optimización.

Valoración de la presencia de las derivadas en la vida real.

Gusto por la reflexión al realizar cálculos con derivadas.

Gusto e interés por enfrentarse a problemas donde aparezca la derivada de

una función.

Hábito por contrastar el resultado final de un problema con lo propuesto en

este para determinar lo razonable o no del valor final obtenido.

Disposición favorable a la revisión y mejora de cualquier cálculo.

Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de recursos para la

representación gráfica de funciones no elementales.

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3.4.5. METODOLOGÍA

A continuación, se detalla la metodología empleada en el aula para que los

alumnos consigan alcanzar los objetivos propuestos en esta Unidad Didáctica. Para ello,

se contemplarán los principios metodológicos que guiarán la práctica docente,

fundamentados en la fuente psicopedagógica del currículo y en la medida de lo posible,

utilizando siempre un enfoque constructivista.

Es esencial que el aprendizaje sea significativo (no memorístico), es decir, que

los nuevos conocimientos de aprendizaje se relacionen de forma coherente

con lo que el alumno ya sabe. Por tanto, los nuevos aprendizajes deben tener

en cuenta los conocimientos previos que posee el alumno y, a partir de ellos,

reestructurar sus esquemas mentales.

Para que se pueda producir este tipo de aprendizaje es necesario que el

alumno participe de su propio aprendizaje, es decir, que el alumno sea activo

en el aula. Se trata de una actividad interna al sujeto.

El aprendizaje se favorece enormemente mediante la interacción social, por

lo que las interacciones profesor-alumno y alumno-alumnos serán un punto

clave en el proceso de aprendizaje. Por esta razón, el profesor explicará los

contenidos con la participación de los alumnos y la realización de actividades

que sirvan para desarrollar determinados aspectos del tema.

Es importante reforzar los aspectos prácticos de lo que se aprende. Por

tanto, se plantearán actividades basadas en situaciones reales de la vida

cotidiana.

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Las actividades propuestas deben ser motivantes y despertar la curiosidad

del alumno.

Es fundamental atender a la diversidad del aula, en cuanto a capacidades y

ritmos de aprendizaje se refiere. Se propondrán actividades de refuerzo para

aquellos en los que se detecte alguna laguna y se realizarán actividades de

consolidación del tema y actividades de ampliación.

Por tanto, como en el aula hay pocos alumnos, pueden salir todos a la pizarra a

hacer ejercicios y así poder participar todos aprendiendo de los errores de los demás y

atender el profesor a cada uno más individualizadamente.

Además de estas cuestiones, se debe tener en cuenta la utilización de diferentes

estrategias didácticas entre las que destacan:

Resumir y sistematizar el trabajo hecho relacionándolo con actividades

anteriores. Al final de la unidad se realizará un esquema a modo recordatorio

grupalmente (Anexo I).

Orientar y reconducir el trabajo de los alumnos/as, ya sea individual o en

grupo.

Crear un ambiente de trabajo que facilite las relaciones de comunicación

durante la clase, sin agobios de tiempo.

Hacer entender a los alumnos/as que los errores son una poderosa fuente de

aprendizaje.

Estructurar la secuencia de tareas que han de realizar los alumnos/as.

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Individualizar, dentro de lo posible, el seguimiento del aprendizaje de cada

alumno/a.

Coordinar los distintos ritmos de trabajo y de adquisición de conocimientos.

Explicitar el proceso y los instrumentos de evaluación.

3.4.6. TEMPORALIZACIÓN

Esta unidad se llevará a cabo en 3 semanas, que corresponde con 12 sesiones:

Sesión 1:

Comenzamos introduciendo el tema y buscando la relación con los

conocimientos previos. Además de dar una pequeña introducción histórica:

Este tema surgió al intentar resolver el problema de encontrar la ecuación de

la recta tangente. Está relacionado con la óptica (el ángulo con el que un rayo

de luz incide en una superficie de una lente), la física (la dirección de un

cuerpo en movimiento en un punto de su recorrido) o la geometría (el ángulo

entre dos curvas que intersecan).

Como el tema estudiado anteriormente es funciones, límite y continuidad,

podemos ayudarnos de esto para introducir el concepto de derivada.

Para que vayan adentrándose en el tema, se dedicará el resto de la clase a

hacer ejemplos con GeoGebra para que entiendan el concepto y además se

familiaricen con el programa, ya que más adelante trabajarán con él.

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Finalmente se les explica que en este tema va a haber unas actividades que

tendrán un peso del 30% de la nota final, que deberán entregar el día del

examen en un dossier y que tendrán que realizar por parejas.

Sesión 2:

Comenzamos la clase explicando las definiciones de variación media de una

función en un intervalo, variación instantánea y derivada de una función en

un punto.

En clase se hará la siguiente actividad:

La siguiente tabla da el precio en euros de un producto en 8 años sucesivos.

Precio 10 18 24 28 30 30 28 24

Año 0 1 2 3 4 5 6 7

¿Cuál es la TVM del precio en el primer año?

¿Y entre el primero y tercer año? ¿Y entre el tercero y el séptimo?

A continuación se muestra la interpretación geométrica y física de la

derivada.

Se manda como deberes las siguientes actividades:

1) En la gráfica siguiente, la línea roja representa el movimiento de un

autobús que arranca de la parada y va, poco a poco, ganando velocidad.

① y ② corresponden a pasajeros que llegan tarde y corren para tomar

el autobús en marcha.

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a) Al viajero ② lo acercan en bicicleta. Describe su movimiento y halla la

velocidad a la que corre.

b) ¿Cuál es la velocidad aproximada del autobús en el momento que lo

alcanza el pasajero ②? ¿Entra este pasajero suavemente en el autobús?

2) La siguiente gráfica refleja el comportamiento de dos atletas, del mismo

equipo, durante una carrera de relevos:

1.er relevista

2.º relevista

a) ¿Por qué en las carreras de relevos 4 x 100 m cada relevista empieza

a correr antes de que llegue su compañero?

b) ¿Qué pasaría si esperara quieto la llegada del otro?

c) ¿Es razonable que las gráficas de sus movimientos sean tangentes?

¿Cómo son sus velocidades en el momento de la entrega del “testigo”?

27


Sesión 3:

Comenzamos la clase corrigiendo las actividades del día anterior.

Posteriormente se explica el concepto de función derivada y ecuación de la

recta tangente a una función en un punto.

Actividades:

1) Hallar en 𝑥𝑥 = 1 la recta tangente a la curva 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥2 + 1 .

2) Hallar la derivada de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 − 3 en el punto 𝑥𝑥 = 2 .

3) ¿Cuál es la velocidad que lleva un vehículo se mueve según la ecuación

e(t) = 2 − 3t2 en el quinto segundo de su recorrido? El espacio se mide en

metros y el tiempo en segundos.


1) Si la ecuación del movimiento de un móvil es 𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 2𝑡𝑡 + 5𝑡𝑡2. Calcula la

velocidad en el instante 𝑡𝑡 = 7 segundos.

2) Calcula la velocidad en el instante 𝑡𝑡 = 4 segundos de un móvil cuya

ecuación de movimiento es 𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 3 − 4𝑡𝑡 + 𝑡𝑡2

2.

3) Dada la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 2, averigua la TVM en los siguientes

intervalos:

a) [0,2]

b) [2,4]

c) [4,6]

4) Dadas las funciones 𝑓𝑓(𝑥𝑥), calcular el valor de la derivada, utilizando la

definición de derivada de una función en un punto:

a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥, 𝑓𝑓′(1)

28


b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥, 𝑓𝑓′(2)

c) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1𝑥𝑥

,𝑓𝑓′(𝑎𝑎) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎 ≠ 0

Sesión 4:

Esta sesión está indicada para trabajar en grupo sobre la actividad del

periódico desarrollada en el proyecto de innovación.

Sesión 5:

Comenzaremos corrigiendo las actividades pendientes.

A continuación se explican los conceptos de derivadas laterales y derivadas

de las funciones elementales.

Las actividades a realizar serán:

1) Calcula las derivadas de las funciones:

a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 5

b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −2𝑥𝑥

c) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −2𝑥𝑥 + 2

d) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −2𝑥𝑥2 − 5

e) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥4+𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥2 + 4

f) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3+23

g) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 5𝑥𝑥5

+ 3𝑥𝑥2

h) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1𝑥𝑥√𝑥𝑥

i) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 − 2)4

j) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 10√𝑥𝑥

29


k) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln (2𝑥𝑥4 − 𝑥𝑥3 + 3𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥)

A continuación se explica el concepto de derivabilidad y continuidad y se

realiza la siguiente actividad:

1) Dadas las siguientes funciones, determina en que puntos no son

derivables:

a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑥𝑥2 + 1 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 < 0−𝑥𝑥 + 2 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 ≥ 0

b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑥𝑥2 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 ≥ 2

2𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 < 2


1) Sea la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �2𝑥𝑥

𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 < 41√𝑥𝑥

𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 ≥ 4 , determina su dominio de

derivabilidad. Si es derivable en 𝑥𝑥 = 4, halla 𝑓𝑓′(4).

2) Dada la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 − 1 calcula el punto en el que su

tangente es perpendicular a la recta 𝑥𝑥 + 8𝑦𝑦 + 3 = 0.

Sesión 6:

Comenzamos corrigiendo los ejercicios del día anterior.

A continuación se explican los conceptos de derivadas de operaciones con

funciones y la regla de la cadena.

Las actividades a realizar serán:

1) Calcula la función derivada de las siguientes funciones:

a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥4

b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥5 − 7𝑥𝑥

c) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 5𝑥𝑥√5𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥√2𝑥𝑥

30


2) Calcula la ecuación de la recta tangente a 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1

𝑥𝑥 en el punto 𝑥𝑥 = 3.


1) Calcula la función derivada de las siguientes funciones:

a)𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 + 1𝑥𝑥

b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2√𝑥𝑥 + 3√𝑥𝑥3

c) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 2)2

d) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 2√𝑥𝑥)3

e) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥− 1

2𝑥𝑥2

2) Calcula la ecuación de la recta tangente a 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 3)2en el punto

𝑥𝑥 = 0.

Sesión 7:

Se comienza la clase explicando los conceptos de monotonía y concavidad.

Se realizan las siguientes actividades:

1) Mediante el estudio del signo de la primera derivada, hallar los intervalos

de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos de las

siguientes funciones:

a) 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 − 7

b) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥4

4+ 𝑥𝑥3

3− 12𝑥𝑥 + 7

2) Mediante el estudio del signo de la segunda derivada, hallar los intervalos

de concavidad y convexidad, así como los puntos de inflexión de las

siguientes funciones:

a) 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥5 − 10𝑥𝑥3 − 75𝑥𝑥

31


b) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑡𝑡𝑎𝑎 𝑥𝑥

Sesión 8:

Esta sesión está indicada para trabajar en grupo sobre la actividad de las

fotografías desarrollada en el proyecto de innovación.

Sesión 9:

Esta sesión está indicada para trabajar en grupo sobre la actividad de la caja

desarrollada en el proyecto de innovación.

Sesión 10:

Esta sesión está dedicada a dudas y a resolver ejercicios. Como podemos

llevar un control de cada alumno debido al número reducido que hay,

utilizaremos las actividades de refuerzo y ampliación en los casos en los que

lo consideremos necesario.

Sesión 11:

En esta sesión se realizará un repaso general de toda la unidad y se resolverán

las últimas dudas que tengan.

Sesión 12:

Realización de la prueba escrita incluida en el Anexo V.

32


3.4.7. ACTIVIDADES

Actividades de Iniciación y Motivación

Estas actividades iniciales nos van a servir como evaluación inicial, dado que nos

ayudan a observar los conocimientos de los alumnos y las capacidades que tienen para

afrontar el tema que se trata.

Actividades de Desarrollo y Aprendizaje

En este apartado se muestra el grueso de actividades de la Unidad Didáctica, las

cuales van a contribuir a encauzar la acción del alumno para promover la actividad

mental (observar, comparar, clasificar, buscar información, etc.). Estas son las

actividades que tienen un fuerte componente constructivo. Entre ellas se encuentran

las actividades indicadas en la temporalización, así como en la hoja de ejercicios que el

profesor colgará en la plataforma Moodle por si fueran necesarios más ejercicios (Ver

Anexo II).

Actividades de Síntesis y Resumen

En este apartado se presentan una serie de actividades, que permiten poner en

práctica los conocimientos adquiridos, reforzando así los nuevos esquemas, dando

significado a los nuevos aprendizajes, y ofreciendo al profesor información sobre el

grado de aprendizaje obtenido por los alumnos.

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Actividades de Refuerzo y Ampliación

Este bloque de actividades pretende atender a los distintos estilos y ritmos de

aprendizaje, ya que el aprendizaje no es uniforme para todos los alumnos. Se trata de

actividades como medida de atención a la diversidad.

Las actividades de refuerzo están destinadas a aquellos alumnos que tienen un

ritmo de aprendizaje más bajo y necesitan afianzar lo que aprenden mediante ejercicios

de menor dificultad (Ver Anexo III). Por el contrario, las actividades de ampliación se

desarrollarán con los alumnos cuyo ritmo de aprendizaje es superior a la media y son

capaces de realizar actividades de mayor complejidad (Ver Anexo IV).

3.4.8. EVALUACIÓN

Criterios de evaluación:

Hallar la variación media de una función en un intervalo.

Determinar la derivada de una función en un punto, y obtener la función

derivada asociada a esa función.

Utilizar la interpretación geométrica de la derivada para resolver problemas.

Calcular la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto.

Determinar las derivadas laterales de una función en un punto.

Obtener la función derivada de una función elemental.

Calcular derivadas de operaciones con funciones, y aplicar la regla de la

cadena para hallar derivadas de funciones compuestas.

Calcular derivadas sucesivas de una función.

Utilizar la relación entre derivabilidad y crecimiento para resolver problemas.

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Resolver distintos problemas donde aparezca el concepto de derivada de una

función.

Para evaluar al alumno se utilizarán los siguientes instrumentos:

Salidas a la pizarra a corregir los ejercicios de casa

Control de la tarea diaria

Posibles preguntas en clase sobre lo explicado

Comportamiento tanto en el aula como en cualquier actividad relacionada

con la asignatura

Actitud ante la asignatura , los compañeros y el profesor

Dossier de actividades (Ver Proyecto Innovación)

Prueba escrita (Ver Anexo V)

Criterios de calificación:

El profesor valorará si el alumno ha comprendido el concepto de derivada de una

función en un punto, así como su significado geométrico. Si sabe relacionar este

concepto con alguna situación de la vida real. También se tendrá en cuenta la actitud

general del alumno en el desarrollo de la actividad.

Así mismo la nota se formará del siguiente modo:

Comportamiento del alumno en la clase (5%).

Ejercicios en casa a lo largo de la unidad (5%).

Trabajo por proyectos (30%).

Prueba escrita (60%).

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3.4.9. MATERIALES Y RECURSOS DE APOYO A LA DOCENCIA

El material didáctico que se emplea en el curso es:

Pizarra.

Libro de texto: MATEMÁTICAS 1, Mª José Ruiz Jiménez y otros. Editorial:

EDITEX. ISBN: 978-84-9771-345-0.

Proyector.

Calculadora científica.

Hojas de ejercicios y actividades.

Equipos informáticos con conexión a internet.

GeoGebra.

Plataforma virtual.

Por último, y solo de cara al profesorado estarán disponibles impresoras y

fotocopiadoras en el centro.

36


3.5. OTRAS ACTIVIDADES

En el desarrollo de las funciones como alumna en prácticas, he realizado todos

los trabajos descritos en el presente informe de prácticas. Además de asistir a las clases,

de participar en ellas y de desarrollar las Unidades Didácticas de acuerdo con las

indicaciones de mi tutora.

También he asistido junto con las otras alumnas en prácticas que estaban en el

centro a una reunión con la orientadora para explicarnos cómo funciona el

departamento.

He acudido, aparte de las clases de 3º de E.S.O. y 1º de Bachillerato donde he

impartido las unidades didácticas correspondientes, a las clases de 1º de E.S.O. y de Taller

de Matemáticas en 1º de E.S.O.

Con los alumnos de todos los cursos se ha realizado el concurso de Primavera y para

la 3ª evaluación, los alumnos de 1º de E.S.O. tienen un concurso de cuentos matemáticos.

He asistido a las Reuniones de Departamento que se realizaban entre los profesores

de Matemáticas una vez por semana.

También estuve presente en una charla sobre el bullying impartida por un Guardia

Civil, al curso de 1º de E.S.O.

He aprendido el manejo de la plataforma virtual Moodle y además, como la tutora

trabaja con el programa LaTeX, me ha ayudado a manejarlo.

37


3.6. REFLEXIÓN Y CONCLUSIONES

Tras la realización de las prácticas he llegado a la conclusión de que ha sido una

experiencia formativa muy positiva. Estas prácticas me han parecido un complemento

necesario e idóneo para completar la importante formación que estamos recibiendo en

este máster.

El periodo de prácticas es muy importante para la formación del profesorado, ya

que permite relacionar los conceptos teóricos vistos durante las horas de clase, con la

realidad del contexto educativo.

Esta experiencia me ha ayudado a hacerme una idea muy aproximada de como

es este trabajo, de si me gusta y de si realmente quiero trabajar ayudando a los nuevos

alumnos a superar sus dificultades y a imprimirles una mentalidad de esfuerzo y de

trabajo que les sea de gran utilidad en su futuro.

Personalmente me ha resultado muy satisfactoria esta experiencia, con la que

me he dado cuenta de que estoy preparada e ilusionada para empezar a dar mis

primeros pasos como docente.

En un principio, en el periodo de observación, comprobé la gran diferencia de la

percepción del contexto de una clase desde el punto de vista del alumno y del profesor.

Su tarea y espero que sea también la mía, es realmente complicada y se deben dedicar

muchas horas para que la mayoría de los alumnos estén motivados e interesados en la

asignatura y puedan alcanzar los objetivos propuestos.

Durante todas las prácticas la tutora me ha dado libertad para ejercer como

profesora ayudante, resolviendo dudas a los alumnos y ayudando a corregir los

ejercicios de todos los cursos.

38


Otro aspecto que cabe resaltar es la atención a la diversidad. Me parece muy

importante atender las necesidades educativas de cada alumno. Es difícil hacerlo en

todo momento porque en el aula hay muchos alumnos y cada uno tiene unas

necesidades e intereses, pero durante las horas de problemas se les puede dedicar más

tiempo a aquellos alumnos que más lo necesiten, incluso se pueden realizar horas con

actividades de refuerzo.

Por último, agradecer al I.E.S. Francisco Tomás y Valiente, a sus integrantes y en

especial a mi tutora por haberme hecho partícipe de la vida diaria del centro y haberme

hecho sentir como uno más, estando pendientes de mí en todo momento y dándome

consejos muy útiles para la profesión.

39


4. PROYECTO DE INNOVACIÓN

4.1. INTRODUCCIÓN

Mantener a los estudiantes comprometidos y motivados constituye un reto muy

grande incluso para los docentes más experimentados.

El primer problema que se pretende abordar mediante este proyecto es

combatir la desmotivación de los estudiantes de secundaria y bachillerato. La mayoría

de los estudiantes perciben las matemáticas como una de las asignaturas más difíciles y

tienen miedo a enfrentarse a ellas (Hidalgo, Maroto y Palacios, 2004). Mediante la

introducción de nuevas técnicas de motivación pretendemos erradicar del aula ese

miedo y provocar que los alumnos sientan las matemáticas como algo cercano e

interesante. Tanto padres como alumnos alegan que las matemáticas es una de las

asignaturas más importantes para su futuro, ya que están presentes en la vida cotidiana,

aunque a la hora de estudiarlas no las ven como un objeto presente en sus vidas, sino

como una serie de reglas y algoritmos que deben aplicar a ejercicios. Mediante este

proyecto de innovación, acercaremos las matemáticas a los alumnos utilizando en los

ejercicios datos y situaciones de la vida real.

Otro problema que nos encontramos en las aulas es el tipo de aprendizaje que

los estudiantes reciben. En el segundo apartado de este documento vimos los distintos

tipos de aprendizaje que existen; comprobamos que el modelo de aprendizaje más

utilizado en las aulas es el aprendizaje cognitivo en el que el alumno es un ser pasivo

que memoriza los contenidos que el profesor le cuenta. La mayor desventaja de dicho

40


aprendizaje es que los alumnos no llegan a comprender el porqué de las cosas, y que

además memorizan los conceptos, reglas y algoritmos únicamente para reproducirlos el

día del examen. Por lo tanto el conocimiento que obtienen es a corto plazo, y en algunos

casos el plazo es escaso olvidándose de todo lo aprendido rápidamente. Frente a la

teoría conductista, en la que el papel central es el profesor, nos encontramos con la

teoría constructivista en la que el proceso de enseñanza aprendizaje se centra en el

alumno. El profesor debe guiar al alumno para que éste sea quien construya su propio

aprendizaje, pasa de ser un mero transmisor de conocimientos a convertirse en un guía

que propicie que los alumnos extraigan sus propias conclusiones. El profesor, en su

papel de guía, debe relacionar los conceptos con las experiencias y conocimientos

previos del alumno para provocar que los conocimientos adquiridos perduren

indefinidamente.

Hemos desarrollado este proyecto de innovación basado en el aprendizaje por

proyectos para resolver lo que, bajo mi punto de vista, son los problemas más

importantes a los que se enfrenta un profesor de matemáticas en secundaria y

bachillerato que son la falta de motivación de los alumnos y la utilización del método

de enseñanza basado en la teoría conductista. Mediante la realización de proyectos, los

alumnos descubrirán por sí mismos conceptos de la unidad didáctica, aumentará su

motivación y relacionarán dichos conceptos con problemas de la vida real.

Este proyecto está aplicado a la unidad didáctica “Derivadas. Aplicación de

derivadas” de 1º de Bachillerato de Ciencias Naturales, pero se podría adaptar a

cualquier unidad didáctica y a cualquier curso de secundaria y bachillerato.

41


4.2. OBJETIVOS

Los principales objetivos que persigue mi proyecto de innovación son:

Aumentar la motivación de los alumnos

Manejo de conceptos teóricos de la unidad

Fomentar la colaboración entre los alumnos realizando tareas en grupos

Aumentar las habilidades sociales y de comunicación

Acrecentar las habilidades para la solución de problemas

Aumentar la autoestima haciendo que los alumnos se enorgullezcan de

lograr algo que tenga valor fuera del aula

Preparar a los estudiantes para los puestos de trabajo colaborando unos

con otros, planificando el tiempo y tomando decisiones

Utilización de nuevas tecnologías, como puede ser el software

matemático GeoGebra

Romper con la monotonía de ejercicios mecánicos

Con este proyecto de innovación se desarrollarán las siguientes competencias

básicas:

Competencia en comunicación lingüística (C1): redactando las

actividades y debate en clase durante la realización de las mismas.

Competencia matemática (C2)

Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico (C3):

las actividades están relacionadas con objetos y problemas de la vida real.

42


Tratamiento de la información y competencia digital (C4): la información

que necesiten la podrán buscar en internet y algunas actividades se

realizarán con el programa GeoGebra.

Competencia cultural y artística (C6): analizando las características de

edificios o elementos arquitectónicos que puedan haber en las

fotografías.

Autonomía e iniciativa personal (C8): en la resolución de actividades se

desarrollan tareas en las que hay que planificarse y tomar decisiones.

4.3. MARCO TEÓRICO

El término constructivismo proviene del latín struere ‘arreglar’ ‘dar

estructura’. Se emplea de manera reiterada como paradigma educativo. La idea

principal es que el aprendizaje humano se construye. La mente de las personas elabora

nuevos significados a partir de la base de enseñanzas anteriores. En otras palabras, “el

aprendizaje se forma construyendo nuestros propios conocimientos desde nuestras

propias experiencias” (Ormrod, 2003)

“Es en primer lugar una epistemología, es decir una teoría que intenta explicar

cuál es la naturaleza del conocimiento humano” (Méndez, 2002).

En pedagogía se entiende por constructivismo una corriente que afirma que el

conocimiento de todas las cosas es un proceso mental del individuo, que se desarrolla

de manera interna pero sobre la base de lo que el individua obtiene información e

interactúa con su entorno.

43


La nueva información es asimilada y depositada en una red de conocimientos y

experiencias que existen previamente en el sujeto, como resultado podemos decir que

el aprendizaje no es ni pasivo ni objetivo, por el contrario es un proceso subjetivo que

cada persona va modificando constantemente a la luz de sus experiencias. (Abbott,

1999).

Se pueden destacar tres modelos: la teoría evolutiva de Piaget, el enfoque

socio-cultural de Vygostsky, y el aprendizaje significativo de Ausubel.

Vygotsky afirma que el aprendizaje está condicionado por la sociedad en la que

nacemos y nos desarrollamos.

La cultura juega un papel importante en el desarrollo de la inteligencia.

De ahí que en cada cultura las maneras de aprender sean diferentes. En

la comunicación con el entorno (familiar, profesores y amigos) moldea

su conocimiento y comportamiento.

El aprendizaje guiado. La posibilidad de aprender con la ayuda de

personas más hábiles (nivel de desarrollo potencial).

Sujeto

Conocimiento antiguo

Conocimiento nuevo

Aprendizaje

44


Piaget plantea que el aprendizaje es evolutivo.

El aprendizaje es una reestructuración de estructuras cognitivas. Las

personas asimilan lo que están aprendiendo interpretándolo bajo el

prisma de los conocimientos previos que tienen en sus estructuras

cognitivas. El docente sabe que la persona está aprendiendo si es capaz

de explicar el nuevo conocimiento adquirido.

La motivación del alumno es inherente a este tipo de aprendizaje, por

tanto no manipulable por el profesor.

Ausubel afirma que el punto de partida de todo aprendizaje son los

conocimientos y experiencias previas. En palabras del propio Ausubel “el factor más

importante que influye en el aprendizaje es lo que el alumno ya sabe”.

Teoría del aprendizaje significativo. Conviene aclara que el término

significativo se utiliza como contrario a memorístico.

El aprendizaje adquiere significado si se relaciona con el conocimiento

previo.

El alumno construye sus propios esquemas de conocimiento.

Relaciona los nuevos conocimientos con los conocimientos previos.

El aprendizaje no se produce si no hay interés por parte del alumno.

45


Por lo expresado, podemos establecer los principios del constructivismo como

sigue:

El sujeto construye el conocimiento de manera activa, interactuando con

el objeto de estudio.

El nuevo conocimiento adquiere significado cuando se relaciona con el

conocimiento previo.

El contexto social y cultural de la persona influye en la construcción del

significado.

Aprender implica participar de forma activa y reflexiva.

La motivación es una atracción hacia un objetivo que supone una acción por

parte del sujeto y permite aceptar el esfuerzo requerido para conseguir ese objetivo. La

motivación está compuesta de necesidades, deseos, tensiones, incomodidades y

expectativas. La ausencia de motivación hace complicada la tarea del profesor.

No existe una colección de reglas fijas que garanticen que el ambiente de clase

sea lo más motivador posible, pero sí que podemos enumerar una serie de pautas

generales que pueden servir:

Explicar a los alumnos los objetivos educativos que tenemos previstos

para la sesión determinada.

Justificar la utilización de los conocimientos que les intentamos transmitir

con las actividades que les vamos a plantear.

Plantearles las actividades de forma lógica y ordenada.

46


Proponerles actividades que les hagan utilizar distintas capacidades de su

resolución.

Fomentar la comunicación entre los alumnos realizando tareas en grupo.

Plantear el razonamiento y la comprensión como la mejor herramienta

para la resolución de actividades.

Aplicar los contenidos y conocimientos adquiridos a situaciones próximas

y cercanas para los alumnos.

4.4. DESCRIPCIÓN DEL PROYECTO

Este proyecto está destinado a la unidad didáctica “Derivadas. Aplicación de

derivadas” de 1º de Bachillerato de Ciencias Naturales. Se pretende que los alumnos

comprendan mejor los conceptos del tema haciendo uso de actividades relacionadas

con la vida real e interpretando los resultados que obtengan.

Consiste en introducir a los alumnos ciertos contenidos de la unidad, y que por

grupos realicen actividades, con ayuda del programa informático GeoGebra en algunos

casos, para lograr una comprensión más profunda y además descubrir nuevos

conceptos.

Se presentarán a los alumnos una serie de actividades que deberán resolver por

grupos. Mediante la realización de dichas actividades los alumnos podrán extraer

conclusiones que les ayuden a comprender y descubrir los conceptos de la unidad

didáctica. Una vez finalizada la actividad, los grupos deberán entregar un dossier con las

actividades desarrolladas y conclusiones.

47


Se formarán cinco grupos de dos personas cada uno. Ya que los alumnos de esta

clase componen un grupo bastante homogéneo, todos los alumnos llevan un ritmo de

aprendizaje similar y provienen de diversas localidades, se les deja total libertad en la

composición de los grupos. Es importante que los grupos sean pequeños para que todos

los alumnos trabajen. En este caso al ser una clase tan reducida los grupos están

formados por dos personas, pero en un aula con mayor número de estudiantes se podría

adaptar a grupos de 3 ó 4 personas.

El proyecto consiste en la realización de tres actividades:

La primera actividad consiste en que cada grupo realice fotografías en las

que puedan verse reflejadas funciones, las lleven a clase y allí se haga un

análisis completo de ellas.

La segunda actividad consiste en que cada grupo lleve a clase recortes de

periódicos o papeles impresos de periódicos digitales en los que

aparezcan datos sobre el paro en el último año. Con esta actividad se

pretende que los alumnos lleguen a darse cuenta de que con las

preguntas que se están haciendo, están viendo la Tasa de Variación

Media y la Tasa de Variación Instantánea.

La tercera actividad consiste en realizar unas cajas recortando cuadrados

en las esquinas de unas láminas de plástico duro tamaño DIN-A4 que el

profesor entregará. Mediante pruebas los alumnos deberán hacer una

estimación de los centímetros de los cuadrados que se deben cortar para

que la capacidad de la caja obtenida sea la mayor posible. También

48


deberán dar una solución algebraica y otra mediante GeoGebra. Las

soluciones obtenidas se deberán comparar entre sí.

Los alumnos dispondrán de horas de clase para trabajar sobre ello. También

deberán trabajar en casa buscando información y terminando lo que no les dé tiempo a

realizar en clase.

La entrega del dossier con las actividades se deberá realizar el día del examen.

4.5. TEMPORALIZACIÓN

Este proyecto se encuadrará dentro de la unidad didáctica “Derivadas. Aplicación

de derivadas” que constará de 12 sesiones en total tal y como hemos visto el apartados

anteriores. A continuación se detalla la incidencia del trabajo de innovación en la unidad:

Sesión 1:

En la primera sesión se les explicará a los alumnos que se van a realizar

una serie de actividades a lo largo de la unidad por parejas, por tanto

deberán formarlas a su gusto.

Se pide a los grupos que deben realizar fotos sobre paisajes, atracciones

de parques temáticos, elementos de la naturaleza, objetos de su hogar,

etc, en las que puedan verse reflejadas funciones.

También deberán hacer una búsqueda por periódicos (tanto nacionales

como regionales) sobre los datos del paro en el último año. Deberán traer

49


los recortes del periódico en papel o un papel impreso en el caso de que

la búsqueda haya sido en el periódico digital.

Sesión 2:

En una segunda sesión se realizará la actividad de las fotografías. Dicha

actividad consistirá en que cada grupo elija dos de sus fotografías

explicando el porqué de su elección y analizando las características que

observen. Como es muy probable que alguna de las fotografías refleje

edificios o elementos arquitectónicos, se les preguntará a los alumnos

acerca de las características de los mismos (estilo, época,…).

Más adelante deberán encontrar una función que se asemeje a dichas

características y la representen mediante el GeoGebra.

Sesión 3:

En una tercera sesión se realizará la actividad del periódico. Cada grupo

expondrá su recorte con los datos del paro que haya buscado.

Los alumnos deberán hacerse preguntas acerca de qué les sugieren los

datos que observan. Se realizará un debate entre cada grupos analizando

los datos. Las preguntas sobre las que más pueden discutir son:

• ¿Cuál ha sido la variación del paro en total?

• ¿Cuándo fue mayor la disminución del paro? ¿Por qué crees que

ha ocurrido? ¿Con que acontecimiento coincide? Con esta

pregunta pueden sacar conclusiones diferentes dependiendo de

50


la región escogida como pueden ser época de vacaciones,

vendimias, ferias, etc.

• ¿Cuál es la variación media total?

• ¿Cuál fue el peor mes para el desempleo? ¿Por qué crees que ha

ocurrido?

Finalmente cada grupo expondrá sus conclusiones acerca de los

resultados obtenidos y se abrirá un debate que permitirá llegar a nuevas

hipótesis y enriquecerá la actividad.

Sesión 4:

En una cuarta sesión se realizará la actividad de la caja.

Dispondrán de láminas de plástico duro de tamaño DIN-A4 que el

profesor entregará a cada grupo. Con las mismas se pretende construir

cajas realizando cortes cuadrados en las esquinas y doblando las solapas

que se generan. Se pide que la capacidad de la caja sea la mayor posible,

¿Cuántos cm deberán cortar en cada esquina para conseguirlo?

a) Una vez tenga cada grupo las cajas formadas, sin realizar ningún

cálculo previo y solamente usando la intuición deberán:

• Estimar cuál debe ser el tamaño de los cortes

• Comprobar con agua qué cantidad le cabe a cada una de las cajas

• Dar una solución aproximada

51


b) A continuación deberán resolver el problema algebraicamente.

c) Con ayuda del GeoGebra deberán representar gráficamente el

problema anterior y extraer las conclusiones que se desprendan del

dibujo generado.

d) Por último se compararán los resultados obtenidos en cada apartado.

Como esta actividad no dará tiempo a realizarla completamente, se

deberá terminar en casa.

Sesión 5:

El día del examen cada grupo entregará un dossier que contenga el

desarrollo de cada actividad.

4.6. EVALUACIÓN

Criterios de evaluación:

La evaluación del proyecto tendrá en cuenta lo siguiente:

La creatividad de las soluciones aportadas

La calidad de los resultados obtenidos

La presentación del trabajo

La actitud diaria durante el desarrollo del trabajo

La participación en clase

52


Criterios de calificación:

El peso que tiene el proyecto de innovación sobre la nota final de la unidad

didáctica correspondiente es del 30%.

El proyecto se calificará del siguiente modo:

Un 70% de la nota corresponderá a las soluciones de las actividades

aportadas por los grupos. Se tendrán en cuenta diversos aspectos como

son la presentación del dossier y que las soluciones presentadas sean

correctas, originales e imaginativas).

Se valorará con un 20% la participación en clase y las habilidades

comunicativas de los alumnos.

El 10% restante corresponderá a la valoración que haga el profesor acerca

de la actitud individual de cada alumno frente al proyecto y la correcta

colaboración interna de cada grupo.

53


4.7. MATERIALES

Los materiales necesarios para la realización del proyecto son:

Cámara de fotos ó teléfono móvil que realice fotografías.

Equipos informáticos con conexión a internet.

GeoGebra.

Láminas de plástico duro tamaño DIN-A4.

Botellas de agua.

Periódicos.

Impresora.

4.8. CONCLUSIONES

Llevando a cabo este proyecto de innovación, se cumplen los objetivos descritos

anteriormente. Logramos que los alumnos profundicen y amplíen sus conocimientos

acerca de la unidad didáctica utilizando métodos novedosos e innovadores.

Mediante la realización de este proyecto conseguimos centrar el foco del

aprendizaje en la figura del alumno. Son ellos los que deben extraer conclusiones de las

actividades propuestas y en algunos casos relacionar conceptos matemáticos con las

conclusiones obtenidas a partir de la realización de las actividades. De esta forma

conseguimos aumentar la autoestima del alumno y afianzar más profundamente las

nociones extraídas.

54


Al introducir cambios en la rutina de las clases, tales como trabajar con ejemplos

sacados de la vida real o utilizar herramientas informáticas, conseguimos captar la

atención de los alumnos y que aumente su motivación en la asignatura de matemáticas.

Otra medida que hemos tomado para aumentar la motivación de los alumnos

consiste en que realicen las actividades formando equipos de trabajo. El trabajo en

grupo es fundamental ya que fomenta la mejora de las habilidades comunicativas y

sociales de los alumnos.

Hemos de destacar que la implementación del aprendizaje por proyectos en una

unidad didáctica requiere mucho trabajo y tiempo por parte del profesor. Se ve limitado

por la densidad del currículo académico.

Uno de los problemas que se debe controlar es la posibilidad de que dentro de

los grupos puede haber alumnos que se aprovechen del trabajo de sus compañeros, el

profesor debe ser consciente de este hecho y controlar la evolución del trabajo y la

aportación que cada miembro hace al grupo.

Dentro del currículo de las matemáticas, encontramos unidades didácticas a las

que se podría adaptar un proyecto con estas características y considero que puede

resultar muy beneficioso para los alumnos.

55


5. REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍA

Ley Orgánica 2/2006 de 3 de Mayo, de Educación (LOE).

Decreto 5/2011, de 28 de enero, por el que se aprueba el Reglamento

Orgánico de los Institutos de Educación Secundaria en la Comunidad

Autónoma de La Rioja.

Apuntes de las asignaturas cursadas en el máster.

Hidalgo.S; Maroto.A; Palacios.A. “¿Por qué se rechazan las

matemáticas? Análisis evolutivo y multivariante de actitudes relevantes

hacia las matemáticas”. Revista Educación, nº334 (2004).

Ormrod, J. E., Educational Psychology: Developing Learners, Fourth

Edition. 2003, p. 227.

Proyecto Educativo del Centro (PEC) del centro IES Francisco Tomás Y

Valiente.

Reglamento de Organización y Funcionamiento (ROF) del centro IES

Francisco Tomás y Valiente.

Programación General Anual (PGA) del centro IES Francisco Tomás Y

Valiente.

Programación General Anual de la especialidad de Matemáticas del

centro IES Francisco Tomás Y Valiente.

Proyecto Algaida. MATEMÁTICAS 3º E.S.O. Editorial: Bruño.

Mª José Ruiz y otros. MATEMÁTICAS 1. Editorial: EDITEX.

Proyecto Algaida. MATEMÁTICAS 1º E.S.O. Editorial: Bruño.

www.iestomasyvaliente.edurioja.org

56


www.brunodigital.es

www.cidead.es

www.recursostic.educacion.es/descartes/web

www.santillana.es/recursos.html

www.educarioja.org/educarioja

www.vitutor.com

www.e-ducativa.catedu.es

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6. ANEXOS

Anexo I: Resumen Derivadas

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59


Anexo II: Hojas de actividades de desarrollo y aprendizaje de derivadas

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Anexo III: Actividades de refuerzo de derivadas

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Anexo IV: Actividades de ampliación de derivadas

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Anexo V: Examen de derivadas

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